Как найти энергию частицы формула - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Релятивистская динамика

Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: полная энергия, связь массы и энергии, энергия покоя.

В классической динамике мы начали с законов Ньютона, потом перешли к импульсу, а после него — к энергии. Здесь мы ради простоты изложения поступим ровно наоборот: начнём с энергии, затем перейдём к импульсу и закончим релятивистским уравнением движения — модификацией второго закона Ньютона для теории относительности.

Релятивистская энергия

Предположим, что изолированное тело массы покоится в данной системе отсчёта. Одно из самых впечатляющих достижений теории относительности — это знаменитая формула Эйнштейна:

$E=mc^{2}$ (1)

Здесь — энергия тела, — скорость света в вакууме. Поскольку тело покоится, энергия , вычиляемая по формуле (1), называется энергией покоя.

Формула (1) утверждает, что каждое тело само по себе обладает энергией — просто потому, что оно существует в природе. Образно говоря, природа затратила определённые усилия на то, чтобы «собрать» данное тело из мельчайших частиц вещества, и мерой этих усилий служит энергия покоя тела. Энергия эта весьма велика; так, в одном килограмме вещества заключена энергия

$E=1cdot (3cdot 10^{8})^{2}=9cdot 10^{16}$ Дж.

Интересно, какое количество топлива нужно сжечь, чтобы выделилось столько энергии? Возьмём, например, дерево. Его удельная теплота сгорания равна $q=10^{7}$ Дж/кг, поэтому находим: $m= E/q= 9cdot 10^{9}$ кг. Это девять миллионов тонн!

Ещё для сравнения: такую энергию единая энергосистема России вырабатывает примерно за десять дней.

Почему столь грандиозная энергия, содержащаяся в теле, до сих пор оставалась нами незамеченной? Почему в нерелятивистских задачах, связанных с сохранением и превращением энергии, мы не учитывали энергию покоя? Скоро мы ответим на этот вопрос.

Поскольку энергия покоя тела прямо пропорциональна его массе, изменение энергии покоя на величину Delta E приводит к изменению массы тела на

$Delta m= frac{Delta displaystyle E}{displaystyle c^{displaystyle 2}}$ .

Так, при нагревании тела возрастает его внутренняя энергия, и, стало быть, масса тела увеличивается! В повседневной жизни мы не замечаем этого эффекта ввиду его чрезвычайной малости. Например, для нагревания воды массой m= 1 кг на $Delta t= 100^{circ}C$ (удельная теплоёмкость воды равна $c_{b}= 4200 J/(kgcdot^{circ}C)$ ) ей нужно передать количество теплоты:

$Q= c_{b}mDelta t= 4,2cdot 10^{5}$ Дж.

Увеличение массы воды будет равно:

$Delta m= frac{Q}{c^{2}}= frac{4,2cdot 10^{5}}{9cdot 10^{16}}approx 4,7cdot 10^{-12}$ кг.

Столь ничтожное изменение массы невозможно заметить на фоне погрешностей измерительных приборов.

Формула ( 1) даёт энергию покоящегося тела. Что изменится, если тело движется?

Снова рассмотрим неподвижную систему отсчёта и систему {K} , движущуюся относительно со скоростью upsilon . Пусть тело массы покоится в системе {K} ; тогда энергия тела в системе {K} есть энергия покоя, вычисляемая по формуле ( 1). Оказывается, при переходе в систему энергия преобразуется так же, как и время — а именно, энергия тела в системе , в которой тело движется со скоростью upsilon , равна:

$E= frac{mc^{2}}{sqrt{displaystyle 1-frac{upsilon ^{displaystyle 2}}{c^{displaystyle 2}}}}$ ( 2)

Формула ( 2) была также установлена Эйнштейном. Величина — это полная энергия движущегося тела. Поскольку в данной формуле $mc^{2}$ делится на «релятивистский корень», меньший единицы, полная энергия движущегося тела превышает энергию покоя. Полная энергия будет равна энергии покоя только при .

Выражение для полной энергии ( 2) позволяет сделать важные выводы о возможных скоростях движения объектов в природе.

