Как найти фазу комплексного числа

Домашнее задание №3 для потока ТОА-224,
225, 227, 228 и МСС-226 (4 семестр, 2011-2012 учебный
год)

З а д а н и е 1. Самостоятельно изучить
тему: «Комплексные числа и работа с
ними». Написать конспект.

З а д а н и е 2. Выполнить расчетное
задание по теме «Представление
синусоидальных функций комплексными
числами и векторами на комплексной
плоскости» (стр. 13).

Срок сдачи: до 20 апреля 2012 года.

Примечание: Для выполнения расчетного
задания использовать теоретический
материал, приведенный тексте задания
и материал лекций по теме «Представление
синусоидальных функций с помощью
комплексных величин» и «Векторные
диаграммы».

Комплексные числа и работа с ними

Введение понятия комплексного
числа. Представление комплексного числа
на плоскости

Комплексные числа являются
расширением множества действительных
чисел. В результате расширения множества
действительных чисел было введено
понятие мнимой единицы

,
которая существует на множестве
комплексных чисел, но не существует на
множестве действительных. Мнимая единица
удовлетворяет равенству:

(1)

Комплексное число можно представить в
виде:

(2)

где

носит название действительной
части или реальной части и обозначается

,
а

носит название мнимой части
и обозначается как

.

Пример 1. Для
каждого из заданных комплексных чисел
найти действительную и мнимую части.

1).

;

Действительная часть:

;

Мнимая часть:

.

2).

Действительная часть:

;

Мнимая часть:

.

3).

Действительная часть:

;

Мнимая часть:

.

4)

Действительная часть:

;

Мнимая часть:

.

5).

Действительная часть:

;

Мнимая часть:

.

Графически все множество
действительных чисел можно представить
на бесконечной числовой прямой, при
этом комплексные числа можно трактовать
как расширение числовой прямой до
комплексной плоскости, а каждое
комплексное число можно представить
как точку на комплексной плоскости
(рис. 1). При этом все множество действительных
чисел будет представляться прямой на
комплексной плоскости.

Рис. 1: Представление
комплексного числа на плоскости

Комплексная плоскость

делится прямыми реальной
части

(прямой действительных чисел) и прямой
мнимых чисел

на четыре четверти. Любое
комплексное число

,будет представляться точкой
на комплексной плоскости с координатами

и

.
Если число не содержит мнимой части, то
оно действительное и находится на
прямой
,
а если число не содержит реальной части,
то оно называется чисто мнимым и находится
на оси

.

Модуль и фаза комплексного числа

Если из начала координат
комплексной плоскости к точке

восстановить
вектор, то можно вычислить длину этого
вектора как

(3)

—
действительное число, характеризующее
длину вектора, и называется модулем
комплексного числа.
При этом сам вектор комплексного числа
повернут относительно оси

на некоторый угол
,
называемый фазой
(аргументом) комплексного числа.
Связь реальной и мнимой частей комплексного
числа с его амплитудой и фазой представлено
следующим выражением:

(4)

Тогда комплексное число
можно представить в тригонометрической
форме:

(5)

Связь угла поворота вектора
комплексного числа с реальной и мнимой
частью комплексного числа:

(6)

тогда

,
(7)

где

учитывает
четверть комплексной плоскости, в
которой расположено число
:

(8)

а)
б)

в)
г)

Рис. 2: Вычисление угла
поворота вектора комплексного числа

Для того чтобы понять смысл
функции

рассмотрим четыре варианта
как это показано на рисунке 2.

Рисунок 2.а.

,

и

,
вектор в первой четверти плоскости. В
этом случае

.

Рисунок 2.б.

,

и

,
вектор во второй четверти
плоскости. В этом случае.

.

Рисунок 2.в.

,

и

вектор в третьей четверти
плоскости. В этом случае

.

Рисунок 2.г.

,

и

вектор в четвертой четверти
плоскости. В этом случае

.

Показательная форма
комплексного числа. Существует
также показательная форма комплексного
числа связанная с тригонометрической
по формуле Эйлера:

.
(9)

Рассмотрим более подробно
мнимую единицу в четной и нечетной
степенях. Выражение (1) задало
,
тогда
,
в свою очередь
.
Таким образом можно рекуррентно записать:

.
(10)

Построим аналогичным образом
рекуррентное соотношение для нечетных
степеней:

тогда
,
в свою очередь
,
получим:

(11)

Сделаем несколько важных замечаний.

Замечание 1:

(12)

Замечание 2:

.
(13)

Замечание3:

.
(14)

Формы записи комплексного числа. Любое
комплексное число можно записать в
одной из форм:

• алгебраической:

  ;

• тригонометрической
  
  ;

• показательной

  .

Перевод из одной формы записи в другую
определяется формулами, приведенными
выше. Для упрощения перевода из одной
формы в другую изобразим комплексное
число на комплексной плоскости (рис.
3).

Рис. 3. Различные формы записи комплексного
числа

Из рисунка легко получить переход от
одной формы записи комплексного числа
в другую. Например,

– из алгебраической – в показательную

,

где

– из показательной – в алгебраическую:

и т. д.

Перевод из одной формы записи в другую
необходим при аналитических расчета с
комплексными числами. Рассмотрим
операции с комплексными числами.

Пример 2. Задано комплексное число

.
Представить его в тригонометрической
и показательной формах.

Решение

Модуль комплексного числа

.

Фаза (аргумент):

.

Тригонометрическая форма:

.

Показательная форма:

.

Пример 3. Задано комплексное число

.
Представить его в тригонометрической
и показательной формах.

Решение

Модуль комплексного числа

.

Фаза (аргумент):

.

Тригонометрическая форма:

.

Показательная форма:

.

Пример 4. Задано комплексное число

.
Представить его в тригонометрической
и показательной формах.

Решение

Модуль комплексного числа

.

Фаза (аргумент):

.

Тригонометрическая форма:

.

Показательная форма:

.

Пример 5. Задано комплексное число

.
Представить его в алгебраической форме.

Решение

Алгебраическая форма:

.

Операции над комплексными
числами. Сложение комплексных чисел.

Сумма двух комплексных
чисел

и

есть также комплексное
число
:

.
(15)

Как следует из выражения
(15) при сложении комплексных реальные
и мнимые части комплексного числа также
складываются.

На комплексной плоскости
операцию сложения можно реализовать
как сложение векторов комплексных чисел
по правилу параллелограмма (рис. 4).

Рис. 4 Сложение
комплексных чисел

Операции над комплексными
числами. Вычитание комплексных чисел.

Разность двух комплексных
чисел

и

есть также комплексное
число
:

.
(15)

Как следует из выражения
(15) при вычитании комплексных чисел
реальные и мнимые части комплексного
числа также вычитаются.

На комплексной плоскости
операцию вычитания можно реализовать
как вычитание векторов комплексных
чисел по правилу параллелограмма
(рис.5). На первом шаге из вектора

формируется вектор

,
после чего вектор

складывается с вектором

по правилу параллелограмма.

Рис. 5. Вычитание комплексных
чисел

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Запросы «Re», «Im» и «Мнимая величина» перенаправляются сюда; см. также другие значения терминов Re, Im и Мнимая величина.

Ко́мпле́ксные чи́сла (от лат. complexus — связь, сочетание^[1]; о двойном ударении см. примечание^{[K 1]}) — числа вида где  — вещественные числа,  — мнимая единица^[2], то есть число, для которого выполняется равенство: Множество комплексных чисел обычно обозначается символом  Вещественные числа можно рассматривать как частный случай комплексных, они имеют вид Главное свойство  — в нём выполняется основная теорема алгебры, то есть любой многочлен -й степени () имеет корней. Доказано^[⇨], что система комплексных чисел логически непротиворечива^{[K 2]}.

Так же как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, вычитания^[⇨], умножения^[⇨] и деления^[⇨]. Однако многие свойства комплексных чисел отличаются от свойств вещественных чисел; например, нельзя указать, какое из двух комплексных чисел больше или меньше^[⇨]. Удобно представлять комплексные числа точками на комплексной плоскости^[⇨]; например, для изображения сопряжённых чисел используется операция отражения относительно горизонтальной оси^[⇨]. Альтернативное представление комплексного числа в тригонометрической записи оказалось полезным для вычисления степеней и корней^[⇨]. Функции комплексного аргумента изучаются в комплексном анализе^[⇨].

Первоначально идея о необходимости использования комплексных чисел возникла в результате формального решения кубических уравнений, при котором в формуле Кардано под знаком квадратного корня получалось отрицательное число^[3]. Большой вклад в исследование комплексных чисел внесли такие математики как Эйлер, который ввёл общепризнанное обозначение для мнимой единицы, Декарт, Гаусс^[⇨]. Сам термин «комплексное число» ввёл в науку Гаусс в 1831 году^[4].

