Как найти емкость конденсатора через энергию

Физика, 10 класс

Урок 28. Электрическая ёмкость. Конденсатор

Перечень вопросов, рассматриваемых на уроке:

1. Электрическая ёмкость
2. Плоский конденсатор
3. Энергия конденсатора

Глоссарий по теме:

Конденсатор – устройство для накопления электрического заряда.

Электроёмкостью конденсатора называют физическую величину, численно равную отношению заряда, одного из проводников конденсатора к разности потенциалов между его обкладками.

Под зарядом конденсатора понимают модуль заряда одной из его обкладок.

Последовательное соединение – электрическая цепь не имеет разветвлений. Все элементы цепи включают поочередно друг за другом. При параллельном соединении концы каждого элемента присоединены к одной и той же паре точек.

Смешанное соединение – это такое соединение, когда в цепи присутствует и последовательное, и параллельное соединение.

Энергия конденсатора прямо пропорциональна квадрату напряжённости электрического поля внутри его:

Для любых конденсаторов энергия равна половине произведения электроёмкости и квадрата напряжения.

Основная и дополнительная литература по теме:

1. Мякишев Г. Я., Буховцев Б. Б., Чаругин В. М. Физика. 10 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.: Просвещение, 2017. С. 321-330.

2. Рымкевич А. П. Сборник задач по физике. 10-11 класс.- М.:Дрофа,2009. С. 97-100.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Конденсатор при переводе с латиницы означает, то что уплотняет, сгущает – устройство, предназначенное для накопления зарядов энергии электрического поля. Конденсатор состоит из двух одинаковых параллельных пластин, находящихся на малом расстоянии друг от друга. Главной характеристикой этого прибора, является его электроёмкость, которая зависит от площади его пластин, расстояния между ними и свойств диэлектрика.

Заряд конденсатора определяется – модулем заряда на любой одной из её обкладок. Заряд конденсатора прямо пропорционален напряжению между обкладками конденсатора. Коэффициент пропорциональности С называется электрической ёмкостью, электроёмкостью или просто ёмкостью конденсатора.

Электрической ёмкостью конденсатора называется физическая величина, которая численно равна отношению заряда, одного из проводников конденсатора к разности потенциалов между его обкладками.

Чем больше площадь проводников и чем меньше пространство заполняющего диэлектриком, тем больше увеличивается ёмкость обкладок конденсатора.

Измеряется электрическая ёмкость в Международной системе СИ в Фарадах. Эта единица имеет своё название в честь английского физика экспериментатора Майкла Фарадея который внёс большой вклад в развитие теории электромагнетизма. Один Фарад равен ёмкости такого конденсатора, между пластинами которого возникает напряжение, равное одному Вольту, при сообщении заряда в один Кулон.

Электрическая ёмкость конденсаторов определяется их конструкцией, самыми простыми из них являются плоские конденсаторы.

Чем больше площадь взаимного перекрытия обкладок и чем меньше расстояние между ними, тем значительнее будет увеличение ёмкости обкладок конденсатора. При заполнении в пространство между обкладками стеклянной пластины, электрическая ёмкость конденсатора значительно увеличивается, получается, что она зависит от свойств используемого диэлектрика.

Электрическая ёмкость плоского конденсатора зависит от площади его обкладок, расстояния между ними, диэлектрической проницаемости диэлектрика, заполняющего пространство между обкладками и определяется по формуле:

где – электрическая постоянная.

Для того чтобы получить необходимую определённую ёмкость, берут несколько конденсаторов и собирают их в батарею применяя при этом параллельное, последовательное или смешанное соединения.

Параллельное соединение:

q = q₁ + q₂ + q₃

u = u₁ = u₂ = u₃

с = с₁+с₂+с₃

с = n∙с

Последовательное соединение:

q = q₁ = q₂ = q₃

u = u₁ + u₂ + u₃

Энергия конденсатора равна половине произведения заряда конденсатора напряжённости поля и расстояния между пластинами конденсатора: u = Еd

Эта энергия равна работе, которую совершит электрическое поле при сближении пластин, это поле совершает положительную работу. При этом энергия электрического поля уменьшается:

Для любых конденсаторов энергия равна половине произведения электроёмкости и квадрата напряжения:

Примеры и разбор решения заданий:

1. Плоский конденсатор, расстояние между пластинами которого равно 3 мм, заряжен до напряжения 150 В и отключен от источника питания. Разность потенциалов между пластинами возросла до 300 В.

1. Во сколько раз увеличилась разность потенциалов между пластинами?
2. Какое расстояние между пластинами конденсатора стало после того, как пластины были раздвинуты?
3. Во сколько раз изменилось расстояние между пластинами.

Решение:

Электрическая ёмкость конденсатора определяется по формуле:

1.По условию разность потенциалов увеличилось в два раза. U₁ = 150В→ U₂ = 300В.

2.По условию d = 3 мм, если разность потенциалов увеличилось в два раза, по формуле соответственно и расстояние между пластинами увеличилось в два раза, и d =2·3 мм = 6 мм.

3.Расстояние между пластинами увеличилось в два раза.

Ответ:

1. 2

2. 6мм

3. 2

2. Конденсатор электроёмкостью 20 мкФ имеет заряд 4 мкКл. Чему равна энергия заряженного конденсатора?

Дано: С = 20 мкФ = 20 · 10^-6 Ф, q = 4 мкКл = 4·10^-6 Кл.

Найти: W.

Решение:

Энергия заряженного конденсатора W через заряд q и электрическую ёмкость С определяется по формуле:

Ответ: W = 0,4 мкДж.

