|
Площадь – это величина пространства, которое ограниченное замкнутым контуром (периметром фигуры). Площадь прямоугольника находится по формуле: длину умножить на ширину фигуры (S = a*b) Плошадь квадрата можно найти по двум формулам:
Площадь треугольника можно найти через основание и высоту фигуры: основание треугольника умножить на высоту и разделить на два (умножить на одну/вторую) (S = a*h :2) (S = a*h *1/2) Площадь круга можно найти, зная радиус или диаметр фигуры:
система выбрала этот ответ лучшим
Hamster1337 2 года назад Площадь – это величина поверхности какой либо фигуры (квадрата, треугольника и т.д). Например, квадрат 2 на 2 (см) имеет площадь 4 см (по формуле a^2). Более подробно узнать о формулах вычисления площадей простейших фигур, вписанных и описанных в круг фигур и т. д. можно здесь.
Михаил 33 5 лет назад Нам постоянно приходится слышать о площади геометрических фигур, и можно полноценно сказать, что это одна из наиважнейших составляющих всей геометрии, как научной дисциплины. Немаловажным фактором является то, что необходимость определить величину площади чего-либо возникает в нашей жизни очень часто. Для примера возьмём обычный ремонт квартиры или дома. Сколько раз приходится вычислить площадь комнаты, потолка, стен, пола и т.д. И любые ошибки при данных вычислениях приводят лишь к одному, к нашим избыточным денежным затратам, так как закупка стройматериалов полностью зависит от площади, для которой предназначаются те или иные стройматериалы. Примеров того, что понятие площади необходимо знать всем, сотни, но речь не об этом. И так, что такое площадь? Площадью называется часть плоскости, заключённой внутри какой либо геометрической фигуры. Соответственно и нахождение её будет зависеть именно от того, в какой именно фигуре заключена данная часть плоскости. Как находится площадь отдельных геометрических фигур:
AlexSEO 3 года назад Площадь (ранее принятое название – квадратура), и это следует сразу же отметить, относится к фигуре (геометрической) плоской (возможно – искривленной), где есть два измерения (при вводе третьего измерения получается объем), например – длина/ширина. По сути – это не что иное, как размер той или иной фигуры или совокупность (сложение) всех точек, входящих в нее. Если фигуры стандартные (круг/квадрат/прямоугольник/трапеция/треугольник), то найти их площадь просто – есть соответствующие формулы, нужно лишь знать размеры, например, зная сторону такой фигуры, как квадрат, легко найти площадь, просто умножив ее (или возведя в квадрат) на саму себя. Другие формулы:
Если фигура сложная, то тут применяют интегралы (для теоретических вычислений) или же специальные приспособления, например, планиметр или палетку (для практических измерений).
Alex2837 более года назад Понятие площади фигуры изучается на уроках математики в средних классах. Очень часто ученики путают эту меру с периметром геометрической фигуры. Если не обращаться к научной литературе, то понятие площади простыми словами можно обозначить, как часть плоскости, которая ограничивается сторонами фигуры. Например, площадь треугольника ограничивается его тремя сторонами, площадь прямоугольника или квадрата ограничивается четырьмя сторонами. Для вычисления площади используются специальные формулы. Для каждой геометрической фигуры имеется своя отдельная формула. Например, для определения площади прямоугольника, достаточно просто умножить его длину на ширину.
Мудрый Датч 2 года назад Площадь является мерой того, сколько на плоской поверхности имеется пространства. В математике вычисляются разными путями площади фигур. Если мы возьмём, к примеру, прямоугольник, то его площадь следует определять как произведение его высоты и ширины, а площадь квадрата, где сторона обозначается буквой “а”, будет равняться =а*а (“а” в квадрате). Но и будет несправедиво не упомянуть площадь такой фигуры как треугольник, а равна площадь треугольника произведению половины его основания на высоту. Ниже привожу небольшую подсказку в определении площади фигур.
Domino-12 более месяца назад В математике площадью называют величину, характеризующую протяженность двумерной геометрической фигуры (прямоугольника, треугольника и т.д.) или области на плоскости. Площадь обозначается буквой S. Для каждой геометрической фигуры существуют формулы площади, выбор формулы зависит от того, что дано в условии задачи. Вот, например, несколько формул для нахождения площади треугольника:
Если известны все 3 стороны, то можно воспользоваться 2 формулой (она называется формулой Герона) – в ней a, b, c являются сторонами, а p – полупериметром (нужно сложить числовые значения всех сторон и разделить на 2). А если мы знаем, чему равна высота и основание треугольника, то площадь можно посчитать по 1 формуле – половина произведения основания на высоту. Отдельный случай – это нахождение площади произвольного многоугольника. Здесь тоже имеются формулы, но в некоторых случаях можно сделать и так: разбить многоугольник на несколько стандартных фигур и найти их площадь, площадь многоугольника будет равна сумме площадей этих фигур. То есть: S = S1 + S2 + S3 = … А в некоторых случаях проще достроить многоугольник до прямоугольника или квадрата, найти площадь полученной фигуры, а затем вычесть из неё площади лишних областей.
ЕкатеринаКрест 5 лет назад Площадь-часть плоскости, заключённая внутри замкнутой геометрической фигуры. Как всем известно,фигуры есть самые разнообразные,но самое элементарное-нахождение площади(S) прямоугольника,треугольника. Чтобы найти S прямоугольника,нужно умножить ее ширину на длину,то есть а*в. Квадрат-тот же самый прямоугольник,но с равными сторонами,следовательно S квадрата=а*а или “а” в квадрате. И,чтобы найти S треугольника нужно умножить половину его основания(а) на высоту(h)(S=12a*h)
Виталий Чер 5 лет назад Площадь это поверхность какого либо предмета, к примеру площадь прямоугольника находится по следующей формуле: a*b-где a,b -стороны (длина и ширина), квадрата a^2, круга ПR^2-где П-3,14 а R-радиус, конуса ПR(l+R)-где l-длина конуса и т.д.
