Как найти фчх по ачх

Изначально
воспользуемся общей
методикой

определения АЧХ и ФЧХ функции:

Рис.2.4
Последовательное соединение RC ‑ цепи

  1. Определение
    комплексной функции цепи (КФЦ):

Так как в лабораторной
работе№4 исследуются передаточные
характеристики, то будем определять
КФЦ коэффициента передачи по напряжению.

Согласно определению
(выражение (2.1)) коэффициент передачи – это
отношение выходного напряжения ко
входному:

(2.9а)

По закону Ома
входное напряжение
определяется:

В свою очередь,
также по закону Ома, напряжение на выходе
определяется напряжением на емкости,
которое определяется следующим образом:

Тогда коэффициент
передачи по напряжению будет иметь вид:

Приведем знаменатель
к стандартному виду, т.е. избавимся от
«многоэтажного» выражения.

(2.9)

Выражение (2.9)
является передаточной
комплексной функцией цепи

  1. Определение
    выражения АЧХ
    :

Согласно определению
и выражению (2.5) АЧХ функции – это
модуль функции или отношение модулей
числителя и знаменателя для комплексных
выражений. Тогда из выражения (2.9) выделим
модуль:

,

Таким образом, АЧХ
коэффициента передачи имеет вид (2.10):

,
(2.10)

где R,C – параметры
цепи, ω – круговая
частота входного воздействия:
.

  1. Определение
    выражения ФЧХ
    :

Исходя из общего
определения и математической записи
(2.7) ФЧХ исследуемой цепи, определим для
исследуемой схемы фазо-частотную
характеристику (ФЧХ). Для этого необходимо
найти главный аргумент КФЦ. В соответствии
с теорией комплексных выражений, аргумент
выражения равен разности аргументов
числителя и знаменателя. Запишем
сказанное математически:

,

Таким образом, ФЧХ
коэффициента передачи имеет вид (2.11):

.
(2.11)

Для того, чтобы
графически изобразить АЧХ и ФЧХ
передаточной функции (или по-другому,
коэффициента передачи), необходимо
вместо параметров цепи подставить
номиналы элементов, а вместо круговой
частоты
подставить соответствующие значения,
при разных значениях циклической
частоты, например, 0, 200Гц, 1кГц, 1.25кГц,
2,5кГц, 5кГц, 10кГц, 20 кГц.

2.4 Определение характера частотных характеристик цепи (ачх и фчх) на основе схемы без вывода выражений ачх и фчх

Следует отметить,
что целью лабораторной работы является
исследование частотных характеристик
в цепях первого порядка (в составе схемы
не более одной реактивности). В таких
цепях невозможны экстремумы функций
частотных характеристик, т.е. характер
функции монотонный, а, значит, предполагаемый
характер частотных характеристик может
быть изображен на основе анализа схемы
на крайних частотах диапазона


и

.

Исследуем схему
на рис.2.4 на крайних частотах:

1) Построение АЧХ
по схеме [3]:

Так как в схеме
один реактивный элемент, ЧХ цепи будут
монотонными функциями частоты и для их
изображения достаточно знать значения
ЧХ на крайних частотах диапазона


и



=0

=

Рис.2.5
– Схемы замещения исследуемой цепи

на
крайних частотах диапазона

По полученным
результатам построим АЧХ исследуемой
цепи (рис.2.6):

Рис. 2.6- АЧХ
передаточной функции исследуемой
цепи

2) Построение ФЧХ
коэффициента передачи:

Для построения
ФЧХ непосредственно на основе схемы
необходимо
сохранить характер реактивного
сопротивления.

Поэтому эквивалентные схемы изобразим
не для
= 0, а для

0, не для


a
для



0


а)
б)

Рис.
2.7 Схема замещения участка цепи для
определения ФЧХ

В соответствии с
определением коэффициента передачи по
напряжению

.

Следовательно,


=
.

Для удобства
положим
=
0, тогда
=

Построим векторные
диаграммы для схемы рисунка 2.7а и б,
соответственно:

при
0

а)

при


б)

Рис.
2.8 Векторные диаграммы напряжений на
граничных частотах

Исходя из рис.2.8а,
разность фаз между входным и выходным
напряжениями составило 00,
т.е.(0)
= 0o.
Согласно рис.2.8 вектор. напряжения выхода
отстает от вектора входного напряжения
на 900,
а значит,
(
= -900.
По полученным данным построим ФЧХ
коэффициента передачи:

Рис.
2.9 ФЧХ коэффициента передачи

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

Амплитудно-частотная характеристика

Аббревиатура АЧХ расшифровывается как амплитудно-частотная характеристика. На английском этот термин звучит как «frequency response», что в дословном переводе означает «частотный отклик». Амплитудно-частотная характеристика цепи показывает зависимость уровня сигнала на выходе данного устройства от частоты передаваемого сигнала при постоянной амплитуде синусоидального сигнала на входе этого устройства. АЧХ может быть определена аналитически через формулы, либо экспериментально. Любое устройство предназначено для передачи (или усиления) электрических сигналов.  АЧХ устройства определяется по зависимости  коэффициента передачи (или коэффициента усиления) от частоты.

Коэффициент передачи

Что такое коэффициент передачи? Коэффициент передачи — это отношение напряжения на выходе цепи к напряжению на ее входе. Или формулой:

коэффициент передачи формула

где

Uвых   — напряжение на выходе цепи

Uвх  — напряжение на входе цепи

Что такое АЧХ и ФЧХ

В усилительных устройствах коэффициент передачи больше единицы. Если устройство вносит ослабление передаваемого сигнала, то коэффициент передачи меньше единицы.

Коэффициент передачи может быть выражен через децибелы:

коэффициент передачи через децибелы

Строим АЧХ RC-цепи в программе Proteus

Для того, чтобы досконально разобраться, что такое АЧХ, давайте рассмотрим рисунок ниже.

Итак, имеем «черный ящик», на вход которого мы будем подавать синусоидальный сигнал, а на выходе черного ящика мы будем снимать сигнал. Должно соблюдаться условие: нужно менять частоту входного синусоидального сигнала, но его амплитуда должна быть постоянной.

Что такое АЧХ и ФЧХ

Что нам  делать дальше? Надо измерить амплитуду сигнала на выходе после черного ящика при интересующих нас значениях частоты входного сигнала. То есть мы должны изменять частоту входного сигнала от 0 Герц (постоянный ток) и до какого-либо конечного значения, которое будет удовлетворять нашим целям, и смотреть, какая амплитуда сигнала будет на выходе при соответствующих значениях на входе.

Давайте разберем все это дело на примере. Пусть в черном ящике у нас будет самая простая RC-цепь с уже известными номиналами радиоэлементов.

Что такое АЧХ и ФЧХ

Как я уже говорил, АЧХ может быть построено экспериментально, а также с помощью программ-симуляторов. На мой взгляд, самый простой и мощный симулятор для новичков — это Proteus. С него и начнем.

Собираем данную схему в рабочем поле программы Proteus

Что такое АЧХ и ФЧХ

Для того, чтобы подать на вход схемы синусоидальный сигнал, мы кликаем на кнопочку «Генераторы», выбираем SINE, а потом соединяем его со входом нашей схемы.

Что такое АЧХ и ФЧХ

Для измерения выходного сигнала достаточно кликнуть на значок  с буквой «V»  и соединить выплывающий значок с выходом нашей схемы:

Что такое АЧХ и ФЧХ

Для эстетики, я уже поменял название входа и выхода на sin и out. Должно получиться как-то вот так:

Что такое АЧХ и ФЧХ

Ну вот, пол дела уже сделано.

Теперь осталось добавить важный инструмент. Он называется «frequency response», как я уже говорил, в дословном переводе с английского — «частотный отклик». Для этого нажимаем кнопочку «Диаграмма» и в списке выбираем «frequency»

Что такое АЧХ и ФЧХ

На экране появится что-то типа этого:

Что такое АЧХ и ФЧХ

Кликаем ЛКМ два раза и открывается вот такое окошко, где в качестве входного сигнала мы выбираем наш генератор синуса (sin), который у нас сейчас задает частоту на входе.

Что такое АЧХ и ФЧХ

Здесь же выбираем диапазон частоты, который будем «загонять» на вход нашей цепи. В данном случае это диапазон от 1 Гц и до 1 МГц. При установке начальной частоты в 0 Герц Proteus выдает ошибку. Поэтому, ставьте начальную частоту близкую к нулю.

Что такое АЧХ и ФЧХ

Нажимаем ОК.

Далее нажимаем ПКМ на самой табличке Frequency Response и видим вот такой выплывающий список, в котором нажимаем «Добавить трассы»

Что такое АЧХ и ФЧХ

Долго не думая, выбираем в первом же окошке наш выход out

Что такое АЧХ и ФЧХ

и в результате должно появится окошко с нашим выходом

Что такое АЧХ и ФЧХ

Нажимаем пробел и радуемся результату

Что такое АЧХ и ФЧХ

Итак, что интересного можно обнаружить, если взглянуть на нашу АЧХ? Как вы могли заметить, амплитуда на выходе цепи падает с увеличением частоты. Это означает, что наша RC-цепь является своеобразным частотным фильтром. Такой фильтр пропускает низкие частоты, в нашем случае до 100 Герц, а потом с ростом частоты начинает их «давить». И чем больше частота, тем больше он ослабляет амплитуду выходного сигнала. Поэтому, в данном случае, наша  RC-цепь является самым простейшим фильтром низкой частоты (ФНЧ).

Полоса пропускания

В среде радиолюбителей и не только встречается также такой термин, как полоса пропускания. Полоса пропускания — это диапазон частот, в пределах которого АЧХ радиотехнической цепи или устройства достаточно равномерна, чтобы обеспечить передачу сигнала без существенного искажения его формы.

Как же определить полосу пропускания? Это сделать довольно легко. Достаточно на графике АЧХ найти уровень в -3 дБ от максимального значения АЧХ и найти точку пересечения прямой с графиком. В нашем случае это можно сделать легче пареной репы. Достаточно развернуть нашу диаграмму на весь экран и с помощью встроенного маркера посмотреть частоту на уровне в -3 дБ в точке пересечения с нашим графиком АЧХ. Как мы видим, она равняется 159 Герц.

полоса пропускания

Частота, которая получается на уровне в -3 дБ, называется частотой среза. Для RC-цепи ее можно найти по формуле:

формула частоты среза

Для нашего случая расчетная частота получилась 159,2 Гц, что подтверждает и Proteus.