1. Каждое массивное тело обладает определённой энергией, поэтому необходимо выполнение неравенства

$1-frac{displaystyle upsilon ^{displaystyle 2}}{displaystyle c^{displaystyle 2}}> 0$ .

Оно означает, что : скорость массивного тела всегда меньше скорости света.

2. В природе существуют безмассовые частицы (например, фотоны), несущие энергию. При подстановке m= 0 в формулу ( 2) её числитель обращается в нуль. Но энергия-то фотона ненулевая!

Единственный способ избежать здесь противоречия — это принять, что безмассовая частица обязана двигаться со скоростью света. Тогда и знаменатель нашей формулы обратится в нуль, так что формула ( 2) попросту откажет. Нахождение формул для энергии безмассовых частиц не входит в компетенцию теории относительности. Так, выражение для энергии фотона устанавливается в квантовой физике.

Интуитивно чувствуется, что полная энергия ( 2) состоит из энергии покоя и собственно «энергии движения», т. е. кинетической энергии тела. При малых скоростях движения это показывается явным образом. Используем приближённые формулы, справедливые при :

$sqrt{1-alpha }approx 1-frac{alpha }{2}$ ( 3)
$frac{1}{1-alpha }approx 1+alpha$ ( 4)

С помощью этих формул последовательно получаем из ( 2):

$E= frac{displaystyle mc^{displaystyle 2}}{sqrt{displaystyle 1-frac{displaystyle upsilon ^{displaystyle 2}}{displaystyle c^{displaystyle 2}}}}approx frac{displaystyle mc^{displaystyle 2}}{1-frac{displaystyle 1}{displaystyle 2}frac{displaystyle upsilon ^{displaystyle 2}}{displaystyle c^{displaystyle 2}}}approx mc^{2}(1+frac{displaystyle 1}{displaystyle 2}frac{displaystyle upsilon ^{displaystyle 2}}{displaystyle c^{displaystyle 2}})= mc^{2}+frac{displaystyle mupsilon ^{displaystyle 2}}{displaystyle 2}$ ( 5)

Таким образом, при малых скоростях движения полная энергия сводится просто к сумме энергия покоя и кинетической энергии. Это служит мотивировкой для определения понятия кинетической энергии в теории относительности:

$E_{K}=frac{mc^{2}}{sqrt{1-frac{upsilon ^{2}}{c^{2}}}}-mc^{2}$ . ( 6)

При формула ( 6) переходит в нерелятивистское выражение $E_{K}= mupsilon ^{2}/2$ .

Теперь мы можем ответить на заданный выше вопрос о том, почему до сих пор не учитывалась энергия покоя в нерелятивистских энергетических соотношениях. Как видно из ( 5), при малых скоростях движения энергия покоя входит в полную энергию в качестве слагаемого. В задачах, например, механики и термодинамики изменения энергии тел составляют максимум несколько миллионов джоулей; эти изменения столь незначительны по сравнению с энергиями покоя рассматриваемых тел, что приводят к микроскопическим изменениям их масс. Поэтому с высокой точностью можно считать, что суммарная масса тел не меняется в ходе механических или тепловых процессов. В результате суммы энергий покоя тел в начале и в конце процесса попросту сокращаются в обеих частях закона сохранения энергии!

Но такое бывает не всегда. В других физических ситуациях изменения энергии тел могут приводить к более заметным изменениям суммарной массы. Мы увидим, например, что в ядерных реакциях отличия масс исходных и конечных продуктов обычно составляют доли процента.Скажем, при распаде ядра урана $_{92}^{235}{cup }$ суммарная масса продуктов распада примерно на 0,1% меньше массы исходного ядра. Эта одна тысячная доля массы ядра высвобождается в виде энергии, которая при взрыве атомной бомбы способна уничтожить город.

При неупругом столкновении часть кинетической энергии тел переходит в их внутренюю энергию. Релятивистский закон сохранения полной энергии учитывает этот факт: суммарная масса тел после столкновения увеличивается!

