Как найти эмпирическое корреляционное отношение

Эмпирическое корреляционное отношение

Краткая теория

---

Для измерения тесноты и силы связи между факторным и
результативным признаками рассчитывают специальные показатели – эмпирический
коэффициент детерминации

  и эмпирическое корреляционное отношение

.

Эмпирический коэффициент детерминации

  оценивает силу связи, определяя, насколько
вариация результативного признака Y объясняется вариацией фактора Х (остальная
часть вариации Y объясняется вариацией прочих факторов). Показатель

  рассчитывается как доля межгрупповой
дисперсии в общей дисперсии по формуле

где 

  – общая дисперсия признака Y,

       

 – межгрупповая (факторная) дисперсия признака
Y.

Значения показателя

 изменяются в пределах

 . При отсутствии корреляционной связи между
признаками Х и Y имеет место равенство  

,
а при наличии функциональной связи между ними – равенство 

.

Общая дисперсия

  характеризует вариацию результативного
признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Y факторов
(систематических и случайных). Этот показатель вычисляется по формуле

где 

 – индивидуальные значения результативного
признака;

        

–
общая средняя значений результативного признака;

        

 – число единиц совокупности.

Общая средняя

  вычисляется как средняя арифметическая
простая по всем единицам совокупности:

или как средняя взвешенная по частоте
групп интервального ряда:

Пример решения задачи

---

Задача

По
данным о распределении рабочих строительной фирмы по квалификации вычислить
общую дисперсию, используя правило сложения дисперсий и эмпирическое
корреляционное отношение.

Тарифные разряды	Число рабочих по подразделениям
СУ№1	СУ№2	СУ№3
1	5	10	10
2	10	20	20
3	15	30	60
4	25	25	120
5	40	20	80
6	5	10	40

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Расчет межгрупповой и средней внутригрупповой дисперсии

Расчетная вспомогательная таблица

Тарифные разряды	Число рабочих по подразделениям	Итого
СУ№1	СУ№2	СУ№3
1	5	10	10	25
2	10	20	20	50
3	15	30	60	105
4	25	25	120	170
5	40	20	80	140
6	5	10	40	55
Итого	100	115	330	545

Вычислим
среднюю для всей совокупности:

Средняя
по СУ-1:

Вычислим
межгрупповую дисперсию:

Вычислим
внутригрупповые дисперсии:

Средняя
из внутригрупповых дисперсий:

Эмпирическое
корреляционное отношение и эмпирический коэффициент детерминации

Согласно
правилу сложения дисперсий, общая дисперсия будет равна:

Эмпирическое
корреляционное отношение:

Вывод к задаче

Таким
образом, общая дисперсия

. Эмпирическое корреляционное отношение равно 0,192- связь – в
величине средних по выделенным группам колеблемость слабая.

Теория

Эмпирическое
корреляционное отношение представляется
как корень квадратный из эмпирического
коэффициента детерминации. Оно показывает
тесноту связи между статистическими
данными и определяется по формуле:

где
числитель — дисперсия групповых
средних;

знаменатель — общая дисперсия.

Корреляционное
отношение равно
нулю, если связи между данными нет. В
таком случае все групповые средние
будут равны между собой и межгрупповой
вариации не будет.

Корреляционное
отношение равно единице тогда, когда
связь функциональная. В этом случае
дисперсия групповых средних будет равна
общей дисперсии, т. е. внутригрупповой
вариации не будет.

Чем
значения корреляционного отношения
ближе к единице, тем сильнее, ближе к
функциональной зависимости связь между
признаками.

Корень
квадратный из эмпирического коэффициента
детерминации носит название эмпирического
корреляционного отношения (η): 

. 

Оно
характеризует влияние признака,
положенного в основание группировки,
на вариацию результативного признака.
Эмпирическое корреляционное отношение
изменяется в пределах от 0 до 1. 

Покажем
его практическое использование на
следующем примере (табл. 5.5). 

Таблица
5.5 

Производительность
труда двух групп рабочих одного из цехов
НПО «Циклон» 

Производительность труда рабочих
прошедших техническое обучение  (деталей за смену)	не прошедших техническое обучение (деталей за смену)
84	93	95	101	102	62	68	82	88	105

Рассчитаем
общую и групповые средние и
дисперсии: 

 

 

 

 

Исходные
данные для вычисления средней из
внутригрупповых и межгрупповой дисперсии
представлены в табл. 5.6. 

Таблица
5.6 

Расчет и
δ² по
двум группам рабочих. 

Группы рабочих	Численность рабочих, чел.	Средняя, дет./смен.	Дисперсия
Прошедшие техническое обучение	5	95	42,0
Не прошедшие техническое обучение	5	81	231,2
Все рабочие	10	88	185,6

Рассчитаем
показатели. Средняя из внутригрупповых
дисперсий: 

. 

Межгрупповая
дисперсия 

 

Общая
дисперсия: 
 

Таким
образом, эмпирическое корреляционное
соотношение: . 

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Постановка задачи

При статистическом анализе зависимостей между количественными переменными возникают ситуации, когда представляет интерес расчет и анализ такого показателя как корреляционное отношение (η).

Данный показатель незаслуженно обойден вниманием в большинстве доступных для пользователей математических пакетов.

В данном разборе рассмотрим способы расчета и анализа η средствами Python.

Не будем углубляться в теорию (про η достаточно подробно написано, например, в [1, с.73], [2, с.412], [3, с.609]), но вспомним основные свойства η:

1. η характеризует степень тесноты любой корреляционной связи (как линейной, так и нелинейной), в отличие от коэффициента корреляции Пирсона r, который характеризует тесноту только линейной связи. Условие r=0 означает отсутствие линейной корреляционной связи между величинами, но при этом между ними может существовать нелинейная корреляционная связь (η>0).

2. η принимает значения от 0 до 1; при η=0 корреляционная связь отсутствует, при η=1 связь считается функциональной; степень тесноты связи можно оценивать по различным общепринятым шкалам, например, по шкале Чеддока и др.

3. Величина η² характеризует долю вариации, объясненной корреляционной связью между рассматриваемыми переменными.

4. η не может быть меньше абсолютной величины r: η ≥ |r|.

5. η несимметрично по отношению к исследуемым переменным, то есть η_XY ≠ η_YX.

