Как найти формулу общего члена последовательности an - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Содержание:

Основные понятия и определения
Задание последовательности формулой ее общего члена
Рекуррентный способ задания последовательности

Основные понятия и определения

Определение

Последовательностью называется функция, которая переводит множество
натуральных
чисел $N$ в некоторое множество
$X$ :
$left{x_{n}right}=left{x_{n}right}_{n=1}^{infty}=left{x_{1} ; x_{2} ; ldots ; x_{n} ; ldotsright}, x_{i} in N$

Элемент $x_{1}$ называется первым членом
последовательности, $x_{2}$ – вторым, … ,
$x_{n}$ –
$n$-ым или общим членом последовательности.

Пример

Задание. Для последовательности $x_{n}={-1 ; 2 ; 5 ; 8 ;-3 ; 0 ; ldots}$
определить, чему равен третий член $x_{3}$

Решение. Третьим элементом последовательности будет элемент, идущий третьим по счету, то есть для
заданной последовательности имеем, что $x_{3}=5$

Ответ. $x_{3}=5$

Задание последовательности формулой ее общего члена

Обычно последовательность целесообразнее задавать формулой ее общего члена, которая позволяет найти любой член
последовательности, зная его номер.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Найти формулу общего члена последовательности
$x_{n}={6 ; 20 ; 56 ; 144 ; 352 ; ldots}$

Решение. Запишем каждый член последовательности в следующем виде:

$n=1 : x_{1}=6=2 cdot 3=2^{1} cdot 3=2^{1} cdot(2 cdot 1+1)$

$n=2 : x_{2}=20=4 cdot 5=2^{2} cdot 5=2^{2} cdot(2 cdot 2+1)$

$n=3 : x_{3}=56=8 cdot 7=2^{3} cdot 7=2^{3} cdot(2 cdot 3+1)$

Как видим, члены последовательности представляют собой произведение степени двойки, умноженной на
последовательные нечетные числа, причем два возводится в степень, которая равна номеру рассматриваемого элемента.

Таким образом, делаем вывод, что

$x_{n}=2^{n} cdot(2 n+1)$

Ответ. Формула общего члена: $x_{n}=2^{n} cdot(2 n+1)$

Пример

Задание. Найти 15 член последовательности, заданной формулой
$n$-го члена:
$x_{n}=frac{(-1)^{n}}{n}, n in N$

Решение. Для того чтобы найти $x_{15}$ ,
подставим в формулу общего члена значение $n=15$ . Получим:

$x_{15}=frac{(-1)^{15}}{15}=-frac{1}{15}$

Ответ. $x_{15}=frac{(-1)^{15}}{15}=-frac{1}{15}$

Пример

Задание. Проверить, являются ли числа
$a=6$ и
$b=1$ членами последовательности
$left{x_{n}right}=left{frac{n^{2}+11}{n+1}right}$

Решение. Число $a=6$ является
членом последовательности $left{x_{n}right}, n in N$ , если существует
такой номер $n_{0} in N$ , что
$x_{n_{0}}=a=6$ :

$6=x_{n o}=frac{n_{0}^{2}+11}{n_{0}+1} Rightarrow frac{n_{0}^{2}+11}{n_{0}+1}=6 Rightarrow$

$Rightarrow n_{0}^{2}-6 n_{0}+5=0 Rightarrow=left{begin{array}{l}{n_{0}=1} \ {n_{0}=5}end{array}right.$

Таким образом, число $a=6$ является первым и
пятым членами заданной последовательности.

Проверим теперь, является ли число $b=1$ членом указанной
последовательности $left{x_{n}right}=left{frac{n^{2}+11}{n+1}right}$ . Рассуждая аналогично,
как и для $a=6$ , получаем:

$frac{n_{0}^{2}+11}{n_{0}+1}=1 Rightarrow n_{0}^{2}-n_{0}+10=0 Rightarrow D=1-40=-39 lt 0$

Таким образом, уравнение $n_{0}^{2}-n_{0}+10=0$ не имеет
решение в натуральных числах, а значит, $b=1$ не
является членом последовательности $left{x_{n}right}$

Ответ. Число $a=6$ является
первым и пятым членами заданной последовательности, а
$b=1$ не является членом последовательности
$left{x_{n}right}=left{frac{n^{2}+11}{n+1}right}$

Рекуррентный способ задания последовательности

Другим способом задания последовательности является задание последовательности с помощью рекуррентного соотношения.
В этом случае задается один или несколько первых элементов последовательности, а остальные определяются по некоторому
правилу. Например, известен первый член $x_{1}$
последовательности и известно, что $x_{n+1}=fleft(x_{n}right)$ , то
есть $x_{2}=fleft(x_{1}right), x_{3}=fleft(x_{2}right)$ и так далее до нужного члена.

Пример

Примером рекуррентно заданной последовательности является последовательность чисел
Фибоначчи – 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … , в которой каждое последующее число, начиная с третьего, является суммой
двух предыдущих: 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1 и так далее. Данную последовательность можно задать рекуррентно:

$x_{n+2}=x_{n+1}+x_{n}, n in N, x_{1}=x_{2}=1$

Пример

Задание. Последовательность $left{x_{n}right}$
задана при помощи рекуррентного соотношения $x_{n+2}=frac{1}{2}left(x_{n+1}+x_{n}right), x_{1}=2, x_{2}=4$ .
Выписать несколько первых членов этой последовательности.

Решение. Найдем третий член заданной последовательности:

$x_{3}=frac{1}{2}left(x_{2}+x_{1}right)=frac{4+2}{2}=frac{6}{2}=3$

Аналогично находим далее, что

$x_{4}=frac{1}{2}left(x_{3}+x_{2}right)=frac{3+4}{2}=frac{7}{2}=3,5$

$x_{5}=frac{1}{2}left(x_{4}+x_{3}right)=frac{3+3,5}{2}=frac{6,5}{2}=3,25$

и так далее.

При рекуррентном задании последовательностей, получаются очень громоздкими выкладки, так как, чтобы найти элементы с
большими номерами, необходимо найти все предыдущие члены указанной последовательности, например, для
нахождения $x_{500}$ надо найти все предыдущие 499 членов.

Читать дальше: ограниченные последовательности.

Источник

Онлайн калькулятор для нахождения формулы общего члена последовательности.