Рассмотрим в качестве примера два тела массы , летящих навстречу друг другу с одинаковой скоростью 3c/5 . В результате неупругого столкновения образуется тело массы , скорость которого равна нулю по закону сохранения импульса (об этом законе речь впереди). Согласно закону сохранения энергии получаем:

$frac{displaystyle mc^{displaystyle 2}}{sqrt{displaystyle 1-frac{(displaystyle 3c/5)^{displaystyle 2}}{displaystyle c^{displaystyle 2}}}}+frac{displaystyle mc^{displaystyle 2}}{sqrt{displaystyle 1-frac{(displaystyle 3c/5)^{displaystyle 2}}{displaystyle c^{displaystyle 2}}}}= Mc^{2}$ ,

$2cdot frac{displaystyle mc^{displaystyle 2}}{sqrt{displaystyle 1-(frac{displaystyle 3}{displaystyle 5})^{displaystyle 2}}}= Mc^{2}$ ,

$frac{displaystyle 2m}{displaystyle 4/5}= M$ ,

$M= frac{displaystyle 5}{displaystyle 2}m$ .

Мы видим, что, M> 2m — масса образовавшегося тела превышает сумму масс тел до столкновения. Избыток массы, равный m/2 , возник за счёт перехода кинетической энергии сталкивающихся тел во внутреннюю энергию.

Релятивистский импульс.

Классическое выражение для импульса не годится в теории относительности — оно, в частности, не согласуется с релятивистским законом сложения скоростей. Давайте убедимся в этом на следующем простом примере.

Пусть система {K} движется относительно системы со скоростью v = c/2 (рис. 1). Два тела массы в системе {K} летят навстречу друг другу с одинаковой скоростью {u} . Происходит неупругое столкновение.

Рис. 1. К закону сохранения импульса

В системе {K} тела после столкновения останавливаются. Давайте, как и выше, найдём массу образовавшегося тела:

$Mc^{2}= 2frac{displaystyle mc^{displaystyle 2}}{sqrt{displaystyle 1-frac{(displaystyle c/2)^{displaystyle 2}}{displaystyle c^{displaystyle 2}}}}= frac{displaystyle 2mc^{displaystyle 2}}{sqrt{displaystyle 1-(frac{displaystyle 1}{displaystyle 4})^{displaystyle 2}}}= frac{displaystyle 4mc^{displaystyle 2}}{sqrt{displaystyle 3}}$ ,

откуда

$M= frac{displaystyle 4m}{sqrt{displaystyle 3}}$ .

Теперь посмотрим на процесс столкновения с точки зрения системы . До столкновения левое тело имеет скорость:

$u_{1}= frac{displaystyle upsilon +{displaystyle u}$ .

Правое тело имеет скорость:

$u_{2}= frac{displaystyle upsilon -{displaystyle u}$ .

Нерелятивистский импульс нашей системы до столкновения равен:

$mu_{1}-mu_{2}= frac{displaystyle 4mc}{displaystyle 5}$ .

После столкновения получившееся тело массы двигается со скоростью .
Его нерелятивистский импульс равен:

$Mupsilon = frac{displaystyle 4m}{sqrt{displaystyle 3}}frac{displaystyle c}{displaystyle 2}= frac{displaystyle 2m}{sqrt{displaystyle 3}}$ .

Как видим, $mu_{1}-mu_{2}neq Mupsilon$ , то есть нерелятивистский импульс не сохраняется.

Оказывается, правильное выражение для импульса в теории относительности получается делением классического выражения на «релятивистский корень»: импульс тела массы , двигающегося со скоростью , равен:

$vec{p}= frac{displaystyle mvec{displaystyle upsilon }}{sqrt{displaystyle 1-frac{displaystyle upsilon ^{displaystyle 2}}{displaystyle c^{displaystyle 2}}}}$ . 7

Давайте вернёмся к только что рассмотренному примеру и убедимся, что теперь с законом сохранения импульса всё будет в порядке.