Что такое АЧХ и ФЧХ

Кто не желает связываться  с децибелами, то можно провести линию на уровне 0,707 от максимальной амплитуды  выходного сигнала и смотреть пересечение с графиком. В данном примере, для наглядности, я взял максимальную амплитуду за уровень в  100%.

как найти полосу пропускания

Как построить АЧХ на практике?

Как построить АЧХ на практике, имея в своем арсенале генератор частоты и осциллограф?

Итак, поехали. Собираем нашу цепь в реале:

Что такое АЧХ и ФЧХ

Ну а теперь цепляем ко входу схемы генератор частоты, а с помощью осциллографа следим за амплитудой выходного сигнала, а также будем следить за амплитудой входного сигнала, чтобы мы были точно уверены, что на вход RC-цепи подается синус с постоянной амплитудой.

Что такое АЧХ и ФЧХ

Для экспериментального изучения АЧХ  нам потребуется собрать простенькую схемку:

Что такое АЧХ и ФЧХ

Наша задача состоит в том, чтобы менять частоту генератора и уже наблюдать, что покажет осциллограф на выходе цепи. Мы будем прогонять нашу цепь по частотам, начиная от самой малой. Как я уже сказал, желтый канал предназначен для визуального контроля, что мы честно проводим опыт.

Постоянный ток, проходящий через эту цепь,  на выходе будет давать амплитудное значение входного сигнала, поэтому первая точка будет иметь координаты (0;4), так как амплитуда нашего входного сигнала 4 Вольта.

Следующее значение смотрим на осциллограмме:

Частота 15 Герц, амплитуда на выходе 4 Вольта. Итак, вторая точка (15;4)

Что такое АЧХ и ФЧХ

Третья точка (72;3.6). Обратите внимание на амплитуду выходного красного сигнала. Она начинает проседать.

Что такое АЧХ и ФЧХ

Четвертая точка (109;3.2)

Что такое АЧХ и ФЧХ

Пятая точка (159;2.8)

Что такое АЧХ и ФЧХ

Шестая точка (201;2.4)

Что такое АЧХ и ФЧХ

Седьмая точка (273;2)

Что такое АЧХ и ФЧХ

Восьмая точка (361;1.6)

Что такое АЧХ и ФЧХ

Девятая точка (542;1.2)

Что такое АЧХ и ФЧХ

Десятая точка (900;0.8)

Что такое АЧХ и ФЧХ

Ну и последняя одиннадцатая точка (1907;0.4)

Что такое АЧХ и ФЧХ

В результате измерений у нас получилась табличка:

Что такое АЧХ и ФЧХ

Строим график по полученным значениям и получаем нашу экспериментальную АЧХ  😉

Что такое АЧХ и ФЧХ

Получилось не так, как в технической литературе. Оно и понятно, так как по Х берут логарифмический масштаб, а не линейный, как у меня на графике. Как вы видите, амплитуда выходного сигнала будет и дальше понижаться с увеличением частоты. Для того, чтобы еще более точно построить нашу АЧХ, требуется взять как можно больше точек.

Давайте вернемся к этой осциллограмме:

Что такое АЧХ и ФЧХ

Здесь на частоте среза амплитуда выходного сигнала получилась ровно 2,8 Вольт, которые как раз и находятся на уровне в 0,707. В нашем случае 100% это 4 Вольта. 4х0,707=2,82 Вольта.

Что такое АЧХ и ФЧХ

АЧХ полосового фильтра

Существуют также схемы, АЧХ которых имеет вид холма или ямы. Давайте рассмотрим один из примеров. Мы будем рассматривать так называемый полосовой фильтр, АЧХ которого имеет вид холма.

Собственно сама схема:

Что такое АЧХ и ФЧХ

А вот ее АЧХ:

ачх полосового фильтра

Особенность таких фильтров, что они имеют две частоты среза. Определяются они также на уровне в -3дБ  или на уровне в  0,707 от максимального значения коэффициента передачи, а еще точнее Ku max/√2.

полоса пропускания полосового фильтра

Так как в дБ смотреть график неудобно, поэтому я переведу его в линейный режим по оси Y, убирая маркер

Что такое АЧХ и ФЧХ

В результате перестроения получилась такая АЧХ:

Что такое АЧХ и ФЧХ

Максимальное значение на выходе составило 498 мВ при амплитуде входного сигнала в 10 Вольт. Мдя, неплохой «усилитель») Итак, находим значение частот на уровне в 0,707х498=352мВ. В результате получились две частоты среза — это частота в 786 Гц и в 320 КГц. Следовательно, полоса пропускания данного фильтра от 786Гц и до 320 КГц.

На практике для получения АЧХ используются приборы, называемые характериографами для исследования АЧХ. Вот так выглядит один из образцов Советского Союза

Что такое АЧХ и ФЧХ

Фазо-частотная характеристика

ФЧХ расшифровывается как фазо-частотная характеристика, phase response — фазовый отклик. Фазо-частотная характеристика — это зависимость сдвига по фазе между синусоидальными сигналами на входе и выходе устройства от частоты входного колебания.

Разность фаз

Думаю, вы не раз слышали такое выражение, как » у него произошел сдвиг по фазе». Это выражение не так давно пришло в наш лексикон и обозначает оно то, что человек слегка двинулся умом. То есть было все нормально, а потом раз! И все :-). И в электронике такое тоже часто бывает)  Разницу между фазами сигналов в электронике называют разностью фаз. Вроде бы «загоняем» на вход  какой-либо сигнал, а выходной сигнал ни с того ни с сего взял и сдвинулся по времени, относительно входного сигнала.

Для того, чтобы определить разность фаз, должно выполняться условие: частоты сигналов должны быть равны. Пусть даже один сигнал будет с амплитудой в Киловольт, а другой в милливольт. Неважно! Лишь бы соблюдалось равенство частот. Если бы  условие равенства не соблюдалось, то сдвиг фаз между сигналами все время бы изменялся.

Для определения сдвига фаз используют двухканальный осциллограф. Разность фаз чаще всего обозначается буквой φ и на осциллограмме это выглядит примерно так:

Что такое АЧХ и ФЧХ

Строим ФЧХ RC-цепи в Proteus

Для нашей исследуемой цепи

Что такое АЧХ и ФЧХ

Для того, чтобы отобразить ее в Proteus мы снова открываем функцию «frequency response»

Что такое АЧХ и ФЧХ

Все  также выбираем наш генератор

Что такое АЧХ и ФЧХ

Не забываем проставлять испытуемый диапазон частот:

Что такое АЧХ и ФЧХ

Далее нажимаем ПКМ на самой табличке Frequency Response и видим вот такой выплывающий список, в котором нажимаем «Добавить трассы»

Что такое АЧХ и ФЧХ

Долго не думая, выбираем в первом же окошке наш выход out

Что такое АЧХ и ФЧХ

И теперь главное отличие: в колонке «Ось» ставим маркер на «Справа»

Что такое АЧХ и ФЧХ

Нажимаем пробел и вуаля!

фчх

Можно его развернуть на весь экран

Что такое АЧХ и ФЧХ

При большом желании эти две характеристики можно объединить на одном графике

фчх и ачх

Обратите внимание, что на частоте среза сдвиг фаз между входным и выходным сигналом составляет 45 градусов или в радианах п/4 (кликните для увеличения)

Что такое АЧХ и ФЧХ

В данном опыте при частоте более 100 КГц разность фаз достигает значения в 90 градусов (в радианах π/2) и уже не меняется.

Строим ФЧХ на практике

ФЧХ на практике можно измерить также, как и АЧХ, просто наблюдая разность фаз и записывая показания в табличку. В этом опыте мы просто убедимся, что на частоте среза у нас действительно разность фаз между входным и выходным сигналом будет 45 градусов или  π/4 в радианах.

Итак, у меня получилась вот такая осциллограмма на частоте среза в 159,2 Гц

Что такое АЧХ и ФЧХ

Нам надо узнать разность фаз между этими двумя сигналами

разность фаз

Весь период — это 2п, значит половина периода — это π. На полупериод у нас приходится где-то 15,5 делений. Между двумя сигналами разность в 4 деления. Составляем пропорцию:

Что такое АЧХ и ФЧХ

Отсюда х=0,258п или можно сказать почти что 1/4п. Следовательно, разница фаз между двумя этими сигналами равняется п/4, что почти в точности совпало с расчетными значениями в Proteus.

Если Вы лучше воспринимаете информацию через видео, то к Вашему вниманию:

Резюме

Амплитудно-частотная характеристика цепи показывает зависимость уровня сигнала на выходе данного устройства от частоты передаваемого сигнала при постоянной амплитуде синусоидального сигнала на входе этого устройства.

И еще интересная статья — последовательное и параллельное соединение проводников.

Фазо-частотная характеристика — это зависимость сдвига по фазе между синусоидальными сигналами на входе и выходе устройства от частоты входного колебания.

Коэффициент передачи — это отношение напряжения на выходе цепи к напряжению на ее входе. Если коэффициент передачи больше единицы, то электрическая цепь усиливает входной ссигнал, если же меньше единицы, то ослабляет.

Полоса пропускания — это диапазон частот, в пределах которого АЧХ радиотехнической цепи или устройства достаточно равномерна, чтобы обеспечить передачу сигнала без существенного искажения его формы. Определяется по уровню 0,707 от максимального значения АЧХ.

Лекции по курсу «Управление Техническими Системами» читает Козлов Олег Степанович на кафедре «Ядерные реакторы и энергетические установки» факультета «Энергомашиностроения» МГТУ им. Н.Э. Баумана. За что ему огромная благодарность!

Данные лекции готовятся к публикации в виде книги, а поскольку здесь есть специалисты по ТАУ, студенты и просто интересующиеся предметом, то любая критика приветствуется.

В предыдущих сериях:
1. Введение в теорию автоматического управления.
2. Математическое описание систем автоматического управления 2.1 — 2.3, 2.3 — 2.8, 2.9 — 2.13

В следущих сериях:
3.2. Типовые звенья систем автоматического управления (регулирования). Классификация типовых звеньев. Простейшие типовые звенья.
3.3. Апериодическое звено 1–го порядка (инерционное звено). На примере входной камеры ядерного реактора.
3.4. Апериодическое звено 2-го порядка.
3.5. Колебательное звено.
3.6. Инерционно-дифференцирующее звено.
3.7. Форсирующее звено.
3.8. Инерционно-интегрирующее (звено интегрирующее звено с замедлением).

В этом разделе мы будем изучать частотные характеристики. Тема сегодняшней статьи:
3.1. Амплитудно-фазовая частотная характеристика: годограф, АФЧХ, ЛАХ, ФЧХ

Будет интересно, познавательно и жестко.

