Как найти формулу которая задает линейную функцию

Инфоурок


Алгебра

КонспектыАлгоритм определения формулы линейной функции по графику

Алгоритм определения формулы линейной функции по графику

Скачать материал

без ожидания

Скачать материал

без ожидания

  • Сейчас обучается 612 человек из 77 регионов

  • Сейчас обучается 27 человек из 18 регионов

  • Сейчас обучается 50 человек из 27 регионов

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 257 129 материалов в базе

  • Выберите категорию:

  • Выберите учебник и тему

  • Выберите класс:

  • Тип материала:

    • Все материалы

    • Статьи

    • Научные работы

    • Видеоуроки

    • Презентации

    • Конспекты

    • Тесты

    • Рабочие программы

    • Другие методич. материалы

Найти материалы

Материал подходит для УМК

  • «Алгебра», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.

    «Алгебра», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.

    Тема

    16. Линейная функция и её график

    Больше материалов по этой теме

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

  • Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»

  • Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»

  • Курс повышения квалификации «Методика написания учебной и научно-исследовательской работы в школе (доклад, реферат, эссе, статья) в процессе реализации метапредметных задач ФГОС ОО»

  • Курс повышения квалификации «Основы местного самоуправления и муниципальной службы»

  • Курс повышения квалификации «Организация практики студентов в соответствии с требованиями ФГОС юридических направлений подготовки»

  • Курс профессиональной переподготовки «Логистика: теория и методика преподавания в образовательной организации»

  • Курс повышения квалификации «Разработка бизнес-плана и анализ инвестиционных проектов»

  • Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»

  • Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»

  • Курс профессиональной переподготовки «Организация маркетинга в туризме»

  • Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»

  • Курс повышения квалификации «Мировая экономика и международные экономические отношения»

  • Курс профессиональной переподготовки «Управление информационной средой на основе инноваций»

  • Скачать материал (медленно)

    Настоящий материал опубликован пользователем Хидиятова Залифа Даутовна. Инфоурок является
    информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте
    методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них
    сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с
    сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал

  • Хидиятова Залифа Даутовна

    • На сайте: 6 лет и 6 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 102094
    • Всего материалов:

      37

построить график линейной функции:

a)

y=13x+1,x∈−6;3

;  b)

y=13x+1,x∈−6;3

.

Составим таблицу значений функции:

(x) (-6) (3)
(y) (-1) (2)

Построим на координатной плоскости (xOy) точки ((-6;-1)) и ((3;2)) и

проведём через них прямую.

Далее выделим отрезок, соединяющий построенные точки.

Этот отрезок и есть график линейной функции

y=13x+1,x∈−6;3

.

Точки ((-6); (-1)) и ((3); (2)) на рисунке отмечены тёмными кружочками.

рисунок 2.png

b) Во втором случае функция та же, только значения (x=-6) и (x=3) не рассматриваются, так как они не принадлежат интервалу ((-6;3)). 

Поэтому точки ((-6); (-1)) и ((3); (2)) на рисунке отмечены светлыми кружочками.

рисунок 3.png

По графику линейной функции, можно определить наибольшее и наименьшее значения линейной функции на заданном отрезке.

В случае

a)

y=13x+1,x∈−6;3

, имеем:

yнаиб

 (= 2) и

yнаим

 (= -1);

b)

y=13x+1,x∈−6;3

, концы отрезка не рассматриваются, поэтому наибольшего и наименьшего значений нет.

Прежде чем перейти к изучению функции «y = kx»
внимательно изучите урок
«Что такое функция в математике»
и
«Как решать задачи на функцию».

Важно!
Галка

Функцию вида «y = kx + b» называют линейной функцией.

Буквенные множители «k» и «b»
называют
числовыми коэффициентами.

Вместо «k» и «b»
могут стоять любые числа (положительные, отрицательные или дроби).

Другими словами, можно сказать, что «y = kx + b» — это семейство всевозможных функций, где вместо
«k» и «b» стоят числа.