СТЭЛС более года назад Площадь это характеристика плоскости, выраженная в числовом виде. Вторично выражает размеры этой фигуры. Площадь прямоугольника, находится путем умножения его ширины на его длину, выраженные в единых мерах. Знаете ответ? |
1. Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол
b – верхнее основание
a – нижнее основание
c – равные боковые стороны
α – угол при нижнем основании
Формула площади равнобедренной трапеции через стороны, (S):
Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол, (S):
2. Формула площади равнобокой трапеции через радиус вписанной окружности
R – радиус вписанной окружности
D – диаметр вписанной окружности
O – центр вписанной окружности
H – высота трапеции
α, β – углы трапеции
Формула площади равнобокой трапеции через радиус вписанной окружности, (S):
СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобокую трапецию:
3. Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними
d – диагональ трапеции
α, β – углы между диагоналями
Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними, (S):
4. Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании
m – средняя линия трапеции
c – боковая сторона
α, β – углы при основании
Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании, (S ):
5. Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту
b – верхнее основание
a – нижнее основание
h – высота трапеции
Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту, (S):
Тема 2.3. Определение площадей
1.
Методы определения площадей
1.1.
Аналитический метод определения площадей.
1.2.
Графический метод определения площадей.
1.3.
Способ палетки.
1.4.
Механический метод определения площадей.
ПЛОЩАДЬ
ЛЮБОЙ ФИГУРЫ ЛЮБЫМ СПОСОБОМ ВЫЧИСЛЯЕТСЯ НЕ МЕНЕЕ ДВУХ РАЗ
Определение
площадей в землеустроительном производстве имеет большое практическое значение.
Размеры площадей надо знать с большой точностью при составлении
землеустроительных проектов, при выделении участков в пользование, а так же для
учета и использования земель в различных отраслях с/х и промышленного
производства. В зависимости от способа получения данных, с помощью которых
вычисляются площади, существует несколько методов определения площадей.
1.1.
Аналитический метод определения площадей.
Аналитический
метод состоит в определении площади участка по результатам непосредственных
измерений линий и углов в натуре или по координатам вершин (граничных точек). Точность
величины площади участка при этом зависит только от ошибок измерения длин и
углов на местности и характеризуется относительной ошибкой 1/500 – 1/1000.
Однако в условиях большой контурности и вкрапливаний одних контуров в другие,
площади которых определяются менее точными способами, аналитический метод становится
нецелесообразен.
А)
Определение площади участка по результатам измерения в натуре.
Площади
небольших участков, имеющих форму элементарных геометрических фигур, вычисляют
математически по формулам геометрии.
 |
а S = a2
в
а
S = a*в
2 S = a*h; или S
= a*h/2
a
a
S = ((a+в)/2)*h
или S = m*h
в
Б)
Вычисление площади полигона по координатам его вершин.
Площадь
любой фигуры ограниченной прямыми линиями можно вычислить по двум формулам.
Удвоенная
площадь полигона равна сумме произведений абсциссы каждой точки на разность
ординат последующей и предыдущей точек.
Она
же (удвоенная площадь) равна сумме произведений каждой ординаты на разность абсцисс
предыдущей и последующей точек.
2S
= x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2)
2S
= y1(x3-x2)+y2(x1-x3)+y3(x2-x1)
2 (x2,
y2)
 |
1(x1,
y1)
3 (x3,
y3)
1.2.
Графический метод определения площадей.
Графический
метод заключается в том, что данные для вычисления площадей берутся с плана,
графически, и площади отдельных геометрических фигур вычисляются с помощью
геометрических формул.
Если
участок представляет собой многоугольник, то его делят на треугольники,
прямоугольники или трапеции. С помощью измерителя и масштабной линейки
определяют те величины, которые нужны для получения площадей отдельных фигур.
Сумма площадей элементарных геометрических фигур даст общую площадь участка.
Точность
определения площади графическим способом зависит от графической ошибки
измерения отрезка на плане. Отрезок на плане циркулем – измерителем
определяется с ошибкой +0,1мм, которая не зависит от длины линии. Из этого
следует, что относительная ошибка короткой линии больше, а длинной – меньше.
Правила
для определения площади графическим способом:
1. Площади
определяются дважды (либо участок разбивается на другие элементарные фигуры,
либо в треугольниках изменяются основания и высота).
2. План
берется в наиболее крупном масштабе.
3. Фигуры
должны быть как можно крупнее и не очень вытянуты, то есть основание и высота
должны быть примерно равны.
4. Если
в геометрических фигурах есть линии, величины которых известны из
непосредственных измерений, то их надо использовать для вычисления площадей.
5. Предельное
расхождение двукратных определений не должно превышать1:200 величины площади
участка.
При
работе по этому способу применяют специальные палетки для проведения высот.
Графически
вычисляют площади контуров имеющих вытянутую форму (дорога, канал, ручей и
т.д.), ширина которых не всегда выражается в масштабе плана, но она должна быть
известна или подписана на плане.
1.3.
Определение площади палеткой
Квадратная
палетка. Квадратная палетка представляет собой
прозрачный лист целлулоида, стекла или восковки, на котором нанесена сеть
квадратов со сторонами от 1 до 10 мм (рис. 180). Зная сторону квадрата, легко
подсчитать площадь его применительно к любому масштабу плана. Для определения
площади палетку накладывают на контур ABCD, имеющийся на плане. Вначале
подсчитывают число полных квадратов. На рис. 180 их оказалось 22, а затем
неполные квадраты объединяют и глазомерно заменяют некоторым числом полных.
Пусть таких квадратов девять. Общее число полных квадратов на площади ABCD
будет 31. Произведение площади одного квадрата на число их даст площадь
определяемого участка. Точность определения площади квадратной палеткой не
превышает 1:100.
