Как найти элементы множества пример

Содержание:

Множества

Понятие множества является одним из исходных понятий математики в том смысле, что его нельзя определить с помощью более простых, чем оно само, понятий. В повседневной жизни часто приходится рассматривать набор некоторых объектов как единое целое. Скажем, когда биолог изучает флору и фауну некоторой местности, он делит организмы на виды, а виды на семейства. При этом каждый вид рассматривается как единое целое, состоящее из организмов.

Множество может состоять из объектов различной природы. Например, вес реки Азии или все слова в словаре могут рассматриваться как множества.

Знаменитый немецкий математик Г. Кантор (1845 -1918) дал следующую описательную формулировку: «Множество есть совокупность, мыслимая как единое целое».

Объекты, составляющие множество, называются его элементами.

Обычно, для удобства, множество обозначается заглавными буквами латинского алфавита, например, А, В, С,…, а его элементы – прописными.

Множество А, состоящее из элементов а, b, с, … , будем записывать в виде A = {а, b, с,…}. Отметим, что записи {6, 11} , {11, 6} , {11, 6, 6, 11} означают одно и то же множество.

При ведем примеры множеств. Например, множество {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – множество цифр десятичной системы счисления ,

То, что х является элементом множества А, будем обозначать как а то, что он не является его элементом, будем обозначать как Эти записи в первом случае читаются как «элементах принадлежит А», а во втором случае как «элемент х не принадлежит А».

Например, для множества имеем однако

Если число элементов, составляющих множество, конечно, то такое множество будем называть конечным, в противном случае бесконечным. Например, множество конечно, а множество всех натуральных чисел бесконечно.

В качестве еще одного примера бесконечного множества можно привести множество всех натуральных чисел, не меньших 13.

Обозначим через число всех элементов конечного множества А. Если, например,

в силу того, что число всех его элементов равно 6. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается так: 0

Пустое множество 0 считается конечным и для него я(0)= 0.

Для бесконечного множества А принято, что

Если вес элементы множества А также принадлежат множеству В, то говорят, что множество А – подмножество множества В и обозначают так: . В этом случае также говорят, что «множество А лежит во множестве В» или «множество А – часть В».

Во множестве {а} лежат два подмножества:

Множество {а, b} имеет четыре подмножества:

так как все элементы первого множества также являются элементами второго.

Если множество А имеет элементы, не принадлежащие В, то множество А не может быть подмножеством В. Этот факт мы будем записывать так:

Например, пусть А={ 1, 2, 3, 4}, В={2, 3, 4, 5}. Так как Очевидно, что справедливы соотношения:

Если то эти множества состоят из одних и тех же элементов. Такие множества называются равными (совпадающими), и этот факт мы будем записывать так: А = В.

Например, множество всех правильных треугольников совпадает со множеством всевозможных треугольников, у которых все углы равны. Причина этого заключается в том, что у любого правильного треугольника

все углы равны, и, наоборот, если у треугольника все углы равны, то он является правильным.

Напомним основные числовые множества:— множество натуральных чисел; — множество целых чисел; – множество рациональных чисел;

Множество действительных чисел

Объединение и пересечение множеств

1) Множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А, В, называется объединением множеств.

Объединение множеств А, В обозначается через

Например, если

2) Множество, состоящее из элементов, принадлежащих обоим множествам А, В, называется пересечением множеств. Пересечение множеств А. В обозначается через

Например, если

Множества, не имеющие общих элементов, называются не пересекающимися.

Пример:

Для множеств

a) определите, какие из утверждений верны, а какие неверны:

b) найдите множества:

c) определите, какие из утверждений верны, а какие неверны:

Решение:

а) Так как число 4 не является элементом множества М, то утверждение неверно. Так как число 6 не является элементом множества, утверждение истинно.

b). так как только числа 3 и 9 – элементы обоих множеств. Для того, чтобы найти множествовыпишем элементы, принадлежащие либо М либо N: = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10};

c) Утверждение ложно, ибо существуют элементы множества М, не принадлежащие N. Утверждение истинно, ибо в множестве У есть элементы из {9, 6, 3}. 

В некоторых случаях для задания множества указывается характеристическое свойство, истинное для всех элементов множества и ложное для остальных. Если мы кратко запишем тот факт, что элемент х удовлетворяет свойству Р как Р(х), то множество всех элементов, удовлетворяющих свойству Р обозначается так:

Например, запись читается следующим образом: “множество всех целых чисел, больших или равных -2, по меньших или равных 4”.

На числовом луче это множество изображается так:

Видно, что и оно, конечно, при этом

Аналогично запись читается так: “множество всех действительных чисел, больших или равных -2, но меньших 4”.

На числовом луче это множество изображается так:

Видно, что, и оно бесконечно, при этом

Пример:

a) Как читается эта запись?

b) Выпишите последовательно элементы этого множества.

c) Найдите

Решение:

a) “Множество всех целых чисел, больших 3 и меньших или равных 10”;

b).

c).

Рассмотрим множество всех натуральных чисел, больших или равных 1, но меньших или равных 8. Пусть нас интересуют только его подмножества.

В таком случае, обычно вводится множество называемое универсальным множеством.

Множество А содержащее все элементы универсального множества U, не являющиеся элементами множества А, называется дополнением множества А.

Например, если – универсальное множество, то дополнение множества имеет вид

Очевидно, что

т.е. множества А и А’ не имеют общих элементов, а также вес составляющие их элементы образуют в совокупности универсальное множество U.

Пример:

Пусть U универсальное множество. Найдите С’, если:

а) С = {все четные числа); b).

Решение:

Пример:

Пусть

Выпишите все элементы множеств:

Решение:

Пример:

Пусть {числа, кратные 4 и меньшие 50} и Q = {числа, кратные 6 и меньшие 50}. a) выпишите элементы множеств Р, Q;

b) найдите с) Найдите

d) проверьте выполнение равенства

Решение:

Значит, равенство является верным. 

Диаграммы Венна

Например, на этом рисунке изображено множество А, лежащее внутри универсального множества Закрашенная область вне круга означает дополнение А ’ множества А:

Если и , то они изображаются на диаграмме Венна следующим образом:

Мы знаем, что если то любой элемент множества В принадлежит множеству А. Значит, на соответствующей диаграмме Венна круг, обозначающий множество В, лежит в круге, обозначающем множество А:

Все элементы пересечения лежат как в А, так и в В. Значит, на соответствующей диаграмме Венна закрашенная область изображает множество

Все элементы объединения A U В принадлежат либо А, либо В, либо обоим одновременно. Значит, на соответствующей диаграмме Венна область, соответствующая множеству A U В, изображается следующим образом:

Пример:

Пусть Изобразите на диаграмме

Венна множества:

Решение:

Удобно на диаграмме Венна множества раскрашивать.

Например, на рисунке раскрашены множества А,

Высказывание

Высказывание – это повествовательное предложение, утверждающее что-либо о чем-либо, при этом непременно истинное или ложное. Вопросительные предложения, повествовательные предложения, описывающие личное отношение субъекта, например «Зеленый цвет приятен», не являются высказываниями. Отметим, что существуют высказывания, истинность или ложность которых не определяются однозначно.

Например, высказывание “Этот писатель родился в Ташкенте” может быть истинным по отношению к некоторым писателям и ложным по отношению к другим.

Пример:

Укажите, какие из предложений являются высказываниями. В случае, когда предложение является высказыванием, однозначно ли определяется его истинность – ложность?

а) 20:4=80; b) 25-8=200;

с) Где мой карандаш? d) У тебя глаза голубые.

Решение:

a) Это высказывание и оно ложно, так как 20:4=5;

b) это высказывание и оно истинно;

c) это вопросительное предложение и поэтому оно не является высказыванием;

d) это высказывание. Истинность-ложность его определяется неоднозначно, так как применительно к некоторым людям оно истинно, а к другим – ложно.

Мы будем обозначать высказывания буквами p,q,r … .

Например, р: во вторник прошел дождь; q: 20:4=5; r: х – четное число. Для построения нескольких сложных высказываний служат символы, называемые логическими связками: (конъюнкция, “и”, “но”), (дизъюнкция, “или”), (отрицание,” не ….”,”неверно, что ….”).

Рассмотрим их подробней.

Отрицание

Для высказывания р высказывание вида “не р” или “неверно, что р” называется отрицанием высказывания р и обозначается как

Например,

отрицанием высказывания

р: Во вторник шел дождь

является высказывание

: Во вторник дождя не было;

Отрицанием высказывания

р: У Мадины глаза голубые

является высказывание

: У Мадины глаза не голубые.

Ясно, что если р истинно, то ложно, и наоборот, если р ложно, то истинно. Этот факт иллюстрируется так называемой таблицей истинности. Такая таблица позволяет, исходя из высказывания р, заключить об истинности или ложности нового высказывания

1 Буквы Т и F – начальные буквы английских слов “true” (истинно) и “false” (ложно) соответственно.

Пример:

Составьте отрицание высказывания:

Решение:

Удобно находить отрицание высказывания с помощью диаграмм Венна. Например, рассмотрим высказывание:

р: “Число х больше, чем 10 “.

На диаграмме U – множество всех чисел, множество Р – множество истинности высказывания р, то есть множество всех х , для которых это высказывание истинно. Множество Р’ является множеством истинности отрицания : “Число х меньше или равно 10”.

Пример:

На множестве рассмотрим высказывание р: х- простое число. Найдите множества истинности высказываний

Решение:

Пусть множество Р – множество истинности высказывания р, а множество Р’ – множество высказывания . Тогда эти множества изображаются на диаграмме Венна следующим образом:

Конъюнкция

Высказывание, образованное из двух высказываний с помощью связки “и”, называется конъюнкцией заданных высказываний.

Конъюнкция высказываний р, q обозначается через

Например, конъюнкция высказываний,

р: Эльдар на завтрак ел плов;

q: Эльдар на завтрак ел самсу.

имеет вид:

Эльдар на завтрак ел плов и самсу.

Видно, что высказывание верно, если Эльдар на завтрак ел и плов и самсу, то есть высказывание истинно при истинности обоих высказываний. Если хотя бы одно из высказываний р, q ложно, то высказывание является ложным. Конъюнкция высказываний р, q имеет следующую таблицу истинности:

истинно, когда оба высказывания р, q истинны. ложно, когда хотя бы одно из высказываний р, q ложно.

Первый и второй столбцы таблицы составлены из всех возможных значений истинности высказываний р, q.

На диаграмме Р – множество истинности высказывания р, Q – множество истинности высказывания q , а множество истинности высказывания является множеством на котором истинны оба высказывания:

Дизъюнкция

Высказывание, образованное из двух высказываний с помощью связки “или”, называется дизъюнкцией заданных высказываний.

Дизъюнкция высказываний р, q обозначается через

Например, дизъюнкция высказываний,

р: Эльдар сегодня посетит библиотеку,

q: Эльдар сегодня посетит театр .

имеет вид:

Эльдар сегодня посетит библиотеку или театр.

Высказывание истинно, когда сегодня Эльдар посетит либо библиотеку, либо театр, либо и то и другое.

Высказывание будет ложным, лишь когда оба высказывания р, q будут ложными одновременно.

Дизъюнкция имеет следующую таблицу истинности:

pVq истинно, когда хотя бы одно из высказываний р, q истинно.

pVq ложно, когда оба высказывания p, q ложны.

На диаграмме Р – множество истинности высказывания р, Q – множество истинности высказывания q, а множество истинности высказывания pVq является множество , на котором истинно хотя бы одно высказывание:

Логическая равносильность

Составим, используя буквы и символы логических связок таких, как отрицание, конъюнкция и дизъюнкция, символическую запись более сложных высказываний естественного языка, при этом не обращая внимания на их истинность или ложность.

Объединяя таблицы истинности для отрицания, конъюнкции и дизъюнкции, можно составить таблицы истинности для более сложных высказываний:

Пример 1. Составьте таблицу истинности высказывания

1 шаг.

Выпишем таблицу и заполним сначала первый и второй столбец всеми возможными значениями истинности р и q:

2 шаг. Учитывая значения истинности q, заполним третий столбец значениями истинности

3 шаг Учитывая значения истинности p и заполним четвертый столбец значениями истинности

Высказывание, являющееся истинным всегда, называется законом логики или тавтологией.

То, что высказывание является законом логики, можно доказать при помощи таблицы истинности.

Пример:

Докажите, что высказываниеявляется тавтологией.

Заполним таблицу истинности:

Решение:

Видно, что высказывание принимает только истинные значения (см. третий столбец). Поэтому данное высказывание является тавтологией. 

Если для двух высказываний соответствующие их значениям истинности столбцы одинаковы, то эти высказывания называются логически равносильными.

Пример:

Докажите, что следующие высказывания являются логически равносильными

Решение:

Составим таблицы истинности для высказываний

Так как у высказываний соответствующие значениям истинности столбцы одинаковы, то эти высказывания являются логически равносильными.

Мы будем обозначать этот факт так:

Импликация

Высказывание, образуемое из двух высказываний с помощью связки “если …., то …” называется импликацией этих двух высказываний.

Импликация “Если р, то q” обозначается как и имеет также следующие интерпретации “Из р следует (вытекает) q”, “Высказывание р достаточно для q “, “Высказывание q необходимо для р”.

При этом высказывание р называется достаточным условием для q, а высказывание q – необходимым условием для р.

высказывание q – необходимым условием для р.

Рассмотрим , например, высказывания

р: У Сардора есть телевизор; q: Сардор будет смотреть кино.

Тогда высказывание означает:

Если у Сардора есть телевизор, то он будет смотреть кино.

Точно также

Для того, чтобы Сардор смотрел кино достаточно, чтобы у него был телевизор.

Можно заметить, что высказывание ложно, лишь когда высказывание р истинно, а высказывание q ложно, а в остальных случаях – истинно. Поэтому имеем следующую таблицу истинности:

Из высказываний и логических связок, не обращая на значения истинности, можно составить более сложные высказывания.

Пример:

Рассмотрим высказывания

р: “Анора часто смотрит кинофильмы”;

q: “Барно часто смотрит кинофильмы

r: “Барно не сдаст экзамен”;

s: “произойдет чудо”.

 Имеем: 1. “Анора часто смотрит кинофильмы, а Барно – нет”.

2. “Если Анора часто смотрит кинофильмы, то Барно нет”.

3. “Если Барно часто смотрит кинофильмы, то она или не сдаст экзамен или произойдет чудо”.

4. “Если Барно часто смотрит кинофильмы и при этом не произойдет чуда, то Барно не сдаст экзамен”.

5. “Либо Барно часто смотрит кинофильмы и произойдет чудо, либо Барно не сдаст экзамен”.

Эквиваленция

Высказывание вида называется эквиваленцией высказываний и обозначается так:

Запись читается как “высказывание р необходимо и достаточно для q” или как “высказывание р истинно лишь при выполнении q”.

Пример:

р: х – четно, q: последняя цифра числа х четна. Выразите высказывание

Решение:

Рассмотрим высказывание,: Если х- четно, то его последняя цифра четна;

Если последняя цифра числа х четна, то х – четно.

Тогда запись читается , как “Для того чтобы число х было четно, необходимо и достаточно, чтобы последняя его цифра была четной”. ^ Теперь для заданных высказываний р и q составим таблицу истинности высказывания :

Видно, что высказывание будет истинным, лишь когда высказывания р и q принимают одинаковые значения истинности (то есть когда они оба одновременно истинны или одновременно ложны ).