Импульс системы до столкновения:

$p_{before}= frac{displaystyle mu_{displaystyle 1}}{sqrt{displaystyle 1-frac{displaystyle u_{displaystyle 1}^{displaystyle 2}}{displaystyle c^{displaystyle 2}}}}- frac{displaystyle mu_{displaystyle 2}}{sqrt{displaystyle 1-frac{displaystyle u_{displaystyle 2}^{displaystyle 2}}{displaystyle c^{displaystyle 2}}}}= frac{displaystyle m(displaystyle 4c/5)}{displaystyle sqrt{displaystyle 1-frac{(displaystyle 4c/5)^{displaystyle 2}}{displaystyle c^{displaystyle 2}}}}-0= frac{displaystyle 4mc/5}{displaystyle 3/5}= frac{displaystyle 4mc}{displaystyle 3}$ .

Импульс после столкновения:

$p_{after}= frac{displaystyle displaystyle Mupsilon }{sqrt{displaystyle 1-frac{displaystyle upsilon ^{displaystyle 2}}{displaystyle c^{displaystyle 2}}}}= frac{displaystyle Mc/2}{sqrt{displaystyle 1-frac{(displaystyle c/2)^{displaystyle 2}}{displaystyle c^{displaystyle 2}}}}=( frac{displaystyle 4m/sqrt{displaystyle 3})(displaystyle c/2)}{sqrt{displaystyle 3/2}}= frac{displaystyle 4mc}{displaystyle 3}$

Вот теперь всё правильно: $p_{before}= p_{after}$ !

Связь энергии и импульса.

Из формул ( 2) и ( 7) можно получить замечательное соотношение между энергией и импульсом в теории относительности. Возводим обе части этих формул в квадрат:

$E^{2}= frac{displaystyle m^{displaystyle 2}c^{displaystyle 4}}{1-frac{displaystyle upsilon ^{displaystyle 2}}{displaystyle c^{displaystyle 2}}}$ , $p^{2}= frac{displaystyle m^{displaystyle 2}upsilon ^{displaystyle 2}}{displaystyle 1-frac{displaystyle upsilon ^{displaystyle 2}}{displaystyle c^{displaystyle 2}}}$

Преобразуем разность:

$E^{2}-p^{2}c^{2}= frac{displaystyle m^{displaystyle 2}displaystyle c^{displaystyle 4}}{1-frac{displaystyle upsilon ^{displaystyle 2}}{displaystyle c^{displaystyle 2}}}-frac{displaystyle m^{displaystyle 2}upsilon ^{displaystyle 2}c^{displaystyle 2}}{1-frac{displaystyle upsilon ^{displaystyle 2}}{displaystyle c^{displaystyle 2}}}= frac{displaystyle m^{displaystyle 2}displaystyle c^{displaystyle 2}(displaystyle c^{displaystyle 2}-displaystyle upsilon ^{displaystyle 2})}{frac{displaystyle c^{displaystyle 2}-displaystyle upsilon ^{displaystyle 2}}{displaystyle c^{displaystyle 2}}}= m^{2}c^{4}$

Это и есть искомое соотношение:

$E^{2}-p^{2}c^{2}= m^{2}c^{4}$ . ( 8)

Данная формула позволяет выявить простую связь между энергией и импульсом фотона. Фотон имеет нулевую массу и движется со скоростью света. Как уже было замечено выше, сами по себе энергия и импульс фотона в СТО найдены быть не могут: при подстановке в формулы ( 2) и ( 7) значений m=0 и мы получим нули в числителе и знаменателе. Но зато с помощью ( 8) легко находим: $E^{2}-p^{2}c^{2}= 0$ , или

E= pc ( 9)

В квантовой физике устанавливается выражение для энергии фотона, после чего с помощью формулы ( 9) находится его импульс.

Релятивистское уравнение движения.

