Как найти ежегодную ренту

Получатели
поступлений оценивают свой доход
суммарной величиной за полный срок
действия платежа, разумеется, с учетом
временной неравноценности денег.

Наращенная
сумма
– сумма всех платежей с начисленными
на них процентами к концу срока ренты.
Это может быть обобщенная сумма
задолженности, итоговый объем инвестиций
и т.п.

Логика
финансовой операции наращения финансовой
ренты

Наращенные
отдельные платежи представляют собой
члены геометрической прогрессии с
первым членом равным R
и множителем равным (1 + i).

Рассмотрим
определение наращенной суммы на примере
наиболее простого случая, – годовой
постоянной обычной ренты:

где
FVA
– наращенная сумма ренты;

R
– размер члена ренты, т.е. размер
очередного платежа;

i
– годовая процентная ставка, по которой
на платежи начисляются сложные проценты;

n
– срок ренты в годах,

s
_n;i
– коэффициент наращения ренты.

Пример.
На счет в банке в течении пяти лет в
конце каждого года будут вноситься
суммы в размере 500 руб., на которые будут
начисляться проценты по ставке 30%.
Определить сумму процентов, которую
банк выплатит владельцу счета.

Решение:

Поскольку
период ренты равен одному году, то это
годовая
рента; проценты начисляются один раз в
год; взносы будут в конце периода ренты,
постнумерандо, значит это обычная
рента; сумма платежа постоянна на
протяжении всего срока ренты, что
характерно для постоянной
ренты; число членов ренты пять, т.е.
конечно, следовательно, ограниченная
рента; а выплаты носят безусловный
характер, таким образом, это верная
рента.

Сумма
всех взносов с начисленными процентами
будет равна:

Расчет современной
стоимости постоянной годовой ренты
ПОСТНУМЕРАНДО при начислении % один раз
в год.

Помимо
наращенной суммы обобщающей характеристикой
потока платежей является современная
величина. Современная
(текущая) величина потока платежей
(капитализированная или приведенная
величина) – это сумма платежей,
дисконтированных на момент начала ренты
по ставке начисляемых сложных процентов.
Это важнейшая характеристика финансового
анализа, т.к. является основой для
измерения эффективности различных
финансово-кредитных операций, сравнения
условий контрактов и т.п. Данная
характеристика показывает, какую сумму
следовало бы иметь первоначально, чтобы,
разбив ее на равные взносы, на которые
начислялись бы установленные проценты
в течение всего срока, можно было бы
получить указанную наращенную сумму.

Логика
финансовой операции определения
современной величины потока платежей

В
этом случае реализуется схема
дисконтирования: все элементы с помощью
дисконтных множителей приведены к
одному моменту времени, что позволяет
их суммировать.

В
простейшем случае, для годовой обычной
ренты с выплатами в конце каждого года,
когда момент оценки совпадает с началом
ренты, современная величина финансовой
ренты равна:

Дробь
в формуле – коэффициент
приведения ренты
(a_n;i),
значения которого табулированы для
широкого круга значений, поскольку
зависят от ставки процентов (i)
и от числа лет (n)
(Приложение
5).

Пример.
Определить по данным примера современную
величину ренты.

Решение:

Современная
величина ренты составит:

Таким
образом, все производимые в будущем
платежи оцениваются в настоящий момент
в размере 1’217,78 руб.

16.
Расчет
наращенной суммы постоянной p-срочной
ренты ПОСТНУМЕРАНДО при начислении % m
раз в год (p=m)

Бывают
случаи, когда рентные платежи вносятся
несколько раз в год равными суммами
(срочная рента), а начисление процентов
производится только раз в году. Тогда
наращенная величина ренты будет
определяться по формуле:

Также
нередки случаи, когда рентные платежи
вносятся несколько раз в году и начисление
процентов также происходит несколько
раз в год, но число рентных платежей не
равно числу периодов начисления
процентов, т.е. p
≠ m.
Тогда формула по которой можно определить
наращенную величину финансовой ренты
примет вид:

На
практике большее распространение
получил поток постнумерандо, поскольку
согласно общим принципам учета принято
подводить итоги и оценивать финансовый
результат операции или иного действия
по окончании очередного отчетного
периода. Что же касается поступления
денежных средств в счет оплаты, то на
практике они чаще всего распределены
во времени неравномерно и поэтому для
удобства все поступления относят к
концу периода, что позволяет использовать
формализованные алгоритмы оценки.

Поток
пренумерандо имеет значение при анализе
различных схем накопления денежных
средств для последующего их инвестирования.

Рента
пренумерандо отличается от обычной
ренты числом периодов начисления
процентов. Поэтому наращенная сумма
ренты пренумерандо будет больше
наращенной суммы обычной ренты в (1 + i)
раз.

Для
годовой ренты пренумерандо с начислением
процентом один раз в год формула примет
вид:

Для
годовой ренты пренумерандо с начислением
процентов несколько раз в год:

Расчет современной
стоимости постоянной p-срочной
ренты ПОСТНУМЕРАНДО при начислении % m
раз в год (p=m).

