Как найти фазу сигнала

Фазовый сдвиг – что это? А фаза звукового сигнала? Попробуем немного разобраться в этом вопросе. Не факт, что смогу ясно разъяснить этот вопрос, но примерное понятие должно получиться.

Пролог

Музыканты, меломаны, а так же, любители “хай-эндовского” звука, в разговорах между собой, часто используют, вроде бы всем понятные термины – спектр, фаза, частота, меандр, глубина и локализация сцены, и прочие узкозначимые слова. Но зачастую, даже некоторые из “знатоков”, до конца не могут понять, что же это на самом деле такое.

Такие понятия как – “Фазовый сдвиг” очень часто упоминаются при проектировании кроссоверов для акустики. Подробно про кроссоверы мы уже поговорили чуть ранее.

При наличии интернета выяснить тот или иной вопрос не составляет проблем. В отсутствии такового – можно сходить в библиотеку, найти пару реально научных книжек и почитать саму теорию. Но все нынче стали на столько занятые, что даже выуживать информацию из интернета – времени нет. Попробуем найти простое объяснение – что же такое “фазовый сдвиг”?

Что означают эти термины на самом деле? Можно ли “пощупать” их истинное значение? Да, однозначно, можно. Сейчас мы попробуем разобраться в вопросе – “Что такое – фазовый сдвиг?”

Фаза сигнала

Для начала порассуждаем, что такое – “фаза сигнала”. Фаза сигнала никогда не существует сама по себе. Это виртуальное понятие. Вообще, можно сказать так: Фаза – это уровень сигнала в текущий момент времени, или иначе, – это уровень звукового давления в текущий момент времени в измеряемой точке пространства (к примеру, это место, где находится слушатель).

Вот картинка, изображающая звуковые волны в фазе. К примеру, звуковые сигналы двух каналов нашей акустики совпадают. В этом случае, музыка звучит чётко, без каких либо искажений. В музыкальном произведении можно услышать все задействованные инструменты, которые звукорежиссер слышал при записи. Имеется некая область звукового давления, где ощущается “эффект присутствия” – это то, о чем спорят меломаны и аудиофилы. Иными словами – получаем ожидаемый звук и впечатления.

На следующей картинке ниже, фаза смещена на 90 градусов, или на четверть фазы. Этот эффект можно услышать в виде небольшого эха. Это может и не связано с оборудованием самой комнаты. Эффект звуковой задержки с небольшим смещением фазы вносит некую сумятицу в музыку, теряется “картинка”, исполнители “уходят в разные стороны”, появляется ощущение, что находишься в огромном зале с каменными стенами. Звуки становятся не естественными, искаженными.

Далее, мы наблюдаем смещение фаз на 180 градусов. То есть, акустика в этом случае играет в противофазе. Чуть ниже подробно об этом. В данном случае, общая “звуковая картина” на столько становится не понятной, что слушать музыку становится просто не интересно и противно. Звуки становятся “ватные”, многие часты просто могут отсутствовать, хотя они и воспроизводятся колонками. Может сложиться такое впечатление, что слушаешь музыку в завязанной шапке-ушанке.

Далее, немного теории без научных выкладок.

К примеру, слушая, сидя у себя дома, свои акустические системы, мы слышим, как они порождают в районе дивана те или иные переменные звуковые давления. Звуковые волны складываются друг с другом. Эти волны имеют разные частоты и амплитуду. Они то нарастают, то убывают.

Противофаза

А теперь предположим, что давления от обоих колонок (звуковые волны) изменяются одинаково, но имеют противоположную направленность. То есть, одна колонка излучает “плюсовые” волны, а другая колонка – “минусовые”. Это может случиться, когда слушатель, случайно, перепутал клеммы подключения одного из каналов (левый канал например).

Немного проще. Динамики правой колонки играют вперёд, а динамики в левой колонке играют назад, одновременно пытаясь воспроизводить одну и туже частоту. Одна колонка создаёт давление, скажем, 1 Паскаль, а другая – минус 1 Паскаль. Такой эффект называется – противофаза.

Общая громкость звука в том месте, где находится слушатель, теоретически, должна стремится к нулю, но это не означает, что какой либо звук вообще будет не слышно. В этом случае, может сильно поломаться “звуковая сцена”, “картинка” музыкального произведения, а в каком либо месте помещения звук реально будет затухать, но не совсем. Звук станет “смазанным” и исчезнут некоторые частотные составляющие из общего звукового сигнала.

