Как найти фактор числа - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Факториа́л — функция, определённая на множестве неотрицательных целых чисел. Название происходит от лат. factorialis — действующий, производящий, умножающий; обозначается , произносится эн факториа́л. Факториал натурального числа определяется как произведение всех натуральных чисел от 1 до включительно:

${displaystyle n!=1cdot 2cdot ldots cdot n=prod _{k=1}^{n}k}$

Например,

5 ! = 1 cdot 2 cdot 3 cdot 4 cdot 5 = 120

Для n=0 принимается в качестве соглашения, что

Факториалы всех чисел составляют последовательность A000142 в OEIS; значения в научной нотации округляются

n	n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40320
9	362880
10	3628800
11	39916800
12	479001600
13	6227020800^[1]
14	87178291200^[2]
15	1307674368000^[3]
16	20922789888000^[4]
17	355687428096000^[5]
18	6402373705728000^[6]
19	121645100408832000^[7]
20	2432902008176640000^[8]
25	15511210043330985984000000^[9]
50	30 414 093 201 713 378 043 612 608 166 064 768 844 377 641 568 960 512 000 000 000 000^[10]
70	11 978 571 669 969 891 796 072 783 721 689 098 736 458 938 142 546 425 857 555 362 864 628 009 582 789 845 319 680 000 000 000 000 000^[11]
100	≈9,332621544⋅10¹⁵⁷
450	≈1,733368733⋅10¹⁰⁰⁰
1000	≈4,023872601⋅10²⁵⁶⁷
3249	≈6,412337688⋅10¹⁰⁰⁰⁰
10000	≈2,846259681⋅10³⁵⁶⁵⁹
25206	≈1,205703438⋅10¹⁰⁰⁰⁰⁰
100000	≈2,824229408⋅10⁴⁵⁶⁵⁷³
205023	≈2,503898932⋅10^1000004
1000000	≈8,263931688⋅10^5565708
10¹⁰⁰	≈10^{9,956570552⋅10¹⁰¹}
10¹⁰⁰⁰	≈10^10¹⁰⁰³
10^10 000	≈10^{10^10 004}
10^100 000	≈10^{10^100 005}
10^10¹⁰⁰	≈10^{10^10¹⁰⁰}

Факториал активно используется в различных разделах математики: комбинаторике, математическом анализе, теории чисел, функциональном анализе и др.

Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растёт быстрее, чем любая показательная функция или любая степенная функция, а также быстрее, чем любая сумма произведений этих функций. Однако степенно-показательная функция ${displaystyle n^{n}}$ растёт быстрее факториала, так же как и большинство двойных степенных, например $e^{{e^{n}}}$ .

Свойства[править | править код]

Рекуррентная формула[править | править код]

Факториал может быть задан следующей рекуррентной формулой:

$n!= begin{cases} 1 & n = 0,\ n cdot (n-1)! & n > 0. end{cases}$

Комбинаторная интерпретация[править | править код]

В комбинаторике факториал натурального числа n интерпретируется как количество перестановок (упорядочиваний) множества из n элементов.

Например, для множества {A,B,C,D} из 4-х элементов существует 4! = 24 перестановки:

ABCD  BACD  CABD  DABC
ABDC  BADC  CADB  DACB
ACBD  BCAD  CBAD  DBAC
ACDB  BCDA  CBDA  DBCA
ADBC  BDAC  CDAB  DCAB
ADCB  BDCA  CDBA  DCBA

Комбинаторная интерпретация факториала подтверждает целесообразность соглашения 0!=1 — количество перестановок пустого множества равно единице. Кроме того, формула для числа размещений из элементов по

${displaystyle A_{n}^{m}={frac {n!}{(n-m)!}}}$

при n=m обращается в формулу для числа перестановок из элементов (порядка ), которое равно .

Связь с гамма-функцией[править | править код]

Пи-функция, определённая для всех вещественных чисел, кроме отрицательных целых, и совпадающая при натуральных значениях аргумента с факториалом.

Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением

Это же выражение используют для обобщения понятия факториала на множество вещественных чисел. Используя аналитическое продолжение гамма-функции, область определения факториала также расширяют на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при .

Непосредственным обобщением факториала на множества вещественных и комплексных чисел служит пи-функция , которая при может быть определена как

$Pi (z)=int _{0}^{infty }t^{{z}}e^{{-t}},{mathrm {d}}t$

(интегральное определение).

Пи-функция натурального числа или нуля совпадает с его факториалом: . Как и факториал, пи-функция удовлетворяет рекуррентному соотношению .

Формула Стирлинга[править | править код]

Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала:

$n!={sqrt {2pi n}}left({frac {n}{e}}right)^{n}left(1+{frac {1}{12n}}+{frac {1}{288n^{2}}}-{frac {139}{51840n^{3}}}-{frac {571}{2488320n^{4}}}+{frac {163879}{209018880n^{5}}}+{frac {5246819}{75246796800n^{6}}}+Oleft(n^{{-7}}right)right),$

см. O-большое^[12].

