Как найти факториал числа с примерами

Факториа́л — функция, определённая на множестве неотрицательных целых чисел. Название происходит от лат. factorialis — действующий, производящий, умножающий; обозначается , произносится эн факториа́л. Факториал натурального числа определяется как произведение всех натуральных чисел от 1 до включительно:

.

Например,

.

Для принимается в качестве соглашения, что

.

Факториалы всех чисел составляют последовательность A000142 в OEIS; значения в научной нотации округляются

n	n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40320
9	362880
10	3628800
11	39916800
12	479001600
13	6227020800[1]
14	87178291200[2]
15	1307674368000[3]
16	20922789888000[4]
17	355687428096000[5]
18	6402373705728000[6]
19	121645100408832000[7]
20	2432902008176640000[8]
25	15511210043330985984000000[9]
50	30 414 093 201 713 378 043 612 608 166 064 768 844 377 641 568 960 512 000 000 000 000[10]
70	11 978 571 669 969 891 796 072 783 721 689 098 736 458 938 142 546 425 857 555 362 864 628 009 582 789 845 319 680 000 000 000 000 000[11]
100	≈9,332621544⋅10157
450	≈1,733368733⋅101000
1000	≈4,023872601⋅102567
3249	≈6,412337688⋅1010000
10000	≈2,846259681⋅1035659
25206	≈1,205703438⋅10100000
100000	≈2,824229408⋅10456573
205023	≈2,503898932⋅101000004
1000000	≈8,263931688⋅105565708
10100	≈109,956570552⋅10101
101000	≈10101003
1010 000	≈101010 004
10100 000	≈1010100 005
1010100	≈101010100

Факториал активно используется в различных разделах математики: комбинаторике, математическом анализе, теории чисел, функциональном анализе и др.

Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растёт быстрее, чем любая показательная функция или любая степенная функция, а также быстрее, чем любая сумма произведений этих функций. Однако степенно-показательная функция растёт быстрее факториала, так же как и большинство двойных степенных, например .

Свойства[править | править код]

Рекуррентная формула[править | править код]

Факториал может быть задан следующей рекуррентной формулой:

Комбинаторная интерпретация[править | править код]

В комбинаторике факториал натурального числа n интерпретируется как количество перестановок (упорядочиваний) множества из n элементов.

Например, для множества {A,B,C,D} из 4-х элементов существует 4! = 24 перестановки:

ABCD  BACD  CABD  DABC
ABDC  BADC  CADB  DACB
ACBD  BCAD  CBAD  DBAC
ACDB  BCDA  CBDA  DBCA
ADBC  BDAC  CDAB  DCAB
ADCB  BDCA  CDBA  DCBA

Комбинаторная интерпретация факториала подтверждает целесообразность соглашения  — количество перестановок пустого множества равно единице. Кроме того, формула для числа размещений из элементов по

при обращается в формулу для числа перестановок из элементов (порядка ), которое равно .

Связь с гамма-функцией[править | править код]

Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением

.

Это же выражение используют для обобщения понятия факториала на множество вещественных чисел. Используя аналитическое продолжение гамма-функции, область определения факториала также расширяют на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при .

Непосредственным обобщением факториала на множества вещественных и комплексных чисел служит пи-функция , которая при может быть определена как

(интегральное определение).

Пи-функция натурального числа или нуля совпадает с его факториалом: . Как и факториал, пи-функция удовлетворяет рекуррентному соотношению .

Формула Стирлинга[править | править код]

Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала:

см. O-большое^[12].

Во многих случаях для приближённого вычисления факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:

При этом можно утверждать, что

Формула Стирлинга позволяет получить приближённые значения факториалов больших чисел без непосредственного перемножения последовательности натуральных чисел. Например, с помощью формулы Стирлинга легко подсчитать, что

• 100! ≈ 9,33×10¹⁵⁷;
• 1000! ≈ 4,02×10²⁵⁶⁷;
• 10 000! ≈ 2,85×10^35 659.

Разложение на простые множители[править | править код]

Каждое простое число p входит в разложение n! на простые множители в степени определяемой следующей формулой:

Таким образом,

где произведение берётся по всем простым числам. Можно заметить, что для всякого простого p большего n соответствующий множитель в произведении равен 1; следовательно, произведение можно брать лишь по простым p, не превосходящим n.

