Как найти формула общего члена последовательности - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Нахождение общего члена ряда по заданным первым членам. Первая часть.

Числовой ряд можно задать по-разному. Чаще всего просто используют запись вида $sumlimits_{n=1}^{infty}u_n$. Однако изредка указывают несколько первых членов ряда, по которым нужно восстановить общий член ряда. Честно говоря, подобные задачи не имеют единственного решения, и это будет продемонстрировано в примере №1. Впрочем, есть некие общие приёмы, которые применяют в стандартных случаях.

Для начала стоит запомнить несколько последовательностей. Например, квадраты натуральных чисел, т.е. последовательность $u_n=n^2$. Вот несколько первых членов этой последовательности:

$$
begin{equation}
1;; 4;; 9;; 16;; 25;; 36;; 49;; 64; ;81; ldots
end{equation}
$$

Как мы получили эти числа? показатьскрыть

Также стоит иметь в виду члены последовательности $u_n=n^3$. Вот несколько первых её членов:

$$
begin{equation}
1;; 8;; 27;; 64;; 125;; 216;; 343;; 512;;729; ldots
end{equation}
$$

Кроме того, для формирования общего члена ряда частенько используется последовательность $u_n=n!$, несколько первых членов которой таковы:

$$
begin{equation}
1;; 2;; 6;; 24;; 120;; 720;; 5040; ldots
end{equation}
$$

Что обозначает “n!”? показатьскрыть

Часто используются также арифметическая и геометрическая прогрессии. Если первый член арифметической прогрессии равен $a_1$, а разность равна $d$, то общий член арифметической прогрессии записывается с помощью такой формулы:

$$
begin{equation}
a_n=a_1+dcdot (n-1)
end{equation}
$$

Что такое арифметическая прогрессия? показатьскрыть

Стоит также отметить геометрическую прогрессию. Если первый член прогрессии равен $b_1$, а знаменатель равен $q$, то общий член геометрической прогрессии задаётся такой формулой:

$$
begin{equation}
b_n=b_1cdot q^{n-1}
end{equation}
$$

Что такое геометрическая прогрессия? показатьскрыть

Во всех изложенных ниже примерах члены рядов будем обозначать буквами $u_1$ (первый член ряда), $u_2$ (второй член ряда) и так далее. Запись $u_n$ будет обозначать общий член ряда.

Пример №1

Найти общий член ряда $frac{1}{7}+frac{2}{9}+frac{3}{11}+frac{4}{13}+ldots$.

Решение

Суть таких задач состоит в том, чтобы заметить закономерность, которая присуща первым членам ряда. И на основании этой закономерности сделать вывод о виде общего члена. Что означает фраза “найти общий член”? Она означает, что необходимо найти такое выражение, подставляя в которое $n=1$ получим первый член ряда, т.е. $frac{1}{7}$; подставляя $n=2$ получим второй член ряда, т.е. $frac{2}{9}$; подставляя $n=3$ получим третий член ряда, т.е. $frac{3}{11}$ и так далее. Нам известны первые четыре члена ряда:

$$
u_1=frac{1}{7};; u_2=frac{2}{9};; u_3=frac{3}{11};; u_4=frac{4}{13}.
$$

Давайте двигаться постепенно. Все известные нам члены ряда – дроби, поэтому резонно предположить, что и общий член ряда тоже представлен дробью:

$$
u_n=frac{?}{?}
$$

Наша задача – выяснить, что же скрывается под знаками вопроса в числителе и знаменателе. Сначала обратимся к числителю. В числителях известных нам членов ряда стоят числа 1, 2, 3 и 4. Заметьте, что номер каждого члена ряда равен числителю. У первого члена в числителе стоит единица, у второго – двойка, у третьего – тройка, у четвёртого – четвёрка.

Ряд

Логично предположить, что у n-го члена в числителе будет стоять $n$:

$$
u_n=frac{n}{?}
$$

Кстати сказать, к этому выводу мы можем прийти и иным путём, более формальным. Что представляет собой последовательность 1, 2, 3, 4? Отметим, что каждый последующий член этой последовательности на 1 больше, чем предыдущий. Мы имеем дело с четырьмя членами арифметической прогрессии, первый член которой $a_1=1$, а разность $d=1$. Используя формулу (4), получим выражение общего члена прогрессии:

$$
a_n=1+1cdot (n-1)=1+n-1=n.
$$

Итак, угадывание или формальный расчёт – дело вкуса. Главное – мы записали числитель общего члена ряда. Перейдём к знаменателю.

