Как найти фокальный параметр параболы онлайн - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

bold{mathrm{Basic}}

bold{alphabetagamma}

bold{mathrm{ABGamma}}

bold{sincos}

bold{gedivrightarrow}

bold{overline{x}spacemathbb{C}forall}

bold{sumspaceintspaceproduct}

bold{begin{pmatrix}square&square\square&squareend{pmatrix}}

bold{H_{2}O}

square^{2}

x^{square}

sqrt{square}

nthroot[msquare]{square}

frac{msquare}{msquare}

log_{msquare}

theta

infty

int

frac{d}{dx}

ge	le	cdot	div	x^{circ}	(square)	\|square\|	(f:circ:g)	f(x)	ln	e^{square}
left(squareright)^{‘}	frac{partial}{partial x}	int_{msquare}^{msquare}	lim	sum	sin	cos	tan	cot	csc	sec

alpha	beta	gamma	delta	zeta	eta	theta	iota	kappa	lambda	mu
nu	xi	pi	rho	sigma	tau	upsilon	phi	chi	psi	omega

A	B	Gamma	Delta	E	Z	H	Theta	K	Lambda	M
N	Xi	Pi	P	Sigma	T	Upsilon	Phi	X	Psi	Omega

sin	cos	tan	cot	sec	csc	sinh	cosh	tanh	coth	sech
arcsin	arccos	arctan	arccot	arcsec	arccsc	arcsinh	arccosh	arctanh	arccoth	arcsech

begin{cases}square\squareend{cases}	begin{cases}square\square\squareend{cases}	=	ne	div	cdot	times	<	>	le	ge
(square)	[square]	▭:longdivision{▭}	times twostack{▭}{▭}	+ twostack{▭}{▭}	– twostack{▭}{▭}	square!	x^{circ}	rightarrow	lfloorsquarerfloor	lceilsquarerceil

overline{square}	vec{square}	in	forall	notin	exist	mathbb{R}	mathbb{C}	mathbb{N}	mathbb{Z}	emptyset
vee	wedge	neg	oplus	cap	cup	square^{c}	subset	subsete	superset	supersete

int	intint	intintint	int_{square}^{square}	int_{square}^{square}int_{square}^{square}	int_{square}^{square}int_{square}^{square}int_{square}^{square}	sum	prod
lim	lim _{xto infty }	lim _{xto 0+}	lim _{xto 0-}	frac{d}{dx}	frac{d^2}{dx^2}	left(squareright)^{‘}	left(squareright)^{”}	frac{partial}{partial x}

(2times2)	(2times3)	(3times3)	(3times2)	(4times2)	(4times3)	(4times4)	(3times4)	(2times4)	(5times5)
(1times2)	(1times3)	(1times4)	(1times5)	(1times6)	(2times1)	(3times1)	(4times1)	(5times1)	(6times1)	(7times1)

mathrm{Radians}	mathrm{Degrees}	square!	(	)	%	mathrm{clear}
arcsin	sin	sqrt{square}	7	8	9	div
arccos	cos	ln	4	5	6	times
arctan	tan	log	1	2	3	–
pi	e	x^{square}	0	.	bold{=}	+

Subscribe to verify your answer

Number Line

Examples

foci (y-2)=3(x-5)^2
foci:3x^2+2x+5y-6=0
foci:x=y^2
foci:(y-3)^2=8(x-5)
foci:(x+3)^2=-20(y-1)
Show More

Description

Calculate parabola focus points given equation step-by-step

parabola-foci-calculator

Formula:

x = – b / 2a
y = c – ( ( b² – 1) / 4a)
u = – b / 2a
v = ax² + bx + c
d = c – ( ( b² + 1) / 4a)

Where,
a = X² Coefficient
b = X Coefficient
c = Constant
x = Parabola Focus x-coordinate
y = Parabola Focus y-coordinate
u,v = Vertex Form
d = Parabola Directrix

All the parabola directrix calculations can be made in easier and quicker manner by using this Parabola directrix calculator.

Источник

Парабола: определение, свойства, построение

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки и заданной прямой , не проходящей через заданную точку. Это геометрическое определение выражает директориальное свойство параболы.

