- Виды матриц.
- Матрица A размера m×n — это прямоугольная таблица чисел, расположенных в m строках и n столбцах
где aij (i =1, …, m; j =1, …, n) — это элементы матрицы A. Первый индекс i — это номер строки, второй индекс j — это номер столбца, на пересечении которых расположен элемент aij.
Сокращённое обозначение матрицы A=(aij)m×n. - Порядок матрицы — это число ее строк или столбцов.
- Главная диагональ квадратной матрицы — это диагональ, идущая из левого верхнего в правый нижний угол.
- Прямоугольная матрица — это матрица, у которой число строк не равно числу столбцов.
- Квадратная матрица — это матрица у которой число строк равно числу столбцов:
- Матрица-столбец — это матрица, у которой всего один столбец:
- Матрица-строка — это матрица, у которой всего одна строка:
- Диагональная матрица — это квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю.
- Единичная матрица — это диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице:
- Матрица квадратная диагональная:
- Треугольная матрица — это квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные по одну сторону главной диагонали, равны нулю.
- Матрица верхняя треугольная:
- Матрица нижняя треугольная:
- Нулевая матрица — это матрица, все элементы которой равны 0:
- Операции над матрицами.
- Равенство матриц.
Две матрицы A (aij), B (bij) совпадают |A=B|, если совпадают их размеры и соответствующие элементы равны,
то есть при всех i, j aij=bij. - Сложение матриц.
Суммой двух матриц A=(aij)m×n и B=(bij) m×n одинаковых размеров называется матрица C=(cij)m×n=A+B тех же размеров, элементы которой определяются равенствами cij=aij+bij. Пример 1. - Умножение матрицы на число.
Произведением матрицы A=(aij)m×n на число λ ∈ R называется матрица B=(bij)m×n=λA, элементы которой определяются равенствами bij=λaij. Пример 2. - Умножение матриц.
Произведением матрицы A=(aij)m×k на матрицу B=(bij)k×n называется матрица C=(cij)m×n=A· B размера m×n, элементы которой cij определяются равенством
cij=ai1b1j+ai2b2j+ … aikbkj.
Таким образом, элемент матрицы C=A·B, расположенный в i-й строке и j-м столбце, равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B. Пример 3. - Транспонированные матрицы.
Транспонированием матрицы А называется замена строк этой матрицы ее столбцами с сохранением их номеров.
Полученная матрица обозначается через A’ или AT. Пример 4.
Квадратная матрица называется симметричной, если A=A’, то есть для элементов выполнены равенства aij=aji. - Обратная матрица.
Квадратная матрица n–го порядка называется вырожденной, если определитель этой матрицы равен нулю, |A| = 0, и невырожденной, если |A| ≠ 0.
Матрица А-1 называется обратной матрицей для некоторой квадратной матрицы А, если выполняется соотношение:
Если матрица А-1 не вырождена, то существует, и притом единственная, обратная матрица А-1, равная, где АV = Aij — присоединенная матрица (матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов исходной матрицы, стоящих на тех же местах).
1)
2)
3)
4) - Алгоритм нахождения А-1 заключается в следующих пунктах:
1) Находим det A, проверяем det A ≠ 0.
2) Находим Mij — все миноры матрицы A.
3) Определяем
4) Строим матрицу алгебраических дополнений и транспонируем:
5) Делим каждый элемент матрицы на det A: Пример 5. - Элементарные преобразования строк (столбцов) матрицы:
1) перестановка строк (столбцов);
2) умножение строки (столбца) на число α ≠ 0;
3) прибавление к элементам строки (столбца) матрицы элементов другой строки (столбца), умноженных на некоторое число. - Решение матричных уравнений.
Матричное уравнение — это уравнение, содержащее неизвестную матрицу X и известные матрицы A, B, …, .
Простейшие типы матричных уравнений:
1). Матрица A – квадратная и невырожденная,
|A| ≠ 0, следовательно, существует обратная матрица A-1.
Умножим уравнение на A-1 слева:
2). Матрица A – квадратная, |A| ≠ 0.
Умножим уравнение на A-1 справа:.
3). Матрицы A и B – квадратные, |A| ≠ 0, |B| ≠ 0.
Умножим уравнение на A-1 слева:
Умножим уравнение на B-1 справа:. - Ранг матрицы.
Ранг матрицы A — это число, равное максимальному порядку отличных от нуля миноров.
Mk этой матрицы:
Матрицы называются эквивалентными, что обозначается
A ∼ B, если.
Ранг матрицы A вычисляется методом окаймляющих миноров или методом элементарных преобразований. - Метод окаймляющих миноров.
Пусть в матрице A элемент aij ≠ 0, тогда M1 ≠ 0 и r(A) ≥ 1. Окаймляем этот элемент элементами соседнего столбца и соседней строки (например, (j+1)–го столбца и (i+1)–й строки), получаем минор 2-го порядка:.
Если M2, то присоединяем другие строки и столбцы, перебирая все возможные миноры 2-го порядка.