Рассмотрим тело массы , движущееся вдоль оси под действием силы . Уравнение движения тела в классической механике — это второй закон Ньютона: ma= F . Если за бесконечно малое время приращение скорости тела равно , то , и уравнение движения запишется в виде:

$mfrac{displaystyle dupsilon }{displaystyle dt}= F$ . ( 10)

Теперь заметим, что — изменение нерелятивистского импульса тела. В результате получим «импульсную» форму записи второго закона Ньютона — производная импульса тела по времени равна силе, приложенной к телу:

$frac{dp}{dt}= F$ . ( 11)

Все эти вещи вам знакомы, но повторить никогда не помешает 😉

Классическое уравнение движения — второй закон Ньютона — является инвариантным относительно преобразований Галилея, которые в классической механике описывают переход из одной инерциальной системы отсчёта в другую (это означает, напомним, что при указанном переходе второй закон Ньютона сохраняет свой вид). Однако в СТО переход между инерциальными системами отсчёта описывается преобразованиями Лоренца, а относительно них второй закон Ньютона уже не является инвариантным. Следовательно, классическое уравнение движения должно быть заменено релятивистским, которое сохраняет свой вид под действием преобразований Лоренца.

То, что второй закон Ньютона ( 10) не может быть верным в СТО, хорошо видно на следующем простом примере. Допустим, что к телу приложена постоянная сила. Тогда согласно классической механике тело будет двигаться с постоянным ускорением; скорость тела будет линейно возрастать и с течением времени превысит скорость света. Но мы знаем, что на самом
деле это невозможно.

Правильное уравнение движения в теории относительности оказывается совсем не сложным.
Релятивистское уравнение движения имеет вид ( 11), где p — релятивистский импульс:

$frac{displaystyle d(frac{displaystyle mupsilon }{sqrt{displaystyle 1-upsilon ^{displaystyle 2}/displaystyle c^{displaystyle 2}}})}{displaystyle dt}= F$ . ( 12)

Производная релятивистского импульса по времени равна силе, приложенной к телу.

В теории относительности уравнение ( 12) приходит на смену второму закону Ньютона.

Давайте выясним, как же в действительности будет двигаться тело массы m под действием постоянной силы . При условии из формулы ( 12) получаем:

$frac{displaystyle mupsilon }{displaystyle sqrt{displaystyle 1-frac{displaystyle upsilon ^{displaystyle 2}}{displaystyle c^{displaystyle 2}}}}= Ft$ .

Остаётся выразить отсюда скорость:

$upsilon = frac{displaystyle cFt}{sqrt{displaystyle F^{displaystyle 2}t^{displaystyle 2}+m^{displaystyle 2}c^{displaystyle 2}}}$ . ( 13)

Посмотрим, что даёт эта формула при малых и при больших временах движения.
Пользуемся приближёнными соотношениями при :

$sqrt{displaystyle 1+alpha }approx 1+frac{displaystyle alpha }{displaystyle 2}$ , ( 14)

$frac{displaystyle 1}{displaystyle 1+alpha }approx 1-alpha$ . ( 15)

Формулы ( 14) и ( 15) отличаются от формул ( 3) и ( 4) только лишь знаком в левых частях. Очень рекомендую вам запомнить все эти четыре приближённых равенства — они часто используются в физике.

Итак, начинаем с малых времён движения. Преобразуем выражение ( 13) следующим образом:

$upsilon = frac{displaystyle cFt}{displaystyle mcsqrt{displaystyle 1+frac{displaystyle F^{displaystyle 2}t^{displaystyle 2}}{displaystyle m^{displaystyle 2}c^{displaystyle 2}}}}$ .

При малых имеем:

$frac{displaystyle F^{displaystyle 2}displaystyle t^{displaystyle 2}}{displaystyle m^{displaystyle 2}displaystyle c^{displaystyle 2}}ll 1$ .

Последовательно пользуясь нашими приближёнными формулами, получим:

$upsilon approx frac{displaystyle cFt}{displaystyle mc(1+frac{displaystyle 1}{displaystyle 2}frac{displaystyle F^{displaystyle 2}displaystyle t^{displaystyle 2}}{displaystyle m^{displaystyle 2}displaystyle c^{displaystyle 2}})}approx frac{displaystyle Ft}{displaystyle m}(1-frac{F^{displaystyle 2}t^{displaystyle 2}}{displaystyle 2m^{displaystyle 2}displaystyle c^{displaystyle 2}})$ .

Выражение в скобках почти не отличается от единицы, поэтому при малых имеем:

$upsilon approx frac{Ft}{m}= at$ .