Уникальные свойства комплексных чисел и функций нашли широкое применение для решения многих практических задач в различных областях математики, физики и техники: в обработке сигналов, теории управления, электромагнетизме, теории колебаний, теории упругости и многих других^[5][⇨]. Преобразования комплексной плоскости оказались полезны в картографии и гидродинамике. Современная физика полагается на описание мира с помощью квантовой механики, которая опирается на систему комплексных чисел.

Известно также несколько обобщений комплексных чисел — например, кватернионы^[⇨].

Комплексная арифметика[править | править код]

Связанные определения[править | править код]

Всякое комплексное число состоит из двух компонентов^[6]:

Противоположным для комплексного числа является число Например, для числа противоположным будет число

В отличие от вещественных, комплексные числа нельзя сравнивать на больше/меньше; доказано, что нет способа распространить порядок, заданный для вещественных чисел, на все комплексные так, чтобы порядок был согласован с арифметическими операциями (чтобы из вытекало , а из и вытекало ). Однако, комплексные числа можно сравнивать на равно/не равно^[6]:

Четыре арифметические операции для комплексных чисел (определённые ниже) имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами.

Сложение и вычитание[править | править код]

Определение сложения и вычитания комплексных чисел^[6]:

Следующая таблица^[6] показывает основные свойства сложения для любых комплексных

Свойство	Алгебраическая запись
Коммутативность (переместительность)
Ассоциативность (сочетательность)
Свойство нуля
Свойство противоположного элемента
Выполнение вычитания через сложение

Умножение[править | править код]

Определение произведения^[6] комплексных чисел и

Следующая таблица^[6] показывает основные свойства умножения для любых комплексных

Свойство	Алгебраическая запись
Коммутативность (переместительность)
Ассоциативность (сочетательность)
Свойство единицы
Свойство нуля
Дистрибутивность (распределительность) умножения относительно сложения

Правила для степеней мнимой единицы:

и т. д.

То есть для любого целого числа верна формула , где выражение означает получение остатка от деления на 4.

После определения операций с комплексными числами выражение можно воспринимать не как формальную запись, а как выражение, составленное по приведённым выше правилам сложения и умножения. Чтобы это показать, раскроем все входящие в него переменные, следуя вышеприведённым соглашениям и определению сложения и умножения:

Деление[править | править код]

Комплексное число называется сопряжённым к комплексному числу (подробнее ниже).

Для каждого комплексного числа кроме нуля, можно найти обратное к нему^[10] комплексное число Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на число комплексно сопряжённое знаменателю

Определим результат деления^[6] комплексного числа на ненулевое число

Как и для вещественных чисел, деление можно заменить умножением делимого на число, обратное к делителю.

Другие операции[править | править код]

Для комплексных чисел определены также извлечение корня, возведение в степень и логарифмирование.

Основные отличия комплексных чисел от вещественных[править | править код]

Уже упоминалось, что комплексные числа нельзя сравнивать на больше-меньше (иными словами, на множестве комплексных чисел не задано отношение порядка). Другое отличие: любой многочлен степени с комплексными (в частности, вещественными) коэффициентами имеет, с учётом кратности, ровно комплексных корней (основная теорема алгебры)^[11].

В системе вещественных чисел из отрицательного числа нельзя извлечь корень чётной степени. Для комплексных чисел возможно извлечение корня из любого числа любой степени, однако результат неоднозначен — комплексный корень -й степени из ненулевого числа имеет различных комплексных значений^[12]. См., например, корни из единицы.

Дополнительные отличия имеют функции комплексного переменного^[⇨].

Замечания[править | править код]

Число не является единственным числом, квадрат которого равен Число также обладает этим свойством.

Выражение ранее часто использовавшееся вместо в современных учебниках считается некорректным, и под знаком радикала стали допускаться только неотрицательные выражения (см. «Арифметический корень»). Во избежание ошибок, выражение с квадратными корнями из отрицательных величин в настоящее время принято записывать как а не несмотря на то, что даже в XIX веке второй вариант записи считался допустимым^[13][14].

Пример возможной ошибки при неосторожном использовании устаревшей записи:

Эта ошибка связана с тем, что квадратный корень из определён неоднозначно (см. ниже #Формула Муавра и извлечение корней). При использовании современной записи такой ошибки не возникло бы^[14]:

Геометрическое представление[править | править код]

Комплексная плоскость[править | править код]

Комплексные числа можно представить на плоскости с прямоугольной системой координат: числу соответствует точка плоскости с координатами (а также радиус-вектор, соединяющий начало координат с этой точкой). Такая плоскость называется комплексной. Вещественные числа на ней расположены на горизонтальной оси, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной и мнимой осями^[15].

Бывает удобно рассматривать на комплексной плоскости также полярную систему координат (см. рисунок справа), в которой координатами точки являются расстояние до начала координат (модуль^[⇨]) и угол радиус-вектора точки с горизонтальной осью (аргумент^[⇨]).

В этом представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих радиус-векторов, а вычитанию чисел соответствует вычитание радиус-векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются (последнее несложно вывести из формулы Эйлера или из тригонометрических формул суммы). Если модуль второго сомножителя равен 1, то умножение на него соответствует повороту радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа^[16]. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в теории колебаний, где вместо терминов «модуль» и «аргумент» используются термины «амплитуда» и «фаза»^[17].

Пример: умножение на поворачивает радиус-вектор числа на прямой угол в положительном направлении, а после умножения на радиус-вектор поворачивается на прямой угол в отрицательном направлении.

Модуль[править | править код]

Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (или, что то же самое, расстояние от точки комплексной плоскости до начала координат). Модуль комплексного числа обозначается (иногда или ) и определяется выражением^[16]

Если является вещественным числом, то совпадает с абсолютной величиной этого числа в вещественном понимании термина.

Для любых комплексных имеют место следующие свойства модуля^[16][18]:

1) , причём только при

2) (неравенство треугольника);

3)

4)

5) для пары комплексных чисел и модуль их разности равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости;

6) модуль числа связан с вещественной и мнимой частями этого числа соотношениями:

Аргумент[править | править код]

Аргументом ненулевого комплексного числа называется угол между радиус-вектором соответствующей точки и положительной вещественной полуосью. Аргумент числа измеряется в радианах и обозначается . Из этого определения следует, что^[16]

Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа аргумент определяется с точностью до , где  — любое целое число. Главным значением аргумента называется такое значение , что Главное значение может обозначаться ^[19].

Некоторые свойства аргумента^[18]:

1) аргумент обратного числа отличается знаком от аргумента исходного:

2) аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей:

3) аргумент частного от деления равен разности аргументов делимого и делителя:

Сопряжённые числа[править | править код]

Если комплексное число равно то число называется сопряжённым (или комплексно-сопряжённым) к (обозначается также ). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются друг из друга зеркальным отражением относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как исходного, а их аргументы различаются знаком^[20]:

• 

Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию, которая сохраняет все арифметические и алгебраические свойства. Эта операция имеет следующие свойства^[20]:

Произведение комплексно-сопряжённых чисел — неотрицательное вещественное число, равное нулю только для нулевого z^[18]:

• 

Сумма комплексно-сопряжённых чисел — вещественное число^[18]:

• 

Другие соотношения^[18]:

• 
• 
• 
• 
• 

Или, в общем виде: где  — произвольный многочлен с вещественными коэффициентами. В частности, если комплексное число является корнем многочлена с вещественными коэффициентами, то сопряжённое число тоже является его корнем. Из этого следует, что существенно комплексные корни такого многочлена (то есть корни, не являющиеся вещественными) разбиваются на комплексно-сопряжённые пары^[18].

Пример[править | править код]

Тот факт, что произведение есть вещественное число, можно использовать, чтобы выразить комплексную дробь в канонической форме, то есть избавиться от мнимости в знаменателе. Для этого надо умножить числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю выражение^[21], например:

Формы представления комплексного числа[править | править код]

Алгебраическая форма[править | править код]

Выше использовалась запись комплексного числа в виде такая запись называется алгебраической формой комплексного числа. Две другие основные формы записи связаны с представлением комплексного числа в полярной системе координат.

Тригонометрическая форма[править | править код]

Если вещественную и мнимую части комплексного числа выразить через модуль и аргумент (то есть , ), то всякое комплексное число , кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме^[16]:

Как уже сказано выше, для нуля аргумент не определён; для ненулевого числа определяется с точностью до целого кратного

Показательная форма[править | править код]

Фундаментальное значение в комплексном анализе имеет формула Эйлера^[21]:

где  — число Эйлера, ,  — косинус и синус,  — комплексная экспонента, продолжающая вещественную на случай общего комплексного показателя степени.