Рассмотрим
расчет современной величины ренты для
различных ее видов:

• годовая
  рента с начислением процентов несколько
  раз в год:

• срочная
  рента при начислении процентов один
  раз в год:

• срочная
  рента с неоднократным начислением
  процентов в течение года, при условии,
  что число выплат не равно числе
  начислений, т.е. p
  ≠ m
  :

17. Определение
размера очередного платежа постоянной
финансовой ренты ПОСТНУМЕРАНДО (p=m=1)

Последовательные
платежи в виде постоянной обычной
годовой ренты определяются основными
параметрами:

R
– размер платежа;

n
– срок ренты в годах;

i
– годовая ставка процентов.

Однако
при разработке условий финансовой
операции могут возникать ситуации,
когда заданной величиной является одна
из двух обобщающих характеристик и
неполный набор параметров ренты. В таких
случаях находят недостающий параметр.

При
определении члена
ренты
возможны два варианта, зависящие от
того, какая величина является исходной:

а)
наращенная
сумма.
Если сумма долга определена на какой-либо
момент в будущем (FVA),
тогда величину последующих взносов в
течение n
лет при начислении на них процентов по
ставке i можно определить по формуле:

Пример.
Для покупки автомобиля через 5 лет
потребуется 50 тыс. руб. Определите размер
ежегодных взносов, вносимых в конце
каждого года в банк, который начисляет
проценты по ставке 40%.

Решение:

В
данном случае известна наращенная
величина постоянной финансовой ренты,
поэтому размер ежегодных взносов будет
равен:

Таким
образом, чтобы накопить на счете
необходимую сумму для покупки автомобиля
следует в конце каждого года в течении
пяти лет откладывать 4’568 руб.

б)
современная величина финансовой ренты,
тогда, исходя из ставки процента и срока
ренты, разовый платеж находится по
формуле:

Пример.
Сумма 10 тыс. долларов предоставлена в
долг на 5 лет под 8% годовых. Определить
ежегодную сумму погашения долга.

Решение:

Известна
современная величина долга, отсюда:

Таким
образом, ежегодно необходимо будет
возвращать сумму 2’504,56 руб.

Можно
произвести проверку: сумма долга с
начисленными на нее процентами к концу
пятого года будет составлять:

FV
= 10’000 • (1 + 0,08)⁵
= 14’693,28 руб.

Наращенная
сумма для потока платежей размером
2’504,56 руб. составит:

Следовательно,
величина члена финансовой ренты
определена верно. Незначительное
расхождение вызвано округлением
расчетов.

Современная
величина ренты пренумерандо рассчитывается
путем умножения современной величины
обычной ренты на соответствующий
множитель наращения.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Задача 1

Родители планируют, что их ребенок через 8 лет поступит в
университет, где за обучение надо платить в течение 5 лет по 700 у.е. каждое
полугодие. Какую сумму должны сегодня родители положить в банк под 6% годовых, начисляемых
ежемесячно, чтобы оплатить обучение? 

---

Задача 2

Кредит 10000 руб. на 5 лет
под 10% погашается разовым платежом в конце срока. Рассчитать размер взноса в
погасительный фонд, если банковская ставка 15%.

---

Задача 3

Какова приведенная
стоимость аннуитета постнумерандо с изменяющимся денежным потоком общей
продолжительностью 10 лет, имеющего нулевые поступления в первые три года и
равные поступления в 1000 долл. в оставшиеся годы, если рыночная норма прибыли
равна 8% для первых трех лет и 10% для оставшихся семи лет?

---

Задача 4

Родители планируют, что их
ребенок через 6 лет поступит в колледж, где за обучение надо платить по 1200
д.е. в год. Какую сумму должны сегодня родители положить в банк, под 6,5%
годовых, начисляемых ежемесячно, чтобы оплатить обучение в течение 4 лет?

---

Задача 5

Найти приведенную
стоимость “А” ренты постнумерандо, выплачиваемой в течение

 лет с
годовыми аннуитетами

 при
годовой процентной ставе

. (“А” рассчитать с точностью до
копеек).

---

Задача 6

Вам предлагают вложить 250
тыс. руб.  в некий проект, рассчитанный
на 15 лет. Ожидаемые доходы по проекту таковы: в течение первых четырёх лет по
24 тыс. руб. в год, в последующие годы- 30 тыс. руб. в год (схема постнумерандо).
Стоит ли принимать это предложение и почему, если приемлемая норма прибыли- 8%
(в ответе привести значение критерия)?

---

Задача 7

В конце каждого полугодия
учебного года в течение следующих пяти лет студенту университете придется
платить за обучение по 2250 евро. Сколько нужно иметь денег в наличии на начало
поступления в университет, чтобы покрыть эту сумму. Процентная ставка по
депозитам в евро составляет 5,8%.

---

Задача 8

Клиент предложил оплатить
выполненную работу одним из двух способов: а) единовременно получить 5000 долл.
или б) два года спустя получать бесконечно долго по 500 долл. ежегодно в конце
каждого года. Какой вариант более предпочтителен, если приемлемая норма прибыли
8%?

---

Задача 9

На счет в банке в течение двух лет в конце каждого года будут
вноситься суммы в размере 3000 руб., на которые ежеквартально будут начисляться
проценты по ставке 16% годовых. Определить современную стоимость аннуитета.