3.1. Амплитудно-фазовая частотная характеристика: годограф АФЧХ, ЛАХ, ФЧХ

Определение: Частотными характеристиками называются формулы и графики, характеризующие реакцию звена (системы) на единичное синусоидальное воздействие в установившемся режиме, т.е. в режиме вынужденных гармонических колебаний звена (системы).

Рис. 3.1.1 – Схематическое представление синусоидального воздействия

Формула синусоидального воздействия может быть записана как:

$sin(omega cdot t+phi) = sin left[ omega(t + frac{phi}{omega}) right] = sin left[ omega(t + Delta t) right];$

Рисунок 3.1.2 – График представления синусоидального воздействия

$phi $ — сдвиг фазы (нередко называют — фаза);
$A$ — амплитуда;
$A equiv A(omega); phi equiv phi( omega) $ т.е. амплитуда на выходе звена(системы) и сдвиг фазы зависят от частоты входного воздействия x(t).

Используем показательную форму записи функции единичного гармонического воздействия и отклика на это воздействие (рис. 3.1.1):

$sin(omega cdot t) = e^{i cdot omega cdot t}$

$left { begin{align} x(t)&= e^{i cdot omega cdot t} = cos (omega cdot t) + i cdot sin(omega cdot t)\ y(t)&= Acdot sin(omega cdot t+ phi) Rightarrow A cdot e^{i(omega cdot t+phi)}=A cdot e^{icdot omega cdot t} cdot e^{i cdotphi} = A(omega) cdot e^{i cdot omega cdot t} cdot e^{i cdot phi(omega)} end{align} right.     mathbf{(3.1.1)} $

Определим связь между передаточной функцией и гармоничным воздействием, пользуясь показательной формой.
Рассмотрим звено уравнение динамики которого имеет следующий вид:

$T^2_2y''(t)+T_1y'(t) = K[tau cdot x'(t)+x(t)].     mathbf{(3.1.2)} $

В показательной форме:

$(T^2_2cdot s^2+T_1 cdot s+1)cdot Y(s) = K[tau cdot s+1] cdot X(s)$

Передаточная функция:

$W(s)= frac{K(tau cdot s +1)}{T^2_2 cdot s^2+T_1 cdot s+1}     mathbf{(3.1.3)} $

Запишем в показательной $x, x', y, y', y''$ форме используя соотношения 3.1.1:

$ x(t)=e^{i cdot omega cdot t};\ x'(t)=i cdot omega cdot e^{i cdot omega cdot t};\ y(t) = A cdot e^{i cdot omega cdot t} cdot e^{i cdot phi};\ y'(t)=A cdot i cdot omega cdot e^{i cdot omega cdot t} cdot e^{i cdot phi};\ y''(t)=A cdot (i cdot omega)^2 cdot e^{i cdot omega cdot t} cdot e^{i cdot phi};$

Подставим эти соотношения в (3.1.1) получим:

$T^2_2cdot A cdot (i cdot omega)^2 cdot e^{i cdot omega cdot t} cdot e^{i cdot phi} +T_1cdot A cdot i cdot omega cdot e^{i cdot omega cdot t} cdot e^{i cdot phi} + A cdot e^{i cdot omega cdot t} cdot e^{i cdot phi}= \ =K[tau cdot i cdot omega cdot e^{i cdot omega cdot t}+e^{i cdot omega cdot t}] Rightarrow \ A cdot e^{i cdot phi} cdot [T^2_2cdot (i cdot omega)^2+ T_1 cdot (i cdot omega)+1] = K[tau cdot (i cdot omega)+1] \ $

Поскольку $A equiv A(omega); phi equiv phi( omega) $ (амплитуда на выходе звена(системы) и сдвиг фазы зависят от частоты входного воздействия), то можно записать:

$A(omega) cdot e^{i cdot phi(omega)}=frac{K[tau cdot i cdot omega+1]} {T^2_2(i cdot omega)^2+ T_1(i cdot omega)+1}     mathbf{(3.1.4)}$

если вспомнить, что в преобразования Лапласа $s = i cdot omega$, то:

$frac{K[tau cdot i cdot omega+1]} {T^2_2(i cdot omega)^2+ T_1(i cdot omega)+1} = frac{K[tau cdot s+1]} {T^2_2 cdot s^2+ T_1cdot s+1} =W(s);$

Получаем выражение для передаточной функции

$A(omega) cdot e^{i cdot phi(omega)} = W(i cdot omega) =W(s)     mathbf{(3.1.5)}$

$W(i cdot omega) $ — Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ)
Иногда $W(i cdot omega) $ называют частотной передаточной функцией.
Модуль АФЧХ=$mod W(i cdot omega) $ тождественно равен амплитуде выходного сигнала:

$A(omega) = |W(i cdot omega)|     mathbf{(3.1.6)}$

Сдвиг фазы выходного сигнала:

$phi(omega) = arg( W(i cdot omega))     mathbf{(3.1.7)} $

Обычно АФЧХ $W(i cdot w)$ изображается на комплексной плоскости. Формулы (3.1.6) и (3.1.7) позволяют изобразить $W(i cdot w)$ в полярных координатах $(r, phi).()$
Так же можно изображать в традиционных декартовых координатах:

$W(i cdot omega) = underbrace { U(omega)}_{Re} + i cdot underbrace { V(omega)}_{Im}      mathbf{(3.1.8)} $

Если использовать для представления W(s) форму W(s)=K·N(s)/L(s), где L(s)- полиномы по степеням s, (причем свободные члены равны 1), а К – общий коэффициент усиления звена (системы), то

$W(i cdotomega) = frac{K cdot N(i cdotomega)}{L(i cdot omega)} Rightarrow | W (i cdot omega)| = frac{K|N(i cdot omega)|}{|L(i cdot omega)|} = A(omega)     mathbf{(3.1.9)} $

Сдвиг фазы $phi(omega)$ можно определить по виду многочленов $N(i cdot omega)$ и $L(i cdot omega)$ (см. формулу (3.1.9)) т.е. как разность фаз (аргументов) числителя и знаменателя:

$phi(omega) = arg(N(i cdotomega))-arg(L(i cdot omega))     mathbf{(3.1.10)}$

Постоим АФЧХ для «абстрактного» звена (системы) с передаточной функцией:

$W(s) = W(i cdot omega) = W(s) |_{s =i cdot omega} = frac{K cdot N(i cdot omega)}{L(i cdot omega))}$

Подставляя в формулу различные значения

$omega$, получаем набор векторов, на комплексной плоскости

Рисунок 3.1.3 – Годограф абстрактного звена.

Рассмотрим действительную и мнимую части полученных векторов Из рисунка 3.1.3 видно, что:

$left { begin{align} u( omega)&= A( omega) cdot cos( phi(omega)) \ v(omega)&= A( omega) cdot sin( phi(omega)) end{align} right.$

Амплитуда и сдвиг фазы рассчитываются для векторов, соответствующих положительным частотам и лежащих в 4 квадранте $omega_1,omega_2, omega_3$ по формулам:

$left { begin{align} A( omega)&= sqrt {u^2( omega)+v^2( omega)} ,\ phi(omega)&= arctg frac{v(omega)}{u(omega)} .end{align} right.$

В общем случае для любых углов сдвига необходимо учитывать переход между квадрантами на плоскости. Тогда формула принимает вид:

$phi(omega) = -pi cdot j + arctg frac{v(omega)}{u(omega)}     mathbf{(3.1.11)}$

где:
j = 0, 2, 3, 4…, если вектор в I и IV квадрант;
j = 1, 3, 4, 4…, если вектор в II и III квадранте.

Во всех технических системах отклик системы, как правило, отстает от входного воздействия, то есть сдвиг фазы всегда отрицательный. Исходя из формулы 3.1.10, степень полинома L(s) выше, чем полинома N(s). Поскольку обычно степень полинома L(s) выше, чем полинома N(s), то с увеличением частоты на входе в звено (в систему) сдвиг фазы обычно отрицателен, т.е. сигнал на выходе звена еще больше отстает по фазе от входного сигнала при увеличении частоты.
В предельном случае, если частота растет до бесконечности, мы можем вообще не получить выходного воздействия. Обычно при ω→ ∞ величина амплитуды на выходе звена стремится к 0, то есть lim A(ω→∞) = 0.

$W(i cdot omega)$ при замене $omega$ на $-omega$ имеет зеркальное изображение.

Анализируя годографы АФЧХ при $omega$ > 0 (сплошная линия на рисунке 3.1.3) и при $omega$ < 0 (пунктирная линия), видим, что:
$u(omega) = u(-omega)$ – четная функция, следовательно график симметричен относительно оси ординат, а
$v(omega) = -v(-omega)$ – нечетная функция и ее график центрально-симметричен относительно начала координат.

Рисунок 3.1.4 – «Зеркальная» симметрия относительно оси ординат.

Рисунок 3.1.5 – «Центральная» симметрия относительно начала координат.

Кроме анализа свойств звена (системы) по годографу АФЧХ, широкое распространение получили анализ логарифмической амплитудной характеристики (ЛАХ) и фазочастотной характеристики (ФЧХ).

ЛАХ определяется как Lm(ω)=20lgA(ω).

Поскольку зачастую удобнее использовать десятичные логарифмы (lg), чем натуральные(ln), в теории управления (также и в акустике) значительно чаще используется специальная единица – децибел (1/10 часть Бела):
+1Бел – единица, характеризующая увеличение в 10 раз.
+1дБ (децибел) – соответствует увеличению в $sqrt[10]{10}$ раз.

В формуле Lm(ω)=20lgA(ω) величина Lm(ω) измеряется также в децибелах. Происхождение множителя 20 таково: A(ω) – амплитуда, линейная величина, а мощность — квадратичная величина (например, напряжение в сети измеряется в Вольтах, а мощность ($N = frac{U^2}{R}$) пропорциональна квадрату напряжения, поэтому в формуле для Lm(ω) стоит множитель 20 (чтобы привести ЛАХ (Lm(ω)) к традиционной мощностной характеристике).

Если $Lm(ω_1)$ больше $Lm(ω_2)$ на 20 дБ, то это означает, амплитуда $А(ω_1)$ больше амплитуды $А(ω_2)$ в 10 раз, $frac{А(ω_1)}{ А(ω_2)} =10$

Окончательно: Lm(ω)=20lg│W(iω)│= 20lgA(ω)

Из этого следует, что +1 децибел (+1 дБ) соответствует увеличению амплитуды в $sqrt[20]{10}$ раз (очень малая величина); -1 дБ – уменьшение амплитуды в $sqrt[20]{10}$ раз.

