Как найти фокус через директрису - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Download Article

If you’ve ever cooked food with a parabolic oven in science class or seen the Death Star’s laser in Star Wars, you have an idea of what the focal point (or focus) of a parabola is. But how do you calculate the focus mathematically? We’ve provided the formulas and equations you need to find the focus of any parabola, and added several helpful sample problems that you might see on your next algebra exam!

Things You Should Know

1
Parabola: A parabola can be defined as the graph of a quadratic equation—that is, the curved line you’ll get if you plot the equation on graph paper. Or, if you want to be more technical, it’s a curved line in which all coordinate points along the line are equidistant from a specific focal point and a specific line called a directrix.^[1]
- In practical terms, it’s often easier to recognize parabolas in three dimensions. For example, think of large parabolic satellite dishes, or the clear plastic parabolic microphones you see on the sidelines of football games. Both of these direct waves (radio, sound, etc.) toward a single point—the focal point (or focus).
2

Vertex: The vertex is the “turning point” of a parabola—the point along the curve at which it changes direction. So, in a classic “U”-shaped parabola, the vertex is at the very bottom of the “U” shape. You need to know the coordinates of the vertex in order to find the coordinates of the focus.^[2]

Advertisement
3
Axis of symmetry: The axis of symmetry is a line that runs through the vertex point and divides the parabola exactly in half. The parabola is a mirror image of itself on either side of the axis of symmetry.^[3]
- For our needs, it’s also important that the vertex is always exactly halfway between the focus and the directrix along the axis of symmetry.
4
Directrix: The directrix is a straight line that crosses the axis of symmetry and is perpendicular to it. The directrix is always outside of the parabola but closest to the vertex. For example, in a classic “U” parabola, adding the directrix line makes it look like you underlined the “U.”^[4]
- The distance between the vertex and the directrix (at the axis of symmetry) is always exactly the same as that between the vertex and the focus.
5
Focus: The focus is a point along the axis of symmetry, inside the parabola, that is equal in distance from the vertex as is the directrix. So, if the directrix is 2 units away from the vertex, the focus is also 2 units away (and, as a result, 4 units away from the directrix).^[5]
- If you draw a straight line from the focus to any point along the curve of the parabola, and then draw a straight line from that point to intersect at a right angle with the directrix, you’ll find that both of those lines are always equal in length.

1

${displaystyle y=a(x-h^{2})+k}$ or ${displaystyle x=a(y-k)^{2}+h}$ . You’ll use one of these “vertex form of a parabola” equations based on the type of parabola you’re dealing with. A “regular” parabola that opens upward or downward (like a right-side up or upside-down “U”) needs to be converted into the form of the first equation, while a “sideways” parabola that opens to the side (like a forwards or backwards “C”) must be converted to the second.^[6]
2

or . Once you have determined (or have been given) the coordinates of the parabola’s vertex, you’ll use one of these formulas to determine the coordinates of the focus. Here’s how to know which to use:^[7]

1

Put the equation into the vertex form of a parabola. Because the portion of the equation is squared, the correct vertex form is ${displaystyle y=a(x-h)^{2}+k}$ , meaning this is a “regular” parabola (it opens either up or down).
2
3

Solve for to find the focus coordinates.

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Thanks for submitting a tip for review!

References

About This Article

Thanks to all authors for creating a page that has been read 3,336 times.

Did this article help you?

Get all the best how-tos!

You’re all set!

Источник

Уравнение директрисы параболы

Содержание:

Что такое директриса параболы
Каноническое уравнение параболы
Уравнение директрисы параболы, если вершина не в пересечении осей координат
- Алгоритм расчета
Фокус параболы
Примеры решения задач

Что такое директриса параболы

Определение

Директриса параболы — такая прямая, кратчайшее расстояние от которой до любой точки, принадлежащей параболе, точно такое же, как расстояние от этой точки до фокуса.

Вершина параболы — точка пересечения параболы с ее осью. Она считается началом системы координат, канонической для данной кривой.

