Как найти формулу обратной функции - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Функция, обратная данной
Алгоритм вывода формулы функции, обратной данной
Свойства взаимно обратных функций
Примеры

Функция, обратная данной

По определению (см. §34 справочника для 7 класса)

Функция – это соответствие, при котором каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной.

Пусть некоторое соответствие задано таблицей:

x	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
y	-2	-1,5	-1	-0,5	0	0,5	1	1,5	2

Множество значений X = {-4;-3;…;4} отображается в множество значений Y = {-2;-1,5;…;2}: $X xrightarrow{f} Y$. При этом каждому значению x соответствует единственное значение y, т.е., данное соответствие f является функцией.

С другой стороны, мы можем рассмотреть обратное отображение $Y xrightarrow{g} X$, заданное той же таблицей. При этом каждому значению y соответствует единственное значение x, т.е., обратное соответствие $g = f^{-1}$ также является функцией.

Функцию $f: X xrightarrow{f} Y$ с областью определения X и областью значений Y называют обратимой, если обратное ей соответствие $g: Y xrightarrow{g} g X$ также является фунцией.

Если функция f обратима, то обратное ей соответствие $g = f^{-1}$ называют обратной функцией к f.

Например: аналитическое выражение для функции $X xrightarrow{f} Y$, заданной таблицей $y = f(x) = frac{x}{2}$. Обратное соответствие $Y xrightarrow{g} X$ также является функцией x = g(y) = 2y.

Функция g – обратная функция к f.

В общем случае формулы функций записывают в виде y(x). При такой записи, функции $y = frac{x}{2}$ и y=2x являются взаимно обратными.

Алгоритм вывода формулы функции, обратной данной

На входе: множества X и Y, для которых оба соответствия $X xrightarrow{f} Y$ и $Y xrightarrow{g} X$ являются функциями.

Шаг 1. В формуле для исходной функции заменить обозначения аргумента и значения: $x rightarrow y$, $y rightarrow x$.

Шаг 2. Из полученной формулы выразить y(x). Искомое выражение для обратной функции найдено.

Шаг 3. Учесть ограничения для области определения и области значений исходной и/или обратной функций.

Например:

1) Пусть исходная функция $y = frac{x}{2}$

Шаг 1. Меняем аргумент и значение: $x = frac{y}{2}$

Шаг 2. Находим y из полученной формулы: y = 2x – искомая обратная функция

Шаг 3. Ограничений на x и y нет

2) Пусть исходная функция y = -2x+3

Шаг 1. Меняем аргумент и значение: x = -2y+3

Шаг 2. Находим y из полученной формулы: $y = frac{-x+3}{2}$ – искомая обратная функция

Шаг 3. Ограничений на x и y нет

3) Пусть исходная функция $y = sqrt{x+1}$

Шаг 1. Меняем аргумент и значение: $x = sqrt{y+1}$

Шаг 2. Находим y из полученной формулы: $y = x^2-1$ – искомая обратная функция

Шаг 3. На исходную функцию накладываются ограничения

на $x:x+1 ge 0 Rightarrow x ge -1$, на $y:y ge 0$

Тогда исходная функция определяется на множествах $y ge -1$, $x ge 0$

4) Пусть исходная функция $y = 2x^2+1$

Шаг 1. Меняем аргумент и значение: $x = 2y^2+1$

Шаг 2. Находим y из полученной формулы: $y = sqrt{frac{x-1}{2}}$ – искомая обратная функция

Шаг 3. На обратную функцию накладываются ограничения

на $x:x-1 ge 0 Rightarrow x ge 1$, на $y:y ge 0$

Тогда исходная функция определяется на множествах $y ge 1$, $x ge 0$

Исходная функция — парабола получает ограничения из-за обратной функции; только в этом случаи функции будут взаимно обратными.

Свойства взаимно обратных функций

Пусть f и g – взаимно обратные функции. Тогда:

1. Область определения функции f является областью значений функции g, а область значений функции f является областью определения функции g.

2. Функции f и g либо одновременно возрастающие, либо одновременно убывающие.

3. Если f – нечётная, то и g – нечётная.

4. Графики f и g симметричны относительно биссектрисы 1-й четверти y = x.

5. Справедливы тождества f(g(x) ) = x и g(f(x) ) = x.

