Как найти энергию излучаемую телом - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Энергетическая
светимость тела
R_Т,
численно равна энергии W, излучаемой
телом во всем диапазоне длин волн (0<<)
с единицы поверхности тела, в единицу
времени, при температуре тела Т,
т.е.

(1)

Испускательная
способность тела
r__,Т
численно равна энергии тела dW_,
излучаемой телом c единицы поверхности
тела, за единицу времени при температуре
тела Т, в диапазоне длин волн от 
до +d,
т.е.

(2)

Эту
величину называют также спектральной
плотностью энергетической светимости
тела.

Энергетическая
светимость связана с испускательной
способностью формулой

(3)

Поглощательная
способность
тела __,T
– число, показывающее, какая доля энергии
излучения, падающего на поверхность
тела, поглощается им в диапазоне длин
волн от 
до +d,
т.е.

.
(4)

Тело,
для которого __,T= 1
во всем диапазоне длин волн, называется
абсолютно
черным телом (АЧТ).

Тело,
для которого __,T=const<1
во всем
диапазоне длин волн называют серым.

7.3. Закон Кирхгофа

Отношение
испускательной способности тела r__,Тк его
поглощательной способности__,T
не зависит
от природы тела и является для всех тел
универсальной функцией длины волны и
температуры, равной испускательной
способности АЧТ, т.е.

.
(5)

Отсюда
следует, что тело, которое сильнее
поглощает какие-либо лучи, будет сильнее
эти лучи и испускать.

7.4. Распределение энергии в спектре абсолютно черного тела

Абсолютно
черных тел в природе не существует. Его
функции может выполнять малое отверстие
в почти замкнутой полости (см. рис. 1).
Излучение, прошедшее внутрь этого
отверстия, прежде чем выйти обратно из
отверстия претерпевает многократные
отражения и практически полностью
поглощается. Поэтому поглощательная
способность для него__,T= 1
и по закону
Кирхгофа (5) испускательная способность
r__,Т такого
устройства очень близка к испускательной
способности АЧТ
.

Таким образом,
если стенки полости поддерживать при
некоторой температуре Т, то из отверстия
выйдет излучение, весьма близкое к
излучению AЧТ.

Разлагая полученное
излучение в спектр с помощью дифракционной
решетки и измеряя интенсивность разных
участков спектра, можно найти
экспериментально вид функции
от
(рис. 2).
Площадь, охватываемая кривой, дает
энергетическую светимость АЧТ [см.
формулу (3)]. Из рис. 2 следует, что
энергетическая светимость АЧТ сильно
возрастает с ростом температуры, а длина
волны, соответствующая максимуму
испускательной способности АЧТ, с ростом
температуры сдвигается в сторону более
коротких волн.

7.5. Закон Стефана-Больцмана

Энергетическая
светимость АЧТ пропорциональна четвертой
степени термодинамической температуры

,
(6)

где =5.6710^-8
Вт/(м²К⁴)
– постоянная Стефана-Больцмана.

7.6. Закон смещения Вина

Длина
волны, соответствующая максимальному
значению испускательной способности
АЧТ, с ростом температуры смещается в
сторону меньших длин волн:

, (7)

где b=2.910^-3
мК
– постоянная Вина.

Соседние файлы в папке Методичка Беланов А.С.

Источник

Декабрь 2000 года стал юбилейным годом возникновения квантовой физики и открытия постоянной Планка. Именно Макс Планк сумел выявить проблему спектрального распределения света, излучаемого нагретыми телами, чего классическая физика так и не смогла сделать. Он высказал гипотезу о колебательной системе, которая стала основным толчком для создания квантовой физики.

Температурное излучение

Источник, который излучает свет, забирает энергию. Существует большое количество механизмов, подводящих энергию к источнику света.

Определение 1

Когда такая энергия сообщается с помощью нагревания, ее принято называть тепловым или температурным излучением.

Изучение данного случая вызвало у физиков интерес, так как излучение могло находиться в состоянии термодинамического равновесия с нагретыми телами.

После изучения закономерностей ученые хотели найти связь между термодинамикой и оптикой.

При помещении нескольких тел в замкнутую полость с зеркальными стенками, которые имеют разную температуру, то из опыта было установлено, что вся система со временем приходит к тепловому равновесию. То есть при обмене энергией они испускают и поглощают ее. Равновесное состояние говорит о том, что эти процессы компенсируются, а плотность энергии доходит до определенного значения, которое зависит только от установленной температуры тел замкнутого пространства.

Определение 2

Излучение, находящееся в термодинамическом равновесии с определенной температурой, получило название равновесного или черного излучения. Плотность энергии и спектральный состав зависят от температуры.

При осмотре полости отверстия с установленным термодинамическим равновесием между излучением и нагретыми телами, глаза не смогут четко увидеть очертания тел и будет зафиксировано лишь свечение полости.

Определение 3

Если одно из тел полости может поглощать всю энергию любого спектрального состава, то тело называется абсолютно черным.

Заданная температура с тепловым излучением такого тела находится в состоянии теплового равновесия и имеет тот же спектральный состав, что и равновесие, которое его окружает. Иначе его установление было бы невозможно.

Поэтому задачи сводятся к исследованию спектрального состава абсолютно черного тела. Решить эту задачу классическая физика не может.

Чтобы равновесие было установлено в полости, необходимо испускание такого количества энергии, какое поглощают тела. Это является важнейшей закономерностью теплового излучения. Поэтому при заданной температуре абсолютно черное тело испускает больше энергии, чем другое тело, за промежуток времени.

Абсолютно черные тела в природе не существуют. Имеется наглядная модель с отверстием в замкнутой полости, изображенная на рисунке 5.1.1.

Рисунок 5.1.1. Модель абсолютно черного тела.

Свет проникает через отверстие и с помощью отражений поглощается стенками, поэтому снаружи кажется совершенно черным. При разогревании полости до определенной температуры Т внутри устанавливается тепловое равновесие. Тогда излучение, выходящее через отверстие, можно отнести к изучению абсолютно черного тела. Исходя из рисунка, видно, как моделируется данное явление.

При увеличении температуры внутри полости энергия возрастает, спектральный состав изменяется.

Определение 4

Распределение энергии по длинам волн при излучении абсолютно черного тела с температурой Т характеризуется излучательной способностью r (λ, T), равняющейся мощности излучения с единицы поверхности тела на единицу интервала.

Излучение черного тела

Определение 5

Формула мощности излучения равняется произведению r (λ, T) Δλ, которое испускается единичной площадкой поверхности по всем направлениям в промежутке Δλ длин волн. Таким же образом вводится распределение энергии по частотам r (ν, T).

Определение 6

Функция r (ν, T) (или r (ν, T)) получила название спектральной совместимости, а полный поток излучения R (T) всех волн

R(T)=∫0∞r (λ, T) dλ=∫0∞r (ν, T) dν – называется интегральной светимостью тела.

Конец ХХ века – это было время экспериментальных изучений. В 1879 году Йозеф Стефан проводил исследования.

Определение 7

Путем анализа Стефан пришел к заключению, что интегральная светимость R (T) абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры Т: R(T)=σT4.

В 1884 году Л. Больцман обнаружил данную зависимость. Такой закон получил название Стефана-Больцмана.

Числовая постоянная имеет запись в виде σ=5,671·10-8 Вт/м2·К4.

Рисунок 5.1.2. Спектральное распределение r (λ, T) излучения черного тела при различных температурах.

Конец 90-х относят к времени, когда тщательно проводились замеры спектрального излучения, показавшие, что явную зависимость Т от r (λ, T). Из рисунка 5.1.2 видно, что она имеет выраженный максимум. При увеличении температуры он будет смещаться в область коротких волн. А значение произведения Т и λmостанется неизменными, поэтому формула примет вид

λmT=b или λm=bT.

Определение 8

Ранее Вин получил это соотношение из термодинамики, которое характеризует закон Вина для теплового излучения: длина волны λm, которая получает максимум энергии излучения черного тела, обратно пропорциональна Т.

Определение 9

Постоянная Вина записывается как b=2,898·10-3 м·К.

Излучательная способность абсолютно черного тела

Лабораторные условия позволяли проводить практические исследования излучательной способности r (λ, T), лежащей в инфракрасной области. Чтобы максимум попал в видимую часть спектра, необходимо выполнение условия T≥5·103. Солнце излучает максимум энергии на 470 нм, определяемой зеленой областью спектра. Происходит соответствие температурных режимов своем Солнца, равных 6200 К, при рассмотрении его как абсолютно черного тела.

После введения законов Стефана-Больцмана и Вина получилось изобразить кривую спектрального распределения излучения черным телом r (λ, T). Д. Релей решил проблему о равномерном распределении энергии по степеням свободы в состоянии термодинамического равновесия, основываясь на своих суждениях.

Определение 10

Позднее Джинс сумел получить зависимость излучательной способности абсолютно черного тела от длины волны и температуры, которая записывалась как r λ, T=8πkTλ-4. Данное соотношение получило название формулы Релея-Джина.

Она применяется только для длинных волн, как показано на рисунке 5.1.3. Таким образом следует вывод, что интегральная светимость R (T) черного тела обращается в бесконечность, то есть произойдет равновесие между нагретым телом и излучением замкнутой полости.

Рисунок 5.1.3. Сравнение закона распределения энергии по длинам волн r (λ, T) в излучении абсолютно черного тела с формулой Релея–Джинса при T=1600 К.

Отсюда следует, что опыт имеет множество противоречий. Для решения задачи М. Планк основывался на классической физике.

Определение 11

Исследования показали, что энергия излучения и её поглощение нагретыми телами происходит с перерывами, так называемыми квантами.

Определение 12

Квантом называют минимальную порцию энергии, которая излучается или поглощается телом.

Определение 13

Следуя закону Планка для теплового излучения, получаем, что энергия кванта Е прямо пропорциональна частоте света, то есть E=hν, где h является постоянной Планка, имеющая значение h=6,626·10-34 Дж·с. Она является универсальной константой квантовой физики.

Гипотеза о прерывистом характере процессов излучения и поглощения излучения дала толчок на получение формулы спектральной совместимости абсолютно черного тела. Имеется форма записи формулы Планка, выражающая распределение энергии, исходя из частот, а не по длинам волн.

r ν, T=2ν2c2hνehν/kT-1.

Значение с принимает скорость света, h – постоянная Планка, k – постоянная Больцмана, Т – абсолютная температура.

Определение 14

Если частоты различные, то для описания спектрального распределения излучения черного тела подойдет формула Планка для теплового излучения. Из нее выводится закон Стефана-Больцмана и Вина для теплового излучения. Если выполняется условие hν≪kT, тогда происходит переход к формуле Релея-Джинса.

Решение проблемы излучения черного тела говорило о появлении новой эры в физике, ученым пришлось отказаться от классических представлений для понятия квантования.

Рисунок 5.1.4. Модель излучения абсолютно черного тела.

Источник

Фо́рмула Пла́нка (зако́н Пла́нка) — формула, описывающая спектральную плотность излучения, которое создаётся абсолютно чёрным телом определённой температуры. Формула была открыта Максом Планком в 1900 году и названа по его фамилии. Её открытие сопровождалось появлением гипотезы о том, что энергия может принимать только дискретные значения. Эта гипотеза некоторое время после открытия не считалась значимой, но, как принято считать, дала рождение квантовой физике.

Формула[править | править код]

Формула Планка — выражение для спектральной плотности излучения, создаваемого абсолютно чёрным телом определённой температуры. Встречаются различные формы записи этой формулы^[1]^[2].