---

Задача 10

При аварии на химическом
заводе в Индии корпорация «Union carbide» первоначально предложила в качестве
компенсации пострадавшим 200 млн. дол., выплачиваемых в течение 35 лет
ежемесячно. Правительство Индии требовало 85 млн. дол. Имело ли смысл принимать
предложение корпорации, если банковская процентная ставка 6%.

---

Задача 7

Ожидается, что доходы от
эксплуатации месторождения полезных ископаемых составят 0,8 млрд. руб. в год,
продолжительность разработки 12 лет. Отгрузка и реализация продукции непрерывны
и равномерны. Есть ли необходимость осваивать это месторождение, если оно
потребует вложений в 4,4 млрд. руб., а доходность по государственным
безрисковым ценным бумагам 12%.

---

Задача 8

В конце каждого полугодия
учебного года в течение следующих пяти лет студенту университета придется
платить за обучение 2250 евро. Сколько нужно иметь денег в наличии на начало
поступления в университет, чтобы покрыть эту сумму. Процентная ставка по
депозитам в евро составляет 5,8%.

---

Задача 9

Семья имела на банковском
счете 500 000 р., на который ежемесячно начислялся 1%. Отбыв в трехлетнюю
командировку, она доверила банку потратить весь счет на содержание сына.
Сколько в месяц будет получать сын?

---

Задача 10

Кредит в сумме 4 млн. р,
взятый на покупку квартиры, выплачивается в течение 15 лет ежемесячными
выплатами

 при
годовой ставке 10% с ежеквартальной капитализацией процентов. Найти

.

---

Задача 11

Какую сумму нужно положить
в банк под 9% мужчине 47 лет, чтобы по достижении им возраста 60 лет получать в
конце каждого месяца 10 тыс. руб. в течение 10 лет при ежеквартальной
капитализации процентов?

---

Задача 12

Найти цену ежегодной ренты, выплачиваемой в конце каждого года в
течение 10 лет с ежегодной суммой 150 у.д.е., если процентная ставка равна 12
%.

---

Задача 13

Найти цену ежегодной пожизненной ренты с правом наследования,
выплачиваемой в конце каждого года суммой 350 у.д.е., если годовая учётная
ставка равна 8%.

---

Задача 14

Определить современную стоимость потока ренты пренумерандо, если
ставка 23% годовых, период ренты квартал, срок ренты 1 год. Платежи 1500, 2000,
2500 у.е.

---

Задача 13

При заключении нового договора было решено заменить единовременный
платеж в размере 110 000 руб. (который должен был быть выплачен в день
заключения нового договора) на 5 одинаковых ежеквартальных (в конце периода)
платежей начиная с момента заключения нового договора. Найдите размер
ежеквартального платежа, используя сложную годовую ставку 7,00 % с начислением
процентов 1 раз в год.

---

Задача 14

Предприятие создает инвестиционный фонд. Ежегодно для создания
фонда в банк вносится 250 тыс. руб. под 9% годовых. Найти наращенную сумму
ренты, если фонд создается в течении 7 лет, при условии что:

а) рентные платежи осуществляются один раз в году, начисление
процентов производится один раз в конце периода начисления;

б) рентные платежи осуществляются один раз в году, а проценты
начисляются ежеквартально;

в) рентные платежи осуществляются ежеквартально, а проценты
начисляются один раз в году;

г) рентные платежи осуществляются два раза в году, и проценты
начисляются два раза в год.

д) рентные платежи осуществляются каждые два месяца в году, а
проценты начисляются ежемесячно.

Определить срок, для каждого варианта, который необходим для
создания инвестиционного фонда, если процентная ставка снизится в полтора раза.

Определить современную величину постоянной ренты для каждого
варианта.

---

Задача 15

Известны параметры ренты с выплатами постнумерандо. Член ренты –
200 тыс у.е. Срок ренты – 4 года. При расчетах принять ставку (схема сложных
процентов) 15% годовых.  Найти
современную стоимость данной   ренты.

---

Задача 16

Кредит 4000000 д.е. выплачивается в течении 25-ти лет (300
платежей). Посчитайте величину ежегодных взносов, если на долг начисляется
сложные проценты по процентной  по
годовой ставке 19 % постнумерандо.

---

Задача 17

Предпринимателю предлагают либо взять в безвременную аренду
земельный участок за R = 100 тыс. руб. в год, либо выкупить этот участок за S =
2000000 руб. Что выгоднее при сложной годовой ставке i %?

---

Задача 18

Условия аренды предусматривают месячные платежи в 100000 рублей в
течение 2 лет. За какую цену можно купить площади сегодня, чтобы расходы
компании оказались одинаковыми, если ставка альтернативной доходности
составляет 12% годовых?

---

Задача 19

Кредит в размере 50 млн.р., выданный под 80% годовых, должен
погашаться равными суммами в течение 5 лет.

Определите размеры ежегодных срочных уплат и сумму выплаченных
процентов, если погасительные платежи осуществляются: 1) 1 раз в конце года; б)
каждые полгода.

---

Задача 20

Кредит в сумме 5 млн.р. погашается 12 равномерными ежемесячными
взносами. Процентная ставка по кредиту установлена в размере 24% годовых.