Графики A(ω) и φ(ω) имеют вид:

Рисунок 3.1.6 – пример графика АЧХ

Рисунок 3.1.7 – пример графика ФЧХ

Учитывая, что “ω” обычно изменяется на порядки и значение A(ω) – также на порядки, график Lm(ω) строится, фактически, в логарифмических координатах, т.е. Lm(ω) =Lm(lg(ω)), например:

Рисунок 3.1.8 – пример графика ЛАХ

Наклон (– 40 дБ/дек) соответствует уменьшению амплитуды в 100 раз при увеличении частоты в 10 раз.

Рисунок 3.1.9 – пример графика ЛФЧХ

Рассмотренные характеристики Lm(ω), то есть ЛАХ и ФЧХ имеют широкое распространение при анализе динамических свойств звена (системы), например, при анализе устойчивости САР (см. раздел “Устойчивость систем автоматического управления”).

Рисунок 3.1.10 – пример ЛАХ и ФЧХ для сложной системы

Пример 1

В качестве примера построим АФЧХ для демпфера, модель которого разобрана в этой статье…. Добавим на схему блок «Построение частотных характеристик», в качестве входа возьмем возмущающее воздействие, в качестве выхода — положение положение груза. Для наглядности иллюстрации примем в качестве выхода положение в миллиметрах (х1000), поскольку модель у нас размерная и результат получается в метрах уже достаточно маленьким примерно 0.004 метра. см. рис. 3.11

Рисунок 3.1.11 Схема для построения частотных характеристик.

Параметры блока «Построение частотных характеристик» приведены на рисунке 3.1.12, для иллюстрации зависимости АЧХ и ЛАХ. Результат работы блока — график с выбранными параметрами — изображен на рисунке 3.1.13:

Рисунок 3.1.12 – Параметры блока «Частотные характеристики».

Рисунок 3.1.13 – Частотные характеристики в АЧХ, ЛАХ, ФЧХ в линейном масштабе по ω.

Анализ графика в линейном масштабе по ω чаще всего не очень удобен, поскольку весь график собирается в узкой области, а дальше график абсолютной амплитуды практически сливается с 0. Если мы хотим исследовать частоты хотя бы до 1000 Гц, мы увидим практически вертикальные и горизонтальные прямые. Изменения масштаба шкалы АЧХ и ω на логарифмический дает возможность лучше исследовать частотные характеристики (см. рис. 3.1.14).

На рисунке 3.1.14 представлены частотные характеристики демпфера в логарифмическом масштабе и иллюстрация соотношения между абсолютной величиной амплитуды АФЧХ и ЛАХ в децибелах.

Рисунок 3.1.14 – Частотные характеристики в АЧХ, ЛАХ, ФЧХ в логарифмическом масштабе по ω.

Пример 2

Постоим частотные характеристики для чуть более сложной модели, а именно — для гидравлического демпфера, рассмотренного в предыдущей лекции….

Для начала посмотрим на модель в виде блоков.

Модель, подготовленная для анализа, представлена на рисунке 3.1.15. В отличие от исходной модели, описанной ранее, входное воздействие задается блоком «ступенька» с скачком с 0 до 1 на 10 секунде расчёта. В блоке «линейная функция» происходит пересчет сигнала «ступенька»:
0 — соответствует 200 бар в камере (конечное состояние в предыдущем примере)
1 — соответствует 400 бар в камере.
Это сделано для того, чтобы можно было подавать синусоидальный сигнал и не получать отрицательное давление в камере плунжера. Также для наглядности графика мы усиливаем выходное перемещение, переводя его из метров в миллиметры.

Рисунок 3.1.15 – Модель гидравлического демпфера.

Частотные характеристики, получаемые в конце расчёта, приведены на рисунке 3.1.16. Видно что характеристики отличаются от простого пружинного демпфера (сравните с 3.1.14)

Рисунок 3.1.16 – Частотные характеристики гидравлического демпфера

Блок “Построение частотных характеристик” осуществляет расчет характеристик для линеаризованной модели в окрестности заданной точки. Это означает, что частотные характеристики системы в разные моменты времени могут отличаться для нелинейных моделей. Например, в нашем случае характеристики в начале расчёта будут отличаться от характеристик, полученных в конце расчёта.

Для подробных и нелинейных моделей, блок «Построение частотных характеристик» может не работать из за наличия разрывов и нелинейностей в модели. Как например, для «точной» модели демпфера, которую мы проверяли в предыдущей статье. В этом случае возможно построить частотные характеристики непосредственно моделированием, путем подачи синусоидального сигнала с разной частотой и измерения отклика. В SimInTech для этого используется блок «Гармонический анализатор», который подключается ко входу модели и генерирует синусоидальное воздействие. В этот же блок направляется отклик системы, и производится вычисление необходимых параметров для построения различных характеристик системы, которые можно вывести на графики с помощью блока «фазовый портрет».

Модель гидравлического демпфера, собранного из библиотечных блоков SimInTech, представлена на рисунке 3.1.7

Рисунок 3.1.17 – Модель гидравлического демпфера для расчёта частотных характеристик.

Расчеты с моделью показывают, что при сохранении общего вида графиков значения, полученные для «подробной модели», отличаются от линеаризованной модели (см. рис. 3.18 — 3.19)

Рисунок 3.1.18 – АЧХ подробной модели привода, полученная прямым моделированием.

Рисунок 3.1.19 – ЛАХ подробной модели привода, полученная прямым моделированием.

Использование прямого моделирования для получения характеристик является более надежным способом и работает не только с линейными моделями, но также может быть применимо для построения характеристик некоторых реальных объектов, если их можно подключить к среде моделирования и воздействовать в реальном режиме времени. Однако затраты на вычисления значительно будут больше. Например, для получения характеристик демпфера пришлось выполнить процесс в 40 000 секунд модельного времени, на обычном компьютере это заняло порядка 35 минут. График процесса перемещения плунжера в процессе вычисления характеристик приведен на рисунке 3.1.20.

Рисунок 3.1.20 – Перемещения плунжера в процессе моделирования.

Блок «Гармонический анализатор» имеет выходы:
Re(w*t) – текущее значение действительной части амплитудно-фазовой частотной характеристики исследуемой системы;
Im(w*t) – текущее значение мнимой части амплитудно-фазовой частотной характеристики.
Это позволяет построить годограф исследуемой системы с помощью фазового портрета. (см. рис. 3.1.21)

Рисунок 3.1.21 – Годограф системы гидравлического демпфера.

Модели, использованные для иллюстрации в лекции можно взять здесь…

Продолжение лекций:

3.2 Простейшие типовые звенья.

3.3 Апериодическое звено 1–го порядка

Содержание:

Частотные методы анализа электрических цепей:

Частотные характеристики являются компонентами комплексных функций цепи.

Комплексная функция цепи (КФЦ)

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ)

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Фазочастотная характеристика (ФЧХ)

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) (комплексная функция цепи)

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

где Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей— вещественная частотная характеристика (ВЧХ); Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей— мнимая частотная характеристика (МЧХ).

Комплексные функции простых цепей можно рассчитать непосредственно по закону Ома.

На рис.4.1 показаны АЧХ и ФЧХ, а на рис.4.2 — АФЧХ простейшей интегрирующей цепи (апериодического звена). По АЧХ определяют полосу пропускания

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Полосой пропускания П называется диапазон частот, на границах которого мощность сигнала уменьшается в 2 раза, а амплитуда (действующее значение) напряжения (тока) — в Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей раз по сравнению с максимальными значениями.

Полоса пропускания может измеряться в радианах в секунду Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей или в герцах (Гц).

Например, для простой интегрирующей цепи полоса пропускания (см. рис. 4.1)

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Для сложных цепей КФЦ рассчитывают по MKT или МУН. В табл. 4.1 приведены соотношения для расчета КФЦ, выраженные через определитель и алгебраические дополнения матрицы контурных сопротивлений и узловых проводимостей.
Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Частотные характеристики цепей с одним реактивным элементом

Примеры решения типовых задач:

Пример 4.2.1.

Определить комплексный коэффициент передачи по напряжению для дифференцирующего RC-контура (рис.4.3, а), рассчитать и построить графики АЧХ и ФЧХ.

Решение

1. Изобразим комплексную схему замещения цепи (рис. 4.3, б).
Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

2. Определим комплексное напряжение на выходе цепи в виде 

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Преобразуем полученное выражение, вынеся зa скобки в числителе и знаменателе члены, не содержащие Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей. После преобразований получимЧастотные методы анализа и расчёта электрических цепей
Следовательно.

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Введем обозначения:

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей
Величина Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей называется постоянной времени цепи и измеряется в секундах. Величина Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей имеет смысл коэффициента усиления по напряжению на постоянном токе, т. е. на частоте Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

 С учетом принятых обозначений

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Для получения аналитических выражений АЧХ и ФЧХ запишем комплексную функцию в показательной форме.
Так как выражение (4.2) есть отношение двух полиномов, то удобно числитель и знаменатель записать отдельно в показательной форме, а затем разделить:

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

3. Из (4.3) запишем АЧХ и ФЧХ соответственно:

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

4. Построим график АЧХ и ФЧХ качественно по двум точкам. Для этого рассчитаем значения Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей для крайних значений частот:

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

График АЧХ Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей (рис. 4.4, а) является кривой, монотонно возрастающей от значения Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

График функции ФЧХ Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей можно построить качественно как сумму двух графиков (рис. 4.4). Из рис. 4.4,б видно, что оба слагаемых монотонно увеличиваются: первое от нуля до +90° и вносит опережение по фазе. Второе до -90° и вносит отставание по фазе. Но первое слагаемое растет быстрее, так как Частотные методы анализа и расчёта электрических цепейчто следует из формулы (4.1). Поэтому функция Частотные методы анализа и расчёта электрических цепейследовательно, дифференцирующий -контур вносит опережение по фазе.

Исследуя функцию (4.5) на экстремум, можно показать, что она имеет максимум на частоте

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

где Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Подставляя Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей в (4.5), получим

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Графики АЧХ и ФЧХ изображены на рис. 4.4.

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Пример 4.2.2.