Конверсия

Конверсией высказывания называется высказывание

Конверсия имеет следующую таблицу истинности:

Пример:

Рассмотрим высказывания

р: треугольник равнобедренный,

q: два угла треугольника равны.

Выразите на естественном языке высказывание и его конверсию.

Решение:

Если треугольник равнобедренный, то у него два угла равны.

Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный .

Инверсия

Инверсией высказывания называется высказывание Инверсия имеет следующую таблицу истинности:

Эта таблица совпадает с таблицей истинности высказывания . Поэтому конверсия и инверсия логически равносильны.

Контрапозиция

Контрапозицией высказывания называется высказывание Контрапозиция имеет следующую таблицу истинности:

Эта таблица совпадает с таблицей истинности высказывания Поэтому импликация и контрапозиция логически равносильны.

Пример:

Рассмотрим высказывание. Все учителя живут поблизости от школы”. Составим его контрапозицию.

Решение:

Данное высказывание можно сформулировать так: “Если этот человек – учитель, что он живет поблизости от школы”.

Это предложение имеет форму , где

р: этот человек – учитель,

q: этот человек живет поблизости от школы.

Контрапозиция имеет вид:

“Если этот человек не живет поблизости от школы, то он не является учителем.

Пример:

Рассмотрим высказывания:

р: Самандар находится в библиотеке, q: Самандар читает книгу.

Составьте имликацию, конверсию, инверсию и контрапозицию

Решение:

Отметим, что импликация и конверсия логически не равносильны, так как , например , Самандар может читать книгу и в классе.

Предикаты и кванторы

В некоторых предложениях участвуют переменные, при этом подставив вместо них конкретные значения, получим высказывания. Такие предложения называются предикатами.

Пример:

Пусть задан предикат Определите истинность или ложность высказываний

Решение:

В некоторых предикатах переменную можно определить исходя из контекста.

Например, в предложениях “Этот писатель родился в Ташкенте” и “Он родился в Ташкенте” переменными являются словосочетание”. “Этот писатель” и местоимение “он” соответственно. Если вместо переменной подставить значение “Абдулла Кадыри”, получим истинное высказывание “Абдулла Кадыри родился в Ташкенте”. Если вместо переменной подставить значение “Шекспир”, получим ложное высказывание “Шекспир родился в Ташкенте”.

Обозначив переменную через х, вышеуказанные предложения можно записать в виде “х родился в Ташкенте”.

В предикате могут участвовать одно или несколько переменных. В зависимости от количества переменных, участвующих в предикате, будем обозначать его так:

Используя совместно с предикатом специальные символы (квантор всеобщности, “для всех … “) и (квантор существования, “существует такой, что ….”), можно образовать новые высказывания

Например, новое высказывание вида говорит о том, что для всех значений х верно Р(х), высказывание вида говорит о том, что значений х верно Р(х).

К примеру, рассмотрим предикат Р(х): “х родился в Самарканде”. Тогда высказывание читается как “все родились в Самарканде”, а высказывание – “некоторые родились в Самарканде”.

Приведем примеры, в которых можно определить истинность-ложность высказываний вида

Пример:

Пусть Докажите истинность высказывания:

Решение:

 Проверим:

Значит, высказывание, истинно.

Следует отметить, что для того, чтобы доказать ложность высказывания достаточно, привести пример хотя бы одного значения х такого, что высказывание, ложно.

Действительно, при

Любое значениех, которое показывает, что высказывание ложно, называется контрпримером.

Пример:

Докажите истинность высказывания

Решение:

Так как то высказывание, истинно.

Если же , то высказывание ложно, ибо

Приведем два важных закона логики, связанных с операцией отрицания:

Для понимания смысла этих законов приведем пример.

Если запись означает “Среди моих одноклассников

не существует отличников”, тогда запись означает логически равносильное ему утверждение “Все мои одноклассники не являются отличниками”.

Точно также, формула означает высказывание “Неверно, что все мои одноклассники – отличники “, а формулаозначает логически равносильное ему высказывание “Некоторые мои одноклассники не являются отличниками”.

Очевидно, что с помощью кванторов и предиката можно построить зависящие от одной переменной предикаты вида:

из которых, в свою очередь, можно построить всказывания вида:

В то время, когда смысл высказываний

а также смысл высказываний,одинаков, оказывается, что высказывания не являются равносильными.

Рассмотрим, например, предикат Р(х,у): человек у – отец моего одноклассника х.

В этом случае = означает высказывание “у каждого моего одноклассника есть отец”; а означает высказывание “существует такой человек, который является отцом всех моих одноклассников”.

Аналогично можно показать, что высказывания,не являются равносильными (приведите примеры самостоятельно).

С помощью кванторов и предикатов можно построить и другие законы логики. Например, высказывание «Если все вороны черные, то ни одна не черная птица не является вороной “, служит примером закона логики вида:

Законы правильного мышления (аргументации)

В процессе познания действительности мы приобретаем новые знания. Некоторые из них непосредственно, в результате воздействия предметов внешнего мира на органы чувств. Но большую часть знаний мы получаем пу тем выведения новых знаний из знаний уже имеющихся. Чтобы научиться стройно и последовательно излагать свои мысли, правильно делать выводы, необходимо пользоваться законами логики. Определенность, непротиворечивость, последовательность и обоснованность являются обязательными качествами правильного мышления. Законы логики устанавливают необходимые связи в последовательном ряду мыслей и умозаключений.

Суждение представляет собой форму мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах, их свойствах или отношениях. Например, в суждении «Железо-металл» утверждается связь между предметом (железо) и его признаком (являться металлом). В суждении «Яйцо появилось раньше курицы » утверждается связь между двумя предметами (яйцо и курица). Так как суждение выражается в форме повествовательного предложения, причем суждение может быть либо истинным, либо ложным, то каждое суждение имеет форму высказывания.

Умозаключение- это такая форма мышления, посредством которой из одного или нескольких суждений, называемых посылками, по определенным правилам получается некоторое суждение, называемое заключением или выводом.

Пусть S-совокупность исходных суждений (посылок), Р- заключение. В этом случае, умозаключение имеет логическую форму вида Совокупность высказываний S будем называть основанием, а высказывание Р- следствием. Основание и следствие будем связывать словом «следовательно» и отделять горизонтальной чертой: . Рассмотрим простой пример.

Если Собир занимается спортом, то будет здоров. Собир занимается спортом. Следовательно, Собир будет здоров.

Найдем логическую форму этого умозаключения.

Пусть р: Собир занимается спортом; q: Собир будет здоров. Тогда умозаключение имеет вид:

Так следствие вытекает из суждений и р, то умозаключение имеет следующую логическую форму

Составим соответствующую таблицу истинности:

Получили тавтологию. Это показывает правильность умозаключения, то есть мы из данного основания получили правильное следствие.

Пример:

Покажите неправильность умозаключения:

Если треугольник имеет три стороны, то 2+4-7.

Следовательно, треугольник имеет три стороны.

Решение:

Найдем логическую форму этого умозаключения.

р: треугольник имеет три стороны.

q: 2+4=7

Имеем:

Так как здесь следует q, то наше умозаключение имеет логическую форму

Составим соответствующую таблицу истинности:

В результате мы не получили тавтологию. Это показывает неверность умозаключения, то есть мы из данного основания не получили правильное следствие.

Ниже мы приведем некоторые правила правильных умозаключений:

Доказательство верности вышеуказанных умозаключений мы оставляем учащимся в качестве упражнения.

Софизмы и парадоксы

– представляют собой преднамеренные, сознательно совершаемые ошибки, рассчитанные на то, чтобы выдать ложь за истину, тем самым вводя человека в заблуждение.

Одним из первых соответствующие примеры привел математик Зенон, живший в 5 веке до нашей эры в Древней Греции. Например, Зенон «доказал», что быстроногий Ахиллес никогда не догонит неторопливую черепаху, если в начале движения она находится впереди Ахиллеса. Приведем его рассуждения. Допустим, Ахиллес бежит в 10 раз быстрее, чем черепаха, и находи тся позади нее на расстоянии в 100 шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползет 10 шагов.

За то время, за которое Ахиллес пробежит 10 шагов, черепаха проползет еще 1 шаг, и так далее. Процесс будет длиться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Примеры Зенона связаны с понятиями бесконечности и движения, которые имели большое значение в развитии физики и математики.

Некоторые софизмы обсуждали в переписке между собой наши великие соотечественники Беруни и Ибн Сино, а также они встречаются в произведениях Фараби.

Приведем простейшие примеры на софизмы и обсудим их.

Пример:

Куда пропали 1000 руб? Три друга отобедали в кафе, после чего официант дал им счет на 25000 руб. Каждый из трех друзей достал по купюре в 10000 руб, в итоге они отдали официанту 30000 руб. На сдачу официант отдал 5000 руб более мелкими купюрами. Друзья взяли по 1000 руб себе, а оставшиеся 2000 руб отдали другу на такси. Один из друзей стал рассуждать: “Каждый из нас потратил по 9000 руб, что в итоге составляет 27000 руб. Затем 2000 руб отдали на такси, значит, в итоге получается 29000 руб. Куда пропали 1000 руб?”

Решение:

 Основной «подвох» в этом рассуждении заключается в том, что 2 От древнегреческого уловка.

расчеты сделаны неверно. Действительно, трое друзей сложились по 9000 руб и получили 27000 руб. Из этих денег 25000 руб заплатили за обед, а 2000 руб заплатили за такси. Следовательно, общая трата составила 27000 руб. Тс 2000 руб находятся внутри 27000 руб.

Пример:

Упростим верное равенство: 20-16-4=25-20-5

2(10—8—2)=25—20—5

2-2-(5—4—1)=5-(5—4—1)

Сократим левую и правую часть последнего равенства на общий делитель (5-4-1). В итоге получим равенство 2-2=5.

Основной «подвох» в этом рассуждении заключается в том, что мы поделили обе части равенства 2-2-(5-4-1)=5-(5-4-1) на нуль.

– странное мнение, высказывание, расходящееся с общепринятыми мнениями, научными положениями, а также мнение, противоречащее здравому смыслу. Сам термин «парадокс» использовался в античной философии для обозначения всякого странного, оригинального мнения.

Парадоксы, обычно, возникают в теориях, логические основы которых не определены полно.

Пример:

Парадокс лжеца. Рассмотрим высказывание “То, что я утверждаю сейчас – ложь”.

Если это высказывание истинно, значит, исходя из его содержания, верно то, что данное высказывание -ложь. Но если оно -ложь, тогда неверно то, что оно утверждает, то есть утверждение о ложности данного высказывания неверно, значит, данное высказывание истинно. Таким образом, цепочка рассуждений возвращается в начало.

Пример:

Прилагательное русского языка назовем рефлексивным, если оно обладает свойством, которое определяет.

Например, прилагательное «русский» – рефлексивное, а прилагательное «английский» – нерефлексивное, прилагательное «трехсложный» – рефлексивное (это слово состоит из трех слогов), а прилагательное «четырехсложный» – нерефлсксивное (состоит из пяти слогов). Вроде бы ничто не мешает нам определить множество {все рефлексивные прилагательные}. Но давайте рассмотрим прилагательное «нерефлексивный». Оно рефлексивное или нет?

Можно заявить, что прилагательное «нерефлексивный» не является ни рефлексивным, ни нерефлексивным. Действительно, если это слово рефлексивное, то по своему смыслу, оно нерефлексивное. Если же это от древнегреческого – неожиданный, странный слово нерефлексивное, то, в силу того, что оно обладает свойством, которое определяет, оно является рефлексивным. Противоречие.

Пример:

Два взаимно пересекающихся множества А, В делят универсальное множество на четыре части:

Следовательно, число элементов универсального множества является суммой количеств элементов этих частей.

На следующей диаграмме мы заключили известные количества элементов частей универсального множества в круглые скобки:

Здесь, например, обоим множествам А, В принадлежат 4 элемента, а 3 элемента не принадлежат ни одному из них.

Так как произвольный элемент множества U, принадлежит только одному из этих 4 частей , то число элементов множества U равно 7+4+6+3=20.

Пример:

Используя рисунок, найдите число элементов следующих множеств:

d). Множество элементов, принадлежащих Р, но не принадлежащих Q

е) Множество элементов, принадлежащих Q, но не принадлежащих Р;

f) Множество элементов, не принадлежащих ни Р, ни Q.

Пример:

Если

a) Найдите

b) Сколько элементов содержит множество элементов, принадлежащих А, но не принадлежащих В‘?

Решение:

Составим диаграмму Венна:

Из того, что Следовательно, b=6, а=8, с= 11, d=5.

Из диаграммы получаем следующее:

b) Число элементов, принадлежащих А, но не принадлежащих В, равно а= 8

Пример:

Из 27 учеников, посещающих спортивную секцию, 19 имеют темные волосы, 14 – черные глаза, а 11 имеют и темные волосы и черные глаза одновременно.

a) Изобразите эту информацию с помощью диаграммы Венна. Объясните ситуацию.

b) Найдите число учеников, которые I имеют или темные волосы или черные глаза; II темноволосых, но не черноглазых?

Решение:

а) Пусть Qs – множество темноволосых, a Qk множество черноглазых учеников.

Изобразим ситуацию на диаграмме:

b) Используя диаграмму, определим следующее:

I количество учеников, имеющих или темные волосы или черные глаза:

II количество темноволосых учеников, не обладающих черными глазами:

Пример:

На футбольном соревновании город представляют три команды А, В и С. 20 процентов населения города болеют за команду И, 24 процента – за В, 28 процентов – за С. 4 процента жителей болеют и за С и за И, 5 процент, жителей болеют и за В и за А, а 6 процентов жителей болеют и за В и за С. Кроме того, 1 процент населения болеет за все три команды.

Сколько процентов жителей:

a) болеют только за команду А;

b) болеют и за А и за В, но не болеют за команду С;

c) не болеют ни за одну из команд?

Решение:

Заполним для начала соответствующую диаграмму Венна.

а= 1, так как 1 процент жителей болеет за все команды.

a+d=4, так как 4 процента жителей болеет и за И и за В.

а+b=6, так как 6 процентов жителей болеют и за В и за С а+с=5, так как 5 процентов жителей болеют

—-

Множества

Понятие множества принадлежит к числу первичных, не определяемых через более простые. Под множеством понимается совокупность некоторых объектов, объединенных по определенному признаку. Объекты, которые образуют множество, называются элементами, или точками, этого множества.

Множества обозначаются прописными буквами, а их элементы – строчными. Если  есть элемент множества А, то используется запись если b не является элементом множества А, то записывают

Например, – множество А состоит из элементов 1;3;6;8.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается Например, множество действительных корней уравнения есть пустое множество.

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Например, если т.е.
множества равны.

Объединением двух множеств А и В называется множество С, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств, т.е.

Пересечением двух множеств А и В называется множество D, состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих каждому из данных множеств А и В, т.е.

Разностью двух множеств А и В называется множество E, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В, т.е.

Пример 1. Даны множества   Найти объединение, пересечение и разность множеств А и В.

Решение. Объединение двух данных множеств – их пересечение – а разностью –  .

Множества, элементами которых являются действительные числа, называются числовыми.

Обозначения множеств:

– множество натуральных чисел.

 – множество целых чисел;
– множество рациональных чисел;

R – множество действительных чисел;

I – множество иррациональных чисел;

– множество комплексных чисел.

Геометрически, каждому действительному числу соответствует точка числовой оси, и наоборот, каждой точке прямой – определенное действительное число.