Примеры функций типа «y = kx + b».

  • y = 5x + 3
  • y = −x + 1
  • y = x − 2
  • y = 0,5x

Давайте определим для каждой функций выше, чему равны числовые коэффициенты
«k» и
«b».

Функция Коэффициент «k» Коэффициент «b»
y = 5x + 3 k = 5 b = 3
y = −x + 1 k = −1 b = 1
y =

2
3

x − 2

k =

2
3
b = −2
y = 0,5x k = 0,5 b = 0

Обратите особое внимание на функцию «y = 0,5x»
в таблице. Часто совершают ошибку при поиске в ней числового коэффициента «b».

Рассматривая
функцию «y = 0,5x», неверно утверждать, что числового коэффициента
«b» в функции нет.

Числовый коэффициент «b» присутствет в функции типа «y = kx + b» всегда.
В функции «y = 0,5x»
числовый коэффициент «b» равен нулю.

Как построить график линейной функции
«y = kx + b»

Запомните!
!

Графиком линейной функции «y = kx + b» является прямая.

Так как графиком функции «y = kx + b»
является прямая линия, функцию называют линейной функцией.

Из геометрии вспомним аксиому (утверждение, которое не требует доказательств),
что через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

Исходя из аксиомы выше следует, что
чтобы построить график функции вида
«у = kx + b» нам достаточно будет найти всего
две точки.

Для примера построим график функции «y = −2x + 1».

Найдем значение функции «y» для двух произвольных значений «x».
Подставим, например, вместо «x» числа «0» и «1».

Важно!
Галка

Выбирая произвольные числовые значения вместо «x», лучше брать числа
«0» и «1».
С этими числами легко выполнять расчеты.

x Расчет «y = −2x + 1»
0 y(0) = −2 · 0 + 1 = 1
1 y(1) = −2 · 1 + 1 = −2 + 1 = −1

Полученные значения «x» и «y» — это координаты точек графика функции.

Запишем полученные координаты точек «y = −2x + 1» в таблицу.

Точка Координата по оси «Оx»
(абсцисса)
Координата по оси «Оy»
(ордината)
(·)A 0 1
(·)B 1 −1

Отметим полученные точки на системе координат.

точки графика функции y = -2x + 1

Теперь проведем прямую через отмеченные точки. Эта прямая будет
являться графиком функции «y = −2x + 1».

график функции y = -2x + 1

Как решать задачи на
линейную функцию «y = kx + b»

Рассмотрим задачу.


Построить график функции «y = 2x + 3». Найти по графику:

  1. значение «y» соответствующее значению «x» равному −1; 2; 3; 5;
  2. значение «x», если значение «y» равно
    1; 4; 0; −1.

Вначале построим график функции «y = 2x + 3».

Используем правила, по которым мы строили график функции выше.
Для построения графика функции «y = 2x + 3» достаточно найти всего две точки.

Выберем два произвольных числовых значения для «x». Для удобства расчетов выберем числа
«0» и «1».

Выполним расчеты и запишем их результаты в таблицу.

Точка Координата
по оси «Оx»
Координата
по оси «Оy»
(·)A 0 y(0) = 2 · 0 + 3 = 3
(·)B 1 y(1) = 2 ·1 + 3 = 5

Отметим полученные точки на прямоугольной системе координат.

точки графика функции y = 2x + 3

Соединим полученные точки прямой. Проведенная прямая будет являться графиком функции
«y = 2x + 3».

график функции y = 2x + 3


Теперь работаем с построенным графиком функции «y = 2x + 3».

Требуется найти значение «y»,
соответствующее значению «x»,
которое равно −1; 2; 3; 5.


Тему
«Как получить координаты точки функции» с графика функции
мы уже подробно рассматривали в уроке
«Как решать задачи на функцию».

В этому уроке для решения задачи выше вспомним только основные моменты.