Найдите сумму ежемесячного взноса при платеже по схеме
постнумерандо.

---

Задача 21

Вы заняли на 5 лет $10000 под 8% годовых, начисляемых по схеме
сложных процентов на непогашенный остаток. Возвращать нужно равными суммами в
конце каждого года. Определите общую сумму процентов к выплате.

---

Задача 22

Определить размер ежегодных платежей по сложной ставке 17% годовых
для погашения кредита размером 300000 руб. в течение 5 лет.

---

Задача 23

В течение 20 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает
по 10000 руб. Ежегодное дисконтирование производится по сложной ставке 10%
годовых. Определить современную стоимость ренты.

---

Задача 24

 Предположим, Вам предлагают
два варианта оплаты: сразу заплатить 500 000 руб. или вносить по 115 000 руб. в
конце каждого следующего месяца в течение полугода. Вы могли бы обеспечить
вложениям 8 % годовых. Какой вариант предпочтительнее?

---

Задача 25

Определить размер ежегодных платежей по сложной ставке 20% годовых
для погашения кредита размером 300000 руб. в течение 5 лет.

---

Задача 26

Кредит в сумме 500000 руб. погашается 12 равномерными ежемесячными
взносами. Процентная ставка по кредиту установлена в размере 12% годовых. Найти
сумму ежемесячного взноса при платеже по схеме пренумерандо.

---

Задача 27

Трехлетний кредит в 3*100 тыс. руб. под 3% годовых погашается
выплатами в конце каждого месяца по (3+5) тыс. руб. Найдите сумму, которую
необходимо заплатить при подписании контракта.

---

Задача 28

Какую сумму Вам нужно положить в банк под 3%, чтобы по достижении
Вами возраста 60 лет получать в конце каждого месяца 10 тыс. руб. в течении 3
лет при ежеквартальной капитализации процентов.

---

Задача 29

Фирма взяла кредит в банке 100 млн. руб. сроком на три года под 20%
годовых. Определить размер ежегодных платежей.

---

Задача 30

Страховая компания, заключив на 4 года договор с некоторой фирмой,
получает от нее страховые взносы по 20 тыс. руб. в конце каждого полугодия. Эти
взносы компания помещает в банк под 12% годовых.

Найдите современную стоимость суммы, которую получит страховая
компания по данному контракту, если проценты начисляются ежемесячно.

---

Задача 31

Компания гарантирует
выплату дивидендов в размере 1000 руб. на акцию в конце каждого года в течение
неопределенного долгого времени. Имеет ли смысл покупать акции этой компании по
цене 9000 руб., если можно поместить деньги на депозит под 10% годовых?

---

Задача 32

Фирма собирается вложить
средства в приобретение нового оборудования, стоимость которого вместе с
доставкой и установкой составит 1 млн. руб. Ожидается, что внедрение
оборудование обеспечит получение в течение 6 лет чистых доходов, равных 260
тыс. руб. в год. Оценить эффективность проекта, если денежные средства для его
реализации можно занять в банке под 10% годовых (сложные проценты).

---

Задача 33

Фирма
взяла кредит в банке 100 млн. руб. сроком на три года под 35% годовых.
Определить размер ежегодных платежей.  

---

Задача 34

Какие одинаковые платежи в
конце каждого квартала в течении 20 лет обеспечили бы приобретение дома,
которые стоит 200 тысяч рублей наличными, если процентная ставка j4=5%

---

Задача 35

Оформляется контракт, по
которому выплачивается 500тыс.руб. в конце каждого полугодия в течение семи с
половиной лет и дополнительно 10 тыс. руб. в конце этого срока. Чему равна
стоимость контракта, если деньги стоят j=5%?

---

Задача 36

Потоки платежей.

Для постоянной годовой
ренты пренумерандо с разовым платежом 100000 рублей, сложной годовой ставки
18%. Начисления процентов раз в году в течение пяти лет определить сумму всех
платежей на начало выплат.

---

Задача 37

Некто
желает приобрести аннуитет с ежегодными выплатами, равными 12000 д.е., в течение
последующих 15 лет. Если на сумму вклада ежеквартально начисляются сложные
проценты по годовой процентной ставке 0,08, какова стоимость этого аннуитета?

---

Задача 38

Мэри
получила наследство 30000 д. е., которые она вложила под ежеквартальное
начисление сложных процентов по годовой процентной ставке 0,08 для приобретения
аннуитета. Мэри желает в конце каждого года брать сумму

 для отдыха на Гавайях. Определите величину

, если последняя
выплата использована через 10 лет.

---

Задача 39

Банк
предлагает ренту постнумерандо на 10 лет с квартальной выплатой 4 тыс. руб.
Годовая процентная ставка в течение всего периода остается постоянной, и
сложные проценты начисляются ежеквартально. По какой цене можно приобрести эту
ренту сейчас, если выплаты начнут осуществляться немедленно, а сложная
процентная ставка равна 32% годовых?

---

Задача 40

Клиент
обратился в банк с просьбой о предоставлении кредита на покупку автомобиля,
сроком на 1,5 года, уведомив банк, что ежемесячно может перечислять 1000
долларов. На какую сумму кредита может рассчитывать клиент, если процентная
ставка, предложенная банком, составляет 9%. Определить издержки клиента по
кредиту.