Энергетическая яркость[править | править код]

Формула, выражающая спектральную плотность энергетической яркости, выглядит следующим образом^[3]:

${displaystyle B_{nu }(nu ,T)={frac {2hnu ^{3}}{c^{2}}}{frac {1}{e^{frac {hnu }{kT}}-1}},}$

где — частота излучения, — температура абсолютно чёрного тела, — постоянная Планка, — скорость света, — постоянная Больцмана. В системе СИ величина ${displaystyle B_{nu }}$ в этой формуле имеет размерность Вт·м⁻²·Гц⁻¹·ср⁻¹. Её физический смысл — энергетическая яркость в малом диапазоне частот , делённая на . Можно использовать аналогичную формулу, в которой энергетическая яркость будет функцией длины волны lambda , а не частоты^[3]^[4]:

${displaystyle B_{lambda }(lambda ,T)={frac {2hc^{2}}{lambda ^{5}}}{frac {1}{e^{frac {hc}{lambda kT}}-1}}}$

В этом случае ${displaystyle B_{lambda }}$ имеет размерность Вт·м⁻²·м⁻¹·ср⁻¹ и соответствует энергетической яркости в малом диапазоне длин волн , делённой на ^[3]^[4].

Излучательная способность[править | править код]

Излучательная способность на частоте или длине волны lambda — это мощность излучения на единицу площади в интервале частот или длин волн , делённая, соответственно, на или . Она может быть выражена формулами^[5]:

${displaystyle varepsilon _{nu }(nu ,T)={frac {2pi hnu ^{3}}{c^{2}}}{frac {1}{e^{frac {hnu }{kT}}-1}}}$

${displaystyle varepsilon _{lambda }(lambda ,T)={frac {2pi hc^{2}}{lambda ^{5}}}{frac {1}{e^{frac {hc}{lambda kT}}-1}}}$

Таким образом, излучательная способность тела численно в раз больше яркости, если телесный угол в ней измеряется в стерадианах. Величины ${displaystyle varepsilon _{nu }}$ и ${displaystyle varepsilon _{lambda }}$ имеют размерности, соответственно, Вт·м⁻²·Гц⁻¹ и Вт·м⁻²·м⁻¹^[5].

Спектральная плотность энергии[править | править код]

Ещё одна форма записи описывает спектральную объёмную плотность энергии излучения абсолютно чёрного тела. По аналогии с предыдущими формулами, она равна плотности энергии в малом диапазоне частот или длин волн, делённой на ширину этого диапазона^[1]^[2]:

${displaystyle u_{nu }(nu ,T)={frac {8pi hnu ^{3}}{c^{3}}}{frac {1}{e^{frac {hnu }{kT}}-1}}}$

${displaystyle u_{lambda }(lambda ,T)={frac {8pi hc}{lambda ^{5}}}{frac {1}{e^{frac {hc}{lambda kT}}-1}}}$

В системе СИ величины ${displaystyle u_{nu }}$ и ${displaystyle u_{lambda }}$ имеют размерности, равные, соответственно, Дж·м⁻³·Гц⁻¹ и Дж·м⁻³·м⁻¹^[1]^[2]. Кроме того, спектральная плотность энергии связана с излучательной способностью соотношением ${textstyle varepsilon ={frac {c}{4}}u}$ ^[6].

Применимость[править | править код]

Спектр Солнца (жёлтый цвет) и спектр абсолютно чёрного тела температурой 5777 K (серый цвет)

Формула Планка применима для излучения, которое находится в тепловом равновесии с веществом при определённой температуре^[2]. Она применима для абсолютно чёрных тел любой формы вне зависимости от состава и структуры при условии, что размеры излучающего тела и деталей его поверхности гораздо больше длин волн, на которых тело в основном излучает^[3]^[7].

В случае если тело не является абсолютно чёрным, то спектр его равновесного теплового излучения не описывается законом Планка, но связан с ним законом излучения Кирхгофа. Согласно этому закону, отношение излучательной и поглощательной способностей тела одинаково для всех длин волн и зависит только от температуры^[8]. Так, например, при одной температуре распределение энергии в спектре абсолютно серого тела будет таким же, как и в спектре абсолютно чёрного, но суммарная энергетическая яркость излучения будет меньше^[9].

Формула Планка также используется и для описания реальных тел, спектр излучения которых отличается от планковского. Для этого вводится понятие эффективной температуры тела: это та температура, при которой абсолютно чёрное тело излучает столько же энергии на единицу площади, что и данное тело. Аналогичным образом определяется яркостная температура, равная температуре абсолютно чёрного тела, излучающего столько же энергии на единицу площади на определённой длине волны, и цветовая температура, равная температуре абсолютно чёрного тела с таким же распределением энергии в определённом участке спектра^[2]^[10]^[11]. Например, для Солнца эффективная температура составляет около 5780 K, а яркостная температура, в зависимости от длины волны, принимает различные значения: на длине волны 1500 Å она достигает минимального значения в 4200 K, а в видимом диапазоне на длине волны 5500 Å составляет около 6400 K, в то время как для абсолютно чёрного тела температуры, определяемые таким образом, совпадают^[12].

История открытия[править | править код]

Предыстория[править | править код]

Определение закона теплового излучения представляло интерес с 1859 года, когда Густав Кирхгоф открыл закон излучения Кирхгофа, согласно которому отношение излучательной и поглощательной способностей универсально для всех тел. Следовательно, функция излучения абсолютно чёрного тела, поглощательная способность которого равна единице для всех длин волн, должна совпадать с функцией этого отношения^[13]^[14].

К концу XIX века спектр излучения абсолютно чёрного тела уже был известен экспериментально. В 1896 году Вильгельм Вин эмпирически описал его законом излучения Вина, однако получить ни его теоретическое обоснование, ни какой-либо вывод физикам на тот момент не удавалось. Хотя Вин в своей работе приводил обоснование закона, оно было недостаточно строгим, чтобы эта проблема считалась решённой^[6]^[15]^[16].

Макс Планк был одним из тех, кто пытался теоретически обосновать закон излучения Вина. Он исходил из того, что излучатели являются линейными гармоническими осцилляторами, у которых установилось равновесие между испусканием и поглощением; определив связь между энтропией и энергией осцилляторов, он смог подтвердить закон излучения Вина^[17].

Однако дальнейшие эксперименты показали, что закон излучения Вина неточно описывает спектр теплового излучения в длинноволновой области. В октябре 1900 года Планк представил формулу, которая с точностью до констант совпадала с современным законом Планка. В тот же день было выяснено, что формула хорошо описывает экспериментальные данные, но при этом она не имела под собой теоретической основы. Планк вывел её лишь на основании того, что в предельном случае для коротких волн она должна переходить в закон Вина, но, в отличие от него, согласовываться с экспериментальными данными для длинных волн^[18].

Открытие[править | править код]

Менее чем через два месяца после сообщения о получении формулы Планк представил её теоретический вывод на заседании Немецкого физического общества. В нём использовалось соотношение для энтропии, введённое Людвигом Больцманом, в котором рассматривается число возможных микроскопических состояний системы. Планк, чтобы иметь возможность использовать методы комбинаторики и оценить таким образом энтропию, сделал допущение, что полная энергия состоит из целого числа конечных элементов энергии — квантов^[15]^[19].

Несмотря на то, что в этом выводе появились кванты и была введена и впервые использована постоянная Планка, ни сам Планк, ни его коллеги не поняли всей глубины открытия. Например, Планк считал, что дискретность энергии не имеет никакого физического смысла и является лишь математическим приёмом. Другие физики также не придали этому значения и не считали, что это предположение противоречит классической физике. Лишь после публикации Хендрика Лоренца в 1908 году научное сообщество пришло к мнению, что кванты действительно имеют физический смысл. Сам Планк впоследствии называл ввод квантов «актом отчаяния», вызванным тем, что «теоретическое объяснение должно быть найдено любой ценой, сколь высокой она ни была бы». Несмотря на всё это, день, когда формула Планка была обоснована, — 14 декабря 1900 года — считается днём рождения квантовой физики^[15]^[20].

Пользуясь соображениями классической физики, в 1900 году лорд Рэлей, а в 1905 году Джеймс Джинс вывели закон Рэлея — Джинса. К такому же результату, независимо от них, приходил в своих работах и сам Планк. Вывод этого закона мало отличался от вывода закона Планка (см. ниже^[⇨]), за исключением того, что средняя энергия излучения была принята равной , согласно теореме о равном распределении энергии по степеням свободы. С точки зрения классической физики ход вывода не вызывал сомнений, однако закон Рэлея — Джинса не только серьёзно расходился с экспериментальными данными везде, кроме длинноволновой области, но и предсказывал бесконечно большую мощность излучения на коротких волнах. Этот парадокс указал на то, что в классической физике всё же имеются фундаментальные противоречия, и стал дополнительным аргументом в пользу квантовой гипотезы. Пауль Эренфест в 1911 году впервые назвал его ультрафиолетовой катастрофой^[6]^[15]^[21].

В 1918 году Макс Планк стал лауреатом Нобелевской премии по физике, и хотя официально он был награждён за открытие квантов, это открытие было тесно связано с выводом закона Планка^[22].

Вывод формулы Планка[править | править код]

Вывод через распределение Больцмана[править | править код]

Формула Планка выводится следующим образом^[6].

При выводе рассматривается абсолютно чёрное тело малых размеров с температурой , расположенное внутри куба с ребром длины , внутренние стенки которого идеально отражают излучение. В результате испускание и поглощение света уравновесятся, а излучение будет распределено равномерно по всему внутреннему пространству куба. Внутри куба будет поддерживаться некоторая плотность энергии u(T) . Тогда спектральной плотностью энергии будет называться величина ${displaystyle u_{omega }(omega ,T)}$ , равная плотности энергии на единичный интервал угловых частот вблизи omega .

При выборе малой площади Delta S на поверхности абсолютно чёрного тела можно рассчитать, сколько энергии на неё падает. Плотность энергии, падающей под углом theta к нормали из телесного угла dOmega , равна ${textstyle d{tilde {u}}=u(T){frac {dOmega }{4pi }}}$ , так как излучение равномерно распределено по всем направлениям в телесном угле 4pi стерадиан. Свет движется со скоростью , а значит, за время Delta t на поверхность падает энергия :

${displaystyle dw=c,d{tilde {u}},Delta t,Delta Scos theta ={frac {c}{4pi }}u(T)cos theta sin theta ,dtheta ,dvarphi ,Delta S,Delta t}$

Суммой энергии, приходящей со всех направлений, будет поток Phi :

${displaystyle Phi ={frac {c}{4pi }}u(T)int _{0}^{2pi }dvarphi int _{0}^{pi /2}cos theta sin theta ,dtheta ={frac {c}{4}}u(T)}$

Такое же количество энергии будет излучать та же единица площади абсолютно чёрного тела, а значит, как для всего потока, так и для любого диапазона частот или длин волн будет справедливо соотношение ${textstyle varepsilon ={frac {c}{4}}u}$ .

Так как внутри куба одновременно присутствуют и излучаемые, и отражённые волны, поле теплового излучения должно представлять собой их суперпозицию, то есть иметь вид стоячих электромагнитных волн. Для определения их параметров вводятся декартова система координат вдоль рёбер куба и соответствующие орты ${textstyle {vec {e}}_{x},{vec {e}}_{y},{vec {e}}_{z}}$ . Для волны, которая распространяется строго вдоль оси , должно выполняться ${textstyle l=n_{x}{frac {lambda }{2}}}$ , где ${displaystyle n_{x}}$ — натуральное число: то есть полуцелое число волн должно иметь суммарную длину ровно . Волновой вектор такой волны равен ${textstyle {vec {k}}=k_{x}{vec {e}}_{x}}$ , где ${textstyle k_{x}={frac {2pi }{lambda }}}$ — волновое число, ограничение для которого принимает вид ${textstyle k_{x}=n_{x}{frac {pi }{l}}}$ .

Для волн, распространяющихся вдоль осей и , рассуждения аналогичны; волну, которая распространяется в любом другом направлении, можно представлять в виде суперпозиции волн, которые распространяются вдоль осей: ${displaystyle {vec {k}}=k_{x}{vec {e}}_{x}+k_{y}{vec {e}}_{y}+k_{z}{vec {e}}_{z}}$ . Следовательно, ${textstyle k_{x}=n_{x}{frac {pi }{l}},k_{y}=n_{y}{frac {pi }{l}},k_{z}=n_{z}{frac {pi }{l}}}$ , где ${displaystyle n_{x},n_{y},n_{z}}$ — независимые друг от друга натуральные числа либо нули. Тогда волновое число любой волны представляется как ${textstyle k={sqrt {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}}={frac {pi }{l}}{sqrt {n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}}}}$ , а частота как ${textstyle omega ={frac {pi c}{l}}{sqrt {n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}}}}$ . Каждой тройке этих параметров соответствует одна стоячая волна.

