Цилиндрическая поверхность — поверхность, получаемая при движении прямой (образующей L) параллельно самой себе, вдоль плоской кривой направляющей.
Основания цилиндра – плоские фигуры, образованные пересечением цилиндрической поверхности с двумя плоскостями.
Круговой цилиндр
В большинстве случаев под цилиндром подразумевается прямой круговой цилиндр, у которого направляющая — окружность, а основания перпендикулярны образующей. У такого цилиндра имеется ось симметрии.
Прямой круговой цилиндр можно описать, как объёмного фигуру, образующуюся вращением прямоугольника вокруг своей стороны на 360°.
Определение. Радиус цилиндра r – это радиус основания цилиндра.
Определение. Диаметр цилиндра d – это диаметр основания цилиндра.
Определение. Высота цилиндра h – это расстояние между основаниями цилиндра.
Определение. Ось цилиндра – это прямая O1O2, которая проходит через центры оснований цилиндра.
Определение. Поверхность цилиндра состоит из цилиндрической поверхности и оснований цилиндра.
Определение. Осевое сечение цилиндра – это сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра.
Определение. Касательная плоскость к цилиндру – это плоскость, которая проходит через образующую цилиндра и перпендикулярно к осевому сечении цилиндра.
Формула. Объём цилиндра:
где r – радиус основы, h – высота цилиндра, d – диаметр основы.
Формула. Площадь ,боковой поверхности цилиндра:
Sb = 2πrh = πdh
Формула. Полная площадь поверхности цилиндра:
S = 2πr(h + r)
Наклонный цилиндр – цилиндр, у которого образующие не перпендикулярно основам цилиндра (Рис.3 – наклонный круговой цилиндр).
Цилиндр — это тело вращения, которое получается при вращении прямоугольника вокруг его стороны.
Прямоугольник
AOO1A1
вращается вокруг стороны
OO1
.
OO1
— ось симметрии цилиндра и высота цилиндра.
AA1
— образующая цилиндра, длина которой равна длине высоты цилиндра.
(AO) — радиус цилиндра.
Полученная цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра, а круги — основаниями цилиндра.
Осевое сечение цилиндра — это сечение цилиндра плоскостью, которая проходит через ось цилиндра. Это сечение является прямоугольником.
При сечении цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра (т. е. перпендикулярной основанию), также получается прямоугольник.
На рисунке изображён цилиндр, пересечённый плоскостью, которая параллельна оси цилиндра
OO1
.
— прямоугольник.
(OA = OB = R) — радиусы.
(OC) — расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения.
Дуга (AB) равна центральному углу (AOB).
При сечении цилиндра плоскостью, параллельной основанию, в сечении получаем круг, равный основаниям цилиндра.
Если представить, что боковая цилиндрическая поверхность разрезана по образующей
AA1
и развёрнута, получаем прямоугольник.
Сторона
AA1
равна высоте (H), а другую сторону образует развёрнутая окружность основания длиной
2πR
.
Так как развёртка — прямоугольник, то боковая поверхность определяется по формуле:
Основания цилиндра — два круга с общей площадью
2⋅πR2
.
Полная поверхность цилиндра определяется по формуле:
.
Напомним,
что цилиндр – это тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг
прямой, проходящей через одну из его сторон.
Назовём
элементы цилиндра.
Основания
цилиндра – два равных круга радиуса .
Отрезок,
соединяющий окружности оснований и перпендикулярный основаниям, называется образующей
цилиндра и обозначается .
Все образующие цилиндра параллельны и равны.
Осью
цилиндра
называется прямая, проходящая через центры оснований. Она параллельна образующим.
Высота
цилиндра –
перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания на другое, или другими
словами, это расстояние между плоскостями оснований цилиндра. Образующая
цилиндра равна его высоте.
Радиусом
цилиндра называется радиус его основания.
Цилиндр
называется равносторонним, если его высота равна диаметру основания.
Осевым
сечением цилиндра называется сечение цилиндра плоскостью,
проходящей через его ось. Осевое сечение цилиндра – прямоугольник, две
стороны которого есть образующие цилиндра, а две другие – диаметры его
оснований.
Сечение,
параллельное оси цилиндра, является прямоугольником.
Сечение,
перпендикулярное оси цилиндра, является кругом, равным основаниям цилиндра.
Боковая
поверхность цилиндра может быть развёрнута в
прямоугольник со сторонами, одна из которых равна длине окружности основания,
другая – высоте цилиндра.
Площадь
боковой поверхности цилиндра можно вычислить по следующим
формулам:
,
,
,
где
–
длина окружности основания, –
высота цилиндра, –
радиус основания, –
образующая.
Площадь
полной поверхности цилиндра равна сумме площади боковой
поверхности цилиндра и двух площадей его оснований.
Тогда
площадь полной поверхности цилиндра можно вычислить по формуле:
,
где
–
радиус оснований цилиндра, –
его высота.
Объём цилиндра
равен произведению площади основания на высоту.
Тогда
его можно вычислить по формуле:
,
где
–
радиус оснований цилиндра, –
его высота.
Основные
моменты мы с вами повторили, а теперь давайте перейдём к практической части
занятия.
Задача
первая. Радиус основания цилиндра равен см,
высота цилиндра равна диаметру его основания. Найдите площадь боковой
поверхности цилиндра.
Решение.
Задача
вторая. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной
его оси и проходящей на расстоянии см
от неё, если площадь полной поверхности цилиндра равна см2,
а площадь боковой поверхности см2.
Решение.
Задача
третья. Призма со сторонами основания см
и см
и диагональю см
вписана в цилиндр. Найдите объём и площадь полной поверхности цилиндра.
Решение.
Задача
четвёртая. Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от
окружности основания дугу .
Диагональ полученного сечения равна и
удалена от оси цилиндра на расстояние .
Найдите объём цилиндра.
Решение.
Задача
пятая. В цилиндрический сосуд налили см3
воды. Уровень жидкости оказался равным см.
В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся
на см.
Найдите, чему равен объём детали. Ответ выразите в см3.
Решение.