В знаменателях мы имеем последовательность 7, 9, 11, 13. Это четыре члена арифметической прогрессии, первый член которой равен $b_1=7$, а разность $d=2$. Общий член прогрессии найдем, используя формулу (4):

$$
b_n=7+2cdot (n-1)=7+2n-2=2n+5.
$$

Полученное выражение, т.е. $2n+5$, и будет знаменателем общего члена ряда. Итак:

$$
u_n=frac{n}{2n+5}.
$$

Общий член ряда получен. Давайте проверим, подходит ли найденная нами формула $u_n=frac{n}{2n+5}$ для вычисления уже известных членов ряда. Найдём члены $u_1$, $u_2$, $u_3$ и $u_4$ по формуле $u_n=frac{n}{2n+5}$. Результаты, естественно, должны совпасть с заданными нам по условию первыми четырьмя членами ряда.

$$
u_1=frac{1}{2cdot 1+5}=frac{1}{7};; u_2=frac{2}{2cdot 2+5}=frac{2}{9};; u_3=frac{3}{2cdot 3+5}=frac{3}{11};; u_4=frac{4}{2cdot 4+5}=frac{4}{13}.
$$

Всё верно, результаты совпадают. Заданный в условии ряд можно записать теперь в такой форме: $sumlimits_{n=1}^{infty}frac{n}{2n+5}$. Общий член ряда имеет вид $u_n=frac{n}{2n+5}$.

В принципе, если речь идёт о стандартном примере, то можно считать, что ответ получен. Однако если вам интересно поисследовать вопрос более детально, то прошу читать далее. Вопрос вот в чём: является ли найденное выше представление общего члена единственным? Ответ на этот вопрос далеко не столь очевидный, как кажется на первый взгляд. Например, давайте продолжим заданный в условии ряд таким образом:

$$
frac{1}{7}+frac{2}{9}+frac{3}{11}+frac{4}{13}+0+0+0+0+0+0+0+ldots
$$

Разве такой ряд не имеет право на существование? Ещё как имеет. И для этого ряда можно записать, что

$$
u_1=frac{1}{7};; u_2=frac{2}{9};; u_3=frac{3}{11};; u_4=frac{4}{13}; ; u_n=0; (n≥ 5).
$$

Можно записать и иное продолжение. Например, такое:

$$
frac{1}{7}+frac{2}{9}+frac{3}{11}+frac{4}{13}+frac{1}{5}+frac{1}{6}+frac{1}{7}+frac{1}{8}+frac{1}{9}+frac{1}{10}+ldots
$$

И такое продолжение ничему не противоречит. При этом можно записать, что

$$
u_1=frac{1}{7};; u_2=frac{2}{9};; u_3=frac{3}{11};; u_4=frac{4}{13}; ; u_n=frac{1}{n}; (n≥ 5).
$$

Если первые два варианта показались вам чересчур формальными, то предложу третий. Давайте запишем общий член в таком виде:

$$
u_n=frac{n}{n^4-10n^3+35n^2-48n+29}.
$$

Вычислим первые четыре члена ряда, используя предложенную формулу общего члена:

begin{aligned}
& u_1=frac{1}{1^4-10cdot 1^3+35cdot 1^2-48cdot 1+29}=frac{1}{7};\
& u_2=frac{2}{2^4-10cdot 2^3+35cdot 2^2-48cdot 2+29}=frac{2}{9};\
& u_3=frac{3}{3^4-10cdot 3^3+35cdot 3^2-48cdot 3+29}=frac{3}{11};\
& u_4=frac{4}{4^4-10cdot 4^3+35cdot 4^2-48cdot 4+29}=frac{4}{13}.
end{aligned}

Как видите, предложенная формула общего члена вполне корректна. И таких вариаций можно придумать бесконечно много, их количество ничем не ограничено. В стандартных примерах, конечно, используется стандартный набор неких известных последовательностей (прогрессии, степени, факториалы и т.д.). Однако в таких задачах всегда присутствует неопределённость, и об этом желательно помнить.

Во всех последующих примерах эта неоднозначность оговариваться не будет. Решать станем стандартными способами, которые приняты в большинстве задачников.

Ответ: общий член ряда: $u_n=frac{n}{2n+5}$.

Пример №2

Записать общий член ряда $frac{1}{1cdot 5}+frac{1}{3cdot 8}+frac{1}{5cdot 11}+frac{1}{7cdot 14}+frac{1}{9cdot 17}+ldots$.