Палетки
с параллельными линиями. Палетка с параллельными
линиями отличается от квадратной тем, что вместо квадратов на ней наносятся
параллельные линии. Она также делается из прозрачного целлулоида, на котором
нанесены параллельные линии с интервалом в 2 мм. Система таких линий с нужными
интервалами может быть нанесена на восковку. Это будет тоже палетка (рис. 181).
Для определения площади участка палетку накладывают на контур плана так, чтобы наиболее
удаленные друг от друга точки, например MN, приходились на середину расстояния
между какими-либо параллельными линиями. В результате этого площадь
определяемого контура будет разбита на трапеции, у которых сплошные линии а1
в1; а2 в2; а3 в3 и
т. д. будут средними линиями трапеций, а пунктирные (на палетке отсутствуют) —
основаниями трапеций.
Так
как высоты трапеций одинаковы и заранее известны, то для получения площади
контура надо измерить циркулем средние линии трапеций а1 в1;
а2 в2; а3 в3 т. д. Произведение
суммы средних линий на расстояние между нитями даст общую площадь контура.
Конечно, при этом надо учитывать масштаб плана.
Чтобы
не производить вычислений, ниже палетки наносят шкалу в виде простого линейного
масштаба. Ее строят с учетом следующих соображений. При масштабе плана 1:10 000
расстоянию между нитями на палетке в 2 мм соответствует 20 м на местности,
следовательно, каждому сантиметру длины полосы на плане будет в натуре
соответствовать площадь в 0,2 га. Если на прямой отложить несколько отрезков по
1 см, сделать соответствующие подписи и один отрезок разделить на мелкие
части (см. рис. 181), то достаточно к такой шкале приложить раствор
циркуля, соответствующий сумме средних линий трапеций. Прочитанный отсчет по
шкале даст площадь в гектарах.
Аналогично
этому может быть построена шкала и для другого масштаба. Так, для масштаба 1 :
25 000 целесообразно за основание шкалы взять отрезок в 0,8 см, что будет
соответствовать 1 га.
Для
квадратной палетки пример:
Палетка
2х2мм,
Масштаб
плана 1:1000 – в 1мм – 1м, значит:
1квадрат
= 2м * 2м = 4м2,
Если
занято контуром 60 квадратов, то 60 *4 м2 = 240 м2
1.4.
Механический метод.
Механический
способ заключается в измерении площадей плоских произвольных фигур на плане
(карте) с помощью специальных приборов — планиметров,
относящихся к семейству механико-математических интеграторов. Они бывают самых
разнообразных систем: от очень простых до очень сложных. Примером простейшего
планиметра может служить планиметр А. Амслера (1854г.). В это же время нашим
соотечественником Зарубиным П.А. был изобретен такой же по идее планиметр, но
более сложной конструкции. Подобные планиметры в настоящее время не применяют.
По
конструктивным
особенностям современные планиметры различают: полярные и роликовые (линейные).
К полярным относят планиметры, у которых одна точка (полюс) во
время обвода фигуры неподвижна, а к роликовым (линейным) — у
которых все точки прибора во время обвода фигуры подвижны.
По
способу фиксации результатов измерений на счетных устройствах различают механические
и электронные устройства и в связи с этим появились термины:
механические планиметры и электронные (цифровые) планиметры.
1.4.1.
Полярный планиметр.
Планиметрами
называются приборы, при помощи которых можно получать площади криволинейных и
прямолинейных фигур по плану или топографической карте механически. Наиболее
часто
пользуются
полярным, или круговым, планиметром, представляющим собой соединение двух
рычагов R и
R1
(рис. 71). Рычаг R1
называется полюсным. Он имеет на одном
конце достаточно тяжелую гирьку Г, имеющую форму цилиндра. В нижнем основании
цилиндра имеется острая иголочка (полюс), при помощи которой планиметр
закрепляется на бумаге плана (иголочка вонзается в бумагу, и вокруг нее
вращается вся система планиметра). На другом конце рычага есть отросток с
шариком, который вкладывается в соответствующее углубление в раме М со
счетным механизмом (рис. 72) и служит вертикальной осью вращения рычагов.
В
указанной раме с одной стороны в двух выступах имеются отверстия,
в которые вставляется одним концом о б водный рычаг R,
имеющий на другом конце обводный шпиль S.
Рычаг можно в раме передвигать и тем изменять его
длину. В выступах рамы с другой стороны расположен счетный механизм, состоящий
из счетного ролика (колеса) к, вращающегося в на горизонтальной оси,
параллельной обводному рычагу. Эта ось посредством бесконечного (червячного)
винта сопряжена с шестеренкой циферблата z, который разделен по окружности на
10 равных частей.
Цилиндрическая
поверхность счетного ролика разделена на 100 равных частей. На несколько
выступающем над цилиндрической поверхностью ободке счетного ролика нанесены
мелкие рубчики — рифельные штрихи, параллельные оси вращения ролика, а
следовательно, и обводному рычагу. Благодаря этому движение по бумаге обводного
рычага, опирающегося на обводный шпиль и ролик, передается вследствие силы
трения (как говорят — по принципу фрикционного сцепления) ролику. При движении
обводного рычага перпендикулярно к своей оси ролик будет только вращаться
(предполагается, что плоскость ободка ролика перпендикулярна к оси его
вращения), а при движении по направлению вдоль оси рычага ролик будет только
скользить; при движении по любому иному направлению ролик частично будет
скользить, частично вращаться. По длине дуги, на которую ролик повернется при
обводе шпилем по всему контуру, и определяют площадь контура. Длина дуги
выражается числом делений ролика. Таким образом, при работе планиметром дело
сводится к определению числа делений ролика, на которое оно повернется при
обводе контура шпилем. Для этого по ролику производятся отсчеты перед началом
движения и по его окончании. Разность этих отсчетов и выразит искомое число
делений. Отсчеты производятся: тысячи делений по индексу циферблата, сотни и
десятки — на цилиндрической поверхности ролика по нулевому штриху (индексу)
верньера и единицы — по верньеру.