Множество X, элементы  которого удовлетворяют: неравенству называется отрезком неравенству называется интервалом неравенствам  называются полуинтервалом соответственно

В дальнейшем все указанные множества мы объединяем термином промежуток X.

——

Множества и операции над ними

Под множеством будем понимать совокупность объектов, наделенных определенными свойствами. Эти свойства должны полностью определять данное множество, то есть являться признаками, по которым относительно любого объекта можно решить, принадлежит он данному множеству или нет. Синонимами термина “множество” являются термины “класс “семейство “совокупность”. Объекты, из которых состоит данное множество, называют его элементами.

Чаще всего множество обозначают большими буквами латинского или греческого алфавита, а его элементы — малыми буквами. Если a — элемент множества A, то пишут a ∈ A (читают: “a принадлежит множеству A”) или A 3 a (множество A содержит элемент a). Запись a ∈/ A означает, что a не является элементом множества A.
Множество обычно записывают одним из следующих способов:

A = {a , . . . , } или A = {x ∈ X : P (x)}.

Первая запись означает, что множество A состоит из элементов a, . . . , , то есть перечислены элементы, составляющие A, их может быть конечное число или бесконечно много. Вторая запись означает, что A есть совокупность всех тех объектов из множества X, для которых выполняется свойство P . Формально введем пустое множество — множество, не содержащее в себе никаких элементов, которое обозначим символом .

Определение 1.1. Множества A и B называются равными (или совпадающими), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть x ∈ A тогда и только тогда, когда x ∈ B .

Коротко это высказывание записывают: A = B, а отрицание этого утверждения — в виде:  .

Определение 1.2. Если каждый элемент множества A является элементом множества B , то говорят, что A есть подмножество множества B (или A есть часть B ), и пишут A ⊂ B (читается: “Множество A содержится в множестве B”) или B ⊃ A (читается: “Множестоо B содержит множество A”).

Отметим следующие свойства отношения включения:
1.    A ⊂ A, то есть всякое множество есть подмножество себя самого;
2.    Если A ⊂ B и B ⊂ C, то A ⊂ C (отношение включения транзитивно);
3.    Если A ⊂ B и B ⊂ A, то A = B.

Удобно считать, что ⊂ A для любого множества A.

Пусть A и B — некоторые подмножества множества E. Введем наиболее простые операции с множествами.

Определение 1.3. Объединением множеств A и B называется множество, обозначаемое A ∪ B и состоящее из всех элементов, которые принадлежат или множеству A или B .

Таким образом, x ∈ A ∪ B , если x ∈ A, но x  B , или x ∈ B , но x A, или x ∈ A и x ∈ B. Очевидно, что A ∪ A = A, A ∪ = A.

Определение 1.4. Пересечением множеств A и B называют множество, обозначаемое A∩B и состоящее из всех элементов, каждый из которых принадлежит и A и B .

Если множества A и B не имеют общих точек, то A ∩ B =. Очевидно, что A∩A= A, A∩= .

Определение 1.5. Разностью множеств A и B называют множество, обозначаемое A B и состоящее из всех элементов множества A, которые не принадлежат множеству B .

Если A ⊂ B , то часто множество A B называют дополнением множества B до A. По определению A A = , A = A.

Пример 1.1. Пусть A = {1,3,4,8, 15} ,B = {1,2,7,8, 12}. Тогда

A∪B = {1,2,3,4,7,8,12,15}, A∩B = {1, 8},

AB = {3, 4, 15}, BA= {2, 7, 12}

Определение 1.6. Набор, состоящий из двух элементов x₁ и x₂, называют упорядоченным, если известно, какой из этих элементов является первым, а какой — вторым. Такой упорядоченный набор называют упорядоченной парой и обозначают (x₁, x₂). Элементы x₁ , x^₂ называют, соответственно, первой и второй координатами пары (x₁, x₂). Пары (x₁, x₂) и (y₁ , y₂) называют совпадающими, если x₁ = y₁ и x₂ = y₂ .

Определение 1.7. Декартовым (или, по-другому, прямым) произведением множеств A и B называют множество упорядоченных пар (x, y), где первый элемент x является элементом множества A, а второй y — элементом множества B . Это множество обозначают символом A × B .

Таким образом, A × B = { (x, y) | x ∈ A, y ∈ B}. Но, вообще говоря, A × B B × A. Известная всем плоскость с декартовой системой координат является декартовым произведением двух числовых прямых (осей).

Пусть A и B — числовые отрезки, помещенные на взаимно перпендикулярных осях плоскости. Упорядоченная пара (x, y) — это точка пересечения перпендикуляров, восстановленных в точках x ∈ A и y ∈ B . Произведением A × B является прямоугольник.

Логическая символика

В последующем, как и в большинстве математических текстов используется ряд специальных символов, многие из которых вводятся по мере надобности. Применяются распространенные символы математической логики , , ∃, ∀, которые читаются, соответственно, как “влечет” , “равносильно” , “существует” (“найдется”), “любой” (“каждый” , “для каждого” , “для любого” ).

Запись A B читают одним из следующих способов: A влечет B , B следует из A, B — необходимое условие A, A — достаточное условие (признак) B.

Запись A B читают одним из следующих способов: A равносильно B, A необходимо и достаточно для B , A верно тогда и только тогда, когда верно B . Квантор равносильности часто применяется в символьной записи определений и утверждений.

Запись “∃ x ∈ X ” означает: существует элемент x из множества X .
Запись “∀ x ∈ X ” означает: для любого элемента x из множества X или каков бы ни был элемент x из множества X .

Часто в символьной записи математических утверждений используют символ “:” или эквивалентный ему символ “| которые читают: “такой, что”. В частности, запись “∃ x ∈ X : x² – 1 = 0″ означает: существует такой элемент x в множестве X , что x² – 1 = 0.

• Заказать решение задач по высшей математике

Множества

Множества и операции над ними

Понятие множества и его элементов

Элемент принадлежит множеству

Элемент не принадлежит множеству

В множестве нет элементов

Множество можно представить как совокупность некоторых объектов, объединенных по определенному признаку. В математике множество — одно из основных неопределяемых понятий.

Каждый объект, принадлежащий множеству , называется элементом этого множества.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается

Подмножество

Если каждый элемент множества является элементом множества , то говорят, что множество является подмножеством множества , и записывают так: Используется также запись , если множество или является подмножеством множества , или равно множеству

Равенство множеств

Два множества называются равными, если каждый элемент первого множества является элементом второго множества и, наоборот, каждый элемент второго множества является элементом первого множества

Пересечение множеств

Пересечением множеств и называют их общую часть, то есть множество всех элементов, принадлежащих как множеству , так и множеству

Объединение множеств

Объединением множеств и называют множество , состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств ( или )

Разность множеств

Разностью множеств и называется множество , которое состоит из всех элементов, принадлежащих множеству и не принадлежащих множеству

Дополнение множеств

Если все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого универсального множества , то разность называется дополнением множества . Другими словами, дополнением множества называется множество, состоящее из всех элементов, не принадлежащих множеству (но принадлежащих универсальному множеству )

Объяснение и обоснование:

Понятие множества

Одним из основных понятий, которые используются в математике, является понятие множества. Для него не дается определения. Можно пояснить, что множеством называют произвольную совокупность объектов, а сами объекты — элементами данного множества. Так, можно говорить о множестве учеников в классе (элементы — ученики), множестве дней недели (элементы — дни недели), множестве натуральных делителей числа 6 (элементы — числа 1, 2, 3, 6) и т. д. В курсах алгебры и алгебры и начал анализа чаще всего рассматривают множества, элементами которых являются числа, и поэтому их называют числовыми множествами.

Как правило, множества обозначают прописными буквами латинского алфавита. Например, если множество состоит из чисел 1; 2; 3, то его обозначают так: = {1; 2; 3}. Тот факт, что число 2 входит в это множество (является элементом данного множества ), записывается с помощью специального значка е следующим образом: ; а то, что число 5 не входит в это множество (не является элементом данного множества), записывается так: .

Можно рассматривать также множество, не содержащее ни одного элемента, — пустое множество.

Например, множество простых делителей числа 1 — пустое множество.

Для некоторых множеств существуют специальные обозначения. Так, пустое множество обозначается символом , множество всех натуральных чисел — буквой , множество всех целых чисел — буквой , множество всех рациональных чисел — буквой , а множество всех действительных чисел — буквой . Множества бывают конечными и бесконечными в зависимости от того, какое количество элементов они содержат. Так, множества и — конечные, потому что содержат конечное число элементов, а множества — бесконечные.

Множества задают или с помощью перечисления их элементов (это можно сделать только для конечных множеств), или с помощью описания, когда задается правило — характеристическое свойство, которое позволяет определить, принадлежит или нет данный объект рассматриваемому множеству. Например, множество задано перечислением элементов, а множество четных целых чисел — характеристическим свойством элементов множества. Последнее множество иногда записывают так: или так: — здесь после вертикальной черточки записано характеристическое .

В общем виде запись множества с помощью характеристического свойства можно обозначить так: , где — характеристическое свойство. Например,

В этом случае и в записи решений тригонометрических уравнений и неравенств в разделе 3 запись означает, что принимает любое целое значение, что также можно записать как

Равенство множеств

Пусть — множество цифр трехзначного числа 312, то есть , а — множество натуральных чисел, меньших чем 4, то есть . Поскольку эти множества состоят из одних и тех же элементов, то они считаются равными. Это записывают так: . Для бесконечных множеств таким способом (сравнивая все элементы) установить их равенство невозможно. Поэтому в общем случае равенство множеств определяется следующим образом.

Два множества называются равными, если каждый элемент первого множества является элементом второго множества и, наоборот, каждый элемент второго множества является элементом первого множества.

Из приведенного определения равенства множеств следует, что в множестве одинаковые элементы не различаются. Действительно, например, , поскольку каждый элемент первого множества (1 или 2) является элементом второго множества и, наоборот, каждый элемент второго множества (1 или 2) является элементом первого. Поэтому, записывая множество, чаще всего каждый его элемент записывают только один раз.

Подмножество

Если каждый элемент множества является элементом множества , то говорят, что множество является подмножеством множества .

Это записывают следующим образом:

Например, (поскольку любое натуральное число — целое), (поскольку любое целое число — рациональное), (поскольку любое рациональное число — действительное).

Полагают, что всегда , то есть пустое множество является подмножеством любого непустого множества.

Иногда вместо записи используется также запись , если множество является подмножеством множества , или равно множеству . Например,

Сопоставим определение равенства множеств с определением подмножества. Если множества и равны, то: 1) каждый элемент множества является элементом множества , следовательно, — подмножество ; 2) каждый элемент множества является элементом множества , следовательно, — подмножество .

Таким образом, два множества равны, если каждое из них является подмножеством другого.

Иногда соотношения между множествами удобно иллюстрировать с помощью кругов (которые часто называют кругами Эйлера—Венна). Например, рисунок 1 иллюстрирует определение подмножества, а рисунок 2 — отношения между множествами .

Операции над множествами

Над множествами можно выполнять определенные действия: пересечение, объединение, находить разность. Дадим определение этих операций и проиллюстрируем их с помощью кругов Эйлера—Венна.

Пересечением множеств и называют их общую часть, то есть множество всех элементов, принадлежащих как множеству , так и множеству .

Пересечение множеств обозначают знаком (на рисунке 3 приведена иллюстрация определения пересечения множеств).

Например, если то .

Объединением множеств и называют множество , состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств ( или ).

Объединение множеств обозначают знаком (на рисунке 4 приведена иллюстрация определения объединения множеств).

Например, для множеств и из предыдущего примера Если обозначить множество иррациональных чисел через , то .

Разностью множеств и называется множество , состоящее из всех элементов, которые принадлежат множеству и не принадлежат множеству В.

Разность множеств обозначают знаком . На рисунке 5 приведена иллюстрация определения разности множеств.

Например, если

Если — подмножество , то разность называют дополнением множества В до множества (рис. 6).

Например, если обозначить множество всех иррациональных чисел через , то : множество всех иррациональных чисел дополняет множество всех рациональных чисел до множества всех действительных чисел.

Если все множества, которые мы рассматриваем, являются подмножествами некоторого так называемого универсального множества (на рисунке его обычно изображают в виде прямоугольника, а все остальные множества — в виде кругов внутри этого прямоугольника, то разность называют дополнением множества (рис. 7). То есть дополнением множества называется множество, состоящее из всех элементов, не принадлежащих множеству , но принадлежащих универсальному множеству .

Дополнение множества обозначается (можно читать: « с чертой» или «дополнение »).

Например, если и , то . Для этого примера удобно использовать традиционную иллюстрацию множества действительных чисел на числовой прямой (рис. 8).

Числовые множества. Множество действительных чисел

Числовые множества:

Действительные числа

Числа, которые можно представить в виде бесконечной десятичной дроби

Рациональные числа

Можно представить в виде несократимой дроби , где — целое, — натуральное число. Записываются в виде бесконечной периодической десятичной дроби

Иррациональные числа

Нельзя представить в виде несократимой дроби , где — целое, — натуральное число. Записываются в виде бесконечной непериодической десятичной дроби

Целые числа

Включают натуральные числа, числа, противоположные им, и число нуль

Дробные числа

Числа, состоящие из целого числа частей единицы

( – обыкновенная дробь, 1,23 — десятичная дробь: )

Натуральные числа (целые положительные)

Для школьного курса математики натуральное число – основное не определяемое понятие

Число 0

Такое число, при сложение с которым любое число не изменяется

Целые отрицательные числа

Числа, противоположные натуральным

Модуль действительного числа и его свойства

Определение:

Модулем положительного числа называется само это число, модулем отрицательного числа называется число, противоположное ему, модуль нуля равен нулю

Геометрический смысл модуля

На координатной прямой модуль — это расстояние от начала координат до точки, изображающей это число.

Модуль разности двух чисел и — это расстояние между точками и на координатной прямой

Свойства

1. Модуль любого числа — неотрицательное число

2. Модули противоположных чисел равны

3. , то есть Каждое число не больше своего модуля

4. При

5. При

6. Модуль произведения равен произведению модулей множителей

7. Модуль дроби равен модулю числителя, деленному на модуль знаменателя (если знаменатель не равен нулю)

8.

9.

Модуль суммы не превышает суммы модулей слагаемых

10.

Объяснение и обоснование:

Числовые множества

В курсе математики вы встречались с разными числами: натуральными, целыми, рациональными, иррациональными, действительными. Представление о числах у человечества складывалось постепенно, под воздействием требований практики. Например, натуральные числа появились в связи с необходимостью подсчета предметов. Но для того чтобы дать ответ на вопрос «Сколько спичек в пустой коробке из-под спичек?», множества натуральных чисел недостаточно — для этого необходимо иметь еще и число нуль. Присоединяя к множеству натуральных чисел число 0, получаем множество неотрицательных целых чисел. Его часто обозначают . Одних только неотрицательных целых чисел оказалось недостаточно для решения задач практики (а следовательно, и математических задач, отображающих заданную реальную ситуацию). Так, для того чтобы охарактеризовать температуру воздуха выше и ниже нуля или движение тела в противоположных направлениях, необходимы противоположные натуральным числа, то есть отрицательные числа. Для натурального числа противоположным считается число , а для числа противоположным считается число . Нуль считают противоположным самому себе.

Натуральные числа, числа, противоположные натуральным, и число нуль составляют множество целых чисел.

Измерение величин привело к необходимости расширения множества целых чисел и введения рациональных чисел. Например, средняя многолетняя температура воздуха в январе в г. Харькове — , длительность урока — 45 минут, или часа.