Не будем вдаваться в непростую научную формулировку, приводя формулы. Можно сказать так, что из второй колонки звук доходит к слушателю, но с задержкой по времени (не забываем, что сигнал на колонки подаётся одинаковый!). И задержка в этом случае получается именно 180 градусов. Почему так? Попробуем разобраться на картинке, нагляднее – понятнее.

360 градусов – длина периода сигнала (Фаза), 180 градусов – половина периода сигнала.

Фазовый сдвиг

А теперь, мы дошли до момента, когда можно уже разобрать вопрос – “Что такое – фазовый сдвиг?”

Фаза — это временная связь двух сигналов. И в течении периода колебания меняется от 0 до 360 градусов. Потом опять – от 0 до 360, и так далее. Можно сказать, что это мгновенный уровень сигнала в определенной точке времени внутри периода. Саму фазу мы не слышим, но слышим фазовый сдвиг одного сигнала относительно другого.

Вики про это говорит так: Сдвиг фаз — это разность между начальными фазами двух переменных величин, изменяющихся во времени периодически с одинаковой частотой.

Фазовый сдвиг является безмерной величиной и измеряется в градусах или долях периода.

Вывод

Предположим, вы подключили два динамика к выходу усилителя (пусть физически это будут ваши акустические системы). Один динамик как положено – плюс на плюс, минус на минус. А второй, перепутали и он получился подключенным плюс на минус и минус на плюс. Включив усилитель, что мы услышим? Вероятнее всего – жалкое подобие звука. Один динамик будет как-бы гасить сигнал другого своими звуковыми волнами.

На картинках ниже будет нагляднее. Представим, что это мы видим на экране осциллографа, который измеряет сигналы левого и правого каналов вашего усилителя.

Вторая картинка демонстрирует осциллограмму полного не совпадения. “Горб” левого канала по времени совпадает с “ямой” правого. Чисто по школьной физике – в результате сложения таких колебаний, в идеале, получится ноль. Эти сигналы будут взаимно подавлять друг друга. Сигналы в противофазе.

Фазовый сдвиг подразумевает запаздывание первого сигнала по времени относительно второго.

При двух гармонических колебаниях одной частоты результатом сдвига фаз будет частичное ослабление сигнала. Степень ослабления результирующего сигнала будет зависеть как раз от этого самого сдвига фаз. В предельном случае (в противофазе), на выходе получится абсолютный ноль.

Все эти картинки и рассуждения, о физических свойствах звуковых волн, отдаленно относятся к практике, к реальности. Звуки любого музыкального инструмента нельзя назвать – “одночастотным сигналом” (как осциллограмма на картинках). Частичный сдвиг фаз может ослаблять одни частоты по сравнению с другими. А иногда, усиливать некоторые из них.

Исследование фазы сигнала

---

---

---

---

---

---

---

---

---

Чтобы описать колебательные процессы и отличить одни колебания от других, используют 6 характеристик. Они называются так (рис. 1):

• амплитуда,
• период,
• частота,
• циклическая частота,
• фаза,
• начальная фаза.

Такие величины, как амплитуду и период, можно определить по графику колебаний.

Начальную фазу, так же, определяют по графику, с помощью интервала времени (large Delta t), на который относительно нуля сдвигается начало ближайшего периода.

Частоту и циклическую частоту вычисляют из найденного по графику периода, по формулам. Они находятся ниже в тексте этой статьи.

А фазу определяют с помощью формулы, в которую входит интересующий нас момент времени t колебаний. Читайте далее.

Что такое амплитуда

Амплитуда – это наибольшее отклонение величины от равновесия, то есть, максимальное значение колеблющейся величины.

Измеряют в тех же единицах, в которых измерена колеблющаяся величина. К примеру, когда рассматривают механические колебания, в которых изменяется координата, амплитуду измеряют в метрах.

В случае электрических колебаний, в которых изменяется заряд, ее измеряют в Кулонах. Если колеблется ток – то в Амперах, а если – напряжение, то в Вольтах.

Часто обозначают ее, приписывая к букве, обозначающей амплитуду индекс «0» снизу.

К примеру, пусть колеблется величина ( large x ). Тогда символом ( large x_{0} ) обозначают амплитуду колебаний этой величины.