6. Для расчета η необходимо иметь эмпирические данные эксперимента с повторностями; если же мы имеем просто два набора значений переменных X и Y, то данные нужно группировать. Этот вывод, в общем-то, очевиден – если предпринять попытку рассчитать η по негруппированным данным, получим результат η=1.

Группировка данных для расчета η заключается в разбиении области значений переменных X и Y на интервалы, подсчет частот попадания данных в интервалы и формирование корреляционной таблицы.

Важное замечание: особенности методики расчета корреляционного отношения, особенно при форме связи, близкой к линейной, и η близком к единице, могут привести к результатам, в общем-то абсурдным, например:

• когда нарушается условие η ≥ |r|;

• когда r окажется значим, а η нет;

• когда нижняя граница доверительного интервала для η окажется меньше 0 или верхняя граница – больше 1.

Это нужно учитывать при выполнении анализа.

Итак, перейдем к расчетам.

Формирование исходных данных

В качестве исходных данных рассмотрим зависимость расхода среднемесячного расхода топлива автомобиля (л/100 км) (FuelFlow) от среднемесячного пробега (км) (Mileage).

Загрузим исходные данные из csv-файла (исходные данные доступны в моем репозитории на GitHub):

fuel_df = pd.read_csv(
    filepath_or_buffer='data/fuel_df.csv',
    sep=';',
    index_col='Number')
dataset_df = fuel_df.copy()    # создаем копию исходной таблицы для работы
display(dataset_df.head())

Загруженный DataFrame содержит следующие столбцы:

• Month — месяц (в формате Excel)

• Mileage – месячный пробег (км)

• Temperature – среднемесячная температура (°C)

• FuelFlow – среднемесячный расход топлива (л/100 км)

Сохраним нужные нам переменные Mileage и FuelFlow в виде numpy.ndarray.

X = np.array(dataset_df['Mileage'])
Y = np.array(dataset_df['FuelFlow'])

Для удобства дальнейшей работы сформируем сформируем отдельный DataFrame из двух переменных – X и Y:

data_XY_df = pd.DataFrame({
    'X': X,
    'Y': Y})

Настройка заголовков отчета (для дальнейшего формирования графиков):

# Общий заголовок проекта
Task_Project = "Расчет и анализ корреляционного отношения средствами Python"
# Заголовок, фиксирующий момент времени
AsOfTheDate = ""
# Заголовок раздела проекта
Task_Theme = "Анализ расхода топлива автомобиля"
# Общий заголовок проекта для графиков
Title_String = f"{Task_Project}n{AsOfTheDate}"
# Наименования переменных
Variable_Name_X = "Среднемесячный пробег (км)"
Variable_Name_Y = "Среднемесячный расход топлива автомобиля (л/100 км)"

Визуализация и первичная обработка данных

Предварительно отсеем аномальные значения (выбросы). Подробно не будем останавливаться на этой процедуре, она не является целью данного разбора.

mask1 = data_XY_df['X'] > 200
mask2 = data_XY_df['X'] < 2000
data_XY_df = data_XY_df[mask1 & mask2]

X = np.array(data_XY_df['X'])
Y = np.array(data_XY_df['Y'])

Описательная статистика исходных данных:

data_XY_df.describe()

Выполним визуализацию исходных данных:

fig, axes = plt.subplots(figsize=(297/INCH, 210/INCH))
fig.suptitle(Task_Theme)
axes.set_title('Зависимость расхода топлива от пробега')
data_df = data_XY_df
sns.scatterplot(
    data=data_df,
    x='X', y='Y',
    label='эмпирические данные',
    s=50,
    ax=axes)
axes.set_xlabel(Variable_Name_X)
axes.set_ylabel(Variable_Name_Y)
#axes.tick_params(axis="x", labelsize=f_size+4)
#axes.tick_params(axis="y", labelsize=f_size+4)
#axes.legend(prop={'size': f_size+6})
plt.show()
fig.savefig('graph/scatterplot_XY_sns.png', orientation = "portrait", dpi = 300)

Для визуальной оценки выборочных данных построим гистограммы и коробчатые диаграммы:

fig = plt.figure(figsize=(420/INCH, 297/INCH))
ax1 = plt.subplot(2,2,1)
ax2 = plt.subplot(2,2,2)
ax3 = plt.subplot(2,2,3)
ax4 = plt.subplot(2,2,4)
fig.suptitle(Task_Theme)
ax1.set_title('X')
ax2.set_title('Y')

# инициализация данных
data_df = data_XY_df
X_mean = data_df['X'].mean()
X_std = data_df['X'].std(ddof = 1)
Y_mean = data_df['Y'].mean()
Y_std = data_df['Y'].std(ddof = 1)
bins_hist = 'sturges'    # выбор числа интервалов ('auto', 'fd', 'doane', 'scott', 'stone', 'rice', 'sturges', 'sqrt')

# данные для графика плотности распределения X
xmin = np.amin(data_df['X'])
xmax = np.amax(data_df['X'])
nx = 100
hx = (xmax - xmin)/(nx - 1)
x1 = np.linspace(xmin, xmax, nx)
xnorm1 = sps.norm.pdf(x1, X_mean, X_std)
kx = len(np.histogram(X, bins=bins_hist, density=False)[0])
xnorm2 = xnorm1*len(X)*(xmax-xmin)/kx

# данные для графика плотности распределения Y
ymin = np.amin(Y)
ymax = np.amax(Y)
ny = 100
hy = (ymax - ymin)/(ny - 1)
y1 = np.linspace(ymin, ymax, ny)
ynorm1 = sps.norm.pdf(y1, Y_mean, Y_std)
ky = len(np.histogram(Y, bins=bins_hist, density=False)[0])
ynorm2 = ynorm1*len(Y)*(ymax-ymin)/ky

# гистограмма распределения X
ax1.hist(
    data_df['X'],
    bins=bins_hist,
    density=False,
    histtype='bar',    # 'bar', 'barstacked', 'step', 'stepfilled'
    orientation='vertical',   # 'vertical', 'horizontal'
    color = "#1f77b4",
    label='эмпирическая частота')
ax1.plot(
    x1, xnorm2,
    linestyle = "-",
    color = "r",
    linewidth = 2,
    label = 'теоретическая нормальная кривая')
ax1.axvline(X_mean, color='magenta', label = 'среднее значение')
ax1.axvline(np.median(data_df['X']), color='orange', label = 'медиана')
ax1.legend(fontsize = f_size+4)