Скачать калькулятор

Рейтинг: 2.7 (Голосов 311)

Пожалуйста напишите с чем связна такая низкая оценка:

Для установки калькулятора на iPhone – просто добавьте страницу
«На главный экран»

Для установки калькулятора на Android – просто добавьте страницу
«На главный экран»

Сообщить об ошибке

Смотрите также

Решение прогрессии	Графические построения	Математический анализ	Решение интегралов	Решение неравенств
Решение функций	Решение комплексных чисел	Производные функции	Решение логарифмов	Решение уравнений

Источник

17:22

формула последовательности

Формула общего члена последовательности

Определение. Последовательностью называется функция, которая переводит множество натуральных чисел N в некоторое множество X:

Как найти общую формулу

Пример 1. Найти формулу общего члена последовательности { 2, 3/2, 5/4, 9/8,…}

Решение. В калькулятор вводим первые четыре члена последовательности 2, 3/2, 5/4, 9/8, получаем формулу общего члена

Пример 2. Найти общий член ряда

Решение. Не всегда калькулятор сам справляется с задачей найти общий член последовательности. Тогда проявляем математическую смекалку: находим по отдельности общую формулу числителя и знаменателя.В калькулятор вводим первые четыре члена последовательности числителей 3, 8, 15, 24 – получаем формулу числителя n²+2n. Далее вводим в калькулятор четыре первые знаменателя: 13,103,1003,10003 – получаем 3+10ⁿ

Следовательно, общий член

Пример 3. Найти общий член ряда

Решение. Нетрудно заметить, что четвертый член ряда выбивается из закономерности числителей √n. Выполним замену

Следовательно общая формула числителя √n. В калькулятор вводим четыре первых знаменателя 1,2,6,24 – получаем n!

Можем записать формулу общего члена (учитываем знак)

Категория: Найти предел | Просмотров: 28374 | | Теги: найти предел | Рейтинг: 2.0/3

Источник

Нахождение общего члена ряда по заданным первым членам. Первая часть.

Числовой ряд можно задать по-разному. Чаще всего просто используют запись вида $sumlimits_{n=1}^{infty}u_n$. Однако изредка указывают несколько первых членов ряда, по которым нужно восстановить общий член ряда. Честно говоря, подобные задачи не имеют единственного решения, и это будет продемонстрировано в примере №1. Впрочем, есть некие общие приёмы, которые применяют в стандартных случаях.

Для начала стоит запомнить несколько последовательностей. Например, квадраты натуральных чисел, т.е. последовательность $u_n=n^2$. Вот несколько первых членов этой последовательности:

$$
begin{equation}
1;; 4;; 9;; 16;; 25;; 36;; 49;; 64; ;81; ldots
end{equation}
$$

Как мы получили эти числа? показатьскрыть

Также стоит иметь в виду члены последовательности $u_n=n^3$. Вот несколько первых её членов:

$$
begin{equation}
1;; 8;; 27;; 64;; 125;; 216;; 343;; 512;;729; ldots
end{equation}
$$

Кроме того, для формирования общего члена ряда частенько используется последовательность $u_n=n!$, несколько первых членов которой таковы:

$$
begin{equation}
1;; 2;; 6;; 24;; 120;; 720;; 5040; ldots
end{equation}
$$

Что обозначает “n!”? показатьскрыть

Часто используются также арифметическая и геометрическая прогрессии. Если первый член арифметической прогрессии равен $a_1$, а разность равна $d$, то общий член арифметической прогрессии записывается с помощью такой формулы:

$$
begin{equation}
a_n=a_1+dcdot (n-1)
end{equation}
$$

Что такое арифметическая прогрессия? показатьскрыть

Стоит также отметить геометрическую прогрессию. Если первый член прогрессии равен $b_1$, а знаменатель равен $q$, то общий член геометрической прогрессии задаётся такой формулой:

$$
begin{equation}
b_n=b_1cdot q^{n-1}
end{equation}
$$

Что такое геометрическая прогрессия? показатьскрыть

Во всех изложенных ниже примерах члены рядов будем обозначать буквами $u_1$ (первый член ряда), $u_2$ (второй член ряда) и так далее. Запись $u_n$ будет обозначать общий член ряда.

Пример №1

Найти общий член ряда $frac{1}{7}+frac{2}{9}+frac{3}{11}+frac{4}{13}+ldots$.

Решение

Суть таких задач состоит в том, чтобы заметить закономерность, которая присуща первым членам ряда. И на основании этой закономерности сделать вывод о виде общего члена. Что означает фраза “найти общий член”? Она означает, что необходимо найти такое выражение, подставляя в которое $n=1$ получим первый член ряда, т.е. $frac{1}{7}$; подставляя $n=2$ получим второй член ряда, т.е. $frac{2}{9}$; подставляя $n=3$ получим третий член ряда, т.е. $frac{3}{11}$ и так далее. Нам известны первые четыре члена ряда:

$$
u_1=frac{1}{7};; u_2=frac{2}{9};; u_3=frac{3}{11};; u_4=frac{4}{13}.
$$

Давайте двигаться постепенно. Все известные нам члены ряда – дроби, поэтому резонно предположить, что и общий член ряда тоже представлен дробью:

$$
u_n=frac{?}{?}
$$

Наша задача – выяснить, что же скрывается под знаками вопроса в числителе и знаменателе. Сначала обратимся к числителю. В числителях известных нам членов ряда стоят числа 1, 2, 3 и 4. Заметьте, что номер каждого члена ряда равен числителю. У первого члена в числителе стоит единица, у второго – двойка, у третьего – тройка, у четвёртого – четвёрка.

Ряд

Логично предположить, что у n-го члена в числителе будет стоять $n$:

$$
u_n=frac{n}{?}
$$

Кстати сказать, к этому выводу мы можем прийти и иным путём, более формальным. Что представляет собой последовательность 1, 2, 3, 4? Отметим, что каждый последующий член этой последовательности на 1 больше, чем предыдущий. Мы имеем дело с четырьмя членами арифметической прогрессии, первый член которой $a_1=1$, а разность $d=1$. Используя формулу (4), получим выражение общего члена прогрессии:

$$
a_n=1+1cdot (n-1)=1+n-1=n.
$$

Итак, угадывание или формальный расчёт – дело вкуса. Главное – мы записали числитель общего члена ряда. Перейдём к знаменателю.