Если все миноры второго порядка равны нулю, то r(A) = 1; если же существует хотя бы один минор 2-го порядка, отличный от нуля, то r(A) ≥ 1.
Выбираем отличный от нуля минор 2-го порядка M2 и окаймляем его элементами соседних строк и столбцов до минора 3-го порядка и так до тех пор, пока не будет выполнено условие: Mr ≠ 0, но все Mr+1 = 0. Пример 6. - Метод элементарных преобразований.
Элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга.
К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие: транспонирование; перестановка строк (столбцов); умножение строки (столбца) на число α ≠ 0; прибавление к элементам строки (столбца) матрицы элементов другой строки, умноженных на некоторое число; отбрасывание нулевой строки (столбца) матрицы.
Для определения ранга матрицы A методом элементарных преобразований следует:
1) Переставить строки и столбцы так, чтобы в верхнем левом углу матрицы был ненулевой элемент.
2) Все элементы первого столбца, кроме a11, обратить в ноль с помощью элементарных преобразований строк:
3) Переставить строки со 2–й по m и столбцы со 2–го по n так, чтобы a22 ≠ 0. Повторить операцию (2) со вторым столбцом: во втором столбце все элементы, кроме a12 и a22, обратить в ноль.
Окончательно после многократного применения указанной процедуры и отбрасывания нулевых строк преобразованная матрица будет иметь вид:
Тогда ранг матрицы A равен: rang A = rang Ã.
, где АV = Aij — присоединенная матрица (матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов исходной матрицы, стоящих на тех же местах).
и транспонируем: 
Пример 5.
. Матрица A – квадратная и невырожденная,
. Матрица A – квадратная, |A| ≠ 0.
.
. Матрицы A и B – квадратные, |A| ≠ 0, |B| ≠ 0.
.
.
.
- Свойства определителей.
- Определитель квадратной матрицы А не меняется при транспонировании: |AT|=|A|.
- При перестановке местами любых двух строк (столбцов) определитель |A| меняет знак:
- Определитель, содержащий две одинаковые строки (столбца), равен нулю.
- Умножение всех элементов некоторой строки (столбца) определителя |A| на число k равносильно умножению определителя на это число:
- Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя |A| равны нулю, то и сам определитель равен нулю (вытекает из предыдущего свойства при (k = 0):
- Если все элементы двух строк (столбцов) определителя |A| пропорциональны, то определитель равен нулю.
- Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то такой определитель можно представить в виде суммы двух определителей:
- Если к элементам какой-нибудь строки (столбца) определителя |A| прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольный множитель k, то величина определителя не изменится:
- Определитель |A| численно равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения:
- Определитель произведения матриц А и В равен произведению их определителей:
.
.- Определители n–го порядка.
- Минор Мij или Δij элемента аij ( иначе – дополнительный минор элемента аij) определителя n-го порядка — это определитель (n–1) порядка, полученный из исходного вычеркиванием i–й строки и j–го столбца, на пересечении которых стоит элемент aij.
- Алгебраическое дополнение Аij элемента аij — это его минор со знаком (-1)i+j, где i – номер строки, а j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент aij, Аij=(-1)i+jMij или Аij=(-1)i+jΔij. Пример 8.
Для определителей n-го порядка имеют место все перечисленные выше свойства определителей. - Правило выбора знака перед минором в алгебраическом дополнении:
- Определитель n-го порядка |A| численно равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения.
- Метод сведения к треугольному виду.
Используя свойства (1–9), определитель преобразуют к виду, когда элементы, лежащие по одну сторону от главной диагонали, становятся равными нулю. Преобразованный таким образом определитель равен произведению элементов, лежащих на главной диагонали.
Формулы, уравнения, теоремы, примеры решения задач
Содержание:
- Матрицы: основные определения и понятия
- Умножение матрицы на число
- Сложение и вычитание матриц
- Умножение матриц
- Транспонирование матрицы
- Минор и алгебраическое дополнение
- Вычисление определителя
- Нахождение обратной матрицы
- Нахождение ранга матрицы
Матрицы широко применяются в математике для
компактной записи СЛАУ или систем дифференциальных уравнений. Тогда количество
строк матрицы соответствует количеству уравнений системы, а количество столбцов равно количеству неизвестных. Матричный
аппарат позволяет свести решение громоздких СЛАУ к компактным
операциям над матрицами.
На практике, они позволяют не делать лишних операций и сократить время выполнения задач.
Поэтому, будущим специалистам очень важно понять теорию матриц и научиться решать задачи с ними.
Перед изучением примеров решения задач советуем изучить теоретический материал по матрицам, прочитать
все определения и свойства. Список тем находится в правом меню.
Примеры по темам:
- Матрицы: основные определения и понятия
- Умножение матрицы на число
- Сложение и вычитание матриц
- Умножение матриц
- Транспонирование матрицы
- Минор и алгебраическое дополнение
- Вычисление определителя
- Нахождение обратной матрицы
- Нахождение ранга матрицы
Матрицы: основные определения и понятия
Теоретический материал по теме – основные определения и понятия матриц.