# гистограмма распределения Y
ax2.hist(
    data_df['Y'],
    bins=bins_hist,
    density=False,
    histtype='bar',    # 'bar', 'barstacked', 'step', 'stepfilled'
    orientation='vertical',   # 'vertical', 'horizontal'
    color = "#1f77b4",
    label='эмпирическая частота')    
ax2.plot(
    y1, ynorm2,
    linestyle = "-",
    color = "r",
    linewidth = 2,
    label = 'теоретическая нормальная кривая')
ax2.axvline(Y_mean, color='magenta', label = 'среднее значение')
ax2.axvline(np.median(data_df['Y']), color='orange', label = 'медиана')
ax2.legend(fontsize = f_size+4)

# коробчатая диаграмма X
sns.boxplot(
    #data=corn_yield_df,
    x=data_df['X'],
    orient='h',
    width=0.3,
    ax=ax3)

# коробчатая диаграмма Y
sns.boxplot(
    #data=corn_yield_df, 
    x=data_df['Y'], 
    orient='h', 
    width=0.3, 
    ax=ax4)

# подписи осей 
ax3.set_xlabel(Variable_Name_X)
ax4.set_xlabel(Variable_Name_Y)

plt.show()
fig.savefig('graph/scatterplot_boxplot_X_Y_sns.png', orientation = "portrait", dpi = 300)

Перед тем, как приступать к дальнейшим расчетам, проверим исходные данные на соответствие нормальному закону распределения.

Выполнять такую проверку нужно обязательно, так как только для нормально распределенных данных мы можем в дальнейшем использовать общепринятые статистические процедуры анализа: проверку значимости корреляционного отношения, построение доверительных интервалов и т.д.

 Для проверки нормальности распределения воспользуемся критерием Шапиро-Уилка:

# функция для обработки реализации теста Шапиро-Уилка
def Shapiro_Wilk_test(data):
    data = np.array(data)
    result = sci.stats.shapiro(data)
    s_calc = result.statistic    # расчетное значение статистики критерия
    a_calc = result.pvalue    # расчетный уровень значимости
    
    print(f"Расчетный уровень значимости: a_calc = {round(a_calc, DecPlace)}")
    print(f"Заданный уровень значимости: a_level = {round(a_level, DecPlace)}")
    
    if a_calc >= a_level:
        conclusion_ShW_test = f"Так как a_calc = {round(a_calc, DecPlace)} >= a_level = {round(a_level, DecPlace)}" + 
            ", то гипотеза о нормальности распределения по критерию Шапиро-Уилка ПРИНИМАЕТСЯ"
    else:
        conclusion_ShW_test = f"Так как a_calc = {round(a_calc, DecPlace)} < a_level = {round(a_level, DecPlace)}" + 
            ", то гипотеза о нормальности распределения по критерию Шапиро-Уилка ОТВЕРГАЕТСЯ"
    print(conclusion_ShW_test)

# проверка нормальности распределения переменной X
Shapiro_Wilk_test(X)

# проверка нормальности распределения переменной Y
Shapiro_Wilk_test(Y)

Итак, гипотеза о нормальном распределении исходных данных принимается, что позволяет нам в дальнейшем пользоваться статистическим инструментарием для интервального оценивания величины η, проверки гипотез и т.д.

Переходим собственно к расчету корреляционного отношения.

Переходим собственно к расчету корреляционного отношения.

Расчёт и анализ корреляционного отношения

1. Выполним группировку исходных данным по обоим признакам X и Y:

Создадим новую переменную matrix_XY_df для работы с группированными данными:

matrix_XY_df = data_XY_df.copy()

Определим число интервалов группировки (воспользуемся формулой Стерджесса); при этом минимальное число интервалов должно быть не менее 2:

# объем выборки для переменных X и Y
n_X = len(X)
n_Y = len(Y)

# число интервалов группировки
group_int_number = lambda n: round (3.31*log(n_X, 10)+1) if round (3.31*log(n_X, 10)+1) >=2 else 2

K_X = group_int_number(n_X)
K_Y = group_int_number(n_Y)
print(f"Число интервалов группировки для переменной X: {K_X}")
print(f"Число интервалов группировки для переменной Y: {K_Y}")

Выполним группировку данных средствами библиотеки pandas, для этого воспользуемся функцией pandas.cut. В результате получим новые признаки cut_X и cut_X, которые показывают, в какой из интервалов попадает конкретное значение X и Y. Полученные новые признаки добавим в DataFrame matrix_XY_df:

cut_X = pd.cut(X, bins=K_X)
cut_Y = pd.cut(Y, bins=K_Y)

matrix_XY_df['cut_X'] = cut_X
matrix_XY_df['cut_Y'] = cut_Y

display(matrix_XY_df.head())

Теперь мы можем получить корреляционную таблицу с помощью функции pandas.crosstab:

CorrTable_df = pd.crosstab(
    index=matrix_XY_df['cut_X'],
    columns=matrix_XY_df['cut_Y'],
    rownames=['cut_X'],
    colnames=['cut_Y'])

display(CorrTable_df)

# проверка правильности подсчета частот по интервалам
print(f"sum = {np.sum(np.array(CorrTable_df))}")

Функция pandas.crosstab также позволяет формировать более ровные и удобные для восприятия границы интервалов группировки путем задания их вручную. Для расчета η это принципиального значения не имеет, но в отдельных случаях может быть полезно.