Применяя эту формулу к тригонометрической форме, получим показательную форму комплексного числа^[21]:

Следствия

(1) Модуль выражения где число вещественно, равен 1.

(2) — при существенно комплексном аргументе эти равенства могут служить определением (комплексного) косинуса и синуса.

Пример^[22]. Представим в тригонометрической и показательной форме число

(поскольку находится в III координатной четверти).

Отсюда:

Формула Муавра и извлечение корней[править | править код]

Эта формула помогает возводить в целую степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид^[12]:

где  — модуль, а  — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 году. Приведённая формула справедлива при любом целом , не обязательно положительном.

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней -й степени из ненулевого комплексного числа^[21]:

где k принимает все целые значения от до . Это значит, что корни -й степени из ненулевого комплексного числа существуют для любого натурального и их количество равно . На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного -угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат (см. рисунок).

Главное значение корня[править | править код]

Если в формуле Муавра в качестве аргумента выбрано его главное значение, то значение корня при называется главным значением корня^[23]. Например, главное значение числа равно

Квадратный корень[править | править код]

Для извлечения квадратного корня из комплексного числа можно преобразовать это число в тригонометрическую форму и воспользоваться формулой Муавра для Но существует и чисто алгебраическое представление для двух значений корня. При корнями из числа является пара чисел: где^[24]:

Здесь  — функция «знак», а радикалы обозначают обычный арифметический корень из неотрицательного вещественного числа. Формула легко проверяется возведением в квадрат. Число является главным значением квадратного корня.

Пример: для квадратного корня из формулы дают два значения:

История[править | править код]

Впервые, по-видимому, мнимые величины были упомянуты в труде Кардано «Великое искусство, или об алгебраических правилах» (1545), в рамках формального решения задачи по вычислению двух чисел, сумма которых равна 10, а произведение равно 40. Он получил для этой задачи квадратное уравнение, корни которого: и В комментарии к решению он написал: «эти сложнейшие величины бесполезны, хотя и весьма хитроумны», и «арифметические соображения становятся всё более неуловимыми, достигая предела столь же утончённого, сколь и бесполезного»^[25].

Возможность использования мнимых величин при решении кубического уравнения впервые описал Бомбелли (1572), он же дал правила сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел. Уравнение имеет вещественный корень однако по формулам Кардано получаем: Бомбелли обнаружил, что так что сумма этих величин даёт нужный вещественный корень. Он отметил, что в подобных (неприводимых) случаях комплексные корни уравнения всегда сопряжены, поэтому в сумме и получается вещественное значение. Разъяснения Бомбелли положили начало успешному применению в математике комплексных чисел^[26][25].

Выражения, представимые в виде появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, где стали называть «мнимыми» в XVI—XVII веках с подачи Декарта, который называл их так, отвергая их реальность. Для многих других крупных учёных XVII века природа и право на существование мнимых величин тоже представлялись весьма сомнительными. Лейбниц, например, в 1702 году писал: «Дух божий нашёл тончайшую отдушину в этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы». Несмотря на эти сомнения, математики уверенно применяли к «мнимым» числам привычные для вещественных величин алгебраические правила и получали корректные результаты^[25].

Долгое время было неясно, все ли операции над комплексными числами приводят к комплексным результатам или же, например, извлечение корня может привести к открытию ещё какого-то нового типа чисел. Задача о выражении корней степени из данного числа была решена в работах Муавра (1707) и Котса (1722)^[27].

Символ для обозначения мнимой единицы предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву латинского слова imaginarius — «мнимый». Он же распространил все стандартные функции, включая логарифм, на комплексную область. Эйлер также высказал в 1751 году мысль, что в системе комплексных чисел любой многочлен имеет корень (основная теорема алгебры, до Эйлера сходные предположения высказывали Альбер Жирар и Рене Декарт)^[28]. К такому же выводу пришёл д’Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799)^[26]. Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 году (ранее термин использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году, но тогда он не получил распространения)^[29].

Геометрическое представление комплексных чисел, немало способствовавшее их легализации, предложили в конце XVIII — начале XIX веков сначала Вессель и Арган (их работы не привлекли внимания), а затем Гаусс^[30]. Арифметическая (стандартная) модель комплексных чисел как пар вещественных чисел была построена Гамильтоном («Теория алгебраических пар», 1837); это доказало непротиворечивость их свойств. Термины «модуль», «аргумент» и «сопряжённое число» ввёл в начале XIX века Коши, значительно продвинувший комплексный анализ. С XIX века началось бурное и чрезвычайно плодотворное развитие исследований функций комплексного переменного^[2][31].

С учётом этого успешного подхода начались поиски способа представления векторов в трёхмерном пространстве, аналогичное комплексной плоскости. В результате пятнадцатилетних поисков Гамильтон предложил в 1843 году обобщение комплексных чисел — кватернионы, которые он был вынужден сделать не трёхмерными, а четырёхмерными (трёхмерные векторы изображала мнимая часть кватернионов); также Гамильтону пришлось отказаться от коммутативности операции умножения^[2].

В 1893 году Чарлз Штейнмец предложил использовать комплексные числа для расчётов электрических цепей переменного тока (см. ниже).

Комплексные функции[править | править код]

Аналитические функции[править | править код]

Комплексная функция одной переменной — это функция , которая определена на некоторой области комплексной плоскости и ставит в соответствие точкам этой области комплексные значения ^[32]. Примеры:

Каждая комплексная функция может рассматриваться как пара вещественных функций от двух переменных: определяющих её вещественную и мнимую часть соответственно. Функции , называются компонентами комплексной функции Аналогично определяется функция нескольких комплексных переменных^[32].

Наглядное представление комплексной функции графиком затруднительно, так как даже для функции одной комплексной переменной график требует четырёх измерений (два на область определения и ещё два для области значений). Если вместо значения функции рассматривать её модуль то полученный рельеф функции размещается в трёх измерениях и даёт некоторое представление о поведении функции^[33].

Все стандартные функции анализа — многочлен, дробно-линейная функция, степенная функция, экспонента, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции, логарифм — могут быть распространены на комплексную плоскость. При этом для них будут иметь место те же алгебраические, дифференциальные и другие тождества, что и для вещественного оригинала^[32], например:

Для комплексных функций определяются понятия предела, непрерывности и производной так же, как в вещественном анализе, с заменой абсолютной величины на комплексный модуль^[32].

Дифференцируемые комплексные функции (то есть функции, имеющие производную) обладают рядом особенностей по сравнению с вещественными^[34].

• Вещественная и мнимая часть дифференцируемой функции — гармонические функции, связанные условиями Коши — Римана.
• Всякая дифференцируемая в некоторой окрестности точки комплексная функция дифференцируема неограниченное число раз в этой точке (то есть аналитична, или голоморфна).

Определённый интеграл для функций одной комплексной переменной, вообще говоря, зависит от пути интегрирования (то есть выбора кривой от начальной до конечной точки в комплексной плоскости). Однако если интегрируемая функция аналитична в односвязной области, то её интеграл внутри этой области не зависит от пути^[35].

Преобразования комплексной плоскости[править | править код]

Всякая комплексная функция может рассматриваться как преобразование комплексной плоскости (или как преобразование одной комплексной плоскости в другую). Примеры:

Поскольку любое движение на плоскости есть комбинация перечисленных трёх преобразований, функции и дают общее выражение для движения на комплексной плоскости^[36].

Другие линейные преобразования^[36]:

Важную роль в комплексном анализе играют дробно-линейные преобразования^[37]:

При этом (иначе функция вырождается в константу). Характеристическое свойство дробно-линейного преобразования: оно переводит окружности и прямые в окружности и прямые (то есть в так называемые обобщённые окружности^[38][39], в число которых входят «окружности бесконечного радиуса» — прямые). При этом образом окружности может оказаться прямая, и наоборот^[37].

Среди других практически полезных функций преобразования: инверсия функция Жуковского. Инверсия, как и дробно-линейное преобразование, переводит обобщённые окружности в обобщённые окружности.

Аналитическая геометрия на комплексной плоскости[править | править код]

Исследование плоских фигур нередко облегчается, если перенести их на комплексную плоскость. Многие теоремы планиметрии допускают наглядную и компактную запись с помощью комплексных чисел, например^[40]:

• Три (различные) точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется условие:

является вещественным числом.

• Четыре (различные) точки лежат на одной обобщённой окружности (окружности или прямой) тогда и только тогда, когда выполняется условие:

отношение является вещественным числом.