Например:

Графики пар взаимно обратных функций, найденных выше:

Примеры

Пример 1. Задайте формулой функцию, обратную данной.

а) y = 5x-4

Меняем аргумент и значение: x = 5y-4

Получаем: $y = frac{x+4}{5}$ – искомая обратная функция

б) y = -3x+2

Меняем аргумент и значение: x = -3y+2

Получаем: $y = frac{-x+2}{3}$ – искомая обратная функция

в) y = 4x+1, где $-1 le x le 5$

Меняем аргумент и значение: x = 4y+1

Получаем: $y = frac{x-1}{4}$

Требуем, чтобы: $-1 le y le 5 Rightarrow -1 le frac{x-1}{4} le 5 Rightarrow -4 le x-1 le 20 Rightarrow -3 le x le 21$

Итак, искомая обратная функция: $y = frac{x-1}{4}$, где -3 $le x le 21$

г) $y=- frac{1}{2} x+7$, где $2 le x le 9$

Меняем аргумент и значение: $x=-frac{1}{2} y+7$

Получаем: y = 2(-x+7) = -2x+14

Требуем, чтобы: $2 le y le 9 Rightarrow 2 le -2x+14 le 9 Rightarrow -12 le -2x le -5 Rightarrow$

$6 ge x ge 2,5 Rightarrow 2,5 le x le 6$

$y = -2x+14,где 2,5 le x le 6$ – искомая обратная функция

Пример 2. Найдите функцию, обратную данной.

Постройте график исходной и обратной функции в одной системе координат.

а) $y=x^2,x le 0$ Обратная функция $x = y^2 Rightarrow y = pm sqrt{x}$ При этом $y le 0$ Поэтому выбираем $y = – sqrt{x}$ – искомая обратная функция
б) y = x-3, $-1 le x le 4$ Обратная функция $x = y-3 Rightarrow y = x+3$ При этом $-1 le y le 4 Rightarrow -1 le x+3 le 4$ $Rightarrow -4 le x le 1$ y = x+3, $-4 le x le 1$ – искомая обратная функция
в) $y = frac{1}{x+1} $ Обратная функция $x = frac{1}{y+1} Rightarrow y = frac{1}{x} -1$
г) $y = 1+ sqrt{x-3}$ Область определения: $x ge 3$ Область значений: $y ge 1$ Обратная функция: $x = 1+ sqrt{y-3} Rightarrow y = (x-1)^2+3$ Область определения: $x ge 1$ Область значений: $y ge 3$

Источник

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 15 июля 2022 года; проверки требуют 13 правок.

Функция и обратная ей функция $f^{-1}$ . Если f(a)=3 , то $f^{-1}(3)=a$

Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Например, если функция от x даёт y, то обратная ей функция от y даёт x. Обратная функция функции обычно обозначается $f^{-1}$ , иногда также используется обозначение $f^{mathrm{inv}}$ .

Функция, имеющая обратную, называется обратимой.

Определение[править | править код]

Функция g:Yto X называется обратной к функции f:Xto Y , если выполнены следующие тождества:

Связанные определения[править | править код]

Существование[править | править код]

Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение относительно . Если оно имеет более чем один корень, то функции, обратной к не существует. Таким образом, функция f(x) обратима на интервале (a;b) тогда и только тогда, когда на этом интервале она взаимно-однозначна.

Для непрерывной функции F(y) выразить из уравнения возможно в том и только том случае, когда функция F(y) строго монотонна (см. теорема о неявной функции). Тем не менее, непрерывную функцию всегда можно обратить на промежутках её строгой монотонности. Например, sqrt{x} является обратной функцией к $x^{2}$ на , хотя на промежутке обратная функция другая: .

Для существования обратной функции не являются необходимыми ни непрерывность, ни монотонность исходной функции. Пример: функция где D(x) — функция Дирихле, разрывна и не монотонна, однако обратная для неё существует^[2]:

Примеры[править | править код]

Свойства[править | править код]

Графики функции и обратной ей

$y = F(x) Leftrightarrow x = F^{-1}(y)$

или

$Fleft(F^{-1}(y)right) = y,; forall y in Y$

$F^{-1}(F(x)) = x,; forall x in X$

или короче

$F circ F^{-1} = mathrm{id}_Y$

$F^{-1} circ F = mathrm{id}_X$

где circ означает композицию функций, а $mathrm{id}_X, mathrm{id}_Y$ — тождественные отображения на и соответственно.