Конденсатор – радиоэлектронный прибор, способный накапливать и отдавать заряд. Как правило, на его корпусе дается информация о его емкости, но иногда требуется самому рассчитать этот номинал.

Конденсаторами могут выступать и проводники, они также обладают определенной емкостью. Для расчета существует несколько формул емкости конденсатора, их и рассмотрим.

В чем измеряется емкость конденсатора

Что такое заряд еще проходят в школе, когда эбонитовую палочку натирают о шерстяную ткань и подносят к маленьким кусочкам бумаги.

Под действием электромагнитных сил бумага прилипает к палочке. Подобный заряд накапливается в конденсаторе. Но для начала познакомимся с самим конденсатором.

Простейшим конденсатором являются две металлические пластины, разделенные диэлектриком. От качества диэлектрика зависит, как долго энергия заряженного конденсатора может сохраняться.

На этих пластинах, они еще называются обкладками, накапливается разноименный заряд. Как это происходит?

Электрический заряд, а в случае с металлами это электроны, способен перемещаться под действием электродвижущей силы (э. д. с.).

Подключая металлические пластинки к источнику тока, мы получаем замкнутую цепь, но разделенную диэлектриком. Электростатическое поле проходит этот диэлектрик, замыкая цепь, а электроны, дойдя до препятствия, останавливаются и скапливаются.

Полная статья на блоге “Электрик в доме”:

Получается, на одной обкладке наблюдается избыток электронов, и эта пластина имеет отрицательный знак, а на другой пластине электронов недостает настолько же, знак на этой обкладке, конечно же, будет положительным.

Вот теперь нужна для определения емкости конденсатора формула, определяющая, какой заряд способен разместится на конкретном конденсаторе.

В качестве единицы измерения в международной системе (СИ) емкость определяется в Фарадах.

Много это или мало – емкость в 1Ф? Чтобы конденсатор обладал емкостью в 1Ф, он должен содержать в себе заряд в 1К (кулон) и при этом напряжение между обкладками должно равняться 1 вольту.

Интересно. Что такое заряд в 1 кулон? Если два предмета, каждый из которых имеет заряд в один кулон разместить в вакууме на расстоянии один метр, то сила притяжения между ними будет равна силе притяжения землей тела массой в один миллион тонн.

Как и любая буквальная емкость один и тот же конденсатор может вмещать разное количество заряда.

Рассмотрим пример.

• В трехлитровую банку входит три литра воздуха. Его хватит для дыхания, допустим, на 3 минуты. Но если воздух закачать под каким-то давлением, то емкость так и останется три литра, однако дышать можно будет дольше. Так устроен акваланг для ныряльщиков. Получается, количество воздуха в банке зависит от давления, которое в ней создается. Точно так же есть некая зависимость между различными силами, влияющими на емкость.

Формула емкости плоского конденсатора

Прежде чем узнать, по какой формуле вычисляется емкость плоского конденсатора, рассмотрим формулу для одиночного проводника. Она имеет вид:

• где Q – заряд,
• φ – потенциал.

Как видно емкость конденсатора, формула которого здесь приведена, будет тем больше, чем больший заряд способен накапливаться на нем при незначительном потенциале. Чтобы легче это было понять, рассмотрим получившие широкое распространение плоские конденсаторы разных размеров.

Для получения качественного конденсатора важны любые мелочи:

1. ровная поверхность каждой обкладки;
2. обе пластинки по всей площади должны располагаться на одинаковом расстоянии;
3. размеры обкладок должны быть строго идентичными;
4. от качества диэлектрика, расположенного между пластинками, будет зависеть ток утечки;
5. емкость напрямую зависит от расстояния между обкладками, чем оно меньше, тем больше емкость.

Теперь обратимся к плоскому конденсатору. Формула определения емкости конденсатора несколько отличается от приведенной выше:

• где S – площадь одной обкладки,
• εr – диэлектрическая проницаемость диэлектрика,
• ε0 – электрическая постоянная,
• d – расстояние между обкладками.

Электрическая постоянная выражается числом 8,854187817×10-12.

Внимание! Эта формула справедлива только тогда, когда расстояние между пластинами намного меньше их площади.

Попробуем разобраться с каждой переменной подробнее. Площадь измеряется в м2, точнее, приводится к этой величине. А вот проницаемость диэлектрика может обозначаться по-разному.

В России это εr (также означает относительная проницаемость), в англоязычной литературе встречается εa (также означает абсолютная проницаемость), а то может и вовсе использоваться без индекса, просто ε. О том, что здесь используется диэлектрическая проницаемость диэлектрика можно понять из контекста.

Дальше идет ε0. Это уже вычисленное значение, измеряемое в Ф/м. Последняя переменная – d. Измеренное расстояние также приводится к метру. Емкость конденсатора, формула которого сейчас рассматривается, показывает сильную зависимость от расстояния обкладок. Поэтому стараются это расстояние по возможности сокращать. Почему этот показатель так важен?

Идеальными условиями для получения наибольшей емкости – это отсутствие промежутка между обкладками, чего, конечно, добиться невозможно. Чем ближе находятся разноименные заряды, тем сильнее сила притяжения, но здесь возникает компромисс.

При уменьшении толщины диэлектрика, а именно он разделяет разноименные заряды, возникает вероятность его пробоя из-за разности потенциалов на обкладках. С другой стороны, как уже говорилось, при увеличении напряжения увеличивается количество зарядов. Вот и приходится выбирать между емкостью и рабочим напряжением конденсатора.