Запомните!
!

Чтобы найти значение «y» по известному значению «x» на графике
функции необходимо:

  1. провести перпендикуляр от оси «Ox»
    (ось абсцисс)
    из заданного числового значения «x»
    до пересечения
    с графиком функции;
  2. из полученной точки пересечения перпендикуляра и графика функции провести еще один перпендикуляр к оси
    «Oy»
    (ось ординат);
  3. полученное числовое значение на оси «Oy» и будет искомым значением.

По правилам выше найдем на построенном ранее графике функции «y = 2x + 3»
необходимые значения функции «y» для
«x» равным −1; 2; 3; 5.

найти значения y по известным значениям x

Запишем полученные результаты в таблицу.

Заданное значение «x» Полученное с графика значение «y»
−1 1
2 7
3 9
5 13

Переходим ко второму заданию задачи. Требуется найти значение «x»,
если значение «y» равно 1; 4; 0; −1.

Выполним те же действия, что и при решении предыдущего задания.
Разница будет лишь в том, что изначально мы будем проводить перпендикуляры от оси
«Oy».

найти значения x по известным значениям y

Запишем полученные результаты в таблицу.

Заданное значение «y» Полученное с графика значение «x»
−1 −2
0 −1,5
1 −1
4 0,5

Как проверить, проходит ли график через точку

Рассмотрим другое задание.

Не выполняя построения графика функции
«y = 2x −
», выяснить, проходит ли график
через точки с координатами (0;
− )
и (1; −2).


Запомните!
!

Чтобы проверить принадлежность точки графику функции нет необходимости строить график функции.

Достаточно подставить координаты точки в формулу функции (координату по оси
«Ox» вместо
«x», а координату по оси
«Oy» вместо «y») и выполнить арифметические расчеты.

  • Если получится верное равенство, значит, точка принадлежит графику функции.
  • Если получится неверное равенство, значит, точка
    не принадлежит графику функции.

Подставим в функцию
«y = 2x −
»

координаты точки (0;
− )
.


− = 2 · 0

   − =


(верно)

Это означает, что график функции «y = 2x −
» проходит через точку с координатами (0;
− )
.


Проверим точку с координатами (1; −2).
Также подставим координаты
в функцию «y = 2x −
».


−2 = 2 · 1 −

−2 = 2 −

−2 = 1 −

        −2 = 1 (неверно)

Это означает, что график функции «y = 2x −
» не проходит через точку с координатами (1; −2).


Как найти точки пересечения графика с осями

Рассмотрим задачу.

Найти координаты точек пересечения графика функции «y = −1,5x + 3» с осями координат.

Для начала построим график функции «y = −1,5x + 3» и на графике отметим точки пересечения
с осями.

Для построения графика функции найдем координаты двух точек
функции
«y = −1,5x + 3».

Выберем два произвольных числовых значения для «x» и рассчитаем значение
«y» по формуле
функции. Например, для x = 0 и
x = 1.

Точка Координата
по оси «Оx»
Координата
по оси «Оy»
(·)A 0 y(0) = −1,5 · 0 + 3 = 3
(·)B 1 y(1) = −1,5 · 1 + 3 = 1,5

Отметим полученные точки на системе координат и проведем через них прямую.
Тем самым мы построим график функции «y = −1,5x + 3».

точки пересечения графика функции с осями

Теперь найдем координаты точек пересечения графика функции с осями по формуле функции.

Запомните!
!

Чтобы найти координаты точки пересечения графика функции
с осью
«Oy»
(осью ординат)
нужно:

  • приравнять координату точки по оси
    «Ox» к нулю
    (x = 0);
  • подставить вместо «x» в формулу функции ноль и найти значение
    «y»;
  • записать полученные координаты точки пересечения с осью
    «Oy».

Подставим вместо «x» в формулу функции «y = −1,5x + 3» число ноль.

y(0) = −1,5 · 0 + 3 = 3

(0; 3) — координаты точки пересечения графика функции «y = −1,5x + 3»
c осью «Oy».