$left(F^{-1}right)^{-1} = F$

Теорема. Композиция любых двух обратимых функций является обратимой функцией, то есть ${displaystyle {left(fcirc gright)}^{-1}=g^{-1}circ f^{-1}}$ .

Доказательство
Поскольку ${displaystyle alpha circ {alpha }^{-1}={alpha }^{-1}circ alpha =e}$ и для любой обратимой функции , где — тождественное преобразование, то можно записать следующие равенства. Имеем: ${displaystyle e=eLongleftrightarrow e=fcirc f^{-1}Longleftrightarrow e=fcirc gcirc g^{-1}circ f^{-1}Longleftrightarrow e=left(fcirc gright)circ left(g^{-1}circ f^{-1}right).}$ Подействуем слева функцией ${displaystyle {left(fcirc gright)}^{-1}}$ и получим: ${displaystyle {left(fcirc gright)}^{-1}circ mid e=left(fcirc gright)circ left(g^{-1}circ f^{-1}right)Longleftrightarrow {left(fcirc gright)}^{-1}circ e={left(fcirc gright)}^{-1}circ left(fcirc gright)circ left(g^{-1}circ f^{-1}right)Longleftrightarrow {left(fcirc gright)}^{-1}=ecirc left(g^{-1}circ f^{-1}right)Longleftrightarrow {left(fcirc gright)}^{-1}=g^{-1}circ f^{-1}.}$ Теорема доказана.

Доказательство

Поскольку ${displaystyle alpha circ {alpha }^{-1}={alpha }^{-1}circ alpha =e}$

{displaystyle alpha circ e=ecirc alpha =alpha }

для любой обратимой функции alpha

, где

— тождественное преобразование, то можно записать следующие равенства.

Имеем: ${displaystyle e=eLongleftrightarrow e=fcirc f^{-1}Longleftrightarrow e=fcirc gcirc g^{-1}circ f^{-1}Longleftrightarrow e=left(fcirc gright)circ left(g^{-1}circ f^{-1}right).}$

Подействуем слева функцией ${displaystyle {left(fcirc gright)}^{-1}}$ и получим: ${displaystyle {left(fcirc gright)}^{-1}circ mid e=left(fcirc gright)circ left(g^{-1}circ f^{-1}right)Longleftrightarrow {left(fcirc gright)}^{-1}circ e={left(fcirc gright)}^{-1}circ left(fcirc gright)circ left(g^{-1}circ f^{-1}right)Longleftrightarrow {left(fcirc gright)}^{-1}=ecirc left(g^{-1}circ f^{-1}right)Longleftrightarrow {left(fcirc gright)}^{-1}=g^{-1}circ f^{-1}.}$
Теорема доказана.

Это утверждение легко запомнить так: «Пиджак надевают после рубашки, а снимают раньше».

Разложение в степенной ряд[править | править код]

Обратная функция аналитической в некоторой окрестности точки $x_{0}$ функции может быть представлена в виде степенного ряда:

${displaystyle f^{-1}(y)=sum _{k=0}^{infty }A_{k}(x_{0}){frac {(y-f(x_{0}))^{k}}{k!}},}$

где функции A_k задаются рекурсивной формулой:

${displaystyle A_{n}(x)={begin{cases}x;,;n=0\{frac {A_{n-1}'(x)}{f'(x)}};,;n>0end{cases}}}$

См. также[править | править код]

Теорема Лагранжа об обращении рядов
Обратные тригонометрические функции
Обратимая функция

Примечания[править | править код]

↑ Куликов Л.Я. “Алгебра и теория чисел: Учебное пособие для педагогических институтов”
↑ Шибинский В. М. Примеры и контрпримеры в курсе математического анализа. Учебное пособие. — М.: Высшая школа, 2007. — С. 29—30. — 543 с. — ISBN 978-5-06-005774-4.

Источник

Нахождение формулы для функции, обратной данной

Пользуясь формулой (y = f(x)), следует выразить (x) через (y), а в полученной формуле (x = g(y)) заменить (x) на (y), а (y) на (x).