Параметрическое уравнение прямой на комплексной плоскости имеет вид^[42]:

где  — комплексные числа,  — произвольный вещественный параметр.

Угол между двумя прямыми и равен В частности, прямые перпендикулярны, только когда  — чисто мнимое число. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда есть вещественное число; если при этом также вещественно, то обе прямые совпадают. Каждая прямая рассекает комплексную плоскость на две полуплоскости: на одной из них выражение положительно, на другой — отрицательно^[42].

Уравнение окружности с центром и радиусом имеет чрезвычайно простой вид: Неравенство описывает внутренность окружности (открытый круг)^[42]. Часто удобна параметрическая форма уравнения окружности^[43]:

Место в общей алгебре, топологии и теории множеств[править | править код]

Множество комплексных чисел образует поле, которое является конечным расширением степени 2 поля вещественных чисел Основное алгебраическое свойство  — оно алгебраически замкнуто, то есть в нём любой многочлен имеет (комплексные) корни и, следовательно, распадается на линейные множители. Говорят также, что есть алгебраическое замыкание^[44] поля

Характеристика комплексного поля равна нулю, мощность как множества та же, что и у поля вещественных чисел, то есть континуум. Теорема Фробениуса установила, что существуют только два тела, являющиеся конечными расширениями  — поле комплексных чисел и тело кватернионов^[45].

Превратить поле комплексных чисел в упорядоченное поле невозможно, потому что в упорядоченном поле квадрат любого элемента неотрицателен, и мнимая единица в нём не может существовать.

Из свойств модуля следует, что комплексные числа образуют структуру двумерного нормированного пространства над полем

Поле допускает бесконечно много автоморфизмов, но только один из них (не считая тождественного) оставляет вещественные числа на месте^[46].

Поля и  — единственные связные локально компактные топологические поля^[47].

Некоторые практические применения[править | править код]

Те особенности комплексных чисел и функций, которые отличают их от вещественных, оказались полезными, а часто и незаменимыми в математике, в естественных науках и технике.

Математика[править | править код]

Приложения комплексных чисел сами по себе занимают видное место в математике — в частности, понятия алгебраических чисел, нахождение корней многочленов, теория Галуа, комплексный анализ и т. д.

Перенеся геометрическую задачу с обычной плоскости на комплексную, мы нередко получаем возможность значительно упростить её решение^[48][49].

Многие сложные задачи теории чисел (например, теория биквадратичных вычетов) и вещественного математического анализа (например, вычисление сложных или несобственных интегралов) удалось решить только с помощью средств комплексного анализа. Мощным инструментом для открытий в теории чисел оказались, например, гауссовы числа вида где  — целые числа^[50]. Для исследования распределения простых чисел понадобилась комплексная дзета-функция Римана^[51].

Нередко проблемы вещественного анализа проясняются при их комплексном обобщении. Классический пример — разложение в ряд Тейлора

Этот ряд сходится только в интервале , хотя точки не являются какими-то особенными для приведённой функции. Положение проясняется при переходе к функции комплексного переменного у которой обнаруживаются две особые точки: полюса Соответственно, эту функцию можно разложить в ряд только в круге единичного радиуса^[52].

При решении линейных дифференциальных уравнений важно сначала найти все комплексные корни характеристического многочлена, а затем попытаться решить систему в терминах базовых экспонент^[53]. В разностных уравнениях используются для аналогичной цели комплексные корни характеристического уравнения системы разностных уравнений^[54]. С помощью теории вычетов, являющейся частью комплексного анализа, вычисляются многие сложные интегралы по замкнутым контурам^[55]..

Исследование функции часто связано с анализом её частотного спектра с помощью комплексного преобразования Фурье или Лапласа^[56].

О представлении комплексных чисел в информатике и компьютерной поддержке комплексной арифметики изложено в статье Комплексный тип данных.

Конформное отображение[править | править код]

Как уже отмечалось выше, всякая комплексная функция может рассматриваться как преобразование одной комплексной плоскости в другую. Гладкая (аналитическая) функция обладает двумя особенностями: если в заданной точке производная не равна нулю, то коэффициент растяжения/сжатия при этом преобразовании одинаков по всем направлениям, угол поворота также постоянен (конформное отображение)^[57]. С этим фактом связано широкое применение комплексных функций в картографии^[58][59] и гидродинамике^[60].

Квантовая механика[править | править код]

Основой квантовой механики является понятие комплексной волновой функции, Для описания динамики квантовой системы используются дифференциальные уравнения с комплексными коэффициентами типа уравнения Шрёдингера. Решения этих уравнений заданы в комплексном гильбертовом пространстве. Операторы, соответствующие наблюдаемым величинам, эрмитовы. Коммутатор операторов координаты и импульса представляет собой мнимое число:

Здесь  — редуцированная постоянная Планка , то есть (постоянная Дирака)^[61].

Важную роль в квантовой механике играют матрицы Паули и матрицы Дирака, некоторые из них содержат комплексные значения^[61]. Ю. Вигнер уточнял, что «…использование комплексных чисел в квантовой механике не является вычислительным трюком прикладной математики; они входят в самую суть формулировки основных законов квантовой механики.»^[62].

Электротехника[править | править код]

Поскольку переменный ток есть колебательный процесс, его удобно описывать и исследовать с применением комплексных чисел. Вводятся также понятия импеданса, или комплексного сопротивления, для реактивных элементов электрической цепи, таких как ёмкость и индуктивность, — это помогает рассчитать токи в цепи^[63]. Ввиду того, что традиционно символ в электротехнике обозначает величину тока, мнимую единицу там обозначают буквой ^[64]. Во многих областях электротехники (в основном радиочастотной и оптической) используется не запись уравнений тока и напряжения для цепи, а напрямую уравнения Максвелла в их спектральном представлении, физические величины которых заданы в комплексной плоскости, и при переходе из – в -пространство (где  — время,  — угловая частота) посредством преобразования Фурье получаются более простые уравнения без производных^[65].

Логические основания[править | править код]

Расширение поля вещественных чисел до комплексных, как и любое другое расширение алгебраической структуры, ставит множество вопросов, основные из которых — это вопросы о том, как определить операции над новым типом чисел, какие свойства будут иметь новые операции и (главный вопрос) допустимо ли такое расширение, не приведёт ли оно к неустранимым противоречиям.

Для анализа подобных вопросов в теории комплексных чисел надо сформировать набор аксиом.

Аксиоматика комплексных чисел[править | править код]

Можно определить аксиоматику множества комплексных чисел , если опираться на аксиоматическую теорию вещественных чисел . А именно, определим как минимальное поле, содержащее множество вещественных чисел и по меньшей мере одно число, вторая степень которого равна −1, — мнимую единицу. Говоря более строго, аксиомы комплексных чисел следующие^[66][67].

С1: Для всяких комплексных чисел определена их сумма

С2: Сложение коммутативно: Далее в некоторых аксиомах для краткости будем опускать оговорку «для всяких ».

С3: Сложение ассоциативно:

С4: Существует элемент 0 (ноль) такой, что

С5: Для всякого комплексного числа существует противоположный ему элемент такой, что

С6: Для всяких комплексных чисел определено их произведение

С7: Умножение коммутативно:

С8: Умножение ассоциативно:

С9: Умножение связано со сложением распределительным (дистрибутивным) законом:

С10: Существует элемент 1 (единица), не равный нулю и такой, что

С11: Для всякого ненулевого числа существует обратное ему число такое, что

С12: Множество комплексных чисел содержит подполе, изоморфное полю вещественных чисел Для простоты далее это подполе обозначается той же буквой

С13: Существует элемент (мнимая единица) такой, что

С14 (аксиома минимальности): Пусть  — подмножество которое: содержит и мнимую единицу и замкнуто относительно сложения и умножения. Тогда совпадает со всем

Из этих аксиом вытекают как следствия все прочие свойства. Первые 11 аксиом означают, что образует поле, а 12-я аксиома устанавливает, что это поле является расширением Приведённая аксиоматика категорична, то есть любые её модели изоморфны^[68].

Существуют и другие варианты аксиоматики комплексных чисел. Например, вместо того, чтобы опираться на уже построенное упорядоченное поле вещественных чисел, можно в качестве базы использовать аксиоматику теории множеств^[69].

Непротиворечивость и модели[править | править код]

Стандартный способ доказать непротиворечивость новой структуры — смоделировать (интерпретировать) её аксиомы с помощью объектов другой структуры, чья непротиворечивость сомнений не вызывает. В нашем случае мы должны реализовать эти аксиомы на базе вещественных чисел^[70].