В знаменателях мы имеем последовательность 7, 9, 11, 13. Это четыре члена арифметической прогрессии, первый член которой равен $b_1=7$, а разность $d=2$. Общий член прогрессии найдем, используя формулу (4):

$$
b_n=7+2cdot (n-1)=7+2n-2=2n+5.
$$

Полученное выражение, т.е. $2n+5$, и будет знаменателем общего члена ряда. Итак:

$$
u_n=frac{n}{2n+5}.
$$

Общий член ряда получен. Давайте проверим, подходит ли найденная нами формула $u_n=frac{n}{2n+5}$ для вычисления уже известных членов ряда. Найдём члены $u_1$, $u_2$, $u_3$ и $u_4$ по формуле $u_n=frac{n}{2n+5}$. Результаты, естественно, должны совпасть с заданными нам по условию первыми четырьмя членами ряда.

$$
u_1=frac{1}{2cdot 1+5}=frac{1}{7};; u_2=frac{2}{2cdot 2+5}=frac{2}{9};; u_3=frac{3}{2cdot 3+5}=frac{3}{11};; u_4=frac{4}{2cdot 4+5}=frac{4}{13}.
$$

Всё верно, результаты совпадают. Заданный в условии ряд можно записать теперь в такой форме: $sumlimits_{n=1}^{infty}frac{n}{2n+5}$. Общий член ряда имеет вид $u_n=frac{n}{2n+5}$.

В принципе, если речь идёт о стандартном примере, то можно считать, что ответ получен. Однако если вам интересно поисследовать вопрос более детально, то прошу читать далее. Вопрос вот в чём: является ли найденное выше представление общего члена единственным? Ответ на этот вопрос далеко не столь очевидный, как кажется на первый взгляд. Например, давайте продолжим заданный в условии ряд таким образом:

$$
frac{1}{7}+frac{2}{9}+frac{3}{11}+frac{4}{13}+0+0+0+0+0+0+0+ldots
$$

Разве такой ряд не имеет право на существование? Ещё как имеет. И для этого ряда можно записать, что

$$
u_1=frac{1}{7};; u_2=frac{2}{9};; u_3=frac{3}{11};; u_4=frac{4}{13}; ; u_n=0; (n≥ 5).
$$

Можно записать и иное продолжение. Например, такое:

$$
frac{1}{7}+frac{2}{9}+frac{3}{11}+frac{4}{13}+frac{1}{5}+frac{1}{6}+frac{1}{7}+frac{1}{8}+frac{1}{9}+frac{1}{10}+ldots
$$

И такое продолжение ничему не противоречит. При этом можно записать, что

$$
u_1=frac{1}{7};; u_2=frac{2}{9};; u_3=frac{3}{11};; u_4=frac{4}{13}; ; u_n=frac{1}{n}; (n≥ 5).
$$

Если первые два варианта показались вам чересчур формальными, то предложу третий. Давайте запишем общий член в таком виде:

$$
u_n=frac{n}{n^4-10n^3+35n^2-48n+29}.
$$

Вычислим первые четыре члена ряда, используя предложенную формулу общего члена:

begin{aligned}
& u_1=frac{1}{1^4-10cdot 1^3+35cdot 1^2-48cdot 1+29}=frac{1}{7};\
& u_2=frac{2}{2^4-10cdot 2^3+35cdot 2^2-48cdot 2+29}=frac{2}{9};\
& u_3=frac{3}{3^4-10cdot 3^3+35cdot 3^2-48cdot 3+29}=frac{3}{11};\
& u_4=frac{4}{4^4-10cdot 4^3+35cdot 4^2-48cdot 4+29}=frac{4}{13}.
end{aligned}

Как видите, предложенная формула общего члена вполне корректна. И таких вариаций можно придумать бесконечно много, их количество ничем не ограничено. В стандартных примерах, конечно, используется стандартный набор неких известных последовательностей (прогрессии, степени, факториалы и т.д.). Однако в таких задачах всегда присутствует неопределённость, и об этом желательно помнить.

Во всех последующих примерах эта неоднозначность оговариваться не будет. Решать станем стандартными способами, которые приняты в большинстве задачников.

Ответ: общий член ряда: $u_n=frac{n}{2n+5}$.

Пример №2

Записать общий член ряда $frac{1}{1cdot 5}+frac{1}{3cdot 8}+frac{1}{5cdot 11}+frac{1}{7cdot 14}+frac{1}{9cdot 17}+ldots$.

Решение

Нам известны первые пять членов ряда:

$$
u_1=frac{1}{1cdot 5};; u_2=frac{1}{3cdot 8}; ; u_3=frac{1}{5cdot 11}; ; u_4=frac{1}{7cdot 14}; ; u_5=frac{1}{9cdot 17}.
$$

Все известные нам члены ряда – дроби, значит и общий член ряда будем искать в виде дроби:

$$
u_n=frac{?}{?}.
$$

Сразу обратим внимание на числитель. Во всех числителях стоят единицы, поэтому и в числителе общего члена ряда будет единица, т.е.

$$
u_n=frac{1}{?}.
$$

Теперь обратимся к знаменателю. В знаменателях известных нам первых членов ряда расположены произведения чисел: $1cdot 5$, $3cdot 8$, $5cdot 11$, $7cdot 14$, $9cdot 17$. Первые из этих чисел таковы: 1, 3, 5, 7, 9. Данная последовательность имеет первый член $a_1=1$, а каждый последующий получается из предыдущего прибавлением числа $d=2$. Иными словами, это первые пять членов арифметической прогрессии, общий член которой можно записать с помощью формулы (4):

$$
a_n=1+2cdot (n-1)=1+2n-2=2n-1.
$$

В произведениях $1cdot 5$, $3cdot 8$, $5cdot 11$, $7cdot 14$, $9cdot 17$ вторые числа таковы: 5, 8, 11, 14, 17. Это элементы арифметической прогрессии, первый член которой $b_1=5$, а знаменатель $d=3$. Общий член этой прогрессии запишем с помощью всё той же формулы (4):

$$
b_n=5+3cdot (n-1)=5+3n-3=3n+2.
$$

Сведём результаты воедино. Произведение в знаменателе общего члена ряда таково: $(2n-1)(3n+2)$. А сам общий член ряда имеет следующий вид:

$$
u_n=frac{1}{(2n-1)(3n+2)}.
$$

Для проверки полученного результата найдём по формуле $u_n=frac{1}{(2n-1)(3n+2)}$ те четыре первых члена ряда, которые нам известны:

begin{aligned}
& u_1=frac{1}{(2cdot 1-1)(3cdot 1+2)}=frac{1}{1cdot 5};\
& u_2=frac{1}{(2cdot 2-1)(3cdot 2+2)}=frac{1}{3cdot 8};\
& u_3=frac{1}{(2cdot 3-1)(3cdot 3+2)}=frac{1}{5cdot 11};\
& u_4=frac{1}{(2cdot 4-1)(3cdot 4+2)}=frac{1}{7cdot 14};\
& u_5=frac{1}{(2cdot 5-1)(3cdot 5+2)}=frac{1}{9cdot 17}.
end{aligned}