Связь с производной от степенной функции[править | править код]

Для целого неотрицательного числа n:

Например:

Другие свойства[править | править код]

Для натурального числа :

Для любого :

не является квадратом целого числа;

Для любого :

оканчивается на 0;

Для любого :

оканчивается на 00.

Если простое число:

делится на (теорема Вильсона)

История[править | править код]

Факториальные выражения появились ещё в ранних исследованиях по комбинаторике, хотя компактное обозначение предложил французский математик Кристиан Крамп только в 1808 году^[13]. Важным этапом стало открытие формулы Стирлинга, которую Джеймс Стирлинг опубликовал в своём трактате «Дифференциальный метод» (лат. Methodus differentialis, 1730 год). Немного ранее почти такую же формулу опубликовал друг Стирлинга Абрахам де Муавр, но в менее завершённом виде (вместо коэффициента была неопределённая константа)^[14].

Стирлинг подробно исследовал свойства факториала, вплоть до выяснения вопроса о том, нельзя ли распространить это понятие на произвольные вещественные числа. Он описал несколько возможных путей к реализации этой идеи и высказал мнение, что:

Стирлинг не знал, что годом ранее решение проблемы уже нашёл Леонард Эйлер. В письме к Кристиану Гольдбаху Эйлер описал требуемое обобщение^[15]:

Развивая эту идею, Эйлер в следующем, 1730 году, ввёл понятие гамма-функции в виде классического интеграла. Эти результаты он опубликовал в журнале Петербургской академии наук в 1729—1730 годах.

Обобщения[править | править код]

Двойной факториал[править | править код]

Двойной факториал числа n обозначается n‼ и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1,n], имеющих ту же чётность, что и n.

• Для чётного n:

• Для нечётного n:

Связь между двойными факториалами двух соседних целых неотрицательных чисел и обычным факториалом одного из них.

Осуществив замену для чётного n и для нечётного n соответственно, где  — целое неотрицательное число, получим:

• для чётного числа:

• для нечётного числа:

По договорённости: . Также это равенство выполняется естественным образом:

Двойной факториал, так же, как и обычный факториал, определён только для целых неотрицательных чисел.

Последовательность значений n!! начинается так^[16]:

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10 395, 46 080, 135 135, 645 120, 2 027 025, 10 321 920, 34 459 425, 185 794 560, 654 729 075, 3 715 891 200, 13 749 310 575, 81 749 606 400, 316 234 143 225, 1 961 990 553 600, 7 905 853 580 625, 51 011 754 393 600, …

Кратный факториал[править | править код]

m-кратный факториал числа n обозначается и определяется следующим образом. Пусть число n представимо в виде где Тогда^[17]

Обычный и двойной факториалы являются частными случаями m-кратного факториала для m = 1 и m = 2 соответственно.

Кратный факториал связан с гамма-функцией следующим соотношением^[18]:

Также кратный факториал возможно записывать в сокращенном виде .

Неполный факториал[править | править код]

Убывающий факториал[править | править код]

Убывающим факториалом называется выражение

.

Например:

n = 7; k = 4,

(n − k) + 1 = 4,

n^k = 7 • 6 • 5 • 4 = 840.

Убывающий факториал даёт число размещений из n по k.

Возрастающий факториал[править | править код]

Возрастающим факториалом называется выражение

Праймориал или примориал[править | править код]

Праймориал или примориал (англ. primorial) числа n обозначается p_n# и определяется как произведение n первых простых чисел. Например,

.

Иногда праймориалом называют число , определяемое как произведение всех простых чисел, не превышающих заданное n.

Последовательность праймориалов (включая ) начинается так^[19]:

1, 2, 6, 30, 210, 2310, 30 030, 510 510, 9 699 690, 223 092 870, 6 469 693 230, 200 560 490 130, 7 420 738 134 810, 304 250 263 527 210, 13 082 761 331 670 030, 614 889 782 588 491 400, 32 589 158 477 190 046 000, 1 922 760 350 154 212 800 000, …

Фибонориал или фибоначчиал[править | править код]

Произведение нескольких первых чисел Фибоначчи. Записывается n!_F.

Например, : 6!_F = .

Суперфакториалы[править | править код]

Нейл Слоан и Симон Плуффэ^[en] в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых n факториалов. Согласно этому определению, суперфакториал четырёх равен

(поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное).