Таким образом, выбирая какую-либо единицу измерения, мы получаем числовое значение величин, которое может выражаться с помощью разных рациональных чисел — целых и дробных, положительных и отрицательных.

Целые и дробные числа составляют множество рациональных чисел.

Любое рациональное число можно записать в виде дроби , где

(то есть числитель является целым числом, а знаменатель — натуральным).

Рациональное число может быть записано разными дробями. Например,

Как видно из приведенных примеров, среди дробей, которые изображают данное рациональное число, всегда есть единственная несократимая дробь (для целых чисел — это дробь, знаменатель которой равен 1).

Обратим внимание, что рациональное число, записанное в виде дроби , где , можно также записать в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, разделив числитель на знаменатель. Например, .

Договоримся, что конечную десятичную дробь можно изображать в виде бесконечной, у которой после последнего десятичного знака, отличного от нуля, на месте следующих десятичных знаков записываются нули, например, .

Целые числа также договоримся записывать в виде бесконечной десятичной дроби, у которой справа от запятой на месте десятичных знаков стоят нули, например . Таким образом, любое рациональное число может быть записано как бесконечная периодическая дробь. Напомним, что у бесконечной периодической дроби, начиная с некоторого разряда, все десятичные знаки повторяются. Группу цифр, которая повторяется, называют периодом дроби; при записи дроби период записывают в скобках. Например, .

Таким образом, каждое рациональное число может быть записано в виде бесконечной периодической десятичной дроби и наоборот, каждая бесконечная периодическая дробь задает рациональное число.

Обратим внимание, что любая периодическая десятичная дробь с периодом девять равна бесконечной десятичной дроби с периодом нуль, у которой десятичный разряд, предшествующий периоду, увеличен на единицу по сравнению с разрядом первой дроби. Например, бесконечные периодические дроби и являются записью одного и того же рационального числа . Действительно, учитывая, что сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем вычисляется по формуле , имеем:

В дальнейшем, записывая рациональные числа с помощью бесконечных периодических десятичных дробей, договоримся исключить из рассмотрения бесконечные периодические дроби, период которых равен девяти.

Каждое рациональное число можно изобразить точкой на координатной прямой (то есть прямой, на которой выбраны начало отсчета, положительное направление и единица измерения). Например, на рисунке изображены несколько рациональных чисел .

Однако на координатной прямой есть точки, изображающие числа, которые не являются рациональными. Например, из курса алгебры известно, что число не является рациональным. Это так называемое иррациональное число. Если построить квадрат со стороной, равной 1, на координатной прямой (рис. 10), то его диагональ будет равна . Тогда, проведя дугу окружности радиуса с центром в точке , получим точку , координата которой равна . Кроме числа вы также встречались с иррациональными числами и т. д.

Рациональные и иррациональные числа составляют множество действительных чисел . На координатной прямой каждому действительному числу соответствует единственная точка и, наоборот, каждой точке координатной прямой соответствует единственное действительное число (в этом случае говорят, что между множеством действительных чисел и множеством точек координатной прямой устанавливается взаимно однозначное соответствие).

Каждое действительное число может быть записано в виде бесконечной десятичной дроби: рациональные числа — в виде бесконечной периодической десятичной дроби, а иррациональные — в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Напомним, что для сравнения действительных чисел и выполнения действий над ними (в случае, когда хотя бы одно из них не является рациональным) используются приближенные значения этих чисел. В частности, для сравнения двух действительных чисел последовательно рассматриваем их приближенные значения с недостатком с точностью до целых, десятых, сотых и т. д. до тех пор, пока не получим, что какое-то приближенное значение одного числа больше соответствующего приближенного значения второго. Тогда то число, у которого приближенное значение больше, и считается большим. Например, если

, то (поскольку ).

Для выполнения сложения или умножения рассмотренных чисел и последовательно записывают их приближенные значения с недостатком и с избытком (с точностью до целых, десятых, сотых и т. д.) и выполняют действия над полученными рациональными числами. В результате последовательно получаем значение суммы или произведения с необходимой точностью.

Как видим,

В курсе математического анализа доказывается, что в случае, когда приближенные значения чисел и последовательно берутся с точностью до целых, десятых, сотых и т. д., то значения суммы с недостатком и с избытком стремятся к одному и тому же числу, которое и принимается за значение суммы (аналогично определяется и произведение ).

Модуль действительного числа и его свойства

Напомним определение модуля.

Модулем положительного числа называется само это число, модулем отрицательного числа — число, противоположное ему, модуль нуля равен нулю.

Это определение можно коротко записать несколькими способами. а при а > 0,

, или или или

При необходимости мы будем пользоваться любой из этих записей определения модуля. Для нахождения по определению необходимо знать знак числа и использовать соответствующую формулу. Например,

На координатной прямой модуль числа — это расстояние от начала координат до точки, изображающей это число.

Действительно, если (рис. 11), то расстояние

Если , то расстояние

Модуль разности двух чисел и — это расстояние между точками и на координатной прямой.

Для доказательства можно воспользоваться тем, что при параллельном переносе вдоль оси координат на единиц абсцисса соответствующей точки изменяется на : к абсциссе данной точки прибавляется число , то есть при точка переносится вправо, а при — влево. Обозначим на координатной прямой числа соответственно точками . На рисунке 12 эти точки изображены для случая и , хотя приведенное далее обоснование не зависит от знаков и .

При параллельном переносе вдоль оси на единиц точка перейдет в точку , а точка (с координатой ) — в точку с координатой , то есть в точку . Тогда . Но расстояние — это расстояние от точки до начала координат, следовательно, , а значит, и .

Используя определение модуля и его геометрический смысл, можно обосновать свойства модуля, приведенные в таблице 2.

Например, учитывая, что — это расстояние от точки до точки , а расстояние может выражаться только неотрицательным числом, получаем

то есть модуль любого числа является неотрицательным числом.

Учитывая, что точки и находятся на одинаковом расстоянии от точки , получаем

это означает, что модули противоположных чисел равны.

Если то а если , то . Следовательно, всегда

то есть каждое число не превышает его модуль.

Если в последнее неравенство вместо подставить и учесть, что , то получаем неравенство . Отсюда , что вместе с неравенством свидетельствует о том, что для любого действительного числа а выполняется двойное неравенство

(1)

При неравенство означает, что число на координатной прямой находится от точки на расстоянии, которое не превышает (рис. 13), то есть в промежутке . Наоборот, если число находится в этом промежутке, то есть . Следовательно,

при (2)

Обратим внимание, что последнее утверждение справедливо и при (тогда двум неравенствам удовлетворяет только одно значение ).

Аналогично при неравенство означает, что число на координатной прямой находится от точки на расстоянии, которое больше или равно (рис. 13),

то есть в этом случае или . Наоборот, если число удовлетворяет одному из этих неравенств, то . Следовательно, при неравенство равносильно совокупности неравенств или , что можно записать так:

при

Свойства модуля произведения и модуля дроби фиксируют известные правила действий над числами с одинаковыми и разными знаками:

модуль произведения равен произведению модулей множителей, то есть

модуль дроби равен модулю числителя, деленному на модуль знаменателя (если знаменатель не равен нулю), то есть

Формулу для нахождения модуля произведения можно обобщить для случая нескольких множителей

(3)

Если в формуле (3) взять , получаем формулу

Используя последнюю формулу справа налево при и учитывая, что при всех значениях , получаем . Следовательно,

. Для обоснования неравенства

(4)

запишем неравенство (1) для чисел и :

Складывая почленно эти неравенства, получаем

Учитывая неравенство (2), имеем

(5)

то есть модуль суммы не превышает суммы модулей слагаемых. Если в неравенстве (4) заменить на и учесть, что , то получим неравенство

Если записать число так: и использовать неравенство (4), то получим неравенство . Отсюда

(6)

Если в неравенстве (6) заменить на и учесть, что , то получим неравенство

(7)

то есть модуль суммы двух чисел не меньше разности их модулей.

Меняя местами буквы и в неравенствах (6) и (7) и учитывая, что , имеем также неравенства

(8)

Полученные неравенства (4)-(8) можно коротко записать так:

Примеры решения задач:

Пример №402

Докажите, что сумма, разность, произведение, натуральная степень и частное (если делитель не равен нулю) двух рациональных чисел всегда является рациональным числом.

Решение:

► Пусть заданы два рациональных числа и где и – целые, а и – натуральные числа. Поскольку сумма, разность, произведение, натуральная степень и частное двух обыкновенных дробей всегда являются обыкновенными дробями, то полученный результат всегда будет рациональным числом. Например,

где – целое число, а – натуральное.

Комментарий:

Любое рациональное число может быть записано как дробь , где — целое, — натуральное число.

Чтобы доказать утверждение задачи, достаточно доказать, что сумма, разность, произведение и частное двух дробей вида также будет дробью такого вида.

Пример №403

Докажите, что для любого натурального числа число или натуральное, или иррациональное.

Комментарий:

Для доказательства утверждения задачи можно использовать метод от противного: предположить, что заданное положительное число является рациональным ненатуральным (то есть дробью), и получить противоречие с условием или с каким-либо известным фактом.

Записывая в виде несократимой дроби, следует учесть, что при натуральных значениях это число всегда будет положительным.

Решение:

► Допустим, что не является иррациональным числом (тогда это число рациональное) и не является натуральным числом. Следовательно, это число может быть только рациональной несократимой дробью , где и — натуральные числа . По определению квадратного корня имеем то есть . Учитывая, что , получаем, что дробь , равная натуральному числу , должна быть сократимой.

Следовательно, у натуральных множителей, которые стоят в числителе и знаменателе этой дроби, должен быть общий натуральный делитель, отличный от 1. Но в числителе стоят только множители , а в знаменателе — только множители . Тогда числа и имеют натуральный делитель, отличный от 1, то есть дробь является сократимой дробью, что противоречит условию. Таким образом, наше предположение неверно, и для любого натурального числа число или натуральное, или иррациональное.

Например, поскольку числа и не являются натуральными числами , то и — иррациональные числа.

Пример №404

Докажите, что — число иррациональное.

Решение:

► Допустим, что число рациональное. Тогда Возведя обе части последнего равенства в квадрат, имеем Отсюда

Следовательно,

Но правая часть этого равенства — рациональное число (поскольку по предположению — рациональное число), а левая — иррациональное. Полученное противоречие означает, что наше предположение неверно и число — иррациональное.

Комментарий:

Для доказательства утверждения задачи можно использовать метод «от противного» — допустить, что заданное число является рациональным, и получить противоречие с каким-либо известным фактом, например с тем, что — иррациональное число.

При анализе полученных выражений используем результат задачи 1: если число — рациональное, то числа и и их частное тоже будут рациональными.

Заметим, что знаменатель полученной дроби

Пример №405

Решите уравнение

Решение

I способ

►

Ответ:

Комментарий:

Заданное уравнение имеет вид (в данном случае ). Его удобно решать, используя геометрический смысл модуля: — это расстояние от точки 0 до точки . Но расстояние 7 может быть отложено от 0 как вправо (получаем число 7), так и влево (получаем число -7). Следовательно, равенство возможно тогда и только тогда, когда или .

II способ

Ответ:

Комментарий:

С геометрической точки зрения — это расстояние между точками и на координатной прямой. Запишем данное уравнение так: . Тогда равенство означает, что расстояние от точки до точки -5 равно 7. На расстоянии 7 от точки -5 находятся точки 2 и -12 (рис. 14). Таким образом, данное равенство выполняется тогда и только тогда, когда или то есть данное уравнение равносильно указанной в решении совокупности уравнений.

Пример №406

Решите неравенство

Решение:

Решая эти неравенства (рис. 15), получаем

Следовательно, или

Ответ:

Комментарий:

Заданное неравенство имеет вид (в данном случае ), и его можно решать, используя геометрический смысл модуля. С геометрической точки зрения, — это расстояние от точки 0 до точки . На расстоянии 6 от 0 находятся числа 6 и -6.

Тогда неравенству удовлетворяют все те и только те точки, которые находятся в промежутке то есть Для решения полученного двойного неравенства его удобно заменить соответствующей системой.

Математика — это точная абстрактная наука, оперирующая своими специальными понятиями, структурами и символами. Основными методами в математических исследованиях являются строгие логические рассуждения, а объектами изучения — математические модели. Но абстрактность математики не означает ее отрыв от реальной жизни. Реальные задачи описываются в математических терминах, как правило в безразмерном виде. Это есть так называемая
математическая модель явления. При решении уже поставленной математической задачи используются абстрактные математические методы.

Одна и та же математическая модель может описывать свойства различных реальных явлений. Само реальное явление рассматривается вновь после решения математической задачи и ее анализа, на основании которого могут быть сделаны выводы
не только о состоянии явления, но и о его развитии. В этом смысле без математики нет науки. Еще великий Леонардо да Винчи писал: «Никакой достоверности нет в науках там, где нельзя применить ни одну из математических наук, ив том, что не имеет связи с математикой.» И еще: » Ни одно человеческое исследование не может называться истинной наукой, если оно не прошло через математические доказательства.»

Математические методы играют огромную роль в образовании современного высококвалифицированного специалиста в технических областях, предоставляя ему аппарат исследования, дисциплинируя, приучая к строгим логическим рассуждениям.
Поскольку язык и методы математики широко используются при современном преподавании всех естественно-научных и технических дисциплин, математика изучается с первого семестра в любом высшем техническом учебном заведении, и на нее выделяется значительная часть бюджета времени студента.

Под множеством понимают любой набор определенных и различимых между собой объектов, рассматриваемых как единое целое. Это высказывание не является определением, поскольку слово « множество» заменено словом «набор». Близкими к понятию «множество» являются понятия: собрание, совокупность, комплекс, система и т. п. Вместе с тем здесь имеется три важных момента.

Объекты, входящие во множество, определенные (т. е. для каждого объекта можно однозначно сказать, принадлежит ли он данному множеству или нет), различимы между собой (во множестве не может быть двух или более одинаковых объектов) и все объекты, входящие во множество, мыслятся как единое целое (все объекты рассматриваются в совокупности, а от свойств отдельных объектов абстрагируются).

Множества обозначают прописными буквами латинского алфавита. Объекты, входящие во множество, называют элементами и их обозначают строчными буквами. Множество, состоящее из конечного числа элементов, называется конечным, в противном случае множество называется бесконечным.

Множество может быть задано при помощи правила, позволяющего определить, является ли данный объект элементом множества или нет. В записи правило, задающее множество, отделено вертикальной чертой. Например, пусть множество В есть множество решений уравнения тогда В можно записать так Элементами множества В являются числа 2 и 3, то есть

Конечное множество может быть задано перечислением входящих в него и разделенных запятой элементов, например, Множество может содержать и всего лишь один элемент. Множество, не содержащее вообще ни одного эле-

мента, называется пустым и обозначается символом Например, пусть есть множество точек на плоскости, удовлетворяющих условию При окружность, при одна точка, а при пустое множество.

Для указания того факта, что объект принадлежит данному множеству, используют знак Например, Если же объект не принадлежит данному множеству, то пишут знак Например,

Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент В одновременно является элементом множества А. Это записывается так:

Пример:

Пусть заданы множества Очевидно, что В есть подмножество А, т. е. Из определения следует, что множество А есть подмножество самого себя, т. е. Говорят, что А — самое широкое подмножество А. Пустое множество является самым узким подмножеством любого множества. Множество А и пустое множество называются несобственными подмножествами множества А. Все другие подмножества А называются собственными подмножествами А.