Во многих случаях для приближённого вычисления факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:

$n! approx sqrt{2pi n}left(frac{n}{e}right)^n.$

При этом можно утверждать, что

$sqrt{2pi n}left(frac{n}{e}right)^n e^{1/(12n+1)}< n! < sqrt{2pi n}left(frac{n}{e}right)^n e^{1/(12n)}.$

Формула Стирлинга позволяет получить приближённые значения факториалов больших чисел без непосредственного перемножения последовательности натуральных чисел. Например, с помощью формулы Стирлинга легко подсчитать, что

100! ≈ 9,33×10¹⁵⁷;
1000! ≈ 4,02×10²⁵⁶⁷;
10 000! ≈ 2,85×10^35 659.

Разложение на простые множители[править | править код]

Каждое простое число p входит в разложение n! на простые множители в степени определяемой следующей формулой:

$leftlfloor frac{n}{p}rightrfloor + leftlfloor frac{n}{p^2}rightrfloor + leftlfloor frac{n}{p^3}rightrfloor + ldots.$

Таким образом,

$n! = prod_{p} p^{lfloor frac{n}{p}rfloor + lfloor frac{n}{p^2}rfloor +ldots},$

где произведение берётся по всем простым числам. Можно заметить, что для всякого простого p большего n соответствующий множитель в произведении равен 1; следовательно, произведение можно брать лишь по простым p, не превосходящим n.

Связь с производной от степенной функции[править | править код]

Для целого неотрицательного числа n:

$left(x^{n}right)^{{(n)}}=n!$

Например:

$left( x^5 right)^{(5)} = left( 5 cdot x^4 right)^{(4)} = left( 5 cdot 4 cdot x^3 right)''' = left( 5 cdot 4 cdot 3 cdot x^2 right)'' = left( 5 cdot 4 cdot 3 cdot 2 cdot x right)' = {5 cdot 4 cdot 3 cdot 2 cdot 1} = 5!$

Другие свойства[править | править код]

Для натурального числа

$n!^{2}geqslant n^{n}geqslant n!geqslant n$

Для любого n>1

не является квадратом целого числа;

Для любого n>4

оканчивается на 0;

Для любого

оканчивается на 00.

Если

простое число:

делится на

(теорема Вильсона)

История[править | править код]

Факториальные выражения появились ещё в ранних исследованиях по комбинаторике, хотя компактное обозначение предложил французский математик Кристиан Крамп только в 1808 году^[13]. Важным этапом стало открытие формулы Стирлинга, которую Джеймс Стирлинг опубликовал в своём трактате «Дифференциальный метод» (лат. Methodus differentialis, 1730 год). Немного ранее почти такую же формулу опубликовал друг Стирлинга Абрахам де Муавр, но в менее завершённом виде (вместо коэффициента была неопределённая константа)^[14].

Стирлинг подробно исследовал свойства факториала, вплоть до выяснения вопроса о том, нельзя ли распространить это понятие на произвольные вещественные числа. Он описал несколько возможных путей к реализации этой идеи и высказал мнение, что:

${displaystyle left({1 over 2}right)!={frac {sqrt {pi }}{2}}}$

Стирлинг не знал, что годом ранее решение проблемы уже нашёл Леонард Эйлер. В письме к Кристиану Гольдбаху Эйлер описал требуемое обобщение^[15]:

${displaystyle x!=lim _{mto infty }{frac {m^{x}m!}{(x+1)(x+2)dots (x+m)}}}$

Развивая эту идею, Эйлер в следующем, 1730 году, ввёл понятие гамма-функции в виде классического интеграла. Эти результаты он опубликовал в журнале Петербургской академии наук в 1729—1730 годах.

Обобщения[править | править код]

Двойной факториал[править | править код]

Двойной факториал числа n обозначается n‼ и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1,n], имеющих ту же чётность, что и n.

Для чётного n:

$n!! = 2 cdot 4 cdot 6 cdot ldots cdot n = prod_{i=1}^{frac{n}{2}} 2i = 2^{{color{white}1}^{!!!! frac{n}{2}}} cdot left ( frac{n}{2} right )!$

Для нечётного n:

$n!!={1cdot 3cdot 5cdot ldots cdot n}=prod _{{i=0}}^{{{frac {n-1}{2}}}}(2i+1)={frac {n!}{2^{{{color {white}1}^{{!!!!{frac {n-1}{2}}}}}}cdot left({frac {n-1}{2}}right)!}}$

Связь между двойными факториалами двух соседних целых неотрицательных чисел и обычным факториалом одного из них.

$n!!={frac {n!}{(n-1)!!}}$

Осуществив замену n=2k для чётного n и n=2k+1 для нечётного n соответственно, где — целое неотрицательное число, получим:

для чётного числа:

$(2k)!!=2cdot 4cdot 6cdot ldots cdot 2k=prod _{{i=1}}^{{k}}2i=2^{k}cdot k!$

для нечётного числа:

$(2k+1)!!=1cdot 3cdot 5cdot ldots cdot (2k+1)=prod _{{i=0}}^{{k}}(2i+1)={frac {(2k+1)!}{2^{k}cdot k!}}$

По договорённости: 0!! = 1 . Также это равенство выполняется естественным образом:

Двойной факториал, так же, как и обычный факториал, определён только для целых неотрицательных чисел.