Таким
образом планиметр имеет три основные части:
1.Полюсный
рычаг.
2.Обводной
рычаг.
3.Счетный
механизм, который состоит из:
a) Счетчик
оборотов счетного ролика.
b) Счетный
ролик с червяком.
c) Верньер.
1.4.2. Верньер (нониус).
Верньер,
называемый также иногда нониусом, представляет собой построение, позволяющее
более или менее точно отсчитывать доли делений, нанесенных на инструменте. На
ролике планиметра нанесены штрихи через интервалы, которые считаются за 10
делений планиметра. Чтобы увереннее отсчитывать десятые доли этих интервалов,
т. е число единичных делений, и устраивается верньер.
Верньер
строится на небольшой части поверхности такого же цилиндра, как и ролик, и плотно
прилегает к нему по линии .4-5 (рис. 73, деления изображены в увеличенном
виде), но так, чтобы при вращении ролика между ними не возникало трения. Для
построения верньера берется расстояние в 9 интервалов ролика и делится на 10
частей. Значит один интервал верньера составляет 0,9 интервала ролика, т. е.
меньше последнего на 0,1 его величины, что является одним делением планиметра.
Если нулевой штрих (индекс) верньера совместить с каким-либо штрихом ролика (т.
е. установить их так, чтобы они образовали одну прямую линяю), то первый штрих
верньера не дойдет до следующего штриха ролика на 1 деление, второй — на 2
деления и т. д. Если, наоборот, первый штрих верньера совпадает с каким-либо
штрихом ролика, то индекс верньера прошел за предыдущий штрих ролика на 1
деление: если совпадает второй штрих верньера с каким-либо штрихом ролика, то
индекс верньера прошел за предыдущий штрих ролика на 2 деления, и т. д.
Пусть
с каким-то (безразлично с каким) штрихом ролика совпал четвертый штрих
верьньера (рис. 74). Это значит, что индекс верньера прошел за предыдущий штрих
ролика на 4 деления. Цифры 4 и 5, написанные против штрихов ролика, означают
сотни его делений. Следовательно, отсчет по ролику на рисунке будет
400+10+4=414 делений. Если при этом еще было отсчитано по циферблату 3, то
общий отсчет составит 3414 делений.
Точностью
верньера называется величина (t),
которая выражает собой ту наименьшую долю делений
инструмента, которую можно отсчитать при помощи данного верньера. Для
определения точности данного верньера практически нужно сосчитать число
делений на верньере и разделить на него цену деления инструмента.
При
отсчете по верньеру следует номер совпадающего штриха его умножать на
точность. В действительности, однако, штрихи верньера подписываются
числами, выражающими произведения номеров штрихов на точность, так что
отсчеты читаются непосредственно.
Отсчет
по планиметру состоит из четырех цифр:
1. 1-я
цифра записывается со счетчика оборотов, (как меньшая по стрелке).
2. 2-я
цифра записывается со счетного ролика, (подписанная на нем ниже нуля верньера).
3. 3-я
цифра записывается со счетного ролика по количеству неподписанных делений ниже
нуля верньера.
4. 4-я
цифра представляет собой десятую часть неподписанного деления ниже нуля
верньера, берется по номеру совпадающего на верньере штриха.
1.4.3.
Цена деления планиметра, ее определение и изменение.
Обвод
контуров планиметром можно выполнять двумя способами, устанавливая полюс
планиметра вне контура или (для слишком больших контуров) внутри него.
На практике обычно применяют первый способ, предпочитая его даже и при
больших контурах, для чего последние расчленяют карандашными линиями на мелкие
части и площадь контура находят как сумму площадей таких частей.
Обозначим
отсчет по верньеру в начале обвода буквой а и в конце обвода буквой в.
Если обвод производится по ходу часовой стрелки, то последний отсчет будет
больше первого и, следовательно, число всех делений, на которое повертывается
ролик, составит в—а
Разность
отсчетов по верньеру выражает площадь контура в делениях планиметра;
Площадь,
соответствующая одному делению планиметра называется ценой деления планиметра
Цена
деления планиметра определяется в следующей последовательности:
1. Вычисляют
теоретически площадь правильной геометрической фигуры (квадрата, прямоугольника
или круга). Можно воспользоваться сеткой координат.
М 1:2 000
В
1см – 20м
Сторона
квадрата 10см с учетом масштаба 200м
Площадь
квадрата Sкв=а2 =2002=40 000м2=4га
Площадь
фигуры =4га*3кв=12га
2. Устанавливают
планиметр на план (на лист). Выбирают место полюсу так. Чтобы при обводке
фигуры угол между рычагами был в пределах 30-150о, а при установке
иглы над начальной точкой – 90о. При обводке фигуры счетному
механизму не должно быть помех.
3. Ставят
иглу на начальную точку и записывают отсчет а равный показаниям на
счетчике.
4. Обводят
фигуру по часовой стрелке не отклоняясь от ее границ и возвращаются в начальную
точку.
5. Записывают
конечный отсчет, который увеличится (в-а) (если
обводить контур по часовой стрелке) или уменьшиться (а-в) (если
обводить контур против часовой стрелки).
6. Изменив
отсчет, обводят контур еще раз и вычисляют разность отсчетов (в1-а1).
Можно не менять отсчет, а принять за начальный отсчет второй обводки конечный
отсчет первой обводки.
7. Расхождение
между результатами первой и второй обводки зависит от величины обводимой
площади, но не должно превышать 5 делений планиметра.
8. Вычисляют
цену деления планиметра:
Спл = S фигуры/
(в – а)среднее = цена деления планиметра
1.4.4.