Пример
Задание. Чему равен элемент $ a_{23} $
матрицы $ A=left( begin{array}{rrr}{1} & {4} & {0} \ {-1} & {3} & {7}end{array}right) $ ?
Решение. Находим элемент, который стоит на пересечении второй строки и третьего столбца:
Таким образом, $a_{23}=7$.
Ответ. $a_{23}=7$
Умножение матрицы на число
Теоретический материал по теме – умножение матрицы на число.
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Пусть $A=left( begin{array}{r}{3} \ {-1}end{array}right)$ .
Найти матрицу 2$A$.
Решение. $2 A=2 cdot left( begin{array}{r}{3} \ {-1}end{array}right)=left( begin{array}{c}{2 cdot 3} \ {2 cdot(-1)}end{array}right)=left( begin{array}{r}{6} \ {-2}end{array}right)$
Ответ. $2 A=left( begin{array}{r}{6} \ {-2}end{array}right)$
Сложение и вычитание матриц
Теоретический материал по теме – сложение и вычитание матриц.
Пример
Задание. Найти $A+B$, если
$A=left( begin{array}{rrr}{1} & {-2} & {4} \ {2} & {0} & {-1}end{array}right)$,
$B=left( begin{array}{lll}{5} & {2} & {3} \ {4} & {6} & {2}end{array}right)$
Решение. $C=A+B=left( begin{array}{rrr}{1} & {-2} & {4} \ {2} & {0} & {-1}end{array}right)+left( begin{array}{lll}{5} & {2} & {3} \ {4} & {6} & {2}end{array}right)=$
$=left( begin{array}{rrr}{1+5} & {-2+2} & {4+3} \ {2+4} & {0+6} & {-1+2}end{array}right)=left( begin{array}{lll}{6} & {0} & {7} \ {6} & {6} & {1}end{array}right)$
Ответ. $C=left( begin{array}{lll}{6} & {0} & {7} \ {6} & {6} & {1}end{array}right)$
Пример
Задание. Найти матрицу $C=A-3 B$,
если $A=left( begin{array}{rr}{1} & {2} \ {2} & {-1} \ {3} & {0}end{array}right), B=left( begin{array}{rr}{-1} & {1} \ {1} & {2} \ {0} & {0}end{array}right)$
Решение. $C=A-3 B=left( begin{array}{rr}{1} & {2} \ {2} & {-1} \ {3} & {0}end{array}right)-3 cdot left( begin{array}{rr}{-1} & {1} \ {1} & {2} \ {0} & {0}end{array}right)=$
$left( begin{array}{rr}{1} & {2} \ {2} & {-1} \ {3} & {0}end{array}right)-left( begin{array}{rr}{-3} & {3} \ {3} & {6} \ {0} & {0}end{array}right)=left( begin{array}{cc}{1-(-3)} & {2-3} \ {2-3} & {-1-6} \ {3-0} & {0-0}end{array}right)=left( begin{array}{rr}{4} & {-1} \ {-1} & {-7} \ {3} & {0}end{array}right)$
Ответ. $C=left( begin{array}{rr}{4} & {-1} \ {-1} & {-7} \ {3} & {0}end{array}right)$
Умножение матриц
Теоретический материал по теме – умножение матриц.
Пример
Задание. Вычислить $A B$ и $B A$,
если $A=left( begin{array}{rr}{1} & {-1} \ {2} & {0} \ {3} & {0}end{array}right), B=left( begin{array}{ll}{1} & {1} \ {2} & {0}end{array}right)$
Решение. Так как $A=A_{3 times 2}$ , а
$B=B_{2 times 2}$ , то произведение возможно и результатом операции умножения будет матрица
$C=C_{3 times 2}$ , а это матрица вида $C=left( begin{array}{cc}{c_{11}} & {c_{12}} \ {c_{21}} & {c_{22}} \ {c_{31}} & {c_{32}}end{array}right)$ .
Вычисли элементы матрицы $C$ :
$ c_{11}=a_{11} cdot b_{11}+a_{12} cdot b_{21}=1 cdot 1+(-1) cdot 2=-1 $
$ c_{12}=a_{11} cdot b_{12}+a_{12} cdot b_{22}=1 cdot 1+(-1) cdot 0=1 $
$ c_{21}=a_{21} cdot b_{11}+a_{22} cdot b_{21}=2 cdot 1+0 cdot 2=2 $
$ c_{22}=a_{21} cdot b_{12}+a_{22} cdot b_{22}=2 cdot 1+0 cdot 0=2 $
$ c_{31}=a_{31} cdot b_{11}+a_{32} cdot b_{21}=3 cdot 1+0 cdot 2=3 $
$ c_{31}=a_{31} cdot b_{12}+a_{32} cdot b_{22}=3 cdot 1+0 cdot 0=3 $
Итак, $C=A B=left( begin{array}{rl}{-1} & {1} \ {2} & {2} \ {3} & {3}end{array}right)$ .