Есть другая формула для плоского переменного конденсатора:

Здесь диэлектрическая проницаемость обозначена буквой ε, π = 22/7 ≈ 3,142857142857143, d – толщина диэлектрика. Формула предназначена для конденсатора, состоящего из нескольких пластин.

Допустимая толщина диэлектрика d также зависит от εr, чем выше коэффициент, тем тоньше можно использовать диэлектрик, тем большую емкость будет иметь конденсатор. Это был самый сложный материал, дальше будет легче.

Формула емкости цилиндрического конденсатора

Теперь поговорим о том, как найти емкость конденсатора цилиндрической формы. К ним относятся конденсаторы, состоящие из двух металлических цилиндров, вставленных один в другой.

Для разделения между ними расположен диэлектрик. Формула емкости конденсатора выглядит следующим образом:

Здесь видим несколько новых переменных:

• l – высота цилиндра;
• R1 и R2 – радиус первого и второго (внешнего) цилиндров;
• ln – это не переменная, а математический символ натурального логарифма. На некоторых калькуляторах он имеется.

Всегда нужно помнить, что все величины должны приводиться к единой системе, в приведенной ниже таблице указаны международные системы единиц (СИ).

Из нее видно, что все расстояния нужно приводить к метру.

Еще стоит обращать внимание на качество диэлектрика. Если толщина диэлектрика влияет только на емкость конденсатора, то его качество затрагивает сохранность энергии. Другими словами, конденсатор с качественным диэлектриком будет иметь меньший саморазряд.

Определить качество можно по числу, стоящему возле вещества, чем оно больше, тем лучше качество. Сравнение производится по вакууму, значение которого равно единице.

Формула емкости сферического конденсатора

Последнее что осталось разобрать – формулу определения емкости конденсатора, состоящего из двух сфер. Причем одна сфера находится внутри другой. Формула имеет следующий вид:

Из приведенных переменных здесь все знакомо. Стоит обратить внимание лишь на сам конденсатор.

Кроме своей необычной формы у него есть свои особенности: внутри малой сферы никакого заряда нет, он образуется на внешней части малой сферы и внутренней части большого шара. Также заряд отсутствует и на внешней стороне внешней сферы.

Так же как и все другие конденсаторы, сферы разделены диэлектриком. Толщина и качество диэлектрика оказывают такое же влияние на емкость, как в случае с другими конденсаторами.

После того как были рассмотрены формулы, стоит испробовать их на практике. Рассмотрим, как найти емкость конденсатора каждого вида.

Примеры решения задач

Начнем с плоского конденсатора. Формула для этого вида:

Допустим, у нас есть следующие значения:

• в качестве диэлектрика возьмем слюду толщиной 0,02 мм, ε = 6;
• конденсатор квадратный со сторонами в 7 мм.

Определяем площадь пластин: 7×7 = 49 мм2.

Приводим к единой системе: 4,9×10-5 = 0,000049 м2. Толщина диэлектрика 0,02×10-5 = 0,00002 м. Электрическая постоянная 8,854187817×10-12.

Подставляем в формулу и высчитываем числитель: 6×8,854187817×10-12 ×4,9×10-5, сокращаем и решаем 6×49×8,854187817×10-17 = 2,603131218198×10-14.

Делим на толщину диэлектрика: 2,603131218198×10 / 2×10 = 1301,565609099×10 = 1,301565609099×10. Шесть нулей – это тысячи или приставка «микро», получается округлено 1,3 мкФ.

Возможно, при вычислении была допущена ошибка, но это не экзамен по математике. Важно понять сам метод вычисления.

Формула для цилиндрического конденсатора:

Выбираем значения:

• l = 1 см;
• R1 = 0,25 мм;
• R2 = 0,26 мм;
• ε = 2.

Подгоняем под единую систему: l – 1 см = 1×10-2 = 0,01 м; R1 – 0,25 мм = 0,0025 м; R2 – 0,26 мм = 0,0026 м.

Подставляем значения в числитель: 2×3,142857142857143×8,854187817×10-12×2×0,01 1,11×10-12. Находим знаменатель: 0,26:0,25 = 1,04.

Находим натуральный логарифм, он равен примерно 0,39. Числитель делим на знаменатель: 1,11×10-12/0,39 = 2,85×10-12.

Число с 12 нулями это приставка «пико», получаем 2,85 пФ.

Формула для сферического конденсатора:

Выбираем значения:

• ε= 4;
• r1= 5 см;
• r2= 5,01 см.

Снова все подгоняем: 5 см = 0,05 м; 5,01 см = 0,0501 м. Заполняем числитель. 4×3,142857142857143×4×8,854187817×10-12×0,05×0,0501 1,11×10-12 Вычисляем знаменатель: 0,0501 – 0,05 = 0,01. Производим деление: 1,11×10-12×0,01 = 1,11×10-10. Снова получили пикофарады, а именно 1,11 пФ.

Интересные статьи на канале:

Статья заинтересовала? Лайк, подписка, комментарий!

Друзья ПОДПИСЫВАЙТЕСЬ Дзен на канал, а также заходите на блог https://electricvdome.ru 👍!

#конденсатор #емкость #формула

Конденсатор – пассивный электронный компонент, главной характеристикой которого является емкость. Предназначен в основном для накопления энергии, разделения цепей постоянного тока, фильтрации помех, создания резонансных цепей и т.п. Чтобы применение конденсаторов на практике было осознанным, следует ознакомиться с их основными параметрами, методами измерения и изменения емкости.