Например, зададим вручную границы интервалов группировки для X и Y:

bins_X = pd.IntervalIndex.from_tuples([(200, 400), (400, 600), (600, 800), (800, 1000), (1000, 1200), (1200, 1400), (1400, 1600)])
cut_X = pd.cut(X, bins=bins_X)

bins_Y = pd.IntervalIndex.from_tuples([(6.0, 7.0), (7.0, 8.0), (8.0, 9.0), (9.0, 10.0), (10.0, 11.0), (11.0, 12.0), (12.0, 13.0)])
cut_Y = pd.cut(X, bins=bins_Y)

CorrTable_df2 = pd.crosstab(
    index=pd.cut(X, bins=bins_X),
    columns=pd.cut(Y, bins=bins_Y),
    rownames=['cut_X'],
    colnames=['cut_Y'])
display(CorrTable_df2)

# проверка правильности подсчета частот по интервалам
print(f"sum = {np.sum(np.array(CorrTable_df2))}")

Есть и другой способ получения корреляционной таблицы – с помощью pandas.pivot_table:

matrix_XY_df.pivot_table(
    values=['Y'],
    index='cut_X',
    columns='cut_Y',
    aggfunc=len,
    fill_value=0)

2. Выполним расчет корреляционного отношения:

Для дальнейших расчетов приведем корреляционную таблицу к типу numpy.ndarray:

CorrTable_np = np.array(CorrTable_df)
print(CorrTable_np, type(CorrTable_np))

Итоги корреляционной таблицы по строкам и столбцам:

# итоги по строкам
n_group_X = [np.sum(CorrTable_np[i]) for i in range(K_X)]
print(f"n_group_X = {n_group_X}")

# итоги по столбцам
n_group_Y = [np.sum(CorrTable_np[:,j]) for j in range(K_Y)]
print(f"n_group_Y = {n_group_Y}")

Также нам необходимо получить среднегрупповые значения X и Y для каждой группы (интервала). При этом нужно помнить, что функция pandas.crosstab при группировании расширяет крайние диапазоны на 0.1% с каждой стороны, чтобы включить минимальное и максимальное значения.

Для доступа к данным – границам интервалов, полученным с помощью pandas.cut – существуют методы right и left:

# Среднегрупповые значения переменной X
Xboun_mean = [(CorrTable_df.index[i].left + CorrTable_df.index[i].right)/2 for i in range(K_X)]
Xboun_mean[0] = (np.min(X) + CorrTable_df.index[0].right)/2    # исправляем значения в крайних интервалах
Xboun_mean[K_X-1] = (CorrTable_df.index[K_X-1].left + np.max(X))/2
print(f"Xboun_mean = {Xboun_mean}")

# Среднегрупповые значения переменной Y
Yboun_mean = [(CorrTable_df.columns[j].left + CorrTable_df.columns[j].right)/2 for j in range(K_Y)]
Yboun_mean[0] = (np.min(Y) + CorrTable_df.columns[0].right)/2    # исправляем значения в крайних интервалах
Yboun_mean[K_Y-1] = (CorrTable_df.columns[K_Y-1].left + np.max(Y))/2
print(f"Yboun_mean = {Yboun_mean}", 'n')

Находим средневзевешенные значения X и Y для каждой группы:

Xmean_group = [np.sum(CorrTable_np[:,j] * Xboun_mean) / n_group_Y[j] for j in range(K_Y)]
print(f"Xmean_group = {Xmean_group}")

Ymean_group = [np.sum(CorrTable_np[i] * Yboun_mean) / n_group_X[i] for i in range(K_X)]
print(f"Ymean_group = {Ymean_group}")

Общая дисперсия X и Y:

Sum2_total_X = np.sum(n_group_X * (Xboun_mean - np.mean(X))**2)
print(f"Sum2_total_X = {Sum2_total_X}")

Sum2_total_Y = np.sum(n_group_Y * (Yboun_mean - np.mean(Y))**2)
print(f"Sum2_total_Y = {Sum2_total_Y}")

Межгрупповая дисперсия X и Y (дисперсия групповых средних):

Sum2_between_group_X = np.sum(n_group_Y * (Xmean_group - np.mean(X))**2)
print(f"Sum2_between_group_X = {Sum2_between_group_X}")

Sum2_between_group_Y = np.sum(n_group_X * (Ymean_group - np.mean(Y))**2)
print(f"Sum2_between_group_Y = {Sum2_between_group_Y}")

Внутригрупповая дисперсия X и Y (возникает за счет других факторов – не связанных с другой переменной):

print(f"Sum2_within_group_X = {Sum2_total_X - Sum2_between_group_X}")
print(f"Sum2_within_group_Y = {Sum2_total_Y - Sum2_between_group_Y}")

Эмпирическое корреляционное отношение:

corr_ratio_XY = sqrt(Sum2_between_group_Y / Sum2_total_Y)
print(f"corr_ratio_XY = {corr_ratio_XY}")

corr_ratio_YX = sqrt(Sum2_between_group_X / Sum2_total_X)
print(f"corr_ratio_YX = {corr_ratio_YX}")

Итак, мы получили результат – значение корреляционного отношения.

Оценим тесноту корреляционной связи по шкале Чеддока, для удобства создадим пользовательскую функцию:

def Cheddock_scale_check(r, name='r'):
    # задаем шкалу Чеддока
    Cheddock_scale = {
        f'no correlation (|{name}| <= 0.1)':    0.1,
        f'very weak (0.1 < |{name}| <= 0.2)':   0.2,
        f'weak (0.2 < |{name}| <= 0.3)':        0.3,
        f'moderate (0.3 < |{name}| <= 0.5)':    0.5,
        f'perceptible (0.5 < |{name}| <= 0.7)': 0.7,
        f'high (0.7 < |{name}| <= 0.9)':        0.9,
        f'very high (0.9 < |{name}| <= 0.99)':  0.99,
        f'functional (|{name}| > 0.99)':        1.0}
    
    r_scale = list(Cheddock_scale.values())
    for i, elem in enumerate(r_scale):
        if abs(r) <= elem:
            conclusion_Cheddock_scale = list(Cheddock_scale.keys())[i]
            break
    return conclusion_Cheddock_scale

Шкала Чеддока изначально предназначалась для оценки тесноты линейно корреляционной связи (на основе коэффициента корреляции Пирсона r), но мы ее применим и для корреляционного отношения η (не забывая про свойство η ≥ r!). В выводе функции Cheddock_scale_check можно указать символ, обозначающий величину – аргумент name=chr(951) выводит η вместо r.

В современных исследованиях шкала Чеддока теряет популярность, в последние годы все чаще применяется шкала Эванса (в психосоциальных, медико-биологических и др.исследованиях) ( более подробно про шкалы Чеддока, Эванса и др. – см.[4]). Оценим тесноту корреляционной связи по шкале Эванса, для удобства также создадим пользовательскую функцию:

def Evans_scale_check(r, name='r'):
    # задаем шкалу Эванса
    Evans_scale = {
        f'very weak (|{name}| < 0.19)':         0.2,
        f'weak (0.2 < |{name}| <= 0.39)':       0.4,  
        f'moderate (0.4 < |{name}| <= 0.59)':   0.6,
        f'strong (0.6 < |{name}| <= 0.79)':     0.8,
        f'very strong (0.8 < |{name}| <= 1.0)': 1.0}
    
    r_scale = list(Evans_scale.values())
    for i, elem in enumerate(r_scale):
        if abs(r) <= elem:
            conclusion_Evans_scale = list(Evans_scale.keys())[i]
            break
    return conclusion_Evans_scale    

print(f"Оценка тесноты корреляции по шкале Эванса: {Evans_scale_check(corr_ratio_XY, name=chr(951))}")

Итак, степень тесноты корреляционной связи может быть оценена как высокая (по шкале Чеддока), сильная (по шкале Эванса).