Вершина — середина перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису. Таким образом, директриса перпендикулярна оси симметрии и проходит на расстоянии р/2 от вершины параболы. Число р — фокальный параметр, расстояние от фокуса до директрисы. Поскольку все параболы подобны, именно эта характеристика определяет масштаб конкретной параболы.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Каноническое уравнение параболы

Каноническое уравнение параболы:

(y^2;=;2px)

Парабола

Если расположить параболу слева от оси ординат, уравнение примет вид:

(y^2;=;-;2px)

Парабола отрицательное уравнение

Уравнение директрисы параболы, если вершина не в пересечении осей координат

Формула директрисы параболы имеет вид:

(х;=;-frac р2)

Если вершину перенести в точку ((x_0;;y_0)), отличную от начала осей координат, каноническое уравнение примет вид:

({(y;-;y_0)}^2;=;2p;times;(x;-;x_0))

Алгоритм расчета

Если уравнение параболы приведено в виде квадратного многочлена, перенесем все слагаемые с y в левую часть уравнения, а с х — в правую.
Упростим выражение, выделив полный квадрат относительно одной из переменных.
Введем новые переменные ((x_1;;y_1)), чтобы привести уравнение к каноническому виду, ведя при этом отсчет с новой точки начала координат.
Вычислим параметр р и фокус, запишем уравнение директрисы.
Вернемся к старым координатам, заменив ((x_1;;y_1)) на х и y.

Фокус параболы

Определение

Расстояние от точки фокуса (F) до любой точки параболы равняется расстоянию от этой точки к директрисе.

Фокус параболы

Чтобы составить уравнение директрисы, нужно знать фокальный параметр.

Определение

Фокальный параметр — половина длины хорды, проходящей через её фокус перпендикулярно фокальной оси.

Примеры решения задач

Задача №1

Составить уравнение директрисы параболы (y^2;=;6x).

Решение

Сравнив каноническое уравнение с данным, получим:

(2р = 6 )

(р = 3)

(frac р2;=;frac32)

Уравнение директрисы — (х;=;-frac р2.)

В данном случае оно будет выглядеть так:

(х;=;-;frac32)

Задача №2

Найти директрису параболы, заданной уравнением (4х^2;-;12х;+;y;+;6;=;0.)

Решение

Преображаем многочлен, находим полный квадрат относительно переменной х:

(4х^2;-;12х;+;y;+;6;=;0;Rightarrow;4(х^2;-;3х);+;y;+;6;=;0;Rightarrow;;4((х^2;-;2;timesfrac32х;+;frac94);-;frac94);+;y;+;6;=;0;Rightarrow;)

(;Rightarrow;(4;{(х;-;frac32)}^2;-;9;+;y;+;6;=;0;Rightarrow;y;-;3;=-;4;{(х;-;frac32)}^2;Rightarrow;{(х;-;frac32)}^2;=;-;frac14;(y;-;3))

Пусть ((y — 3)) будет (y_1), а ((х;-;frac32)) — (х_1).

Тогда, перенеся начало координат в точку ((x_1;;y_1)), получим каноническое уравнение (х_1^2;=;-{textstylefrac14}y_1).

(2р;=;frac14;Rightarrow;р;=;frac18;Rightarrow;frac р2;=;frac1{16})

Тогда уравнение директрисы — (y_1=;frac1{16}).

Заменив (y_1) на ((y — 3)), получим уравнение: (y;–;3;=;frac1{16})

Следовательно, (y;–;frac{49}{16};=;0).

В старой системе координат уравнение директрисы:

(16у — 49 = 0, у;=;frac{49}{16}).

Насколько полезной была для вас статья?

Рейтинг: 3.17 (Голосов: 18)

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»

Текст с ошибкой:

Расскажите, что не так

Поиск по содержимому

Источник

Кривые второго порядка

Кривая второго порядка – это некоторая линия на плоскости, которая в декартовой системе координат задается общим уравнением:

Имеем дело с уравнением второй степени, в котором коэффициенты при старших членах – при вторых степенях одновременно не нули.

или можно встретить следующую форму записи:

К кривым второго порядка относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола.

Покажем на примере определение значений коэффициентов.

Рассмотрим кривую второго порядка:

Вычислим определитель из коэффициентов:

Если Δ = 0, кривая второго порядка параболического типа,

если Δ > 0, кривая второго порядка эллиптического типа,

если Δ F₁ и F₂ – фокусы.

с – фокальное расстояние,

Каноническое уравнение эллипса с центром симметрии в начале координат:

2а – большая ось эллипса, 2b – малая ось эллипса.

а – большая полуось эллипса, b – малая полуось эллипса.

Если a = b, то имеем окружность с радиусов R = a = b:

Если центр эллипса находится не в начале координат, а в некоторой точке C(x₀;y₀), оси эллипса параллельны осям координат, то каноническое уравнение эллипса имеет вид:

Эксцентриситет – число, равное отношению фокального расстояния к большей полуоси:

Эксцентриситет характеризует отклонение эллипса от окружности, т.е. чем эксцентриситет больше, тем эллипс более сплющен, вытянут.

Гипербола – множество точек на плоскости для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек F₁ и F₂ есть величина постоянная, меньшая расстояния между этими точками.