Иногда для обозначения амплитуды используют большую латинскую букву A, так как это первая буква английского слова «amplitude».

С помощью графика амплитуду можно определить так (рис. 2):

Что такое период

Когда колебания повторяются точно, изменяющаяся величина принимает одни и те же значения через одинаковые кусочки времени. Такой кусочек времени называют периодом.

Обозначают его обычно большой латинской буквой «T» и измеряют в секундах.

( large T left( c right) ) – период колебаний.

Одна секунда – достаточно большой интервал времени. Поэтому, хотя период и измеряют в секундах, но для большинства колебаний он будет измеряться долями секунды.

Чтобы по графику колебаний определить период (рис. 3), нужно найти два одинаковых значения колеблющейся величины. После, провести от этих значений к оси времени пунктиры. Расстояние между пунктирами – это период колебаний.

Период – это время одного полного колебания.

На графике период найти удобнее одним из таких способов (рис. 4):

Что такое частота

Обозначают ее с помощью греческой буквы «ню» ( large nu ).

Частота отвечает на вопрос: «Сколько полных колебаний выполняется за одну секунду?» Или же: «Сколько периодов умещается в интервал времени, равный одной секунде?».

Поэтому, размерность частоты — это единицы колебаний в секунду:

( large nu left( frac{1}{c} right) ).

Иногда в учебниках встречается такая запись ( large displaystyle nu left( c^{-1} right) ), потому, что по свойствам степени ( large  displaystyle frac{1}{c} = c^{-1} ).

Начиная с 1933 года частоту указывают в Герцах в честь Генриха Рудольфа Герца. Он совершил значимые открытия в физике, изучал колебания и доказал, что существуют электромагнитные волны.

Одно колебание в секунду соответствует частоте в 1 Герц.

[ large displaystyle boxed{ frac{ 1 text{колебание}}{1 text{секунда}} = 1 text{Гц} }]

Чтобы с помощью графика определить частоту, нужно на оси времени определить период. А затем посчитать частоту по такой формуле:

[ large boxed{ nu = frac{1}{T} }]

Существует еще один способ определить частоту с помощью графика колеблющейся величины. Нужно отмерить на графике интервал времени, равный одной секунде, и сосчитать количество периодов колебаний, уместившихся в этот интервал (рис. 5).

Что такое циклическая частота

Колебательное движение и движение по окружности имеют много общего – это повторяющиеся движения. Одному полному обороту соответствует угол (large 2pi) радиан. Поэтому, кроме интервала времени 1 секунда, физики используют интервал времени, равный (large 2pi) секунд.

Число полных колебаний для такого интервала времени, называется циклической частотой и обозначается греческой буквой «омега»:

( large displaystyle omega left( frac{text{рад}}{c} right) )

Примечание: Величину ( large omega ) так же называют круговой частотой, а еще — угловой скоростью (ссылка).

Циклическая частота отвечает на вопрос: «Сколько полных колебаний выполняется за (large 2pi) секунд?» Или же: «Сколько периодов умещается в интервал времени, равный (large 2pi) секунд?».

Обычная ( large nu ) и циклическая ( large omega ) частота колебаний связаны формулой:

[ large boxed{ omega = 2pi cdot nu }]

Слева в формуле количество колебаний измеряется в радианах на секунду, а справа – в Герцах.

Чтобы с помощью графика колебаний определить величину ( large omega ), нужно сначала найти период T.

Затем, воспользоваться формулой ( large displaystyle nu = frac{1}{T} ) и вычислить частоту ( large nu ).

И только после этого, с помощью формулы ( large omega = 2pi cdot nu ) посчитать циклическую ( large omega ) частоту.

Для грубой устной оценки можно считать, что циклическая частота превышает обычную частоту примерно в 6 раз численно.

Определить величину ( large omega ) по графику колебаний можно еще одним способом. На оси времени отметить интервал, равный (large 2pi), а затем, сосчитать количество периодов колебаний в этом интервале (рис. 6).

Что такое начальная фаза и как определить ее по графику колебаний

Отклоним качели на некоторый угол от равновесия и будем удерживать их в таком положении. Когда мы отпустим их, качели начнут раскачиваться. А старт колебаний произойдет из угла, на который мы их отклонили.

Такой, начальный угол отклонения, называют начальной фазой колебаний. Обозначим этот угол (рис. 7) какой-нибудь греческой буквой, например, (large varphi_{0} ).