Итак, формула $u_n=frac{1}{(2n-1)(3n+2)}$ позволяет точно вычислить члены ряда, известные из условия. При желании заданный ряд можно записать так:

$$
sumlimits_{n=1}^{infty}frac{1}{(2n-1)(3n+2)}=frac{1}{1cdot 5}+frac{1}{3cdot 8}+frac{1}{5cdot 11}+frac{1}{7cdot 14}+frac{1}{9cdot 17}+ldots
$$

Ответ: общий член ряда: $u_n=frac{1}{(2n-1)(3n+2)}$.

Продолжение этой темы рассмотрим в второй и третьей частях.

Источник

У этого термина существуют и другие значения, см. Прогрессия.

Арифмети́ческая прогре́ссия — числовая последовательность вида

${displaystyle a_{1}, a_{1}+d, a_{1}+2d, ldots , a_{1}+(n-1)d, ldots ,}$

то есть последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа (шага, или разности прогрессии):

${displaystyle a_{n}=a_{n-1}+d.}$ ^[1]

Любой член арифметической прогрессии равен первому её члену, сложенному с произведением разности прогрессии на число членов, предшествующих определяемому, т. е. он выражается формулой^[2]:

${displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d.}$

Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При d>0 она является возрастающей, а при d<0 — убывающей. Если d=0 , то последовательность будет стационарной. Эти утверждения следуют из соотношения $a_{n+1}-a_n=d$ для членов арифметической прогрессии.

Свойства[править | править код]

Общий член арифметической прогрессии[править | править код]

Член арифметической прогрессии с номером может быть найден по формулам

${displaystyle a_{n}=a_{m}-(m-n)d}$

где $a_{1}$

— первый член прогрессии,

— её разность, a_m

— член арифметической прогрессии с номером

Доказательство формулы общего члена арифметической прогрессии

Пользуясь соотношением $a_{n+1}=a_n+d$ выписываем последовательно несколько членов прогрессии, а именно:

Заметив закономерность, делаем предположение, что . С помощью математической индукции покажем, что предположение верно для всех :

База индукции (n=1) :

— утверждение истинно.

Переход индукции:

Пусть наше утверждение верно при n=k , то есть . Докажем истинность утверждения при n=k+1 :

$a_{k+1}=a_k+d=a_1+(k-1)d+d=a_1+kd$

Итак, утверждение верно и при n=k+1 . Это значит, что для всех .■

Отметим, что в формулах общего члена -й член прогрессии есть линейная функция. Об этом говорит следующая теорема.

Доказательство

Необходимость. Пусть ${displaystyle left{a_{n}right}}$ арифметическая прогрессия. Тогда, как было уже показано, , то есть ${displaystyle a_{n}=nd+a_{1}-d}$ . Так как есть линейная функция и , это значит, что и ${displaystyle b=a_{1}-d}$ , т. е. a_n — линейная функция, где ${displaystyle fleft(nright)=nd+a_{1}-d}$ .

Достаточность. Пусть a_n есть линейная функция, т. е. ${displaystyle a_{n}=acdot x+b}$ . Так как и , то ${displaystyle a_{n}=acdot n+b}$ , тогда ${displaystyle a_{n+1}=acdot left(n+1right)+b}$ .
Рассмотрим ${displaystyle a_{n+1}-a_{n}=left(acdot left(n+1right)+bright)-left(an+bright)}$ .
Отсюда следует, что ${displaystyle a_{n+1}-a_{n}=a}$ , где — величина постоянная. Тогда ${displaystyle a_{n+1}=a_{n}+a}$ , а это значит по определению, что ${displaystyle left{a_{n}right}}$ — арифметическая прогрессия.■

Суммы членов арифметической прогрессии с равными суммами номеров равны, т. е. ${displaystyle a_{n}+a_{m}=a_{k}+a_{l}Longleftrightarrow n+m=k+lquad vert ;forall left(n,,m,,k,,lin mathbb {N} right)}$ .

Характеристическое свойство арифметической прогрессии[править | править код]

Последовательность есть арифметическая прогрессия для любого её элемента выполняется условие

${displaystyle a_{n}={dfrac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}},ngeqslant 2.}$

Доказательство характеристического свойства арифметической прогрессии

Необходимость.

Поскольку — арифметическая прогрессия, то для выполняются соотношения:

$a_n=a_{n-1}+d$

$a_n=a_{n+1}-d$ .

Сложив эти равенства и разделив обе части на 2, получим ${displaystyle a_{n}={dfrac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}}$ .

Достаточность.

Имеем, что для каждого элемента последовательности, начиная со второго, выполняется $a_n=frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2$ . Следует показать, что эта последовательность есть арифметическая прогрессия. Преобразуем эту формулу к виду $a_{n+1}-a_n=a_n-a_{n-1}$ . Поскольку соотношения верны при всех , с помощью математической индукции покажем, что $a_2-a_1=a_3-a_2=ldots =a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_n$ .

База индукции (n=2) :

— утверждение истинно.

Переход индукции:

Пусть наше утверждение верно при n=k , то есть $a_2-a_1=a_3-a_2=ldots =a_k-a_{k-1}=a_{k+1}-a_k$ . Докажем истинность утверждения при n=k+1 :

$a_{k+1}-a_{k}=a_{k+2}-a_{k+1}$

Но по предположению индукции следует, что $a_2-a_1=a_3-a_2=ldots =a_k-a_{k-1}=a_{k+1}-a_k$ . Получаем, что $a_2-a_1=a_3-a_2=ldots =a_k-a_{k-1}=a_{k+1}-a_k=a_{k+2}-a_{k+1}$

Итак, утверждение верно и при n=k+1 . Это значит, что $a_n=frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2, n geqslant 2 Rightarrow a_2-a_1=a_3-a_2=ldots =a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_n$ .