Директориальное свойство параболы

Точка называется фокусом параболы, прямая — директрисой параболы, середина перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису, — вершиной параболы, расстояние от фокуса до директрисы — параметром параболы, а расстояние $frac{p}{2}$ от вершины параболы до её фокуса — фокусным расстоянием (рис.3.45,а). Прямая, перпендикулярная директрисе и проходящая через фокус, называется осью параболы (фокальной осью параболы). Отрезок , соединяющий произвольную точку параболы с её фокусом, называется фокальным радиусом точки . Отрезок, соединяющий две точки параболы, называется хордой параболы.

Для произвольной точки параболы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до директрисы равно единице. Сравнивая директориальные свойства эллипса, гиперболы и параболы, заключаем, что эксцентриситет параболы по определению равен единице (e=1) .

Геометрическое определение параболы, выражающее её директориальное свойство, эквивалентно её аналитическому определению — линии, задаваемой каноническим уравнением параболы:

y^2=2cdot pcdot x,

(3.51)

Действительно, введем прямоугольную систему координат (рис.3.45,б). Вершину параболы примем за начало системы координат; прямую, проходящую через фокус перпендикулярно директрисе, примем за ось абсцисс (положительное направление на ней от точки к точке ); прямую, перпендикулярную оси абсцисс и проходящую через вершину параболы, примем за ось ординат (направление на оси ординат выбирается так, чтобы прямоугольная система координат Oxy оказалась правой).

Парабола, её фокус и фокусное расстояние, радиус, параметр, директрисса, эксцентриситет параболы

Составим уравнение параболы, используя её геометрическое определение, выражающее директориальное свойство параболы. В выбранной системе координат определяем координаты фокуса $F!left(frac{p}{2};,0right)$ и уравнение директрисы $x=-frac{p}{2}$ . Для произвольной точки M(x,y) , принадлежащей параболе, имеем:

FM=MM_d,

где $M_d!left(frac{p}{2};,yright)$ — ортогональная проекция точки M(x,y) на директрису. Записываем это уравнение в координатной форме:

$sqrt{{left(x-frac{p}{2}right)!}^2+y^2}=x+frac{p}{2}.$

Возводим обе части уравнения в квадрат: ${left(x-frac{p}{2}right)!}^2+y^2=x^2+px+frac{p^2}{4}$ . Приводя подобные члены, получаем каноническое уравнение параболы

y^2=2cdot pcdot x, т.е. выбранная система координат является канонической.

Проводя рассуждения в обратном порядке, можно показать, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (3.51), и только они, принадлежат геометрическому месту точек, называемому параболой. Таким образом, аналитическое определение параболы эквивалентно его геометрическому определению, выражающему директориальное свойство параболы.

Уравнение параболы в полярной системе координат

Уравнение параболы в полярной системе координат Frvarphi (рис.3.45,в) имеет вид

$r=frac{p}{1-ecdotcosvarphi},$ где — параметр параболы, а e=1 — её эксцентриситет.

В самом деле, в качестве полюса полярной системы координат выберем фокус параболы, а в качестве полярной оси — луч с началом в точке , перпендикулярный директрисе и не пересекающий её (рис.3.45,в). Тогда для произвольной точки M(r,varphi) , принадлежащей параболе, согласно геометрическому определению (директориальному свойству) параболы, имеем MM_d=r . Поскольку MM_d=p+rcosvarphi , получаем уравнение параболы в координатной форме:

$p+rcdotcosvarphi quad Leftrightarrow quad r=frac{p}{1-cosvarphi},$

что и требовалось доказать. Заметим, что в полярных координатах уравнения эллипса, гиперболы и параболы совпадают, но описывают разные линии, поскольку отличаются эксцентриситетами ( 0leqslant e<1 для эллипса, e=1 для параболы, e>1 для гиперболы).

Геометрический смысл параметра в уравнении параболы

Поясним геометрический смысл параметра в каноническом уравнении параболы. Подставляя в уравнение (3.51) $x=frac{p}{2}$ , получаем y^2=p^2 , т.е. y=pm p . Следовательно, параметр — это половина длины хорды параболы, проходящей через её фокус перпендикулярно оси параболы.

Фокальным параметром параболы, так же как для эллипса и для гиперболы, называется половина длины хорды, проходящей через её фокус перпендикулярно фокальной оси (см. рис.3.45,в). Из уравнения параболы в полярных координатах при $varphi=frac{pi}{2}$ получаем r=p , т.е. параметр параболы совпадает с её фокальным параметром.

Геометрический смысл параметра в каноническом уравнении параболы

Замечания 3.11.