Запомните!
!

Чтобы найти координаты точки пересечения графика функции
с осью
«Ox»
(осью абсцисс)
нужно:

  • приравнять координату точки по оси
    «Oy» к нулю
    (y = 0);
  • подставить вместо «y» в формулу функции ноль и найти значение
    «x»;
  • записать полученные координаты точки пересечения с осью
    «Oy».

Подставим вместо «y» в формулу функции «y = −1,5x + 3» число ноль.

0 = −1,5x + 3        
1,5x = 3        | :(1,5)
x = 3 : 1,5           
x = 2                   

(2; 0) — координаты точки пересечения графика функции «y = −1,5x + 3»
c осью «Ox».

Чтобы было проще запомнить, какую координату точки нужно приравнивать к нулю, запомните
«правило противоположности».

Важно!
Галка

Если нужно найти координаты точки пересечения графика с осью
«Ox», то приравниваем
«y» к нулю.

И наооборот. Если нужно найти координаты точки пересечениа графика с осью
«Oy»,
то приравниваем «x» к нулю.


Ваши комментарии

Важно!
Галка

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи

«ВКонтакте».

Пришелец пожимает плечами

Оставить комментарий:

19 мая 2023 в 9:06

Михаил Лысенко
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Михаил Лысенко
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

0
Спасибоthanks
Ответить

19 мая 2023 в 13:04
Ответ для Михаил Лысенко

Борис Гуров
(^-^)
Профиль
Благодарили: 1

Сообщений: 28

(^-^)
Борис Гуров
Профиль
Благодарили: 1

Сообщений: 28


Добрый день!

Это квадратичная функция. Они разобраны в другом уроке

0
Спасибоthanks
Ответить


Определение

Функция, заданная формулой y=kx+b, где х – переменная, k и b – некоторые числа, называется линейной функцией. Переменную х называют независимой переменной, переменную у – зависимой переменной.

Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно взять два значения х, чтобы получить два значения у и, соответственно, две точки, через которые проходит единственная прямая.

Число k называется угловым коэффициентом прямой.

Свойства линейной функции

  1. Область определения функции – множество всех действительных чисел. То есть в данную формулу мы можем подставлять любое значение х.
  2. Областью значений также является множество всех действительных чисел.
  3. Функция не имеет ни наибольших, ни наименьших значений.
  4. При k – положительном, угол наклона к оси х острый, другими словами – график функции возрастает.
  5. При k отрицательном угол наклона к оси х тупой, то есть график функции – убывает.
  6. При k=0 прямая параллельна оси х.
  7. Частный случай линейной функции: y=kx, где число b=0, эту функцию называют прямой пропорциональностью, график такой функции проходит через начало координат.

Рассмотрим на примерах расположение прямых в координатной плоскости в зависимости от значения чисел k и b.

Пример №1

Построить график функции у=2х – 1. Для того, чтобы удобнее было выполнять вычисления, построение и т.д. сделаем таблицу для значений х и у:

Для построения графика подбираем два значения х, одно из них желательно брать равное нулю, второе, например 3 (подбираем небольшие числа).

Теперь подставляем значения х в формулу и вычисляем соответствующие значения у:

у=2х – 1=2×0 – 1= –1;

у=2х – 1=2×3 – 1= 5.

Вписываем в таблицу значения у:

Теперь строим систему координат, отмечаем в ней точки с координатами      А(0; –1) и В(3;5), проводим через эти две точки прямую.

Итак, по формуле мы видим, что угловой коэффициент – положительный, значит, график – возрастает, что мы и видим на нашем графике.

Пример №2.

Построить график функции у= –3х+4. Итак, делаем таблицу на два значения, например, возьмем 0 и 2.

По формуле видим, что угловой коэффициент отрицательный, значит, прямая будет убывать. Строим убывающую прямую в системе координат через две точки А(0;4) и В(2; –2).