Стандартная модель[править | править код]

Рассмотрим всевозможные упорядоченные пары вещественных чисел. В данной модели каждая такая пара будет соответствовать комплексному числу ^[71]

Далее определим^[70]:

1. пары и считаются равными, если и
2. сложение: сумма пар и определяется как пара
3. умножение: произведение пар и определяется как пара

Пояснение: сложное, на первый взгляд, определение умножения легко выводится из соотношения

Несложно убедиться, что описанная структура пар образует поле и удовлетворяет всему приведённому перечню аксиом комплексных чисел. Вещественные числа моделируются парами , образующими подполе , причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Пары и соответствуют нулю и единице поля. Такой способ является частным случаем процедуры Кэли — Диксона.

Мнимая единица — это пара Квадрат её равен то есть  Любое комплексное число можно записать в виде

Описанная модель доказывает, что приведённая аксиоматика комплексных чисел непротиворечива. Потому что если бы в ней было противоречие, то это означало бы противоречие и в базовой для данной модели арифметике вещественных чисел, которую мы заранее предположили непротиворечивой^[70].

Матричная модель[править | править код]

Комплексные числа можно также определить как подкольцо кольца вещественных матриц 2×2 вида

с обычным матричным сложением и умножением^[2]. Вещественной единице будет соответствовать

мнимой единице —

.

Множество таких матриц является двумерным векторным пространством. Умножение на комплексное число является линейным оператором. В базисе линейный оператор умножения на представляется указанной выше матрицей, так как^[2]:

Матричная модель позволяет легко продемонстрировать связь между комплексными числами и линейными преобразованиями плоскости определённого типа.
А именно, существует взаимно однозначное соответствие между комплексными числами и поворотными гомотетиями плоскости (комбинациями растяжения относительно точки и поворота): каждая поворотная гомотетия может быть представлена на комплексной плоскости как умножение на комплексное число^[72].

Модель факторкольца многочленов[править | править код]

Рассмотрим кольцо многочленов с вещественными коэффициентами и построим его факторкольцо по модулю многочлена (или, что то же, по идеалу, порождённому указанным многочленом). Это значит, что два многочлена из мы будем считать эквивалентными, если при делении на многочлен они дают одинаковые остатки. Например, многочлен будет эквивалентен константе многочлен будет эквивалентен и т. д.^[73]

Множество классов эквивалентности образует кольцо с единицей. Так как многочлен неприводим, то это факторкольцо является полем. Роль мнимой единицы играет многочлен поскольку квадрат его (см. выше) эквивалентен Каждый класс эквивалентности содержит остаток вида (от деления на ), который в силу сказанного можно записать как Следовательно, это поле изоморфно полю комплексных чисел^[73].

Данный изоморфизм был обнаружен Коши в 1847 году. Этот подход может быть использован для построения обобщений комплексных чисел, таких как алгебры Клиффорда^[74].

Расширенное комплексное поле как фактор-поле рациональных дробей полиномов с вещественными коэффициентами[править | править код]

Нетривиальная факторизация поля в поле невозможна, но поля, расширенные бесконечностью, могут нетривиально факторизоваться. Более того, возможны нетривиальные факторизации обычных полей в расширенные. В частности, обычное или расширенное поле рациональных дробей полиномов одной переменной с вещественными коэффициентами факторизуется в расширенное поле комплексных чисел (сферу Римана) путём отождествления полинома с нулём. Каждая дробь при этом заменяется на частное остатков от деления числителя и знаменателя своего несократимого представления на . В силу несократимости, при этом не может образоваться неопределённость , в остальных случаях знаменатель, равный нулю, означает бесконечность, случай знаменателя, не равного нулю, рассматриваются в стандартной технике (домножением на сопряжённый знаменателю). Другим способом получения того же результата является параметризация полиномов числителя и знаменателя несократимого представления дроби мнимой единицей.

Параметризуя рациональные дроби полиномов различными числами, можно получать различные факторизации: при параметризации вещественным числом — расширенное поле вещественных, комплексным (не вещественным) — комплексных чисел. Число, используемое для параметризации, есть корень простого (над вещественным полем) полинома, отождествляемого с нулём, т. е. по модулю которого берутся числители и знаменатели (в случае вещественного числа — первой степени, комплексного — квадратный с отрицательным дискриминантом и, соответственно, двумя сопряжёнными комплексными корнями).

Алгебраическая характеризация[править | править код]

Как уже упоминалось выше, поле комплексных чисел алгебраически замкнуто и имеет характеристику ноль (из последнего свойства вытекает, что оно содержит подполе рациональных чисел ). Кроме того, любой базис трансцендентности над имеет мощность континуум^{[K 3]}. Этих трёх свойств достаточно, чтобы задать поле комплексных чисел с точностью до изоморфизма полей — между любыми двумя алгебраически замкнутыми полями характеристики 0 с континуальным базисом трансцендентности существует некоторое отождествление, согласованное с операциями сложения и умножения этих полей^{[75][76][K 4]}.

При этом отождествлении другие структуры, вроде нормы или топологии, могут не сохраняться. Например, алгебраическое замыкание поля -адических чисел также удовлетворяет трём указанным свойствам. Однако -адическая норма не является архимедовой^[en] и, следовательно, не эквивалентна обычной норме комплексных чисел при любом выборе изоморфизма^[77]. Поэтому они задают различную структуру топологического векторного пространства: множество из любого элемента векторного пространства и его целозначных кратностей дискретно в комплексном случае и компактно — в -адическом^[77].

Вариации и обобщения[править | править код]

Ближайшее обобщение комплексных чисел было обнаружено в 1843 году. Им оказалось тело кватернионов, которое, в отличие от поля комплексных чисел, содержит три мнимые единицы, традиционно обозначаемые Согласно теореме Фробениуса, комплексные числа являются одним из трёх возможных случаев конечномерной алгебры с делением над полем вещественных чисел. В 1919 году выяснилось, что и комплексные числа из вещественных, и кватернионы из комплексных чисел могут быть получены единой процедурой удвоения размерности, также известной как «процедура Кэли — Диксона»^[78].

Дальнейшим применением этой процедуры образуются числа, описанные Артуром Кэли в 1845 году, до обнаружения этой процедуры, и названные «числами Кэли» (октонионы, октавы). Числа, получаемые следующим применением процедуры, названы седенионами. Несмотря на то, что эту процедуру можно повторять и далее, дальнейшие числа названий пока не имеют^[78].

Другие типы расширений комплексных чисел (гиперкомплексные числа):

• Бикватернионы
• Комплексные числа гиперболического типа (двойные)
• Комплексные числа параболического типа (дуальные)

Примечания[править | править код]

Комментарии

Использованная литература

Литература[править | править код]

• Балк М. Б., Балк Г. Д., Полухин А. А. Реальные применения мнимых чисел. — Киев: Радянська школа, 1988. — 255 с. — ISBN 5-330-00379-2.
• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — изд. 13-е. — М.: Наука, 1985. — 544 с.
• Бурбаки, Н. Очерки по истории математики. — М., 1963.
• Виленкин Н. Я., Ивашов-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 11 класса. Учебное пособие. — Изд. 6-е. — М.: Просвещение, 1998. — 288 с. — ISBN 5-09-008036-4.
• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2006. — 509 с. — ISBN 5-17-009554-6.
• Глазков Ю. А., Варшавский И. К., Гаиашвили М. Я. Комплексные числа. 9—11 классы. — М.: Экзамен, 2012. — 157 с. — ISBN 978-5-377-03467-4.
• Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.
• Кириллов А. А. Что такое число?. — М., 1993. — 80 с. — ISBN 5-02-014942-3.
• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — 4-е изд. — М.: Наука, 1972.
• Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
• Нечаев В. И. Числовые системы. — М.: Просвещение, 1975. — 199 с.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — 13-е изд.. — М.: Физматлит, 1984. — 432 с.
• Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1967. — 304 с.
• Смирнов В. И. Курс высшей математики в трёх томах. — Изд. 10-е. — СПб.: БХВ-Петербург, 2010. — Т. 3, часть 2-я. — 816 с. — ISBN 978-5-9775-0087-6.
• Соломенцев Е. Д. Функции комплексного переменного и их применения. — М.: Высшая школа, 1988. — 167 с. — ISBN 5-06-003145-6.
• Энциклопедия элементарной математики (в 5 томах). — М.: Физматгиз, 1951. — Т. 1. — С. 160—168. — 448 с.
• Ahlfors Lars V. Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable. — Third edition. — Harvard University: McGraw-Hill Book Company, 1979. — 317 с. — ISBN 0-07-000657-1.

Ссылки[править | править код]

A complex number can be represented in a “rectangular” or “polar” forms.