---

Задача 41

Определите
текущую стоимость обязательных ежемесячных платежей размером 150 тыс. денежных
единиц в течение 10 лет, если процентная ставка составляет 14,2% годовых.

---

Задача 42

Определите
современную стоимость обычных ежеквартальных платежей размером 64 тыс. ден. ед.
в течение 2 лет, если учетная ставка 18,5% годовых.

---

Задача 43

Инвестиции
производятся на протяжении 4 лет один раз в конце года по 2 млн. руб. Ставка
сложных процентов 17% годовых. Найти современную стоимость инвестиций.

---

Задача 44

Найти
современную стоимость годовой ренты, если проценты начисляются по номинальной
ставке 16% ежемесячно, член ренты 50 000 руб., срок ренты 4 года.

---

Задача 45

Для
формирования фонда ежеквартально делаются взносы по 100 000 руб., Проценты
начисляются один раз в год по ставке 17%. Найти современную стоимость фонда,
который будет накоплен к концу пятилетнего срока.

---

Задача 46

Для
формирования фонда ежеквартально делаются взносы по 100 000 руб., Проценты
начисляются ежемесячно по номинальной ставке 17%. Найти современную стоимость
фонда, накопленного к концу пятилетнего срока. Полученную сумму сравните с
результатом предыдущей задачи.

---

Задача 47

Определите
размер равных ежегодных взносов, которые необходимо делать для погашения в
течение 3 лет текущего долга в размере 1 млн. руб., если ставка сложных
процентов 17% годовых.

---

Задача 48

За
счет привлеченных средств сделаны инвестиции в размере 10 млн. руб. расчетная
отдача от них составляет по 2,2 млн. руб. в конце каждого года. За какой срок
окупятся инвестиции, если на долг начисляются проценты по квартальной ставке
4%?

---

Задача 49

Для
создания фонда развития фирма помещает в банк ежегодно 43,4 млн. р.  в течение пяти лет под 17,5% годовых (сложные
проценты начисляются раз в квартал). Определите современную величину ренты.

---

Задача 50

Каждый
член ренты 2000 д.е., выплачиваемый в конце года, дисконтируется сложными
процентами по годовой процентной ставке 0,08. Определите современную величину
ренты при условии, что срок ренты равен 10 годам.

---

Задача 51

Фирма
предлагает покупателю свою продукцию на сумму 2000 тыс. руб. с условием ее
оплаты в рассрочку в течение двух лет под 14% годовых (проценты сложные).
Платежи должны вноситься в конце каждого квартала, проценты начисляются один
раз в конце года. Определить величину квартального платежа.

---

Задача 52

Вам предлагают сдать в
аренду участок земли на пять лет, выбрав один из двух вариантов оплаты аренды:
а) 10 тыс. руб. в конце каждого года; б) 80 тыс. руб. в конце пятилетнего
периода. Какой вариант более предпочтителен, если банк предлагает 15% годовых
по вкладам.

---

Задача 53

Вам предложено
инвестировать 500 тыс. руб. на срок пять лет при условии возврата этой суммы
частями (ежегодно по 100 тыс. руб. в конце года). По истечении пяти лет
выплачивается дополнительное вознаграждение в размере 100 тыс. руб. Принимать
ли это предложение, если можно разместить деньги в банке из расчета 14%
годовых?

Калькулятор стоимости будущей ренты

При увеличении периода начислений Т, но при сохранении процентной ставки, происходит увеличение текущей стоимости единицы обычного аннуитета.

• Авансовый аннуитет – поступление потоков платежей в начале каждого периода.

Первый платеж происходит одновременно с начальным поступлением денежных средств, поэтому его называют “авансовым аннуитетом” или “причитающимся аннуитетом”. Первый платеж не дисконтируется, а все последующие платежи дисконтируются по фактору обычного аннуитета, а последующие поступления дисконтируются в обычном порядке. Формула расчета авансового аннуитета имеет вид:

PVAа = PMT x {[1 – (1 + R)^{-(n – 1)}] : R + 1}.

Выражение в фигурных скобках характеризует фактор текущей стоимости авансового аннуитета:

Аа_п = {[1 – (1 + R)^{-(n – 1)}] : R + 1}.

Значение Аа_п показывает текущую стоимость единицы денежных средств при равномерном поступлении ее в начале каждого единичного периода, входящего в период Т.

Примеры расчета фактора текущей стоимости авансового аннуитета приведены ниже:

1. R = 15%; T = 4 года; Aa_п1 = [1 – (1 + 0,15)^{-(4 – 1)}] : 0,15 + 1 = 3,28.

   Текущая стоимость единицы денежных средств в конце 4-го года при равномерном поступлении в будущем единицы ДС в начале каждого года при ставке 15% годовых будет соответствовать 3,28%;

2. R = 25%; T = 4 года; Aa_п2 = [1 – (1 + 0,25)^{-(4 – 1)}] : 0,25 + 1 = 2,95.

   При увеличении процентной ставки R, но при том же периоде поступлений, происходит уменьшение текущей стоимости денежной единицы авансового аннуитета;

3. R= 15%; T = 5 лет; Aa_п3 = [1 – (1 + 0,15)^{-(5 – 1)}] : 0,15 + 1 = 3,85.

   При увеличении Т, но при сохранении процентной ставки, происходит увеличение текущей стоимости единицы авансового аннуитета.