Для электрической цепи, изображенной на рис. 4.5, определить АЧХ Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей граничную частоту полосы пропускания. Рассчитать АЧХ, ФЧХ и построить графики, если параметры цепи: Частотные методы анализа и расчёта электрических цепейЧастотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Решение

1. Найдем комплексную функцию К(; (/ш) но формуле делителя напряжения
Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Преобразуем полученное выражение к виду
Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Обозначим:

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Следовательно,

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Отсюда: АЧХ
Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

ФЧХ

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

2. Рассчитаем граничную частоту. По определению
Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Из (4.7) найдем
Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Следовательно,
Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Из уравнения (4.9) получаем, что

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Отсюда    Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

3. Построим график функций.

Вычислим значения (4.7) и (4.8) для частот с дискретностью Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Графики и таблицы выполним в среде Mathcad (рис. 4.6).

Пример 4.2.3.

Определить комплексный коэффициент передачи интегрирующей цепи (рис. 4.7, а), используя метод контурных токов. Построить в среде Mathcad график АЧХ, определить полосу пропускания.

Параметры цепи: Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Решение

1. Представим цепь комплексной схемой замещения (рис. 4.7, б). Данная цепь имеет два независимых контура. Ток Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей в первом контуре замыкается через источник, который на схеме не изображен. Направления контурных токов выбираем одинаковыми.

2.Составим матрицы контурных сопротивлений для двух независимых контуров
Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

3.Определим комплексный коэффициент передачи, используя соотношение, приведенное в табл. 4.1.

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

где сопротивление нагрузки равно Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Подставляя найденные выражения, получаем 

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

или Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

где Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

4. Рассчитаем Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей для крайних значений частоты Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей и Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Объяснить полученные результаты можно, рассуждая так: на нулевой частоте (режим постоянного тока) сопротивление емкости бесконечно велико, ток в ней равен нулю, что эквивалентно разрыву этой ветви. При этом цепь становится резистивным делителем напряжения с передаточной функцией Частотные методы анализа и расчёта электрических цепейЧастотные методы анализа и расчёта электрических цепей С ростом частоты емкостное сопротивление уменьшается. ЕслиЧастотные методы анализа и расчёта электрических цепей то Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей и шунтирует сопротивление Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей. При этом

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей    = 0.

По полученным выражениям строим график АЧХ (рис. 4.8) и среде Mathcad.

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

5. Определяем полосу пропускания. По определению
Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Поэтому из (4.11) имеем
Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

После преобразований уравнения (4.12) получаем

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

откуда

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

или

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Следовательно, цепь имеет полосу пропускания 

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

На рис. 4.8 указана граничная частота Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Данная цепь представляет собой фильтр нижних частот с полосой пропускания Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей сигналы на частотах Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей проходят с большим затуханием.

Пример 4.2.4.

Найти комплексную передаточную проводимость Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей для цепи, изображенной на рис. 4.9, а методом узловых напряжений.

Параметры цепи: Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Определить АЧХ и ФЧХ, построить их графики в среде Mathcad.
Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Решение

1. Изобразим комплексную схему замещения цепи (рис. 4.9, б). Схема имеет два независимых узла. В данном случае Частотные методы анализа и расчёта электрических цепейЧастотные методы анализа и расчёта электрических цепей

2. Составим матрицу узловых проводимостей. При определении собственной проводимости узлов необходимо помнить, что собственная проводимость ветви, состоящей  из последовательно включенных пассивных элементов, находится из соотношения Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей, гдеЧастотные методы анализа и расчёта электрических цепей — эквивалентное сопротивление ветви. Как найти проводимость ветви с последовательно включенными Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

В начале рассчитывают комплексное сопротивление этой ветви, Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей, а затем комплексную проводимость

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Составим матрицу проводимостей цепи 1 2
Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Как видим, общие проводимости узлов взяты со знаком минус, так как узловые напряжения Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей направлены одинаково, к базисному yзлy.

3.Определим комплексную передаточную проводимость по соотношению, приведенному в табл. 4.1

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

где Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей-комплексная проводимость ветви, по которой протекает ток Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей,так как по определению

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Найдем алгебраические дополнения:

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

После подстановки найденных значений получим

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Для определении АЧХ и ФЧХ запишем выражения для модуля и аргумента Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

4. Рассчитаем значения Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей на частотах Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей
Примечание. Эти значения можно найти без вывода аналитического выражения для Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей Для этого достаточно воспользоваться эквивалентными схемами цепи на рассматриваемых частотах.

Учитывая, что Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей получим две схемы, показанные на рис. 4.10. а, б, соответственно.
Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Для первой схемы:

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Следовательно,

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Аналогично для второй схемы получим 

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

При расчете сложных схем такой прием можно применять для проверки правильности полученного аналитического выражения КФЦ.

Из (4.13) видно, что функция наметен монотонной, но для качественного построения графика АЧХ (рис. 4.11) необходимо воспользоваться ПЭВМ, например построить функцию в среде Mathcad.
Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Пример 4.2.5.

Для интегрирующего -контура (рис.4.12,а) определить комплексный коэффициент передачи по напряжению, рассчитать АЧХ, ФЧХ, ВЧХ, МЧХ. Построить графики АЧХ, ФЧХ. АФЧХ, если

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Решение

1. Составим комплексную схему замещения цепи (рис. 4.12, б).
Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

2. Определим Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей из соотношения Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей где

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Следовательно.

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

3. Для нахождения АЧХ и ФЧХ комплексную функцию Частотные методы анализа и расчёта электрических цепейпредставленную в виде отношения двух полиномов мнимой частоты Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей записывают в показательной форме

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Найдем модуль (АЧХ) и аргумент (ФЧХ) комплексной функции;

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Для определения вещественной и мнимой частотных характеристик запишем КФЦ в алгебраической форме. Для этого умножим и разделим (4.14) на комплексно-сопряженный знаменатель:

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

4. Для приближенного построения графиков АЧХ, ФЧХ. АФХ найдем значения Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей для трех значений частот: Частотные методы анализа и расчёта электрических цепейРезультаты расчетов для удобства построения графиков сведем в табл. 4.2.

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Для более точного и наглядного представления графиков воспользуемся ПЭВМ и математической средой Mathcad.

 Графики характеристик приведены на рис. 4.13.
Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

АЧХ представляет монотонно убывающую функцию (рис. 4.13, а).

ФЧХ принимает отрицательные значения, т.е. контур вносит фазовое отставание, а на частоте Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей ФЧХ имеет экстремум (рис.4.13, б). Найдем из соотношения

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Взяв производную, получим

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Решая полученное уравнение относительно Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей, найдем

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Подставляя Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей в выражение Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей определим максимальное значение фазовой частотной характеристики.

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

АФХ (рис. 4.13, в) представляет собой полуокружность, расположенную в 4-м квадрате. Центр окружности находится на оси Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей в точке с абсциссой, равной

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Радиус окружности нетрудно определить из соотношения:

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

МЧХ:

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Отрицательное значение Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей свидетельствует о том, что 

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей принимает отрицательное значения, т.е. интегрирующий контур вносит запаздывание по фазе.

5. Проверка расчетов АЧХ. Воспользуемся эквивалентными схемами цепи для  частот Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей(рис. 4.14).

На частоте Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей цепь разомкнута (рис. 4.14, а), поэтому

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

При Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей схема представляет собой резистивный делитель напряжения (рис. 4.14, б) с коэффициентом передачи

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Подставляя эти значения частот в аналитическое выражение (4.14) для Частотные методы анализа и расчёта электрических цепейполучаем

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Следовательно, расчет АЧХ выполнен верно.

Частотные характеристики последовательного колебательного контура

Основные теоретические сведения:

В последовательном колебательном контуре (рис. 4.21) возникает резонанс напряжений, если выполняется условие    

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

 т. е. Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей                     

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Резонансная частота

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Волновое сопротивление контура Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Сопротивление контура при резонансе Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Собственная добротность контура  Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Добротность нагруженного контура Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Затухание контура  Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Абсолютная расстройка   Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Относительная расстройка   Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Обобщенная расстройка

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Фактор расстройки:  Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Абсолютная полоса пропускания (рис. 4.22)
Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Относительная полоса пропускания

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Для нагруженного контура:

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Комплексные коэффициенты передачи по напряжению:

на активном сопротивлении
Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей
на индуктивности
Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

на емкости 

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Примеры решения типовых задач:

Пример 4.3.1.

Последовательный колебательный контур (рис. 4.23) подключен к источнику напряжению. Контур настроен в резонанс.

Параметры цепи: Частотные методы анализа и расчёта электрических цепейЧастотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Определить резонансную частоту, волновое сопротивление. добротность и полосу пропускания, ток и напряжения на элементах контура.

Построить АЧХ и ФЧХ по напряжению на конденсаторе в среде Mathcad.    

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Решение

1. Определяем резонансную частоту контура

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

2. Находим волновое сопротивление контура

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

3. Вычисляем добротность нагруженного контура

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

4. Определяем полосу пропускания

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

5. Рассчитываем ток и напряжения на элементах контура при резонансе

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Напряжение на R равно

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Напряжения на реактивных элементах

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

6. Рассчитаем АЧХ и ФЧХ комплексного коэффициента передачи напряжения с емкости.

Учитывая (4.22), из (4.29) получим:

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Для построения графиков АЧХ и ФЧХ, выполнения расчетов используем среду Mathcad. АЧХ, ФЧХ в виде графиков и таблиц приведены на рис. 4.24.

Следует заметить, что максимум А11Х достигается на частоте

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

т.е. при Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей смещение максимума мало, тогда Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Задача 4.3.2.

К последовательному колебательному контуру (рис. 4.25) с параметрами Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей подключена нагрузка Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Определить собственную добротность и добротность нагруженного контура, полосу пропускания нагруженного и ненагруженного контура.

Решение

1. Рассчитаем вторичные параметры ненагруженного контура:

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

2.Определим вторичные параметры наруженного контура. Так как сопротивление нагрузки активное, причем Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей то согласно (4.15) и (4.16) резонансная частота и волновое сопротивление не изменяются.

Для определения добротности рассчитаем сопротивление Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей, вносимое в контур за счет нагрузки, и построим эквивалентную схему нагруженного контура (рис. 4.25, б). Так как Частотные методы анализа и расчёта электрических цепейто
Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей
Следовательно,

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Вывод. Подключение нагрузки ухудшает добротность контура, что приводит к расширению полосы пропускания.

Пример 4.3.3.

На рис. 4.26, а изображена входная цепь приемника, а на рис. 4.26, б — ее эквивалентная схема. Известны входное сопротивление и входная емкость транзистора входного каскада УВЧ: Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей. На резонансной частоте антенна наводит в контуре ЭДС Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей Емкость конденсатора Частотные методы анализа и расчёта электрических цепейкатушка индуктивности имеет Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Определить абсолютную полосу пропускания и ток в контуре на резонансной частоте.