От чего зависит и в чем измеряется емкость конденсатора

Конденсатор в общем случае состоит из двух проводящих обкладок, разделенных диэлектриком. Если к обкладкам приложить напряжение, такое устройство запасает электрическую энергию путем накопления заряда. (говорят, что конденсатор заряжается). Количественно запасенная конденсатором электрическая энергия выражается формулой , где W – величина энергии, U – напряжение между обкладками, а С – емкость, то есть, величина, характеризующая способность конденсатора запасать энергию. В целом ёмкость зависит от площади обкладок, расстояния между ними и свойствами разделяющего диэлектрика.

Единицей измерения емкости в СИ является фарад (1 Ф) (устаревшее название – фарада). Для практических целей это слишком большая единица. Так, земной шар имеет ёмкость менее 1 Ф, поэтому в технике используют, в основном, дольные единицы:

• пикофарады – 1 пФ (1 pF) =10^-12 Ф;
• нанофарады – 1 нФ (1 nF) =10^-9 Ф;
• микрофарады – 1мкФ (1 µF) = 10^-6 Ф.

Более крупные единицы до недавнего времени не использовались, так как емкости порядка больших дольных единиц были труднодостижимыми. Лишь с появлением ионисторов появилась возможность оперировать величинами порядка единиц и даже десятков фарад.

Как узнать емкость конденсатора

Чтобы использовать конденсатор для практических целей, надо знать его емкость. Выяснить эту величину можно различными способами.

По маркировке

В первую очередь, надо попробовать определить параметры конденсатора по его маркировке. На оксидные конденсаторы, имеющие емкость которых составляет от долей до нескольких тысяч микрофарад, эта характеристика наносится на корпус в виде цифры, обозначающей емкость в микрофарадах, с индексом uF (для отечественных изделий предыдущих годов выпуска после цифры стоит индекс мкФ).

Конденсаторы, обладающие емкостью от единиц пикофарад до единиц микрофарад маркируют тремя цифрами:

• первые два символа — мантисса;
• третья цифра – множитель.

Попросту говоря, к первым двум цифрам надо приписать количество нулей, обозначаемое третьей цифрой.

Например, на конденсатор на рисунке нанесено обозначение 473. К цифрам 47 надо приписать три нуля, тогда получится 47000 пФ. Удобнее представить это значение в виде 47нФ или 0,047 мкФ.

Такое обозначение применяется не всегда (особенно, на старых типах отечественных изделий). Иногда на корпусе наносят явное значение ёмкости с единицей измерения.

Но и единицу измерения указывают не всегда. Принцип таков:

• если нет множителя или не указана единица, считается, что ёмкость в пикофарадах;
• если есть множитель, он указывается одной буквой (n – нанофарады, µ — микрофарады и т.п.).

На зарубежных конденсаторах выпуска до 70-х годов можно встретить обозначение µµF. Так маркировалась ёмкость в пикофарадах («микро-микрофарады»).

Если емкость неизвестна, надпись но корпусе отсутствует или есть сомнения, лучше провести измерения одним из известных способов.

Мультиметром

Сделать это можно, например, с помощью цифрового тестера. Многие современные мультиметры имеют функцию измерения емкости конденсаторов. Надо всего лишь выбрать соответствующий режим, обычно обозначаемый символом конденсатора или буквами Cx, и подключить конденсатор к щупам или специально выделенным гнездам. При измерении надо иметь в виду, что:

1. Нижний предел измеряемой величины довольно большой, и для большинства распространенных приборов составляет не менее 1000 пФ.
2. Измерительные провода со щупами имеют собственную ёмкость (до 100 пФ), и ее надо учитывать при измерениях.

Поэтому тестеры, у которых для измерения ёмкости предназначен отдельный выход, измеряют параметры более точно.

Чтобы обмерить конденсатор с меньшей ёмкостью, лучше воспользоваться специализированным тестером (можно приобрести на интернет-площадках, расположенных в Юго-Восточной Азии). Они позволяют измерять ёмкость от десятков или даже единиц пикофарад.

Осциллографом

Если есть два резистора – один с известным сопротивлением R, а другой с неизвестным Rx, их можно соединить последовательно (сделать делитель напряжения), подать на него напряжение, и измерить падение на каждом элементе или на общей цепи. Измерения можно провести тестером в режиме вольтметра. Тогда Rx можно вычислить по одной из формул, указанных на рисунке.

Известно, что конденсатор обладает сопротивлением переменному току, которое зависит от частоты по формуле Xc=1/(2*π*f*C), где:

• f – частота тока в Герцах;
• С – ёмкость конденсатора в Фарадах.

Можно сделать подобный делитель из конденсаторов, и сравнить сопротивление неизвестного прибора Xcx с сопротивлением эталонного конденсатора Xc, откуда легко вычислить неизвестную ёмкость:

откуда

Далее несложно найти С.

При этом возникают две проблемы:

1. Измерения нельзя проводить на постоянном токе – сопротивление реального конденсатора при f=0 близко к бесконечности.
2. При измерении переменного напряжения достаточно высокой частоты тестер будет давать значительную погрешность.

Поэтому в качестве источника тока надо использовать генератор сигнала высокой частоты (чем меньше предполагаемая ёмкость, тем выше должна быть частота, в противном случае точность замеров будет невысокой), а в качестве измерительного прибора – осциллограф.

В качестве эталонного элемента для делителя можно взять резистор с известным сопротивлением (вместо Xc в формулу надо подставить R) или катушку (дроссель) с известной индуктивностью. В этом случае вместо Xc в формулу надо подставить X_L (вычисляется, как X_L=2* π*f*L).