Последовательность значений n!! начинается так^[16]:

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10 395, 46 080, 135 135, 645 120, 2 027 025, 10 321 920, 34 459 425, 185 794 560, 654 729 075, 3 715 891 200, 13 749 310 575, 81 749 606 400, 316 234 143 225, 1 961 990 553 600, 7 905 853 580 625, 51 011 754 393 600, …

Кратный факториал[править | править код]

m-кратный факториал числа n обозначается $textstyle nunderbrace{!!ldots !}_m$ и определяется следующим образом. Пусть число n представимо в виде n=mk-r, где Тогда^[17]

$nunderbrace{!!ldots !}_m = prod_{i=1}^k (mi-r)$

Обычный и двойной факториалы являются частными случаями m-кратного факториала для m = 1 и m = 2 соответственно.

Кратный факториал связан с гамма-функцией следующим соотношением^[18]:

$nunderbrace {!!ldots !}_{m}=prod _{{i=1}}^{{k}}(mi-r)=m^{k}cdot {frac {Gamma left(k-{frac {r}{m}}+1right)}{Gamma left(1-{frac {r}{m}}right)}}.$

Также кратный факториал $textstyle nunderbrace{!!ldots !}_m$ возможно записывать в сокращенном виде ${displaystyle n!_{(m)}}$ .

Неполный факториал[править | править код]

Убывающий факториал[править | править код]

Убывающим факториалом называется выражение

$(n)_k = n^{underline{k}} = n^{[k]}= ncdot (n-1)cdot ldotscdot (n-k+1) = frac{n!}{(n-k)!} = prod_{i=n-k+1}^n i$

Например:

n = 7; k = 4,

(n − k) + 1 = 4,

n^k = 7 • 6 • 5 • 4 = 840.

Убывающий факториал даёт число размещений из n по k.

Возрастающий факториал[править | править код]

Возрастающим факториалом называется выражение

$n^{(k)} = n^{overline{k}} = ncdot (n+1)cdot ldotscdot (n+k-1) = frac{(n+k-1)!}{(n-1)!}=prod_{i=n}^{(n+k)-1} i.$

Праймориал или примориал[править | править код]

Праймориал или примориал (англ. primorial) числа n обозначается p_n# и определяется как произведение n первых простых чисел. Например,

$p_{5}#=2times 3times 5times 7times 11=2310$

Иногда праймориалом называют число , определяемое как произведение всех простых чисел, не превышающих заданное n.

Последовательность праймориалов (включая ) начинается так^[19]:

1, 2, 6, 30, 210, 2310, 30 030, 510 510, 9 699 690, 223 092 870, 6 469 693 230, 200 560 490 130, 7 420 738 134 810, 304 250 263 527 210, 13 082 761 331 670 030, 614 889 782 588 491 400, 32 589 158 477 190 046 000, 1 922 760 350 154 212 800 000, …

Фибонориал или фибоначчиал[править | править код]

Произведение нескольких первых чисел Фибоначчи. Записывается n!_F.

Например, : 6!_F = .

Суперфакториалы[править | править код]

Нейл Слоан и Симон Плуффэ^[en] в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых n факториалов. Согласно этому определению, суперфакториал четырёх равен

{displaystyle operatorname {sf} (4)=1!times 2!times 3!times 4!=288}

(поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное).

В общем

$operatorname{sf}(n) =prod_{k=1}^n k! =prod_{k=1}^n k^{n-k+1} =1^ncdot2^{n-1}cdot3^{n-2}cdots(n-1)^2cdot n^1.$

Последовательность суперфакториалов чисел начинается так^[20]:

1, 1, 2, 12, 288, 34 560, 24 883 200, 125 411 328 000, 5 056 584 744 960 000, 1 834 933 472 251 084 800 000, 6 658 606 584 104 737 000 000 000 000, 265 790 267 296 391 960 000 000 000 000 000 000, 127 313 963 299 399 430 000 000 000 000 000 000 000 000 000, …

Идея была обобщена в 2000 году Генри Боттомли^[en], что привело к гиперфакториалам (англ. Hyperfactorial), которые являются произведением первых n суперфакториалов. Последовательность гиперфакториалов чисел начинается так^[21]:

1, 1, 2, 24, 6912, 238 878 720, 5 944 066 965 504 000, 745 453 331 864 786 800 000 000 000, 3 769 447 945 987 085 600 000 000 000 000 000 000 000 000, 6 916 686 207 999 801 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000, …

Продолжая рекуррентно, можно определить факториал кратного уровня, или m-уровневый факториал числа n, как произведение (m − 1)-уровневых факториалов чисел от 1 до n, то есть

$operatorname {mf}(n,m)=operatorname {mf}(n-1,m)operatorname {mf}(n,m-1)=prod _{{k=1}}^{n}k^{{n-k+m-1 choose n-k}},$

где для n>0 и

Субфакториал[править | править код]

Субфакториал !n определяется как количество беспорядков порядка n, то есть перестановок n-элементного множества без неподвижных точек.