Выполним произведения в более компактном виде:
$=left( begin{array}{rrr}{1 cdot 1+(-1) cdot 2} & {1 cdot 1+(-1) cdot 0} \ {2 cdot 1+0 cdot 2} & {2 cdot 1+0 cdot 0} \ {3 cdot 1+0 cdot 2} & {3 cdot 1+0 cdot 0}end{array}right)=left( begin{array}{rr}{-1} & {1} \ {2} & {2} \ {3} & {3}end{array}right)$
Найдем теперь произведение $D=B A=B_{2 times 2} cdot A_{3 times 2}$. Так как
количество столбцов матрицы $B$ (первый сомножитель) не совпадает с
количеством строк матрицы $A$ (второй сомножитель), то данное произведение
неопределенно. Умножить матрицы в данном порядке невозможно.
Ответ. $A B=left( begin{array}{rr}{-1} & {1} \ {2} & {2} \ {3} & {3}end{array}right)$ .
В обратном порядке умножить данные матрицы невозможно, так как количество столбцов матрицы
$B$ не совпадает с
количеством строк матрицы $A$ .
Транспонирование матрицы
Теоретический материал по теме – транспонирование матрицы.
Пример
Задание. Найти матрицу $A^{T}$, если
$A=left( begin{array}{rl}{1} & {0} \ {-2} & {3}end{array}right)$
Решение. $A^{T}=left( begin{array}{rr}{1} & {0} \ {-2} & {3}end{array}right)^{T}=left( begin{array}{rr}{1} & {-2} \ {0} & {3}end{array}right)$
Ответ. $A^{T}=left( begin{array}{rr}{1} & {-2} \ {0} & {3}end{array}right)$
Минор и алгебраическое дополнение
Теоретический материал по теме – минор и алгебраическое дополнение.
Пример
Задание. Найти минор
$M_{23}$ к элементу
$a_{23}$ определителя
$left| begin{array}{rrr}{1} & {2} & {-1} \ {1} & {0} & {3} \ {7} & {8} & {4}end{array}right|$ .
Решение. Вычеркиваем в заданном определителе вторую строку и третий столбец:
тогда $M_{23}=left| begin{array}{ll}{1} & {2} \ {7} & {8}end{array}right|$
Ответ. $M_{23}=left| begin{array}{ll}{1} & {2} \ {7} & {8}end{array}right|$
Пример
Задание. Найти алгебраическое дополнение
$A_{23}$ к элементу
$a_{23}$ определителя
$left| begin{array}{rrr}{1} & {2} & {-1} \ {1} & {0} & {3} \ {7} & {8} & {4}end{array}right|$ .
Решение. $A_{23}=(-1)^{2+3} cdot M_{23}=(-1)^{5} cdot left| begin{array}{ll}{1} & {2} \ {7} & {8}end{array}right|=-left| begin{array}{ll}{1} & {2} \ {7} & {8}end{array}right|$
Ответ. $A_{23}=-left| begin{array}{ll}{1} & {2} \ {7} & {8}end{array}right|$
Вычисление определителя
Теоретический материал по теме – методы вычисления определителей.
Пример
Задание. Вычислить определитель второго порядка
$left| begin{array}{rr}{11} & {-2} \ {7} & {5}end{array}right|$
Решение. $left| begin{array}{rr}{11} & {-2} \ {7} & {5}end{array}right|=11 cdot 5-(-2) cdot 7=55+14=69$
Ответ. $left| begin{array}{rr}{11} & {-2} \ {7} & {5}end{array}right|=69$
Пример
Задание. Вычислить определитель $left| begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \ {4} & {1} & {3} \ {1} & {-2} & {-2}end{array}right|$ методом треугольников.
Решение. $left| begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \ {4} & {1} & {3} \ {1} & {-2} & {-2}end{array}right|=3 cdot 1 cdot(-2)+4 cdot(-2) cdot(-1)+$
$+3 cdot 3 cdot 1-(-1) cdot 1 cdot 1-3 cdot(-2) cdot 3-4 cdot 3 cdot(-2)=54$
Ответ. $left| begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \ {4} & {1} & {3} \ {1} & {-2} & {-2}end{array}right|=54$
Пример
Задание. Вычислить определитель $left| begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right|$
Решение. Выполним следующие преобразования над строками определителя: из второй строки отнимем четыре
первых, а из третьей первую строку, умноженную на семь, в результате, согласно свойствам определителя, получим определитель,
равный данному.
$left| begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right|=left| begin{array}{cccc}{1} & {2} & {3} \ {4-4 cdot 1} & {5-4 cdot 2} & {6-4 cdot 3} \ {7-7 cdot 1} & {8-7 cdot 2} & {9-7 cdot 3}end{array}right|=$
$=left| begin{array}{rrr}{1} & {2} & {3} \ {0} & {-3} & {-6} \ {0} & {-6} & {-12}end{array}right|=left| begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \ {0} & {-3} & {-6} \ {0} & {2 cdot(-3)} & {2 cdot(-6)}end{array}right|=0$
Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки являются пропорциональными.