Если имеется эталонная индуктивность, можно найти емкость, составив колебательный контур. Его надо подключить по указанной схеме, а затем, перестраивая генератор, найти резонансную частоту (при ней амплитуда сигнала на осциллографе будет максимальной). Ёмкость можно рассчитать по известной формуле Томсона .

Формулы для расчета емкости

Хотя общая зависимость ёмкости от геометрических размеров и свойств диэлектрика определена выше, для конкретных типов конденсаторов удобнее пользоваться приведенными формулами.

Электроемкость плоского конденсатора

Самый распространённый тип конденсатора, применяемый в технике – плоский. Его обкладки состоят из двух параллельных пластин, между которыми находится диэлектрик. Чтобы уменьшить габариты такого прибора, обкладки с диэлектриком между ними сворачивают в рулон или складывают в прямоугольный пакет. Емкость такого конденсатора рассчитывается по формуле , где:

• С – ёмкость, Ф;
• S – площадь обкладок, кв.м;
• d – расстояние между обкладками;
• ε – диэлектрическая проницаемость диэлектрика;
• ε_{0 –} электрическая постоянная, равная 8.85*10^-12 Кл²/Н*м².

Очевидно, что емкость тем больше, чем больше площадь обкладок и меньше расстояние между ними. Кроме того, можно выбрать диэлектрик с высоким ε и пропорционально увеличить ёмкость в тех же габаритах.

Электроемкость сферического конденсатора

Сферическим конденсатором называется устройство, состоящее из двух проводящих сфер – большой радиусом R1 и малой радиусом R2. Малая сфера вложена в большую. Поверхности сфер служат обкладками. Пространство между сферами может заполняться твердым, жидким диэлектриком или воздухом (воздушный сферический конденсатор). Такие приборы используются для лабораторных исследований (например, для изучения фотоэлектрических явлений).

Формула емкости для такого прибора выглядит, как , где:

• С – ёмкость, Ф;
• R1 – радиус внутренней сферы;
• R2 – радиус внешней сферы;
• ε – диэлектрическая проницаемость диэлектрика;
• ε_{0 –} электрическая постоянная, равная 8.85*10^-12 Кл²/Н*м².

Очевидно, что зависимость емкости от геометрии подобна плоскому конденсатору. Емкость увеличивается при увеличении площади поверхностей сфер (которые зависят от квадрата радиусов) и уменьшается при увеличении расстояния между обкладками (R2-R1).

Электроемкость цилиндрического конденсатора

У цилиндрического конденсатора обкладки представляют собой два коаксиальных (расположенных на общей оси) цилиндра длиной l каждый с радиусами R1 (меньший) и R2 (больший). Пространство между ними также может быть заполнено либо воздухом, либо другим диэлектриком. Такие приборы используют в масс-спектрометрии и в некоторых типах счетчиков заряженных частиц. Формула для емкости будет выглядеть, как .

Здесь также прослеживается зависимость от площади (при росте длины увеличивается площадь обкладок, следовательно, растет емкость) и расстояния между обкладками. При росте отношения R2/R1 расстояние увеличивается, а ёмкость падает.

Как изменится емкость при параллельном и последовательном соединении

В реальных схемах конденсаторы могут быть включены последовательно или параллельно. При этом суммарная емкость будет разной.

Если включить n конденсаторов параллельно, то в этом случае:

• к каждой ячейке прикладывается одно и то же напряжение (U₁=U₂=..=U_n=U);
• запасенные в каждом конденсаторе заряды складываются.

Тогда общая емкость равна С=U*q=U*(q₁+q₂+..+q_n)=U*q₁+U*q_2+..+ U*q_n=C1+C2+..+Cn. То есть, при параллельном включении ёмкость батареи равна сумме ёмкостей всех элементов. Это эквивалентно сложению площадей всех пластин.

Батарею можно собрать и последовательно, при этом одна обкладка каждого элемента подключается к выводу соседнего конденсатора, а другая – к выводу другой ячейки. Напряжение подается на свободные выводы крайних элементов.

При этом действуют следующие соотношения (в качестве примера рассмотрена батарея из трех элементов):

• заряды –q1 и q2, -q2 и q3 равны, так как обкладки с этими зарядами соединены между собой;
• заряды q1 и –q1, q2 и –q2, q3 и –q3 равны между собой по модулю, но их знак противоположен.

Заряды каждого конденсатора одинаковы и равны q, но при различной емкости разности потенциалов между обкладками каждого элемента определяются из соотношений:

• U₁=q/ C₁;
• U₂=q/ C₂;
• U₃= q/ C₃.

Следовательно, напряжения на ячейках батареи распределяются пропорционально емкостям. Суммарная емкость равна С=q/(U₁+U₂+U₃), следовательно 1/С=(U₁+U₂+U₃)/q=1/С₁+1/С₂+1/С₃.

Для n элементов, включенных последовательно, выполняется равенcтво:

1/С=1/С₁+1/С₂+..+1/С_n.

Формула достаточно громоздка, но если последовательная цепь состоит из двух элементов, соотношение приводится к виду С= С₁* С₂/( С₁+ С₂).

Последовательное соединение на практике обычно применяется не для снижения общей ёмкости, а для уменьшения напряжения на каждом элементе при использовании конденсаторов в высоковольтных цепях.

Разобравшись с факторами, влияющими на ёмкость конденсатора и способами изменения этого параметра, можно научиться анализировать не только пассивные, но и активные (содержащие полупроводниковые приборы) цепи. Это позволит сделать шаг на пути к развитию навыков и повышению квалификации специалиста.