См. также[править | править код]

Факторион

Примечания[править | править код]

↑ Шесть миллиардов двести двадцать семь миллионов двадцать тысяч восемьсот
↑ Восемьдесят семь миллиардов сто семьдесят восемь миллионов двести девяносто одна тысяча двести
↑ Один триллион триста семь миллиардов шестьсот семьдесят четыре миллиона триста шестьдесят восемь тысяч
↑ Двадцать триллионов девятьсот двадцать два миллиарда семьсот восемьдесят девять миллионов восемьсот восемьдесят восемь тысяч
↑ Триста пятьдесят пять триллионов шестьсот восемьдесят семь миллиардов четыреста двадцать восемь миллионов девяносто шесть тысяч
↑ Шесть квадриллионов четыреста два триллиона триста семьдесят три миллиарда семьсот пять миллионов семьсот двадцать восемь тысяч
↑ Сто двадцать один квадриллион шестьсот сорок пять триллионов сто миллиардов четыреста восемь миллионов восемьсот тридцать две тысячи
↑ Два квинтиллиона четыреста тридцать два квадриллиона девятьсот два триллиона восемь миллиардов сто семьдесят шесть миллионов шестьсот сорок тысяч
↑ Пятнадцать септиллионов пятьсот одиннадцать секстиллионов двести десять квинтиллионов сорок три квадриллиона триста тридцать триллионов девятьсот восемьдесят пять миллиардов девятьсот восемьдесят четыре миллиона
↑ Тридцать вигинтиллионов четыреста четырнадцать новемдециллионов девяносто три октодециллиона двести один септдециллион семьсот тринадцать седециллионов триста семьдесят восемь квиндециллионов сорок три кваттуордециллиона шестьсот двенадцать тредециллионов шестьсот восемь додециллионов сто шестьдесят шесть ундециллионов шестьдесят четыре дециллиона семьсот шестьдесят восемь нониллионов восемьсот сорок четыре октиллиона триста семьдесят семь септиллионов шестьсот сорок один секстиллион пятьсот шестьдесят восемь квинтиллионов девятьсот шестьдесят квадриллионов пятьсот двенадцать триллионов
↑ Одиннадцать дуотригинтиллионов девятьсот семьдесят восемь антригинтиллионов пятьсот семьдесят один тригинтиллион шестьсот шестьдесят девять новемвигинтиллионов девятьсот шестьдесят девять октовигинтиллионов восемьсот девяносто один септемвигинтиллион семьсот девяносто шесть сексвигинтиллионов семьдесят два квинвигинтиллиона семьсот восемьдесят три кватторвигинтиллиона семьсот двадцать один тревигинтиллион шестьсот восемьдесят девять дуовигинтиллионов девяносто восемь анвигинтиллионов семьсот тридцать шесть вигинтиллионов четыреста пятьдесят восемь новемдециллионов девятьсот тридцать восемь октодециллионов сто сорок два септдециллиона пятьсот сорок шесть седециллионов четыреста двадцать пять квиндециллионов восемьсот пятьдесят семь кваттуордециллионов пятьсот пятьдесят пять тредециллионов триста шестьдесят два додециллиона восемьсот шестьдесят четыре ундециллиона шестьсот двадцать восемь дециллионов девять нониллионов пятьсот восемьдесят два октиллиона семьсот восемьдесят девять септиллионов восемьсот сорок пять секстиллионов триста девятнадцать квинтиллионов шестьсот восемьдесят квадриллионов
↑ Коэффициенты этого разложения дают A001163 (числители) и A001164 (знаменатели)
↑ Крамп, Кристиан. Дата обращения: 19 сентября 2016. Архивировано 19 сентября 2016 года.
↑ Pearson, Karl (1924), Historical note on the origin of the normal curve of errors, Biometrika Т. 16: 402–404 [p. 403], DOI 10.2307/2331714: «Стирлинг лишь показал, что арифметическая константа в формуле Муавра равна . Я считаю, что это не делает его автором теоремы»
↑ Дональд Кнут. Искусство программирования, том I. Основные алгоритмы. — М.: Мир, 1976. — С. 79—81. — 736 с.
↑ Последовательность A006882 в OEIS
↑ «Энциклопедия для детей» Аванта+. Математика.
↑ wolframalpha.com Архивная копия от 1 ноября 2013 на Wayback Machine.
↑ Последовательность A002110 в OEIS
↑ Последовательность A000178 в OEIS
↑ Последовательность A055462 в OEIS

Источник

In math, a Factor is a number or algebraic expression that is an exact divisor with no remainder. An integer that has the factors one and itself is known as prime factors. The integer that has more than two factors is known as composite factors. Let us learn more about the factors from this article. Go through the below section to know how to find the factors of the numbers from here.

Do refer:

Worksheet on Factors and Multiples
Methods of Prime Factorization
Examples on Multiples

Factor – Definition

A factor is derived from the Latin word which means “a maker” or “a doer” or “a performer”. A factor is a whole number that can be multiplied by another whole number to produce a whole number.
Factor × Factor = Multiple

Types of Factors

There are two types of factors. They are
1. Prime factors
2. Composite Factors

Prime Factors

Prime factors of a number are the set of prime numbers which when multiplied by together give the actual number. The prime numbers are 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,….
Example:
Write the prime factors for 6.
Solution:
1 × 6 = 6
2 × 3 = 6
3 × 2 = 6
6 × 1 = 6
2 and 3 are the prime numbers.
Hence, 2 and 3 are the prime factors of 6.