С помощью безразмерной величины ${textstyle R={frac {omega l}{pi c}}}$ можно определить число стоячих волн частотой не более omega . Это число равно числу комбинаций ${displaystyle n_{x},n_{y},n_{z}}$ , для которых ${displaystyle R^{2}geq n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}}$ . Тогда можно оценить как восьмую часть объёма шара с радиусом :

${displaystyle {tilde {N}}={frac {1}{8}}cdot {frac {4}{3}}pi R^{3}={frac {1}{6}}cdot {frac {omega ^{3}l^{3}}{pi ^{2}c^{3}}}={frac {1}{6}}cdot {frac {omega ^{3}}{pi ^{2}c^{3}}}V,}$

где — пространство, в котором заключено излучение. Так как электромагнитные волны — поперечные, в каждом направлении могут распространяться по две волны, поляризованных взаимно перпендикулярно, и реальное число волн увеличивается ещё в два раза:

${displaystyle N=2{tilde {N}}={frac {1}{3}}cdot {frac {omega ^{3}}{pi ^{2}c^{3}}}V}$

Если продифференцировать это выражение по частоте, получится число стоячих волн с длинами волн в интервале :

${displaystyle dN={frac {omega ^{2}domega }{pi ^{2}c^{3}}}V}$

Можно взять за среднюю энергию стоячей электромагнитной волны с частотой omega . Если умножить количество стоячих волн на и разделить полученное значение на и на , получится спектральная плотность энергии излучения:

${displaystyle u_{omega }={frac {omega ^{2}}{pi ^{2}c^{3}}}langle varepsilon rangle }$

Для дальнейшего вывода закона Планка необходимо учитывать эффекты квантовой физики, а именно — то, что энергия излучается конечными по величине порциями, по величине равными ( ${textstyle hbar ={frac {h}{2pi }}}$ — постоянная Дирака); соответственно, возможные значения энергии излучения равны ${displaystyle varepsilon _{n}=nhbar omega }$ , где — любое натуральное число. Таким образом, средняя энергия излучения равна:

${displaystyle langle varepsilon rangle =sum _{n=0}^{infty }P_{n}varepsilon _{n},}$

где $P_{n}$ — вероятность того, что излучение будет иметь энергию, равную $varepsilon _{n}$ . Вероятность описывается распределением Больцмана по энергиям (англ.) (рус. с некоторой константой :

${displaystyle P_{n}=Ae^{-{frac {varepsilon _{n}}{kT}}}}$

С учётом ${textstyle sum _{n=0}^{infty }P_{n}=1}$ , для верно:

${displaystyle A=left(sum _{n=0}^{infty }e^{-{frac {varepsilon _{n}}{kT}}}right)^{-1}}$

Таким образом, выражается как:

${displaystyle langle varepsilon rangle ={frac {sum _{n=0}^{infty }nhbar omega e^{-{frac {nhbar omega }{kT}}}}{sum _{n=0}^{infty }e^{-{frac {nhbar omega }{kT}}}}}=hbar omega {frac {sum _{n=0}^{infty }ne^{-nxi }}{sum _{n=0}^{infty }e^{-nxi }}}}$

Здесь ${textstyle xi ={frac {hbar omega }{kT}}}$ . Знаменатель раскладывается по формуле суммы геометрической прогрессии, а числитель представляется как производная знаменателя по :

${displaystyle S=sum _{n=0}^{infty }e^{-nxi }={frac {1}{1-e^{-xi }}}}$

${displaystyle sum _{n=0}^{infty }ne^{-nxi }=-{frac {dS}{dxi }}={frac {e^{-xi }}{(1-e^{-xi })^{2}}}}$

Получается выражение для средней энергии:

${displaystyle langle varepsilon rangle ={frac {hbar omega }{e^{frac {hbar omega }{kT}}-1}}}$

Если подставить в формулу для спектральной плотности энергии излучения, получится один из окончательных вариантов формулы Планка:

${displaystyle u_{omega }={frac {hbar omega ^{3}}{pi ^{2}c^{3}}}{frac {1}{e^{frac {hbar omega }{kT}}-1}}}$

Соотношение ${textstyle varepsilon ={frac {c}{4}}u}$ позволяет получить формулу для излучательной способности^[6]:

${displaystyle varepsilon _{omega }={frac {hbar omega ^{3}}{4pi ^{2}c^{2}}}{frac {1}{e^{frac {hbar omega }{kT}}-1}}}$

Если разделить на , получится выражение для спектральной плотности яркости^[23]:

${displaystyle B_{omega }={frac {hbar omega ^{3}}{4pi ^{3}c^{2}}}{frac {1}{e^{frac {hbar omega }{kT}}-1}}}$

Эти величины можно выразить через другие параметры — например, циклическую частоту или длину волны lambda . Для этого нужно учесть, что по определению выполняются соотношения ${displaystyle B_{omega }domega =B_{nu }dnu }$ , ${displaystyle B_{nu }dnu =-B_{lambda }dlambda }$ (минус появляется из-за того, что про росте длины волны уменьшается частота) и аналогичные формулы для излучательной способности и плотности энергии. Так, для перехода к циклическим частотам нужно заменить (при этом ${textstyle hbar ={frac {h}{2pi }}}$ , так что ) и домножить на ${textstyle {frac {domega }{dnu }}=2pi }$ , тогда формулы примут вид^[3]^[23]:

${displaystyle u_{nu }={frac {8pi hnu ^{3}}{c^{3}}}{frac {1}{e^{frac {hnu }{kT}}-1}}}$

${displaystyle varepsilon _{nu }={frac {2pi hnu ^{3}}{c^{2}}}{frac {1}{e^{frac {hnu }{kT}}-1}}}$

${displaystyle B_{nu }={frac {2hnu ^{3}}{c^{2}}}{frac {1}{e^{frac {hnu }{kT}}-1}}}$

Аналогичным образом получаются формулы для длин волн. После замены ${textstyle nu ={frac {c}{lambda }}}$ и домножения на ${textstyle {frac {dnu }{dlambda }}=-{frac {c}{lambda ^{2}}}}$ ^[3]^[23]:

${displaystyle u_{lambda }={frac {8pi hc}{lambda ^{5}}}{frac {1}{e^{frac {hc}{lambda kT}}-1}}}$

${displaystyle varepsilon _{lambda }={frac {2pi hc^{2}}{lambda ^{5}}}{frac {1}{e^{frac {hc}{lambda kT}}-1}}}$

${displaystyle B_{lambda }={frac {2hc^{2}}{lambda ^{5}}}{frac {1}{e^{frac {hc}{lambda kT}}-1}}}$

Вывод через статистику Бозе — Эйнштейна[править | править код]

Если рассматривать равновесное излучение как фотонный газ, к нему можно применить статистику Бозе — Эйнштейна. Она определяет среднее число частиц ${displaystyle langle n_{i}rangle }$ в -м квантовом состоянии с энергией $E_{i}$ ^[24]:

${displaystyle langle n_{i}rangle ={frac {1}{e^{frac {E_{i}-mu }{kT}}-1}}}$

В этой формуле — химический потенциал газа. Для фотонного газа он равен нулю, поэтому формула для него представима в следующем виде^[24]:

${displaystyle langle nrangle ={frac {1}{e^{frac {hbar omega }{kT}}-1}}}$

Если умножить среднее число фотонов на их энергию , получится та же средняя энергия , что и выведенная из распределения Больцмана. При подстановке её в формулу для спектральной плотности энергии ${textstyle u_{omega }={frac {omega ^{2}}{pi ^{2}c^{3}}}langle varepsilon rangle }$ получится закон Планка^[24].

Вывод через спонтанное и вынужденное излучения[править | править код]

Формула Планка также может быть выведена из рассмотрения механизмов спонтанного и вынужденного излучений атомов^[25].

В этом выводе, предложенном Эйнштейном в 1916 году, рассматриваются $N_{m}$ и $N_{n}$ атомов на уровнях с энергией E_m и $E_{n}$ соответственно. Тогда количество переходов с высшего уровня $E_{n}$ на низший E_m в единицу времени пропорционально $N_{n}$ и может быть записано как ${displaystyle A_{n}^{m}N_{n}}$ . При вынужденном излучении количество переходов в единицу времени пропорционально $N_{n}$ и спектральной плотности излучения на частоте перехода ${displaystyle u(omega _{mn})}$ , то есть может быть записано как ${displaystyle B_{n}^{m}N_{n}u(omega _{mn})}$ . Количество же переходов в единицу времени из-за поглощения пропорционально $N_{m}$ и ${displaystyle u(omega _{mn})}$ и записывается как ${displaystyle B_{m}^{n}N_{m}u(omega _{mn})}$ ^[25].

Величины ${displaystyle A_{n}^{m},B_{n}^{m},B_{m}^{n}}$ — характеристики только самого атома и выбранных энергетических уровней, называемые коэффициентами Эйнштейна. Если поле излучения равновесное и имеет температуру , то условие детального равновесия выглядит следующим образом^[25]:

${displaystyle A_{n}^{m}N_{n}+B_{n}^{m}N_{n}u(omega _{mn})=B_{m}^{n}N_{m}u(omega _{mn})}$

В пределе можно пренебречь спонтанным излучением по сравнению с вынужденным, и тогда условие равновесия примет вид ${displaystyle B_{n}^{m}N_{n}=B_{m}^{n}N_{m}}$ . Так как при будет выполняться ${displaystyle N_{n}=N_{m}}$ , а коэффициенты Эйнштейна не зависят от температуры, будет верно равенство ${displaystyle B_{n}^{m}=B_{m}^{n}}$ , что справедливо для простых уровней; для кратных уровней нужно дополнительно учитывать коэффициенты кратности. В дальнейшем можно рассматривать только простые уровни, так как плотность энергии излучения не зависит от деталей строения вещества^[25].

Можно воспользоваться распределением Больцмана^[25]:

${displaystyle {frac {N_{n}}{N_{m}}}=e^{left({frac {E_{n}-E_{m}}{kT}}right)}}$

При применении его к условию равновесия получается^[25]:

${displaystyle u(omega _{mn})={frac {alpha (omega _{mn})}{e^{left({frac {hbar omega _{mn}}{kT}}right)}-1}},}$

где ${textstyle alpha (omega _{mn})={frac {A_{n}^{m}}{B_{n}^{m}}}}$ . Эта величина не зависит от температуры и может быть найдена из условия, что для высоких температур должна быть справедлива формула Рэлея — Джинса^[25]:

${displaystyle u(omega _{mn})={frac {alpha (omega _{mn})kT}{hbar {omega _{mn}}}}}$

${displaystyle alpha (omega _{mn})={frac {hbar omega _{mn}^{3}}{pi ^{2}c^{3}}}}$

Энергетические уровни могут быть взяты произвольным образом, поэтому индексы и можно убрать и использовать формулу для произвольных частот. При подстановке в исходную формулу для получается формула Планка. Таким образом, важным следствием справедливости формулы Планка является существование вынужденных переходов, которые необходимы для реализации лазерной генерации^[25].

Связь с другими формулами[править | править код]

Закон Рэлея — Джинса[править | править код]

Синим и чёрным цветами обозначены спектры, соответствующие закону Планка и закону Рэлея — Джинса при одной температуре. Видно, что во втором случае наблюдается неограниченный рост мощности при уменьшении длины волны

Закон Рэлея — Джинса — приближение закона Планка, хорошо работающее при (то есть в диапазоне больших длин волн и малых частот), но сильно расходящееся с ним при , сравнимых или больших . В законе Рэлея — Джинса используется приближение ${textstyle e^{frac {hc}{lambda kT}}approx 1+{frac {hc}{lambda kT}}}$ , справедливое при малых ${textstyle {frac {hc}{lambda kT}}}$ , поэтому приближение выглядит следующим образом^[26]^[27]:

${displaystyle B_{lambda }={frac {2hc^{2}}{lambda ^{5}}}{frac {lambda kT}{hc}}={frac {2ckT}{lambda ^{4}}}}$

В рамках классической физики в результате вывода закона излучения получается именно закон Рэлея — Джинса. Однако при малых длинах волн закон Рэлея — Джинса не только расходится с экспериментом, но и предсказывает неограниченный рост мощности излучения при приближении длины волны к нулю. Этот парадокс получил название ультрафиолетовой катастрофы (см. выше^[⇨])^[6]^[27].