Поверки планиметра.
Теория
полярного планиметра основана на том, что при движении обводного рычага в
направлении, перпендикулярном к плоскости ободка ролика, последний только
скользит по бумаге, не вращаясь и, следовательно, не изменяя отсчета на
верньере, а при движении обводного рычага в направлении, совпадающем или
параллельном с плоскостью ободка, он только вращается. Все это выполняется при
условии, если,
во-первых,
на движение ролика не влияют никакие другие причины, кроме трения его ободка о
бумагу плана,
во-вторых,
если плоскость ободка перпендикулярна к оси его вращения, а последняя
параллельна оси обводного рычага.
Таким
образом, к планиметру должны предъявляться следующие требования.
1.Счетное
колесо должно вращаться свободно, без трения, не иметь колебаний по оси и
близко прилегать к верньеру, но без соприкосновения с ним.
2.Плоскость
ободка ролика должна быть перпендикулярна к его оси, а последняя параллельна
оси обводного рычага.
При
вращении колеса происходит трение в концах его оси о подшипники. Поэтому, прежде
всего, следует добиться, чтобы ось не была сильно зажата в подшипниках. Это
достигается удалением подшипников от концов оси при помощи вывинчивания
регулирующих винтиков (причем не следует забывать, предварительно откреплять
зажимные винты последних). Однако чрезмерное удаление подшипников может
привести к тому, что концы оси будут колебаться в них — появятся так называемые
боковые колебания оси ролика, чего не должно быть (ось ролика во время работы
должна занимать одно определенное положение, параллельное оси обводного
рычага). Соответствующей осторожной регулировкой следует добиться, чтобы ролик
вращался совершенно свободно, но без боковых колебаний. Эта регулировка
производится на глаз и на ощупь. Удерживая рычаг в воздухе, сообщают ролику
легким ударом пальца вращательное движение. При правильной установке это
движение должно быть быстрым и довольно продолжительным.
Кроме
трения в подшипниках, возможно еще трение ролика о верньер, если плоскости не
будут соприкасаться. С другой стороны, для уверенных и более точных отсчетов по
верньеру необходимо, чтобы плоскости эти были расположены, возможно, ближе одна
от другой (чтобы совпадающие штрихи колеса и верньера казались одной
неразрывной линией). Таким образом, здесь выявляется необходимость выполнения
двух противоречащих друг другу условий. Это достигается также действием
регулирующих винтиков, причем одному из них сообщается положительное, а
другому отрицательное вращение.
Что
касается перпендикулярности плоскости ободка ролика к его оси вращения, то это
достаточно точно выполняется на заводах, где изготовляются планиметры. На
роликах планиметров, выпускаемых нашими заводами, уклонение конца радиуса
ободка от перпендикулярного к оси положения не превышает 0,01 мм. Это при
длине радиуса 10 мм дает угол 3′,4, что па обводе контура отражается незаметно.
Поверка
параллельности оси вращения колеса с осью рычага может быть произведена методом
обвода одного и того же контура при двух различных положениях рычагов
планиметра (или, как иногда выражаются, счетного механизма) относительно
линии, соединяющей полюс и конец обводного шпиля, один раз — вправо от нее
(если, например, смотреть от полюса шпиль), другой раз — влево.
Этот
метод будем называться полным приемом; обвод же при одном только положении
рычагов будет называться п о л у п р и е м о м. При обведении контура полным
приемом, с одинаковой установкой полюса относительно контура в полуприем а х,
ошибка будет иметь в полуприемах разные знаки с одинаковой абсолютной
величиной, что и скажется на результатах обвода. Если расхождение между
площадями, выраженными в делениях планиметра, в полуприемах не превышает 2—3
делений, то условие считается выполненным. В противном случае условие не
выполнено, но среднее арифметическое из обоих полуприемов даст правильную
величину площади контура: при работе полным приемом ошибки компенсируются, что
и послужило причиной названия таких планиметров компенсационными.
Если
полюс планиметра установить так, чтобы при обводе одной половины контура углы
между рычагами все время были тупые, а в другой половине — острые, то ошибка
от не параллельности оси колеса с осью рычага более или менее компенсируется и
при работе одним полуприемом.
В
планиметрах для урегулирования параллельности оси колеса с осью обводного рычага
имеется приспособление в виде исправительного винта, упирающегося концом в
одну из плоскостей обводного рычага, к противоположной плоскости которого
прилегает пружина. Регулирование обычно производится многократным повторением
поверки (методом последовательных приближений).
Заметим,
что при обводах для проверки параллельности оси колеса с осью обводного рычага
лучше использовать контрольную линеечку, которая прилагается к планиметру и
представляет собой металлическую линейку с иглой-полюсом вблизи одного конца и
с индексом на другом конце. На линейке на определенных расстояниях от иглы
расположены углубления для обводного шпиля. Воткнув иглу в бумагу и поместив в
одно из углублений шпиль, обводят полную окружность (с радиусом, равным
расстоянию от иглы до углубления), для чего в начале обвода отмечают против
индекса точку, на которой и заканчивают обвод. При таком обводе на колесе не
отражаются сотрясения руки и площадь обведенного круга в делениях получается
точнее.
1.4.5.
Правила работы планиметром.
Наиболее
благоприятные условия для обвода площади планиметром будут в случае, когда
бумага наклеена на ровную фанеру или на мензульную доску, которые располагаются
на горизонтальной поверхности стола.
Обводный
шпиль следует поместить для начала обвода в конце примерной линии симметрии А
В данного контура (рис. 75), а полюс — на перпендикуляре, восстановленном
из середины М этой линии и притом так, чтобы рычаги образовали между
собой прямой угол. Тогда при прохождении шпиля в верхней половине фигуры угол
между рычагами все время будет тупой, а при прохождении в нижней половине— все
время острый, благодаря чему ошибки будут более или менее компенсироваться.