Пример:

Если то оно имеет, следующие подмножества: Всего 8 подмножеств.

Если конечное множество А состоит из п элементов, то оно имеет ровно подмножеств. Из них ровно являются собственными подмножествами. Элементами множества могут также выступать и другие множества. В этом случае говорят не о множестве множеств, а о системе множеств. Частным случаем системы множеств является система всех подмножеств данного множества А и обозначается Р(А). Так, система подмножеств множества А из предыдущего примера имеет вид

Замечание. Не следует путать символы и . Символ употребляется для обозначения отношения элемента к множеству. Символ употребляется для обозначения отношения множества к множеству.

Зафиксированное каким-либо образом множество объектов, допустимых при данном рассмотрении, называют базовым или универсумом. Базовое множество обозначают буквой Примерами универсума являются: числа в арифметике, слова в языкознании, законы в юриспруденции и т.п.

Операции над множествами

Множества можно складывать и вычитать, то есть совершать операции.

Равенство множеств

Множества А и В считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Равенство множеств обозначают так: А=В. Если множества не равны, то пишут: А В. Отсюда следует, что запись равенства двух множеств «А=В» эквивалентна записи

Пример. Доказать, что множество равно множеству В корней уравнения

Для доказательства решим уравнение. Получим: Следовательно, или Затем непосредственной подстановкой убеждаемся, что любое из чисел 0,2, 3 удовлетворяет уравнению, следовательно или Теперь можно записать, что А=В.

Объединение (сумма) множеств

Объединением множеств А и В называется такое множество С, каждый элемент которого содержится хотя бы в одном из множеств А или В. Обозначается: Пример. Если

Можно рассматривать объединение множеств:

при этом в А входят все элементы, которые входят хотя бы в одно из множеств Например, множество всех дей-

ствительных чисел состоит из множества положительных чисел множества отрицательных чисел и множества содержащего один элемент — ноль, то есть

Для наглядного представления соотношений между несколькими подмножествами какого-либо универсума часто используются круги Эйлера или диаграммы Венна. Универсум представляется множеством всех точек некоторого прямоугольника, а его подмножества — соответствующими кругами. Операция объединения и другие операции иллюстрируются кругами Эйлера представленными на рис. 1.1-1.5.

Пересечение (умножение) множеств

Пересечением множеств А и В называется множество D, составленное из общих для множеств А и В элементов. Обозначение: Например:

Можно рассматривать пересечение множеств:

при этом в А входят только те элементы, которые входят во все множества Пересечение двух множеств иллюстрируется на рис 1.2.

Пусть есть некоторое множество А. Говорят, что задано разбиение множества А на классы если

для всех причем

Классы — это такие подмножества разбиваемого множества, которые не имеют общих элементов, а их объединение образует исходное множество А. Следовательно, каждый элемент множества А входит в один и только в один класс.

Разность двух множеств

Разностью двух множеств А и В называется множество G, содержащее лишь те элементы из А, которые не входят в В. Обозначение: Отметим, что в А могут находиться не все элементы из вычитаемого множества В (см. рис. 1.3). Например,

Если В — подмножество то разность называется дополнением к В до А. Например, если и то множество дополнение к В до А. Операция дополнения иллюстрируется на рис. 1.4. Дополнение к А до универсума имеет особое обозначение: (см. рис. 1.5).

Пример. Пусть Такое множество называется множеством неотрицательных чисел.

Тогда это множество отрицательных чисел.

Операции над множествами подчиняются определенным законам. Перечислим их.

1.Коммутативный или переместительный закон

2.Ассоциативный или сочетательный закон

Так как порядок выполнения операций несущественен, то скобки в записи опускают.

3.Дистрибутивный или распределительный закон:

4.Закон идемпотентности:

5.Закон поглощения:

6.Закон двойственности де Моргана:

10.Если и одновременно

Из законов (1-12) следует принцип двойственности: всякое равенство, тождественно выполняемое в теории множеств, переходит также в тождественно выполняющееся равенство при замене знака объединения на знак пересечения множество универсум на пустое множество и наоборот.

Прямое произведение множеств

Кортежем называют любую выделенную упорядоченную совокупность объектов (элементов кортежа). Синонимами понятия «кортеж» являются: упорядоченная система, упорядоченная совокупность, вектор, упорядоченный набор, «-ка» и др. Отличие кортежа от множества заключается в том, что компоненты кортежа упорядочены и могут полностью или частично совпадать. Два кортежа называются равными, если они имеют

одинаковую длину, и все их соответствующие компоненты совпадают.

Элементы, составляющие кортеж, называются компонентами, которые в силу упорядоченности имеют номер: первый компонент, второй компонент, … -ый компонент. Длиной кортежа называют число компонентов в кортеже. Когда вместо термина «кортеж» употребляется термин «вектор», то говорят соответственно о координатах и размерности вектора.

Примеры кортежей: Это кортеж N длины 5, первый компонент которого — 8, второй — 7, третий — 4 и т. д.; в этом случае второй, а четвертый компонент кортежа М.

Прямым произведением двух множеств А и В (обозначается называется множество, состоящее из всех тех и только тех пар, первый компонент которых принадлежит А, второй -В. Если первый сомножитель имеет элементов, а второй — то их прямое произведение имеет элементов, каждый из которых — упорядоченная пара. Например, если и В общем случае, если Тем самым прямым произведением множеств называется множество всех кортежей длины (-ок), первый компонент которых принадлежит второй -тый — т. е.

где -ый элемент множества

Если все множества равны между собой, то есть то прямое произведение множеств обозначается как

Например: пусть R — множество действительных чисел, тогда множество упорядоченных пар вида Геометрически R — множество точек числовой оси, тогда множество точек плоскости, где координаты этих точек. Прямое произведение часто называют декартовым произведением множеств. Множество Р называется графиком, если

каждый его элемент является упорядоченной парой, следовательно, любое подмножество множества можно назвать графиком.

Проекцией кортежа на і-ю ось называется і-ый компонент кортежа, т. е. Проекция точки плоскости на первую ось называется абсциссой, на вторую ось — ординатой Из определения прямого произведения следует, что оно не коммутативно, т. е.

Пример:

Пусть А — отрезок [1,3], В — отрезок [2,5]. Тогда множество точек прямоугольника, заштрихованного на рис. 1.6, прямоугольник, заштрихованный на рис. 1.7.

Пример:

Пусть А — множество, элементами которого являются буквы, цифры и все знаки операций и препинания. Такое множество называют алфавитом. Тогда множество всех слов длины .

Природа компонентов прямого произведения обычно отличается от природы элементов сомножителей. Например, пусть Q — множество участников шахматного турнира, тогда при всех есть множество пар участников, причем играет белыми фигурами, черными.

Понятие соответствия

Пусть заданы два множества . Если для каждого элемента указан элемент с которым сопоставляется то говорят, что между множествами установлено соответствие. Иначе говоря, соответствием называется тройка множеств Множество называется областью отправления, — областью прибытия, — графиком соответствия. Если то множество первых проекций называется областью определения соответствия, множество вторых проекций — областью значений этого соответствия, — график соответствия.

Два соответствия равны тогда и только тогда, когда равны их области отправления, области прибытия и графики. Пример. Заданы четыре разных соответствия, имеющие одинаковые области отправления и прибытия:

На рис. 1.8а, 1.86, 1.8в, и 1.8г. различия этих соответствий видны достаточно наглядно.

В соответствии множество всех которые сопоставляются элементу называется образом Множество же всех которым сопоставляют элемент называется прообразом

Соответствие называется всюду определенным, если множество т. е. его область определения, совпадает с областью отправления (в противном случае говорят о частичном соответствии). Если же то соответствие называют сюръективным, или накрывающим. Это означает, что область значений соответствия совпадает с его областью прибытия. На рис. 1.8 а и 1.8 б представлено всюду определенное сюръективное соответствие. Соответствия, представленные на рис.18 в и 1.8 г, не сюръективны, а соответствие, изображенное на рис. 1.8, г не всюду определенное.

Соответствие называется функциональным (или однозначным), если образом любого элемента из является единственный элемент из График такого соответствия называется функциональным. Это означает, что в нем нет пар с одинаковыми первыми и различными вторыми компонентами. Например, соответствие, представленное на рис. 1.8 б, нефункционально. Соответствие называется инъективным, если любому элементу из соответствует единственный элемент из , на рис. 1.8 в изображено инъективное соответствие.

Соответствие между называется взаимно-однозначным (или биективным), если оно всюду определено, сюръективно, функционально и инъективно.

Пусть — множества вещественных чисел. В этом случае график соответствия может быть представлен некоторой линией на плоскости. Например. На рис. 1.9 представлено функциональное соответствие, но оно не инъективно (некоторым соответствует более одного ), не всюду определено ( определен не для всех ), не сюръективно ( проектируется не на все ) и не биективно. На рис. 1.10 представлено нефункциональное соответствие, которое не всюду определено, сюръективно и не биективно. На рис. 1.11 представлено взаимно-однозначное соответствие.

Мощность множества

Мощность множества характеризует количество элементов этого множества. Множества равномощны, если между их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие. Число элементов в конечном множестве А называется кардинальным числом и обозначается |А|. Подсчет элементов конечного множества заключается в установлении взаимно-однозначного соответствия между этими элементами и конечной последовательностью натуральных чисел.

Множество называется бесконечным, если оно равномощно хотя бы одному из его собственных подмножеств. Бесконечное множество А называется счетным, если оно равномощно множеству всех натуральных чисел N. Примеры счетных множеств: множество целых чисел, четных чисел, рациональных чисел. Счетное множество образуется при объединении счетного множества конечных множеств (например, множество слов в любом конечном алфавите) и т. д. Счетным будет и объединение счетного множества счетных множеств (множество всех векторов с натуральными компонентами). Множество А называется не более чем счетным, дискретным, если оно конечно (в частности, пусто) или счетно. Счетное множество среди бесконечных множеств имеет наименьшую мощность.

Рассмотрим все вещественные числа на отрезке Эти числа не могут быть пронумерованы, следовательно, их множество не образует счетное множество, оно несчетно. По определению, множество, равномощное множеству всех вещественных чисел

единичного отрезка числовой оси, имеет мощность континуума (непрерывное множество). Мощность множества континуума превышает мощность счетного множества. Любой конечный отрезок числовой оси равномощен единичному отрезку. Более того, любой конечный отрезок равномощен и всей числовой оси. Например, между отрезком и множеством можно установить такое соответствие:

Множества наибольшей мощности не существует. Это следует из того, что мощность любого множества А всегда строго меньше мощности множества всех его подмножеств

Множества — основные понятия

Под множеством понимается совокупность каких-либо объектов, называемых элементами этого множества. Например, можно говорить о множестве студентов данного вуза, множестве учебников по математике, множестве треугольников, множестве действительных чисел и т. д. Множества, содержащие конечное число элементов, называются конечными (множество студентов, множество учебников). Множества с бесконечным числом элементов называются бесконечными (множество треугольников, множество действительных чисел).

Множество обычно обозначается заглавными латинскими буквами A, B, С, …, а их элементы — малыми а, b, с, ….

Утверждение ’’элемент х принадлежит множеству А” записывается так : «х ∈ А ”, а противоположное утверждение ” элемент х не принадлежит множеству А” записывается так : ”х ∉ А ”.

Определение:

Если все элементы множества А принадлежат также множеству В, то говорят, что ” А содержится в В” или: ” А является подмножеством В”, и записывают так: A ⊂ В.

Определение:

Два множества называются равными (совпадающими), если они состоят из одних и тех же элементов: A = B.

Пример:

Сформулируйте словами утверждение:
A=B⇔ A ⊂ B и B ⊂ A и докажите его.

Конечное множество можно задать перечислением его элементов. Так, запись A = {1;2;3} означает, что множество А состоит из трех чисел 1,2,3. При этом порядок перечисления элементов не играет роли: {1;2;3} = {3;2;1}.

Бесконечное множество можно задать, написав условие, которое выполняется для всех элементов данного множества и не выполняется для других. Запись
В = {x | 1 < х < 2}
означает множество всех чисел, больших одного, но меньших двух, т.е. интервал (1;2).

Множество удобно схематически изображать в виде ’’диаграмм Эйлера” — геометрических фигур на плоскости, взаимное расположение которых отражает отношение между множествами. Так, например, если A ⊂ B и B ⊂ C, то A изображается частью В₁ а В частью C (рис. 1). C помощью диаграммы Эйлера на рис. 1 наглядно видно свойство транзитивности операции включения множеств: A ⊂ B ⊂ C ⟹ A ⊂ C.

Определение:

Множество называется пустым, если оно не содержит ни одного элемента. Пустое множество обозначается символом ⊘.

Так, например, множество отрицательных натуральных чисел пусто.

Операции над множествами

Определение:

Пересечением множеств A и B называется множество С, состоящее из всех элементов, одновременно входящих и в А, и в В. Это записывается следующим образом: A ∩ В = С.

Иллюстрация пересечения двух множеств с помощью диаграмм Эйлера приведена на рис. 2, где множество C заштриховано.

Пример:

Если множество А есть интервал (1 ;5) а множество В есть интервал (2;7), то пересечение множеств A и B есть интервал (2;5).

Свойства операции пересечения множеств приведем без доказательств:

1. A ∩ В = В ∩ А(коммутативность).
2. A ∩ (В ∩ С) = (A ∩ В) ∩ C = A ∩ В ∩ С(ассоциативность).
3. A ⊂ В ⟹ А ∩ В = А.
4. A∩A= А.
5. A ∩ ⊘ = ⊘

Определение:

Объединением множеств A и B называется множество С, состоящее из всех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из данных множеств или А, или В, или A u B одновременно. Это обозначается следующим образом : A ∪ В = С.

Иллюстрация объединения с использованием диаграмм Эйлера приведена на рис. 3, где множество C заштриховано.

Пример:

Если множество А есть отрезок [1;3], множество В есть отрезок [2;5], то A ∪ B есть отрезок B=[1;5].

Свойства операции объединения множеств приведем без доказательств:
1) A ∪ B=B ∪ A (коммутативность).
2) A ∪ (B∪C)=(A ∪ B) ∪ C=A ∪ B ∪ C (ассоциативность).
3) A∩(B∪C)=(A∩B) ∪ (A∩C) (дистрибутивность).
4) A ⊂ B ⇒A ∪ B=B.
5) A ∪ A=A.
6) A ∪ ⊘=A.

Определение:

Разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих множеству А, но не принадлежащих В. Разность A u B обозначается АВ и изображена штриховкой на рис. 4.

Операция вычитания множеств не коммутативна : A∖B≠B∖A.

Пример:

Если А = (1; 10), В = (3; 20), то АВ=(1;3], ВА =[10,20).

Кванторы общности и существования

При изложении материала мы будем использовать знак , называемый квантором общности, и знак Ǝ, называемый квантором существования. Символ означает: ’’для любого х«, ’’для всех х”, ’’для каждого х«, ’’какое бы ни было х«. Запись > 0 означает: ’’для всех положительных x” Запись ∈ M читается: ’’для всех x, принадлежащих множеству М”.

Обозначение Ǝх означает: ’’существует такое х, что …”, ”по крайней мере для одного х…”, запись Ǝх > 0 читается: ’’существует такое положительное число х, что…”, запись Ǝх₁ ,x₂ Є M означает: ’’существуют такие х₁ ,x₂ — элементы множества М, что …”.

Нам также неоднократно придется использовать символы ⇒ и ⇔.