Закон излучения Вина[править | править код]

Спектры излучения по закону Планка (зелёный), в приближении Рэлея — Джинса (красный) и в приближении Вина (синий). Оси имеют логарифмический масштаб; температура тела — 0,008 К

Закон излучения Вина — приближение закона Планка, хорошо работающее при — в области малых длин волн и больших частот. Закон излучения Вина предполагает, что при единицей в знаменателе формулы Планка можно пренебречь и считать ${textstyle e^{frac {hc}{lambda kT}}-1approx e^{frac {hc}{lambda kT}}}$ . Тогда формула принимает вид^[26]^[27]:

${displaystyle B_{lambda }={frac {2hc^{2}}{lambda ^{5}}}e^{-{frac {hc}{lambda kT}}}}$

Закон Стефана — Больцмана[править | править код]

Плотность потока энергии соответствует площади под графиком функции. По закону Стефана — Больцмана она пропорциональна четвёртой степени температуры

Закон Стефана — Больцмана — выражение, описывающее излучение абсолютно чёрного тела во всём электромагнитном диапазоне. Оно выводится из закона Планка интегрированием по частоте или, в зависимости от формы записи, по длине волны^[28]:

${displaystyle B(T)=int _{0}^{infty }{B_{nu }}dnu =int _{0}^{infty }{B_{lambda }}dlambda }$

${displaystyle B(T)={frac {2h}{c^{2}}}int _{0}^{infty }{frac {nu ^{3}dnu }{e^{frac {hnu }{kT}}-1}}}$

Заменим ${textstyle x={frac {hnu }{kT}}}$ , тогда ${textstyle dnu ={frac {kT}{h}}dx}$ ^[28]:

${displaystyle B(T)={frac {2h}{c^{2}}}{frac {k^{4}}{h^{4}}}T^{4}int _{0}^{infty }{frac {x^{3}dx}{e^{x}-1}}}$

Этот определённый интеграл равен ${textstyle {frac {pi ^{4}}{15}}}$ . Можно выразить ${displaystyle B(T)=AT^{4}}$ , где — константа^[28]:

${displaystyle A={frac {2k^{4}}{c^{2}h^{3}}}{frac {pi ^{4}}{15}}}$

Плотность потока энергии при этом в раз больше энергетической яркости, поэтому для вычисления первой используется коэффициент , называемый постоянной Стефана — Больцмана, равный 5,67⋅10⁻⁸ Вт·м⁻²·K⁻⁴. Мощность излучения с единичной площади в таком случае может быть выражена как ${displaystyle F=sigma T^{4}}$ . Это выражение и называется законом Стефана — Больцмана^[28].

Закон смещения Вина[править | править код]

По закону смещения Вина длина волны, на которой достигается максимальная излучательная способность, обратно пропорциональна температуре

Закон смещения Вина связывает длину волны, на которой излучательная способность абсолютно чёрного тела максимальна, с его температурой. Он выводится из закона Планка дифференцированием его по частоте или длине волны, в зависимости от формы записи, и приравниванием производной к нулю, который достигается в максимуме функции. При этом получается соотношение ${displaystyle lambda _{max}T=b}$ , где — константа, равная 0,0029 м·K. Таким образом, при увеличении температуры длина волны максимума уменьшается^[29].

Хотя для частот можно проделать аналогичную процедуру, частоту максимума спектральной плотности нельзя рассчитать по формуле ${textstyle nu _{max}={frac {c}{lambda _{max}}}}$ , так как связь между частотой и длиной волны нелинейна, а излучательная способность рассчитывается по излучению на единичном интервале частот или длин волн^[29].

Применение[править | править код]

Для абсолютно чёрного тела спектр описываемый законом Планка однозначно связан с его температурой. Поэтому закон находит применение в пирометрии, то есть дистанционном определении температуры горячих тел. В случае отличия спектра тела от излучения абсолютно чёрного тела пирометр измеряет эффективную температуру, которая называется радиационной $T_{r}$ . Зная отношение испускательной способности исследуемого тела к испускательной способности абсолютно чёрного тела ${displaystyle Q_{T}=E_{T}/varepsilon _{T}<1}$ , которая показывает отличие от формулы Планка, можно найти реальную температуру ${displaystyle T=T_{r}/(Q_{T})^{1/4}}$ . Для многих практических важных материалов значения ${displaystyle Q_{T}}$ известны^[30].

Примечания[править | править код]

↑ ¹ ² ³ Planck’s radiation law (англ.). Encyclopedia Britannica. Дата обращения: 18 декабря 2020. Архивировано 13 декабря 2020 года.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Масалов А. В. Планка закон излучения // Большая российская энциклопедия. — Издательство БРЭ, 2014. — Т. 26. — 767 с. — ISBN 978-5-85270-363-7.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ Karttunen et al., 2007, p. 103.
↑ ¹ ² Кононович, Мороз, 2004, с. 170.
↑ ¹ ² Кононович, Мороз, 2004, с. 181.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ 1.2. Квантовая теория излучения. Кафедра физики МГТУ им. Баумана. Дата обращения: 18 декабря 2020. Архивировано 28 сентября 2015 года.
↑ Juan Carlos Cuevas. Thermal radiation from subwavelength objects and the violation of Planck’s law (англ.) // Nature Communications. — Nature Research, 2019. — 26 July (vol. 10). — P. 3342. — ISSN 2041-1723. — doi:10.1038/s41467-019-11287-6. Архивировано 12 марта 2022 года.
↑ 1.1. Законы теплового излучения. Кафедра физики МГТУ им. Баумана. Дата обращения: 24 января 2021. Архивировано 8 августа 2020 года.
↑ Серое тело. Энциклопедия физики и техники. Дата обращения: 24 января 2021. Архивировано 17 апреля 2021 года.
↑ Karttunen et al., 2007, p. 104.
↑ Кононович, Мороз, 2004, с. 193—194.
↑ Кононович, Мороз, 2004, с. 239—240.
↑ Джеммер, 1985, с. 14—16.
↑ Сивухин, 2002, с. 681—682.
↑ ¹ ² ³ ⁴ Max Planck: the reluctant revolutionary (англ.). Physics World (1 декабря 2000). Дата обращения: 19 декабря 2020. Архивировано 6 июля 2022 года.
↑ Джеммер, 1985, с. 21.
↑ Джеммер, 1985, с. 22—27.
↑ Джеммер, 1985, с. 27—30.
↑ Джеммер, 1985, с. 30—33.
↑ Джеммер, 1985, с. 30—34.
↑ Сивухин, 2002, с. 697.
↑ The Nobel Prize in Physics 1918 (англ.). NobelPrize.org. Nobel Foundation. Дата обращения: 19 декабря 2020. Архивировано 7 июня 2020 года.
↑ ¹ ² ³ Different Formulations of Planck’s Law. www.physics-in-a-nutshell.com. Дата обращения: 19 декабря 2020. Архивировано 14 декабря 2020 года.
↑ ¹ ² ³ Сивухин, 2002, с. 703—704.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ Сивухин, 2002, с. 704—706.
↑ ¹ ² Кононович, Мороз, 2004, с. 182.
↑ ¹ ² ³ Karttunen et al., 2007, p. 105.
↑ ¹ ² ³ ⁴ Karttunen et al., 2007, pp. 103—104.
↑ ¹ ² Karttunen et al., 2007, pp. 104—105.
↑ Ландсберг, 2003, с. 639.

Литература[править | править код]

Кононович Э. В.; Мороз В. И. Общий курс астрономии / Под ред. В. В. Иванова. — 2-е, испр. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — 544 с. — ISBN 5-354-00866-2.
Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Физматлит МФТИ, 2002. — Т. 4. Оптика. — 792 с. — ISBN 5-9221-0228-1.
Джеммер М. Эволюция понятий квантовой механики. — М.: Наука, 1985. — 384 с.
Ельяшевич М. А. Планка закон излучения // Физическая энциклопедия. — М.: БРЭ, 1992. — Т. 3. — С. 625—626.
Karttunen H., Kroger P., Oja H., Poutanen M., Donner K. J. Fundamental Astronomy. — 5th Edition. — Berlin: Springer, 2007. — 510 p. — ISBN 978-3-540-34143-7.
Ландсберг Г. С. Оптика: учебное пособие для вузов. — 6-е изд. стереот.. — М.: Физматлит, 2003. — 848 с. — ISBN 5-9221-0314-8.

Источник

Законы теплового излучения. Лучистое тепло.

Страница: 1 / Страница: 2

Может, для кого-то это будет новостью, но передача температуры происходит не только теплопроводностью через прикосновение одного тела к другому. Каждое тело (Твердое, жидкое и газообразное) испускает тепловые лучи определенной волны. Эти лучи, уходя от одного тела, поглощаются другим телом, и принимают тепло на себя. И я попытаюсь Вам объяснить, как это происходит, и сколько тепла мы теряем этим излучением у себя дома на отопление. (Я думаю, многим будет интересно увидеть эти цифры). В конце статьи решим задачку из реального примера.

В статье будут трехэтажные формулы и интегральные выражения для математиков, но не стоит их бояться, можете даже не вникать в эти формулы. В задаче я вам дам формулы, которые решаются на-раз-два и даже не нужно знать высшую математику, достаточно знать элементарную арифметику.

Я не однократно в этом убеждался, что сидя у костра (обычно большого) мое лицо обжигали эти лучи. И если я закрывал костер своими ладонями и при этом руки были вытянуты, то получалось, что мое лицо переставало обжигать. Не трудно догадаться, что эти лучи прямые как световые. Меня обжигает не воздух, циркулирующий вокруг костра, и даже не теплопроводность воздуха, а именно прямые не видимые тепловые лучи, идущие от костра.

В космосе между планетами обычно вакуум и поэтому передача температур осуществляется исключительно тепловыми лучами (Все лучи – это электромагнитные волны).

Тепловое излучение имеет природу такую, как световые и электромагнитные лучи (волны). Просто, эти волны (лучи) имеют разную длину волны.

Например, длины волн в диапазоне 0,76 – 50 мкм, называется инфракрасными. Все тела, имеющие комнатную температуру + 20 °С, излучают в основном инфракрасные волны с длинами волн, близкими к 10 мкм.

Всякое тело, если только температура его отлична от абсолютного нуля (-273,15 °С), способно посылать в окружающее пространство излучение. Поэтому любое тело излучает на окружающие его тела лучи и в свою очередь находится под воздействием излучения этих тел.

Любая мебель в доме (стул, стол, стены и даже диван) испускает тепловые лучи.

Тепловое излучение может поглощаться или проходить в сквозь тело, а также может просто отражаться от тела. Отражение тепловых лучей подобно тому, как если бы световой луч отражался от зеркала. Поглощение теплового излучения подобно тому, как черная крыша сильно нагревается от солнечных лучей. А проникновение или прохождение лучей подобно тому, как лучи проходят в сквозь стекло или воздух. Наиболее распространенным в природе видом электромагнитного излучения является тепловое излучение.

Очень близко по своим свойствам к черному телу относится так называемое реликтовое излучение, или космический микроволновой фон — заполняющее Вселенную излучение с температурой около 3 К.

Вообще в науке теплотехнике, чтобы объяснить процессы тепловых излучений, удобно использовать понятие черного тела, для того чтобы качественно объяснить процессы тепловых излучений. Только черное тело способно в некотором роде облегчить расчеты.

Как было описано выше любое тело способно:

1. Излучать тепловую энергию. 2. Поглощать тепловую энергию. 3. Отражать тепловую энергию.

Черное тело – это тело, которое полностью поглощает тепловую энергию, то есть оно не отражает лучи и в сквозь нее не проходит тепловое излучение. Но не забываем, что черное тело излучает тепловую энергию.