Ответ. $left| begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right|=0$
Пример
Задание. Вычислить определитель
$Delta=left| begin{array}{rrrr}{-2} & {1} & {3} & {2} \ {3} & {0} & {-1} & {2} \ {-5} & {2} & {3} & {0} \ {4} & {-1} & {2} & {-3}end{array}right|$ приведением его к треугольному виду.
Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования
будет выполнять проще, если элемент $a_{11}$ будет
равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя,
приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:
$Delta=left| begin{array}{rrrr}{-2} & {1} & {3} & {2} \ {3} & {0} & {-1} & {2} \ {-5} & {2} & {3} & {0} \ {4} & {-1} & {2} & {-3}end{array}right|=-left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {3} & {-1} & {2} \ {2} & {-5} & {3} & {0} \ {-1} & {4} & {2} & {-3}end{array}right|$
Далее получим нули в первом столбце, кроме элемента $a_{11}$ ,
для этого из третьей строки вычтем две первых, а к четвертой строке прибавим первую, будем иметь:
$Delta=-left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {3} & {-1} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {2} & {5} & {-1}end{array}right|$
Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если
диагональный элемент будет равен $pm 1$ , то
вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на
противоположный знак определителя):
$Delta=left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {3} & {-1} & {2} \ {0} & {2} & {5} & {-1}end{array}right|$
Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для этого поступаем следующим образом:
к третьей строке прибавляем три вторых, а к четвертой – две вторых строки, получаем:
$Delta=left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {0} & {-10} & {-10} \ {0} & {0} & {-1} & {-9}end{array}right|$
Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем нули в третьем столбце под
главной диагональю, а для этого к последней строке прибавляем третью:
$Delta=-10 left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {0} & {1} & {1} \ {0} & {0} & {-1} & {-9}end{array}right|=$
$=-10 cdot left| begin{array}{cccc}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {0} & {1} & {1} \ {0} & {0} & {0} & {-8}end{array}right|=(-10) cdot 1 cdot(-1) cdot 1 cdot(-8)=-80$
Ответ. $Delta=-80$
Нахождение обратной матрицы
Теоретический материал по теме – нахождение обратной матрицы.
Пример
Задание. Для матрицы $A=left( begin{array}{ll}{7} & {4} \ {5} & {3}end{array}right)$
найти обратную методом присоединенной матрицы.
Решение. Приписываем к заданной матрице
$A$ справа единичную матрицу второго порядка:
$Aleft|E=left( begin{array}{ll|ll}{7} & {4} & {1} & {0} \ {5} & {3} & {0} & {1}end{array}right)right.$
От первой строки отнимаем вторую (для этого от элемента первой строки отнимаем соответствующий элемент второй строки):
$Aleft|E sim left( begin{array}{rr|rr}{2} & {1} & {1} & {-1} \ {5} & {3} & {0} & {1}end{array}right)right.$
От второй строки отнимаем две первых:
$Aleft|E sim left( begin{array}{rr|rr}{2} & {1} & {1} & {-1} \ {1} & {1} & {-2} & {3}end{array}right)right.$
Первую и вторую строки меняем местами:
$Aleft|E sim left( begin{array}{rr|r|rr}{1} & {1} & {-2} & {3} \ {2} & {1} & {1} & {-1}end{array}right)right.$
От второй строки отнимаем две первых:
$Aleft|E sim left( begin{array}{rr|rr}{1} & {1} & {-2} & {3} \ {0} & {-1} & {5} & {-7}end{array}right)right.$
Вторую строку умножаем на (-1), а к первой строке прибавляем вторую:
$Aleft|E sim left( begin{array}{rr|rr}{1} & {0} & {3} & {-4} \ {0} & {1} & {-5} & {7}end{array}right)right.$
Итак, слева получили единичную матрицу, а значит матрица, стоящая в
правой части (справа от вертикальной черты), является обратной к исходной.
Таким образом, получаем, что $A^{-1}=left( begin{array}{rr}{3} & {-4} \ {-5} & {7}end{array}right)$
Ответ. $A^{-1}=left( begin{array}{rr}{3} & {-4} \ {-5} & {7}end{array}right)$
Пример
Задание. Найти обратную матрицу для $A=left( begin{array}{ll}{1} & {1} \ {1} & {2}end{array}right)$
Решение. Шаг 1. Находим определитель: $Delta=left| begin{array}{ll}{1} & {1} \ {1} & {2}end{array}right|=2-1=1 neq 0$
Шаг 2. $A^{prime}=left( begin{array}{rr}{2} & {-1} \ {-1} & {1}end{array}right)$
Шаг 3. $A^{-1}=frac{1}{Delta} cdot A^{prime}=left( begin{array}{rr}{2} & {-1} \ {-1} & {1}end{array}right)$
Ответ. $A^{-1}=left( begin{array}{rr}{2} & {-1} \ {-1} & {1}end{array}right)$
Пример
Задание. Найти обратную матрицу к матрице $A=left( begin{array}{rrr}{1} & {0} & {2} \ {2} & {-1} & {1} \ {1} & {3} & {-1}end{array}right)$
Решение. Вычисляем определитель матрицы:
$Delta=left| begin{array}{rrr}{1} & {0} & {2} \ {2} & {-1} & {1} \ {1} & {3} & {-1}end{array}right|=1 cdot(-1) cdot(-1)+2 cdot 3 cdot 2+0 cdot 1 cdot 1-$
$-1 cdot(-1) cdot 2-3 cdot 1 cdot 1-2 cdot 0 cdot(-1)=1+12+0+2-3+0=12 neq 0$
Так как определитель не равен нулю, то матрица имеет обратную.