Composite Factors

Composite factors of a number are the factors that are not prime. That means the numbers which have more than two factors are known as the composite factors.
Example:
Write the composite factors of 12.
Solution:
1 × 12 = 12
2 × 6 = 12
3 × 4 = 12
4 × 3 = 12
6 × 2 = 12
12 × 1 = 12
Thus the factors of 12 are 1, 2, 3, 4, 6, 12.

How to Find Factors of a Number?

We can find the factors of a number by using both the division method and the multiplication method. First, we will see how to find the factors of a number by division.
Factors by Division
1. Find the numbers less than or equal to the given number.
2. Now divide the given number by each of the numbers.
3. The remainder should be 0.
For example, let us divide 6 and 3
6 ÷ 3 = 2
Thus the factors of 6 are 2 and 3 as the remainder leaves zero.
Factors by Multiplication
Follow the below steps to find the factors using the multiplication method.
1. First write the given numbers as the product of two numbers in possible ways.
2. All the numbers involved in all these products are the factors of the given number.
3. With this we can find whether the given number is a prime factor or composite factor.
For example, write the factors of 12.
1 × 12 = 12
2 × 6 = 12
3 × 4 = 12
4 × 3 = 12
6 × 2 = 12
12 × 1 = 12
Thus the factors of 12 are 1, 2, 3, 4, 6 and 12.

Solved Problems on Finding Factors

Example 1.
Find the factors of 16.
Solution:
The factors of 16 are as follows
1 × 16
2 × 8
4 × 4
8 × 2
16 × 1
Therefore the factors of 16 are 1, 2, 4, 8, 16.

Example 2.
Write the prime factors for 15.
Solution:
Prime factors of a number are the set of prime numbers which when multiplied by together give the actual number.
We have to multiply directly with the prime number to find the factors of 15.
15 = 3 × 5
Thus the prime factors of 15 are 3, 5.

Example 3.
Find the Missing Factors of the following
i. 2 × _ = 10
ii. _ × 7 = 21
iii. 7 × _ = 49
iv. 9 × _ = 54
v. 10 × _ = 30
Solution:
i. 2 × _ = 10
Let the missing factor be x.
2 × x = 10
x = 10 ÷ 2
x = 5
Thus the missing factor is 5.
ii. _ × 7 = 21
Let the missing factor be a.
a × 7 = 21
a = 21 ÷ 7
a = 3
Thus the missing factor is 3.
iii. 7 × _ = 49
Let the missing factor be b.
7 × b = 49
b = 49 ÷ 7
b = 7
Thus the missing factor is 7.
iv. 9 × _ = 54
Let the missing factor be c.
9 × c = 54
c = 54 ÷ 9
c = 6
Thus the missing factor is 6.
v. 10 × _ = 30
Let the missing factor be y.
10 × y = 30
y = 30 ÷ 10
y = 3
Thus the missing factor is 3.

Example 4.
What are the factors of 72?
Solution:
The factors of 72 are
1 × 72
2 × 36
3 × 24
4 × 18
6 × 12
8 × 9
9 × 8
12 × 6
18 × 4
24 × 3
36 × 2
72 × 1
Therefore the factors of 72 are 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 and 72

Example 5.
What are the factors of 120?
Solution:
The factors of 120 are
1 × 120
2 × 60
3 × 40
4 × 30
5 × 24
6 × 20
8 × 15
10 × 12
12 × 10
15 × 8
20 × 6
24 × 5
30 × 4
40 × 3
60 × 2
120 × 1
Therefore the factors of 120 are 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 24, 30, 40, 60 and 120

Example 6.
Write the common factors of 21.
Solution:
Multiples of 3 – 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24.
Multiples of 7 – 7, 14, 21, 28.
Thus the common factors of 21 are 3 and 7.

FAQs on Factors

1. Define Factor

Factors are the numbers you multiply together to get another number. The factor may be both positive integer and negative integer.

2. What are the factors of 18?

The factors of 18 are
1 × 18
2 × 9
3 × 6
6 × 3
9 × 2
18 × 1
Thus the factor of 18 is 1, 2, 3, 6, 9, 18.

3. What are the types of factors?

There are three types of factors. They are
1. Direct
2. Distributed
3. Augmentative

Источник

Если вы знаете основы умножения и деления, вы уже знаете все навыки, которые вам необходимо учитывать. Числовые коэффициенты – это просто любые числа, которые можно умножить для создания этого числа. Вы также можете разложить число, разделив его на несколько раз. В то время как факторинг больших чисел поначалу может показаться сложным, есть несколько простых приемов, которые вы можете узнать, чтобы быстро найти факторы числа.

Факторы числа

Вы можете найти факторы числа, найдя все термины, которые умножаются вместе, чтобы создать это число. Например, факторы 14 равны 1, 2, 7 и 14, так как,

14 = 1 х 14 14 = 2 х 7

Чтобы полностью вычислить число, уменьшите его до его простых чисел. Они упоминаются как “главные факторы числа”. Например, 6 и 8 являются коэффициентами 48, так как, 6 х 8 = 48.