Решение

1. Определяем эквивалентную емкость контура

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

2. Рассчитываем резонансную частоту контура

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

3. Находим волновое сопротивление и сопротивление, вносимое в контур за счет транзистора усилителя (рис. 4.26, в):

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

4. Определяем добротность нагруженного контура
Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

5. Рассчитаем абсолютную полосу пропускания нагруженного контура

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

6. Находим ток в контуре

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Пример 4.3.4.

Рассчитать емкость последовательного колебательного контура, если резонансная частота контура Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей полоса пропускания Частотные методы анализа и расчёта электрических цепейпри сопротивлении потерь 0,5 Ом.

Построить АЧХ и ФЧХ комплексного коэффициента передачи напряжения с индуктивности в среде Mаthcad.

Решение

1. Определим требуемую добротность контура

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

2. Рассчитаем емкость конденсатора. Из формулы Частотные методы анализа и расчёта электрических цепейнайдем

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

3. Рассчитаем АЧХ и ФЧХ.

Воспользуемся комплексным коэффициентом передачи напряжения с индуктивности по формуле (4.28). Учитывая 4.22), запишем:

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Вычислим значения функций на частотах:

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Определим частоту, при которой АЧХ имеет максимум

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Смещением частоты Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей можно пренебречь.

Результаты расчетов АЧХ и ФЧХ б графическом и табличном видах приведены на рис. 4.27.

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Частотные характеристики параллельного колебательного контура

Основные теоретические сведения:

Параллельный колебательный контур образуется путем параллельного соединения катушки индуктивности и конденсатора. Оба элемента, кроме основного эффекта (запасания энергии), имеют потери энергии. В расчетной схеме (рис. 4.29, а) тепловые потери в элементах учтены включением условных сопротивлений Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

где резонансная частота колебанийЧастотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Для реального контура Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей поэтому при расчете можно полагать, что

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

При резонансе сопротивление контура является активным, поэтому ток Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей в цепи и напряжение Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей в контуре синфазны. Эквивалентные схемы цепи в режиме резонанса токов показаны на рис. 4.31, а, б.

Сопротивление параллельного колебательного контура при резонансе максимально и равно (без учета внешней цепи)
Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей
где  Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей
Добротность Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей нагруженного контура меньше собственной добротности Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей Ее можно выразить через сопротивления элементов цепи

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

или через их проводимости

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Важными параметрами цепи при резонансе являются токи в ветвях и напряжение на контуре. Ток в обшей ветви (ток источника) при резонансе минимален и равен (см. рис. 4.31)

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

При этом напряжение на контуре максимально и равно

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Токи в индуктивности и в емкости при резонансе равны по значению и противоположны по направлению. Они образуют замкнутый ток в контуре, равный

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Частотные свойства параллельного колебательного контура обычно оценивают по нормированной АЧХ

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

где Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей-обобщенная расстройка контура без учета внешних цепей; Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей — фактор расстройки.

Параллельный контур, показанный на рис. 4.29, имеет по одной реактивности в ветвях. Такой контур называется простым или контуром I вида. Для уменьшения шунтирующего действия внешних цепей часто применяют сложные параллельные контуры.

На рис. 4.32, а, б, в показаны контуры II, (III и IV) видов, соответственно.

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Главной особенностью этих контуров является то, что их резонансное сопротивление меньше резонансного сопротивления простого контура с такими же параметрами.

Сопротивление контуров (рис.4.32) при резонансе рассчитывается по формулам, соответственно:

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

где Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей — коэффициенты включения:

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Примеры решения типовых задач:

Пример 4.4.1.

Параллельный контур (см. рис. 4.29, а) подключен к источнику с параметрами Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей Контур настроен в резонанс на длину волны, равную 1000 м.

Параметры катушки индуктивности: Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Определить действующие значения тока в контуре, тока на входе цепи и напряжения на контуре при резонансе, абсолютную и относительную полосы пропускания контура, добавочное сопротивление необходимое для расширения полосы пропускания в 2 раза.

Решение

1. Определим резонансную частоту колебания

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

2. Рассчитаем волновое сопротивление

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

3. Определим сопротивление контура при резонансе

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

4. Найдем действующее значение тока на входе контура (см. рис. 4.31, а) при резонансе

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

5. Определим соответственную добротность контура

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

6. Найдем ток в контуре и напряжение на нем:

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

7.  Определим добротность нагруженного контура

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

8. Рассчитаем абсолютную и относительную полосы пропускания:

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

9.  Определяем добавочное cопротивление Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей из (4.31)

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Пример 4.4.2.

Рассчитать полосу пропускания колебательного контура (см. рис. 4.30, а).

Дано: Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Определить сопротивление Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей шунта, необходимого для расширения полосы пропускания до 10 кГц.

Решение

1. Рассчитаем волновое сопротивление и резонансную частоту контура:

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

2.Рассчитаем добротность цепи без шунта. Воспользуемся трехветвевой эквивалентной схемой цепи и соотношением (4.32). Найдем проводимость элементов схемы:

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Тогда

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

3. Определим полосу пропускания

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

4. Найдем сопротивление шунта, необходимою для расширения полосы до 10 кГц,

В этом случае добротность цепи должна быть равна

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Тогда из (4.32) получаем

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Следовательно, сопротивление шунта должно быть равно

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Пример 4.4.3.

Параллельный колебательный контур с параметрами: Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей подключен к источникуЧастотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Определить собственную добротность контура, добротность нагруженного контура, абсолютную полосу пропускания и граничные частоты полосы пропускания. Построить резонансную кривую по напряжению на ЭВМ.

Решение

1. Определим волновое сопротивление контура

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

2. Рассчитаем собственную добротность контура

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

3. Найдем сопротивление контура при резонансе

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

4. Определим добротность нагруженного контура по формуле (4.31)

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

5. Рассчитаем резонансную частоту

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

6. Найдем полосу пропускания

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

7. Определим граничные частоты полосы пропускания:

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

8. Построим резонансную характеристику контура но напряжению. Из выражения (4.33) запишем

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Напряжение па контуре при резонансе 

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Для построения резонансной характеристики задаемся характерными значениями частот: Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей Результаты расчетов в графическом виде представлены на рис. 4.33.

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Пример 4.4.4.

Определить резонансную частоту, эквивалентное сопротивление при резонансе и добротность сложного контура (рис. 4.32, а), подключенного к источнику напряжения.

Дано: Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Решение

1. Определим резонансную частоту и сопротивление параллельного контура при резонансе:

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Сопротивление контура при резонансе

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

2. Рассчитаем эквивалентное сопротивление сложного контура II вида

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

3. Найдем добротность нагруженного контура II  вида

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Сравним значения Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей с добротностью простого нагруженного контура

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Вывод. За счет неполного включения индуктивности Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей уменьшилось шунтирующее действие источника. Поэтому добротность сложного контура больше, чем простого с теми же параметрами элементов.

Частотные характеристики связанных колебательных контуров

Основные теоретические сведения:

С целью повышения коэффициента прямоугольности АЧХ контуров применяют связанные контуры последовательного и параллельного питания (рис. 4.37, а, б).

Частотные характеристики связанных контуров рассмотрим на примере системы из двух контуров.
Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Эквивалентные схемы связанных контуров

Во всех случаях систему связанных контуров можно представить в виде Т- или П-образной эквивалентной схемы (рис. 4.38).

Количественной характеристикой связи является сопротивление связи Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей в Т-образной эквивалентной схеме (рис. 4.38,а) или проводимость связи Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей в П-образной эквивалентной схеме (рис. 4.38, б).

Удобным параметром для оценки связи является коэффициент связи

В случае реактивной связи для Т-образной схемы

Для П-образной схемы

где — сопротивление (проводимость) связи;Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей— сопротивления (проводимости) контуров, однотипные элементу связи. Для анализа связанных контуров удобно применять схемы, приведенные к первичному (рис. 4.39, а) или ко вторичному (рис. 4.39, б) контуру.

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Для этого используют понятия вносимого сопротивления Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей и вносимой проводимости Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей Эти схемы представляют собой одиночные последовательные (параллельные) контуры с параметрами:

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Резонансы в связанных контурах:

При настройке контуров в резонанс добиваются максимального тока (напряжения) во вторичном контуре.

Настройка связанных контуров может производиться различными способами, поэтому различают шесть резонансов. В табл. 4.3, 4.4 приведены виды и условия резонансов, способы настройки и соотношения для токов (напряжений) в связанных контурах последовательного (параллельного) питания.

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Резонансные характеристики связанных контуров:

Для двух неидентичных связанных контуров: последовательного питания

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

где   Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

параллельного питания:

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

где Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей— параметр связи. 

Если контуры идентичны, то обобщенная расстройка Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

На рис. 4.40 приведены резонансные характеристики при различных факторах связи.

Относительная полоса пропускания:

а) связь слабая Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

б) связь критическая Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

в) связь сильная Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

При Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей достигается максимально возможная полоса пропускания Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Примеры решения типовых задач:

Пример 4.5.1.

В системе двух индуктивно связанных контуров (см. рис.4.37,а) известны следующие параметры: коэффициент связи

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепейЧастотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Определить емкость Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей при которой в системе наступает первый частный резонанс, если частота источника равна 500 кГц.

Решение

Емкость конденсатора Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей определим но реактивному сопротивлению первого контура:

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

отсюда

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Определим реактивное сопротивление Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей, первого контура из условия первого частного резонанса (см. табл. 4.3)

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Peaктивное сопротивление второго контура 

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепейЧастотные методы анализа и расчёта электрических цепейЧастотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Рассчитаем полное сопротивление второго контура 

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Определим сопротивление связи контуров

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Следовательно

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Находим емкость первого контура

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Пример 4.5.2.

Рассчитать емкости связанных контуров (см. рис. 4.37,а) и оптимальное сопротивление связи, если система настроена и полный резонанс. Определить токи, мощности в контурах при этом режиме, а также КПД системы.

Дано: Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Решение

1. Определим емкость конденсатора Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей, полагая, что

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Отсюда

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

2.  Сопротивление оптимальной связи при полном резонансе

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

3. Рассчитаем токи в первом и втором контурах при полном резонансе

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

4. Определим активные мощности в первом и втором контурах и КПД связанных контуров:

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Пример 4.5.3.

На рис. 4.37, а показана система из двух идентичных связанных контуров с параметрами: Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей Рассчитать полосы пропускания одиночного контура и связанных контуров при различной связи: Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Решение

1. Определим полосу пропускания одиночного контура 

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

2. Рассчитаем полосу пропускания системы связанных контуров:

1)  определим параметр связи для Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Таким образом при Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей связь меньше критической Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей При этом относительная полоса пропускания

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Абсолютная полоса пропускания (рис. 4.41, резонансная кривая А = 0,5)

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

2) при Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей параметр связи Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей Таким образом, коэффициент связи является оптимальным, а связь критическая, система настроена в полный резонанс. Полоса пропускания в этом случае

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

3) если Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей то параметр связи Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей следовательно, связь больше критической.