Обратная матрица $A^{-1}$ к матрице
$A$ находится по формуле:
$A^{-1}=frac{1}{Delta} cdot widetilde{A}^{T}$
Найдем союзную матрицу $check{A}$ , для этого вычислим алгебраические
дополнения к элементам матрицы $A$ :
$A_{11}=(-1)^{1+1} left| begin{array}{rr}{-1} & {1} \ {3} & {-1}end{array}right|=(-1) cdot(-1)-3 cdot 1=1-3=-2$
$A_{12}=(-1)^{1+2} left| begin{array}{rr}{2} & {1} \ {1} & {-1}end{array}right|=-[2 cdot(-1)-1 cdot 1]=-(-2-1)=3$
$A_{13}=(-1)^{1+3} left| begin{array}{rr}{2} & {-1} \ {1} & {3}end{array}right|=2 cdot 3-1 cdot(-1)=6+1=7$
$A_{21}=(-1)^{2+1} left| begin{array}{rr}{0} & {2} \ {3} & {-1}end{array}right|=-[0 cdot(-1)-3 cdot 2]=-(0-6)=6$
$A_{22}=(-1)^{2+2} left| begin{array}{rr}{1} & {2} \ {1} & {-1}end{array}right|=1 cdot(-1)-1 cdot 2=-1-2=-3$
$A_{23}=(-1)^{2+3} left| begin{array}{cc}{1} & {0} \ {1} & {3}end{array}right|=-[1 cdot 3-1 cdot 0]=-(3-0)=-3$
$A_{31}=(-1)^{3+1} left| begin{array}{rr}{0} & {2} \ {-1} & {1}end{array}right|=0 cdot 1-(-1) cdot 2=0+2=2$
$A_{32}=(-1)^{3+2} left| begin{array}{cc}{1} & {2} \ {2} & {1}end{array}right|=-[1 cdot 1-2 cdot 2]=-(1-4)=3$
$A_{33}=(-1)^{3+3} left| begin{array}{rr}{1} & {0} \ {2} & {-1}end{array}right|=1 cdot(-1)-2 cdot 0=-1-0=-1$
Таким образом, $tilde{A}=left( begin{array}{rrr}{-2} & {3} & {7} \ {6} & {-3} & {-3} \ {2} & {3} & {-1}end{array}right)$
Транспонируем эту матрицу (т.е. строки матрицы делаем столбцами с тем же номером):
$widetilde{A}^{T}=left( begin{array}{rrr}{-2} & {6} & {2} \ {3} & {-3} & {3} \ {7} & {-3} & {-1}end{array}right)$
Итак, $A^{-1}=frac{1}{12} left( begin{array}{rrr}{-2} & {6} & {2} \ {3} & {-3} & {3} \ {7} & {-3} & {-1}end{array}right)$
Ответ. $A^{-1}=frac{1}{12} left( begin{array}{rrr}{-2} & {6} & {2} \ {3} & {-3} & {3} \ {7} & {-3} & {-1}end{array}right)$
Нахождение ранга матрицы
Теоретический материал по теме – нахождение ранга матрицы.
Пример
Задание. Найти ранг матрицы $A=left( begin{array}{cccc}{0} & {4} & {10} & {1} \ {4} & {8} & {18} & {7} \ {10} & {18} & {40} & {17} \ {1} & {7} & {17} & {3}end{array}right)$
Решение. С помощью элементарных преобразований над ее строками приведем матрицу $A$ к
ступенчатому виду. Для этого вначале от третьей строки отнимем две вторых:
$A sim left( begin{array}{cccc}{0} & {4} & {10} & {1} \ {4} & {8} & {18} & {7} \ {2} & {2} & {4} & {3} \ {1} & {7} & {17} & {3}end{array}right)$
От второй строки отнимаем четвертую строку, умноженную на 4; от третьей – две четвертых:
$A sim left( begin{array}{rrrr}{0} & {4} & {10} & {1} \ {0} & {-20} & {-50} & {-5} \ {0} & {-12} & {-30} & {-3} \ {1} & {7} & {17} & {3}end{array}right)$
Ко второй строке прибавим пять первых, к третьей – три третьих:
$A sim left( begin{array}{cccc}{0} & {4} & {10} & {1} \ {0} & {0} & {0} & {0} \ {0} & {0} & {0} & {0} \ {1} & {7} & {17} & {3}end{array}right)$
Меняем местами первую и вторую строчки:
$A sim left( begin{array}{cccc}{0} & {0} & {0} & {0} \ {0} & {4} & {10} & {1} \ {0} & {0} & {0} & {0} \ {1} & {7} & {17} & {3}end{array}right)$
Далее четвертую и первую строки:
$A sim left( begin{array}{cccc}{1} & {7} & {17} & {3} \ {0} & {4} & {10} & {1} \ {0} & {0} & {0} & {0} \ {0} & {0} & {0} & {0}end{array}right) Rightarrow r a n g A=2$
Ответ. $operatorname{rang} A=2$
Пример
Задание. Найти ранг матрицы $A=left( begin{array}{rrrr}{1} & {2} & {-1} & {-2} \ {2} & {4} & {3} & {0} \ {-1} & {-2} & {6} & {6}end{array}right)$ ,
используя метод окаймления миноров.