3. Проверка значимости корреляционного отношения:

Рассмотрим нулевую гипотезу:

H0: ηXY = 0
H1: ηXY ≠ 0

Для проверки нулевой гипотезы воспользуемся критерием Фишера:

# расчетное значение статистики критерия Фишера
F_corr_ratio_calc = (n_X - K_X)/(K_X - 1) * corr_ratio_XY**2 / (1 - corr_ratio_XY**2)
print(f"Расчетное значение статистики критерия Фишера: F_calc = {round(F_corr_ratio_calc, DecPlace)}")
# табличное значение статистики критерия Фишера
dfn = K_X - 1
dfd = n_X - K_X
F_corr_ratio_table = sci.stats.f.ppf(p_level, dfn, dfd, loc=0, scale=1)
print(f"Табличное значение статистики критерия Фишера: F_table = {round(F_corr_ratio_table, DecPlace)}")
# расчетный уровень значимости
a_corr_ratio_calc = 1 - sci.stats.f.cdf(F_corr_ratio_calc, dfn, dfd, loc=0, scale=1)
print(f"Расчетный уровень значимости: a_calc = {round(a_corr_ratio_calc, DecPlace)}")
print(f"Заданный уровень значимости: a_level = {round(a_level, DecPlace)}")
# вывод
if F_corr_ratio_calc < F_corr_ratio_table:
    conclusion_corr_ratio_sign = f"Так как F_calc = {round(F_corr_ratio_calc, DecPlace)} < F_table = {round(F_corr_ratio_table, DecPlace)}" + 
        ", то гипотеза о равенстве нулю корреляционного отношения ПРИНИМАЕТСЯ, т.е. корреляционная связь НЕЗНАЧИМА"
else:
    conclusion_corr_ratio_sign = f"Так как F_calc = {round(F_corr_ratio_calc, DecPlace)} >= F_table = {round(F_corr_ratio_table, DecPlace)}" + 
        ", то гипотеза о равенстве нулю корреляционного отношения ОТВЕРГАЕТСЯ, т.е. корреляционная связь ЗНАЧИМА"
print(conclusion_corr_ratio_sign)

4. Доверительный интервал для корреляционного отношения:

# число степеней свободы
f1 = round ((K_X - 1 + n_X * corr_ratio_XY**2)**2 / (K_X - 1 + 2 * n_X * corr_ratio_XY**2))
f2 = n_X - K_X
# вспомогательные величины
z1 = (n_X - K_X) / n_X * corr_ratio_XY**2 / (1 - corr_ratio_XY**2) * 1/sci.stats.f.ppf(p_level, f1, f2, loc=0, scale=1) - (K_X - 1)/n_X
z2 = (n_X - K_X) / n_X * corr_ratio_XY**2 / (1 - corr_ratio_XY**2) * 1/sci.stats.f.ppf(1 - p_level, f1, f2, loc=0, scale=1) - (K_X - 1)/n_X
# доверительный интервал
corr_ratio_XY_low = sqrt(z1) if sqrt(z1) >= 0 else 0
corr_ratio_XY_high = sqrt(z2) if sqrt(z2) <= 1 else 1
print(f"{p_level*100}%-ный доверительный интервал для корреляционного отношения: {[round(corr_ratio_XY_low, DecPlace), round(corr_ratio_XY_high, DecPlace)]}")

Важное замечание: при значениях η близких к 0 или 1 левая или правая граница доверительного интервала может выходить за пределы отрезка [0; 1], теряя содержательный смысл (см. [1, с.80]). Причина этого – в аппроксимационном подходе к определению границ доверительного интервала. Подобные нежелательные явления возможны, и их нужно учитывать при выполнении анализа.

5. Проверка значимости отличия линейной корреляционной связи от нелинейной:

Оценим величину коэффициента линейной корреляции:

corr_coef = sci.stats.pearsonr(X, Y)[0]
print(f"Коэффициент линейной корреляции: r = {round(corr_coef, DecPlace)}")

print(f"Оценка тесноты линейной корреляции по шкале Чеддока: {Cheddock_scale_check(corr_coef)}")
print(f"Оценка тесноты линейной корреляции по шкале Эванса: {Evans_scale_check(corr_coef)}")

Проверим значимость коэффициента линейной корреляции:

# расчетный уровень значимости
a_corr_coef_calc = sci.stats.pearsonr(X, Y)[1]
print(f"Расчетный уровень значимости коэффициента линейной корреляции: a_calc = {a_corr_coef_calc}")
print(f"Заданный уровень значимости: a_level = {round(a_level, DecPlace)}")
# вывод
if a_corr_coef_calc >= a_level:
    conclusion_corr_coef_sign = f"Так как a_calc = {a_corr_coef_calc} >= a_level = {round(a_level, DecPlace)}" + 
        ", то гипотеза о равенстве нулю коэффициента линейной корреляции ПРИНИМАЕТСЯ, т.е. линейная корреляционная связь НЕЗНАЧИМА"
else:
    conclusion_corr_coef_sign = f"Так как a_calc = {a_corr_coef_calc} < a_level = {round(a_level, DecPlace)}" + 
        ", то гипотеза о равенстве нулю коэффициента линейной корреляции ОТВЕРГАЕТСЯ, т.е. линейная корреляционная связь ЗНАЧИМА"
print(conclusion_corr_coef_sign)

Теперь проверим значимость отличия линейной корреляционной связи от нелинейной. Для этого рассмотрим нулевую гипотезу:

H0: η² - r² = 0
H1: η² - r² ≠ 0

Для проверки нулевой гипотезы воспользуемся критерием Фишера:

print(f"Корреляционное отношение: {chr(951)} = {round(corr_ratio_XY, DecPlace)}")
print(f"Коэффициент линейной корреляции: r = {round(corr_coef, DecPlace)}")
# расчетное значение статистики критерия Фишера
F_line_corr_sign_calc = (n_X - K_X)/(K_X - 2) * (corr_ratio_XY**2 - corr_coef**2) / (1 - corr_ratio_XY**2)
print(f"Расчетное значение статистики критерия Фишера: F_calc = {round(F_line_corr_sign_calc, DecPlace)}")
# табличное значение статистики критерия Фишера
dfn = K_X - 2
dfd = n_X - K_X
F_line_corr_sign_table = sci.stats.f.ppf(p_level, dfn, dfd, loc=0, scale=1)
print(f"Табличное значение статистики критерия Фишера: F_table = {round(F_line_corr_sign_table, DecPlace)}")
# расчетный уровень значимости
a_line_corr_sign_calc = 1 - sci.stats.f.cdf(F_line_corr_sign_calc, dfn, dfd, loc=0, scale=1)
print(f"Расчетный уровень значимости: a_calc = {round(a_line_corr_sign_calc, DecPlace)}")
print(f"Заданный уровень значимости: a_level = {round(a_level, DecPlace)}")
# вывод
if F_line_corr_sign_calc < F_line_corr_sign_table:
    conclusion_line_corr_sign = f"Так как F_calc = {round(F_line_corr_sign_calc, DecPlace)} < F_table = {round(F_line_corr_sign_table, DecPlace)}" + 
        f", то гипотеза о равенстве {chr(951)} и r ПРИНИМАЕТСЯ, т.е. корреляционная связь ЛИНЕЙНАЯ"
else:
    conclusion_line_corr_sign = f"Так как F_calc = {round(F_line_corr_sign_calc, DecPlace)} >= F_table = {round(F_line_corr_sign_table, DecPlace)}" + 
        f", то гипотеза о равенстве {chr(951)} и r ОТВЕРГАЕТСЯ, т.е. корреляционная связь НЕЛИНЕЙНАЯ"
print(conclusion_line_corr_sign)

Создание пользовательской функции для корреляционного анализа

Для практической работы целесообразно все вышеприведенные расчеты реализовать в виде пользовательских функций:

• функция corr_coef_check – для расчета и анализа коэффициента линейной корреляции Пирсона

• функция corr_ratio_check – для расчета и анализа корреляционного отношения

• функция line_corr_sign_check – для проверка значимости линейной корреляционной связи

Данные функции выводят результаты анализа в виде DataFrame, что удобно для визуального восприятия и дальнейшего использования результатов анализа (впрочем, способ вывода – на усмотрение каждого исследователя).

# Функция для расчета и анализа коэффициента линейной корреляции Пирсона
def corr_coef_check(X, Y, p_level=0.95, scale='Cheddok'):
    a_level = 1 - p_level
    X = np.array(X)
    Y = np.array(Y)
    n_X = len(X)
    n_Y = len(Y)
    # оценка коэффициента линейной корреляции средствами scipy
    corr_coef, a_corr_coef_calc = sci.stats.pearsonr(X, Y)
    # несмещенная оценка коэффициента линейной корреляции (при n < 15) (см.Кобзарь, с.607)
    if n_X < 15:
        corr_coef = corr_coef * (1 + (1 - corr_coef**2) / (2*(n_X-3)))
    # проверка гипотезы о значимости коэффициента корреляции
    t_corr_coef_calc = abs(corr_coef) * sqrt(n_X-2) / sqrt(1 - corr_coef**2)
    t_corr_coef_table = sci.stats.t.ppf((1 + p_level)/2 , n_X - 2)
    conclusion_corr_coef_sign = 'significance' if t_corr_coef_calc >= t_corr_coef_table else 'not significance'
    # доверительный интервал коэффициента корреляции
    if t_corr_coef_calc >= t_corr_coef_table:
        z1 = np.arctanh(corr_coef) - sci.stats.norm.ppf((1 + p_level)/2, 0, 1) / sqrt(n_X-3) - corr_coef / (2*(n_X-1))
        z2 = np.arctanh(corr_coef) + sci.stats.norm.ppf((1 + p_level)/2, 0, 1) / sqrt(n_X-3) - corr_coef / (2*(n_X-1))
        corr_coef_conf_int_low = tanh(z1)
        corr_coef_conf_int_high = tanh(z2)
    else:
        corr_coef_conf_int_low = corr_coef_conf_int_high = '-'    
    # оценка тесноты связи
    if scale=='Cheddok':
        conclusion_corr_coef_scale = scale + ': ' + Cheddock_scale_check(corr_coef)
    elif scale=='Evans':
        conclusion_corr_coef_scale = scale + ': ' + Evans_scale_check(corr_coef)
    # формируем результат            
    result = pd.DataFrame({
        'notation': ('r'),
        'coef_value': (corr_coef),
        'coef_value_squared': (corr_coef**2),
        'p_level': (p_level),
        'a_level': (a_level),
        't_calc': (t_corr_coef_calc),
        't_table': (t_corr_coef_table),
        't_calc >= t_table': (t_corr_coef_calc >= t_corr_coef_table),
        'a_calc': (a_corr_coef_calc),
        'a_calc <= a_level': (a_corr_coef_calc <= a_level),
        'significance_check': (conclusion_corr_coef_sign),
        'conf_int_low': (corr_coef_conf_int_low),
        'conf_int_high': (corr_coef_conf_int_high),
        'scale': (conclusion_corr_coef_scale)
        },
        index=['Correlation coef.'])
        