Обозначим эти разности через . Итак, $a_2-a_1=a_3-a_2=ldots =a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_n=d$ , а отсюда имеем $a_{n+1}=a_n+d$ для . Поскольку для членов последовательности выполняется соотношение $a_{n+1}=a_n+d$ , то это есть арифметическая прогрессия.■

Тождество арифметической прогрессии[править | править код]

Доказательство тождества арифметической прогрессии

С помощью формулы общего члена выразим -й, -й, -й члены:

${displaystyle a_{k}=a_{1}+(k-1)d,quad a_{l}=a_{1}+(l-1)d,quad a_{m}=a_{1}+(m-1)d.}$

Вычитая почленно из первого равенства второе, а из второго третьего, получим:

${displaystyle a_{k}-a_{l}=(k-l)d,quad a_{l}-a_{m}=(l-m)d.}$

Выражая из этих равенств и приравнивая полученные выражения, получим:

${displaystyle {dfrac {a_{k}-a_{l}}{k-l}}={dfrac {a_{l}-a_{m}}{l-m}}.}$

По основному свойству пропорции:

${displaystyle (l-m)(a_{k}-a_{l})=(k-l)(a_{l}-a_{m}).}$

Откуда следует доказываемое тождество:

${displaystyle (k-l)a_{m}+(m-k)a_{l}+(l-m)a_{k}=0.}$

■

Следствие 1. Всякий член арифметической прогрессии вырази́м^[5] через любую пару других членов.

Доказательство

Преобразовав тождество арифметической прогрессии

${displaystyle (k-l)a_{m}+(m-k)a_{l}+(l-m)a_{k}=0}$

к виду

${displaystyle a_{m}={dfrac {(l-m)a_{k}+(m-k)a_{l}}{l-k}},}$

можно заметить, что -й член есть линейная комбинация двух других членов ( $a_{{k}}$ и ${displaystyle a_{l}}$ ), поскольку оно равносильно

${displaystyle a_{m}={dfrac {l-m}{l-k}}a_{k}+{dfrac {m-k}{l-k}}a_{l}.}$

■

Следствие 2. Для того, чтобы число ${displaystyle a_{m}}$ являлось членом данной арифметической прогрессии с членами $a_{{k}}$ и ${displaystyle a_{l}}$ , необходимо и достаточно, чтобы было натуральным число

${displaystyle m={dfrac {(a_{l}-a_{m})k+(a_{m}-a_{k})l}{a_{l}-a_{k}}}.}$

Формулировка ещё одного признака арифметической прогрессии.

Следствие 3 [критерий]. Числовая последовательность является арифметической прогрессией в том и только в том случае, если выполняется тождество арифметической прогрессии для всех членов данной последовательности. Другими словами, чтобы каждый член был вырази́м через любую пару остальных членов последовательности.

${displaystyle left{a_{n}right}~-~div Longleftrightarrow left(k-lright)a_{m}+left(m-kright)a_{l}+left(l-mright)a_{k}=0mid forall k,forall l,forall min mathbb {N} .}$

Доказательство

Необходимость. Утверждение

${displaystyle left{a_{n}right}~-~div Rightarrow left(k-lright)a_{m}+left(m-kright)a_{l}+left(l-mright)a_{k}=0mid forall k,forall l,forall min mathbb {N} }$

очевидно (см. доказательство тождества арифметической прогрессии).

Достаточность. Докажем, что

${displaystyle left{a_{n}right}~-~div Leftarrow left(k-lright)a_{m}+left(m-kright)a_{l}+left(l-mright)a_{k}=0mid forall k,forall l,forall min mathbb {N} .}$

Равенство

${displaystyle (k-l)a_{m}+(m-k)a_{l}+(l-m)a_{k}=0}$

можно преобразовать к виду

${displaystyle (l-m)(a_{k}-a_{l})=(k-l)(a_{l}-a_{m}).}$

Если все три номера различны, тогда

${displaystyle {dfrac {a_{k}-a_{l}}{k-l}}={dfrac {a_{l}-a_{m}}{l-m}}.}$

Обозначим выражение, например, в левой части равенства за , то есть

${displaystyle d={dfrac {a_{k}-a_{l}}{k-l}}.}$

Откуда можно прийти к следующему предложению:

${displaystyle a_{k}=a_{l}+{left(k-lright)}d.}$

Наконец, методом математической индукции, например, по нетрудно убедиться, что данное соотношение описывает именно арифметическую прогрессию.

Действительно, при l=1 (база индукции) получаем формулу общего члена арифметической прогрессии:

${displaystyle a_{k}=a_{1}+{left(k-1right)}d.}$

Предположим истинность утверждения (для ): формула ${displaystyle a_{k}=a_{l}+{left(k-lright)}d}$ характеризует арифметическую прогрессию. Тогда покажем, что и при l+1 формула верна для арифметической прогрессии (переход, или шаг, индукции). Рассмотрим левую часть формулы

${displaystyle a_{k}=a_{l+1}+{left(k-left(l+1right)right)}d.}$

По предположению индукции ( ${displaystyle a_{k}=a_{l}+{left(k-lright)}d}$ ) заменим $a_{k}$ на выражение ${displaystyle a_{l}+{left(k-lright)}d}$ . Итак, получим следующее:

${displaystyle a_{l}+{left(k-lright)}d=a_{l+1}+{left(k-left(l+1right)right)}d.}$

Методом тождественных преобразований имеем равносильное предложение

${displaystyle a_{l+1}=a_{l}+d.}$

А это, в свою очередь, рекуррентное соотношение для арифметической прогрессии.

Значит, по принципу математической индукции можно утвердать, что для всякого соотношение ${displaystyle a_{k}=a_{l}+{left(k-lright)}d}$ верно только и только для членов арифметической прогрессии.

Аналогичные рассуждения проводятся для формулы ${displaystyle d={dfrac {a_{l}-a_{m}}{l-m}}}$ .

Данное следствие целиком и полностью считается доказанным.■

Сумма первых n членов арифметической прогрессии[править | править код]

Сумма первых членов арифметической прогрессии ${displaystyle S_{n}=sum _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}+a_{2}+ldots +a_{n}}$ может быть найдена по формулам

${displaystyle S_{n}={dfrac {a_{1}+a_{n}}{2}}cdot n}$

, где $a_{1}$

— первый член прогрессии, a_n

— член с номером

— количество суммируемых членов.

${displaystyle S_{n}={dfrac {a_{1}+a_{n}}{2}}cdot ({dfrac {a_{n}-a_{1}}{a_{2}-a_{1}}}+1)}$

— где $a_{1}$

— первый член прогрессии, $a_{2}$

— второй член прогрессии ${displaystyle ,a_{n}}$

— член с номером

${displaystyle S_{n}={dfrac {2a_{1}+d(n-1)}{2}}cdot n}$

, где $a_{1}$

— первый член прогрессии,

— разность прогрессии,

— количество суммируемых членов.