Конденсаторы часто применяются в электрических схемах, помогая трансформировать электросигнал под определенные характеристики. Используя их основное свойство — накапливать электрический заряд, можно регулировать прохождение тока по цепи, убирать нежелательные пульсации напряжения или повысить энергоэффективность сети. При решении подобных задач в расчет берутся конкретные параметры того или иного электронакопителя, а также общие процессы, связанные с зарядом и разрядом конденсаторов.

• Заряд конденсатора
• Процессы зарядки и разрядки конденсаторов
• Емкость и энергия конденсатора
• Как зарядить конденсатор
• Время, необходимое для зарядки конденсатора
• Заряд конденсатора: формула
• Время разряда конденсатора

Заряд конденсатора

Устройство обычного конденсатора состоит из двух пластин (обкладок), подключаемых к выходам цепи, и диэлектрика между ними. При этом величина заряда, накаливаемого конденсатором, зависит от его емкостной характеристики основных параметров: площади обкладок, толщины и диэлектрических свойств прокладочного материала.

Емкость конденсатора определяется по формуле:

C = S • ε • ε0 / d,

где S – площадь обкладок, ε — диэлектрическая проницаемость прокладки, ε0 — диэлектрическая постоянная (8,85•10-12 Ф/м), d – расстояние между пластинами.

Конденсируемый же заряд равняется произведению емкости конденсатора на напряжение в цепи: q = С × U.

Процессы зарядки и разрядки конденсаторов

При включении конденсатора в цепь через него начинает проходить ток. С движением электронов по проводнику на одной обкладке устройства скапливается отрицательный заряд, а на другой (при недостатке электронов) — положительный. Между пластинами образуется индуктивное поле, создающее разность потенциалов определенного значения. В проводниках постоянного тока накопление заряда идет до тех пор, пока уровень напряжения на обкладках не сравняется с номинальным напряжением элемента питания, после чего течение электротока останавливается.

Когда цепь размыкается и на конденсатор не подается напряжение, он может сохранять заряд на протяжение определенного времени, а затем с исчезновением электрического поля между пластинами заряд начнет перетекать в проводник. Процесс разряда конденсатора характеризуется переходом электронов с одной обкладки на другую. Конденсатор разряжается полностью, когда количество свободных электронов на обеих пластинах сравнивается. При этом все электродинамические процессы в цепи прекращаются.

Емкость и энергия конденсатора

Конденсатор, как и всякий объект, получающий электрический заряд, обладает энергией. Для его зарядки требуется определенная работа, которая идет на разделение заряженных частиц — именно она считается энергией конденсаторного устройства. Ее можно увидеть, если заряженный конденсатор присоединить, например, к светодиоду. Накопитель отдаст заряд лампочке, и она на некоторое время загорится, тем самым энергия перейдет в свет и тепло.

Для определения энергии конденсатора в расчет берут количество заряда, толщину диэлектрика и напряженность электрического поля. Последняя является векторной величиной и представляет собой силу, действующую на точечный заряд.

Поскольку заряды на обкладках равны между собой по модулю, во внимание принимается только значение напряженности одной из них, а значит, эта величина делится пополам — Е/2. Общая же энергия определяется по формуле:

Wp = qEd/2.

Произведение напряженности на расстояние между пластинами само себе представляет разность потенциалов или напряжение — U = E × d. Таким образом, энергию можно выразить через заряд и напряжение на конденсаторе. Формула будет иметь следующий вид:

Wp = qU/2.

Учитывая, что заряд и напряжение находятся в зависимости от емкости конденсатора, можно вывести еще пару формул энергии:

 Wp = q2/2C

 Wp = CU2/2

Как зарядить конденсатор

Для зарядки конденсатора требуется генератор электротока. Возникающие при этом процессы удобнее разобрать на примере простой цепи, включающей в себя конденсатор (С) и резистор (R).

Зарядка конденсатора от источника постоянной ЭДС

В соответствии с законом Ома разность потенциалов, возникающая на резисторе и конденсаторе, суммарно равна электродвижущей силе генератора тока. Математически это можно представить следующими формулами:

UC = q/C – напряжение конденсатора;

UR = IR – напряжение резистора;

ε = UC + UR – ЭДС источника.

Для пояснения зарядного процесса определим равенство

IR = ε – q / C.

Эта формула представляет динамические изменения заряда силы тока. Более конкретно это может быть выражено уравнением:

I = dq / dt.

Изменение заряда во времени можно подставить к сопротивлению. Соответственно, получаем

R • dq / dt = ε – q / C.

В строгом смысле это уравнение предписывает бесконечное время зарядки конденсаторного устройства. Однако этим можно пренебречь, если учесть, что заряд фактически дискретен и может быть подвержен случайным изменением и флуктуациям. Таким образом, в данном выражении имеются в виду усредненная динамика зарядного процесса. На его основании можно записать изменение ЭДС и составляющих напряжений обоих элементов цепи:

dε = d(IR) + d(q/C).

Фактически ЭДС генератора не меняется во времени, а значит, dε = 0, а емкость конденсатора и сопротивление обладают постоянными значениями, поэтому их можно обозначить без d:

R • dI = — 1/C • dq.

Поделив данное уравнение на временной период, за который заряжается конденсатор, можно вывести выражение, учитывающее корреляцию между динамикой заряда и силой тока:

dI / dt = –I/RC.

Это уравнение означает отношение скорости, с которой уменьшается сила тока к ее фактическому значению.