(large varphi_{0} left(text{рад} right) ) — начальная фаза, измеряется в радианах (или градусах).

Начальная фаза колебаний – это угол, на который мы отклонили качели, перед тем, как их отпустить. Из этого угла начнется колебательный процесс.

Рассмотрим теперь, как величина (large varphi_{0} ) влияет на график колебаний (рис. 8). Для удобства будем считать, что мы рассматриваем колебания, которые происходят по закону синуса.

Кривая, обозначенная черным на рисунке, начинает период колебаний из точки t = 0. Эта кривая является «чистым», не сдвинутым синусом. Для нее величину начальной фазы (large varphi_{0} ) принимаем равной нулю.

Вторая кривая на рисунке обозначена красным цветом. Начало ее периода сдвинуто вправо относительно точки t = 0. Поэтому, для красной кривой, начавшей новый период колебаний спустя время (large Delta t), начальный угол (large varphi_{0} ) будет отличаться от нулевого значения.

Определим угол (large varphi_{0} ) с помощью графика колебаний.

Обратим внимание (рис. 8) на то, что время, лежащее на горизонтальной оси, измеряется в секундах, а величина (large varphi_{0} ) — в радианах. Значит, нужно связать формулой кусочек времени (large Delta t) и соответствующий ему начальный угол (large varphi_{0} ).

Как вычислить начальный угол по интервалу смещения

Алгоритм нахождения начального угла состоит из нескольких несложных шагов.

• Сначала определим интервал времени, обозначенный синими стрелками на рисунке. На осях большинства графиков располагают цифры, по которым это можно сделать. Как видно из рис. 8, этот интервал (large Delta t) равен 1 сек.
• Затем определим период. Для этого отметим одно полное колебание на красной кривой. Колебание началось в точке t = 1, а закончилось в точке t =5. Взяв разность между этими двумя точками времени, получим значение периода.

[large T = 5 – 1 = 4 left( text{сек} right)]

Из графика следует, что период T = 4 сек.

• Рассчитаем теперь, какую долю периода составляет интервал времени (large Delta t). Для этого составим такую дробь (large displaystyle frac{Delta t }{T} ):

[large frac{Delta t }{T} = frac{1}{4} ]

Полученное значение дроби означает, что красная кривая сдвинута относительно точки t = 0 и черной кривой на четверть периода.

• Нам известно, что одно полное колебание — один полный оборот (цикл), синус (или косинус) совершает, проходя каждый раз угол (large 2pi ). Найдем теперь, как связана найденная доля периода с углом (large 2pi ) полного цикла.

Для этого используем формулу:

[large boxed{ frac{Delta t }{T} cdot 2pi = varphi_{0} }]

(large displaystyle frac{1}{4} cdot 2pi = frac{pi }{2} =varphi_{0} )

Значит, интервалу (large Delta t) соответствует угол (large displaystyle frac{pi }{2} ) – это начальная фаза для красной кривой на рисунке.

• В заключение обратим внимание на следующее. Начало ближайшего к точке t = 0 периода красной кривой сдвинуто вправо. То есть, кривая запаздывает относительно «чистого» синуса.

Чтобы обозначить запаздывание, будем использовать знак «минус» для начального угла:

[large varphi_{0} = — frac{pi }{2} ]

Примечание: Если на кривой колебаний начало ближайшего периода лежит левее точки t = 0, то в таком случае, угол (large displaystyle frac{pi }{2} ) имеет знак «плюс».

Для не сдвинутого влево, либо вправо, синуса или косинуса, начальная фаза нулевая (large varphi_{0} = 0 ).

Для синуса или косинуса, сдвинутого влево по графику и опережающего обычную функцию, начальная фаза берется со знаком «+».

А если функция сдвинута вправо и запаздывает относительно обычной функции, величину (large varphi_{0} ) записываем со знаком «-».

Примечания:

1. Физики начинают отсчет времени из точки 0. Поэтому, время в задачах будет величиной не отрицательной.
2. На графике колебаний начальная фаза ( varphi_{0}) влияет на вертикальный сдвиг точки, из которой стартует колебательный процесс. Значит, можно для простоты сказать, что колебания имеют начальную точку.

Благодаря таким допущениям график колебаний при решении большинства задач можно изображать, начиная из окрестности нуля и преимущественно в правой полуплоскости.