Поэтому к этому телу так легко применить расчеты.

Какие возникают сложности при расчете, если тело не является черным телом?

Тело, которое не является черным телом, имеет такие факторы:

1. Поглощает, какую-то часть теплового излучения, а другая часть проходит в сквозь тело. 2. Отражает, какую-то часть теплового излучения.

Эти два фактора усложняют расчет на столько, что “мама не горюй”. Очень сложно так считать. А ученые по этому поводу толком не объяснили, как рассчитать серое тело. Кстати серое тело – это и есть тело, которое не является черным телом.

Также есть понятие: Белое тело и прозрачное тело, но об этом ниже.

Тепловое излучение имеет разные частоты (разные волны), и каждое отдельное тело может иметь разную волну излучения. К тому же при изменении температуры, эта длина волны может меняться, может меняться и ее интенсивность (сила излучения).

Все эти факторы усложнят процесс на столько, что трудно подобрать универсальную формулу для расчета потерь энергии на излучательности. И поэтому в учебниках и в любых литературах используют для расчета черное тело, а другие серые тела используют как часть черного тела. Чтобы рассчитать серое тело используют коэффициент черноты. Эти коэффициенты приведены в справочниках для некоторых матералов.

Рассмотрим изображение, которое подтверждает сложность вычисления излучательности.

На рисунке изображены два шарика, которые в себе имеют частички этого шарика. Красные стрелки это лучи испускаемые частичками.

Рассмотрим черное тело.

Внутри черного тела глубоко внутри расположены некоторые частички, которые обозначены оранжевым цветом. Они испускают лучи, которые поглощают рядом находящиеся другие частички, которые обозначены желтым цветом. Лучи оранжевых частичек черного тела не способны пройти в сквозь другие частички. И поэтому только наружные частички этого шарика испускают лучи по всей площади шарика. Поэтому расчет черного тела легко считается. Также принято считать, что черное тело испускает весь спектр волн. То есть испускает все имеющиеся волны различных длин. Серое тело может испускать часть спектра волн, только определенной длины волн.

Рассмотрим серое тело.

Внутри серого тела, имеющиеся внутри частички излучают какую то часть лучей, которые проходят в сквозь другие частички. И только поэтому расчет усложняется многократно.

Тепловое излучение – это электромагнитное излучение, возникающее вследствие преобразования энергии теплового движения частиц тела в энергию излучения. Именно тепловой характер возбуждения элементарных излучателей (атомов, молекул и т.п.) противопоставляет тепловое излучение всем другим видам свечения и обуславливает его специфическое свойство зависеть лишь от температуры и оптических характеристик излучающего тела.

Опыт показывает, что тепловое излучение наблюдается у всех тел при любой температуре, отличной от 0 К. Конечно, интенсивность и характер излучения зависят от температуры излучающего тела. Например, все тела, имеющие комнатную температуру + 20 °С, излучают в основном инфракрасные волны с длинами волн, близкими к 10 мкм, а Солнце излучает энергию, максимум которой приходится на 0,5 мкм, что соответствует видимому диапазону. При Т → 0 К тела практически не излучают.

Тепловое излучение ведет к уменьшению внутренней энергии тела и, следовательно, к снижению температуры тела, к охлаждению. Нагретое тело за счет теплового излучения отдает внутреннюю энергию и охлаждается до температуры окружающих тел. В свою очередь, поглощая излучение, могут нагреваться холодные тела. Такие процессы, которые могут происходить и в вакууме, называют радиационным теплообменом.

Абсолютно черное тело — физическая абстракция, применяемая в термодинамике, тело, поглощающее все падающее на него электромагнитное излучение во всех диапазонах и ничего не отражающее. Несмотря на название, абсолютно черное тело само может испускать электромагнитное излучение любой частоты и визуально иметь цвет. Спектр излучения абсолютно черного тела определяется только его температурой.

Таблица:

(Температурный интервал в Кельвинах и их Цвет)

до 1000 Красный

1000—1500 Оранжевый

1500—2000 Жёлтый

2000—4000 Бледно-жёлтый

4000—5500 Желтовато-белый

5500—7000 Чисто белый

7000—9000 Голубовато-белый

9000—15000 Бело-голубой

15000—∞ Голубой

Кстати по длине волны (цвета) определили температуру солнца оно около 6000 Кельвин. Угли обычно светятся красным цветом. Вам это ничего не напоминает? По цвету можно определять температуру. То есть существуют такие приборы, которые измеряют длину волны, тем самым определяют температуру материала.

Наиболее черные реальные вещества, например, сажа, поглощают до 99 % падающего излучения (т. е. имеют альбедо, равное 0,01) в видимом диапазоне длин волн, однако инфракрасное излучение поглощается ими значительно хуже. Глубокий черный цвет некоторых материалов (древесного угля, черного бархата) и зрачка человеческого глаза объясняется тем же механизмом. Среди тел Солнечной системы свойствами абсолютно черного тела в наибольшей степени обладает Солнце. По определению Солнце практически не отражает никакого излучения. Термин был введен Густавом Кирхгофом в 1862.

По спектральной классификации Солнце относится к типу G2V («жёлтый карлик»). Температура поверхности Солнца достигает 6000 K, поэтому Солнце светит почти белым светом, но из-за поглощения части спектра атмосферой Земли у поверхности нашей планеты этот свет приобретает жёлтый оттенок.

Абсолютно чёрное тела – 100% поглощает и при этом нагревается, так и наоборот! нагретое тело – 100% излучает это означает, что есть строгая закономерность (формула излучения абсолютно чёрного тела) между температурой Солнца – и его спектром – так как и спектр и температуру уже определили – да, у Солнца нет отклонений от этих параметров!

В астрономии есть такая диаграмма – “Спектр-Светимость”, так вот наше Солнце принадлежит “главной последовательности” звезд, к которой принадлежат и большинство других звезд, то есть почти все звезды “абсолютно чёрные тела”, как это не странно… Исключения – белые карлики, красные гиганты и Новые, Сверх-Новые…

Это кто-то физику в школе недоучил.

Абсолютно чёрное тело поглощает ВСЁ излучение и излучает больше всех остальных тел (чем больше тело поглощает, тем сильнее оно нагревается; чем больше оно нагревается, тем больше оно излучает).

Пусть у нас есть две поверхности – серая (с коэффициентом черноты 0,5) и абсолютно чёрная (коэффициент 1).

Коэффициент черноты – это коэффициент поглощения.

Теперь на эти поверхности направив одинаковый поток фотонов, допустим, 100 штук.

Серая поверхность поглотит 50 из них, чёрная – все 100.

Какая поверхность, испускает больше света – в которой “сидит” 50 фотонов или 100?

Излучение абсолютно чёрного тела впервые правильно рассчитал Планк.

Излучение Солнца примерно подчиняется формуле Планка.

И так начнем изучать теорию…

Под излучением (радиацией) понимают испускание и распространение электромагнитных волн любого вида. В зависимости от длины волны различают: Ренгеновские, ультрафиолетовые, инфракрасные, световое (видимое) излучение и радиоволны.

Рентгеновское излучение — электромагнитные волны, энергия фотонов которых лежит на шкале электромагнитных волн между ультрафиолетовым излучением и гамма-излучением, что соответствует длинам волн от 10−2 до 103 Ангстрем. 10 Ангстрем = 1 нм. (0,001-100 нм)

Ультрафиолетовое излучение (ультрафиолет, УФ, UV) — электромагнитное излучение, занимающее диапазон между фиолетовой границей видимого излучения и рентгеновским излучением (10 — 380 нм).

Инфракрасное излучение — электромагнитное излучение, занимающее спектральную область между красным концом видимого света (с длиной волны λ = 0,74 мкм) и микроволновым излучением (λ ~ 1—2 мм).

Сейчас весь диапазон инфракрасного излучения делят на три составляющих:

Коротковолновая область: λ = 0,74—2,5 мкм;

Средневолновая область: λ = 2,5—50 мкм;

Длинноволновая область: λ = 50—2000 мкм;

Видимое излучение — электромагнитные волны, воспринимаемые человеческим глазом. Чувствительность человеческого глаза к электромагнитному излучению зависит от длины волны (частоты) излучения, при этом максимум чувствительности приходится на 555 нм (540 терагерц), в зелёной части спектра. Поскольку при удалении от точки максимума чувствительность спадает до нуля постепенно, указать точные границы спектрального диапазона видимого излучения невозможно. Обычно в качестве коротковолновой границы принимают участок 380—400 нм (750—790 ТГц), а в качестве длинноволновой — 760—780 нм (385—395 ТГц). Электромагнитное излучение с такими длинами волн также называется видимым светом, или просто светом (в узком смысле этого слова).

Радиоизлучение (радиоволны, радиочастоты) — электромагнитное излучение с длинами волн 5•10−5—1010 метров и частотами, соответственно, от 6•1012 Гц и до нескольких Гц. Радиоволны используются при передаче данных в радиосетях.

Тепловое излучение представляет собой процесс распространения в пространстве внутренней энергии излучающего тела путем электромагнитных волн. Возбудителями этих волн являются материальные частицы, входящие в состав вещества. Для распространения электромагнитных волн не требуется материальной среды, в вакууме они распространяются со скоростью света и характеризуются длиной волны λ или частотой колебаний ν. При температуре до 1500 °С основная часть энергии соответствует инфракрасному и частично световому излучению (λ=0,7÷50 мкм).

Следует отметить, что энергия излучения испускается не непрерывно, а в виде определенных порций — квантов. Носителями этих порций энергии являются элементарные частицы излучения — фотоны, обладающие энергией, количеством движений и электромагнитной массой. При попадании на другие тела энергия излучения частично поглощается ими, частично отражается и частично проходит сквозь тело. Процесс превращения энергии излучения во внутреннюю энергию поглощающего тела называется поглощением. Большинство твердых и жидких тел излучают энергию всех длин волн в интервале от 0 до ∞, то есть имеют сплошной спектр излучения. Газы испускают энергию только в определенных интервалах длин волн (селективный спектр излучения). Твердые тела излучают и поглощают энергию поверхностью, а газы — объемом.

Излучаемая в единицу времени энергия в узком интервале изменения длин волн (от λ до λ+dλ) называется потоком монохроматического излучения Qλ. Поток излучения, соответствующий всему спектру в пределах от 0 до ∞, называется интегральным, или полным, лучистым потоком Q(Вт). Интегральный лучистый поток, излучаемый с единицы поверхности тела по всем направлениям полусферического пространства, называется плотностью интегрального излучения (Вт/м²).

Чтобы понять эту формулу рассмотрим изображение.

Я не случайно изобразил два варианта тела. Формула справедлива только для тела квадратной формы. Так как излучающая площадь должна быть плоской. При условии, что излучает только поверхность тела. Внутренние частицы не излучают.

S - площадь тела (м²) Q - энергия (Вт), излучаемая лучами со всей площади.

Зная плотность излучения материала, можно рассчитать, сколько энергии уходит на излучение:

Q=E•S

Необходимо понимать, что лучи исходящие от плоскости имеют разную интенсивность излучения по отношению к нормали плоскости.

Закон Ламберта. Излучаемая телом лучистая энергия распространяется в пространстве по различным направлениям с различной интенсивностью. Закон, устанавливающий зависимость интенсивности излучения от направления, называется законом Ламберта.

Закон Ламберта устанавливает, что количество лучистой энергии, излучаемое элементом поверхности в направлении другого элемента, пропорционально произведению количества энергии, излучаемой по нормали, на величину пространственного угла, составленного направлением излучения с нормалью

Смотри изображение.

Интенсивность каждого лучика можно найти с помощью тригонометрической функции:

Qх=Q•sin Y

То есть [sin Y] – это своего рода коэффициент угла и он строго подчиняется тригонометрии угла. Коэффициент работает только для черного тела. Так как рядом находящиеся частички будут поглощать боковые лучи. Для серого тела, необходимо учитывать количество проходящих в сквозь частички лучей. Отражение лучей, тоже необходимо учитывать.