Запись логического следования А ⇒ В означает, что если верно утверждение А, то верно и утверждение В, то-есть из А следует В.

Запись логической равносильности ⇔ означает, что из А следует В и наоборот, из В следует А.

Так, например, запись: > ƎN > N ⇒ | f (x) — b| < ε читается следующим образом: ’’для любого ε больше 0 существует N такое, что для любых х, больших N, будет выполняться неравенство | f (x) — b∣< ε.”

Необходимое и достаточное условие

Любая теорема может быть сформулирована в виде: если выполняется условие А, то верно утверждение В. Будем называть это прямой теоремой и схематически запишем в виде:

Теорема:

А ⇒ В.

В качестве примера приведем теорему, называемую достаточным условием экстремума непрерывной функции, изучаемую в курсе математики средней школы.

Теорема:

Если функция f непрерывна в точке а и производная f меняет знак при переходе через эту точку, то а является точкой экстремума функции f.

Условие А стоит после слова «если», утверждение В написано после
слова «то».

Определение:

А называется достаточным условием для
выполнения В. В свою очередь, В является необходимым условием для выполнения А.

Применительно к теореме 1.2 это выглядит следующим образом.
Достаточным условием для существования экстремума непрерывной функции f в точке а является изменение знака ее производной при переходе через эту точку.

Для лучшего усвоения введенных понятий рассмотрим очевидно справедливое утверждение не из области математики.

Теорема:

Если человек здоров, то у него есть голова.

Здесь здоровье является достаточным условием наличия у человека головы. Наоборот, наличие головы является необходимым условием здоровья. Подумайте, будет ли это условие достаточным для того, чтобы человек был здоров? Реально ли вообще сформулировать достаточное условие того, что человек здоров?

Обозначим А утверждение, заключающееся в отрицании утверждения А(читается «не А»). Если справедлива прямая теорема 1.1, то методом «от противного» легко можно доказать справедливость следующего утверждения, которое называется
«противоположная к обратной теорема»:

Теорема:

В ⇒ А.

Доказательство:

Имеем А ⇒ В, нужно доказать, что В⇒ А Предположим противное: В ⇒ А, но в соответствии с теоремой 1.1 А ⇒ В. Полученное противоречие (В ⇒ В) доказывает теорему.

Аналогично можно доказать, что если справедлива теорема 1.4, то верна теорема 1.1, т. е. эти утверждения равносильны.

Для теоремы 1.2 противоположной к обратной будет теорема: ’’Если точка а не является точкой экстремума функции f ̕ непрерывной в этой точке, то производная f ̕ не меняет знак при переходе через эту точку”.

Для теоремы 1.3 противоположным к обратному будет утверждение: ’’Если у человека нет головы, то он не здоров”.

Проведите доказательство этого утверждения самостоятельно методом ”от противного».

Наряду с прямой теоремой 1.1 можно рассмотреть утверждение, называемое «обратной теоремой” :

Теорема:

В ⇒ А.

Однако обратная теорема не всегда справедлива, если верна прямая. Так, например, для теоремы 1.3 обратное утверждение: «Если у человека есть голова, то он здоров”, очевидно, не верно.

Если все же теорема 1.5 справедлива, то методом «от противного” исходя из нее доказывается справедливость утверждения, называемого «противоположная теорема”:

Теорема:

А ⇒ В

Наоборот, из теоремы 1.6 вытекает справедливость теоремы 1.5, т.е. эти утверждения равносильны. Заметим, что из прямой теоремы 1.1 не обязательно следует справедливость противоположной теоремы 1.6.

Приведенные связи удобно запоминать, представляя себе следующий ’’логический квадрат» (рис. 5):

Если наряду с прямой теоремой выполняется также обратная теорема, то А является ’’необходимым и достаточным” условием для В. То же самое можно сказать про В по отношению к А.

Так, например, то, что треугольник прямоугольный, является необходимым и достаточным условием того, что квадрат одной из сторон равен сумме квадратов двух других.

Множество N натуральных чисел

Определение:

Числа 1,2,3,… называются натуральными.

Сумма и произведение натуральных чисел будет числом натуральным, а разность и частное — не всегда. При вычитании натуральных чисел может получится отрицательное число, а при делении — не целое. Например, при делении получится целая часть 2 и 1 в остатке, что записывается следующим равенством: .

Приводя к общему знаменателю, получим равенство: 7 = 2 ∙ 3 + 1. В этих равенствах 7 называется делимым, 3 — делителем, 2 — целой частью и 1 — остатком (остаток всегда меньше делителя). Если остаток равен нулю, то говорят, что делимое делится на делитель, как, например, 6 делится на 3. Если натуральное число, большее единицы, делится только на 1 и на себя (что всегда справедливо), то оно называется простым. Простыми числами являются числа 2,3,5,7,11,13,17,19,23 и т. д. Любое натуральное число может быть представлено в виде произведения простых сомножителей. Например : 12 = 1 ∙ 2 2 3, 18 = 1 2 ∙ 3 3, 7 = 1 ∙ 7 и т. д.

Определение:

Наименьшим общим кратным двух данных натуральных чисел называется наименьшее из чисел, которые делятся на каждое из них.

Для любых двух натуральных чисел всегда найдется наименьшее общее кратное, поскольку их произведение всегда делится на каждое из двух данных.

Наименьшее общее кратное 12 и 18 равно 36. Для того чтобы найти наименьшее общее кратное двух чисел, нужно первое число помножить на простые множители, входящие в разложение второго числа и не входящие в разложение первого: 12 ∙ 3 = 36.

Определение:

Наибольшим общим делителем двух данных натуральных чисел называется наибольшее из чисел, на которые делится каждое из них.

Для любых двух натуральных чисел всегда найдется наибольший общий делитель, поскольку любые два числа всегда делятся на единицу. Если у двух натуральных чисел нет других общих делителей кроме единицы, они называются взаимно простыми. Наибольший общий делитель 12 и 18 равен 6. Для того, чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел, нужно перемножить общие простые множители, входящие в разложение и одного, и другого числа: 1 ∙ 2 ∙ 3 = 6.

Множество Z целых чисел

Определение:

Натуральные, отрицательные натуральные числа и ноль образуют множество целых чисел (множество Z).

Сумма, произведение и разность целых чисел является целым числом, а частное — не всегда. Иногда множество отрицательных целых чисел обозначается Z_.

Множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел: N ⊂ Z.

Множество Q рациональных чисел

Определение:

Рациональными числами называются числа вида , где m — целое (m Є Z), n — натуральное (n Є N), тип взаимно простые. Множество рациональных чисел обозначается Q.

Множество целых чисел является подмножеством множества рациональных чисел, т. к. любое целое число m можно рассматривать как рациональное, представив в виде . Сумма, произведение, разность, частное рациональных чисел ( при ненулевом знаменателе) является числом рациональным, однако корень из рационального числа — не всегда, как, например, , и т.д.

Всякое рациональное число можно представить в виде десятичной дроби, конечной или периодической. И наоборот, любая конечная или периодическая десятичная дробь может быть записана в виде простой дроби.

Пример:

=0,5; =0,8 ; =0,666…=0,(6) ; =7,31(06).

Две последние десятичные дроби бесконечные периодические. Повторяющиеся цифры называются периодом дроби и пишутся в скобках, количество этих цифр называется длиной периода. Для обратного преобразования конечной десятичной дроби ее нужно представить в виде простой и сократить: 0,8==. На самом деле разница между конечной дробью и периодической непринципиальная. Так, 0,5=0,4(9).

Перевод периодической десятичной дроби в простую объясним на примере.

Пример:

Записать в виде простой дроби 0,(6).

Решение:

Периодическую дробь 0,(6) обозначим за x: 0,(6)=x, тогда, т. к. 10‧х — 10-0,666… = 6,666…, легко заметить, что 10∙х = 6 х. Решая это уравнение, получаем: 9‧x=6⇔x = = .

Определение:

Целой частью числа называется наибольшее целое число, не превосходящее данное. Целая часть числа х обозначается [x].

Примеры:

[3,56]=3; [0,12]=0; [-0,12]=-1; [-]=-4;
[5]=5; [0]=0.

Определение:

Дробной частью числа называется разность между самим числом и его целой частью. Дробная часть числа обозначается {x}. Она строго меньше единицы и находится в пределах : 0 ≤ {x} < 1.

Примеры:

{3,56}=0,56; {0,12}=0,12; {-0,12}=0,88;
{}=; {5}=0; {0}=0.

Множество J иррациональных чисел

Определение:

Иррациональным числом называется бесконечная непериодическая десятичная дробь.

Примерами иррациональных чисел являются √2, √3, ∛11, π, е, и т. д. Заметим, что J ∩Q = ⊘ Иррациональное число нельзя представить в виде простой дроби, его также невозможно ’’выписать до конца” (представить в виде конечной десятичной дроби), поэтому запись √2 = 1,41 ошибочна, следует писать √2 ≈ 1,41.

Заданное бесконечной непериодической дробью иррациональное число определяет две последовательности конечных (рациональных) десятичных дробей, называемых десятичными приближениями по недостатку и по избытку. Например, для √2 можно написать:
1 √2<2,
1,4< √2<1,5,
1,41< √2<1,42.
…

В инженерных расчетах при замене иррациональных чисел их рациональными приближениями достаточно во всех вычислениях брать на один знак больше, чем требуется в результате, и затем округлить результат.

Для иррациональных чисел можно также определить целую и дробную части, причем для х ∈ J ⇒ {τ} ∈ J.

Множество R действительных чисел

Определение:

Все рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных (вещественных) чисел: R = QuJ.

В множестве действительных чисел всегда выполнимы сложение, вычитание, умножение, деление (не на ноль), возведение в любую действительную степень положительного числа, извлечение корня нечетной степени из отрицательного числа.

В множестве действительных чисел невозможно извлечение корня четной степени из отрицательного числа.

Числовая ось

Множеству действительных чисел можно дать простую геометрическую интерпретацию. Выберем на прямой положительное направление (указывается стрелкой), начало отсчета и единицу масштаба. Такая прямая называется числовой осью. Каждой ее точке можно поставить в соответствие единственное действительное число следующим образом: положительное число х изображается точкой, расположенной на оси на расстоянии х в направлении стрелки (на рис. 6 справа от О), отрицательное с другой стороны (на рис. 6 слева от О) на расстоянии х от О.

Число х называется координатой соответствующей точки на числовой оси. Из двух чисел больше будет то, которое расположено на числовой оси дальше в направлении стрелки (на рис. 6 — правее).

Например, -1 > -2.

Числовые промежутки

Если известны два действительных числа а и b, a < b, то можно определить следующие множества действительных чисел, находящихся между двумя данными — числовые промежутки.

Отрезок (сегмент) [α; b]= {x | a ≤ х ≤ b},
Интервал (a; b)= {x | a < х < b}.
В частности, можно рассматривать бесконечные интервалы:

(- ∞; +∞)={x∈R}, (a;+∞)={x|x>a}, (- ∞ ;b)={x|x<b}.
Полуинтервал, [a;b)={x∣a≤x<b}, (a;b]={x∣a<x≤b}.

В частности, можно рассматривать бесконечные полуинтервалы: [a;+∞)={x∣x≥a}, (-∞;b]={x∣x≤b}.

Числовые промежутки изображают на числовой оси, причем если граничная точка принадлежит промежутку — она закрашена, если нет — изображается светлым кружком (’’выкалывается”). На рис 7 изображен полуинтервал (2;5].

Числовые промежутки будем выделять штриховкой или утолщенной линией.

Примеры с решением на тему: «Множества«

При решении примеров данного практического занятия используется материал средней школы и материал лекции 1. Применение метода интервалов для решения неравенств иллюстрируется примерами 1.2-1.5

Пример:

Пусть A = [-3;5],B = (-5;7),C = [1;2). Найдите множество: A₀ = (4 ∩ В) U (В ∩ С).

Решение:

Для нахождения результата операций над числовыми промежутками их удобно изображать на числовых осях, расположенных одна под другой с согласованным началом и одинаковым масштабом. Если исходные промежутки А и В заштриховать, то их пересечением будет множество точек, заштрихованных на каждой из осей (рис. 8), а их объединением — множество точек, заштрихованных хотя бы на одной из осей (рис. 9).

Пользуясь этим правилом, последовательно получим A ∩ В, В ∩C и, наконец, (Л ∩ В) ∪ (В ∩ С) (рис. 8, 10, 11).
Ответ: A₀ ≈ [-3; 5].

Пример:

Найдите элементы множества:
A₀ = {x | (2 — 3x)(x + 4)(x — 2) > 0}.

Решение:

Неравенство (2 — 3x)(х + 4)(x — 2) > 0 решим методом интервалов, для чего нанесем на числовую ось значения х, при которых левая часть неравенства обращается в ноль: x₁ =,x₂ = -4,х₃ = 2. (рис. 12)

Сами эти значения не удовлетворяют неравенству, поэтому соответствующие точки “выколоты».

Знаки выражения в левой части неравенства определим, подставляя в него по одному значению из каждого интервала, на которые все множество R разбилось точками x₁,x₂,х₃. Отметим штриховкой те интервалы, на которых выражение в левой части неравенства положительно. Это множество является искомым.

Ответ: A₀=(-∞; -4) ∪ (; 2).

Пример:

Задайте характеристическим свойством множество: A₀ — множество всех натуральных чисел, меньших 5 или больших 10.

Решение:

В условии требуется,чтобы натуральные числа были меньше 5 или больше 10, т.е. искомое множество есть объединение двух подмножеств: множества натуральных чисел, меньших 5 и больших 10.

Ответ: A₀ = {x|x < 5, х ∈ N} ∪ {x|x > 10, х ∈ N}.

Пример:

Решите систему неравенств:

Решение:

Решение системы неравенств есть пересечение множеств решений каждого из входящих в систему неравенств. Аналогично тому, как это делалось при решении примера 1.2, решим каждое из неравенств системы методом интервалов и найдем их пересечение (рис 13).

Ответ: х ∈ (-1; 2,5).

Пример:

Решите совокупность систем неравенств:

Решение:

Решение совокупности систем неравенств есть объединение решений каждой системы, входящей в совокупность. Для решения разложим каждый многочлен в произведение с помощью корней:

Решение совокупности систем методом интервалов представлено на рис. 14

Ответ: х ∈ (-2; 1)

Множества

Понятие множества является одним из основных понятий математики. Оно не сводится к другим понятиям и не оп­ределяется. Вместо определения приводят лишь примеры, поясня­ющие его смысл. Так, можно говорить о множестве всех учеников данной школы, о множестве всех собак на земном шаре, о множе­стве всех клеток данного человеческого тела, о множестве всех кар­тофелин в данном мешке, о множестве всех натуральных чисел, о множестве всех треугольников на данной плоскости, о множестве всех точек данного круга и т. д.

Когда в математике говорят о множестве, то объединяют некоторые предметы в одно целое — множество, состоящее из этих пред­метов. Основатель теории множеств Георг Кантор (1845—1918) выразил это следующими словами: «Множество есть многое, мыслимое как единое».

Предметы (объекты), составляющие некоторое множество, называются его элементами. То обстоятельство, что объект а является элементом множества А, записывается так: (словами: а есть элемент множества А; а принадлежит А; а содержится в А; А содержит а). Если объект а не является элементом мно­жества А, то это записывается так: (словами: а не есть эле­мент множества А; а не принадлежит А; а не содержится в А; А не содержит а).