Но 6 и 8 не являются простыми числами, потому что они имеют факторы, отличные от 1 и самих себя. Чтобы полностью уменьшить 48 до его основных факторов, нужно также учитывать 6 и 8.

2 х 3 = 6 2 х 2 х 2 = 8

Итак, главные факторы 48, 3 х 2 х 2 х 2 х 2 = 48

Факторинг Деревья

Вы можете использовать дерево факторинга, чтобы легко визуализировать разбиение большого числа на его основные факторы. Поместите число, которое вы хотите вычислить в верхней части выражения, и разделите его на шаги по коэффициентам. Каждый раз, когда вы делите число, поместите два фактора числа ниже. Продолжайте деление, пока все числа не будут уменьшены до их основных факторов. Например, вы можете разложить 156 с помощью дерева факторов следующим образом:

2 78 / 2 39 / 3 13

Теперь вы можете легко увидеть основные факторы 156:

2 х 2 х 3 х 13 = 156

Вы также можете разделить на составные (или не простые) факторы, чтобы создать дерево факторов. Когда вы делите на составной фактор, вы делите составной фактор на его основные факторы. Например, вы можете вычислить фактор 192, используя составные или простые факторы следующим образом:

4 2 2 12 3 32 / / / 2 2 3 4 2 16 / / 2 4 2 8 / 2 4 / 2 2

Итак, главные факторы 192

2 х 2 х 2 х 2 х 2 х 3 = 192

Факторинг с переменными

Переменные выражения – да, те, в которых есть буквы – также имеют свои факторы. Если переменная умножается на константу (определенное число), переменная является одним из факторов выражения. Например,

4y = 2 x 2 xy

Вы можете найти факторы для выражений, которые включают как переменные, так и константы. Например, вы можете разложить выражение 6y – 21 на 3, так как 6 и 21 делятся на три. Это оставляет вас с

6y – 21 = 3 (2y – 7)

Величайшие общие факторы

После того, как вы освоили основы факторинга, у вас может возникнуть проблема, которая требует от вас найти наибольший общий множитель из двух чисел или выражений. Вы можете найти наибольший общий фактор, создав список факторов обоих чисел. Наибольшим общим фактором является просто наибольшее число, которое появляется в обоих списках.

Например, Коэффициенты 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 и 48 Коэффициенты 56: 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28 и 56

Если вы сравните два набора факторов, наибольшее число в обоих наборах равно 8. Таким образом, наибольший общий коэффициент равен 8.

Вы также можете использовать списки факторов, чтобы найти наибольший общий множитель двух выражений переменных. Допустим, вам дали следующие выражения:

8й 14й ^ 2 – 6й

Сначала найдите все факторы каждого выражения. Помните, что вы можете включать переменные в факторы выражения.

Коэффициенты для 8y: 1, y, 2, 2y, 4, 4y, 8 и 8y. Коэффициенты для 14y ^ 2 – 6y: 1, y, 2, 2y, 7y – 3, 7y ^ 2 – 3y, 14y – 6, а 14й ^ 2 – 6й

Таким образом, наибольшим общим фактором обоих выражений является 2y. Обратите внимание, что 2 не является наибольшим общим фактором, так как выражения, разделенные на 2 (4y и 7y ^ 2 – 3y), оба могут быть разделены на y.

Источник

Главный фактор

29.12.2019Математика

Главный фактор — фактор данного числа, которое является простым числом . Факторы — это числа, которые вы умножаете вместе, чтобы получить другое число. Проще говоря, главный фактор — это нахождение того, какие простые числа умножаются вместе, чтобы сделать исходное число.

Пример: простые числа 15 равны 3 и 5 (потому что 3 × 5 = 15, а 3 и 5 — простые числа).

Несколько интересных фактов о Prime Factor:

Существует только один (уникальный!) Набор простых факторов для любого числа.
Чтобы сохранить это свойство уникальных простых факторизаций, необходимо, чтобы номер один, 1, был отнесен к категории ни простых, ни составных.
Простые факторизации могут помочь нам с делимостью, упрощением дробей и поиском общих знаменателей для дробей.
Rho Полларда является основным алгоритмом факторизации, особенно быстрым для большого составного числа с небольшими простыми множителями.
Криптография — это изучение секретных кодов. Prime Factorization очень важна для людей, которые пытаются сделать (или взломать) секретные коды, основанные на числах.

Как напечатать главный фактор числа?

Наивное решение:
Учитывая число n, напишите функцию для вывода всех простых множителей n. Например, если введено число 12, тогда выходной сигнал должен быть «2 2 3», а если номер входа 315, то выходной сигнал должен быть «3 3 5 7».

Ниже приведены шаги, чтобы найти все основные факторы:

Пока n делится на 2, выведите 2 и разделите n на 2.
После шага 1 n должно быть нечетным. Теперь начните цикл с i = 3 до квадратного корня из n . Пока i делит n , выведите i и разделите n на i , увеличьте i на 2 и продолжите.
Если n — простое число и больше 2, то n не станет 1 выше двух шагов. Поэтому выведите n, если оно больше 2.