    return result        

# Функция для расчета и анализа корреляционного отношения
def corr_ratio_check(X, Y, p_level=0.95, orientation='XY', scale='Cheddok'):
    a_level = 1 - p_level
    X = np.array(X)
    Y = np.array(Y)
    n_X = len(X)
    n_Y = len(Y)    
    # запишем данные в DataFrame
    matrix_XY_df = pd.DataFrame({
        'X': X,
        'Y': Y})
    # число интервалов группировки
    group_int_number = lambda n: round (3.31*log(n_X, 10)+1) if round (3.31*log(n_X, 10)+1) >=2 else 2
    K_X = group_int_number(n_X)
    K_Y = group_int_number(n_Y)
    # группировка данных и формирование корреляционной таблицы
    cut_X = pd.cut(X, bins=K_X)
    cut_Y = pd.cut(Y, bins=K_Y)
    matrix_XY_df['cut_X'] = cut_X
    matrix_XY_df['cut_Y'] = cut_Y
    CorrTable_df = pd.crosstab(
        index=matrix_XY_df['cut_X'],
        columns=matrix_XY_df['cut_Y'],
        rownames=['cut_X'],
        colnames=['cut_Y'])
    CorrTable_np = np.array(CorrTable_df)
    # итоги корреляционной таблицы по строкам и столбцам
    n_group_X = [np.sum(CorrTable_np[i]) for i in range(K_X)]
    n_group_Y = [np.sum(CorrTable_np[:,j]) for j in range(K_Y)]
    # среднегрупповые значения переменной X
    Xboun_mean = [(CorrTable_df.index[i].left + CorrTable_df.index[i].right)/2 for i in range(K_X)]
    Xboun_mean[0] = (np.min(X) + CorrTable_df.index[0].right)/2    # исправляем значения в крайних интервалах
    Xboun_mean[K_X-1] = (CorrTable_df.index[K_X-1].left + np.max(X))/2
    # среднегрупповые значения переменной Y
    Yboun_mean = [(CorrTable_df.columns[j].left + CorrTable_df.columns[j].right)/2 for j in range(K_Y)]
    Yboun_mean[0] = (np.min(Y) + CorrTable_df.columns[0].right)/2    # исправляем значения в крайних интервалах
    Yboun_mean[K_Y-1] = (CorrTable_df.columns[K_Y-1].left + np.max(Y))/2
    # средневзевешенные значения X и Y для каждой группы
    Xmean_group = [np.sum(CorrTable_np[:,j] * Xboun_mean) / n_group_Y[j] for j in range(K_Y)]
    Ymean_group = [np.sum(CorrTable_np[i] * Yboun_mean) / n_group_X[i] for i in range(K_X)]
    # общая дисперсия X и Y
    Sum2_total_X = np.sum(n_group_X * (Xboun_mean - np.mean(X))**2)
    Sum2_total_Y = np.sum(n_group_Y * (Yboun_mean - np.mean(Y))**2)
    # межгрупповая дисперсия X и Y (дисперсия групповых средних)
    Sum2_between_group_X = np.sum(n_group_Y * (Xmean_group - np.mean(X))**2)
    Sum2_between_group_Y = np.sum(n_group_X * (Ymean_group - np.mean(Y))**2)
    # эмпирическое корреляционное отношение
    corr_ratio_XY = sqrt(Sum2_between_group_Y / Sum2_total_Y)
    corr_ratio_YX = sqrt(Sum2_between_group_X / Sum2_total_X)
    try:
        if orientation!='XY' and orientation!='YX':
            raise ValueError("Error! Incorrect orientation!")
        if orientation=='XY':
            corr_ratio = corr_ratio_XY
        elif orientation=='YX':
            corr_ratio = corr_ratio_YX
    except ValueError as err:
        print(err)
    # проверка гипотезы о значимости корреляционного отношения
    F_corr_ratio_calc = (n_X - K_X)/(K_X - 1) * corr_ratio**2 / (1 - corr_ratio**2)
    dfn = K_X - 1
    dfd = n_X - K_X
    F_corr_ratio_table = sci.stats.f.ppf(p_level, dfn, dfd, loc=0, scale=1)
    a_corr_ratio_calc = 1 - sci.stats.f.cdf(F_corr_ratio_calc, dfn, dfd, loc=0, scale=1)
    conclusion_corr_ratio_sign = 'significance' if F_corr_ratio_calc >= F_corr_ratio_table else 'not significance'
    # доверительный интервал корреляционного отношения
    if F_corr_ratio_calc >= F_corr_ratio_table:
        f1 = round ((K_X - 1 + n_X * corr_ratio**2)**2 / (K_X - 1 + 2 * n_X * corr_ratio**2))
        f2 = n_X - K_X
        z1 = (n_X - K_X) / n_X * corr_ratio**2 / (1 - corr_ratio**2) * 1/sci.stats.f.ppf(p_level, f1, f2, loc=0, scale=1) - (K_X - 1)/n_X
        z2 = (n_X - K_X) / n_X * corr_ratio**2 / (1 - corr_ratio**2) * 1/sci.stats.f.ppf(1 - p_level, f1, f2, loc=0, scale=1) - (K_X - 1)/n_X
        corr_ratio_conf_int_low = sqrt(z1) if sqrt(z1) >= 0 else 0
        corr_ratio_conf_int_high = sqrt(z2) if sqrt(z2) <= 1 else 1
    else:
        corr_ratio_conf_int_low = corr_ratio_conf_int_high = '-'    
    # оценка тесноты связи
    if scale=='Cheddok':
        conclusion_corr_ratio_scale = scale + ': ' + Cheddock_scale_check(corr_ratio, name=chr(951))
    elif scale=='Evans':
        conclusion_corr_ratio_scale = scale + ': ' + Evans_scale_check(corr_ratio, name=chr(951))
    # формируем результат            
    result = pd.DataFrame({
        'notation': (chr(951)),
        'coef_value': (corr_ratio),
        'coef_value_squared': (corr_ratio**2),
        'p_level': (p_level),
        'a_level': (a_level),
        'F_calc': (F_corr_ratio_calc),
        'F_table': (F_corr_ratio_table),
        'F_calc >= F_table': (F_corr_ratio_calc >= F_corr_ratio_table),
        'a_calc': (a_corr_ratio_calc),
        'a_calc <= a_level': (a_corr_ratio_calc <= a_level),
        'significance_check': (conclusion_corr_ratio_sign),
        'conf_int_low': (corr_ratio_conf_int_low),
        'conf_int_high': (corr_ratio_conf_int_high),
        'scale': (conclusion_corr_ratio_scale)
        },
        index=['Correlation ratio'])
    