Что такое фаза колебаний

Рассмотрим еще раз обыкновенные детские качели (рис. 9) и угол их отклонения от положения равновесия. С течением времени этот угол изменяется, то есть, он зависит от времени.

В процессе колебаний изменяется угол отклонения от равновесия. Этот изменяющийся угол называют фазой колебаний и обозначают (varphi).

Различия между фазой и начальной фазой

Существуют два угла отклонения от равновесия – начальный, он задается перед началом колебаний и, угол, изменяющийся во время колебаний.

Первый угол называют начальной ( varphi_{0}) фазой (рис. 10а), она считается неизменной величиной. А второй угол – просто ( varphi) фазой (рис. 10б) – это величина переменная.

Как на графике колебаний отметить фазу

На графике колебаний фаза (large varphi) выглядит, как точка на кривой. С течением времени эта точка сдвигается (бежит) по графику слева направо (рис. 11). То есть, в разные моменты времени она будет находиться на различных участках кривой.

На рисунке отмечены две крупные красные точки, они соответствуют фазам колебаний в моменты времени t1 и t2.

А начальная фаза на графике колебаний выглядит, как место, в котором находится точка, лежащая на кривой колебаний, в момент времени t=0. На рисунке дополнительно присутствует одна мелкая красная точка, она соответствует начальной фазе колебаний.

Как определить фазу с помощью формулы

Пусть нам известны величины (large omega) — циклическая частота и (large varphi_{0}) — начальная фаза. Во время колебаний эти величины не изменяются, то есть, являются константами.

Время колебаний t будет величиной переменной.

Фазу (large varphi), соответствующую любому интересующему нас моменту t времени, можно определить из такого уравнения:

[large boxed{ varphi = omega cdot t + varphi_{0} }]

Левая и правая части этого уравнения имеют размерность угла (т. е. измеряются в радианах, или градусах). А подставляя вместо символа t в это уравнение интересующие нас значения времени, можно получать соответствующие им значения фазы.

Что такое разность фаз

Обычно понятие разности фаз применяют, когда сравнивают два колебательных процесса между собой.

Рассмотрим два колебательных процесса (рис. 12). Каждый имеет свою начальную фазу.

Обозначим их:

( large varphi_{01}) – для первого процесса и,

( large varphi_{02}) – для второго процесса.

Определим разность фаз между первым и вторым колебательными процессами:

[large boxed{ Delta varphi = varphi_{01} —  varphi_{02} }]

Величина (large Delta varphi ) показывает, на сколько отличаются фазы двух колебаний, она называется разностью фаз.

Как связаны характеристики колебаний — формулы

Движение по окружности и колебательное движение имеют определенную схожесть, так как эти виды движения могут быть периодическими.

Поэтому, основные формулы, применимые для движения по окружности, подойдут так же, для описания колебательного движения.

• Связь между периодом, количеством колебаний и общим временем колебательного процесса:

[large boxed{ T cdot N = t }]

( large T left( c right) ) – время одного полного колебания (период колебаний);

( large N left( text{шт} right) ) – количество полных колебаний;

( large t left( c right) ) – общее время для нескольких колебаний;

• Период и частота колебаний связаны так:

[large boxed{ T = frac{1}{nu} }]

(large nu left( text{Гц} right) ) – частота колебаний.

• Количество и частота колебаний связаны формулой:

[large boxed{ N = nu cdot t}]

• Связь между частотой и циклической частотой колебаний:

[large boxed{ nu cdot 2pi = omega }]

(large displaystyle omega left( frac{text{рад}}{c} right) ) – циклическая (круговая) частота колебаний.

• Фаза и циклическая частота колебаний связаны так:

[large boxed{ varphi = omega cdot t + varphi_{0} }]

(large varphi_{0} left( text{рад} right) ) — начальная фаза;

(large varphi left( text{рад} right) ) – фаза (угол) в выбранный момент времени t;

• Между фазой и количеством колебаний связь описана так:

[large boxed{ varphi = N cdot 2pi }]

• Интервал времени (large Delta t ) (сдвигом) и начальная фаза колебаний связаны:

[large boxed{ frac{Delta t }{T} cdot 2pi = varphi_{0} }]

(large Delta t left( c right) ) — интервал времени, на который относительно точки t=0 сдвинуто начало ближайшего периода.