В начале процесса заряда конденсатора значение q равняется нулю. В этот момент при наибольшей разнице напряжений источника питания и электронакопителя сила тока имеет максимальное значение. По мере увеличения заряда значение I постепенно падает. Когда конденсатор заряжается полностью, его напряжение сравнивается с ЭДС генератора, а сила тока принимает значение 0. Соответственно, электродинамический процесс прекращается.

Дополнительно можно рассмотреть, как в процессе зарядки трансформируется энергия. Вполне очевидно, что генератор тока является причиной возникновения электротока в цепи и, следовательно, заряда электронакопителя.

В этом усматривается некое противоречие: когда конденсатор получает от генератора тока заряд q, это значит, что ЭДС выполнила работу равную заряду (А = qe), однако энергия самого накопителя определяется по формуле W = q2 / 2C = qε / 2, что составляет только половину от работы, произведенной источником питания. Этот парадокс объясняется самим фактом прохождения тока по электроцепи, которое сопровождается выделением тепловой энергии на резисторе, то есть определенное количество энергопотери приходится на тепло.

Дифференциальные расчеты для малых отрезков времени процесса зарядки показывают, что энергия от генератора, действительно, разделяется на электрическую, идущую на заряд конденсаторного устройства, и тепловую. При этом сопротивление цепи само по себе никак не влияет на количество выделяемой теплоты, которое равняется энергии конденсатора.

Заряд конденсатора, ток

При подключении конденсатора к источнику тока в начале зарядки заряд на пластинах практически отсутствует. Максимальное значение I в этой ситуации объясняется минимальным сопротивлением. С увеличением заряженных частиц, возрастает сопротивление индуктивного поля, которое препятствует прохождению тока по проводнику.

Период времени, за начальную точку которого берут момент наибольшей силы тока, а за конечную полное прекращение движения заряженных частиц, носит название переходного периода зарядки конденсатора.

Начальный момент зарядки конденсатора характеризуется нулевым напряжением между его пластинами. Показатель U начинает возрастать с появлением на обкладках разноименно заряженных частиц. Большая сила тока в начале процесса обусловливает большую скорость увеличения напряжения. По мере ее падения рост напряжения замедляется, достигнув максимального значения при полной зарядке электронакопителя.

График увеличения напряжения имеет вид параболы, будучи противоположным графику снижения силы тока.

Математически динамическую взаимозависимость тока, напряжения и емкости конденсатора можно выразить следующим образом:

I = С • dV / dt.

Время, необходимое для зарядки конденсатора

Время зарядки конденсатора определяется его емкостью, электродвижущей силой генератора тока, напряжением и сопротивлением в цепи.

Заряд конденсатора описывается как экспоненциальный процесс. Чтобы оценить его время, принимается, что значение заряда увеличивается равномерно, при этом скорость заряда приравнивается к силе тока в начале процесса. Отсюда следует уравнение постоянной времени:

τ = q / I0 = RC.

Зависимость динамики напряжения от длительности зарядки определяется по следующей формуле:

U(t) = UC • (1 – e-t/τ).

Значение высчитывается с привлечением основания натурального логарифма (е), которое относится к функции экспоненты и равняется приблизительно 2,718. При этом UC обозначает напряжение ЭДС источника.

Процент заряда по постоянной времени τ определяется в соответствии с формулой:

(1 — 1/еτ) • 100%.

Таким образом, конденсатор достигает почти полной зарядки за 5 τ.

• 1 τ — 63,2%;

• 2 τ — 86,5%

• 3 τ — 95,1%

• 4 τ — 98,2%

• 5 τ — 99,3%

Учитывая экспоненциальный характер увеличения напряжения конденсатора, можно сказать, что время его зарядки до уровня ЭДС генератора длится бесконечно долго.

Заряд конденсатора: формула

Конденсатор заряжается довольно быстро. Обычно для этого достаточно нескольких миллисекунд. Равенство напряжения электродвижущей силы источника питания и электронакопителя определяет максимальный заряд конденсатора. Формула заряда может быть определена с учетом общих параметров конденсатора:

q = Uεε0S/d.

Также можно принять во внимание конструкционные особенности конденсатора. Так, для цилиндрического накопителя заряд равняется:

q = U2πεε0l/ln(r2/r1),

где l – высота цилиндров, r2 – радиус наружной пластины, r1 — радиус внутренней пластины.

Время разряда конденсатора

Если конденсатор переключить на нагрузку резистора, он сам станет источником питания и будет отдавать заряд в цепь. Движение тока при этом начинается от пластины с отрицательным зарядом на положительно заряженную пластину и далее по контуру. Напряжение в начальный момент будет такое же как и после полной зарядки накопителя. В соответствии с законом Ома можно определить и первоначальную силу тока:

IC = UC / R.

Отдавая заряд, конденсатор будет терять напряжение. Соответственно будет уменьшаться и сила тока. Снижение обоих показателей идет по экспоненциальной кривой с замедлением скорости падения. Это значит, что динамику разрядки конденсатора можно описать, как и в случае зарядки, при помощи постоянной времени τ.

Изменение основных электрических показателей при заряде и разряде конденсатора играют ключевую роль в электротехнике и радиоэлектронике. Эта функциональность в полной мере проявляется в цепях переменного тока, где оба процесса сменяют друг друга с определенной периодичностью. На частотно-зависимых качествах электронакопителей основан принцип действия таких электроустановок, как колебательные контуры, реле времени, цепи обратной связи, частотные фильтры и другие.