1. Параметр параболы характеризует её форму. Чем больше , тем шире ветви параболы, чем ближе к нулю, тем ветви параболы уже (рис.3.46).

2. Уравнение y^2=-2px (при p>0 ) определяет параболу, которая расположена слева от оси ординат (рис. 3.47,a). Это уравнение сводится к каноническому при помощи изменения направления оси абсцисс (3.37). На рис. 3.47,a изображены заданная система координат Oxy и каноническая Ox'y' .

3. Уравнение (y-y_0)^2=2p(x-x_0),,p>0 определяет параболу с вершиной O'(x_0,y_0) , ось которой параллельна оси абсцисс (рис.3.47,6). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36).

Уравнение (x-x_0)^2=2p(y-y_0),,p>0 , также определяет параболу с вершиной O'(x_0,y_0) , ось которой параллельна оси ординат (рис.3.47,в). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36) и переименования координатных осей (3.38). На рис. 3.47,б,в изображены заданные системы координат Oxy и канонические системы координат Ox'y' .

Параллельный перенос параболы

4. График квадратного трехчлена y=ax^2+bx+c,~ane0 является параболой с вершиной в точке $O'!left(-frac{b}{2a};,-frac{b^2-4ac}{4a}right)$ , ось которой параллельна оси ординат, ветви параболы направлены вверх (при a>0 ) или вниз (при a<0 ). Действительно, выделяя полный квадрат, получаем уравнение

$y=aleft(x+frac{b}{2a}right)^2-frac{b^2}{4a}+c quad Leftrightarrow quad !left(x+frac{b}{2a}right)^2=frac{1}{a}left(y+frac{b^2-4ac}{4a}right)!,$

которое приводится к каноническому виду (y')^2=2px' , где $p=left|frac{1}{2a}right|$ , при помощи замены $y'=x+frac{b}{2a}$ и $x'=pm!left(y+frac{b^2-4ac}{4a}right)$ .

График квадратного трехчлена

Знак выбирается совпадающим со знаком старшего коэффициента . Эта замена соответствует композиции: параллельного переноса (3.36) с $x_0=-frac{b}{2a}$ и $y_0=-frac{b^2-4ac}{4a}$ , переименования координатных осей (3.38), а в случае a<0 еще и изменения направления координатной оси (3.37). На рис.3.48,а,б изображены заданные системы координат Oxy и канонические системы координат O'x'y' для случаев a>0 и a<0 соответственно.

5. Ось абсцисс канонической системы координат является осью симметрии параболы, поскольку замена переменной на не изменяет уравнения (3.51). Другими словами, координаты точки M(x,y) , принадлежащей параболе, и координаты точки M'(x,-y) , симметричной точке относительно оси абсцисс, удовлетворяют уравнению (3.S1). Оси канонической системы координат называются главными осями параболы.

Построение параболы в канонической системе координат

Пример 3.22. Изобразить параболу y^2=2x в канонической системе координат Oxy . Найти фокальный параметр, координаты фокуса и уравнение директрисы.

Решение. Строим параболу, учитывая её симметрию относительно оси абсцисс (рис.3.49). При необходимости определяем координаты некоторых точек параболы. Например, подставляя x=2 в уравнение параболы, получаем y^2=4~Leftrightarrow~y=pm2 . Следовательно, точки с координатами (2;2),,(2;-2) принадлежат параболе.

Сравнивая заданное уравнение с каноническим (3.S1), определяем фокальный параметр: p=1 . Координаты фокуса $x_F=frac{p}{2}=frac{1}{2},~y_F=0$ , т.е. $F!left(frac{1}{2},,0right)$ . Составляем уравнение директрисы $x=-frac{p}{2}$ , т.е. $x=-frac{1}{2}$ .

Общие свойства эллипса, гиперболы, параболы

Директориальное свойство эллипса, гиперболы, параболы

1. Директориальное свойство может быть использовано как единое определение эллипса, гиперболы, параболы (см. рис.3.50): геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки (фокуса) к расстоянию до заданной прямой (директрисы), не проходящей через заданную точку, постоянно и равно эксцентриситету , называется:

а) эллипсом, если 0leqslant e<1 ;

б) гиперболой, если e>1 ;

в) параболой, если e=1 .

2. Эллипс, гипербола, парабола получаются в сечениях кругового конуса плоскостями и поэтому называются коническими сечениями. Это свойство также может служить геометрическим определением эллипса, гиперболы, параболы.