The rectangular form of a complex number $z$ is composed of a real part and the imaginary part: $z = a + bi$, where $a$ is the real part and $b$ is the imaginary part, and $i$ is the imaginary unity, $sqrt{-1}$. We can visualise such number in a 2-dimensional plane , called the “complex plane”, as follows:

where “Im” refers to the “imaginary” axis and “Re” to the real axis. Why is it called “rectangular form”? Because of the rectangle we can see in the picture above.

In the polar representation, rather than specifying the coordinates (of the complex plane) $a$ and $b$ of the complex number, we specify the angle (counterclockwise sense) between the real axis (“Re”) and the vector representing the complex number, and the length of such vector. Formally, the polar representation of a complex number $z$ is $z=r(cos varphi +isin varphi)$, where $varphi$ is the angle between the real axis and the vector (in blue in the figures) and $r$ is the length (or magnitude or module) of such vector. We similarly visualise such polar representation as follows

where $y=b$ and $x=a$ (that is, we just changed letters). Why is it called “polar form”? Because the angle $varphi$ is also often called the “polar angle”.

Mathematically, the complex number $z=r(cos varphi +isin varphi)$ is equivalent to $z=re^{ivarphi}$, because of the Euler’s identity, which is $e^{i varphi}=cos varphi + i sin varphi$, which holds for any real number $varphi$.

In our case, the real number $varphi$ is the angle.

In this context, we often call the phase either the term $e^{ivarphi}$ or simply the angle $varphi$. Note that the angle $varphi$ completely determines $e^{ivarphi}$, that is, given $varphi$, we can easily retrieve $e^{ivarphi}$ (without any other information) by simply replacing this angle in the Euler’s identity.

Can a complex number have different phases and still be considered the same complex number?

Suppose that we have complex numbers $z_1 = re^{i2pi}$ (a complex number of length $r$ which lies on the real axis and points to the right) and $z_2 = re^{i4pi}$. Clearly, $z_1 = z_2$, but they have different “phases”: $z_1$ has phase $e^{i2pi}$ (or $2pi$), whereas $z_2$ has phase $e^{i4pi}$ (or $4pi$). Hence, $z_1$ and $z_2$, even though they have different phases, they represent the exact same complex number. Hence, in general, two polar representations with different phases can represent the same complex number.

Why is $varphi$ (or $e^{ivarphi}$) called a “phase”?

Because it refers to the angle around the origin of the complex plane.

What are examples of applications of this property of a complex number?

For example, Vandermonde matrix, which represents the discrete Fourier transform (DFT), is a special matrix. If we look at the Wikipedia article on the DFT matrix, we can see the entries of such vector are complex numbers with different phases.

(Images in this answer are screenshots of the images of Wikipedia articles).

Комплексные числа

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Комплексно сопряженные числа

Модуль комплексного числа

Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Изображение комплексных чисел радиус-векторами на координатной плоскости

Аргумент комплексного числа

Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа

Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Пусть x и y – произвольные вещественные числа.

Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар (x, y) вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения по правилам, описанным чуть ниже.

Множество комплексных чисел является расширением множества вещественных чисел, поскольку множество вещественных чисел содержится в нём в виде пар (x, 0) .

Комплексные числа, заданные парами (0, y) , называют чисто мнимыми числами .

Для комплексных чисел существует несколько форм записи: алгебраическая форма записи, тригонометрическая форма записи и экспоненциальная (показательная) форма записи .

Алгебраическая форма – это такая форма записи комплексных чисел, при которой комплексное число z, заданное парой вещественных чисел (x, y) , записывается в виде

где использован символ i , называемый мнимой единицей .

Число x называют вещественной (реальной) частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Re z .

Число y называют мнимой частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Im z .

Комплексные числа, у которых Im z = 0 , являются вещественными числами .

Комплексные числа, у которых Re z = 0 , являются чисто мнимыми числами .

Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут изложены чуть позже.

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Умножение комплексных чисел z₁ = x₁ + i y₁ и z₂ = x₂ + i y₂ , так же, как и операции сложения и вычитания, осуществляется по правилам умножения двучленов (многочленов), однако при этом учитывается важнейшее равенство, имеющее вид:

По этой причине

Комплексно сопряженные числа

Два комплексных числа z = x + iy и у которых вещественные части одинаковые, а мнимые части отличаются знаком, называются комплексно сопряжёнными числами .

Операция перехода от комплексного числа к комплексно сопряженному с ним числу называется операцией комплексного сопряжения , обозначается горизонтальной чертой над комплексным числом и удовлетворяет следующим свойствам:

Модуль комплексного числа

Модулем комплексного числа z = x + i y называют вещественное число, обозначаемое | z | и определенное по формуле

Для произвольного комплексного числа z справедливо равенство:

а для произвольных комплексных чисел z₁ и z₂ справедливы неравенства:

Замечание . Если z – вещественное число, то его модуль | z | равен его абсолютной величине.

Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Деление комплексного числа z₁ = x₁ + i y₁ на отличное от нуля комплексное число z₂ = x₂ + i y₂ осуществляется по формуле

Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное от деления комплексных чисел можно представить в следующем виде:

Деление на нуль запрещено.

Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости

Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат Oxy и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.

Назовем рассматриваемую плоскость комплексной плоскостью , и будем представлять комплексное число z = x + i y радиус–вектором с координатами (x , y).

Назовем ось абсцисс Ox вещественной осью , а ось ординат Oy – мнимой осью .

При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.

Аргумент комплексного числа

Рассмотрим радиус–вектор произвольного, но отличного от нуля, комплексного числа z .

Аргументом комплексного числа z называют угол φ между положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором z .

Аргумент комплексного числа z считают положительным, если поворот от положительного направления вещественной оси к радиус-вектору z происходит против часовой стрелки, и отрицательным – в случае поворота по часовой стрелке (см. рис.).

Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.

Поскольку аргумент любого комплексного числа определяется с точностью до слагаемого 2kπ , где k – произвольное целое число, то вводится, главное значение аргумента , обозначаемое arg z и удовлетворяющее неравенствам:

Тогда оказывается справедливым равенство:

Если для комплексного числа z = x + i y нам известны его модуль r = | z | и его аргумент φ , то мы можем найти вещественную и мнимую части по формулам

(3)

Если же комплексное число z = x + i y задано в алгебраической форме, т.е. нам известны числа x и y , то модуль этого числа, конечно же, определяется по формуле

(4)

а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.

Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом k обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.

Таблица 1. – Формулы для определения аргумента числа z = x + i y

y z

Расположение числа z	Знаки x и y	Главное значение аргумента	Аргумент	Примеры
Положительная вещественная полуось	0	φ = 2kπ
Первый квадрант
Положительная мнимая полуось
Второй квадрант
Отрицательная вещественная полуось	Положительная вещественная полуось
Знаки x и y
Главное значение аргумента	0
Аргумент	φ = 2kπ
Примеры

x z

x z

y z

Положительная вещественная полуось

Главное значение аргумента:

Расположение числа z :

Главное значение аргумента:

Расположение числа z :

Положительная мнимая полуось

Главное значение аргумента:

Расположение числа z :

Главное значение аргумента:

Расположение числа z :

Отрицательная вещественная полуось

Отрицательная мнимая полуось

x z = x + i y может быть записано в виде

Расположение числа z	Отрицательная вещественная полуось
Знаки x и y	Третий квадрант
Знаки x и y	Отрицательная мнимая полуось
Знаки x и y	Четвёртый квадрант
Знаки x и y

z = r (cos φ + i sin φ) ,

(5)

где r и φ – модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству r > 0 .

Запись комплексного числа в форме (5) называют тригонометрической формой записи комплексного числа .

Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа

В курсе «Теория функций комплексного переменного», который студенты изучают в высших учебных заведениях, доказывается важная формула, называемая формулой Эйлера :

cos φ + i sin φ = e iφ .

(6)

Из формулы Эйлера (6) и тригонометрической формы записи комплексного числа (5) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число z = x + i y может быть записано в виде

где r и φ – модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству r > 0 .

Запись комплексного числа в форме (7) называют экспоненциальной (показательной) формой записи комплексного числа .

Из формулы (7) вытекают, в частности, следующие равенства:

а из формул (4) и (6) следует, что модуль комплексного числа

или, что то же самое, числа e iφ , при любом значении φ равен 1.

Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме

Экспоненциальная запись комплексного числа очень удобна для выполнения операций умножения, деления и возведения в натуральную степень комплексных чисел.

Действительно, умножение и деление двух произвольных комплексных чисел и записанных в экспоненциальной форме, осуществляется по формулам

Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

При делении двух комплексных чисел модуль их частного равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Возведение комплексного числа z = r e iφ в натуральную степень осуществляется по формуле

Другими словами, при возведении комплексного числа в степень, являющуюся натуральным числом, модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

Пусть – произвольное комплексное число, отличное от нуля.