    return result        

# Функция для проверка значимости линейной корреляционной связи
def line_corr_sign_check(X, Y, p_level=0.95, orientation='XY'):
    a_level = 1 - p_level
    X = np.array(X)
    Y = np.array(Y)
    n_X = len(X)
    n_Y = len(Y)    
    # коэффициент корреляции
    corr_coef = sci.stats.pearsonr(X, Y)[0]
    # корреляционное отношение
    try:
        if orientation!='XY' and orientation!='YX':
            raise ValueError("Error! Incorrect orientation!")
        if orientation=='XY':
            corr_ratio = corr_ratio_check(X, Y, orientation='XY', scale='Evans')['coef_value'].values[0]
        elif orientation=='YX':
            corr_ratio = corr_ratio_check(X, Y, orientation='YX', scale='Evans')['coef_value'].values[0]
    except ValueError as err:
        print(err)
    # число интервалов группировки
    group_int_number = lambda n: round (3.31*log(n_X, 10)+1) if round (3.31*log(n_X, 10)+1) >=2 else 2
    K_X = group_int_number(n_X)
    # проверка гипотезы о значимости линейной корреляционной связи
    if corr_ratio >= abs(corr_coef):
        F_line_corr_sign_calc = (n_X - K_X)/(K_X - 2) * (corr_ratio**2 - corr_coef**2) / (1 - corr_ratio**2)
        dfn = K_X - 2
        dfd = n_X - K_X
        F_line_corr_sign_table = sci.stats.f.ppf(p_level, dfn, dfd, loc=0, scale=1)
        comparison_F_calc_table = F_line_corr_sign_calc >= F_line_corr_sign_table
        a_line_corr_sign_calc = 1 - sci.stats.f.cdf(F_line_corr_sign_calc, dfn, dfd, loc=0, scale=1)
        comparison_a_calc_a_level = a_line_corr_sign_calc <= a_level
        conclusion_null_hypothesis_check = 'accepted' if F_line_corr_sign_calc < F_line_corr_sign_table else 'unaccepted'
        conclusion_line_corr_sign = 'linear' if conclusion_null_hypothesis_check == 'accepted' else 'non linear'
    else:
        F_line_corr_sign_calc = ''
        F_line_corr_sign_table = ''
        comparison_F_calc_table = ''
        a_line_corr_sign_calc = ''
        comparison_a_calc_a_level = ''
        conclusion_null_hypothesis_check = 'Attention! The correlation ratio is less than the correlation coefficient'
        conclusion_line_corr_sign = '-'
    
    # формируем результат            
    result = pd.DataFrame({
        'corr.coef.': (corr_coef),
        'corr.ratio.': (corr_ratio),
        'null hypothesis': ('ru00b2 = ' + chr(951) + 'u00b2'),
        'p_level': (p_level),
        'a_level': (a_level),
        'F_calc': (F_line_corr_sign_calc),
        'F_table': (F_line_corr_sign_table),
        'F_calc >= F_table': (comparison_F_calc_table),
        'a_calc': (a_line_corr_sign_calc),
        'a_calc <= a_level': (comparison_a_calc_a_level),
        'null_hypothesis_check': (conclusion_null_hypothesis_check),
        'significance_line_corr_check': (conclusion_line_corr_sign),
        },
        index=['Significance of linear correlation'])
    
    return result

display(corr_coef_check(X, Y, scale='Evans'))
display(corr_ratio_check(X, Y, orientation='XY', scale='Evans'))
display(line_corr_sign_check(X, Y, orientation='XY'))

Сделаем выводы по результатам расчетов:

1. Между величинами существует значимая (a_calc<0.05) корреляционная связь, корреляционное отношение η = 0.7936 (т.е. связь сильная по Эвансу).

2. Линейная корреляционная связь между величинами также значимая (a_calc<0.05), отрицательная, коэффициент корреляции r = -0.7189 (связь сильная по Эвансу); линейная корреляция между переменными объясняет 51.68% вариации.

3. Гипотеза о равенстве корреляционного отношения и коэффициента корреляции отвергается (a_calc<0.05), то есть отличие линейной формы связи от нелинейной значимо.

ИТОГИ

Итак, мы рассмотрели способы построения корреляционной таблицы, расчета корреляционного отношения, проверки его значимости и построения для него доверительных интервалов средствами Python. Также предложены пользовательские функции, уменьшающие размер кода.

Исходный код находится в моем репозитории на GitHub (https://github.com/AANazarov/Statistical-methods).

ЛИТЕРАТУРА

1. Айвазян С.А. и др. Прикладная статистика: исследование зависимостей. – М.: Финансы и статистика, 1985. – 487 с.

2. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика. Основы эконометрики: В 2 т. – Т.1: Теория вероятностей и прикладная статистика. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 656 с.

3. Кобзарь А.И. Прикладная математическая статистика. Для инженеров и научных работников. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 816 с.

4. Котеров А.Н. и др. Сила связи. Сообщение 2. Градации величины корреляции. – Медицинская радиология и радиационная безопасность. 2019. Том 64. № 6. с.12–24 (https://medradiol.fmbafmbc.ru/journal_medradiol/abstracts/2019/6/12-24_Koterov_et_al.pdf).

В статистическом анализе широко используется Эмпирический коэффициент детерминации – показатель, представляющий собой долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии результативного признака, и характеризующий силу влияния на образование общей вариации:

Эмпирический коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака “у” под влиянием факторного признака “х” (остальная часть общей вариации “у” обуславливается вариацией прочих факторов). При отсутствии связи эмпирический коэффициент равен нулю, а при функциональной связи – единице.

Эмпирическое корреляционное отношение – это корень квадратный из эмпирического коэффициента детерминации:

Оно показывает тесноту связи между группировочным и результативным признаками.

Эмпирическое корреляционное отношение, как и коэффициент детерминации, может принимать значения от 0 до 1.

Если связь отсутствует, то корреляционное отношение равно нулю, т.е. все групповые средние будут равны между собой, межгрупповой вариации не будет. Значит, группировочный признак никак не влияет на образование общей вариации.

Если связь функциональная, то корреляционное отношение будет равно единице. В этом случае дисперсия групповых средних равна общей дисперсии, т.е. внутригрупповой вариации не будет. Это означает, что группировочный признак определяет вариацию изучаемого результативного признака.

Чем ближе к единице значение корреляционного отношения, тем теснее, ближе к функциональной зависимости связь между признаками.

Для качественной оценки тесноты связи на основе показателя эмпирического корреляционного отношения можно воспользоваться соотношениями Чэддока:

Сила связи	Слабая	Умеренная	Заметная	Тесная	Весьма тесная
h	0,1-0,3	0,3-0,5	0,5-0,7	0,7-0,9	0,9-0,99

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Остались вопросы?

Задайте свой вопрос и получите ответ от профессионального преподавателя.