Перед
окончательной установкой полюса следует сделать примерный быстрый обвод всего
контура, чтобы убедиться, что при обводе не образуется слишком острых и тупых
углов между рычагами планиметра и что ролик все время вращается свободно и не
сходит
с бумаги. Сам обвод должен производиться равномерно, не быстро, но и не слишком
медленно, причем глаз должен быть расположен по направлению движения шпиля
(впереди или сзади него), что необходимо для удержания острия шпиля на контуре.
В планиметрах МШ13 шпиль обводного рычага заменен стеклом, на нижней
сферической поверхности которого отмечена точка, которой и ведут по контуру,
глядя сверху. Совмещение такой точки с контуром выполняется легче и точнее.
Рукоятку
шпиля следует держать свободно, без напряжения, чтобы рычаг давил на бумагу
только своей тяжестью, потому что иначе под действием прилагаемой силы
возможно ослабление давления колеса на бумагу и даже его поднятие, т. е.
проскоки в его вращении, приводящие к грубым ошибкам в числе делений.
Для
контроля обвода и уточнения результата каждый контур должен обводиться не менее
двух раз. При этом второй обвод лучше производить в направлении,
противоположном первому, чтобы по возможности компенсировать ошибки, зависящие
от напряжений планиметра, которые при таком методе будут иметь различные знаки.
Полезно также между обводами несколько перемещать полюс планиметра на новое
место, чтобы дать возможность ролику катиться по другому пути и тем избавиться
от накопления одинаковых ошибок, зависящих от шероховатости бумаги, а также,
чтобы избежать влияния изношенности гнезда полюса.
После
двух обводов вычисляют разности отсчетов, которые не должны превышать:
При
допустимой разности берут среднее арифметическое из обоих отсчетов. В
противном случае обводы повторяют.
Если
нуль циферблата при обводе пройдет мимо индекса (указателя), то последующий
отсчет получится меньше предыдущего. В этом случае для образования разности
нужно к последующему отсчету прибавить 10 000.
Отсчеты,
разности и вычисленные площади следует аккуратно записывать в особую
ведомость, форма которой может иметь вид, приведенный в таблице 13.
Площадь
контура вычисляют по формуле:
Sконтура= Спл (в-а)ср
1.4.6.
Постоянное число планиметра.
Если
контур, площадь которого подлежит определению, большой, то полюс планиметра
можно устанавливать внутри контура. В этом случае к разности отсчетов fl прибавляется
постоянное число q,
так что формула планиметра принимает вид
Для
определения постоянного числа одну и ту же фигуру со значительной площадью
тщательно обводят планиметром как с полюсом вне фигуры, так и с полюсом внутри
нее.
Обозначим
разность отсчетов при полюсе вне фигуры через f, и при полюсе внутри нее через
f1,. Тогда
Число
q определяется
многократными обводами при разных положениях планиметра.
1.4.7.
Точность измерения площадей полярными планиметрами.
Точность
определения площадей полярными планиметрами зависит от многих причин: от
величины площади, конфигурации участка, длины обводного рычага (или величины
зависящей от него цены деления), от методов работы, качества бумаги плана и т.
д.
При
двойных обводах съемочных контуров величиной в среднем 50 см2 и
средней вытянутостью примерно 1:4, планиметром с абсолютной ценой деления
около 0,1 см2, средняя относительная ошибка получается примерно 1/400.
Большие контуры обводятся точнее, меньшие — менее точно.
Особенно
низкая точность получается при обводе малых контуров, величиной менее 10 см2.
Это происходит главным образом потому, что ошибка отсчета по верньеру, не
зависящая от величины контуров, на малых контурах отражается значительно
сильнее. Для повышения точности определения площадей малых контуров их следует
обводить методом повторений, т. е. обводить каждый контур несколько раз, причем
отсчет брать только в начале первого и в конце последнего обводов, благодаря
чему обводка отсчета уменьшается в число раз, равное количеству обводов.
Полезно также при этом устанавливать и меньшую цену деленной, т. е. увеличивать
обводный рычаг примерно в два раза. При двух обводах с двумя повторениями в каждом
обводе и при укороченном в два раза рычаге (т. е. с ценой деления около 0,05
см2) относительная ошибка малых контуров получается не грубее 1/100.
1.4.8.
Применение современной вычислительной техники для определения площадей.
Определение
площадей землепользований, земельных участков и сельскохозяйственных угодий
является одним из трудоемких видов работ в комплексе топографо-геодезических
изысканий для землеустройства и кадастра недвижимости.
Последние
десятилетия прошлого века ознаменовались тем, что в мировой и отечественной
практике наметились частичная и полная автоматизация определения площадей.
Частичная
автоматизация — применение различных видов электронных приборов: цифровых
планиметров, дигитайзеров, позволяющих автоматизировать процесс измерений и
вычислений. В этом случае обвод контуров осуществляется оператором, но нет
необходимости производить отсчеты до и после обвода, т. к. значение площади
сразу после обвода выводится на жидко-кристаллическом дисплее счетного
механизма.
Электронные
планиметры имеются двух видов: полярные компенсационные (рис. 4.17) и линейные
(роликовые) (рис. 4.18).
Существуют
различные модификации электронных планиметров, например, полярные планиметры
моделей: КР-82Ы, РЬАМХ-5.6 (Япония) и др.
Планиметры
позволяют выполнять измерения в делениях планиметра; устанавливать единицы
измерений; накапливать результаты измерений нескольких контуров. Площадь,
измеренная повторно (не более 9 раз), может быть осреднена для получения более
точного результата. При обводе вкрапленных контуров против хода часовой стрелки
их площадь автоматически вычитается из площади основного контура.