Следовательно, наибольшее количество лучистой энергии излучается в перпендикулярном направлении к поверхности излучения. Закон Ламберта полностью справедлив для абсолютно черного тела и для тел, обладающих диффузным излучением при температуре 0 – 60°С. Для полированных поверхностей закон Ламберта неприменим. Для них лучеиспускание при угле будет большим, чем в направлении, нормальном к поверхности.

Ниже мы обязательно рассмотрим более объемные формулы для расчета количества тепла теряемые телом. Но пока необходимо кое-что узнать дополнительно о теории.

Немного об определениях. Определения пригодятся, чтобы правильно выражаться.

Отметим, что большинство твердых и жидких тел имеет сплошной (непрерывный) спектр излучения. Это значит, что они обладают способностью излучать лучи всех длин волн.

Даже обычный стол в комнате как твердое тело может излучать рентгеновское или ультрафиолетовое излучение, но интенсивность его настолько мала, что мы этого не то, что не замечаем, его значение по отношению к другим волнам может приближаться к нулевому значению.

Лучистым потоком (или потоком излучения) называют отношение лучистой энергии ко времени излучения, Вт:

Ф= ΔQ/Δt,

где Q— энергия излучения, Дж; т — время, с.

Если лучистый поток, излучаемый произвольной поверхностью во всех направлениях (т.е. в пределах полусферы произвольного радиуса) осуществляется в узком интервале длин волн от λ до λ+Δλ, то его называют потоком монохроматического излучения

Ф=ΔQλ/Δt

Суммарное излучение с поверхности тела по всем длинам волн спектра называется интегральным или полным потоком излучения Ф

Интегральный поток, испускаемый с единицы поверхности, носит название поверхностной плотности потока интегрального излучения или излучательности, Вт/м²,

Е = ΔФ/ΔА

Формулу можно применять и при монохроматическом излучении. Если на поверхность тела падает тепловое монохроматическое излучение, то в общем случае часть, равная В_λ этого излучения, поглотится телом, т.е. превратится в другую форму энергии в результате взаимодействия с веществом, часть F_λ будет отражена, и часть D_λ пройдет сквозь тело. Если принять, что падающее на тело излучение равно единице, то

В_λ+F_λ+D_λ=1

где В_λ, F_λ, D_λ — коэффициенты соответственно поглощения, отражения

и пропускания тела.

Когда в пределах спектра величины В, F, D остаются постоянными, т.е. не зависят от длины волны, то надобность в индексах отпадает. В этом случае

B+F+D = 1,

Если В= 1 (F = D = 0), то тело, полностью поглощающее все падающее на него излучение независимо от длины волны, направления падения и состояния поляризации излучения, называется черным телом или полным излучателем.

Если F=1 (В=D=0), то падающее на тело излучение полностью отражается. В том случае, когда поверхность тела шероховатая, то лучи отражаются рассеянно (диффузное отражение), и тело называют белым, а когда поверхность тела гладкая и отражение следует законам геометрической оптики, то тело (поверхность) называют зеркальным. В том случае, когда D = 1 (В=F=0), тело проницаемо для тепловых лучей (диатермично).

Твердые тела и жидкости для тепловых лучей практически непрозрачны (D = 0), т.е. атермичны. Для таких тел

В + F= 1.

Этот фактор упрощает расчеты, так как там где мы живем, обычно нас окружают твердые тела. А также твердые тела обычно испускают весь спектр волн (частот). Для будущей задачи мы примем эти показатели во внимание.

Абсолютно черных, так же как и прозрачных или белых тел, в природе нет. Такие тела должны рассматриваться как научные абстракции. Но все же некоторые реальные тела могут достаточно близко подходить по своим свойствам к таким идеализированным телам.

Надо отметить, что некоторые тела обладают по отношению к лучам определенной длины волны одними свойствами, а к лучам другой длины — иными. Например, тело может быть прозрачным для инфракрасных лучей и непрозрачным для видимых (световых) лучей. Поверхность тела может быть гладкой по отношению к лучам одной длины волны и шероховатой — для лучей другой длины волны.

Газы, в особенности находящиеся под небольшим давлением, в противоположность твердым и жидким телам излучают линейчатый спектр. Таким образом, газы поглощают и излучают лучи лишь определенной длины волны, других же лучей они не могут ни излучать, ни поглощать. В этом случае говорят о селективном (выборочном) поглощении и излучении.

В теории теплового излучения важную роль играет величина, называемая спектральной плотностью потока излучения, или спектральной излучательностью, представляющей собой отношение плотности лучистого потока, испускаемого в бесконечно малом интервале длин волн от λ до λ+Δλ, к размеру этого интервала длин волн Δλ, Вт/м²,

Eλ=ΔE/Δλ,

где E – поверхностная плотность лучистого потока, Вт/м².

Теперь надеюсь Вам понятно, что процесс вычисления становится сверх затруднительным. Нам еще в этом направление работать и работать. Это каждый материал надо тестировать на различные температуры. Но почему-то данных по материалам практически нет. Вернее я не нашел эксперементальный справочник по материалам.

Почему нет такого справочника по материалам? Потому что теплопотери тепловым излучением очень маленькие, и я думаю вряд ли превышают 10% в наших бытовых условиях. Поэтому в расчет теплопотерь их не закладывают. Вот когда мы будем часто летать в космос, тогда и появятся все расчеты. Вернее в нашей космонавтике накопились данные по материалам, но в свободной доступности их пока нет.

Закон поглощения лучистой энергии

Каждое тело способно поглощать какую-либо часть излучающей энергии об этом ниже.

Если на какое-либо тело толщиной l, падает лучистый поток (смотри рисунок), то в общем случае при прохождении сквозь тело он уменьшается. Принимают, что относительное изменение лучистого потока на пути Δl прямо пропорционально пути потока:

Коэффициент пропорциональности b называется показателем погло-щения, зависящим в общем случае от физических свойств тела и длины волны.

Интегрируя в пределах от l до 0 и принимая b постоянным, получаем

Установим связь между спектральным коэффициентом поглощения тела В_λ и спектральным показателем поглощения вещества b_λ.

Из определения спектрального коэффициента поглощения В_λ имеем

После подстановки в это уравнение значения получим соотношение между спектральным коэффициентом поглощения В_λ и спектральным показателем поглощения B_λ.

Коэффициент поглощения В_λ равен нулю при l₁= 0 и b_λ = 0. При большом значении bλ достаточно весьма малого значения l, но все же не равного нулю, чтобы значение В_λ было как угодно близко к единице. В этом случае можно говорить, что поглощение происходит в тонком поверхностном слое вещества. Только в этом понимании возможно говорить о поверхностном поглощении. Для большинства твердых тел благодаря большому значению показателя поглощения b_λ имеет место в ука-занном смысле «поверхностное поглощение», в связи с чем на коэффициент поглощения большое влияние оказывает состояние его поверхности.

Тела, хотя и с малым значением показателя поглощения, как, например, газы, могут при их достаточной толщине обладать большим коэффициентом поглощения, т.е. делаются непрозрачными для лучей данной длины волны.

Если b_λ=0 для интервала Δλ, а для остальных длин волн b_λ не равно нулю, то тело будет поглощать падающее излучение только определен-ных длин волн. В этом случае, как было указано выше, говорят о селективном (выборочном) коэффициенте поглощения.

Подчеркнем принципиальную разницу между показателем поглоще-ния вещества b_λ и коэффициентом поглощения В_λ тела. Первый характе-ризует физические свойства вещества по отношению к лучам определенной длины волны. Значение В_λ зависит не только от физических свойств вещества, из которого состоит тело, но и от формы, размеров и состояния поверхности тела.

Законы излучения лучистой энергии

Макс Планк теоретически на основе электромагнитной теории установил закон (носящий название закона Планка), выражающий зависимость спектральной излучательности черного тела Е_0λ от длины волны λ и температуры Т.

где E_0λ(λ,T) – излучательность черного тела, Вт/м²; T – термодинамическая температура, K; C₁ и C₂ – постоянные; С₁=2πhc²=(3,74150±0,0003)•10-16 Вт•м²; С₂=hc/k=(1,438790±0,00019)•10^-2; м•K (здесь h=(6,626176±0,000036)•10^-34 Дж•с – постоянная Планка; с=(299792458±1,2) м/с – скорость распространения электромагнитных волн в свободном пространстве: k – постоянная Больцмана.)

Из закона Планка следует, что спектральная излучательность может равняться нулю [E_0λ(λ,Т)=0] при термодинамической температуре, равной нулю (Т=0), либо при длине волны λ = 0 и λ→∞ (при Т≠0).

Следовательно, черное тело излучает при любой температуре больше 0 К. (Т > 0) лучи всех длин волн, т.е. имеет сплошной (непрерывный) спектр излучения.

Из выше указанной формулы можно получить расчетное выражение для излучательности черного тела:

Интегрируя в пределах изменения λ от 0 до ∞ получаем

В результате разложения подынтегрального выражения в ряд и его интегрирования получают расчетное выражение для излучательности черного тела, называемое законом Стефана—Больцмана:

где Е₀ – излучательность черного тела, Вт/м²;

σ — постоянная Стефана Больцмана, Вт/(м² •К⁴);

σ = (5,67032 ± 0,00071)•10^-8;

Т- термодинамическая температура, К.

Формулу часто записывают в более удобной для расчета форме:

Эту формулу мы будем использовать для расчетов. Но это не окончательная формула. Она справедлива только для черных тел. О том как использовать для серых тел будет описано ниже.

где E₀ – коэффициент излучения черного тела; С₀ = 5,67 Вт/(м² •К⁴).

Закон Стефана—Больцмана формулируют так: излучательность чер-ного тела прямо пропорциональна его термодинамической температуре в четвертой степени.

Спектральное распределение излучения черного тела при различных температурах

λ – длина волны от 0 до 10 мкм (0-10000 нм)

E_0λ – следует понимать так: Как если бы в объеме (м³) черного тела находиться определенное количество энергии (Вт). Это не означает, что оно излучает такую энергию только наружными частичками. Просто если собрать все частички черного тела в объеме и измерить каждой частички излучаетельность во всех направлениях и сложить их все, то мы получим полную энергию на объеме, которая и указана на графике.

Как видно из расположения изотерм, каждая из них имеет максимум, причем, чем больше термодинамическая температура, тем больше значение E0λ, отвечающее максимуму, а сама точка максимума перемещается в область более коротких волн. Перемещение максимальной спектральной излучательности E0λmax в область более коротких волн известно под названием

закона смещения Вина, по которому

T•λ_max = 2,88•10^-3 м•К = const и λ_max = 2,88•10^-3/Т,

где λ_max – длина волны, соответствующая максимальному значению спектральной излучаетльности E_0λmax.

Так, например, при Т = 6000 К (примерная температура поверхности Солнца) максимум Е_0λ располагается в области видимого излучения, на которую падает около 50% излучательности Солнца.

Элементарная площадка под изотермой, заштрихованная на графике равна Е_0λ Δλ. Ясно, что сумма этих площадок, т.е. интеграл представляет собой излучательность черного тела E₀. Следовательно, площадь между изотермой и осью абсцисс изображает в условном масштабе диаграммы излучательность черного тела. При небольших значениях термодинамической температуры изотермы проходят в непосредственной близости к оси абсцисс, и указанная площадь становится столь малой, что практически ее можно считать равной нулю.

Большую роль в технике играют понятия о так называемых серых телах и сером излучении. Серым называется неселективный тепловой излучатель, способный излучать сплошной спектр, со спектральной излучательностыо E_λ для волн всех длин и при всех температурах, составляющей неизменную долю от спектральной излучательности черного тела Е_0λ т.е.

Постоянная ε называется коэффициентом черноты теплового излучателя. Для серых тел коэффициент черноты ε < 1 и не зависит ни от температуры, ни от длины волны. Для черного тела ε = 1 .

На графике схематически показаны кривые распределения по длинам волн спектральной излучательности абсолютно черного тела Е_λ(ε = 1) и спектральной излучательности серого тела Еλ той же температуры, что и черное тело (при ε = 0,5 и ε = 0,25). Излучательность серого тела

Произведение

называется коэффициентом излучения серого тела.