с – фокальное расстояние,

Расстояние от центра гиперболы до одного из фокусов называется фокальным расстоянием.

Каноническое уравнение гиперболы с центром симметрии в начале координат:

x – действительная ось, y – мнимая ось.

а – действительная полуось, b – мнимая полуось.

Если центр гиперболы находится в некоторой точке C(x₀;y₀), оси симметрии параллельны осям координат, то каноническое уравнение имеет вид:

Эксцентриситет гиперболы – число, равное отношению фокусного расстояния к действительной полуоси.

Чем эксцентриситет меньше, тем гипербола более вытянута, сплюшена вдоль оси Ох.

Директриса гиперболы – прямые, параллельные мнимой оси гиперболы и отстоящая от нее на расстоянии a/Ε.

f₁ – правая директриса, f₂ – левая директриса.

Порядок построения гиперболы :

1. Строим прямоугольник со сторонами 2a и 2b.

2. Провести асимптоты гиперболы – диагонали построенного прямоугольника.

3. Строим гиперболу с вершинами в точках А 1 (-а;0), А 2 (а;0).

Парабола – множество точек на плоскости для каждой из которых расстояние до данной точки F равно расстоянию до данной прямой f.

F – фокус параболы, f – директриса параболы.

Кривые второго порядка – определение и построение с примерами решения

Содержание:

Геометрической фигурой или просто фигурой на плоскости называется множество точек. Задать фигуру – значит указать, из каких точек плоскости она состоит. Одним из важных способов задания фигуры на плоскости является ее задание при помощи уравнений с двумя неизвестными. Произвольное уравнение с двумя неизвестными х и у записывается в виде

Если точка М(а,Ь) принадлежит фигуре Ф, то координаты (а,Ь) являются решениями уравнения
если пара чисел (c,d) является решением уравнения F(x,y) = 0, то точка N(c,d) принадлежит фигуре Ф.

Это определение в более компактной записи выглядит следующим образом. Уравнение называется уравнением фигуры, если , то есть (а, b) – решение уравнения F(x,y) = 0.

Из определения уравнения фигуры следует, что фигура Ф состоит только из тех точек плоскости, координаты которых являются решениями уравнения , т.е. уравнение фигуры задает эту фигуру.

Возможны два вида задач:

дано уравнение и надо построить фигуру Ф, уравнением которой является ;
дана фигура Ф и надо найти уравнение этой фигуры.

Первая задача сводится к построению графика уравнения и решается, чаще всего, методами математического анализа.

Для решения второй задачи, как следует из определения уравнения фигуры, достаточно:

Задать фигуру геометрически, т.е. сформулировать условие, которому удовлетворяют только точки фигуры (довольно часто определение фигуры содержит такое условие);
Записать в координатах условие, сформулированное в первом пункте.

Эллипс

Эллипсом называется линия, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек , есть величина постоянная (большая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами эллипса. Обозначив расстояние между фокусами через 2с, а сумму расстояний от точек эллипса до фокусов через 2а, имеем с b. В этом случае а называется большой полуосью, a b – малой.

Если а =Ь, то уравнение (7.3) можно переписать в виде:

(7.5)

Это уравнение окружности с центром в начале координат. Эллипс (3) можно получить из окружности (4) сжатием плоскости к оси Ох. Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат Оху. Тогда преобразование, переводящее произвольную точку М(х,у) в точку координаты которой задаются формулами будет окружность (4) переводить в эллипс, заданный соотношением

Число называется эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет характеризует форму эллипса: чем ближе к нулю, тем больше эллипс похож на окружность; при увеличении становится более вытянутым

Фокальными радиусами точки М эллипса называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами . Их длины и задаются формулами Прямые называются директрисами эллипса. Директриса называется левой, а – правой. Так как для эллипса и, следовательно, левая директриса располагается левее левой вершины эллипса, а правая – правее правой вершины.

Директрисы обладают следующим свойством: отношение расстояния г любой точки эллипса от фокуса к ее расстоянию d до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е.

Гипербола

Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами гиперболы. Пусть по-прежнему расстояние между фокусами равно 2с. Модуль расстояний от точек гиперболы до фокусов обозначим через а. По условию, а 0) (рис. 9.7). Ось абсцисс проведём через фокус F перпендикулярно директрисе. Начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой. Пусть А – произвольная точка плоскости с координатами (х, у) и пусть . Тогда точка А будет лежать на параболе, если r=d, где d- расстояние от точки А до директрисы. Фокус F имеет координаты .