Следует
отметить, что линейные планиметры типа Х-РLAN
360 d
(рис. 4.19) позволяют быстро измерять площади участков, длины линий и контуров
по планам (картам). Длины прямых линий определяются путем фиксации двух точек —
начала и конца прямой, криволинейные контуры определяются путем их
отслеживания. Имеется встроенный калькулятор, позволяющий производить различные
операции над результатами измерений. При наличии программного обеспечения можно
дополнительно определять координаты точек на плане. Режимы измерений: точечный
— измерение только поворотных точек контура при прямолинейных границах между
ними; непрерывный — измерение криволинейных контуров путем их отслеживания.
При
обводе контура обводным индексом (курсором) прибора по ходу часовой стрелки
координаты могут регистрироваться только при нажатии клавиши на поворотных
точках или по всей границе через выбранный интервал времени, например через 1
с, либо через шаг расстояния, например через 1 мм.
В
алгоритме планиметра типа Х-РLAN
360d
может быть предусмотрено уравнивание площадей с учетом деформации бумаги,
обобщения контура в пределах шага регистрации координат, погрешностей
вторичного измерения координат на линии смежных участков (контуров).
Продолжительность
непрерывной работы разных моделей от 15 до 30 часов, а продолжительность
перезарядки аккумуляторной батареи — от 8 до 15 часов.
Точность
работы электронных планиметров в % при различных значениях площади на плане
приведена в табл. 4.1.
Таблица
4.1
Полная
автоматизация — автоматическое отслеживание контура, процесса измерения и
вычисления площадей, которые реализуется в различных ГИС-технологиях. В этом
случае предполагается, что оператор работает с электронным планом (картой). При
этом точность определения площади участков по плану будет зависеть оттого,
какой точностью обладала исходная геодезическая информация в базе данных. Если
она получена в результате полевых работ, то точность определения площади будет
соответствовать точности измерений на местности (аналитическому способу). Когда
база данных формировалась путем сканирования (дигитализации) планово-картографического
материала, то точность площади будет соответствовать графическому способу.
Содержание:
- Интеграл по поверхности
- Общие свойства
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:
Вычисление площади поверхности Пусть задана поверхность г, однозначно проектирующаяся на область D плоскости . Это означает, что данная поверхность задается уравнением Будем считать поверхность гладкой; это означает, что в области D функция /(ж, у) непрерывна и имеет непрерывные частные производные ).
Разобьем область D на квадрируемые подобласти без общих внутренних точек, площади которых обозначим соответственно через Пусть d — наибольший издиаметров частичных областей . В каждой подобласти Dk выберем произвольную точку На поверхности тг точке Р* будет соответствовать точка .
Проведем в точке Мк касательную плоскость к поверхности эт. Ее уравнение имеет следующий вид интеграл по поверхности 1-го рода Интеграл по площади поверхности Построим на границе частичной области dk, как на направляющей, цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oz. Эта цилиндрическая поверхность вырежет из касательной плоскости, проведенной через точку Мк, область я* площади Лак.
Площадка П* проектируется на элементарную область Dk плоскости хОу взаимнооднозначно. Рассмотрим сумму Определение. Если при d 0 сумма (2) имеет конечный предел S, то число 5 называется площмдью поверхности Таким образом, мы заменяем данную поверхность «чешуйчатой», затем подсчитываем плошадь этой «чешуйчатой» поверхности и переходим к пределу при стремлении диаметра «чешуек» к нулю (диаметры чешуекстремятся к нулю при.
Перейдем теперь к выводу формулы, по которой вычисляют плошадь поверхности. Известно, что площадь проекции плоской фигуры на какую-нибудь плоскость равна произведению площааи проектируемой фигуры на косинус острого угла между плоскостью проекции и плоскостью, в которой лежит проектируемая фигура. Обозначим через 7* угол между касательной плоскостью к поверхности тг в точке Мк и плоскостью хОу (рис. 20). Тогда Но угол 7д есть вто же время угол между осью Oz и нормалью касательной плоскости к поверхности (1).
Обозначим ис 2° вектор нормали к касательной плоскости к поверхности в точке Мк через а через пг = — единичный вектор оси Oz.
Интеграл по поверхности
Тогда получим Таким образом, интеграл по поверхности 1-го рода Интеграл по площади поверхности По условию функции непрерывны в области D. Следовательно, функция непрерывна, а, значит, и интегрируема в области D. Поэтому при сумма (5) имеет конечный предел, Учитывая равенство (3), определяющее площадь S поверхности заключаем, что (6) где D„ — проекция поверхности х на плоскость . Выражение называется элементом площади поверхности.
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Если спроектировать участок поверхности х на плоскость хОу, то получим гд eDxz — проекция участка поверхности на плоскость хОу. Соответственно, при проектировании на плоскость yOz имеем где Dyt — проекция участка поверхности на плоскость yOz. Пример 1. Найти площадь сферы радиуса R с центром в начале координат. Уравнение верхней полусферы Поэтому Следовательно, Область интегрирования Искомая площадь Отметим следующие полезные формулы:
1) для элемента площади цилиндрической поверхности радиуса J2 2) для элемента площади сферической поверхности радиуса J2 Используя формулу (11) для элемента площади сферической поверхности получим площадь сферы: Интеграл по площади поверхности (интеграл по поверхности 1-го рода)
Пусть на гладкой поверхности к задана непрерывная функция f(M). Разобьем поверхность хна части с площадями соответственно, выделим на каждой из частичных поверхностей по произвольной точке Mi, Mi,… , Мп и составим сумму которую будем называть интегральной суммой для функции f(M) по площади поверхности -к. Определение.
Если при стремлении к нулю
наибольшего издиаметров частичных поверхностей тгк интегральная сумма (12) имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения поверхности я на части, ни от выбора точек Л/*, то этот предел называется интегралом от функции f(M) по площади поверхности -к (интегралом по поверхности 1-го рода) и обозначается символом где da — элемент площади поверхности.