Решение

Нам известны первые пять членов ряда:

$$
u_1=frac{1}{1cdot 5};; u_2=frac{1}{3cdot 8}; ; u_3=frac{1}{5cdot 11}; ; u_4=frac{1}{7cdot 14}; ; u_5=frac{1}{9cdot 17}.
$$

Все известные нам члены ряда – дроби, значит и общий член ряда будем искать в виде дроби:

$$
u_n=frac{?}{?}.
$$

Сразу обратим внимание на числитель. Во всех числителях стоят единицы, поэтому и в числителе общего члена ряда будет единица, т.е.

$$
u_n=frac{1}{?}.
$$

Теперь обратимся к знаменателю. В знаменателях известных нам первых членов ряда расположены произведения чисел: $1cdot 5$, $3cdot 8$, $5cdot 11$, $7cdot 14$, $9cdot 17$. Первые из этих чисел таковы: 1, 3, 5, 7, 9. Данная последовательность имеет первый член $a_1=1$, а каждый последующий получается из предыдущего прибавлением числа $d=2$. Иными словами, это первые пять членов арифметической прогрессии, общий член которой можно записать с помощью формулы (4):

$$
a_n=1+2cdot (n-1)=1+2n-2=2n-1.
$$

В произведениях $1cdot 5$, $3cdot 8$, $5cdot 11$, $7cdot 14$, $9cdot 17$ вторые числа таковы: 5, 8, 11, 14, 17. Это элементы арифметической прогрессии, первый член которой $b_1=5$, а знаменатель $d=3$. Общий член этой прогрессии запишем с помощью всё той же формулы (4):

$$
b_n=5+3cdot (n-1)=5+3n-3=3n+2.
$$

Сведём результаты воедино. Произведение в знаменателе общего члена ряда таково: $(2n-1)(3n+2)$. А сам общий член ряда имеет следующий вид:

$$
u_n=frac{1}{(2n-1)(3n+2)}.
$$

Для проверки полученного результата найдём по формуле $u_n=frac{1}{(2n-1)(3n+2)}$ те четыре первых члена ряда, которые нам известны:

begin{aligned}
& u_1=frac{1}{(2cdot 1-1)(3cdot 1+2)}=frac{1}{1cdot 5};\
& u_2=frac{1}{(2cdot 2-1)(3cdot 2+2)}=frac{1}{3cdot 8};\
& u_3=frac{1}{(2cdot 3-1)(3cdot 3+2)}=frac{1}{5cdot 11};\
& u_4=frac{1}{(2cdot 4-1)(3cdot 4+2)}=frac{1}{7cdot 14};\
& u_5=frac{1}{(2cdot 5-1)(3cdot 5+2)}=frac{1}{9cdot 17}.
end{aligned}

Итак, формула $u_n=frac{1}{(2n-1)(3n+2)}$ позволяет точно вычислить члены ряда, известные из условия. При желании заданный ряд можно записать так:

$$
sumlimits_{n=1}^{infty}frac{1}{(2n-1)(3n+2)}=frac{1}{1cdot 5}+frac{1}{3cdot 8}+frac{1}{5cdot 11}+frac{1}{7cdot 14}+frac{1}{9cdot 17}+ldots
$$

Ответ: общий член ряда: $u_n=frac{1}{(2n-1)(3n+2)}$.

Продолжение этой темы рассмотрим в второй и третьей частях.

Источник

Содержание:

Основные понятия и определения
Задание последовательности формулой ее общего члена
Рекуррентный способ задания последовательности

Основные понятия и определения

Определение

Последовательностью называется функция, которая переводит множество
натуральных
чисел $N$ в некоторое множество
$X$ :
$left{x_{n}right}=left{x_{n}right}_{n=1}^{infty}=left{x_{1} ; x_{2} ; ldots ; x_{n} ; ldotsright}, x_{i} in N$

Элемент $x_{1}$ называется первым членом
последовательности, $x_{2}$ – вторым, … ,
$x_{n}$ –
$n$-ым или общим членом последовательности.