Решение. Минорами минимального порядка являются миноры первого порядка, которые равны элементам
матрицы $A$ . Рассмотрим, например, минор
$M_{1}=1 neq 0$ . расположенный в первой строке и первом
столбце. Окаймляем его с помощью второй строки и второго столбца, получаем минор
$M_{2}^{1}=left| begin{array}{ll}{1} & {2} \ {2} & {4}end{array}right|=0$ ; рассмотрим еще один минор второго
порядка, для этого минор $M_{1}$ окаймляем при
помощи второй строки и третьего столбца, тогда имеем минор $M_{2}^{2}=left| begin{array}{rr}{1} & {-1} \ {2} & {3}end{array}right|=5 neq 0$ ,
то есть ранг матрицы не меньше двух. Далее рассматриваем миноры третьего порядка, которые окаймляют минор
$M_{2}^{2}$ . Таких миноров два: комбинация
третьей строки со вторым столбцом или с четвертым столбцом. Вычисляем эти миноры:
$M_{3}^{1}=left| begin{array}{rrr}{1} & {2} & {-1} \ {2} & {4} & {3} \ {-1} & {-2} & {6}end{array}right|=0$
так как содержит два пропорциональных столбца (первый и второй); второй минор
$M_{3}^{2}=left| begin{array}{rrr}{1} & {-1} & {-2} \ {2} & {3} & {0} \ {-1} & {6} & {6}end{array}right|$
преобразуем следующим образом: к первой строке прибавим третью, а ко второй две третьих:
$M_{3}^{2}=left| begin{array}{rrr}{0} & {5} & {4} \ {0} & {15} & {12} \ {-1} & {6} & {6}end{array}right|=0$
И так как первая и вторая строки пропорциональны, то минор равен нулю.
Таким образом, все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю. А, значит, ранг матрицы $A$
равен двум: $operatorname{rang} A=2$
Ответ. $operatorname{rang} A=2$
Читать первую тему – основные определения и понятия матриц,
раздела матрицы.
Матрица – это прямоугольная таблица каких-либо элементов. В качестве элементов мы будем рассматривать числа, то есть числовые матрицы.
С помощью этого онлайн калькулятора вы сможете рассчитать: найти определитель матрицы, вычислить ранг матрицы, возвести матрицу в степень, транспонировать матрицу, найти сумму и произведение матриц, вычислить обратную матрицу, умножить матрицу, треугольный и диагональный вид матрицы.
Заполните поля для элементов матрицы и нажмите соответствующую кнопку.
оставляйте лишние ячейки пустыми для ввода не квадратных матриц
элементы матриц – десятичные (конечные и периодические) дроби: 1/23 ,
12.45 ,
-1.3(56) ,
1.2e-4 ; либо арифметические выражения:
2/3+3*(10-4),
(1+x)/y^2,
2^0.5
используйте ввод, пробел, клавиши-стрелки для перемещения по ячейкам
перетаскивайте матрицы из результата (drag-and-drop), или даже из текстового редактора
×
Пожалуйста напишите с чем связна такая низкая оценка:
×
Для установки калькулятора на iPhone – просто добавьте страницу
«На главный экран»
Для установки калькулятора на Android – просто добавьте страницу
«На главный экран»
Найти определитель (детерминант) матрицы онлайн
На данной странице калькулятор поможет найти определитель матрицы онлайн с подробным решением. При решении можно выбрать правило треугольника, правило Саррюса. Разложение определителя по строке или столбцу. Приведение определителя к треугольному виду. Для расчета задайте целые или десятичные числа.
Определитель матрицы
Размерность матрицы:
Павило:
A
Другой материал по теме
Калькулятор матриц – действия с матрицами онлайн
С помощью калькулятора матриц вы сможете выполнять различные преобразования матриц, решать СЛАУ, а также находить некоторые характеристики, как, например, определитель, след и ранг. Подробнее о функционале и использовании калькулятора смотрите после блока с самим калькулятором.
Матричный калькулятор
Матрица A
Матрица B
Показатель степени:
Число:
Метод поиска обратной матрицы
Метод Гауса-Жордана
Метод союзной матрицы
Метод решения СЛАУ AX=B
Метод Гауса
Матричный метод
Метод Крамера
Элементарное преобразование
и
Выводить числа в виде
с знаками после запятой
Транспонирование — операция, при которой строки и столбцы матрицы меняются местами: aTij = aji
Выполнено действий:
Также может быть интересно:
- Калькулятор таблицы истинности. СДНФ. СКНФ. Полином Жегалкина
- Калькулятор комплексных чисел
Как пользоваться калькулятором матриц
- Выберите матрицу (или матрицы) с помощью переключателей ()
- Укажите размер с помощью выпадающих списков под матрицей ( × )
- Заполните элементы (нулевые элементы можно не заполнять.)