Здесь a= F/m — ускорение тела. Мы получили результат, хорошо известный нам из классической механики: скорость тела линейно растёт со временем. Это и не удивительно — при малых временах движения скорость тела также невелика, поэтому мы можем пренебречь релятивистскими эффектами и пользоваться обычной механикой Ньютона.

Теперь переходим к большим временам. Преобразуем формулу ( 13) по-другому:

$upsilon approx frac{displaystyle cFt}{displaystyle Ftsqrt{displaystyle 1+frac{displaystyle m^{displaystyle 2}displaystyle c^{displaystyle 2}}{displaystyle F^{displaystyle 2}displaystyle t^{displaystyle 2}}}}= frac{displaystyle c}{sqrt{1+frac{displaystyle m^{displaystyle 2}displaystyle c^{displaystyle 2}}{displaystyle F^{displaystyle 2}t^{displaystyle 2}}}}$ .

При больших значениях имеем:

$frac{displaystyle m^{displaystyle 2}displaystyle c^{displaystyle 2}}{displaystyle F^{displaystyle 2}displaystyle t^{displaystyle 2}}ll 1$ ,

и тогда:

$upsilon approx frac{c}{1+frac{1}{2}frac{m^{2}c^{2}}{F^{2}t^{2}}}approx c(1-frac{m^{2}c^{2}}{2F^{2}t^{2}})$ .

Хорошо видно, что при скорость тела upsilon неуклонно приближается к скорости света , но всегда остаётся меньше — как того и требует теория относительности.

Зависимость скорости тела от времени, даваемая формулой ( 13), графически представлена на рис. 2.

Рис. 2. Разгон тела под действием постоянной силы

Начальный участок графика — почти линейный; здесь пока работает классическая механика. Впоследствии сказываются релятивистские поправки, график искривляется, и при больших временах наша кривая асимптотически приближается к прямой .

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Релятивистская динамика» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Определим
эту величину таким же путём, как и в
ньютоновской механике. Было доказано,
что приращение кинетической энергии
материальной точки на элементарном
перемещении равно работе силы на этом
перемещении:

Согласно основному
закону релятивистской динамики

где
m
– релятивистская масса. Поэтому

, (7.52)

где
учтено, что
и.
Эту формулу можно упростить. Для этого
формулу зависимости массы от скорости
возведём в квадрат и риведём её к
виду:m²c²= m²
²+ m₀²c².

Найдём дифференциал
этого выражения, имея в виду, что m₀
и с
– постоянные величины.

2 mc²dm
= 2m²dm
+ 2 m²d.

Если теперь
разделить это равенство на 2m,
то его правая часть совпадёт с выражением
для
(7.52). Отсюда следует

.
(7.53)

Таким
образом, приращение
кинетической энергии частицы
пропорционально приращению её
релятивистской массы.

Кинетическая
энергия покоящейся частицы равна нулю,
а её масса равна массе покоя m₀.
Поэтому, проинтегрировав выражение
(7.53),
получаем

, (7.54)

или

;
. (7.55)

Это и есть выражение
для релятивистской
кинетической энергии частицы.
Как видно, оно сильно отличается от
ньютоновского m₀²/2.
Легко убедиться (пользуясь формулой
бинома Ньютона), что при малых скоростях
<<c,
выражение (7.55) переходит в ньютоновское.

7.7. Закон взаимосвязи массы и энергии релятивистской частицы

Из
формулы (7.53) следует, что приращение
кинетической энергии частицы сопровождается
пропорциональным приращением её
релятивистской массы:

,
или
,

где
– называют полной энергией тела, а– энергией покоя.

Эйнштейн пришёл
к выводу, что масса тела будет вырастать
не только при сообщении ему кинетической
энергии, но и при увеличении общего
запаса энергии (кинетической, электрической,
тепловой, химической и т.д.). Полная
энергия тела
E
связана с
массой этого тела m
соотношением

E
= mc². (7.56)

Эта формула выражает
один из наиболее фундаментальных законов
природы – закон
взаимосвязи (пропорциональности) массы
и полной энергии тела.