C / C ++

# include <stdio.h>
# include <math.h>

void primeFactors(int n)

{

while (n%2 == 0)

{

printf("%d ", 2);

n = n/2;

}

for (int i = 3; i <= sqrt(n); i = i+2)

{

while (n%i == 0)

{

printf("%d ", i);

n = n/i;

}

if (n > 2)

printf ("%d ", n);

}

int main()

{

int n = 315;

primeFactors(n);

return 0;

}

Джава

import java.io.*;

import java.lang.Math;

class GFG {

public static void primeFactors(int n)

{

while (n % 2 == 0) {

System.out.print(2 + " ");

n /= 2;

}

for (int i = 3; i <= Math.sqrt(n); i += 2) {

while (n % i == 0) {

System.out.print(i + " ");

n /= i;

}

if (n > 2)

System.out.print(n);

}

public static void main(String[] args)

{

int n = 315;

primeFactors(n);

}

питон

import math

def primeFactors(n):

while n % 2 == 0:

print 2,

n = n / 2

for i in range(3, int(math.sqrt(n))+1, 2):

while n % i == 0:

print i,

n = n / i

if n > 2:

print n

n = 315

primeFactors(n)

C #

using System;

namespace prime {

public class GFG {

public static void primeFactors(int n)

{

while (n % 2 == 0) {

Console.Write(2 + " ");

n /= 2;

}

for (int i = 3; i <= Math.Sqrt(n); i += 2) {

while (n % i == 0) {

Console.Write(i + " ");

n /= i;

}

if (n > 2)

Console.Write(n);

}

public static void Main()

{

int n = 315;

primeFactors(n);

}

}
}

PHP

<?php

function primeFactors($n)

{

while($n % 2 == 0)

{

echo 2, " ";

$n = $n / 2;

}

for ($i = 3; $i <= sqrt($n);

$i = $i + 2)

{

while ($n % $i == 0)

{

echo $i, " ";

$n = $n / $i;

}

if ($n > 2)

echo $n, " ";

}

$n = 315;

primeFactors($n);

?>

Выход:

3 3 5 7

Как это работает?

Шаги 1 и 2 относятся к составному числу, а шаг 3 — к простым числам. Чтобы доказать, что полный алгоритм работает, нам нужно доказать, что шаги 1 и 2 действительно заботятся о составных числах.
Понятно, что шаг 1 заботится о четных числах. После шага 1 все оставшиеся простые множители должны быть нечетными (разница двух простых множителей должна быть не менее 2), это объясняет, почему i увеличивается на 2.
Теперь основная часть состоит в том, что цикл продолжается до квадратного корня из n . Чтобы доказать, что эта оптимизация работает, рассмотрим следующее свойство составных чисел.

Every composite number has at least one prime factor less than or equal to square root of itself.

Это свойство может быть доказано с помощью встречного утверждения. Пусть a и b два таких фактора n, что a * b = n. Если оба больше √n, то ab> √n, * √n, что противоречит выражению «a * b = n».
На шаге 2 вышеприведенного алгоритма мы запускаем цикл и делаем следующее:
- Найти наименьший простой множитель i (должен быть меньше √n,)
- Удалите все вхождения i из n, многократно разделив n на i.
- Повторите шаги a и b для разделенных n и i = i + 2. Шаги a и b повторяются до тех пор, пока n не станет равным 1 или простому числу.

Эффективное решение:

Prime Factorization с использованием Sieve O (log n) для нескольких запросов

Программы, чтобы найти главный фактор числа

Отличительные основные факторы массива продукта
N-й простой множитель заданного числа
Программа для печати коэффициентов числа в парах
Количество различных простых факторов первых n натуральных чисел
Произведение уникальных простых факторов ряда

Больше проблем, связанных с Prime Factor

Подсчитайте числа из диапазона, чьи основные факторы только 2 и 3
Общие простые множители двух чисел
Наименьший простой множитель чисел до n
Наименьший простой делитель числа
Сумма факторов числа с использованием простой факторизации
Числа с суммой цифр, равной сумме цифр всего ее простого множителя
Число, которое имеет максимальное количество различных простых факторов в диапазоне от M до N

Последние статьи о Prime Factor!

Рекомендуемые посты:

k-й простой множитель заданного числа
N-й простой множитель заданного числа
Наименьший простой множитель чисел до n
Ровно n различных простых множителей от a до b
Найти сумму числа и его максимального простого множителя
Ближайший элемент с хотя бы одним общим простым множителем
Запросы на сумму простых множителей в диапазоне
Найти наибольшее простое число числа
Сумма наибольшего простого множителя каждого числа меньше чем равна n
Подсчитайте все числа меньше 10 ^ 6, минимальный простой множитель которых равен N
Количество подмассивов, продукты которых не имеют повторяющегося простого множителя
Числа с суммой цифр, равной сумме цифр всего ее простого множителя
Дерево факторов данного числа
Подсчет вхождений простого числа в простую факторизацию каждого элемента из заданного диапазона
Наиболее частый фактор в диапазоне целых чисел

Главный фактор

0.00 (0%) 0 votes

Источник

Как найти факториал натурального числа по формуле — примеры решения задач

Определение факториала

Факториал — это математическая функция, которая применяется к положительным целым числам, равная произведению всех натуральных чисел от единицы до вычисляемого числа.

Факториал обозначается «n!».