Полученные из опыта значения коэффициента излучения даны в справочной литературе.

Большинство тел, применяемых в технике, могут быть приняты за серые тела, и их излучение — за серое излучение. Более точные исследования показывают, что это возможно только в первом приближении, однако достаточно для практических целей. Отклонение от закона Стефана— Больцмана для серых тел обычно учитывается тем, что коэффициент излучения С принимают зависящим от температуры. В связи с этим в таблицах указывается интервал температур, для которых экспериментально определено значение коэффициента излучения С.

В дальнейшем для упрощения выводов будем считать, что коэффициент излучения серого тела не зависит от температуры.

Коэффициенты черноты некоторых материалов

(Материал / Температура в °С / Величина Е)

Алюминий окисленный / 200—600 / 0,11 —0,19

Алюминий полированный / 225—575 / 0,039—0,057

Кирпич красный / 20 / 0,93

Кирпич огнеупорный / – / 0,8—0,9

Медь окисленная / 200—600 / 0,57—0,87

Свинец окисленный / 200 / 0,63

Сталь окисленная / 200—600 / 0,8

Сталь шлифованная / 940-1100 / 0,55—0,61

Чугун обточенный / 830—910 / 0,6—0,7

Чугун окисленный / 200—600 / 0,64—0,78

Алюминий полированный / 50—500 / 0,04—0,06

Бронза / 50 / 0,1

Железо листовое оцинкованное, блестящее / 30 / 0,23

Жесть белая, старая / 20 / 0,28

Золото полированное / 200 – 600 / 0,02—0,03

Латунь матовая / 20-350 / 0,22

Медь полированная / 50—100 / 0,02

Никель полированный / 200—400 / 0,07—0,09

Олово блестящее / 20—50 / 0,04—0,06

Серебро полированное / 200—600 / 0,02—0,03

Стальной листовой прокат / 50 / 0,56

Сталь окисленная / 200—600 / 0,8

Сталь сильно окисленная / 500 / 0,98

Чугунное литье / 50 / 0,81

Асбестовый картон / 20 / 0,96

Дерево строганое / 20 / 0,8—0,9

Кирпич огнеупорный / 500—1000 / 0,8—0,9

Кирпич шамотный / 1000 / 0,75

Кирпич красный, шероховатый / 20 / 0,88—0,93

Лак черный, матовый / 40—100 / 0,96—0,98

Лак белый / 40—100 / 0,8—0,95

Масляные краски различных цветов / 100 / 0,92—0,96

Сажа ламповая / 20—400 / 0,95

Стекло / 20—100 / 0,91—0,94

Эмаль белая / 20 / 0,9

Закон Кирхгофа

Закон Кирхгофа устанавливает зависимость между излучательностью и коэффициентом поглощения серого тела.

Рассмотрим два параллельных серых тела бесконечной протяженности с плоскими поверхностями площадью А каждое.

Бесконечно протяженная плоскость дает возможность приблизить расчеты по нахождению реального излучения на практических и теоретических опытах. При теоретических опытах находят реальное значение за счет интегральных выражений, а при опытах, большая плоскость приближает расчеты к реальным значениям. Тем самым, мы как бы, большой бесконечной плоскостью гасим влияние ненужных боковых и угловых излучений, которые улетают и не поглощаются экспериментальными пластинами.

E - Излучательность, Вт; B - Коэффициент поглощения; F - Коэффициент отражения; D - Коэффициент пропускания; T - Температура К.

То есть, если коэффициент умножить на излучательность, то получим результирующее значение излучения (Вт).

Можно положить, что все лучи, посылаемые одним телом, полностью попадают на другое. Примем, что коэффициенты пропускания этих тел D₁ = D₂ = 0 и между поверхностями двух плоскостей находится теплопрозрачная (диатермическая) среда. Обозначим через E₁, B₁, F₁, T₁, и E₂, B₂, F₂, T₂ соответственно излучательности, коэффициенты поглощения, отражения и температуры пов ерхностей первого и второго тел.

Поток лучистой энергии от поверхности 1 к поверхности 2 равен произведению излучательности поверхности 1 на ее площадь А, т.е. Е₁•А, из которого часть Е₁•В₂•А поглощается поверхностью 2, а часть Е₁•F₂•А отражается обратно на поверхность 1. Из этого отраженного потока Е₁•F₂•А поверхность 1 поглощает E₁•F₂•B₁•A и отражает E₁•F₁•F₂•A. ИЗ отраженного потока энергии E₁•F₁•F₂•A поверхность 2 вновь поглотит E₁•F₁•F₂•B₂•A и отразит E₁•F₁•F₂•A и т.д.

Аналогично происходит передача лучистой энергии потоком Е₂ от поверхности 2 к поверхности 1. В итоге поток лучистой энергии, поглощенный поверхностью 2 (или отданный поверхностью 1),

Поток лучистой энергии, поглощенной поверхностью 1 (или отданной поверхностью 2),

В окончательном итоге поток лучистой энергии, переданной поверхностью 1 к поверхности 2, будет равен разности лучистых потоков Ф_1→2 и Ф_2→1 т.е.

Полученное выражение справедливо при всех значениях температур Т₁ и Т₂ и, в частности, при Т₁ = Т₂. В последнем случае рассматриваемая система находится в динамическом тепловом равновесии, и на основании второго начала термодинамики необходимо положить Ф_1→2 = Ф_2→1 откуда следует

Е₁В₂ = Е₂B₁
или

Е₁/В₁ = Е₂/В₂ = const.

Далее положим, что поверхность 2 является черной. Тогда Е₂= Е₀ и В₂ = В₀=1. Принимая для простоты Е₁=E и В₁ = В, получаем

Полученное равенство носит название закона Кирхгофа: отношение излучательности тела к его коэффициенту поглощения для всех серых тел, находящихся при одной и той же температуре, одинаково и равно излучательности черного тела при той же температуре.

Если какое-либо тело имеет малый коэффициент поглощения, как например, хорошо полированный металл, то это тело имеет и малую излучательность. На этом основании для уменьшения потерь теплоты излучением во внешнюю среду теплоотдающие поверхности покрывают листами полированного металла для тепловой изоляции.

При выводе закона Кирхгофа рассматривалось серое излучение. Вывод останется справедливым и в том случае, если тепловое излучение обоих тел рассматривается только в некоторой части спектра, но однако имеет одинаковый характер, т.е. оба тела испускают лучи, длины волн которых лежат в одной и той же произвольной спектральной области. В предельном случае приходим к случаю монохроматического излучения. Тогда

т.е. для монохроматического излучения закон Кирхгофа должен быть сформулирован так: отношение спектральной излучательности какого-либо тела при определенной длине волны к его коэффициенту поглощения при той же длине волны одинаково для всех тел, находящихся при одинаковых температурах, и равно спектральной излучательности черного тела при той же длине волны и той же температуре.

Заключаем, что для серого тела В = ε, т.е. понятия «коэффициент поглощения» В и «коэффициент черноты» ε для серого тела совпадают. По определению коэффициент черноты не зависит ни от температуры, ни от длины волны, а следовательно, и коэффи-циент поглощения серого тела также не зависит ни от длины волны, ни от температуры.

Излучение газов

Излучение газов существенно отличается от излучения твердых тел. Поглощение и излучение газов — селективное (выборочное). Газы поглощают и излучают лучистую энергию только в определенных, довольно узких интервалах Δλ длин волн — так называемых полосах. В остальной части спектра газы не излучают и не поглощают лучистой энергии.

Двухатомные газы обладают ничтожно малой способностью поглощать лучистую энергию, а следовательно, и малой способностью ее излучать. Поэтому эти газы обычно считают диатермичными. В отличие от двухатомных газов многоатомные, в том числе и трехатомные газы, обладают значительной способностью излучать и поглощать лучистую энергию. Из трехатомных газов в области теплотехнических расчетов наибольший практический интерес представляют углекислый газ (CO₂) и водяной пар (H₂O), имеющие по три полосы излучения.

В отличие от твердых тел показатель поглощения для газов (конечно, в области полос поглощения) мал. Поэтому для газообразных тел уже нельзя говорить о «поверхностном» поглощении, так как поглощение лучистой энергии происходит в конечном объеме газа. В этом смысле поглощение и излучение газов называются объемными. Кроме того, показатель поглощения b_λ для газов зависит от температуры.

По закону поглощения спектральный коэффициент поглощения тела может быть определен по:

Для газообразных тел эта зависимость несколько усложняется тем, что на коэффициент поглощения газа влияет его давление. Последнее объясняется тем, что поглощение (излучение) протекает тем интенсивнее, чем большее число молекул встретит луч на своем пути, а объемное число молекул (отношение числа молекул к объему) прямо пропорционально давлению (при t = const).

В технических расчетах газового излучения, обычно поглощающие газы (CO₂ и H₂O) входят как компоненты в состав смеси газов. Если давление смеси p, а парциальное давление поглощающего (или излучающего) газа р_i , то в необходимо вместо l подставить величину р_i•1. Величина р_i•1, представляющая собой произведение давления газа на его толщину, носит название эффективной толщины слоя. Таким образом, для газов спектральный коэффициент поглощения

Спектральный коэффициент поглощения газа (в пространстве) зависит от физических свойств газа, формы пространства, его размеров и температуры газа. Тогда в соответствии с законом Кирхгофа спектральная излучательность

Излучательность в пределах одной полосы спектра

По этой формуле определяют излучательность газа в свободное пространство (пустоту). (Свободное пространство можно рассматривать как черное пространство при 0 К.) Но газовое пространство всегда ограничено поверхностью твердого тела, в общем случае имеющей температуру Т_ст ≠ Т_г и коэффициент черноты ε_ст < 1. Следовательно, оболочка обладает собственным излучением (обычно в пределах всех длин волн), часть которого (в пределах полос Δλ.) поглощается газом.

Излучательность газа в замкнутом пространстве равна сумме излучательностей, взятых по всем полосам спектра:

Опытные исследования показали, что излучательность газов не следует закону Стефана— Больцмана, т.е. зависимости от четвертой степени абсолютной температуры.

Однако для практических расчетов излучения газов пользуются законом четвертых степеней, вводя соответствующую поправку в значение коэффициента черноты газа ε_г:

Здесь ε_г = f(T,p•l)

Средняя длина пути луча

l=3,6 V/A

где V- газовый объем; А – площадь поверхности оболочки.

Излучательность газа, компонентами которого являются CO₂ и H₂O (газообразные продукты сгорания), к оболочке серого тела

в которой последний член учитывает собственное излучение оболочки.

Так называемый эффективный коэффициент черноты оболочки ε’_ст, больший, чем ε_ст, в связи с наличием излучающего газа.

Коэффициент черноты газа при температуре газа t_г

Значения степени черноты ε_CO2 и ε_H2O в зависимости от температуры при различных значениях параметра p_il приведены на рисунке.

Поправочный коэффициент β определяют по графику.

Полосы излучения и поглощения для С0₂ и Н₂0 несколько перекрывают одна другую, в связи с чем часть энергии, излучаемой одним газом, поглощается другим. Поэтому коэффициент черноты смеси углекислого газа и водяного пара при температуре стенки t_ст

где Δε_г — поправка, учитывающая указанное поглощение. Для газообразных продуктов сгорания обычного состава Δε_г = 2 – 4% и ею можно пренебречь.

Можно принять, что при ε_ст = 0,8 + 1,0 эффективный коэффициент черноты оболочки ε’_ст = 0,5(ε_ст + 1).

Указанные особенности излучения и поглощения газов позволяют установить механизм так называемого «парникового эффекта», который оказывает существенное влияние на формирование и изменение климата Земли.

Большая часть солнечной радиации проходит сквозь атмосферу и нагревает поверхность Земли. В свою очередь Землей испускается инфракрасное излучение, в результате чего она охлаждается. Однако часть это го излучения поглощается многоатомными («парниковыми») газами атмосферы, которая вследствие этого играет роль «одеяла», удерживающего теплоту. При этом наибольшее влияние на глобальное потепление оказывают такие «парниковые» газы, как двуокись углерода (55%), фреоны и родственные им газы (25%), метан (15%) и др.