Фактор текущей стоимости авансового аннуитета может быть определен как сумма фактора обычного аннуитета для предыдущего периода (А_{п – 1}) и единицы:

Аа_п = А_{п – 1} + 1.

Например. Фактор текущей стоимости авансового аннуитета, возникающего 5 раз при годовой ставке 15%, можно определить:

1. Аа_п = {[1 – (1 + R)^{-(n – 1})] : R + 1} = {[1 – (1 + 0,15)^{-(5 – 1)}] : 0,15 + 1} = 3,85;
2. вычисляем фактор текущей стоимости аннуитета для предпоследнего периода (5 – 1):

А_п = {[1 – 1 : (1 + R)ⁿ] : R}; А₄ = {[1 – 1 : (1 + 0,15)⁴] : 0,15} = 2,85.

К полученному результату прибавляем 1:

А_п + 1 = А₄ + 1 = 2,85 +1 = 3,85.

Результаты расчетов одинаковые.

Использование функции “текущая стоимость аннуитета” PVA на практике позволяет принимать обоснованные управленческие решения при оценке стоимости активов организации.

Пример 61. Владелец предприятия, специализирующегося на оказании услуг населению, предполагает в течение 5 лет получать ежегодный доход в размере 2000 тыс. руб., а затем в конце 5 года продать предприятие за 3500 тыс. руб., расходы по ликвидации предприятия составят 12% от продажной цены. Определить доход от деятельности и продажи, учитывая ставку дисконта по деятельности – 14%, а от продажи предприятия – 23%.

Решение:

• Определим значение фактора обычного аннуитета:

А_п = {[1 – 1 : (1 + R)ⁿ] : R}; А₅ = [1 – 1 : (1 + 0,14)⁵] : 0,14 = 3,4331.

• Определим текущую стоимость потока доходов от деятельности по формуле текущей стоимости обычного аннуитета:

PVA = PMT x А_п = 2000 x 3,4331 = 6866,2 (тыс. руб.).

• Определим текущую стоимость от продажи предприятия в конце 5-го года деятельности, учитывая дисконт – 23%, а также расходы на ликвидацию в размере 12%, используя формулу дисконтирования:

PV = S x (1 – Рл) x [1 : (1 + d)ⁿ],

где

PV – текущая стоимость предприятия;

S – продажная цена предприятия;

Рл – доля расходов на продажу предприятия;

d – ставка дисконтирования при продаже предприятия;

n – число периодов начисления процентов.

PV = 3500 x (1 – 0,12) x [1 : (1 + 0,23)⁵] = 3500 x 0,88 x 0,36 = 1108,8 (тыс. руб.).

• Определим текущую сумму доходов владельца предприятия:

Д = PVA + PV = 6866,2 + 1108,8 = 7975 (тыс. руб.)

Таким образом, владелец предприятия получит доход от деятельности и последующей продажи предприятия в размере 7975 тыс. руб.

Пример 62. Фирма сдает свободные площади в аренду. Определить текущую стоимость совокупного дохода от сдачи в аренду площадей в течение 4 лет, если сдача в аренду торговых помещений может принести ежегодный доход в размере 6700 тыс. руб., сдача в аренду складских помещений позволяет ежегодно получать 2300 тыс. руб. Ставка дисконта по каждому виду соответственно 21 и 17%.

Решение:

• Определим значение фактора обычного аннуитета:

Ап = {[1 – 1 : (1 + R)ⁿ] : R}.

Значение фактора обычного аннуитета для аренды торговых площадей:

А₄(т.пл) = [1 – 1 : (1 + 0,21)⁴] : 0,21 = 2,5404.

Значение фактора обычного аннуитета для аренды складских площадей:

А₄(ск.пл) = [1 – 1 : (1 + 0,17)⁴] : 0,17 = 2,7432.

• Определим значение текущей стоимости дохода от аренды торговых площадей (округление до целых):

PVA(т.пл) = 6700 x 2,5404 = 17021 (тыс. руб.);

PVA(ск.пл) = 2300 x 2,7432 = 6309 (тыс. руб.).

• Текущая стоимость совокупного дохода:

PVA = 17021 + 6309 = 23330 (тыс. руб.).

Совокупный текущий доход фирмы от сдачи в аренду помещений в течение 4 лет составит 23 330 тыс. руб.

Пример 63. Определить текущую стоимость совокупного дохода от сдачи помещения в аренду, если по прогнозу предполагается, что в течение первых 2 лет ежегодный доход составит 2000 тыс. руб., в следующие 3 года ежегодный доход может увеличиваться на 200 тыс. руб. в год. Ставка дисконта – 13%.

Решение:

В данной ситуации ежегодные выплаты различные.

• Определим текущую стоимость потока платежей за первые 2 года.

Определим значение фактора обычного аннуитета:

А_п = {[1 – 1 : (1 + R)ⁿ] : R},

А₂ = [1 – 1 : (1 + 0,13)²] : 0,13 = 1,6681.