Тогда А расстояние Подставив в формулу r=d, будем иметь. Возведя обе части равенства в квадрат, получим

или

(9.4.1)

Уравнение (9.4.1)- каноническое уравнение параболы. Уравнения также определяют параболы.

Легко показать, что уравнение , определяет параболу, ось симметрии которой перпендикулярна оси абсцисс; эта парабола будет восходящей, если а > 0 и нисходящей, если а О. Для этого выделим полный квадрат:

и сделаем параллельный перенос по формулам

В новых координатах преобразуемое уравнение примет вид: где р – положительное число, определяется равенством .

Пример:

Пусть заданы точка F и прямая у =-1 (рис. 9.8). Множество точек Р(х, y) для которых расстояние |PF| равно расстоянию, называется параболой. Прямая у = -1 называется директрисой параболы, а точка F – фокусом параболы. Чтобы выяснить, как располагаются точки Р, удовлетворяющие условию, запишем это равенство с помощью координат: , или после упрощения . Это уравнение геометрического места точек, образующих параболу (рис. 9.8).

Кривые второго порядка на плоскости

Кривой второго порядка называется фигура на плоскости, задаваемая в прямоугольной системе координат уравнением второй степени относительно переменных х и у:

где коэффициенты А, В и С не равны одновременно нулю

Любая кривая второго порядка на плоскости принадлежит к одному из типов: эллипс, гипербола, парабола, две пересекающиеся прямые, 2 параллельные прямые, прямая, точка, пустое множество.

Кривая второго порядка принадлежит эллиптическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки: АС>0.

Кривая второго порядка принадлежит гиперболическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют противоположные знаки: АС 2с. Точка М(х,у) принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

которое называют каноническим уравнением эллипса.

Число а называют большей полуосью эллипса, число – мень-

шей полуосью эллипса, 2а и 2b – соответственно большей и меньшей осями эллипса. Точки называют вершинами эллипса, а – его фокусами (рис. 12).

Координатные оси являются осями симметрии эллипса, а начало координат – его центром симметрии. Центр симметрии эллипса называется центром эллипса.

Замечание. Каноническое уравнение эллипса можно рассматривать и в случае b>а. Оно определяет эллипс с большей полуосью b, фокусы которого лежат на оси Оу.

В случае а=b каноническое уравнение эллипса принимает вид и определяет окружность радиуса а с центром в начале координат.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большей оси.

Так, в случае а>b эксцентриситет эллипса выражается формулой:

Эксцентриситет изменяется от нуля до единицы и характеризует форму эллипса. Для окружности Чем больше эксцентриситет, тем более вытянут эллипс.

Пример:

Показать, что уравнение

является уравнением эллипса. Найти его центр, полуоси, вершины, фокусы и эксцентриситет. Построить кривую.

Решение:

Дополняя члены, содержащие х и у соответственно, до полных квадратов, приведем данное уравнение к каноническому виду:

– каноническое уравнение эллипса с центром в точке большей полуосью а=3 и меньшей полуосью

Найдем эксцентриситет эллипса:

Для вычисления вершин и фокусов удобно пользовать новой прямоугольной системой координат, начало которой находится в точке а оси параллельны соответственно осям Ох, Оу и имеют те же направления (осуществили преобразование параллельного переноса). Тогда новые координаты точки будут равны ее старым координатам минус старые координаты нового начала, т.е.

В новой системе координат координаты вершин и фокусов гиперболы будут следующими:

Переходя к старым координатам, получим:

Построим график эллипса.

Задача решена.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Так же, как и для эллипса, геометрическое свойство точек гиперболы выразим аналитически. Расстояние между фокусами назовем фокусным расстоянием и обозначим через 2с. Постоянную величину обозначим через 2а: 2а

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Парабола

Парабола, её форма, фокус и директриса.

Параболой называется линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
$$
y^<2>=2pxlabel
$$
при условии (p > 0).

Из уравнения eqref вытекает, что для всех точек параболы (x geq 0). Парабола проходит через начало канонической системы координат. Эта точка называется вершиной параболы.

Форма параболы известна из курса средней школы, где она встречается в качестве графика функции (y=ax^<2>). Отличие уравнений объясняется тем, что в канонической системе координат по сравнению с прежней оси координат поменялись местами, а коэффициенты связаны равенством (2p=a^<-1>).

Фокусом параболы называется точка (F) с координатами ((p/2, 0)) в канонической системе координат.

Директрисой параболы называется прямая с уравнением (x=-p/2) в канонической системе координат ((PQ) на рис. 8.11).

Рис. 8.11. Парабола.