Рассчитаем полосу пропускания для этого случая.

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Вид резонансных кривых по току и полоса пропускания для критической и сильной связи показаны на рис. 4.41, кривые А = 1 и А = 2.
Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Пример 4.5.4.

Антенный контур (см. рис. 4.37,б) индуктивно связан с входным контуром усилителя высокой частоты. Оба контура настроены в резонанс на частоту Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей принимаемого сигнала. В антенном контуре наводится Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Дано: Частотные методы анализа и расчёта электрических цепейЧастотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Входное сопротивление УВЧ считать бесконечно большим.

Определить емкости и добротности контуров, их взаимную индуктивность, а также ток и напряжение на емкости во вторичном контуре.

Решение

1.Емкости контуров определим из формулы резонансной частоты. Емкость конденсатора первого контура

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Емкость конденсатора второго контура

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей
2. Рассчитаем волновое сопротивление контуров:

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей
3. Рассчитаем добротности контуров и параметр связи:

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей
4. Определим взаимную индуктивность двух связанных контуров

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

5. Рассчитаем ток во вторичном контуре. Известно (см. табл. 4.3), что при полном резонансе Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Тогда, учитывая, что контуры настроены в резонанс, то из (4.34) получаем

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Оба контура по условию настроены в резонанс, поэтому расстройки равны нулю:

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

С учетом этого рассчитаем ток во втором контуре

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

6. Найдем напряжение на конденсаторе вторичного контура

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Пример 4.5.5.

На рис. 4.42 приведена схема одного каскада УПЧ радиоприемника, в котором избирательность обеспечивается двумя связанными контурами с емкостной связью. Оба контура настроены в резонанс на промежуточную частоту Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Эквивалентная схема этого каскада (рис. 4.43) имеет следующие параметры: Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Определить емкости и добротности контуров, емкость связи, напряжение на емкости во вторичном контуре, а также полосу пропускания каскада УПЧ.

Решение

1. Из формулы резонансной частоты найдем емкость первого контура. С учетом влияния выходной емкости транзистора Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей и емкости монтажа получаем

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Емкость второго контура с учетом влияния входной емкости транзистора Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей и емкости монтажа

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

2. Определим емкость связи

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

3. Рассчитаем добротности нагруженных контуров при отсутствии связи между ними. Для расчета воспользуемся формулой (4.31)
Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

где

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

где

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

4. Рассчитаем параметр связи Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

5. Рассчитаем напряжение на втором контуре. Известно (см. табл. 4.4), что при полном резонансе

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Тогда, учитывая, что контуры настроены в резонанс Частотные методы анализа и расчёта электрических цепейиз (4.35) получаем

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Найдем проводимость контуров

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Тогда

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

6. Рассчитаем полосу пропускания каскадов УПЧ. учитывая, что А = 1,2.

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Частотные методы расчета и построения переходных и установившихся процессов в электрических цепях

Основные теоретические сведения:

Зная частотную характеристику электрической цепи Частотные методы анализа и расчёта электрических цепейЧастотные методы анализа и расчёта электрических цепей можно определить ее выходную величину при подаче на вход синусоидального (гармонического) сигнала. Действительно, если на вход цепи подано синусоидальное напряжение комплексное изображение которого Частотные методы анализа и расчёта электрических цепейЧастотные методы анализа и расчёта электрических цепей то в установившемся режиме комплексное изображение выходного напряжения

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

где Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей амплитуда и сдвиг по фазе выходных колебаний соответственно.

С помощью частотной характеристики электрической цели можно не только определить выходную величину цепи в установившемся режиме при гармоническом входном воздействии, но и найти реакцию цепи в переходном процессе на произвольное воздействие Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей. Действительно, представляя это воздействие в зависимости от того, является оно периодической или непериодической функцией, в виде ряда или интеграла Фурье, т.е. в виде бесконечной суммы гармонических колебаний. По частотной характеристике можно определить реакцию электрической цепи на каждое из этих элементарных колебаний, а затем, просуммировав все реакции, найти результирующую реакцию в виде суммы или интеграла [4].

Найдем реакцию цепи на единичную ступенчатую функцию (т.е. найдем переходную функцию цепи), используя ее частотную характеристику. Как известно, интеграл Фурье для единичной ступенчатой функции имеет вид

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

т.е. единичная ступенчатая функция может быть представлена как бесконечная сумма элементарных колебаний вида Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Каждому из этих колебаний соответствует выходное колебание Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей а реакция системы на единичную ступенчатую функцию выражается интегралом

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Представляя Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей в алгебраической форме Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей и преобразуя выражение (4.37), получаем следующую формулу для переходной функции |4, 6|:

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

где Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей — вещественная частотная характеристика (ВЧХ) КФ электрической цепи. Полученное выражение связывает ВЧХ КПФ цепи с ее переходной функцией. Таким образом, при частотном методе анализа косвенной характеристикой переходной функции является вещественная частотная характеристика КФ электрической цепи.

Построение переходной функции с помощью вещественной частотной характеристики методами численного интегрирования:

Выражение (4.38) позволяет вычислить переходную функцию ЭЦ и определить качество переходного процесса. Однако интегрирование этого выражения аналитическими методами — задача весьма трудоемкая, а чаще всего просто практически невыполнимая. С применением современных ЭВМ и методов численного интегрирования (метод прямоугольников, трапеций, метод Симпсона и др.) эта задача существенно упрощается, ее решение сводится к составлению программы для ПЭВМ. В инженерной практике интегрирование достаточно осуществлять в области существенных частот от Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей В области частот Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей влияние ВЧХ Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей на переходную функцию (4.38) мало и им можно пренебречь. В dtom случае используют модифицированное выражение от (4.38) [4]

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

В результате интегрирования получают совокупность значений Частотные методы анализа и расчёта электрических цепейпереходной функции системы и исследуемом интервале времени и строят график переходной функции, по которой определяют показатели качества переходного процесса.

В качестве примера построения алгоритма численного интегрирования рассмотрим интегрирование с точки зрения простоты вычислений и точности результата. Сущность метода заключается в следующем. Пусть необходимо вычислить определенный интеграл

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Вид подынтегральной функции, соответствующей выражению

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

при фиксированном времени Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей приведен на рис. 4.47, кривая Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей для t = 10 с, кривая 2 для Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей, а кривая 3 изображает ВЧХ электрической цепи. Функция Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей представляет функцию Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей модулированную «замечательным» синусом. Известно, что интеграл (4.40) численно равен площади под кривой функции Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей Если интервал аргумента Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей разбить на Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей равных частей, то длина одного интервала будет равна Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей Площадь под кривой можно аппроксимировать суммой площадей прямоугольных трапеций с основаниями Частотные методы анализа и расчёта электрических цепейЧастотные методы анализа и расчёта электрических цепей и высотой Частотные методы анализа и расчёта электрических цепейТогда интеграл (4.40) можно представить как сумму площадей прямоугольных трапеций:

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Очевидно, что погрешность численного интегрирования зависит и от выбора числа интервалов Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей разбиения аргумента Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей при конкретном времени Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей При увеличении времени , как видно из рис. 4.47, период подынтегральной функции уменьшается. Следовательно, необходимо увеличивать число интервалов, которое определился выражением
Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

При этом одно полное колебание подынтегральной функции представляется не менее чем шестнадцатью трапециями.

В качестве примера для построения переходной функции возьмем электрическую цепь, ВЧХ которой была построена и приведена на рис. 4.47 (кривая 3). На рис. 4.48 приведена переходная функция этой сложной электрической цепи.

Переходная функция на рис. 4.48 получена с помощью пакета ПП «Сигнал» [5].

Для вычисления интеграла (4.39) необходимо определить значение частоты для верхнего предела интегрирования Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей Это значение легко может быть определено из кривой вещественной частотной характеристики (ВЧХ) КФ электрической цепи. В качестве примера возьмем простую интегрирующую цепь (см. рис. 4.1), КФ которой имеет вид

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Алгебраическая форма КФ
Частотные методы анализа и расчёта электрических цепейЧастотные методы анализа и расчёта электрических цепей

где Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей — вещественная и мнимая части КФ. Построим кривуюЧастотные методы анализа и расчёта электрических цепей (рис. 4.49) в среде Mathcad, если Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей.

Из графика ВЧХ видно, что при Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей Влияние ВЧХ в области больших частот на переходную функцию несущественно, поэтому за частоту Частотные методы анализа и расчёта электрических цепейможно принять частоту, при которой ВЧХ принимает значение Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей Эту частоту принято называть «существенной частотой» и обозначать Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей. В нашем примере Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей Переходная функция, вычисленная по выражению (4.39), приведена на рис. 4.49.
Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Для случая электрических цепей с дифференцирующими свойствами может оказаться, что при Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей ВЧХ КФ этой цепи Частотные методы анализа и расчёта электрических цепейТогда для расчета переходной функции необходимо использовать мнимую частотную характеристику (МЧХ) в соответствии с выражением

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Приведенный пример наглядно показывает, что использование частотных характеристик для построения временных характеристик с помощью ЭВМ существенно расширяет возможности частотных методов анализа электрических цепей.

Спектральный метод расчета и построения выходных величин электрических цепей при сложных входных воздействиях:

Применение частотных методов при анализе и синтезе электрических цепей с требуемыми динамическими характеристиками и использованием ЭВМ позволяет не только строить переходные характеристики, но и строить реакцию цепи на любые детерминированные воздействия, оценивать их в установившихся режимах.

Математической основой частотных методов анализа электрических цепей и систем автоматического управления является обратное преобразование Фурье, позволяющее получать изображение выходного сигнала системы y(t) с помощью вещественной и мнимой частотных характеристик систем. В свою очередь, по вещественной или мнимой частотным характеристикам можно построить переходный процесс выходной величины и оценить реакцию цепи в переходном и установившемся режимах.

Как известно, реакция системы определяется по формуле обратного преобразования Фурье [4]

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

где Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

После соответствующих преобразований выражение (4.46) примет вид:

I) для ступенчатой входной функции Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей спектром Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

2) для линейной входной функции Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей со спектром Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей
Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей
y{t) = vP(0)t+±l
2 r0(
Л» И
(4.48)
О)
3) для параболической входной функции Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей со спектром Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей
4) для полиномиального воздействия видаЧастотные методы анализа и расчёта электрических цепей 

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Применение ЭВМ и численных методов интегрирования позволяет отказаться от графических и табличных методов построения переходных и других необходимых функций в электрических цепях.