Значение текущей стоимости дохода от аренды за первые два года (округление до целых):

PVA₂ = 2000 x 1,6681 = 3336 (тыс. руб.).

• Определим текущую стоимость потока платежей за последующие 3 года.

Значение фактора обычного аннуитета за эти годы как разность между факторами, соответствующими значению фактора в расчете за 5 лет (2 + 3) и за 2 года:

ΔА = А₅ – А₂ = {[1 – 1 : (1 + 0,13)⁵] : 0,13} – {[1 – 1 : (1 + 0,13)²] : 0,13} = 3,5172 – 1,6681 = 1,8491.

Текущая стоимость аренды с конца второго года по конец 5 года аренды будет равна:

PVA_{5 – 2} = 2200 x 1,8491 = 4068 (тыс. руб.).

• Суммарная текущая стоимость арендной платы за 5 лет составит:

PVA₅ = 3336 + 4068 = 7404 (тыс. руб.).

Пример 64. Определить текущую стоимость совокупного дохода от сдачи помещения в аренду, если в течение первых 3 лет ежегодный доход может составить 4500 тыс. руб., ставка дисконта – 15 %. В следующие 5 лет ежегодный доход от сдачи помещения в аренду из-за физического износа может уменьшиться на 15 %, а ежегодная ставка дисконта увеличится на 2%.

Решение:

• Определим текущую стоимость потока платежей за первые 3 года, учитывая, что ставка дисконтирования 15%.

Значение фактора обычного аннуитета:

А₃ = [1 – 1 : (1 + 0,15)³] : 0,15 = 2,2832.

Значение текущей стоимости дохода от аренды за первые три года (округление до целых):

PVA₃ = 4500 x 2,2832 = 10 274 (тыс. руб.).

Таким образом, текущая стоимость совокупного дохода, полученного в будущем, от сдачи помещения в аренду за первые 3 года, при ставке дисконтирования 15%, составит 10 274 тыс. руб. (без учета фактора времени – 13 500 тыс. руб. (4500 x 3)).

• Определим значение фактора текущей стоимости потока платежей в следующие 5 лет, учитывая, что ставка дисконтирования 17%.

ΔА = А₈ – А₃ = {[1 – 1 : (1 + 0,17)⁸] : 0,17} – {[1 – 1 : (1 + 0,17)³] : 0,17} = 4,2072 – 2,2096 = 1,9976.

Текущая стоимость аренды с конца третьего года по конец 8 года аренды будет равна:

PVA_{8 – 3} = 4500 x (1 – 0,15) x 1,9976 = 7641 (тыс. руб.).

• Суммарная текущая стоимость арендной платы за 8 лет, которая будет получена в будущем, составит:

PVA = 10 274 + 7641 = 17 915 (тыс. руб.).

Размер совокупного дохода от сдачи помещения в аренду с учетом фактора времени составит 17 915 тыс. руб., без учета фактора времени – 32 625 тыс. руб. (13 500 + 5 x 4500 x 0,85).

Функция “Будущая стоимость аннуитета” FVA.

С помощью функции FVA определяют величину накопленных равновеликих взносов при заданной ставке дохода. Если взносы осуществляются в конце периода, то используется формула:

FVA = PMT x {[(1 + R)ⁿ – 1] : R},

где

FVA – будущая стоимость накопленных денежных средств,

PMT – периодический взнос;

R – периодическая ставка процента;

n – число периодов начисления (лет).

Выражение в фигурных скобках представляет собой фактор “будущей стоимости обычного аннуитета”:

А_бт = [(1 + R)ⁿ – 1] : R.

Значение А_бт показывает, какой по истечению всего срока будет стоимость денежной единицы периодических равных взносов, депонированных в конце каждого периода:

• R = 15%; T = 4 года; A_бт1 = [(1 + 0,15)⁴ – 1] : 0,15 = 4,99.

Стоимость единицы денежных средств, депонированной в конце каждого года, в течение 4 лет при годовой ставке 15% будет равна 4,99 единиц ДС;

• R = 25%; T = 4 года; A_бт2 = [(1 + 0,25)⁴ – 1] : 0,25 = 5,77;

• R = 15%; T = 5 лет; A_бт3 = [(1 + 0,15)⁵ – 1] : 0,15 = 6,74.

При увеличении R и начислений Т, но при том же периоде поступлений, происходит увеличение накопления будущей стоимости денежной единицы обычного аннуитета.

Пример 65. Определить размер денежных средств, накопленных на счете в течение 3 лет, если ежегодно вносить 280 тыс. руб., а банк начисляет на вклад 9% годовых.

Решение:

• Определим значение фактора “будущей стоимости обычного аннуитета” за 3 периода при ставке 9% годовых:

А_бт = [(1 + R)ⁿ – 1] : R = [(1 + 0,09)³ – 1] : 0,09 = 3,2781.

• Определим величину накопленных на счете денежных средств к концу 3 года:

FVA = PMT x {[(1 + R)ⁿ – 1] : R} = 280 x 3,2781 = 918 (тыс. руб.)

Таким образом, если ежегодно на счет перечислять 280 тыс. руб., то сумма накоплений за 3 года составит 918 тыс. руб. Разница между суммой накоплений и возрастающей суммой вклада – 840 тыс. руб. (280 x 3) в размере 78 тыс. руб. представляет собой величину процентов, начисленных на возрастающую сумму.