Свойства параболы.

Расстояние от точки (M(x, y)), лежащей на параболе, до фокуса равно
$$
r=x+frac

<2>.label
$$

Вычислим квадрат расстояния от точки (M(x, y)) до фокуса по координатам этих точек: (r^<2>=(x-p/2)^<2>+y^<2>) и подставим сюда (y^<2>) из канонического уравнения параболы. Мы получаем
$$
r^<2>=left(x-frac

<2>right)^<2>+2px=left(x+frac

<2>right)^<2>.nonumber
$$
Отсюда в силу (x geq 0) следует равенство eqref.

Заметим, что расстояние от точки (M) до директрисы также равно
$$
d=x+frac

<2>.nonumber
$$

Следовательно, мы можем сделать следующий вывод.

Для того чтобы точка (M) лежала на параболе, необходимо и достаточно, чтобы она была одинаково удалена от фокуса и от директрисы этой параболы.

Докажем достаточность. Пусть точка (M(x, y)) одинаково удалена от фокуса и от директрисы параболы:
$$
sqrt<left(x-frac

<2>right)^<2>+y^<2>>=x+frac

<2>.nonumber
$$

Возводя это уравнение в квадрат и приводя в нем подобные члены, мы получаем из него уравнение параболы eqref. Это заканчивает доказательство.

Параболе приписывается эксцентриситет (varepsilon=1). В силу этого соглашения формула
$$
frac=varepsilonnonumber
$$
верна и для эллипса, и для гиперболы, и для параболы.

Уравнение касательной к параболе.

Выведем уравнение касательной к параболе в точке (M_<0>(x_<0>, y_<0>)), лежащей на ней. Пусть (y_ <0>neq 0). Через точку (M_<0>) проходит график функции (y=f(x)), целиком лежащий на параболе. (Это (y=sqrt<2px>) или же (y=-sqrt<2px>), смотря по знаку (y_<0>).) Для функции (f(x)) выполнено тождество ((f(x))^<2>=2px), дифференцируя которое имеем (2f(x)f'(x)=2p). Подставляя (x=x_<0>) и (f(x_<0>)=y_<0>), находим (f'(x_<0>)=p/y_<0>) Теперь мы можем написать уравнение касательной к параболе
$$
y-y_<0>=frac

>(x-x_<0>).nonumber
$$
Упростим его. Для этого раскроем скобки и вспомним, что (y_<0>^<2>=2px_<0>). Теперь уравнение касательной принимает окончательный вид
$$
yy_<0>=p(x+x_<0>).label
$$

Заметим, что для вершины параболы, которую мы исключили, положив (y_ <0>neq 0), уравнение eqref превращается в уравнение (x=0), то есть в уравнение касательной в вершине. Поэтому уравнение eqref справедливо для любой точки на параболе.

Касательная к параболе в точке (M_<0>) есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезком, который соединяет (M_<0>) с фокусом, и лучом., выходящим из этой точки в направлении оси параболы (рис. 8.12).

Рассмотрим касательную в точке (M_<0>(x_<0>, y_<0>)). Из уравнения eqref получаем ее направляющий вектор (boldsymbol(y_<0>, p)). Значит, ((boldsymbol, boldsymbol_<1>)=y_<0>) и (cos varphi_<1>=y_<0>/boldsymbol). Вектор (overrightarrow>) имеет компоненты (x_<0>=p/2) и (y_<0>), а потому
$$
(overrightarrow>, boldsymbol)=x_<0>y_<0>-frac

<2>y_<0>+py_<0>=y_<0>(x_<0>+frac

<2>).nonumber
$$
Но (|overrightarrow>|=x_<0>+p/2). Следовательно, (cos varphi_<2>=y_<0>/|boldsymbol|). Утверждение доказано.

Заметим, что (|FN|=|FM_<0>|) (см. рис. 8.12).

[spoiler title=”источники:”]

http://www.evkova.org/krivyie-vtorogo-poryadka

http://univerlib.com/analytic_geometry/second_order_lines_and_surfaces/parabola/

[/spoiler]

Источник

Парабола, её форма, фокус и директриса.

Начать изучение
Свойства параболы.

Начать изучение
Уравнение касательной к параболе.

Начать изучение

Парабола, её форма, фокус и директриса.

Определение.

Параболой называется линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
$$
y^{2}=2pxlabel{ref15}
$$
при условии (p > 0).

Из уравнения eqref{ref15} вытекает, что для всех точек параболы (x geq 0). Парабола проходит через начало канонической системы координат. Эта точка называется вершиной параболы.