Пример

Задание. Для последовательности $x_{n}={-1 ; 2 ; 5 ; 8 ;-3 ; 0 ; ldots}$
определить, чему равен третий член $x_{3}$

Решение. Третьим элементом последовательности будет элемент, идущий третьим по счету, то есть для
заданной последовательности имеем, что $x_{3}=5$

Ответ. $x_{3}=5$

Задание последовательности формулой ее общего члена

Обычно последовательность целесообразнее задавать формулой ее общего члена, которая позволяет найти любой член
последовательности, зная его номер.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Найти формулу общего члена последовательности
$x_{n}={6 ; 20 ; 56 ; 144 ; 352 ; ldots}$

Решение. Запишем каждый член последовательности в следующем виде:

$n=1 : x_{1}=6=2 cdot 3=2^{1} cdot 3=2^{1} cdot(2 cdot 1+1)$

$n=2 : x_{2}=20=4 cdot 5=2^{2} cdot 5=2^{2} cdot(2 cdot 2+1)$

$n=3 : x_{3}=56=8 cdot 7=2^{3} cdot 7=2^{3} cdot(2 cdot 3+1)$

Как видим, члены последовательности представляют собой произведение степени двойки, умноженной на
последовательные нечетные числа, причем два возводится в степень, которая равна номеру рассматриваемого элемента.

Таким образом, делаем вывод, что

$x_{n}=2^{n} cdot(2 n+1)$

Ответ. Формула общего члена: $x_{n}=2^{n} cdot(2 n+1)$

Пример

Задание. Найти 15 член последовательности, заданной формулой
$n$-го члена:
$x_{n}=frac{(-1)^{n}}{n}, n in N$

Решение. Для того чтобы найти $x_{15}$ ,
подставим в формулу общего члена значение $n=15$ . Получим:

$x_{15}=frac{(-1)^{15}}{15}=-frac{1}{15}$

Ответ. $x_{15}=frac{(-1)^{15}}{15}=-frac{1}{15}$

Пример

Задание. Проверить, являются ли числа
$a=6$ и
$b=1$ членами последовательности
$left{x_{n}right}=left{frac{n^{2}+11}{n+1}right}$

Решение. Число $a=6$ является
членом последовательности $left{x_{n}right}, n in N$ , если существует
такой номер $n_{0} in N$ , что
$x_{n_{0}}=a=6$ :

$6=x_{n o}=frac{n_{0}^{2}+11}{n_{0}+1} Rightarrow frac{n_{0}^{2}+11}{n_{0}+1}=6 Rightarrow$

$Rightarrow n_{0}^{2}-6 n_{0}+5=0 Rightarrow=left{begin{array}{l}{n_{0}=1} \ {n_{0}=5}end{array}right.$

Таким образом, число $a=6$ является первым и
пятым членами заданной последовательности.

Проверим теперь, является ли число $b=1$ членом указанной
последовательности $left{x_{n}right}=left{frac{n^{2}+11}{n+1}right}$ . Рассуждая аналогично,
как и для $a=6$ , получаем:

$frac{n_{0}^{2}+11}{n_{0}+1}=1 Rightarrow n_{0}^{2}-n_{0}+10=0 Rightarrow D=1-40=-39 lt 0$

Таким образом, уравнение $n_{0}^{2}-n_{0}+10=0$ не имеет
решение в натуральных числах, а значит, $b=1$ не
является членом последовательности $left{x_{n}right}$

Ответ. Число $a=6$ является
первым и пятым членами заданной последовательности, а
$b=1$ не является членом последовательности
$left{x_{n}right}=left{frac{n^{2}+11}{n+1}right}$

Рекуррентный способ задания последовательности

Другим способом задания последовательности является задание последовательности с помощью рекуррентного соотношения.
В этом случае задается один или несколько первых элементов последовательности, а остальные определяются по некоторому
правилу. Например, известен первый член $x_{1}$
последовательности и известно, что $x_{n+1}=fleft(x_{n}right)$ , то
есть $x_{2}=fleft(x_{1}right), x_{3}=fleft(x_{2}right)$ и так далее до нужного члена.

Пример

Примером рекуррентно заданной последовательности является последовательность чисел
Фибоначчи – 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … , в которой каждое последующее число, начиная с третьего, является суммой
двух предыдущих: 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1 и так далее. Данную последовательность можно задать рекуррентно:

$x_{n+2}=x_{n+1}+x_{n}, n in N, x_{1}=x_{2}=1$

Пример

Задание. Последовательность $left{x_{n}right}$
задана при помощи рекуррентного соотношения $x_{n+2}=frac{1}{2}left(x_{n+1}+x_{n}right), x_{1}=2, x_{2}=4$ .
Выписать несколько первых членов этой последовательности.

Решение. Найдем третий член заданной последовательности:

$x_{3}=frac{1}{2}left(x_{2}+x_{1}right)=frac{4+2}{2}=frac{6}{2}=3$

Аналогично находим далее, что

$x_{4}=frac{1}{2}left(x_{3}+x_{2}right)=frac{3+4}{2}=frac{7}{2}=3,5$

$x_{5}=frac{1}{2}left(x_{4}+x_{3}right)=frac{3+3,5}{2}=frac{6,5}{2}=3,25$

и так далее.