Корнем n – ой степени из числа z₀ , где называют такое комплексное число z = r e iφ , которое является решением уравнения

Для того, чтобы решить уравнение (8), перепишем его в виде

и заметим, что два комплексных числа, записанных в экспоненциальной форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а разность аргументов равна 2kπ , где k – произвольное целое число. По этой причине справедливы равенства

следствием которых являются равенства

(9)

Из формул (9) вытекает, что уравнение (8) имеет n различных корней

(10)

причем на комплексной плоскости концы радиус-векторов z_k при k = 0 , . , n – 1 располагаются в вершинах правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат.

Замечание . В случае n = 2 уравнение (8) имеет два различных корня z₁ и z₂ , отличающихся знаком:

Пример 1 . Найти все корни уравнения

то по формуле (10) получаем:

Пример 2 . Решить уравнение

Решение . Поскольку дискриминант этого квадратного уравнения отрицателен, то вещественных корней оно не имеет. Для того, чтобы найти комплексные корни, выделим, как и в вещественном случае, полный квадрат:

Комплексные числа и операции с ними

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

Распространяется под лицензией LGPL v3

Известно, что область определения некоторых функций на множестве вещественных чисел ограничена. Например функция определена для , аналогично можно вспомнить, что функция определена для 0″/>, а функция определена для .

Однако, ограниченная область определения функций на множестве вещественных чисел не означает, что , или не имеют смысла. Ограниченная область определения функций на множестве вещественных чисел говорит лишь о том, что не может быть представлено вещественным числом. Действительно, среди вещественных чисел не найти такого числа , квадрат которого был бы равен .

При решении квадратных уравнений часто возникает ситуация, когда дискриминант отрицательный. В этом случае это означает что парабола не пересекает прямую абсцисс ни в одной точке. Другими словами, корни квадратного уравнения не существуют среди вещественных значений и их также надо искать за пределами вещественных чисел.

Все бесконечное множество вещественных чисел можно представить в виде одной числовой прямой (смотри рисунок 1), на которой мы можем откладывать рациональные и иррациональные вещественные числа. Но на этой прямой нет числа , значит его надо искать вне числовой прямой. Таким образом мы должны расширить множество вещественных чисел до множества в котором значения , или уже не бессмысленны, а являются такими же обычными числами в этом расширенном множестве, как на множестве вещественных чисел.

Естественным расширением числовой прямой является плоскость, которую называют комплексной плоскостью. Числовая прямая вещественных чисел и ее расширение до комплексной плоскости показано на рисунке 1. Любая точка на комплексной плоскости определяет одно комплексное число. Например на рисунке 1 показано число .

Значение вещественного числа однозначно определяет его позицию на числовой прямой, однако для определения позиции на плоскости одного числа недостаточно.

Для «навигации» по комплексной плоскости вводятся две прямые и , которые пересекаются в начале координат. Прямая это числовая прямая, называемая реальной осью, на которой лежат все вещественные числа. Прямая называется мнимой осью и она перпендикулярна реальной оси . Оси и делят комплексную плоскость на четверти, как это показано на рисунке 1.

Любая точка комплексной плоскости задается двумя координатами и по осям и соответственно. При этом само комплексное число можно записать как , где называется реальной частью и задает координату точки комплексной плоскости на вещественной прямой , а называется мнимой частью и задает координату точки комплексной плоскости на мнимой оси .

Для того чтобы отделить одну координату от другой (реальную и мнимую части) вводят число , называемое мнимой единицей. Это так раз то число, которого не существует на множестве действительных чисел. Оно обладает особым свойством: . Тогда комплексное число может не только перемещаться по вещественной прямой вправо и влево, но и двигаться по комплексной плоскости потому что мы добавили ему слагаемое с мнимой единицей .

Мнимую единицу в математической литературе принято обозначать как , но в технике буква уже закреплена за обозначением электрического тока, поэтому чтобы избежать путаницы мы будем обозначать мнимую единицу буквой .

Если и , тогда число является действительным и располагается на реальной оси .

Если и , тогда число является чисто мнимым и располагается на мнимой оси .

Если и , тогда число располагается в одной из четвертей комплексной плоскости.

Представление комплексного числа как называют алгебраической формой записи. Если из начала координат комплексной плоскости к точке восстановить вектор (смотри рисунок 1), то можно вычислить длину этого вектора как

Связь реальной и мнимой частей комплексного числа с его амплитудой и фазой представлено следующим выражением:

Координаты вектора комплексные числа

VII .1. Формы записи комплексных чисел и действия над ними

Комплексным числом называется выражение вида z = x + iy , (7.1)

где x и y – действительные числа, а i так называемая мнимая единица. Соотношение для мнимой единицы

Если x =0, то число 0+ iy = iy называется чисто мнимым; если y =0, то число x + i ∙0= x отождествляется с действительным числом x , а это означает, что множество R всех действительных чисел является подмножеством множества C всех комплексных чисел, то есть .

Число x называется действительной частью комплексного числа z и обозначается x = Re z , а y – мнимой частью комплексного числа z и обозначается y = Im z .

Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.

Числа z = x + iy и называются комплексно сопряженными.

Всякое комплексное число z = x + iy можно изобразить точкой M ( x ; y ) плоскости x 0 y такой, что x = Re z , y = Im z . Верно и обратное: каждую точку M ( x ; y ) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z = x + iy (рис. 7.1).

Комплексное число z = x + iy можно задавать с помощью радиус-вектора . Длина вектора , изображающего комплексное число z , называется модулем этого числа и обозначается | z | или r . Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором называется аргументом комплексного числа, обозначается Arg z или φ.

Для комплексного числа z =0 аргумент не определен. Аргумент комплексного числа – величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2π k ( k =0;–1;1;–2;2…): , где arg z – главное значение аргумента, заключенное в промежутке (–π;π). Иногда в качестве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку [0;2π).

Алгебраической формой комплексного числа называется з апись числа z в виде z = x + iy.

Модуль r и аргумент φ можно рассматривать как полярные координаты вектора , изображающего комплексное число z = x + iy (см. рис. 7.1). Тогда из соотно­шений сторон в прямоугольном треугольнике получа­ем

Равенство (7.3) есть тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль r = |z| однозначно определяется по формуле

Аргумент определяется из формул:

При переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить главное значение аргумента комплексного числа z , то есть считать φ= arg z . Знаки полученных значений cos φ и sin φ по формулам (7.5), дают возможность определить, какой координатной четверти принадлежит угол φ.

Используя формулу Эйлера

комплексное число можно записать в так назы­ваемой показательной (или экспоненциальной) форме

где r =| z | — модуль комплексного числа, а угол ( k =0;–1;1;–2;2…).

Функция e i φ – периодическая с основным пери­одом 2 π, поэтому для записи комплексного числа в показательной форме по формуле 7.7 достаточно найти главное значение его аргумента, то есть считать φ = arg z .

Пример 7.1. Записать комплексные числа в тригонометрической и показательной формах.

Решение. Для z ₁ имеем . Поэтому .

Для действительного числа . Поэтому

На множестве комплексны х чисел определен ряд операций.

Из равенства (7.9) следует, что геометрически комплексные числа вычитаются как векторы. При этом число z = z ₁ – z ₂ изображается вектором, соединяющим концы векторов , и исходящим из конца вычитаемого в конец уменьшаемого (см. рис. 7.2). Таким образом, модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию d между точками, изображающими эти числа на плоскости:

Из (7.11) следует важнейшее соотношение i 2 = –1. Действительно,

Найдем произведение комплексных чисел и . Производя все необходимые выкладки согласно формуле (7.11), получим формулу произведения комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме :

Видно, что при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. Нетрудно видеть, что если есть n множителей и все они одинаковые, то частным случаем равенства (7.12) является формула возведения комплексного числа в натуральную степень:

(7.13) называется первой формулой Муавра.

Произведение двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

4. Частным двух комплексных чисел z ₁ и называется комплексное число z , которое, будучи умноженным на z ₂, дает число z ₁, то есть , если .

Пусть , тогда с использованием этого определения получаем:

На практике при нахождении частного двух комплексных чисел удобно умножить числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю, с дальнейшим применением равенства i 2 = –1 и формулы разности квадратов.

Деление комплексных чисел осуществляется также и в тригонометрической форме, при этом имеет место формула:

Видно, что при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются соответственно.

Частное двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

Пример 7.2. Найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел .

Решение. По формуле (7.8) сумма заданных чисел равна .