На следующей странице еще будут затронуты некоторые законы. Также будет детальное пояснения как происходит тепловое излучение через окно. Будут описаны некоторые факторы, влияющие на теплообмен излучением, а также будут реальные задачи на излучение.

К сожалению, данная страница уже перегружена, необходимо перейти к продолжению на: Следующую страницу.

Страница: 1 / Страница: 2

Все о дачном доме
        Водоснабжение
                Обучающий курс. Автоматическое водоснабжение своими руками. Для чайников.
                Неисправности скважинной автоматической системы водоснабжения.
                Водозаборные скважины
                        Ремонт скважины? Узнайте нужен ли он!
                        Где бурить скважину – снаружи или внутри?
                        В каких случаях очистка скважины не имеет смысла
                        Почему в скважинах застревают насосы и как это предотвратить
                Прокладка трубопровода от скважины до дома
                100% Защита насоса от сухого хода
        Отопление
                Обучающий курс. Водяной теплый пол своими руками. Для чайников.
                Теплый водяной пол под ламинат
        Обучающий Видеокурс: По ГИДРАВЛИЧЕСКИМ И ТЕПЛОВЫМ РАСЧЕТАМ
Водяное отопление
        Виды отопления
        Отопительные системы
        Отопительное оборудование, отопительные батареи
        Система теплых полов
                Личная статья теплых полов
                Принцип работы и схема работы теплого водяного пола
                Проектирование и монтаж теплого пола
                Водяной теплый пол своими руками
                Основные материалы для теплого водяного пола
                Технология монтажа водяного теплого пола
                Система теплых полов
                Шаг укладки и способы укладки теплого пола
                Типы водных теплых полов
        Все о теплоносителях
                Антифриз или вода?
                Виды теплоносителей (антифризов для отопления)
                Антифриз для отопления
                Как правильно разбавлять антифриз для системы отопления?
                Обнаружение и последствия протечек теплоносителей
        Как правильно выбрать отопительный котел
        Тепловой насос
                Особенности теплового насоса
                Тепловой насос принцип работы
        Запас мощности котла. Нужен ли он?
Про радиаторы отопления
        Способы подключения радиаторов. Свойства и параметры.
        Как рассчитать колличество секций радиатора?
        Рассчет тепловой мощности и количество радиаторов
        Виды радиаторов и их особенности
Автономное водоснабжение
        Схема автономного водоснабжения
        Устройство скважины Очистка скважины своими руками
Опыт сантехника
        Подключение стиральной машины
Полезные материалы
        Редуктор давления воды
        Гидроаккумулятор. Принцип работы, назначение и настройка.
        Автоматический клапан для выпуска воздуха
        Балансировочный клапан
        Перепускной клапан
        Трехходовой клапан
                Трехходовой клапан с сервоприводом ESBE
        Терморегулятор на радиатор
        Сервопривод коллекторный. Выбор и правила подключения.
        Виды водяных фильтров. Как подобрать водяной фильтр для воды.
                Обратный осмос
        Фильтр грязевик
        Обратный клапан
        Предохранительный клапан
        Смесительный узел. Принцип работы. Назначение и расчеты.
                Расчет смесительного узла CombiMix
        Гидрострелка. Принцип работы, назначение и расчеты.
        Бойлер косвенного нагрева накопительный. Принцип работы.
        Расчет пластинчатого теплообменника
                Рекомендации по подбору ПТО при проектировании объектов теплоснабжения
                О загрязнение теплообменников
        Водонагреватель косвенного нагрева воды
        Магнитный фильтр – защита от накипи
        Инфракрасные обогреватели
        Радиаторы. Свойства и виды отопительных приборов.
        Виды труб и их свойства
        Незаменимые инструменты сантехника
Интересные рассказы
        Страшная сказка о черном монтажнике
        Технологии очистки воды
        Как выбрать фильтр для очистки воды
        Поразмышляем о канализации
        Очистные сооружения сельского дома
Советы сантехнику
        Как оценить качество Вашей отопительной и водопроводной системы?
Профрекомендации
        Как подобрать насос для скважины
        Как правильно оборудовать скважину
        Водопровод на огород
        Как выбрать водонагреватель
        Пример установки оборудования для скважины
        Рекомендации по комплектации и монтажу погружных насосов
        Какой тип гидроаккумулятора водоснабжения выбрать?
        Круговорот воды в квартире
        фановая труба
        Удаление воздуха из системы отопления
Гидравлика и теплотехника
        Введение
        Что такое гидравлический расчет?
        Невязка гидравлического расчета
        Физические свойства жидкостей
        Гидростатическое давление
        Поговорим о сопротивлениях прохождении жидкости в трубах
        Режимы движения жидкости (ламинарный и турбулентный)
        Гидравлический расчет на потерю напора или как рассчитать потери давления в трубе
        Местные гидравлические сопротивления
        Профессиональный расчет диаметра трубы по формулам для водоснабжения
        Как подобрать насос по техническим параметрам
        Профессиональный расчет систем водяного отопления. Расчет теплопотерь водяного контура.
        Гидравлические потери в гофрированной трубе
        Теплотехника. Речь автора. Вступление
        Процессы теплообмена
        Тплопроводность материалов и потеря тепла через стену
        Как мы теряем тепло обычным воздухом?
        Законы теплового излучения. Лучистое тепло.
        Законы теплового излучения. Страница 2.
        Потеря тепла через окно
        Факторы теплопотерь дома
        Начни свое дело в сфере систем водоснабжения и отопления
        Вопрос по расчету гидравлики
Конструктор водяного отопления
        Диаметр трубопроводов, скорость течения и расход теплоносителя.
        Вычисляем диаметр трубы для отопления
        Расчет потерь тепла через радиатор
        Мощность радиатора отопления
        Расчет мощности радиаторов. Стандарты EN 442 и DIN 4704
        Расчет теплопотерь через ограждающие конструкции
                Найти теплопотери через чердак и узнать температуру на чердаке
        Подбираем циркуляционный насос для отопления
        Перенос тепловой энергии по трубам
        Расчет гидравлического сопротивления в системе отопления
        Распределение расхода и тепла по трубам. Абсолютные схемы.
        Расчет сложной попутной системы отопления
                Расчет отопления. Популярный миф
                Расчет отопления одной ветки по длине и КМС
                Расчет отопления. Подбор насоса и диаметров
                Расчет отопления. Двухтрубная тупиковая
                Расчет отопления. Однотрубная последовательная
                Расчет отопления. Двухтрубная попутная
        Расчет естественной циркуляции. Гравитационный напор
        Расчет гидравлического удара
        Сколько выделяется тепла трубами?
        Собираем котельную от А до Я…
        Система отопления расчет
        Онлайн калькулятор Программа расчет Теплопотерь помещения
        Гидравлический расчет трубопроводов
                История и возможности программы – введение
                Как в программе сделать расчет одной ветки
                Расчет угла КМС отвода
                Расчет КМС систем отопления и водоснабжения
                Разветвление трубопровода – расчет
                Как в программе рассчитать однотрубную систему отопления
                Как в программе рассчитать двухтрубную систему отопления
                Как в программе рассчитать расход радиатора в системе отопления
                Перерасчет мощности радиаторов
                Как в программе рассчитать двухтрубную попутную систему отопления. Петля Тихельмана
                Расчет гидравлического разделителя (гидрострелка) в программе
                Расчет комбинированной цепи систем отопления и водоснабжения
                Расчет теплопотерь через ограждающие конструкции
                Гидравлические потери в гофрированной трубе
        Гидравлический расчет в трехмерном пространстве
                Интерфейс и управление в программе
                Три закона/фактора по подбору диаметров и насосов
                Расчет водоснабжения с самовсасывающим насосом
                Расчет диаметров от центрального водоснабжения
                Расчет водоснабжения частного дома
                Расчет гидрострелки и коллектора
                Расчет Гидрострелки со множеством соединений
                Расчет двух котлов в системе отопления
                Расчет однотрубной системы отопления
                Расчет двухтрубной системы отопления
                Расчет петли Тихельмана
                Расчет двухтрубной лучевой разводки
                Расчет двухтрубной вертикальной системы отопления
                Расчет однотрубной вертикальной системы отопления
                Расчет теплого водяного пола и смесительных узлов
                Рециркуляция горячего водоснабжения
                Балансировочная настройка радиаторов
                Расчет отопления с естественной циркуляцией
                Лучевая разводка системы отопления
                Петля Тихельмана – двухтрубная попутная
                Гидравлический расчет двух котлов с гидрострелкой
                Система отопления (не Стандарт) – Другая схема обвязки
                Гидравлический расчет многопатрубковых гидрострелок
                Радиаторная смешенная система отопления – попутная с тупиков
                Терморегуляция систем отопления
        Разветвление трубопровода – расчет
        Гидравлический расчет по разветвлению трубопровода
        Расчет насоса для водоснабжения
        Расчет контуров теплого водяного пола
        Гидравлический расчет отопления. Однотрубная система
        Гидравлический расчет отопления. Двухтрубная тупиковая
        Бюджетный вариант однотрубной системы отопления частного дома
        Расчет дроссельной шайбы
        Что такое КМС?
        Расчет гравитационной системы отопления
Конструктор технических проблем
        Удлинение трубы
Требования СНиП ГОСТы
        Требования к котельному помещению
Вопрос слесарю-сантехнику
Полезные ссылки сантехнику
—
Сантехник – ОТВЕЧАЕТ!!!
Жилищно коммунальные проблемы
Монтажные работы: Проекты, схемы, чертежи, фото, описание.
Если надоело читать, можно посмотреть полезный видео сборник по системам водоснабжения и отопления

Источник

To use your Google Account on a browser (like Chrome or Safari), turn on cookies if you haven’t already.

Important: If you get a message that cookies are turned off, you need to turn them on to use your account.

In Chrome

On your computer, open Chrome.
At the top right, click More Settings.
Under “Privacy and security,” click Site settings.
Click Cookies and site data.
From here, you can:
- Turn on cookies: Next to “Blocked,” turn on the switch.
- Turn off cookies: Turn off Allow all cookies.

Learn how to change more cookie settings in Chrome.

In other browsers

For instructions, check the support website for your browser.

Why cookies are helpful

Cookies are files created by sites you visit. They make your online experience easier by saving browsing information. With cookies, sites can:

Keep you signed in
Remember your site preferences
Give you locally relevant content

We use cookies to improve our services. To learn more, read our Privacy Policy.

Fix problems

If you can’t use your Google Account and get a message that cookies are turned off:

Follow the steps above to turn on cookies.
Try signing in again.

If you still get the error message, here are some possible solutions. Try each one, then try signing in.

Open a new browser window.
Clear your browser’s cache and cookies. Learn how to clear cache and cookies.
Browse in private. Learn how to browse privately in Chrome.
Change your browser’s privacy settings. Learn how to change privacy settings.

Was this helpful?

How can we improve it?

Источник

7.3. Закон Кирхгофа

7.4. Распределение энергии в спектре абсолютно черного тела

7.5. Закон Стефана-Больцмана

7.6. Закон смещения Вина

Температурное излучение

Излучение черного тела

Излучательная способность абсолютно черного тела

Формула[править | править код]

Энергетическая яркость[править | править код]

Излучательная способность[править | править код]

Спектральная плотность энергии[править | править код]

Применимость[править | править код]

История открытия[править | править код]

Предыстория[править | править код]

Открытие[править | править код]

Вывод формулы Планка[править | править код]

Вывод через распределение Больцмана[править | править код]

Вывод через статистику Бозе — Эйнштейна[править | править код]

Вывод через спонтанное и вынужденное излучения[править | править код]

Связь с другими формулами[править | править код]

Закон Рэлея — Джинса[править | править код]

Закон излучения Вина[править | править код]

Закон Стефана — Больцмана[править | править код]

Закон смещения Вина[править | править код]

Применение[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

In Chrome

In other browsers

Why cookies are helpful

Fix problems

Вам также может понравиться

Как найти президента казахстана

Как найти площадь квадрата лежащего на прямых

Как найти закрытый текст

Добавить комментарий Отменить ответ