Примеры решения типовых задач:

Пример 4.6.1.

Определить комплексный коэффициент передачи по напряжению для дифференцирующего Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей-контура (рис. 4.50,а), рассчитать и построить переходную функцию контура с помощью ВЧХ.

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Решение

1. Изобразим комплексную схему замещения цепи (рис. 4.50, б).

2. Определим комплексное напряжение на выходе цепи в виде

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Преобразуем полученное выражение, вынеся за скобки в числителе и знаменателе члены, не содержащие Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей После преобразований получим
Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей
Следовательно
Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей
Введем обозначения:

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Величина Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей называется постоянной времени цепи и измеряется в секундах. Величина k имеет смысл коэффициента усиления по напряжению на постоянном токе, т. е. на частоте Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей С учетом принятых обозначений

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Для получения аналитических выражений ВЧХ и МЧХ запишем комплексную функцию и алгебраической форме

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепейЧастотные методы анализа и расчёта электрических цепей

где Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Примем:Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Для определения частоты Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей в среде Mathcad построим кривые ВЧХ и МЧХ (рис. 4.51).

Из частотных характеристик КПФ принимаем Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей Для построения переходной функции воспользуемся выражением (4.45). Построение проведем также в среде Mathcad.Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Переходная функция, показанная на рис.4.52, соответствует дифференцирую щему фазоопережающему контуру, который широко применяется в электронных и радиотехнических устройствах, системах автоматического управления.

Пример 4.6.2.

Для электрической цепи, изображенной на рис, 4.53, определить КПФ Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей построить ВЧХ Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей и МЧХ Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей. Рассчитать и построить график переходной функции. Параметры цепи: Частотные методы анализа и расчёта электрических цепейЧастотные методы анализа и расчёта электрических цепей  Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Решение

1. Найдем комплексную функцию Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей по формуле делителя напряжения

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Преобразуем полученное выражение к виду 

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Обозначим:

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Следовательно,

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Для получения аналитических выражений ВЧХ и МЧХ запишем комплексную функцию и алгебраической форме

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепейЧастотные методы анализа и расчёта электрических цепейЧастотные методы анализа и расчёта электрических цепей

где Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Для определения частоты Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей в среде Mathcad построим кривые ВЧХ и МЧХ (рис. 4.54).

По виду ВЧХ и МЧХ определяем, что для построения переходной функции необходимо применить МЧХ. Примем из графика МЧХ Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей Переходная функция и программа для ее вычисления и построения приведена на рис. 4.55.

Из рис. 4.55 видно, что переходная функция соответствует интегрирующему контуру.
Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Пример 4.6.3.

Определить комплексный коэффициент передачи интегрирующей цепи (рис. 4.56, а), используя метод контурных токов. Построить в среде Mathcad графики АЧХ, ВЧХ, МЧХ. Рассчитать и построить эпюру входного и выходного напряжения, если на вход цепи поступает напряжение вида Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей где Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Параметры цепи: Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Решение

1.Представим цепь комплексной схемой замещения (рис. 4.56, б). Данная цепь имеет два независимых контура. Ток Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей в первом контуре замыкается через источник, который на схеме не изображен. Направление контурных тиков выбираем одинаковым.

2.Составим матрицы контурных сопротивлений для двух независимых контуров

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

3.Определим комплексный коэффициент передачи, используя соотношение, приведенное в табл. 4.1.

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

где сопротивление нагрузки Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Подставляя найденные выражения, получаем
Частотные методы анализа и расчёта электрических цепейЧастотные методы анализа и расчёта электрических цепей

т.е.  Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

где  Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

4. Рассчитаем Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей для крайних значений частоты Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей и Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Объяснить полученные результаты можно, рассуждая так: на нулевой частоте (режим постоянного тока) сопротивление емкости бесконечно велико, ток в ней равен нулю, что эквивалентно разрыву этой ветви. При этом цепь становится резистивным делителем напряжения с передаточной функцией Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей = = 0,75. С ростом частоты емкостное сопротивление уменьшается. Если Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей   тоЧастотные методы анализа и расчёта электрических цепей и шунтирует сопротивлениеЧастотные методы анализа и расчёта электрических цепей. При этом

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

5.Определим выражения для АЧХ, ВЧХ, МЧХ. Представим КГ1Ф (4.55) в алгебраической форме

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

где Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей вещественная частотная характеристика:

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей — мнимая частотная характеристика.
Амплитудно-частотную характеристику запишем в виде

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

6. В среде Mathcad построим частотные характеристики и определим Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

По ВЧХ на рис. 4.57 определяем, что существенная частота Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

7. Построим переходную функцию электрической цепи, которая представлена на рис. 4.58.

Переходная функция электрической цепи соответствует апериодическому звену.

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

8. Построим реакцию электрической цепи на напряжение, изменяющееся но линейному закону (рис. 4.59).

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

  • Операторные передаточные функции
  • Свободные колебания в пассивных электрических цепях
  • Цепи с распределёнными параметрами
  • Волновые параметры длинной линии
  • Энергетические характеристики двухполюсников
  • Комплексные функции электрических цепей
  • Гармонические колебания в колебательном контуре
  • Частотные характеристики линейных электрических цепей

Коэффициент усиления по напряжению, току или мощности показывает, во сколько раз установившееся напряжение (ток или мощность) на выходе усилителя больше, чем на входе, и определяется как отношение напряжения (тока или мощности) на выходе усилителя к его одноименному значению на входе: Ku = Uвых/Uвх.; Кa =Iвых/Iвх; Кp = Рвых/Pвх. Зависимость К от частоты называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) усилителя.

Амплитудно-частотная характеристика. Рисунки взяты с yandex.ru
Амплитудно-частотная характеристика. Рисунки взяты с yandex.ru

Здесь по горизонтали отложена обычная частота f. Вместо f можно откладывать и угловую частоту Омега w (обозначается не совсем так, лучше посмотреть латинский алфавит). w= 2пf, где п – константа равная 3.14.

Греческий алфавит. На него часто будут опираться в электронике, схемотехнике, физике и электродинамике. Рисунки взяты с yandex.ru
Греческий алфавит. На него часто будут опираться в электронике, схемотехнике, физике и электродинамике. Рисунки взяты с yandex.ru

Для АЧХ типичным является наличие области средних частот, в которой коэффициент усиления почти не зависит от частоты и обозначается Ко.

Как правило так же обозначается и максимальный коэффициент усиления, часто эти два понятия приравнивают друг к другу. Его иногда называют номинальным коэффициентом усиления.

Чаще всего на АЧХ во вертикальной оси используют относительный масштаб, откладывая нормированное значение коэффициента усиления. Км=К/Ко, тогда Ко в действительности примет значение равное 1. И тогда АЧХ Км(f) называется нормированной.

Частоты, на которых относительное усиление уменьшается до условного уровня, равного 0.707 или 0.7, называют граничными: fв и fн – соответственно верхняя и нижняя. Диапазон частот от fн и fв называется полосой пропускания П= fв-fн.

Наглядное представление АЧХ и уровня сигнала в дБ. Рисунки взяты с yandex.ru
Наглядное представление АЧХ и уровня сигнала в дБ. Рисунки взяты с yandex.ru

Коэффициент усиления мощности можно выразить в более мелких единицах – децибелах (дБ): Кp, ДБ= 10 lgKp.

Эту запись можно преобразовать для нахождения коэффициента усиления по напряжению. Отсюда,

10 lg((U^2вых/R)/(U^2вх/R) = 20 lg Uвых/Uвх.

Уровень граничных частот можно также найти по уровню сигнала измеряемого в дБ. Чтобы найти граничные частоты, необходимо опуститься на 3 дБ.

Фазочастотная характеристика

Один из примеров ФЧХ. Рисунки взяты с yandex.ru
Один из примеров ФЧХ. Рисунки взяты с yandex.ru

Зависимость от частоты фазового сдвига “фи”, вносимого усилителем, называется его фазочастотной характеристикой.

Фазочастотная характеристика (ФЧХ) — зависимость разности фаз между выходным и входным сигналами от частоты сигнала, функция, выражающая (описывающая) эту зависимость, также — график этой функции. Для линейной электрической цепи, зависимость сдвига по фазе между гармоническими колебаниями на выходе и входе этой цепи от частоты гармонических колебаний на входе.

Она показывает, что время прохождения через усилитель различных спектральных составляющих сложного колебания различно. Это приводит к искажению его формы, которые называются фазочастотными или фазовыми.

На практике ФЧХ используется реже, чем АЧХ, ввиду меньшей значимости и сравнительной сложности измерений фазовых сдвигов. Частотные и фазовые искажения называются линейными, так как создаются емкостями и индуктивностями схемы, которые являются линейными элементами. Они искажают форму лишь сложного колебания, а форму гармонического (синусоидального) колебания не изменяют.

Амплитудная характеристика

Так же существует еще такой параметр как амплитудная характеристика (АХ), не стоит путать с АЧХ.

Амплитудная характеристика (АХ) — зависимость амплитуды выходного сигнала от амплитуды входного сигнала устройства.

Как правило, амплитудная характеристика определяется при гармоническом входном сигнале и используется для оценки линейности устройств.

Амплитудная характеристика усилителя. Рисунки взяты с yandex.ru
Амплитудная характеристика усилителя. Рисунки взяты с yandex.ru

Нелинейность АХ приводит к искажению формы сигнала на выходе канала из-за влияния появляющихся гармоник. Поэтому рабочую точку (РТ) выбирают на линейном участке АХ.

Стоит пояснить, что “бета” называю коэффициентом связности или коэффициентом передачи. Остальное должно быть понятно исходя из сокращений.

Переходная характеристика

Переходная характеристика усилителя. Рисунки взяты с yandex.ru
Переходная характеристика усилителя. Рисунки взяты с yandex.ru

Переходная характеристика (ПХ) – отражает зависимость мгновенного значения выходного напряжения или коэффициента усиления от времени при подаче на вход усилителя единичного скачка напряжения.

Зная одну из характеристик, всегда можно получить оставшиеся две. Физически это означает, что форма АЧХ, ФЧХ, ПХ определяется одними и теми же элементами схемы. Так, эквивалентные схемы, описывающие поведение каскада в области верхних частот (ВЧ), соответствуют схемам для области малых времен. А схемы для области нижних частот (НЧ) – схемам для области больших времен.

Добавить комментарий