${displaystyle S_{n}=a_{frac {n+1}{2}}cdot n}$

, если

— нечётное натуральное число.

Доказательство
Запишем сумму двумя способами: $S_n=a_1+a_2+a_3+ ldots +a_{n-2}+a_{n-1}+a_n$ $S_n=a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+ ldots +a_3+a_2+a_1$ — та же сумма, только слагаемые идут в обратном порядке. Теперь сложим оба равенства, последовательно складывая в правой части слагаемые, которые стоят на одной вертикали: $2S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+(a_3+a_{n-2})+ ldots +(a_{n-2}+a_3)+(a_{n-1}+a_2)+(a_n+a_1)$ Покажем, что все слагаемые (все скобки) полученной суммы равны между собой. В общем виде каждое слагаемое можно подать в виде $a_i+a_{n-i+1}, i=1,2,ldots,n$ . Воспользуемся формулой общего члена арифметической прогрессии: $a_i+a_{n-i+1}=a_1+(i-1)d+a_1+(n-i+1-1)d=2a_1+(n-1)d, i=1,2,ldots,n$ Получили, что каждое слагаемое не зависит от и равно . В частности, . Поскольку таких слагаемых , то ${displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})cdot nRightarrow S_{n}={dfrac {a_{1}+a_{n}}{2}}cdot n}$ Третья формула для суммы получается подстановкой вместо . Что и так непосредственно следует из выражения для общего члена. Замечание: Вместо в первой формуле для суммы можно взять любое из других слагаемых $a_i+a_{n-i+1}, i=2,3,ldots,n$ , так как они все равны между собой.

Доказательство

Запишем сумму двумя способами:

$S_n=a_1+a_2+a_3+ ldots +a_{n-2}+a_{n-1}+a_n$

$S_n=a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+ ldots +a_3+a_2+a_1$ — та же сумма, только слагаемые идут в обратном порядке.

Теперь сложим оба равенства, последовательно складывая в правой части слагаемые, которые стоят на одной вертикали:

$2S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+(a_3+a_{n-2})+ ldots +(a_{n-2}+a_3)+(a_{n-1}+a_2)+(a_n+a_1)$

Покажем, что все слагаемые (все скобки) полученной суммы равны между собой. В общем виде каждое слагаемое можно подать в виде $a_i+a_{n-i+1}, i=1,2,ldots,n$ . Воспользуемся формулой общего члена арифметической прогрессии:

$a_i+a_{n-i+1}=a_1+(i-1)d+a_1+(n-i+1-1)d=2a_1+(n-1)d, i=1,2,ldots,n$

Получили, что каждое слагаемое не зависит от и равно . В частности, . Поскольку таких слагаемых , то

${displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})cdot nRightarrow S_{n}={dfrac {a_{1}+a_{n}}{2}}cdot n}$

Третья формула для суммы получается подстановкой вместо a_1+a_n . Что и так непосредственно следует из выражения для общего члена.

Замечание:

Вместо a_1+a_n в первой формуле для суммы можно взять любое из других слагаемых $a_i+a_{n-i+1}, i=2,3,ldots,n$ , так как они все равны между собой.

Формулировка ещё одного факта: для всякой арифметической прогрессии при любом выполняется равенство:

${displaystyle S_{2n}=S_{n}+{dfrac {1}{3}}S_{3n}.}$

Примечание: $S_{k}$ — сумма первых членов арифметической прогрессии.

Доказательство
1. Очевидно, что ${displaystyle {dfrac {S_{2n}}{2n}}-{dfrac {S_{n}}{n}}={dfrac {a_{1}+a_{2n}-left(a_{1}+a_{n}right)}{2}}={dfrac {a_{2n}-a_{n}}{2}},}$ или ${displaystyle S_{2n}-2S_{n}=ncdot (a_{2n}-a_{n}).}$ Прибавим к обеим частям $S_{n}$ и получим, что ${displaystyle S_{2n}-S_{n}=S_{n}+ncdot (a_{2n}-a_{n}).}$ 2. Покажем, что ${displaystyle S_{n}+ncdot (a_{2n}-a_{n})={dfrac {1}{3}}S_{3n}.}$ Это так, поскольку можно написать верное равенство: ${displaystyle {dfrac {S_{3n}}{3n}}-{dfrac {S_{n}}{n}}={dfrac {a_{3n}-a_{n}}{2}}.}$ Из него следует, что ${displaystyle {dfrac {S_{3n}}{3}}=S_{n}+{dfrac {a_{3n}-a_{n}}{2}}cdot n.}$ 3. Теперь докажем, что ${displaystyle a_{2n}-a_{n}={dfrac {a_{3n}-a_{n}}{2}}.}$ Перепишем последнее как ${displaystyle a_{2n}={dfrac {a_{3n}+a_{n}}{2}}.}$ Но гораздо лучше представить это равенство в виде ${displaystyle a_{2n}={dfrac {a_{2n+1}+a_{2n-1}}{2}}.}$ Видно, что это характеристическое свойство арифметической прогрессии. Значит, действительно ${displaystyle a_{2n}-a_{n}={dfrac {a_{3n}-a_{n}}{2}}.}$ 4. А следовательно, ${displaystyle S_{n}+ncdot (a_{2n}-a_{n})={dfrac {1}{3}}S_{3n}.}$ 5. Тем самым, ${displaystyle S_{2n}=S_{n}+{dfrac {1}{3}}S_{3n},}$ что и требовалось доказать.