Форма параболы известна из курса средней школы, где она встречается в качестве графика функции (y=ax^{2}). Отличие уравнений объясняется тем, что в канонической системе координат по сравнению с прежней оси координат поменялись местами, а коэффициенты связаны равенством (2p=a^{-1}).

Фокусом параболы называется точка (F) с координатами ((p/2, 0)) в канонической системе координат.

Директрисой параболы называется прямая с уравнением (x=-p/2) в канонической системе координат ((PQ) на рис. 8.11).

Рис. 8.11. Парабола.

Свойства параболы.

Утверждение.

Расстояние от точки (M(x, y)), лежащей на параболе, до фокуса равно
$$
r=x+frac{p}{2}.label{ref16}
$$

Доказательство.

Вычислим квадрат расстояния от точки (M(x, y)) до фокуса по координатам этих точек: (r^{2}=(x-p/2)^{2}+y^{2}) и подставим сюда (y^{2}) из канонического уравнения параболы. Мы получаем
$$
r^{2}=left(x-frac{p}{2}right)^{2}+2px=left(x+frac{p}{2}right)^{2}.nonumber
$$
Отсюда в силу (x geq 0) следует равенство eqref{ref16}.

Заметим, что расстояние от точки (M) до директрисы также равно
$$
d=x+frac{p}{2}.nonumber
$$

Следовательно, мы можем сделать следующий вывод.

Утверждение.

Доказательство.

Докажем достаточность. Пусть точка (M(x, y)) одинаково удалена от фокуса и от директрисы параболы:
$$
sqrt{left(x-frac{p}{2}right)^{2}+y^{2}}=x+frac{p}{2}.nonumber
$$

Возводя это уравнение в квадрат и приводя в нем подобные члены, мы получаем из него уравнение параболы eqref{ref15}. Это заканчивает доказательство.

Параболе приписывается эксцентриситет (varepsilon=1). В силу этого соглашения формула
$$
frac{r}{d}=varepsilonnonumber
$$
верна и для эллипса, и для гиперболы, и для параболы.

Уравнение касательной к параболе.

Выведем уравнение касательной к параболе в точке (M_{0}(x_{0}, y_{0})), лежащей на ней. Пусть (y_{0} neq 0). Через точку (M_{0}) проходит график функции (y=f(x)), целиком лежащий на параболе. (Это (y=sqrt{2px}) или же (y=-sqrt{2px}), смотря по знаку (y_{0}).) Для функции (f(x)) выполнено тождество ((f(x))^{2}=2px), дифференцируя которое имеем (2f(x)f'(x)=2p). Подставляя (x=x_{0}) и (f(x_{0})=y_{0}), находим (f'(x_{0})=p/y_{0}) Теперь мы можем написать уравнение касательной к параболе
$$
y-y_{0}=frac{p}{y_{0}}(x-x_{0}).nonumber
$$
Упростим его. Для этого раскроем скобки и вспомним, что (y_{0}^{2}=2px_{0}). Теперь уравнение касательной принимает окончательный вид
$$
yy_{0}=p(x+x_{0}).label{ref17}
$$

Заметим, что для вершины параболы, которую мы исключили, положив (y_{0} neq 0), уравнение eqref{ref17} превращается в уравнение (x=0), то есть в уравнение касательной в вершине. Поэтому уравнение eqref{ref17} справедливо для любой точки на параболе.

Утверждение.

Касательная к параболе в точке (M_{0}) есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезком, который соединяет (M_{0}) с фокусом, и лучом., выходящим из этой точки в направлении оси параболы (рис. 8.12).

Доказательство.

Рис. 8.12. Касательная к параболе.

Рассмотрим касательную в точке (M_{0}(x_{0}, y_{0})). Из уравнения eqref{ref17} получаем ее направляющий вектор (boldsymbol{v}(y_{0}, p)). Значит, ((boldsymbol{v}, boldsymbol{e}_{1})=y_{0}) и (cos varphi_{1}=y_{0}/boldsymbol{v}). Вектор (overrightarrow{FM_{0}}) имеет компоненты (x_{0}=p/2) и (y_{0}), а потому
$$
(overrightarrow{FM_{0}}, boldsymbol{v})=x_{0}y_{0}-frac{p}{2}y_{0}+py_{0}=y_{0}(x_{0}+frac{p}{2}).nonumber
$$
Но (|overrightarrow{FM_{0}}|=x_{0}+p/2). Следовательно, (cos varphi_{2}=y_{0}/|boldsymbol{v}|). Утверждение доказано.

Заметим, что (|FN|=|FM_{0}|) (см. рис. 8.12).