В общем

Последовательность суперфакториалов чисел начинается так^[20]:

1, 1, 2, 12, 288, 34 560, 24 883 200, 125 411 328 000, 5 056 584 744 960 000, 1 834 933 472 251 084 800 000, 6 658 606 584 104 737 000 000 000 000, 265 790 267 296 391 960 000 000 000 000 000 000, 127 313 963 299 399 430 000 000 000 000 000 000 000 000 000, …

Идея была обобщена в 2000 году Генри Боттомли^[en], что привело к гиперфакториалам (англ. Hyperfactorial), которые являются произведением первых n суперфакториалов. Последовательность гиперфакториалов чисел начинается так^[21]:

1, 1, 2, 24, 6912, 238 878 720, 5 944 066 965 504 000, 745 453 331 864 786 800 000 000 000, 3 769 447 945 987 085 600 000 000 000 000 000 000 000 000, 6 916 686 207 999 801 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000, …

Продолжая рекуррентно, можно определить факториал кратного уровня, или m-уровневый факториал числа n, как произведение (m − 1)-уровневых факториалов чисел от 1 до n, то есть

где для и

Субфакториал[править | править код]

Субфакториал !n определяется как количество беспорядков порядка n, то есть перестановок n-элементного множества без неподвижных точек.

См. также[править | править код]

• Факторион

Примечания[править | править код]

A factorial is a mathematical operation that you write like this: n!. It represents the multiplication of all numbers between 1 and n.

So if you were to have 3!, for example, you’d compute 3 x 2 x 1 (which = 6). Let’s see how it works with some more examples.

Definition of a Factorial

The factorial of a number is the multiplication of all the numbers between 1 and the number itself. It is written like this: n!. So the factorial of 2 is 2! (= 1 × 2).

To calculate a factorial you need to know two things:

1. 0! = 1
2. n! = (n - 1)! × n

The factorial of 0 has value of 1, and the factorial of a number n is equal to the multiplication between the number n and the factorial of n-1.

For example, 5! is equal to 4! × 5.

Here the first few factorial values to give you an idea of how this works:

Factorial	Multiplication	Result
0!	1	1
1!	1	1
2!	1 × 2	2
3!	1 × 2 × 3	6
4!	1 × 2 × 3 × 4	24
5!	1 × 2 × 3 × 4 × 5	120
6!	1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6	720
7!	1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7	5040
8!	1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8	40,320
9!	1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9	362,880

What is a Factorial Used For?

Practically speaking, a factorial is the number of different permutations you can have with n items: 3 items can be arranged in exactly 6 different ways (expressed as 3!).

For example, let’s see all the arrangements you can have with the three items, A, B and C:

ABC
ACB
BAC
BCA
CAB
CBA

And in fact, 3! = 6.

How to Calculate the Factorial of 0

Looking at the factorial from this point of view, what’s the factorial of 0?

Well, how many different ways can you arrange 0 elements?

There is exactly 1 way to arrange zero elements. And that’s making a sequence of zero elements.

Factorial Use Cases

You typically use a factorial when you have a problem related to the number of possible arrangements. Let’s look at some example problems.

Factorial example problem 1: the letters in the word “camper”

How many different ways can you arrange the letters of the word camper?

The word camper has 6 letters, so the number of possible arrangements is given by the factorial of 6: 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720. That would have been a pretty big number of arrangements to find by hand, wouldn’t it?

Factorial example problem 2: drawing colored balls from a bag

Let’s say there are three balls in a bag – one green, one blue, and one yellow.

If you draw the three balls in sequence, what chance is there that you’ll get the yellow first, the green one second, and the blue one last?

Maybe now you are wondering what chances have to do with factorials – well, in a moment you will see.

There are 6 possible sequences in which the balls can be drawn: 3! = 6.

There is a chance of 1 over the total number of possibilities to get the yellow-green-blue sequence, so that is 1/(3!) or 1/6 or 16.7% chance to get the desired outcome.