Доказательство

1. Очевидно, что ${displaystyle {dfrac {S_{2n}}{2n}}-{dfrac {S_{n}}{n}}={dfrac {a_{1}+a_{2n}-left(a_{1}+a_{n}right)}{2}}={dfrac {a_{2n}-a_{n}}{2}},}$ или ${displaystyle S_{2n}-2S_{n}=ncdot (a_{2n}-a_{n}).}$

Прибавим к обеим частям $S_{n}$ и получим, что ${displaystyle S_{2n}-S_{n}=S_{n}+ncdot (a_{2n}-a_{n}).}$

2. Покажем, что ${displaystyle S_{n}+ncdot (a_{2n}-a_{n})={dfrac {1}{3}}S_{3n}.}$

Это так, поскольку можно написать верное равенство:

${displaystyle {dfrac {S_{3n}}{3n}}-{dfrac {S_{n}}{n}}={dfrac {a_{3n}-a_{n}}{2}}.}$

Из него следует, что ${displaystyle {dfrac {S_{3n}}{3}}=S_{n}+{dfrac {a_{3n}-a_{n}}{2}}cdot n.}$

3. Теперь докажем, что ${displaystyle a_{2n}-a_{n}={dfrac {a_{3n}-a_{n}}{2}}.}$
Перепишем последнее как ${displaystyle a_{2n}={dfrac {a_{3n}+a_{n}}{2}}.}$

Но гораздо лучше представить это равенство в виде ${displaystyle a_{2n}={dfrac {a_{2n+1}+a_{2n-1}}{2}}.}$ Видно, что это характеристическое свойство арифметической прогрессии.
Значит, действительно ${displaystyle a_{2n}-a_{n}={dfrac {a_{3n}-a_{n}}{2}}.}$

4. А следовательно, ${displaystyle S_{n}+ncdot (a_{2n}-a_{n})={dfrac {1}{3}}S_{3n}.}$

5. Тем самым, ${displaystyle S_{2n}=S_{n}+{dfrac {1}{3}}S_{3n},}$ что и требовалось доказать.

Предыдущее свойство имеет обобщение.

Для любых натуральных , , выполняется комплементарное свойство сумм:

${displaystyle {dfrac {l-m}{k}}cdot S_{k}+{dfrac {m-k}{l}}cdot S_{l}+{dfrac {k-l}{m}}cdot S_{m}=0.}$

Ещё один признак арифметической прогрессии.

Сумма членов арифметической прогрессии от n-го до m-го[править | править код]

Сумма членов арифметической прогрессии с номерами от до ${displaystyle S_{m,n}=sum _{i=n}^{m}a_{i}=a_{n}+a_{n+1}+ldots +a_{m}}$ может быть найдена по формулам

${displaystyle S_{m,n}={dfrac {a_{m}+a_{n}}{2}}cdot (m-n+1)}$

, где

— член с номером

— член с номером

— количество суммируемых членов.

${displaystyle S_{m,n}={dfrac {2a_{n}+dleft(m-nright)}{2}}cdot left(m-n+1right),}$

где a_n — член с номером , — разность прогрессии, — количество суммируемых членов.

Произведение членов арифметической прогрессии[править | править код]

Произведением первых членов арифметической прогрессии ${displaystyle left{a_{n}right}}$ называется произведение от $a_{1}$ до a_n , то есть выражение вида ${displaystyle prod limits _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}cdot a_{2}cdot a_{3}cdot ldots cdot a_{n-2}cdot a_{n-1}cdot a_{n}.}$ Обозначение: $P_{n}$ .

Свойство произведения:

Число множителей-скобок ${displaystyle {left(a_{frac {n+1}{2}}^{2}-{left[idright]}^{2}right)}}$ равно ${displaystyle {dfrac {n-1}{2}}}$ , а в самом произведении ${displaystyle a_{frac {n+1}{2}}cdot prod limits _{i=1}^{frac {n-1}{2}}{left(a_{frac {n+1}{2}}^{2}-{left[idright]}^{2}right)}}$ их составляет ${displaystyle {dfrac {n+1}{2}}}$ «штук».^[10]

Сходимость арифметической прогрессии[править | править код]

Арифметическая прогрессия расходится при dne 0 и сходится при d=0 . Причём

$lim_{nrightarrowinfty} a_n=left{ begin{matrix} +infty, d>0 \ -infty, d<0 \ a_1, d=0 end{matrix} right.$

Доказательство
Записав выражение для общего члена и исследуя предел $lim_{nrightarrowinfty} (a_1+(n-1)d)$ , получаем искомый результат.

Связь между арифметической и геометрической прогрессиями[править | править код]

Пусть — арифметическая прогрессия с разностью и число a>0 . Тогда последовательность вида $a^{a_1}, a^{a_2}, a^{a_3}, ldots$ есть геометрическая прогрессия со знаменателем a^d .

Доказательство
Проверим характеристическое свойство для образованной геометрической прогрессии: $sqrt{a^{a_{n-1}}cdot a^{a_{n+1}}}= a^{a_n}, ngeqslant 2$ Воспользуемся выражением для общего члена арифметической прогрессии: $sqrt{a^{a_{n-1}}cdot a^{a_{n+1}}}=sqrt{a^{a_1+(n-2)d}cdot a^{a_1+nd}}=sqrt{a^{2a_1+2(n-1)d}}=sqrt{(a^{a_1+(n-1)d})^2}=a^{a_1+(n-1)d}=a^{a_n}, ngeqslant 2$ Итак, поскольку характеристическое свойство выполняется, то $a^{a_1}, a^{a_2}, a^{a_3}, ldots$ — геометрическая прогрессия. Её знаменатель можно найти, например, из соотношения $q=frac{a^{a_2}}{a^{a_1}}=frac{a^{a_1+d}}{a^{a_1}}=a^d$ .

Доказательство

Проверим характеристическое свойство для образованной геометрической прогрессии:

$sqrt{a^{a_{n-1}}cdot a^{a_{n+1}}}= a^{a_n}, ngeqslant 2$

Воспользуемся выражением для общего члена арифметической прогрессии:

$sqrt{a^{a_{n-1}}cdot a^{a_{n+1}}}=sqrt{a^{a_1+(n-2)d}cdot a^{a_1+nd}}=sqrt{a^{2a_1+2(n-1)d}}=sqrt{(a^{a_1+(n-1)d})^2}=a^{a_1+(n-1)d}=a^{a_n}, ngeqslant 2$

Итак, поскольку характеристическое свойство выполняется, то $a^{a_1}, a^{a_2}, a^{a_3}, ldots$ — геометрическая прогрессия. Её знаменатель можно найти, например, из соотношения $q=frac{a^{a_2}}{a^{a_1}}=frac{a^{a_1+d}}{a^{a_1}}=a^d$ .

Следствие: если последовательность положительных чисел образует геометрическую прогрессию, то последовательность их логарифмов образует арифметическую прогрессию.

Арифметические прогрессии высших порядков[править | править код]

Арифметической прогрессией второго порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов натуральных чисел:

1, 4, 9, 16, 25, 36, …

разности которых образуют простую арифметическую прогрессию с разностью 2:

3, 5, 7, 9, 11, …

Треугольные числа также образуют арифметическую прогрессию второго порядка, их разности образуют простую арифметическую прогрессию

Тетраэдральные числа образуют арифметическую прогрессию третьего порядка, их разности являются треугольными числами.