Источник

Парабола — это график функции описанный определённой формулой. Чтобы построить параболу нужно следовать формуле, определениям и уравнениям.

Парабола

Парабола – это множество точек плоскости, которые равноотделённые от заданной точки, что называется фокусом и заданной прямой под названием директриса.

Чтобы получить каноническое уравнение параболы, расположим директрису перпендикулярно оси , а фокус на оси так, чтобы начало координат помещался на одинаковом расстоянии от них (см. рис. 1). Обозначим через расстояние от фокуса к директрисе, тогда у фокуса будут координаты , .

Для произвольной точки параболы расстояний , а расстояние к директрисе . По определению из рис. 1 видим, что , а ${r} = sqrt{x - {pover{2}}^2} + y^2$ и поэтому:

Рис. 1

$sqrt{(x - {pover{2}})^2 + y^2} = x + {pover{2}}to{x}^2 - 2 * {pover2}}x + {p^2over{4}} + y^2 = x^2 + 2 * {pover{2}}x + {p^2over{4}}$

(1)

– каноническое уравнение параболы.

Нужна помощь в написании работы?

Мы – биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Заказать работу

Что такое вершина параболы

Вершина параболы – это парабола, которая проходит через точки . Если точка $M_{1}(x , y)$ принадлежит параболе, то и $M_{2}(x , -y)$ тоже принадлежит параболе, так как из:

$y^2 = 2pxto{(-y)^2 = 2px}$ .

Значит, парабола симметрична относительно оси , её график достаточно построить в первой четверти, где из канонического уравнения параболы получается, что:

Чтобы найти вершину параболы, необходимо знать формулу: .

Давайте посмотрим, как данная формула действует, допустим дано уравнение:

Тогда:

, , . Чтобы найти величины , и , в квадратном уравнении коэффициент при , при , постоянная (коэффициент без переменной) = . Если взять тот же пример, , получается, что:

, , .

Форма и характеристики параболы

Исследуем за каноническим уравнением форму и расположение параболы:

1. В уравнении переменная входит в парной степени откуда получается, что парабола симметрична относительно оси . Ось – это ось, которая симметрична параболе.

2. Так как , тогда , откуда получается, что парабола расположена справа от оси .

3. При мы имеем , то есть парабола проходит через начало координат. Точка – это вершина параболы.

4. При увеличении значений переменной модуль тоже возрастает. Изобразим параболу на рисунке:

Рис. 2

5. В полярной системе координат, у канонического уравнения параболы такой вид:

6. Уравнение , , , тоже описывают параболы:

Рис. 3

Оптическое свойство параболы

У параболы “оптическое” свойство, если: в фокусе параболы поместить источник света, тогда отбитые от параболы лучи будут параллельными оси . Это свойство учитывают при изготовлении прожекторов, зеркальных телескопов, теле- и радио антенн.

При положительном уравнении:

описывают параболу симметричную относительно с вершиной в точке , ветви которой направлены влево (рис. 3 (а)).

Аналогично изложенному, уравнение и описывают параболы с вершиной в точке симметрично относительно , ветви которой направлены соответственно вверх и вниз (см. рис. 3 (б) и (в)). Если например, уравнение решить относительно

$y = {1over{2p}}x^2$ и обозначить , тогда получим известное со школьного курса уравнение параболы . Теперь её фокусное расстояние .

Примеры решения

Задача

Найти координаты фокуса и составить уравнение директрисы параболы .

Решение

Сравнивая каноническое уравнение и данное , получим , , тогда. Так как уравнение директрисы , тогда в данном случае .

Ответ

координаты фокуса: , а уравнение директрисы параболы: .

Задача

Составить каноническое уравнение параболы:

а) с фокусом в точке ;

б) с фокусом в точке .

Решение

а). Так как фокус на положительной полуоси , тогда парабола симметрична относительно с вершиной в точке и , поэтому и согласно формуле (1) .

б). Фокус лежит на отрицательной полуоси с вершиной в точке , ветви направлены вниз, каноническое уравнение следует искать в виде . Фокусное расстояние параболы и уравнение запишется .

Ответ

а) каноническое уравнение параболы с фокусом в точке : ;

б) каноническое уравнение с фокусом в точке : .

Задача

Показать путём выделения полного квадрата, что уравнение – это уравнение параболы. Привести его к каноническому виду. Найти вершину, фокус, ось и директрису этой параболы.