Пример:

найти функцию, обратную для функции

y=x2,x∈0;+∞)

Функция

y=x2

возрастает на промежутке

0;+∞)

. Делаем вывод, что обратная функция существует. Если значения (x) принадлежат промежутку

0;+∞)

, то

x=y

. Заменим (x) на (y), а (y) на (x), получим обратную функцию

y=x,x∈0;+∞)

. Обратная функция определена на промежутке

0;+∞)

и её график симметричен графику функции

y=x2,x∈0;+∞)

относительно прямой (y=x).

Источник

Загрузить PDF

Математические функции, обычно обозначаемые как f(x) или g(x), можно представить как порядок выполнения математических операций, которые позволяют прийти от «x» к «y». Обратная функция f(x) записывается как f^-1(x).^[1] В случае простых функций найти обратную функцию несложно.

Шаги

1
Полностью перепишите функцию, заменив f(x) на y. При этом «у» должна находиться на одной стороне функции, а «x» — на другой. Если вам дана функция вида 2 + y = 3x², вам необходимо изолировать «у» на одной стороне, а «x» — на другой.
- Пример. Перепишем данную функцию f(x) = 5x – 2 как y = 5x – 2. f(x) и «y» взаимозаменяемы.
- f(x) — это стандартная запись функции, но если вы имеете дело с несколькими функциями, то каждой из них нужно будет присвоить свою букву, чтобы их было легче отличать друг от друга. Например, часто функции обозначают как g(x) и h(x).
2
Найдите «x». Другими словами, выполните математические операции, необходимые для изолирования «x» по одну сторону от знака равенства. Основные алгебраические принципы: если «x» имеет числовой коэффициент, то разделите обе стороны функции на этот коэффициент; если к члену с «x» прибавляется некоторый свободный член, вычтите его с обеих сторон функции (и так далее).
- Помните, что вы можете применять любую операцию по отношению к одной из сторон уравнения только в том случае, если вы применяете ту же операцию по отношению ко всем членам по обе стороны от знака равенства.^[2]
- В нашем примере добавьте 2 к обеим частям уравнения. Вы получите y + 2 = 5x. Затем разделите обе части уравнения на 5 и получите (y + 2)/5 = x. И, наконец, перепишите уравнение с «x» в левой части: x = (y + 2)/5.
3
Поменяйте переменные, заменив «x» на «y» и наоборот. Результатом будет функция, обратная исходной. Другими словами, если мы подставим значение «x» в исходное уравнение и найдем значение «у», то, подставив это значение «у» в обратную функцию, мы получим значение «x».
- В нашем примере получим y = (x + 2)/5.
4
Замените «у» на f^-1(x). Обратные функции обычно записывают в виде f^-1(x) = (члены с «x»). Следует отметить, что в данном случае -1 — это не показатель степени; это просто обозначение обратной функции.
- Так как «x» в -1 степени равно 1/x, то f^-1(x) — это форма записи 1/f(x), что также обозначает функцию, обратную f(x).
5
Проверьте работу, вместо «x» подставив постоянное значение в исходную функцию. Если вы правильно нашли обратную функцию, подставив в нее значение «у», вы найдете подставленное значение «x».
- Например, подставьте x = 4. Вы получите f(x) = 5(4) – 2 или f(x) = 18.
- Теперь подставьте 18 в обратную функцию и получите y = (18 + 2)/5 = 20/5 = 4. То есть у = 4. Это подставленное значение «x», поэтому вы правильно нашли обратную функцию.
Реклама

Советы

Когда вы выполняете алгебраические операции над функциями, вы можете свободно заменять f(x) = y и f^(-1)(x) = y в обоих направлениях. Но прямая запись обратной функции может привести к путанице, поэтому придерживайтесь записи f(x) или f^(-1)(x), которая поможет вам отличить их друг от друга.
Обратите внимание, что обратная функция обычно (но не всегда) является функциональной зависимостью.^[3]

Об этой статье

Эту страницу просматривали 63 447 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Функция, обратная данной

Алгоритм вывода формулы функции, обратной данной

Свойства взаимно обратных функций

Примеры

Определение[править | править код]

Связанные определения[править | править код]

Существование[править | править код]

Примеры[править | править код]

Свойства[править | править код]

Разложение в степенной ряд[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Шаги

Советы

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Вам также может понравиться

Как найти белку в лесу зимой

Как найти каналы на телевизоре samsung кабельное

Как найти неисправную лампу в мониторе

Добавить комментарий Отменить ответ