3. К числу общих свойств эллипса, гиперболы и параболы можно отнести биссекториальное свойство их касательных. Под касательной к линии в некоторой её точке понимается предельное положение секущей , когда точка , оставаясь на рассматриваемой линии, стремится к точке . Прямая, перпендикулярная касательной к линии и проходящая через точку касания, называется нормалью к этой линии.

Биссекториальное свойство касательных (и нормалей) к эллипсу, гиперболе и параболе формулируется следующим образом: касательная (нормаль) к эллипсу или к гиперболе образует равные углы с фокальными радиусами точки касания (рис.3.51,а,б); касательная (нормаль) к параболе образует равные углы с фокальным радиусом точки касания и перпендикуляром, опущенным из нее на директрису (рис.3.51,в). Другими словами, касательная к эллипсу в точке является биссектрисой внешнего угла треугольника F_1KF_2 (а нормаль — биссектрисой внутреннего угла F_1KF_2 треугольника); касательная к гиперболе является биссектрисой внутреннего угла треугольника F_1KF_2 (а нормаль — биссектрисой внешнего угла); касательная к параболе является биссектрисой внутреннего угла треугольника FKK_d (а нормаль — биссектрисой внешнего угла). Биссекториальное свойство касательной к параболе можно сформулировать так же, как для эллипса и гиперболы, если считать, что у параболы имеется второй фокус в бесконечно удаленной точке.

Биссекториальное свойство касательных и нормалей к эллипсу, гиперболе и параболе

4. Из биссекториальных свойств следуют оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы, поясняющие физический смысл термина “фокус”. Представим себе поверхности, образованные вращением эллипса, гиперболы или параболы вокруг фокальной оси. Если на эти поверхности нанести отражающее покрытие, то получаются эллиптическое, гиперболическое и параболическое зеркала. Согласно закону оптики, угол падения луча света на зеркало равен углу отражения, т.е. падающий и отраженный лучи образуют равные углы с нормалью к поверхности, причем оба луча и ось вращения находятся в одной плоскости. Отсюда получаем следующие свойства:

– если источник света находится в одном из фокусов эллиптического зеркала, то лучи света, отразившись от зеркала, собираются в другом фокусе (рис.3.52,а);

– если источник света находится в одном из фокусов гиперболического зеркала, то лучи света, отразившись от зеркала, расходятся так, как если бы они исходили из другого фокуса (рис.3.52,б);

– если источник света находится в фокусе параболического зеркала, то лучи света, отразившись от зеркала, идут параллельно фокальной оси (рис.3.52,в).

Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы

5. Диаметральное свойство эллипса, гиперболы и параболы можно сформулировать следующим образом:

– середины параллельных хорд эллипса (гиперболы) лежат на одной прямой, проходящей через центр эллипса (гиперболы);

– середины параллельных хорд параболы лежат на прямой, коллинеарной оси симметрии параболы.

Геометрическое место середин всех параллельных хорд эллипса (гиперболы, параболы) называют диаметром эллипса (гиперболы, параболы), сопряженным к этим хордам.

Это определение диаметра в узком смысле (см. пример 2.8). Ранее было дано определение диаметра в широком смысле, где диаметром эллипса, гиперболы, параболы, а также других линий второго порядка называется прямая, содержащая середины всех параллельных хорд. В узком смысле диаметром эллипса является любая хорда, проходящая через его центр (рис.3.53,а); диаметром гиперболы является любая прямая, проходящая через центр гиперболы (за исключением асимптот), либо часть такой прямой (рис.3.53,6); диаметром параболы является любой луч, исходящий из некоторой точки параболы и коллинеарный оси симметрии (рис.3.53,в).

Два диаметра, каждый их которых делит пополам все хорды, параллельные другому диаметру, называются сопряженными. На рис.3.53 полужирными линиями изображены сопряженные диаметры эллипса, гиперболы, параболы.

Диаметральное свойство эллипса, гиперболы и параболы

Касательную к эллипсу (гиперболе, параболе) в точке можно определить как предельное положение параллельных секущих M_1M_2 , когда точки M_1 и M_2 , оставаясь на рассматриваемой линии, стремятся к точке . Из этого определения следует, что касательная, параллельная хордам, проходит через конец диаметра, сопряженного к этим хордам.