Согласно формуле (7.9) разность заданных чисел равна .

Пользуясь формулой (7.11), вычислим их произведение

На основании формулы (7.14) вычислим их частное

Пример 7.3. Найти произведение и частное комплексных чисел , представив их в тригонометрической и показательной форме.

Решение. Используя (7.4) и (7.5), получаем:

Аналогично, для z ₂ можно записать:

По формулам (7.12) и (7.16) получим в тригонометрической форме:

Пользуясь формулами (7.14) и (7.17), получим в показательной форме:

5. Извлечение корня n -ой степени – операция, обратная возведению

в натуральную степень, определенному ранее формулой (7.13).

Корнем n -ой степени из комплексного числа z называется комплексное число ω, удовлетворяющее равенству ω n = z , то есть , если ω n = z .

Пусть , тогда по данному определению и формуле (7.13) Муавра можно записать: . Сравнивания части этого равенства, получим: . Отсюда (корень арифметический). Окончательно получаем:

(7.18) называется второй формулой Муавра.

Видно, что для любого корень n -ой степени из комплексного числа z имеет равно n различных значений.

Пример 7.4. Найти все корни уравнения z 4 +16=0.

Решение. Запишем уравнение в виде z 4 =–16+0∙ i . Отсюда по формуле (7.18) получим:

Сформулируем несколько иначе основную теорему алгебры 3.2 над полем комплексных чисел .

Теорема 7.1 (основная теорема алгебры). Для всякого многочлена с комплексными коэффициентами

Приведем еще одну теорему, имеющую место над множеством комплексных чисел.

Теорема 7.2. Если многочлен P_n ( x ) с действительными коэффициентами имеет комплексный корень a + ib , то он имеет и сопряженный корень a – ib

В разложение многочлена комплексные корни входят сопряженными парами. Пусть корни многочлена x 1 = a + ib и x 2 = a – ib . Перемножив линейные множители разложения , получим трехчлен второй степени с действительными коэффициентами x 2 + px + q и отрицательным дискриминантом. Действительно,

Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами, а соответствующее квадратное уравнение будет иметь отрицательный дискриминант.

[spoiler title=”источники:”]

http://ru.dsplib.org/content/complex/complex.html

http://www.sites.google.com/site/vyssaamatem/glava-vii-kompleksnye-cisla

[/spoiler]

Главная >> Фейнмановские лекции по физике >> Том 2 >> Глава 23. Резонанс

Комплексные числа и гармоническое движение

Мы снова будем говорить в этой главе о гармоническом осцилляторе, особенно об осцилляторе, на который действует внешняя сила. Для анализа этих задач нужно развить новую технику. В предыдущей главе мы ввели понятие комплексного числа, которое состоит из действительной и мнимой частей и которое можно изобразить на графике. Действительная часть числа будет изображаться абсциссой, а мнимая — ординатой. Комплексное число а можно записать в виде а=а_r+ia_i, при такой записи индекс г отмечает действительную часть а, а индекс i — мнимую. Взглянув на фиг. 23.1, легко сообразить, что комплексное число a=x+iy можно записать и так: x+iy = r exp(iθ), где r² = x² + y² = (x + iy)(x—iy) = aa * (а* — это комплексно сопряженное к а число; оно получается из а изменением знака i). Итак, комплексное число можно представить двумя способами: явно выделить его действительную и мнимую части или задать его модулем г и фазовым углем θ. Если заданы rи θ, то х и у равны r osθ и r sinθ, и, наоборот, исходя из числа x+iy, можно найти r=√(х²+y²) и угол θ; tgθ равен у/х (т. е. отношению мнимой и действительной частей).

Чтобы применить комплексные числа к ре-шергаю физических задач, проделаем такой трюк. Когда мы изучали осциллятор, то имели дело с внешней силой, пропорциональной cosat. Такую силу F=F₀ cos ωt можно рассматривать как действительную часть комплексного числа F = F₀ exp(iωt), потому что ехр(iωt) =cos ωt + i sin ωt. Такой переход удобен: ведь иметь дело с экспонентой легче, чем с косинусом. Итак, трюк состоит в том, что все относящиеся к осциллятору функции рассматриваются как действительные части каких-то комплексных функций. Найденное нами комплексное число F, разумеется, не настоящая сила, ибо физика не знает комплексных сил: все силы имеют только действительную часть, а мнимой части взяться просто неоткуда. Тем не менее мы будем говорить «сила» F₀exp(iωt), хотя надо помнить, что речь идет лишь о действительной ее части.

Рассмотрим еще один пример. Как представить косинусои-дальную волну, фаза которой сдвинулась на Δ? Конечно, как действительную часть F₀ехр [i(ωt—Δ)]; экспоненту в этом случае можно записать в виде ехр [i(ωt—Δ)]=ехр(iωt) ехр (-iΔ). Алгебра экспонент гораздо легче алгебры синусов и косинусов; вот почему удобно использовать комплексные числа. Часто мы будем писать так:

 

Шляпка над буквой будет указывать, что мы имеем дело с комплексным числом, т. е.

 

Однако пора начать решать уравнения, используя комплексные числа, тогда мы увидим, как надо применять комплексные числа в реальных обстоятельствах. Для начала попытаемся решить уравнение

 

где F — действующая на осциллятор сила, а х — его смещение. Хотя это и абсурдно, предположим, что х и F — комплексные числа. Тогда х состоит из действительной части и умноженной на i мнимой части; то же самое касается и F. Уравнение (23.2) в этом случае означает

 

Комплексные числа равны, когда равны их действительные и мнимые части; следовательно, действительная часть х удовлетворяет уравнению, в правой части которого стоит действительная часть силы. Оговорим с самого начала, что такое разделение действительных и мнимых частей возможно не всегда, а только в случае линейных уравнений, т. е. уравнений, содержащих х лишь в нулевой и первой степенях. Например, если бы уравнение содержало член λх², то, сделав подстановку x_r+ix_i, мы получили бы λ(x_r+ix_i)², и выделение действительной и мнимой частей привело бы нас к λ(x²_r – x²_i) и 2iλx_rx_i. Итак, мы видим, что действительная часть уравнения содержит в этом случае член —λх²_i. Мы получили совсем не то уравнение, какое собирались решать.

Попытаемся применить наш метод к уже решенной задаче о вынужденных колебаниях осциллятора, т. е. об осцилляторе, на который действует внешняя сила. Как и раньше, мы хотим решить уравнение (23.2), но давайте начнем с уравнения

 

где Fe^iωt — комплексное число. Конечно, х — тоже комплексное число, но запомним правило: чтобы найти интересующие нас величины, надо взять действительную часть х. Найдем решение (23.3), описывающее вынужденные колебания. О других решениях поговорим потом. Это решение имеет ту же частоту, что и внешняя (приложенная) сила. Колебание, кроме того, характеризуется амплитудой и фазой, поэтому если представить смещение числом х, то модуль его скажет нам о размахе колебаний, а фаза комплексного числа — о временной задержке колебания.Воспользуемся теперь замечательным свойством экспоненты: (d/dt)[x exp(iωt)] = iωx exp(iωt). Дифференцируя экспоненциальную функцию, мы опускаем вниз экспоненту, делая ее простым множителем. Дифференцируя еще раз, мы снова приписываем такой же множитель, поэтому очень просто написать уравнение для х: каждое дифференцирование по времени надо заменить умножением на iω. (Дифференцирование становится теперь столь же простым, как и умножение! Идея использовать экспоненциальные функции в линейных дифференциальных уравнениях почти столь же грандиозна, как изобретение логарифмов, которые заменили умножение сложением. Здесь дифференцирование заменяется умножением.) Таким образом, мы получаем уравнение

 

[Мы опустили общий множитель e^iωt.] Смотрите, как все просто! Дифференциальное уравнение немедленно сводится к чисто алгебраическому; сразу же можно написать его решение

 

поскольку (iω)² =—ω². Решение можно несколько упростить, подставив k/m = ω²₀, тогда

 

Это, конечно, то же самое решение, которое уже было нами получено ранее. Поскольку m(ω²₀ — ω²) — действительное число, то фазовые углы F и х совпадают (или отличаются на 180°, если ω²>ω²₀). Об этом тоже уже говорилось. Модуль х, который определяет размах колебаний, связан с модулем F множителем 1/m(ω²₀ — ω²); этот множитель становится очень большим, если ω приближается к ω₀. Таким образом, можно достичь очень сильного отклика, если приложить к осциллографу нужную частоту со (если с нужной частотой толкать подвешенный на веревочке маятник, то он поднимается очень высоко).

СМОТРИТЕ ТАКЖЕ:

Социальные комментарии Cackle