Аналогично определяются и прогрессии более высоких порядков. В частности, последовательность n-ных степеней образует арифметическую прогрессию n-го порядка.

Если $left[a_{{i}}right]_{{1}}^{{n}}$ — арифметическая прогрессия порядка , то существует многочлен $P_{{m}}(i)=c_{{m}}i^{{m}}+...+c_{{1}}i+c_{{0}}$ , такой, что для всех выполняется равенство $a_{{i}}=P_{{m}}(i)$ ^[11]

Примеры[править | править код]

${displaystyle T_{n}=sum _{i=1}^{n}i=1+2+3+ldots +n={frac {n(n+1)}{2}}}$

Формула для разности[править | править код]

Если известны два члена арифметической прогрессии, а также их номера в ней, то можно найти разность как

${displaystyle {mathit {d={frac {a_{m}-a_{n}}{m-n}}}}}$

Сумма чисел от 1 до 100[править | править код]

Согласно легенде, школьный учитель математики юного Гаусса, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат: 5050.
Действительно, легко видеть, что решение сводится к формуле

$frac{n(n+1)}2$

то есть к формуле суммы первых чисел натурального ряда.

См. также[править | править код]

Геометрическая прогрессия
Арифметико-геометрическая прогрессия

Примечания[править | править код]

↑ Такое соотношение называют рекуррентным соотношением первого порядка. Поэтому арифметическая прогрессия есть множество последовательностей, задающихся именно таким образом.
↑ Фильчаков П. Ф. Глава II. Алгебра и элементарные функции. Функции натурального аргумента (§ 75. Арифметическая прогрессия) // Справочник по элементарной математике: для поступающих в вузы : книга / под ред. чл.-кор. АН УССР П. Ф. Фильчакова. — Киев : «Наукова думка», 1972. — С. 303. — 528 с. — 400 000 экз. — УДК 51 (08)^(G).
↑ Шахмейстер А. Х. Прогрессии. Арифметическая прогрессия // Множества. Функции. Последовательности. Прогрессии : книга / А. Х. Шахмейстер, под общ. ред. Б. Г. Зива. — 2-е изд., испр. и доп. — СПб. : «Петроглиф» : «Виктория плюс» ; М. : Издательство МЦНМО, 2008. — С. 135. — 296 с. : илл. — (Математика. Элективные курсы). — 3000 экз. — ББК 22.141я71.6. — УДК 373.167.1:512^(G). — ISBN 978-5-94057-423-1. — ISBN 978-5-98712-027-9. — ISBN 978-5-91673-006-7.
↑ Соотношение между любыми тремя членами арифметической прогрессии и их номерами (Мусинов В. А.) // Материалы студенческой научной сессии Института математики и информатики МПГУ. 2021–2022 учебный год : сборник статей / под общ. ред. Е. С. Крупицына. — М.: МПГУ, 2022. — С. 91—93. — 156 с. — ISBN 978-5-4263-1109-1, ББК 22.1я431+32.81я431+22.1р30я431+74.262.21я431+74.263.2я431.
↑ Это означает, что выражаемый член есть комбинация любых двух других членов данной последовательности, причём эта комбинация составлена с помощью арифметических операций и конечного набора символов. Для арифметической последовательности такая комбинация будет линейной.
↑ Шахмейстер А. Х. Прогрессии. Арифметическая прогрессия // Множества. Функции. Последовательности. Прогрессии : книга / А. Х. Шахмейстер, под общ. ред. Б. Г. Зива. — 2-е изд., испр. и доп. — СПб. : «Петроглиф» : «Виктория плюс» ; М. : Издательство МЦНМО, 2008. — С. 141. — 296 с. : илл. — (Математика. Элективные курсы). — 3000 экз. — ББК 22.141я71.6. — УДК 373.167.1:512^(G). — ISBN 978-5-94057-423-1. — ISBN 978-5-98712-027-9. — ISBN 978-5-91673-006-7.
↑ Из доказательства необходимости следует, что ${displaystyle S_{n}=an^{2}+bn}$ , поэтому, если ${displaystyle S_{n}=an^{2}+bn+c}$ , то необходимо сделать проверку. Например, если ${displaystyle S_{n}=2n^{2}-n-6}$ — сумма первых членов последовательности, то такая последовательность НЕ является арифметической прогрессией. А последовательность, заданная суммой ${displaystyle S_{n}=2n^{2}-n}$ первых членов, будет арифметической прогрессией.
↑ При произведение $P_{n}$ равно ${displaystyle a_{frac {1+1}{2}}=a_{1}}$ , что безусловно верно.
↑ Эту формулу удобно использовать для выполнения итераций в программном коде, так как результат зависит от значения только двух величин: постоянного числа — разности, и члена, стоящего ровно по середине между первым и -м членом.
↑ Пример применения формулы.
Пусть ${displaystyle div left{a_{n}right}:quad underbrace {27} _{a_{1}},;underbrace {20} _{a_{2}},;underbrace {13} _{a_{3}},;underbrace {6} _{a_{4}},;underbrace {-1} _{a_{5}}}$ , где .

По формуле ${displaystyle P_{n}=a_{frac {n+1}{2}}cdot prod limits _{i=1}^{frac {n-1}{2}}{left(a_{frac {n+1}{2}}^{2}-{left[idright]}^{2}right)}}$ найдём произведение пяти первых членов. Количество сомножителей должно равняться ${displaystyle {dfrac {5+1}{2}}=3}$ . Причём первым сомножителем будет ${displaystyle a_{frac {5+1}{2}}=a_{3}=13}$ .

Далее ${displaystyle prod limits _{i=1}^{frac {5-1}{2}}{left(a_{frac {5+1}{2}}^{2}-{left[idright]}^{2}right)}=prod limits _{i=1}^{2}{left(a_{3}^{2}-{left[idright]}^{2}right)}=}$ ${displaystyle ={left(a_{3}^{2}-{left[dright]}^{2}right)}cdot {left(a_{3}^{2}-{left[2dright]}^{2}right)}={left(169-49right)}cdot {left(169-4cdot 49right)}=}$ .

Наконец, ${displaystyle P_{n}=13cdot 120cdot {left(-27right)}=-42120}$ .
↑ Бронштейн, 1986, с. 139.