6. Эллипс, гипербола и парабола имеют, кроме приведенных выше, многочисленные геометрические свойства и физические приложения. Например, рис.3.50 может служить иллюстрацией траекторий движения космических объектов, находящихся в окрестности центра притяжения.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Координаты фокуса параболы: как найти, формула

Содержание:

Формулировка параболы в алгебре и геометрии
Что такое фокус параболы, определение
Как найти фокус параболы
- Уравнение расчета
- Чему равны координаты фокуса
Абсцисса фокуса параболы
Примеры расчета фокусного расстояния в задачах

Формулировка параболы в алгебре и геометрии

Определение

Парабола — совокупность точек на плоскости, расположенных на одинаковом удалении от фокуса F и директрисы d, в которую точка F не входит.

Парабола

Парабола является коническим сечением, или коникой. Это значит, что она возникает при пересечении плоскости с поверхностью кругового конуса. Плоскость сечения при этом параллельна одной из касательных плоскостей конуса.

Парабола в конусе

Точка пересечения параболы с ее осью называется вершиной. Она считается началом системы координат, канонической для данной кривой.

Что такое фокус параболы, определение

Определение

Расстояние от точки фокуса до любой точки параболы равняется расстоянию от этой точки к директрисе.

Если в фокус поместить источник света, все исходящие из него световые лучи после отражения от нее пойдут по прямым, параллельным оси симметрии. И наоборот, все световые лучи, идущие параллельно оси, после отражения от «стенок» кривой соберутся в одной точке. Это оптическое свойство широко применяется в конструкциях прожекторов, фар, фонарей, телескопов-рефлекторов.

Как найти фокус параболы

Уравнение расчета

Каноническое уравнение:

(y^2;=;2px)

Парабола на оси

Если расположить параболу слева от оси ординат, уравнение примет вид:

(y^2;=;-;2px)

Парабола отрицательное уравнение

Параметр p — расстояние от фокуса до директрисы, которая определяется уравнением:

(х;=;-frac p2)

Чтобы узнать расстояние r от любой точки параболы до фокуса, равное ее расстоянию до директрисы, нужно воспользоваться формулой:

(r;=;frac p2;+;x)

В полярной системе координат с центром в фокусе и направлением вдоль оси фокальный параметр можно найти по формуле:

(p;=;rho;times;(1;+;cosleft(varthetaright)))

Чему равны координаты фокуса

Фокус будет иметь координаты ((frac p2;;0)).

Абсцисса фокуса параболы

Также фокус и параметр p можно искать через так называемую фокальную хорду (Р_1Р_2).

Хорда параболы

Эта прямая, проходящая через фокус и параллельная директрисе, пересекает параболу в двух точках. Половина длины фокальной хорды будет равна параметру p, являясь абсолютной величиной ординаты любой из точек (Р_1, Р_2).

Абсцисса каждой из этих точек будет равна абсциссе фокуса (frac p2).

Для ординаты y каждой из точек (Р_1, Р_2):

(y^{2;}=;2p;times;frac p2;=;p^2).

Примеры расчета фокусного расстояния в задачах

Пример 1

Определить координаты фокуса параболы (y^{2;}=;4х).

Решение

Находим параметр p:

4 = 2p

p = 2

Координаты (1; 0).

Пример 2

Определить координаты фокуса параболы (y^{2;}=;6х).

Решение

Находим параметр p:

6 = 2p

p = 3

Координаты (1,5; 0).

Насколько полезной была для вас статья?

Рейтинг: 2.02 (Голосов: 47)

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»

Текст с ошибкой:

Расскажите, что не так

Поиск по содержимому

Источник

Number Line

Formula:

Парабола: определение, свойства, построение

Директориальное свойство параболы

Уравнение параболы в полярной системе координат

Геометрический смысл параметра в уравнении параболы

Общие свойства эллипса, гиперболы, параболы

Координаты фокуса параболы: как найти, формула

Формулировка параболы в алгебре и геометрии

Что такое фокус параболы, определение

Как найти фокус параболы

Уравнение расчета

Чему равны координаты фокуса

Абсцисса фокуса параболы

Примеры расчета фокусного расстояния в задачах

Текст с ошибкой:

Поиск по содержимому

Вам также может понравиться

Найти дифференциал функции как решать

Как составить план рисования повторяющегося фрагмента

Как найти какой корень больше

Добавить комментарий Отменить ответ