Например, если А есть множество всех четных натуральных чисел, то

Множество иногда можно задать перечислением всех его элементов. В этом случае употребляют фигурные скобки, в которые помещают названия всех элементов множества, разделенные запя­тыми. Так, {1, 2, 3) обозначает множество, состоящее из чисел «один», «два», «три» и только из них.

Вообще некоторое множество считается заданным, если указано некоторое свойство, которым обладают все его элементы и не обла­дают никакие другие объекты. Такое свойство называется характе­ристическим свойством множества.

Характеристическим свойством множества {1, 2, 3) может быть свойство совпадать с одним из членов списка, приведенного в фигур­ных скобках. Другим характеристическим свойством этого же множества является свойство быть корнем уравнения

Числовые множества

Множества могут состоять из объектов самой различной природы. Их элементами могут быть буквы, ато­мы, числа, уравнения, точки, углы и т. д. Именно этим объясняется чрезвычайная широта теории множеств и ее приложимость к са­мым разным областям знания (математике, механике, физике, лингвистике, экономике и т. д.). Для математики особо важную роль играют множества, составленные из «математических» объек­тов— корней уравнений, геометрических фигур и т. д. Чаще все­го нам будут встречаться числовые множества, то есть множества, элементами которых являются числа. Примерами числовых мно­жеств являются: а) множество всех действительных чисел; б) множество всех рациональных чисел; в) множество всех положительных чисел; г) множество всех чисел, удовлетворяющих неравенству д) множество всех чисел вида

Некоторые числовые множества имеют особые названия. Если даны два числа а и b, а < b, то множество всех чисел, удовлетворяющих неравенству называют числовым отрезком или,

если это не вызывает недоразумений, просто отрезком и обознача­ют [а, b]. На числовой оси ему соответствует отрезок с концами а и b (рис. 1).

Множество чисел, удовлетворяющих неравенству а < х< b , называют числовым промежутком или, короче, промежутком и обозначают (а, b). На числовой оси ему соответствует отрезок, у которого отброшены концевые точки (рис. 2).

Множество чисел, удовлетворяющих неравенствам вида х > а (или х<а), называют (числовым) лучом. Его обозначают (а, )

(или (—, а)) (рис. 3). Иногда нам будут встречаться множества чисел, удовлетворяющих неравенствам или (рис. 4). Их называют (числовыми) полуотрезками и обозначают [а, b) и (а, b]. Заметим, что квадратная скобка означает, что соответствующий

конец включается в множество, а круглая — что он исключается.

Пустое множество

Введение понятия множества в математи­ку оказалось очень полезным. Из-за того что элементами множеств могут быть вещи самой различной природы, одни и те же утвержде­ния, касающиеся множеств, можно истолковать и как утверждения о натуральных числах, и как утверждения о точках геометрических фигур, и как утверждения о множестве слов и т. д. Таким образом, понятия и теоремы теории множеств обладают большой общностью. Этим и объясняется то, что язык теории множеств применяется в самых различных областях математики.

В математике приходится иногда рассматривать множества, содержащие только один элемент, и даже множества, не имеющие ни одного элемента. Множество, не содержащее ни одного элемен­та, называют пустым. Его обозначают знаком . На первый взгляд может показаться, что понятие пустого множества излишне. Но когда множество задано своим характеристическим свойством, заранее неизвестно, пусто оно или нет. Например, пусть некоторое множество состоит из всех прямоугольников с неравными диаго­налями. То, что свойство «быть прямоугольником с неравными диагоналями» задает пустое множество, составляет утверждение геометрической теоремы: «Во всяком прямоугольнике диагонали равны». Точно так же из теоремы Пифагора следует, что множество прямоугольных треугольников, для которых квадрат гипотенузы не равен сумме квадратов катетов, пусто. Вот еще несколько приме­ров задания пустого множества характеристическим свойством: а) множество рациональных чисел r таких, что б) множество всех точек пересечения двух параллельных прямых; в) множество треугольников, сумма углов которых отлична от 180°; г) множество квадратных уравнений, имеющих более двух раз­ личных корней; д) множество решений системы уравнений

О некотором множестве может быть неизвестно, является ли оно пустым множеством или нет. Так, до сих пор неизвестно, пусто ли множество натуральных чисел n таких, что n > 2, а уравнение

имеет положительные целочисленные решения (в этом состоит из­вестная проблема Ферма).

Пустое множество единственно: нет двух разных пустых множеств.

Подмножество

Пусть даны два множества A и B, причем каждый элемент первого множества является элементом второго множества. Тогда множество А называют подмножеством (или частью) множества В. В этом случае пишут:

Примеры подмножеств: а) числовой отрезок [1,3] есть подмножество числового отрез­ка [0, 4];

б) множество всех квадратов есть подмножество множества всех прямоугольников; в) множество всех целых чисел есть подмножество множества всех рациональных чисел.

Отметим, что пустое множество является подмножеством любого множества А. Каждое множество А яв­ляется одним из своих подмножеств. Эти два подмножества ( 0 и все множество) называют несобственными. Все остальные подмножества называют собственными.

Множества часто изображают наглядно как множество точек геометрической фигуры. Тогда подмножество — это множество то­ чек части фигуры (рис. 5).

Пересечение множеств

Пусть даны множества А, В, С, … . Их пересечением называют множество X, содержащее те и только те элементы, которые входят в каждое из заданных множеств. Пере­ сечение двух множеств А и В обозначают АВ или

Если множества А и В состоят из точек некоторых геометрических фигур, то — множество общих точек этих фигур, то есть множество точек пересечения этих фигур в обычном смысле (рис. 6).

Пересечение множеств называют также их произведением, а операцию пересечения — умножением множеств. Можно показать,

что многие свойства пересечения множеств напоминают свойства ум­ножения чисел.

Примеры пересечения множеств: а) пересечением числового отрезка [0, 4 ] с числовым отрезком [2, 5] является числовой отрезок [2, 4] (рис. 7);

б) пересечение числового отрезка [0, 2] с числовым отрезком [3, 5] пусто; в) пересечение множества всех ромбов с множеством всех прямоугольников есть множество всех квадратов; г) пересечением множества четных натуральных чисел с множеством натуральных чисел, делящихся на 3, является множество натуральных чисел, делящихся на 6.

Сложение множеств

Суммой (или объединением) множеств А, В, С, . . . называют множество X, состоящее из тех и только тех элементов, которые входят хотя бы в одно из этих («слагае­мых») множеств. Сумму двух мно­жеств А и В обозначают А + В или . Мы увидим позже, что некоторые свойства суммы мно­жеств напоминают свойства сум­мы чисел.

Если какой-нибудь элемент вхо­дит в несколько слагаемых множеств, то в сумме он берется лишь один раз. Например, суммой числового отрезка [0, 4] и числового отрезка [2, 5] является числовой отрезок [0, 5]. При этом точки отрезка [2, 4] входят в оба слагаемые, но в сумме они берутся лишь один раз. Впрочем, выражения «некоторый элемент берется в данном множестве пять раз» и т. п., как это следует из принятого нами понимания терминов «множество» и «элемент», просто не имеют смысла.

Примеры а) Обозначим через А множество точек некоторой плоской области и через В — множество точек другой области (рис. 8). Тогда их суммой будет множество точек заштрихованной фигуры, ограни­ченной на рис. 8 жирной линией. б) Обозначим через А множество успевающих учеников в классе, через В — множество девочек в этом классе и через С — множество неуспевающих мальчиков. Тогда является мно­жеством всех учеников этого класса. (Имеют ли множества А и В общие элементы?) в) Обозначим через множество всех положительных дробей со знаменателем n. Тогда является множест­вом всех положительных дробей, то есть дробей вида , где m и n — натуральные числа. г) Обозначим через множество правильных n-угольников. Тогда является множеством всех правильных многоугольников. д) Обозначим через A множество целых чисел вида 4n — 1, а через В — множество целых чисел вида 4n + 1. Тогда — множество всех нечетных целых чисел.

Разбиение множеств

Пусть множество X является суммой множеств A, В, С. . . , причем никакие два из них не имеют общих элементов. Тогда говорят, что множество X разбито на (непересекающиеся) подмножества А, В, С, . . . .

Примеры разбиения множеств: а) Множество натуральных чисел разбивается на подмножества четных чисел и нечетных чисел. б) Множество всех учеников в классе разбивается на множе­ства учеников, фамилия которых начинается на букву «А», учени­ков, фамилия которых начинается на букву «Б», и т. д. вплоть до буквы «Я». Какое из этих множеств пусто, если взять ваш класс? Какие из этих множеств пусты для любого класса? в) Множество всех векторов на плоскости можно разбить на непересекающиеся подмножества, относя к одному подмножеству все векторы, равные друг другу по длине, параллельные и одинаково направленные. г) Это же множество можно разбить иначе, относя к одному под­ множеству векторы, выходящие из одной точки плоскости.

Вычитание множеств

Если даны два множества A и В, то их разностью называют такое множество X = A В или (А — В), в которое входят все элементы из Л, не принадлежащие множест­ву В. При этом не предполагается, что множество В является час­тью множества A. Таким образом, при вычитании множества В из множества A из A удаляют общую часть (пересечение) A и В:

Например, если A — множество всех учащихся IX класса данной школы, а В — множество всех девочек, которые учатся в этой школе, то A В — множество всех мальчиков, обучающихся в IX классе этой школы.

В случае, когда В — часть множества А, А В называют дополнением к В в множестве А и обозначают (разумеется, одно и то же множество В имеет разные дополнения в разных содержащих его множествах А). Например, дополнением множества четных чисел в множестве всех целых чисел является множество нечетных чисел. Дополнением множества всех квадратов в множестве прямоугольников является множество всех прямоугольни­ков с неравными сторонами, а дополнением того же множества квадратов в множестве всех ромбов — множество ромбов с неравными диагоналями.

Отображение множеств

Пусть даны два множества X и У и пусть име­ется правило ставящее в соответствие каждому элементу некоторый определенный . Тогда говорят, что задано отображение множества X в множество У. Элемент, соответствующий х в силу правила обозначают и пишут: . Элемент у называют образом элемента х при отобра­жении а элемент х называют прообразом элемента у при отображении Отображение называют также функцией, заданной на множестве X и при­нимающей значения во множестве У. Множество X называют областью опре­деления функции

Если всякий является образом некоторого при отображе­нии , то отображение называют отображением множества X на множест­во У. В этом случае множество У называется областью значений функции .

Приведем примеры отображений множеств: а) Пусть X — множество всех действительных чисел, У — множество всех неотрицательных чисел. Равенство связывающее с элементом множества X элемент у множества У, задает отображение X на У. При этом числу 2 соответствует число 4, числу 6 — число 36 и т. д. б) Пусть X — множество всех действительных чисел, отличных от чис­ла 3, У — множество всех действительных чисел. Равенство , связывающее с элементом х множества X элемент множества У, задает отобра­жение X в У. Является ли это отображение отображением на У? в) Пусть X — множество всех кругов, а У — множество всех действи­тельных чисел. Поставим каждому кругу в соответствие длину его радиуса. Мы получим отображение множества X в множество У. Другое отображе­ние X в У получится, если поставить каждому кругу в соответствие его пло­щадь. г) Пусть X — множество всех треугольников, а У — множество всех окружностей. Поставим каждому треугольнику в соответствие вписанную в него окружность. Получим отображение множества X в У. Другое отобра­жение X в У получится, если поставить в соответствие каждому треуголь­нику описанную вокруг него окружность. д) Пусть У — множество всех деревьев на земном шаре, а X — множе­ство всех плодов, растущих на этих деревьях. Поставим каждому плоду в соответствие дерево, на котором он растет. Получим отображение множества X в множество У.

Пусть — отображение множества X в множество У и пусть Множество всех элементов вида уназывается образом мно­жества при отображении и обозначается

Рассмотрим некоторый элемент у из множества У и возьмем все элементы х из X, отображающиеся в у при отображении . Множество всех этих элемен­тов называют полным прообразом элемента у при отображении и обознача­ют . В первом примере в) полным прообразом положительного числа r является множество всех кругов радиуса r. В первом примере г) полным прооб­разом любой данной окружности является множество всех треугольников, опи­санных вокруг этой окружности.

Если полный прообраз каждого элемента у из У при отображении или пуст, или состоит только из одного элемента, то отображение называется вложением в У. Например, функция с отрезком [1, 4] в качестве облас­ти определения определяет вложение этого отрезка в действительную ось.

Если есть отображение множества X на множества У и полный прообраз каждого элемента у из У состоит лишь из одного элемента, то отображение называется взаимно-однозначным отображением множества X на множество У. Иными словами, отображение взаимно-однозначно, если каждый элемент из его области значений является образом одного и только одного элемента его области определения.

Краткие исторические сведения

Теоретико-множественные представ­ления в неявной форме давно использовались математиками. Геометры древ­ней Греции в III веке до н. э. рассматривали «геометрические места точек», то есть множества точек, обладающих тем или иным свойством. Однако труд­ности, связанные с понятием бесконечности, привели к тому, что в течение длительного времени математики избегали рассматривать геометрические фигуры как множества точек.

Исследования по бесконечным множествам начали чешский ученый Б. Больцано (1781— 1841) и немецкий математик Г. Кантор (родился в 1845 г. в Петербурге, умер в 1918 г. в Галле). Труд Больцано был опубликован лишь через много лет после его смерти. Основные заслуги в развитии теории мно­жеств принадлежат Кантору. Он пришел к проблемам этой теории, исходя из сравнительно узкой математической задачи (вопроса о сходимости и рас­ходимости тригонометрических рядов). Однако вскоре ему и его последова­телям стало ясно, что теория множеств имеет важнейшее значение для раз­личных областей математики. Сейчас теория множеств дает общепринятый язык для многих разделов математики. В целом ряде случаев применение теоретико-множественных понятий позволило привести в систему многие ветви математики. Большой вклад в теорию множеств сделан трудами со­ветских математиков П. С. Александрова, А. Н. Колмогорова, Н. Н. Лузина, П. С. Новикова, М. Я. Суслина и других. Советская школа теории множеств оказала сильное влияние на развитие этой части математики во всем мире.

Вскоре после создания теории множеств выяснилось, что «наивная» трак­товка понятия бесконечного множества может привести к противоречиям. Исследования в этом направлении потребовали развития математической логики. Первоначально эта область математики была очень далека от практических приложений, но впоследствии ее принципы составили идейную ос­нову конструирования электронных вычислительных машин и программиро­вания вычислений на этих машинах.

Правила действий над высказываниями, во многом известные еще Ари­стотелю (создателю формальной логики), были более подробно сформулиро­ваны Г. В. Лейбницем, которого часто считают создателем математической логики. Алгебраическую форму этим правилам придали английские матема­тика Дж. Буль (1815— 1864) и А. де Морган (1806—1871). По сути дела, эти правила совпадают с указанными выше правилами действий над множест­вами. Большой вклад в развитие математической логики внесли Г. Фреге, Б. Рассел, Д. Гильберт, К. Гёдель, А. Тарский, советские математики П. С. Новиков, А. Н. Колмогоров, А. А. Марков и другие.