How to Calculate a Factorial Programmatically with JavaScript

There are two ways to calculate factorials programmatically in JavaScript:

How to calculate a factorial in JS with recursion

Let’s get back to the two things to know when calculating a factorial – that is 0! = 1 and n! = (n - 1)! × n. We can use the first one to create the base case of the recursive function, because in that case we know the result already.

function factorial(n) {
  if (n === 0) {
      return 1;
  }
}

The second thing to know about how to calculate a factorial, n! = (n - 1)! × n, can be the recursive case.

function factorial(n) {
    if (n === 0) {
        return 1;
    } else {
        return factorial(n-1) * n;
    }
}
    

How to calculate a factorial with a JavaScript while loop

We said before that 0! = 1. So, to calculate the factorial of a number with a loop, we can initialize a variable to 1, and multiply the numbers from n to 1 by the variable inside the loop.

In this way, if the input is higher than 1, the output will easily be 1.

function factorial(n) {
    let result = 1;
    for (n > 1) {
        result *= n;
        n--;
    }
    return result;
}

Conclusion

The factorial is a pretty important operator to know if you are interested in statistics and probabilities.

In this article you have learned a how to calculate a factorial, a simple application, and you have seen how to calculate it using JavaScript.

Have fun with it!

---

---

Learn to code for free. freeCodeCamp’s open source curriculum has helped more than 40,000 people get jobs as developers. Get started

Математическая формула представлена восклицательным знаком «!». Термин был введен в 1800 году, а обозначение появилось только в 1808. В формуле нужно умножить все целые числа от 1 до значения самого числа, стоящего под знаком факториала.

Это очень просто, вот пример:

7! = 1 * … * 7 = 5040.

Факторизация – разложение функции на множители.

Таблица факториалов

Свойства факториалов

Рекуррентная формула

Комбинаторная интерпретация

Функция n может интерпретироваться как количество перестановок. К примеру, для 3-х элементов есть 3! = 6 перестановки.

Формула Стирлинга

Позволяет не перемножать большие числа. Обычно необходим только главный член:

Можно ли вычислить 0,5 или -3,217? Нет, нельзя. Но можно использовать нечто под названием «Гамма-функция», что намного сложнее.

Расчет по предыдущему значению

Функцию легко вычислить из предыдущего значения:

• 3! = 3 × 2! = 6;

• 41160 = 5! +8! + 6!

А как вычислить факториал нуля? Если вернуться к определению, то видно, что применять его в случае «0» нет смысла. Положительных чисел до 0 нет, поэтому 0 x 0 = 0.

Однако было решено, что в случае 0 результат будет равен 1.

Некоторые очень большие значения

Онлайн калькулятор поможет сделать вычисление – всего лишь надо найти знак, похожий на «x!» или «n!». Нужно обратить внимание, что браузеры могут испытывать затруднения при попытке отобразить более крупные числа и может произойти сбой. 

Некоторые браузеры могут не позволять копировать, поэтому необходимо будет загрузить большие результаты в виде текстового файла.

Примеры вычисления факториалов больших чисел:

• 70! приблизительно 1 19785716669969869891796072783721 x 10100, что немного больше, чем «гуголь» (1 и 100 нулей);

• 100! это примерно 9 33262154444944152681699238856 x 101576 x 10157;

• 200! это примерно 7 88657867867364479050355236321393 x 103743.

Как найти функцию в Паскаль? Вычисление легко реализуется на разных языках программирования. Можно выбрать два метода: итеративный, то есть он создает цикл, в котором временная переменная умножается на каждое натуральное число от 1 до n, или рекурсивный, в котором функция вызывает себя до достижения базового варианта 0! = 1.

Программа на языке Паскаль:

На языке Си вычисления делаются с помощью рекурсивной функции. Следует заметить, что если начать вычислять факториал отрицательного числа в неаккуратно написанной функции, то это приведет к зацикливанию.

Факториал дроби (½) – это половина квадратного корня pi = (½)√π.

Примеры задач с решениями

Задание 1

Задание 2

Использование факториалов

Математика и многие ее области используют функцию. В комбинаторике функция была введена именно для расчета перестановки. Также понятие тесно связано с биномом ньютона (формула бинома Ньютона необходима для разложения степени (x + y) n в многочлен).

Факториал

ЧТО ТАКОЕ ФАКТОРИАЛ

Для нахождения факториала нужно умножить все целые числа от выбранного нами числа до 1.

Факториал обозначается символом «!»

Пример факториалов:

4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

Обычно говорят 4! как «факториал четырех».