Для представления факториала, приведем простой его пример: (5!;=;1cdot2cdot3cdot4cdot5;=;120.)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Для нахождения факториала необходимо просто по очереди перемножить все положительные натуральные числа от единицы до вычисляемого числа включительно.

Факториал математически выглядит следующим образом:

(n!;=;1cdot2cdot3cdot…cdot n;=;prod_{k=1}^nk.)

Факториал применяется в различных разделах математики, но активно он используется, когда речь заходит о комбинациях, перестановках, теории чисел, комбинаторике, математическом анализе и так далее.

В комбинаторике факториал числа n обозначает количество перестановок множества из n элементов.

Формула факториала

Из определения факториала следует формула:

Важно 3

((n;-;1)!;=;frac{n!}n.)

Расшифровав формулу, можно сделать вывод, что если мы знаем факториал числа, то можно найти факториал предыдущего числа путем деления значения факториала на само число.

Также из формулы следует, что при n=1 факториал 0!=1.

Примеры задач с решениями

Задача 1

В комнате стоит стол, вокруг которого стоят четыре стула. В комнату заходят четыре человека. Вычислите количество вариантов для рассаживания четырех человек вокруг стола.

Решение: так как количество стульев и людей совпадают, мы можем вычислить количество вариантов с помощью факториала.

(n;=;4,\4!;=;1cdot2cdot3cdot4;=;24)

Ответ: всего 24 варианта рассаживания четырех человек.

Задача 2

Вычислите (frac{3!-2!}4.)

Решение:

(frac{2!cdot(3-1)}4=frac{2!cdot2}4=frac44=1.)

Ответ: 1.

Задача 3

В расписании 11 класса на понедельник должно быть 5 предметов: алгебра, русский язык, литература, физика и геометрия. Сколько существует способов для составления расписания на этот день?

Решение:

(n;=;5,\5!;=;1cdot2cdot3cdot4cdot5;=;120.)

Ответ: 120 способов.

Задача 4

Сколько существует способов для составления указанного выше расписания из тех же 5 предметов, если требуется, чтобы урок геометрии был последним?

Решение:

(n;=;4,\4!;=;1cdot2cdot3cdot4;=;24.)

Ответ: 24 способа.

Задача 5

Сколько существует способов для составления расписания из указанных выше 5 предметов, в котором алгебра и русский язык стояли бы рядом?

Решение:

(n;=;4,\4!cdot2=;(1cdot2cdot3cdot4)cdot2;=;48.)

Ответ: 48 способов.

Задача 6

Вычислите (frac{5!-3!}{3!}.)

Решение:

(frac{3!cdot(4cdot5-1)}{3!}frac{6cdot19}6=frac{114}6=19.)

Ответ: 19.

Задача 7

Вычислите (С_4^2.)

Решение:

(С_n^m;=;frac{n!}{m!cdot(n-m)!})

(C_4^2;=;frac{4!}{2!cdot(4-2)!}=frac{4!}{2!cdot2!}=frac{4!}{2!cdot2!}=frac{2!cdot3cdot4}{2!cdot2!}=frac{12}2=6.)

Ответ: 6.

Задания для самостоятельной работы

Задача 8

Вычислите (frac{8!-6!}{55}.)

Задача 9

Вычислите (frac{121!-120!}{120!}).

Задача 10

Вычислите (С_5^3.)

Задача 11

Вычислите (С_{12}^{11})

Задача 12

Шесть друзей приобрели билеты в кино на 1-е, 2-е, 3-е места в третьем ряду, и на 1-е, 2-е, 3-е места в четвертом ряду. Сколько существует способов рассадки друзей на эти шесть мест в кинотеатре?

Задача 13

Сколько существует способов выбрать четырех дежурных из класса, в котором 20 человек?

Подсказка: используйте формулу (С_n^m;=;frac{n!}{m!cdot(n-m)!}.)

Задача 14

Вычислите 4!-3!.

Источник

Свойства[править | править код]

Рекуррентная формула[править | править код]

Комбинаторная интерпретация[править | править код]

Связь с гамма-функцией[править | править код]

Формула Стирлинга[править | править код]

Разложение на простые множители[править | править код]

Связь с производной от степенной функции[править | править код]

Другие свойства[править | править код]

История[править | править код]

Обобщения[править | править код]

Двойной факториал[править | править код]

Кратный факториал[править | править код]

Неполный факториал[править | править код]

Убывающий факториал[править | править код]

Возрастающий факториал[править | править код]

Праймориал или примориал[править | править код]

Фибонориал или фибоначчиал[править | править код]

Суперфакториалы[править | править код]

Субфакториал[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Factor – Definition

Types of Factors

How to Find Factors of a Number?

Solved Problems on Finding Factors

FAQs on Factors

Факторы числа

Факторинг Деревья

Факторинг с переменными

Величайшие общие факторы

Главный фактор

Как найти факториал натурального числа по формуле — примеры решения задач

Определение факториала

Формула факториала

Примеры задач с решениями

Задания для самостоятельной работы

Вам также может понравиться

Как найти полное сопротивление цепи в омах

Как найти айпи человека через ссылку

Как можно найти телефон самсунг галакси

Добавить комментарий Отменить ответ