При рекуррентном задании последовательностей, получаются очень громоздкими выкладки, так как, чтобы найти элементы с
большими номерами, необходимо найти все предыдущие члены указанной последовательности, например, для
нахождения $x_{500}$ надо найти все предыдущие 499 членов.

Читать дальше: ограниченные последовательности.

Источник

Онлайн калькулятор для нахождения формулы общего члена последовательности.

Скачать калькулятор

Рейтинг: 2.7 (Голосов 311)

Пожалуйста напишите с чем связна такая низкая оценка:

Для установки калькулятора на iPhone – просто добавьте страницу
«На главный экран»

Для установки калькулятора на Android – просто добавьте страницу
«На главный экран»

Сообщить об ошибке

Смотрите также

Решение прогрессии	Графические построения	Математический анализ	Решение интегралов	Решение неравенств
Решение функций	Решение комплексных чисел	Производные функции	Решение логарифмов	Решение уравнений

Источник

17:22

формула последовательности

Формула общего члена последовательности

Определение. Последовательностью называется функция, которая переводит множество натуральных чисел N в некоторое множество X:

Как найти общую формулу

Пример 1. Найти формулу общего члена последовательности { 2, 3/2, 5/4, 9/8,…}

Решение. В калькулятор вводим первые четыре члена последовательности 2, 3/2, 5/4, 9/8, получаем формулу общего члена

Пример 2. Найти общий член ряда

Решение. Не всегда калькулятор сам справляется с задачей найти общий член последовательности. Тогда проявляем математическую смекалку: находим по отдельности общую формулу числителя и знаменателя.В калькулятор вводим первые четыре члена последовательности числителей 3, 8, 15, 24 – получаем формулу числителя n²+2n. Далее вводим в калькулятор четыре первые знаменателя: 13,103,1003,10003 – получаем 3+10ⁿ

Следовательно, общий член

Пример 3. Найти общий член ряда

Решение. Нетрудно заметить, что четвертый член ряда выбивается из закономерности числителей √n. Выполним замену

Следовательно общая формула числителя √n. В калькулятор вводим четыре первых знаменателя 1,2,6,24 – получаем n!

Можем записать формулу общего члена (учитываем знак)

Категория: Найти предел | Просмотров: 28374 | | Теги: найти предел | Рейтинг: 2.0/3

Источник

Основные понятия и определения

Определение

Последовательностью называется
функция, которая переводит
множество натуральных
чисел в
некоторое множество :

Элемент называется первым
членом последовательности, –
вторым, … , – -ым
или общим
членом последовательности.

Пример

Задание. Для
последовательности определить,
чему равен третий член

Решение. Третьим
элементом последовательности будет
элемент, идущий третьим по счету, то
есть для заданной последовательности
имеем, что

Ответ.

Задание последовательности формулой ее общего члена

Обычно
последовательность целесообразнее
задавать формулой ее общего члена,
которая позволяет найти любой член
последовательности, зная его номер.

Пример

Задание. Найти
формулу общего члена последовательности

Решение. Запишем
каждый член последовательности в
следующем виде:

Как
видим, члены последовательности
представляют собой произведение степени
двойки, умноженной на последовательные
нечетные числа, причем два возводится
в степень, которая равна номеру
рассматриваемого элемента.

Таким
образом, делаем вывод, что

Ответ. Формула
общего члена:

Рекуррентный способ задания последовательности

Другим
способом задания последовательности
является задание последовательности
с помощью рекуррентного соотношения.
В этом случае задается один или несколько
первых элементов последовательности,
а остальные определяются по некоторому
правилу. Например, известен первый
член последовательности
и известно, что ,
то есть и
так далее до нужного члена.

Пример

Примером
рекуррентно заданной последовательности
является последовательность чисел
Фибоначчи – 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … , в которой
каждое последующее число, начиная с
третьего, является суммой двух предыдущих:
2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1 и так далее. Данную
последовательность можно задать
рекуррентно:

Интегрирование
рациональных дробей

Всякую
рациональную функцию можно представить
в виде рациональной дроби, т. е. в виде
отношения двух многочленов:

Если
степень числителя ниже степени
знаменателя, то дробь называется правильной,
в противном случае дробь
называется неправильной.

Если
дробь неправильная, то, разделив числитель
на знаменатель (по правилу деления
многочленов), можно представить данную
дробь в виде суммы многочлена и некоторой
правильной дроби: ,
где M(x)-многочлен,
а правильная
дробь.