ВЫЧИСЛЕНИЕ ФАКТОРИАЛА

Можно легко рассчитать факториал, зная значение факториала предыдущего числа:

Можно это записать в виде таблицы:

n	n!
1	1	1	1
2	2 x 1	= 2 x 1!	= 2
3	3 x 2 x 1	= 3 x 2!	= 6
4	4 x 3 x 2 x 1	= 4 x 3!	= 24
5	5 x 4 x 3 x 2 x 1	= 5 x 4!	= 120
6	и так далее	и так далее

Для точного определения факториала любого числа следует воспользоваться таблицей факториалов

• Чтобы вычислить 6!, нужно 5!=120 умножить на 6, получается 720
• Чтобы вычислить 8!, нужно 7!=5040 умножить на 8, получается 40.320

Пример:

9! равно 362.880. Попробуйте посчитать 10!
10! = 9!х10
10! = 362.880 х 10 = 3.628.800

ФОРМУЛА ФАКТОРИАЛА

Существует правило как найти n факториал:

n! = n × (n – 1)!

Которое означает:
“факториал любого числа – это число, умноженное на факториал предыдущего целого числа”
Итак, 12! = 12 × 11!, … и 100! = 100 × 99!, и т. д.

ФАКТОРИАЛ 0

Это очень интересная тема. Принято, что 0! = 1. А почему?

Никакое умножение чисел не приводит к 1, но давайте проследим факториалы в обратном порядке, скажем, от 4!:

И во многих задачах 0! = 1 просто имеет смысл.

ФАКТОРИАЛ ОТРИЦАТЕЛЬНОГО ЧИСЛА

Можем ли мы найти факториалы для чисел меньших нуля?

Нет. Факториалы для таких чисел не определены.

Почему? Легко объяснить на примере.

Пример

Начнем с 3! = 3 × 2 × 1 = 6 и спускаемся вниз:
2! = 3! / 3 = 6 / 3 = 2
1! = 2! / 2 = 2 / 2 = 1
0! = 1! / 1 = 1 / 1 = 1
(поэтому 0! = 1)
(−1)! = 0! / 0 = 1 / 0 = ой, деление на ноль не определено

И с этого момента все целочисленные факториалы не определены.

ФАКТОРИАЛ ДРОБНОГО ЧИСЛА

Можем ли мы найти факториалы для таких чисел, как 0,4 или −8,116?

Да мы можем! Но нам нужно углубиться в тему под названием Гамма-функция, которая выходит за рамки этой страницы.

И они могут быть отрицательными (кроме целых чисел).

Вот несколько значений дробных факториалов:

(-1/2)!	√π
(1/2)!	(1/2)√π
(3/2)!	(3/4)√π
(5/2)!	(15/8)√π

ПРИМЕНЕНИЕ ФАКТОРИАЛА

Факториалы незаменимы для вычисления количества перестановок, сочетаний и размещений.

Пример:

Сколько существует разных способов, с помощью которых 7 человек могут прийти первым, вторым и третьим ?
Список довольно длинный, если 7 человек обозначим как a, b, c, d, e, f и g, то список включает:
abc, abd, abe, abf, abg, acb, acd, ace, acf, … и т. д.
Формула для расчета: 7!/(7−3)! = 7!/4!
Выпишем умножение полностью:
(7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(4 × 3 × 2 × 1) = 7 × 6 × 5
Пояснение: 4 × 3 × 2 × 1 сокращено, т.к. они встречаются в числителе и знаменателе, и осталось только 7 × 6 × 5 . получаем:
7 × 6 × 5 = 210
Итак, есть 210 различных способов, которыми 7 человек могут прийти первым, вторым и третьим.

Решено!

Пример:

Что такое 100! / 98!
Используя наши знания из предыдущего примера, мы можем сразу перейти к следующему:
100!/98! = 100 × 99 = 9900

Другие примеры задач с факториалом и их решение на странице решение факториалов.

ИНТЕРЕСНЫЕ ФАКТЫ

70! приблизительно 1,197857 … x 10¹⁰⁰ , что чуть больше, чем в Googol (цифра 1, за которой следует сотня нулей).

100 факториал: 100! приблизительно 9,3326215443944152681699238856 x 10¹⁵⁷

200 факториал: 200! приблизительно 7,8865786736479050355236321393 x 10³⁷⁴

Полезные материалы по теме

• Таблица факториалов
• Примеры решения факториалов
• Калькулятор факториалов