Дополнение к различным типам множеств

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Решение заданий и задач по предметам:

• Математика
• Высшая математика
• Математический анализ
• Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Функция
25. Исследование функций
26. Предел
27. Интеграл
28. Двойной интеграл
29. Тройной интеграл
30. Интегрирование
31. Неопределённый интеграл
32. Определенный интеграл
33. Криволинейные интегралы
34. Поверхностные интегралы
35. Несобственные интегралы
36. Кратные интегралы
37. Интегралы, зависящие от параметра
38. Квадратный трехчлен
39. Производная
40. Применение производной к исследованию функций
41. Приложения производной
42. Дифференциал функции
43. Дифференцирование в математике
44. Формулы и правила дифференцирования
45. Дифференциальное исчисление
46. Дифференциальные уравнения
47. Дифференциальные уравнения первого порядка
48. Дифференциальные уравнения высших порядков
49. Дифференциальные уравнения в частных производных
50. Тригонометрические функции
51. Тригонометрические уравнения и неравенства
52. Показательная функция
53. Показательные уравнения
54. Обобщенная степень
55. Взаимно обратные функции
56. Логарифмическая функция
57. Уравнения и неравенства
58. Положительные и отрицательные числа
59. Алгебраические выражения
60. Иррациональные алгебраические выражения
61. Преобразование алгебраических выражений
62. Преобразование дробных алгебраических выражений
63. Разложение многочленов на множители
64. Многочлены от одного переменного
65. Алгебраические дроби
66. Пропорции
67. Уравнения
68. Системы уравнений
69. Системы уравнений высших степеней
70. Системы алгебраических уравнений
71. Системы линейных уравнений
72. Системы дифференциальных уравнений
73. Арифметический квадратный корень
74. Квадратные и кубические корни
75. Извлечение квадратного корня
76. Рациональные числа
77. Иррациональные числа
78. Арифметический корень
79. Квадратные уравнения
80. Иррациональные уравнения
81. Последовательность
82. Ряды сходящиеся и расходящиеся
83. Тригонометрические функции произвольного угла
84. Тригонометрические формулы
85. Обратные тригонометрические функции
86. Теорема Безу
87. Математическая индукция
88. Показатель степени
89. Показательные функции и логарифмы
90. Множество действительных чисел
91. Числовые множества
92. Преобразование рациональных выражений
93. Преобразование иррациональных выражений
94. Геометрия
95. Действительные числа
96. Степени и корни
97. Степень с рациональным показателем
98. Тригонометрические функции угла
99. Тригонометрические функции числового аргумента
100. Тригонометрические выражения и их преобразования
101. Преобразование тригонометрических выражений
102. Комбинаторика
103. Вычислительная математика
104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
105. Прямая и плоскость
106. Линии и уравнения
107. Прямая линия
108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
109. Кривые второго порядка
110. Кривые и поверхности второго порядка
111. Числовые ряды
112. Степенные ряды
113. Ряды Фурье
114. Преобразование Фурье
115. Функциональные ряды
116. Функции многих переменных
117. Метод координат
118. Гармонический анализ
119. Вещественные числа
120. Предел последовательности
121. Аналитическая геометрия
122. Аналитическая геометрия на плоскости
123. Аналитическая геометрия в пространстве
124. Функции одной переменной
125. Высшая алгебра
126. Векторная алгебра
127. Векторный анализ
128. Векторы
129. Скалярное произведение векторов
130. Векторное произведение векторов
131. Смешанное произведение векторов
132. Операции над векторами
133. Непрерывность функций
134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
135. Предел и непрерывность функции одной переменной
136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
139. Матрицы
140. Линейные и евклидовы пространства
141. Линейные отображения
142. Дифференциальные теоремы о среднем
143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
144. Функции комплексного переменного
145. Преобразование Лапласа
146. Теории поля
147. Операционное исчисление
148. Системы координат
149. Рациональная функция
150. Интегральное исчисление
151. Интегральное исчисление функций одной переменной
152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат

Понятие множества

Что такое «множество», мы понимаем интуитивно. В этом смысле это понятие первично, так же как «точка» или «плоскость».

Создатель теории множеств Г.Кантор описывал множество как «многое, мыслимое нами как единое».

Приведём примеры множеств:

Конечное, бесконечное и пустое множества

Людей в салоне самолёта легко посчитать, это множество конечно.

С деревьями в парке, планетами и электронами – сложней. Скорее всего, мы не сможем назвать точное количество элементов этих множеств в данный момент времени. Однако, и эти множества конечны.

Натуральное число – это идеальный объект, абстракция. Множество натуральных чисел бесконечно. Как оказалось, человек может оперировать и абстракциями, и бесконечностями.

Можно себе представить даже то, «чего на свете вообще не может быть». Поскольку таких объектов нет, их множество будет пустым. Пустое множество является частью любого другого множества.

Способы задания множеств

1) Перечисление – в списке задаются все элементы множества.

Например:

Множество всех континентов Земли:

{Евразия,Северная Америка,Южная Америка,Африка,Австралия,Антарктида}

Множество букв слова «математика»: {м,а,т,е,и,к}

Множество натуральных чисел меньших 5: {1,2,3,4}

2) Характеристическое свойство – указывается особенность элементов множества.

Например:

A = ${x|x gt 0, x in Bbb R}$ – множество всех действительных положительных x

B = ${n|n⋮5,n in Bbb N}$ – множество всех натуральных n, кратных 5

C = ${(x,y)|x^2+y^2 ge 1,x in Bbb R,y in Bbb R}$ – множество всех действительных точек координатной плоскости (x,y), расстояние от которых до начала координат не больше 1 (круг с центром в начале координат, радиусом 1).

D = {k|k-материк Земли} – множество всех материков планеты Земля

3) Графическое изображение – визуальное моделирование с помощью различных диаграмм (круги Эйлера, интервалы, графики и т.п.)

Подмножества

Знак $subseteq$ является аналогом $ge$, т.е. «нестрогим» неравенством. Это значит, что множества A и B могут и совпадать (любое множество является подмножеством самого себя).

Между множествами можно также ввести отношение «строгое подмножество», $A subset B$, в котором B заведомо «шире» множества A (аналог строгого неравенства $lt$).

Примеры подмножеств:

Множество людей является подмножеством приматов, живущих на Земле.

Множество натуральных чисел меньших 5 является подмножеством натуральных чисел меньших $10: A = {n|n lt 5, n in Bbb N}, B = {m|m lt 10, m in Bbb N}, A subseteq B$

Множество квадратов является подмножеством прямоугольников.

Множество полосатых летающих слонов – как пустое множество – является подмножеством чего угодно: приматов, чисел, прямоугольников. Что удобно для размышлений о смысле всего.

Примеры

Пример 1. Запишите данное множество с помощью перечисления элементов:

а) $A = {x|x^2 lt 5, x in Bbb Z}$

Задано множество целых чисел, квадрат которых меньше 5. Перечисляем:

A = {-2;-1;0;1;2}

б) $B = {x||x| ge 3, x in Bbb Z}$

Задано множество целых чисел, модуль которых не больше 3. Перечисляем:

B = {-3;-2;-1;0;1;2;3}

в) $ C = {x|(x-1)(2x+5) = 0, x in Bbb Q}$

Задано множество рациональных чисел, являющихся корнями уравнения

(x-1)(2x+5) = 0. Перечисляем:

C = {1;-2,5}

г) $D = {n|9 lt n ge 12, n in Bbb N}$

Задано множество натуральных чисел, входящих в полуинтервал $9 lt n le 12$.

Перечисляем:

D = {10;11;12}

Пример 2. Запишите данное множество с помощью характеристического свойства:

а) Множество всех натуральных чисел меньше 10

$$ A = {n|n lt 10, n in Bbb N} $$

б) Множество всех действительных чисел, кроме 0

$$ B = {x|x neq 0, x in Bbb R} $$

в) Множество всех точек с целыми координатами, принадлежащих прямой y = 2x+1

$$C = {(x,y)|y = 2x+1, x in Bbb Z, y in Bbb Z}$$

г) Множество всех целых решений уравнения $x^3+x^2+4 = 0$

$$ D = {x|x^3+x^2+4 = 0, x in Bbb Z} $$

Пример 3. Изобразите на графике в координатной плоскости данное множество:

а) $A = {(x,y)|y = x+2, x le 3, x in Bbb N}$

Задано конечное множество точек, которое можно представить перечислением:

A = {(1;3);(2;4);(3;5) }

На графике:

б)$ B = {(x,y)|y = frac{4}{x},-4 le x le -1, x in Bbb R}$

Задано бесконечное множество точек, принадлежащих данной гиперболе $y = frac{4}{x}$ в данном интервале $-4 le x le -1$. На графике:

Пример 4. Укажите и запишите с помощью перечисления одно из непустых конечных подмножеств для данного множества:

а) A = {k|k-электронное устройство}

$B subseteq A, B$ = {компьютер, смартфон, планшет}

б) A = {m|m-четырёхугольник}

$B subseteq A, B$ = {квадрат, ромб, прямоугольник}

в) A = {p|p-музыкальный инструмент}

$B subseteq A, B$ = {пианино, скрипка, виолончель}

г) A = {t|t-средство передвижения}

$B subseteq A, B$ = {автомобиль,автобус,поезд}

Пример 5*. Найдите булеан данного множества:

а) A = {5;10;27}

$$ P(A) = {{varnothing},{5},{10},{27},{5;10},{5;27},{10;27},{5;10;27} } $$

Исходное множество состоит из n = 3 элементов, булеан состоит из $2^3 = 8$ элементов.

б) B = {1;{2;16} }

$$ P(B) = {{varnothing},{1},{2;16},{1;{2;16} } } $$

Исходное множество состоит из n = 2 элементов, булеан состоит из $2^2 = 4$ элементов.

Что такое множество в математике и как оно обозначается

Множество – это количество предметов или чисел, обладающих общими свойствами.

Данное определение подходит к любой совокупности с одинаковыми признаками, независимо оттого, сколько предметов в нее входит: толпа людей, стог сена, звезды в небе.

В математике изучаемое понятие обозначается заглавными латинскими буквами, например: А, С, Z, N, Q, A₁, A₂ и т. д.

Объекты, составляющие группу, называются элементами множества и записываются строчными латинскими буквами: a, b, c, d, x, y, a₁, a₂ и т. д.

Границы совокупности обозначаются фигурными скобками { }.

Пример:

1. А = {а, в, с, у} – А состоит из четырех элементов.

2. Записать совокупность Z согласных букв в слове «калькулятор»:

Z = {к, л, т, р}, повторяющиеся согласные записываются один раз. Z состоит из четырех элементов.

Принадлежность элементов множеству обозначается знаком – Є.

Пример: N = {a, b, c, y}, а Є N – элемент «а» принадлежит N.

Выделяют три вида множеств:

• конечные – совокупности, имеющие максимальный и минимальный предел (например, отрезок);

• бесконечные – не являющиеся конечными (например, числовые);

• пустые (обозначаются Ø) – не имеющие элементов.

Если две разные совокупности содержат одинаковые элементы, то одна из них (со всеми своими элементами) является подмножеством другой и обозначается знаком – ⊆.

Пример: А = {а, в, с, у} и В = {а, в, с, е, к} – все элементы А являются элементами совокупности В, следовательно А ⊆ В. 

Если множества состоят из одинаковых элементов, их называют равными.

Пример: А = {23, 29, 48} и В = {23, 29, 48}, тогда А = В.

В математике выделяют несколько числовых совокупностей. Рассмотрим их подробнее.

Множество натуральных чисел

К совокупности натуральных чисел (N) относятся цифры, используемые при счете – от 1 до бесконечности.

Натуральные числа используют для исчисления порядка предметов. Обязательное условие данной числовой группы – каждое следующее число больше предыдущего на единицу.

N = {9, 11, 13, 15……}.

Относится ли ноль к натуральным числам? Это до сих пор открытый вопрос для математиков всего мира.

Множество целых чисел

Совокупность целых чисел (Z) включает в себя положительные натуральные и отрицательные числа, а также ноль:

Z = {-112, -60, -25, 0, 36, 58, 256}.

Следовательно, N – подмножество Z, что можно записать как N ⊆ Z. Любое натуральное число можно назвать так же и целым.

Множество рациональных чисел

Совокупность рациональных чисел (Q) состоит из дробей (обыкновенных и десятичных), целых и смешанных чисел:

Q={-½; 0; ½, 5; 10}.

Любое рациональное число можно представить в виде дроби, у которой числителем служит любое целое число, а знаменателем – натуральное:

5 = 5/1 = 10/2 = 25/5;

0,45 = 45/100 = 9/20.

Следовательно, N и Z являются подмножествами Q.

Операции над множествами

Точно так же, как и все математические объекты, множества можно складывать и вычитать, то есть совершать операции.

Если две группы образуют третью, содержащую элементы исходных совокупностей – это называется суммой (объединением) множеств и обозначается знаком ∪.

Пример: В = {1, 6, 17} и С = {2, 13, 18}, В ∪ С= {1, 2, 6, 13, 17, 18}.

Если две группы совокупностей образуют третью, состоящую только из общих элементов заданных составляющих, это называется произведением (пересечением) множеств, обозначается значком ∩.

Пример: В = {36, 42, 53, 64} и С = {32, 42, 55, 66}, В ∩ С = {42}.

Если две совокупности образуют третью, включающую элементы одной из заданных групп и не содержащую элементы второй, получается разность (дополнение) совокупностей, обозначается значком /.

Пример: В = {12, 14, 16, 18} и С = {13, 14, 15, 17}, В / С = {14}.

В случае, когда В / С = С / В, получается симметричная разность и обозначается значком Δ.

Для «чайников» или кому трудно даётся данная тема операции с совокупностями можно отобразить с помощью диаграмм Венна:

Объединение

Пересечение

Дополнение

С помощью данных диаграмм можно разобраться с законами де Моргана по поводу логической интерпретации операций над множествами. 

Свойства операций над множествами

Операции над множествами обладают свойствами, аналогичными правилу свойств сложения, умножения и вычитания чисел:

Коммутативность – переместительные законы:

• умножения S ∩ D = D ∩ S;

• сложения S ∪ D = D ∪ S. 

Ассоциативность – сочетательные законы:

• умножения (S ∩ F) ∩ G = S ∩ (F ∩ G);

• сложения (S ∪ F) ∪ G = S ∪ (F ∪ G). 

Дистрибутивность – законы распределения:

• умножения относительно вычитания S ∩ (F – G) = (S ∩ F) – (S ∩ G);

• умножения относительно сложения G ∩ (S ∪ F) = (G ∩ S) ∪ (G ∩ F);

• сложения относительно умножения G ∪ (S ∩ F) = (G ∪ S) ∩ (G ∪ F). 

Транзитивность – законы включения:

• если S ⊆ Fи F ⊆ J, то S ⊆ J;

• если S ⊆ F и F ⊆ S, то S = F. 

Идемпотентность объединения и пересечения:

• S ∩ S = S;

• S ∪ S = S.

О других свойствах операций можно узнать из картинки:

Счетные и несчетные множества

Если между элементами двух групп можно установить взаимное немногозначное соответствие, то эти группы чисел равномощны, при условии равного количества элементов. 

Мощность данной математической единицы равна количеству элементов в ней. Например, множество всех нечетных положительных чисел равномощно группе всех четных чисел больше ста.

В случае, когда бесконечное множество равномощно натуральному ряду чисел, оно называется счетным, а если оно не равномощно – несчетным. Другими словами, счетная единица – это совокупность, которую мы можем представить в виде последовательности чисел по порядковым номерам. 

Но не все группы действительных чисел счетные. Примером несчетной группы предметов является бесконечная десятичная дробь.

Теория множеств – достаточно широкая тема, которая требует глубокого изучения. Она затрагивает начальный курс математики, изучается в среднем звене школьной программы по алгебре. Высшая математика, математический анализ, логика – рассматривают законы, теоремы, аксиомы множеств, на которых основаны фундаментальные знания науки.