Решение

Выделим относительно переменной полный квадрат

= $0to{4(x^2 - 3x)} + y + 6$ = $0to{4((x^2 - 2 * {3over{2}}x + {9over{4}}) - {9over{4}}) + y + 6$ = $0}to{4((x - {3over{2}}})^2 - 9 + y + 6$ = = $-4(x - {3over{2}})^2}to{(x - {3over{2}})^2}$ = .

Обозначим $y_{1} = y - 3$ , $x_{1} = x - {3over{2}}$ . Тогда в результате параллельного переноса координатных осей в новое начало, то есть в точку $O_{1}({3over{2}}, 3)$ , получим каноническое уравнение параболы ${x_{1}^2} = -{1over{4}}y_{1}$ .

Ветви этой параболы направлены вниз симметрично относительно оси $O_{1}Y_{1}$ , , – фокусное расстояние. В новой системе координат фокус находится в точке , уравнение директрисы в новой системе $y_{1} = {1over{16}}$ .

Повернёмся к старым координатам при помощи замены $y_{1} = y - 3$ , $x_{1} = x - {3over{2}}$ . Уравнение оси в новой системе $x_{1} = 0$ , а в старой – уравнение оси параболы.

Уравнение директрисы в новой системе координат $y_{1} = {1over{16}}$ , а в старой .

В новой системе $X_{1}O_{1}Y_{1}$ для фокуса $F(0, -{1over{16}}) x_{1} = 0$ , $y_{1} = -{1over{16}}$ , а в старой системе $x_{F} - {3over{2}} = 0to{x_{F}} = {3over{2}}$ , $y_{F} - 3 = -{1over{16}}to{y_{F} = -{1over{16}} + 3to{y_{F}} = {47over{16}}$ , то есть .

Ответ

Каноническое уравнение параболы – ${x_{1}^2} = -{1over{4}}y_{1}$ ;

вершина – ветви параболы направлены вниз;

$O_{1}Y_{1}$ , , $p_{2} = -{1over{16}}$ – фокусное расстояние, а фокус находится в точке ;

уравнение оси $x_{1} = 0$ ;

уравнение директрисы $y_{1} = {1over{16}}$ .

Источник

Things You Should Know

References

About This Article

Did this article help you?

Уравнение директрисы параболы

Что такое директриса параболы

Каноническое уравнение параболы

Уравнение директрисы параболы, если вершина не в пересечении осей координат

Алгоритм расчета

Фокус параболы

Примеры решения задач

Текст с ошибкой:

Поиск по содержимому

Кривые второго порядка

<img decoding="async" onError="javascript: wp_broken_images = window.wp_broken_images || function(){}; wp_broken_images(this);" src="https://matecos.ru/images/Matematica/Kr2poryadka/Krv2poryadka.gif" />

Кривая второго порядка – это некоторая линия на плоскости, которая в декартовой системе координат задается общим уравнением:

<img decoding="async" onError="javascript: wp_broken_images = window.wp_broken_images || function(){}; wp_broken_images(this);" src="https://matecos.ru/images/Matematica/Kr2poryadka/kr2poryadka_formula_1.gif" />

Имеем дело с уравнением второй степени, в котором коэффициенты при старших членах – при вторых степенях одновременно не нули.

<img decoding="async" onError="javascript: wp_broken_images = window.wp_broken_images || function(){}; wp_broken_images(this);" src="https://matecos.ru/images/Matematica/Kr2poryadka/kr2poryadka_formula_3.gif" />

<img decoding="async" onError="javascript: wp_broken_images = window.wp_broken_images || function(){}; wp_broken_images(this);" src="https://matecos.ru/images/Matematica/Kr2poryadka/kr2poryadka_formula_2.gif" />

<img decoding="async" onError="javascript: wp_broken_images = window.wp_broken_images || function(){}; wp_broken_images(this);" src="https://matecos.ru/images/Matematica/Kr2poryadka/kr2poryadka_formula_1.gif" />

Парабола – множество точек на плоскости для каждой из которых расстояние до данной точки F равно расстоянию до данной прямой f.

Кривые второго порядка – определение и построение с примерами решения

Эллипс

Гипербола

Кривые второго порядка на плоскости

Парабола

Парабола, её форма, фокус и директриса.

Свойства параболы.

Уравнение касательной к параболе.

Парабола, её форма, фокус и директриса.

Свойства параболы.

Уравнение касательной к параболе.

Парабола

Что такое вершина параболы

Форма и характеристики параболы

Оптическое свойство параболы

Примеры решения

Вам также может понравиться

Как исправить ошибку в графе 1 трудовой книжки

Как составить брачный договор на ипотечную квартиру купленную до брака в ипотеку

Как найти контакты конкурсного управляющего

Добавить комментарий Отменить ответ