Соотношение
(7.56) можно записать и в другой форме:

E
= m₀c²+ ,
(7.57)

где
m₀
– масса покоя тела; – его кинетическая
энергия. Отсюда непосредственно следует,
что покоящееся тело (= 0) также
обладает энергией:

E₀= m₀c².
(7.58)

Эту энергию называют
энергией
покоя.

Мы видим, что масса
тела, которая в классической механике
выступала как мера инертности (во втором
законе Ньютона) теперь выступает в новой
функции – как мера
энергосодержания тела.
Даже покоящееся тело, согласно теории
относительности, обладает запасом
энергии – энергией покоя.

Изменение полной
энергии тела сопровождается эквивалентным
изменением его массы
и наоборот. При обычных макроскопических
процессах изменение массы тела оказывается
чрезвычайно малым, недоступным для
измерений. Справедливость закона
взаимосвязи массы и энергии экспериментально
проверена в ядерной физике. Это обусловлено
тем, что ядерные процессы и процессы
превращения элементарных частиц
сопровождаются весьма большими
изменениями энергии, сравнимыми с
энергией покоя самих частиц.

7.8. Связь полной энергии и импульса

Связь кинетической
энергии и импульса в классической
механике Ньютона выражается формулой
,
при этомm=m₀
=const.
Если потенциальную энергию не учитываем,
то полная энергия частицы равна её
кинетической энергии, в этом случае
.

Найдем связь полной
энергии и импульса для тела, движущегося
со скоростью, близкой к скорости света:

Преобразуем
выражение (избавимся от квадратного
корня):

Отсюда

(7.59)

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

О, это очень интересная формула.

Во-первых, сложно сказать, в какой системе подразумеваемая частица обретает релятивистскую энергию и импульс. В формуле присутствует скорость света, и скорость v. Но не уточняется – это любая движущаяся со скоростью v частица в нашей системе, или покоящаяся частица в какой-то другой системе, движущейся относительно нашей со скоростью v. А у покоящейся частицы, и нет никакого импульса.

Во-вторых, каждая частица вроде бы имеет внутреннюю энергию Е=mc^2, которая никак не зависит от движения частицы. «Достать» эту энергию можно только разрушив частицу. C другой стороны, эта энергия напрямую зависит от скорости движения частицы, согласно имеющейся формуле:

И.В. Савельев, “Курс общей физики”, “Наука”, 1982г

То есть, внутренних энергий – две. Покоя и релятивистская. Ну, тут намек на не подтвердившуюся растущую массу.

Если что, то импульсов вообще четыре:

Про выражение полной энергии частицы через импульс.

Классический импульс – это когда частица движется в нашей системе.

Релятивистский импульс – это когда частица движется.

«Внутренний» импульс – это такой инвариант у частицы в покое.

Внутренний релятивистский импульс – это такой неинвариант инварианта.

И смотрим уже на выражение полной энергии частицы через импульс.

И.В. Савельев, “Курс общей физики”, “Наука”, 1982г

И попробуем эту формулу немного преобразовать.

Ничего не напоминает? Ну, да это теорема Пифагора. Три стороны представлены разнообразными импульсами в квадрате.

И представляете, совершенно волшебным образом, из этого треугольника, если известна гипотенуза и один катет – можно найти второй катет!

И.В. Савельев, “Курс общей физики”, “Наука”, 1982г

Одно только непонятно, если эксперименты над быстрыми частицами, то есть, движущимися, подтверждают инвариантность величины (68.11), то откуда mc – релятивистская?