- Выберите в выпадающем списке требуемую функцию и, если требуется, введите дополнительные параметры.
- Нажмите кнопку .
- Если вывод чисел не устраивает, просто поменяйте его — доступны три варианта представления: правильные дроби (2), неправильные дроби () и десятичные дроби (2.4) с указанием числа знаков после запятой.
Ввод данных и функционал
- В качестве элементов используются обыкновенные правильные дроби (
1/2,29/7,-1/125), десятичные дроби (12,-0.01,3.14), а также числа в экспоненциальной форме (2.5e3,1e-2). - Длина вводимых чисел ничем не ограничена, вводите хоть 1000 цифр, правда, возможно, придётся подождать, пока будут идти вычисления!
- Используйте для работы одну или две матрицы (чтобы выполнять операции с двумя матрицами, передвиньте переключатель второй матрицы).
- Вставляйте результат в A или B с помощью кнопок “Вставить в A” и “Вставить в B”.
- Перетаскивайте (drag-and-drop) матрицы из результата в A или B.
- Используйте стрелки (
←,↑,→,↓) для перемещения по элементам
Что умеет наш калькулятор матриц?
С одной матрицей (только Матрица A или Матрица B)
- Транспонировать;
- Вычислять определитель;
- Находить ранг и след;
- Возводить в степень;
- Умножать на число;
- Вычислять обратную матрицу;
- Приводить к треугольному и ступенчатому вид;
- Находить LU-разложение;
- Выполнять элементарные преобразования;
- Выполнять действия с выражениями, содержащими матрицы.
С двумя матрицами (Матрица A и Матрица B)
- Складывать;
- Вычитать;
- Умножать;
- Решать системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида AX=B;
- Выполнять действия с выражениями, содержащими матрицы.
Вычисление выражений с матрицами
Вы можете вычислять различные арифметические выражения с матрицами, а также с результатами некоторых преобразований этих матриц.
Из чего могут состоять выражения?
- Целые и дробные числа
- Матрицы A, B
- Знаки арифметических действий:
+-*/ - Круглые скобки для изменения приоритета операций:
() - Транспонирование:
^T - Возведение в целую степень:
^
Примеры корректных выражений
- Cложение двух матриц:
A+B,(A)+(B),((A) + B) - Возведение линейной комбинации матриц в степень:
(3A - 0.5B)^5 - Произведение транспонированной матрицы на исходную:
A^TA - Обратная матрица в квадрате для B:
B^-2
Что такое матрица?
Матрицей размера n×m называется прямоугольная таблица специального вида, состоящая из n строк и m столбцов, заполненная числами. Матрицы обозначаются заглавными латинскими буквами. При необходимости размер записывается следующим образом: An×m.
Примеры матриц
Элементы матрицы
Элементы A обозначаются aij, где i – номер строки, в которой находится элемент, j – номер столбца.
Некоторые теоретические сведения
Транспонирование — операция, при которой строки и столбцы матрицы меняются местами: aTij = aji
Главная диагональ квадратной матрицы — диагональ, которая проходит через верхний левый и нижний правый углы. Элементы главной диагонали — aii
Единичная матрица En×n — квадратная матрица из n столбцов и n строк с единицами на главной диагонали и нулями вне её.
Ранг — это максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы. Обозначение: rank(A)
След — это сумма элементов, находящихся на её главной диагонали. Обозначение: tr(A) или track(A)
Умножение матрицы на число — матрица такой же размерности, что и исходная, каждый элемент которой является произведением соответствующего элемента исходной матрицы на заданное число.
Возведение в степень — умножение заданной матрицы саму на себя n-ое количество раз, где n – степень, в которую необходимо возвести исходную матрицу. Обозначение: An
Обратная матрица A−1 — матрица, произведение которой на исходную матрицу A равно единичной матрице: A-1×A = A×A-1 = E
Треугольная матрица — квадратная матрица, у которой выше (верхнетреугольная матрица) или ниже (нижнетреугольная матрица) главной диагонали находятся нули.
LU-разложение — представление матрицы в виде произведения двух матриц L и U, где L — нижнетреугольная матрица с еденичной диагональю, а U — верхнетреугольная матрица. A = L·U
Сложение матриц An×m и Bn×m — матрица Cn×m, получаемая попарной суммой соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен: сij=aij+bij
Разность матриц An×m и Bn×m — матрица Cn×m, получаемая попарной разностью соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен: сij=aij-bij
Умножение матриц An×k и Bk×m — матрица Cn×m, у которой элемент (cij) равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы A на соответствующие элементы j-того столбца матрицы B: cij = ai1·b1j + ai2·b2j + ... + aik·bkj