Пример №3

Построить график функции у=4. Видим, что в данном случае число х=0, значит, прямая будет проходить через точку с координатой (0;4) параллельно оси х. На графике это выглядит следующим образом:

Построить график функции у=3х. Данная функция является частным случаем, когда прямая проходит через начало координат. Поэтому в данном случае можно взять устно одно значение х, например 2, тогда у получим равный 6. Таким образом, имеем две точки (2;6) и (0;0). Строим их в системе координат и проводим через них прямую, которая будет возрастать, так как угловой коэффициент равен 3, т.е. положительный.

Задание OM1106o

На рисунках изображены графики функций вида y=kx+b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.

ГРАФИКИ:

КОЭФФИЦИЕНТЫ:

1) k>0, b<0                   2) k>0, b>0                    3) k<0, b<0 


ассмотрим коэффициенты под №3. Если k<0, значит, график имеет тупой (>900) угол с положит.направлением оси абсцисс (Ох). Если b<0, то это говорит, что график пересекает ось ординат (Оу) ниже нуля. Эти два условия реализованы на графике В. Итак, получаем для ответа пару: В–3.

У двух других пар коэффициентов (№№ 1 и 2) зафиксировано, что k>0. Это соответствует оставшимся графикам А и Б, т.к. они оба наклонены к положительно направлению оси Оx под острым углом (<900). Следовательно, выбор соответствия должен быть выполнен по коэффициенту b.

В 1-й паре коэффициентов b<0. Это означает, что соответствующий им график должен пересекать ось Оу в точке ниже начала координат. Таковым является график Б, и мы получаем пару Б–1. В паре коэффициентов №2 b>0, что соответствует графику А, который пересекает ось Оу выше начала координат. Это подтверждает, что и оставшаяся пара А–2 тоже верна.

Ответ: 213

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Задание OM1103o

Установите соответствие между функциями и их графиками.

Функции:

A) y = 3x

Б) y = -3x

В) y = (1/3)x

Графики:

Графики функций огэ по математике в 5 задании


Функция представляет собой линейную зависимость, а именно уравнение первого порядка вида:

y = kx + b

График данной функции зависит от и b.

  • если k < 0,  то функция убывает, то есть линия идет сверху вниз, как на третьем рисунке
  • если k > 0, то функция возрастает, то есть линия идет снизу вверх, как на первых двух рисунках
  • коэффициент b определяет сдвиг по оси y, если b < 0, то прямая пересекает ось y ниже 0 в точке y = b, если  b > 0, то выше ноля в точке y = b
  • если k >1, то прямая идет круче, чем обычная y = x (как на втором и третьем графике), если k <1 , то положе, как на примере рисунка №1

Следовательно, графику y = 3x соответствует рисунок 2, так как прямая идет снизу вверх и она более крутая, чем кривая на рисунке 1, которому соответствует функция y = (1/3)x.

Графику 3 соответствует функция y = -3x так как k = -3 < 0, и график идет сверху вниз.

Ответ:

A) 2

Б) 3

В) 1

Ответ: 231

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Даниил Романович | Просмотров: 6.1k

Голубева Наталья Викторовна

Материал используется на уроке алгебры в 7 классе при изучении линейной функции.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Слайд 1

2 урок . По графику научить определять заданную функцию. Тема «Линейная функция и её график».

Слайд 2

На рисунке представлен график функции у = kx + b. Записать формулу линейной функции, соответствующей данному графику. Так как ордината точки пересечения графика функции с осью Оy равна 1, следовательно, b=1. у = kx + 1 Выбираем на графике произвольную точку и определяем её координаты: если x = 2, то у = 2 . Подставим в нашу формулу и получим уравнение относительно k. 2 = 2k+1 2k=1 k = 0.5 Записываем формулу линейной функции: у = 0,5х + 1.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

  • Мне нравится 

 

Добавить комментарий