Источник

Если скорость релятивистской частицы меньше скорости света, то она называется массовой. Её собственная энергия, то есть энергия при (v=0):
(boxed{E_0=m_0cdot c^2}), ((1))
где (m_0) — масса покоя частицы, (E_0) — энергия покоя частицы.
Масса движущейся релятивистской частицы:
(boxed{m=frac{m_0}{sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}}}). ((2))
Полная (релятивистская) энергия, или энергия свободной (невзаимодействующей) движущейся релятивистской частицы (сформулировал А. Эйнштейн):
(boxed{E=frac{m_0 c^2}{sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}}}). ((3))
Кинетическая энергия массовой частицы:
(boxed{E_k=E-E_0}). ((4))
Импульс частицы:
(boxed{vec{p}=frac{m_0 vec{v}}{sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}}}). ((5))
Если скорость частицы равна скорости света, то такую частицу называют безмассовой (фотон и нейтрино). В таком случае энергия и импульс свободной частицы связаны соотношением:
(boxed{E^2-p^2c^2=0}). ((6))
Таким образом, для всех свободных частиц в любой инерциальной системе можно записать:
(boxed{E^2-p^2c^2=m_0^2c^4}). ((7))

Источник

Мы уже ввели релятивистскую частицу и эффекты, связанные с релятивистским движением. Напомним, что прилагательное «релятивистское» обозначает движение тел с близкими к световой скоростями. Большинство соотношений в данной теме вывести достаточно сложно, поэтому просто верим.

Итак, введённый нами импульс ( displaystyle p=mupsilon ) при условии релятивистской массы ( $displaystyle m=frac{{{m}_{0}}}{sqrt{1-frac{{{upsilon }^{2}}}{{{c}^{2}}}}}$ ) может быть записан как:

$displaystyle p=frac{{{m}_{0}}}{sqrt{1-frac{{{upsilon }^{2}}}{{{c}^{2}}}}}upsilon$ (1)

где

Немного о $displaystyle {{m}_{0}}$ — массе неподвижного в данной системе тела, называемой массой покоя.

Великим Эйнштейном было получено уникальное соотношение, характеризующее полную энергию движущейся частицы:

$displaystyle E=m{{c}^{2}}$ (2)

Логично предположить, что наименьшей энергией обладает тело, которое покоится в данной системе, назовём эту энергию энергией покоя:

$displaystyle {{E}_{0}}={{m}_{0}}{{c}^{2}}$ (3)

Тогда кинетическая энергия движущегося тела может быть найдена как разность между полной энергией и энергией покоя:

$displaystyle {{E}_{k}}=E-{{E}_{0}}$ (4)

Или:

$displaystyle m{{c}^{2}}(1-sqrt{1-frac{{{upsilon }^{2}}}{{{c}^{2}}}})=frac{{{m}_{0}}{{c}^{2}}}{sqrt{1-frac{{{upsilon }^{2}}}{{{c}^{2}}}}}(1-sqrt{1-frac{{{upsilon }^{2}}}{{{c}^{2}}}})=$ $displaystyle frac{{{m}_{0}}{{upsilon }^{2}}}{1+sqrt{1-frac{{{upsilon }^{2}}}{{{c}^{2}}}}}$ $displaystyle frac{{{m}_{0}}{{upsilon }^{2}}}{1+sqrt{1-frac{{{upsilon }^{2}}}{{{c}^{2}}}}}$ (5)

При условии $displaystyle frac{{{upsilon }^{2}}}{{{c}^{2}}}to 0$ (скорость тела очень мала по сравнению со скоростью света) получим $displaystyle {{E}_{k}}=frac{m{{upsilon }^{2}}}{2}$ (отношение скорости тела к скорости света стремиться к нулю), и соотношение (5) принимает вид $displaystyle {{E}_{k}}=frac{m{{upsilon }^{2}}}{2}$ — т.е. вид кинетической энергии в классической механике.

Вывод: в случае релятивистской механики (скорость частицы велика) достаточно помнить, что энергетические характеристики тела выражаются через более сложные соотношения (1) — (5). С точки зрения энергии, главное понять по задаче, какую энергию нам необходимо найти — покоя, полную или кинетическую.

Источник

Релятивистская динамика

Релятивистская энергия

Релятивистский импульс.

Связь энергии и импульса.

Релятивистское уравнение движения.

7.7. Закон взаимосвязи массы и энергии релятивистской частицы

7.8. Связь полной энергии и импульса

Вам также может понравиться

Как найти плотность в аккумуляторе

Как найти козу в майнкрафте

Сибилянты на виниле как исправить

Добавить комментарий Отменить ответ