Общие свойства
Общие свойства двойных интегралов легко переносятся на интегралы по площади поверхности. В частности, если поверхность -к разбита на неперекрывающиеся части интеграл по поверхности 1-го рода Интеграл по площади поверхности Теорема 5. Пусть -к — гладкая поверхность, заданная уравнением , причем функция имеет непрерывные частные производные в некоторой области D), D С D.
Пусть, далее, f(x, у, z) — непрерывная функция, определенная на поверхности тг. Тогда справедливо равенство Интеграл где на ж, можно истолковать как массу т оболочки, представляющей собой поверхность ir, на которой масса распределена с поверхностной плотностью Пример 2. Найти массу параболической оболочки плотность которой меняется по закону ц = г (рис. 21). Имеем
Лекции:
- Формула Пуассона
- Длина вектора по координатам
- Формы комплексного числа
- Шар и его части
- Комбинаторные тождества
- Прямые и плоскости в пространстве
- Нахождение рациональных корней
- Свойства прямоугольного треугольника
- Частное решение дифференциального уравнения
- Интегрирование иррациональных функций
1.7.1. Элемент площади в комплексном
пространстве
В комплексной плоскости (Z),если
функция g(z) дифференцируема в
односвязной области D и ее
производная непрерывна в D, то
интеграл от g(z) по любой
замкнутой кривой g , лежащей в области D и охватывающей эту область равен
нулю:
Это утверждение является следствием
выполнения условий Коши-Римана
,
где 
В интеграле по замкнутому контуру 
в соответствии
с утверждениями параграфа сделаем переход к
двойному интегралу, считая мнимую единицу i
обычным постоянным
числом, так что последовательно будем иметь 
Где 
есть область в плоскости
комплексного переменного в границах замкнутого
контура 
.
Продолжая преобразования, под знаком двойного
интеграла получим следующее выражение.
где 
Если функция является аналитической в области
исследования, то оператор от этой функции равен
нулю, так как, действуя этим
оператором на функцию,
получаем разность равных производных в двух
направлениях.
Элемент площади 
определяет элементарную площадку с
вращением по углу j . Если угол j изменяется в пределах 0< 
<
2
,то
элементарная площадка будет представлять кольцо
шириной 
.Определим
выражение элементарной площадки в плоскости (z)
как проекции элементарной
пространственной площадки ds .
В пространстве (n ) элементарная
площадка представлена была ранее как
произведение
,
где 
и,
следовательно, имеем
последовательно проведем преобразования по
законам пространственной алгебры с целью
определить первую действительную часть как
проекцию на плоскость (z)
Так как в пространстве 
.
Первая комплексная часть полученного
выражения равна
Аргумент j в сферических
координатах согласно формуле параграфа имеет
коэффициент равный ?. Поэтому с точностью до
постоянного числа i имеем
постоянная мнимая единица i учитывается
как коэффициент перед двойным интегралом в
произведении j i.
поэтому 
откуда следует
Двойной интеграл в пространстве (
,
определенный по формуле
переходит
в двойной интеграл от функции 
,при
стремлении второго
пространственного аргумента к нулю
[Следующий
параграф]
Мини
оглавление:
[0], [1.1.1, 1.1.2, 1.1.3,
1.1.4, 1.1.5, 1.1.6,
1.1.7, 1.1.8, 1.2,
1.2.1, 1.2.2, 1.2.2.a,
1.2.2.b, 1.2.2.c, 1.2.2.d, 1.2.2.e, 1.2.2.f, 1.2.2.g, 1.2.2.h, 1.2.3, 1.3.1,
1.3.2, 1.3.3, 1.3.4,
1.3.5, 1.3.6, 1.4.1,
1.4.2, 1.5, 1.6, 1.7.1, 1.7.2,
1.7.3.1, 1.7.3.2, 1.7.3.3,
1.7.4.1, 1.7.4.2, 1.8.1], [2.1, 2.2],[3.1, 3.2, 3.3,
3.4.1, 3.4.2, 3.4.3,
3.4.4, 3.4.5],[4.1, 4.2, 4.3, 4.4],[5.1, 5.1.Рис.52, 5.2, 5.3,
5.4, 5.4.Т1, 5.4.Т2,
5.4.Т3, 5.5.1, 5.5.2,
5.5.3, 5.5.4],[6.1.1,
6.1.2, 6.2.1, 6.2.2,
6.2.3, 6.2.4, 6.2.5,
6.3, 6.4.1, 6.4.2,
6.5.1, 6.5.2],[7.1,
7.2, 7.3, 7.4,
7.5, 7.6, 7.7.1,
7.7.2, 7.8.1, 7.8.2,
7.8.3, 7.9],[8.1,
8.2.1, 8.2.2, 8.3,
8.4, 8.5, 8.6,
8.6.T1, 8.7, 8.8.1,
8.8.2, 8.8.3, 8.9.1,
8.9.2, 8.9.3, 8.10,
8.10.T2, 8.10.T3],[9.1,
9.2, 9.3, Рис.88,
89, 90, 91,
92, 93, 94,
95, 96, 97,
98, 99, 100],[10.1,
10.2, 10.3, 10.4,
10.5, 10.6, 10.7,
10.8, 10.9, 10.10,
10.11, 10.12, 10.13,
10.14, 10.15.1, 10.15.2,
10.16.1, 10.16.2, 10.17,
10.18],[11]
Размещенный материал является
электронной версией книги: ©
В.И.Елисеев, “Введение в методы теории функций
пространственного комплексного переменного”,
изданной Центром научно-технического
творчества молодежи Алгоритм. – М.:,
НИАТ. – 1990. Шифр Д7-90/83308. в каталоге
Государственной публичной научно-технической
библиотеки.
Сайт действует с 10 августа 1998.
E-mail: mathsru@gmail.com