Одним из важных элементов электрической цепи является конденсатор, формулы для которого позволяют рассчитать и подобрать наиболее подходящий вариант. Основная функция данного устройства заключается в накоплении определенного количества электроэнергии. Простейшая система включает в себя два электрода или обкладки, разделенные между собой диэлектриком.

В чем измеряется емкость конденсатора

Одной из важнейших характеристик конденсатора является его емкость. Данный параметр определяется количеством электроэнергии, накапливаемой этим прибором. Накопление происходит в виде электронов. Их количество, помещающееся в конденсаторе, определяет величину емкости конкретного устройства.

Для измерения емкости применяется единица – фарада. Емкость конденсатора в 1 фараду соответствует электрическому заряду в 1 кулон, а на обкладках разность потенциалов равна 1 вольту. Эта классическая формулировка не подходит для практических расчетов, поскольку в конденсаторе собираются не заряды, а электроны. Емкость любого конденсатора находится в прямой зависимости от объема электронов, способных накапливаться при нормальном рабочем режиме.

Для обозначения емкости все равно используется фарада, а количественные параметры определяются по формуле: С = Q / U, где С означает емкость, Q – заряд в кулонах, а U является напряжением. Таким образом, просматривается взаимная связь заряда и напряжения, оказывающих влияние на способность конденсатора к накоплению и удержанию определенного количества электричества.

Для расчетов емкости плоского конденсатора используется формула:
в которой ε = 8,854187817 х 10^-12 ф/м представляет собой постоянную величину. Прочие величины: ε – является диэлектрической проницаемостью диэлектрика, находящегося между обкладками, S – означает площадь обкладки, а d – зазор между обкладками.

Формула энергии конденсатора

С емкостью самым тесным образом связана другая величина, известная как энергия заряженного конденсатора. После зарядки любого конденсатора, в нем образуется определенное количество энергии, которое в дальнейшем выделяется в процессе разрядки. С этой потенциальной энергией вступают во взаимодействие обкладки конденсатора. В них образуются разноименные заряды, притягивающиеся друг к другу.

В процессе зарядки происходит расходование энергии внешнего источника для разделения зарядов с положительным и отрицательным значением, которые, затем располагаются на обкладках конденсатора. Поэтому в соответствии с законом сохранения энергии, она не исчезает бесследно, а остается внутри конденсатора в виде электрического поля, сосредоточенного между пластинами. Разноименные заряды образуют взаимодействие и последующее притяжение обкладок между собой.

Каждая пластина конденсатора под действием заряда создает напряженность электрического поля, равную Е/2. Общее поле будет складываться из обоих полей, возникающих в каждой обкладке с одинаковыми зарядами, имеющими противоположные значения.

Таким образом, энергия конденсатора выражается формулой: W=q(E/2)d. В свою очередь, напряжение выражается с помощью понятий напряженности и расстояния и представляется в виде формулы U=Ed. Это значение, подставленное в первую формулу, отображает энергию конденсатора в таком виде: W=qU/2. Для получения окончательного результата необходимо использовать определение емкости: C=q/U, и в конце концов энергия заряженного конденсатора будет выглядеть следующим образом: W_эл = CU²/2.

Формула заряда конденсатора

Для выполнения зарядки, конденсатор должен быть подключен к цепи постоянного тока. С этой целью может использоваться генератор. У каждого генератора имеется внутреннее сопротивление. При замыкании цепи происходит зарядка конденсатора. Между его обкладками появляется напряжение, равное электродвижущей силе генератора: U_c = E.

Обкладка, подключенная к положительному полюсу генератора, заряжается положительно (+q), а другая обкладка получает равнозначный заряд с отрицательной величиной (- q). Величина заряда q находится в прямой пропорциональной зависимости с емкостью конденсатора С и напряжением на обкладках Uc. Эта зависимость выражается формулой: q = C x Uc.

В процессе зарядки одна из обкладок конденсатора приобретает, а другая теряет определенное количество электронов. Они переносятся по внешней цепи под влиянием электродвижущей силы генератора. Такое перемещение является электрическим током, известным еще как зарядный емкостной ток (Iзар).

Течение зарядного тока в цепи происходит практически за тысячные доли секунды, до того момента, пока напряжение конденсатора не станет равным электродвижущей силе генератора. Напряжение увеличивается плавно, а потом постепенно замедляется. Далее значение напряжения конденсатора будет постоянным. Во время зарядки по цепи течет зарядный ток. В самом начале он достигает максимальной величины, так как напряжение конденсатора имеет нулевое значение. Согласно закона Ома I_зар = Е/R_i, поскольку к сопротивлению Ri приложена вся ЭДС генератора.

Формула тока утечки конденсатора

Ток утечки конденсатора вполне можно сравнить с воздействием подключенного к нему резистора с каким-либо сопротивлением R. Ток утечки тесно связан с типом конденсатора и качеством используемого диэлектрика. Кроме того, важным фактором становится конструкция корпуса и степень его загрязненности.

Некоторые конденсаторы имеют негерметичный корпус, что приводит к проникновению влаги из воздуха и возрастанию тока утечки. В первую очередь это касается устройств, где в качестве диэлектрика использована промасленная бумага. Значительные токи утечки возникают из-за снижения электрического сопротивления изоляции. В результате нарушается основная функция конденсатора – способность получать и сохранять заряд электрического тока.

Основная формула для расчета выглядит следующим образом: I_ут = U/R_d, где I_ут, – это ток утечки, U – напряжение, прилагаемое к конденсатору, а R_d – сопротивление изоляции.