Если взносы (платежи) осуществляются в начале периода, то используют формулу:

FVAа = PMT x {[(1 + R)^{n + 1} – 1] : R}.

Выражение в фигурных скобках представляет собой фактор “будущей стоимости авансового аннуитета”:

А_ба = [(1 + R)^{n + 1} – 1] : R.

Значение А_ба показывает, какой по истечению всего срока будет стоимость денежной единицы периодических равных взносов, депонированных в начале каждого единичного периода:

• R = 15%; T = 4 года; A_ба1 = [(1 + 0,15)^{4 + 1} – 1] : 0,15 = 6,74.

Стоимость единицы денежных средств, депонированной в начале каждого года, в течение 4 лет при годовой ставке 15% будет равна 6,74 единиц ДС;

• R = 25%; T = 4 года; A_ба2 = [(1 + 0,25)^{4 + 1} – 1] : 0,25 = 8,21;

• R = 15%; T = 5 лет; A_ба3 = [(1 + 0,15)^{5 + 1} – 1] : 0,15 = 8,75.

При увеличении R и начислений Т, но при том же периоде поступлений, происходит увеличение накопления будущей стоимости денежной единицы авансового аннуитета.

Пример 66. Предприятие сдало в аренду оборудование сроком на 15 месяцев. Ежемесячные арендные платежи должны по договору поступать в начале каждого месяца в размере 180 тыс. руб. Какова будущая стоимость платежей к концу 15-го месяца, если ставка дисконтирования – 14% годовых?

Решение:

• Определим ставку дисконтирования в месяц:

Rm = 14% : 12 = 1,17%.

• Определим значение фактора “будущей стоимости авансового аннуитета”:

А_ба = [(1 + Rm)^{n + 1} – 1] : Rm = [(1 + 0,0117)¹⁵ – 1] : 0,0117 = 16,29302854.

• Определим стоимость аренды за 15 месяцев:

FVA_а = PMT x {[(1 + Rm)^{n + 1} – 1] : Rm} = 180 x 16,293 = 2933 (тыс. руб.).

Без учета ставки дисконтирования суммарные арендные платежи составят 2700 тыс. руб. (15 x 180), с учетом ставки дисконтирования – 2933 тыс. руб. Разность между ними в размере 233 тыс. руб. представляет величину процентов, начисленных на возрастающую сумму платежей.

Функция “периодический взнос на погашение кредита” (РМТ).

С помощью данной функции определяется величина самого аннуитета, если известны текущая стоимость, число взносов и ставка дисконтирования. Эта функция является обратной текущей стоимостью обычного аннуитета.

Из формулы PVA = PMT x А_п = РМТ x {[1 – 1 : (1 + R)ⁿ] : R} следует, что:

РМТ = PVA : А_п = PVA : [1 – 1 : (1 + R)ⁿ] : R} = PVA x {1 : [1 – 1 : (1 + R)ⁿ] : R}.

Величина, обратная фактору обычного аннуитета, представляет собой фактор взноса на погашение кредита:

А_кр = 1 : А_п = 1 : [1 – 1 : (1 + R)ⁿ] : R, или

А_кр = R : [1 – 1 : (1 + R)ⁿ]

Значение А_кр показывает равновеликий периодический платеж единицы ДС, необходимый для погашения единицы кредита ДС:

1. R = 15%; T = 4 года; A_кр1 = 0,15 : [1 – 1 : (1 + 0,15)⁴] = 0,35.

   Если сегодня положить единицу денежных средств сроком на 4 года под 15% годовых, то в конце каждого года можно снимать 0,35 единицы ДС;

2. R = 25%; T = 4 года; A_кр2 = 0,25 : [1 – 1 : (1 + 0,25)⁴] = 0,42.

   Если сегодня положить единицу денежных средств, сроком на 4 года под 25% годовых, то в конце каждого года можно снимать 0,42 единицы ДС.

   Увеличение годовой процентной ставки, при том же периоде, приводит к увеличению суммы, снимаемой в конце каждого года;

3. R = 15%; T = 5 лет; A_бт3 = 0,15 : [1 – (1 + 0,15)⁵] = 0,30.

Если сегодня положить единицу денежных средств, сроком на 5 лет под 15% годовых, то в конце каждого года можно снимать лишь 0,30 единицы ДС.

Увеличение периода кредитования, при той же годовой процентной ставке, приводит к уменьшению суммы, снимаемой в конце каждого года.

Пример 67. Организации предоставлен кредит в размере 9000 тыс. руб. сроком на 5 лет под 16% годовых. Какие должны быть ежегодные равновеликие выплаты по погашению кредита?

Решение:

• Рассчитаем величину обычного аннуитета, учитывая, что срок кредита 5 лет, а годовая ставка дисконтирования 16%:

А_п = [1 – 1 : (1 + R)ⁿ] : R = [1 – 1 : 1,16⁵] : 0,16 = 3,2743.

Фактор взноса на погашение кредита:

А_кр = 1 : А_п = 1 : 3,2743 = 0,3054.

• Определим ежегодные выплаты, если размер их должен быть один и тот же: