Как найти формулу общего элемента последовательности

Содержание:

• Основные понятия и определения
• Задание последовательности формулой ее общего члена
• Рекуррентный способ задания последовательности

Основные понятия и определения

Элемент $x_{1}$ называется первым членом
последовательности, $x_{2}$ – вторым, … ,
$x_{n}$ –
$n$-ым или общим членом последовательности.

Задание последовательности формулой ее общего члена

Обычно последовательность целесообразнее задавать формулой ее общего члена, которая позволяет найти любой член
последовательности, зная его номер.

Рекуррентный способ задания последовательности

Другим способом задания последовательности является задание последовательности с помощью рекуррентного соотношения.
В этом случае задается один или несколько первых элементов последовательности, а остальные определяются по некоторому
правилу. Например, известен первый член $x_{1}$
последовательности и известно, что $x_{n+1}=fleft(x_{n}right)$ , то
есть $x_{2}=fleft(x_{1}right), x_{3}=fleft(x_{2}right)$ и так далее до нужного члена.

При рекуррентном задании последовательностей, получаются очень громоздкими выкладки, так как, чтобы найти элементы с
большими номерами, необходимо найти все предыдущие члены указанной последовательности, например, для
нахождения $x_{500}$ надо найти все предыдущие 499 членов.

Читать дальше: ограниченные последовательности.

Числовая
последовательность
– Функция вида
,
заданная на множествеN
натуральных чисел.
Обозначается в
виде {x_n},

.
Число x₁
называется первым членом (элементом)
последовательности, x_n
– общим или n-м
членом последовательности.

Задается
либо формулой
общего члена,
либо рекуррентной
формулой.

Формула
общего члена позволяет вычислить любой
член последовательности по номеру n
(при помощи этой формулы можно сразу
вычислить любой член последовательности).

Пример:

Рекуррентная
формула определяет правило, по которому
можно найти n-ый
член последовательности, зная первый
и (n-1)-ый
члены (при таком способе для нахождения
100-го члена последовательности придётся
сначала посчитать 99 предыдущих).

2. Ограниченные и неограниченные последовательности.

Числовая
последовательность
– Функция вида
,
заданная на множествеN
натуральных чисел.
Обозначается в
виде {x_n},

.
Число x₁
называется первым членом (элементом)
последовательности, x_n
– общим или n-м
членом последовательности.

Последовательность
{x_n}
называется ограниченной,
если существует
такое число
,
что для любого

выполняется неравенство
.
(если,
то последовательность –неограниченная).

3. Монотонные последовательности.

Числовая
последовательность
– Функция вида
,
заданная на множествеN
натуральных чисел.
Обозначается в
виде {x_n},

.
Число x₁
называется первым членом (элементом)
последовательности, x_n
– общим или n-м
членом последовательности.

Последовательность
{x_n}
называется возрастающей,
если для любого

выполняется неравенство
.
(если,
то последовательность –убывающая).
Если все элементы последовательности
{x_n}
равны одному и тому же числу с, то ее
называют постоянной.

Возрастающие,
убывающие и постоянные последовательности
– монотонные.

4. Число е.

Теорема
Вейерштрасса. Всякая
монотонная ограниченная последовательность
имеет предел.

Рассмотрим
последовательность
.

По
формуле бинома Ньютона:

Пусть
,
тогда:

–
возрастающая
последовательность, причём
.
Заменим в правой части скобки на 1, а
факториалы на степени двойки. По формуле
суммы членов прогрессии найдём, что:

Последовательность
ограничена,
при этом для
выполняется
неравенство:,
следовательно на основаниитеоремы
Вейерштрасса последовательность
имеет предел, обозначаемей буквой е.

.

Число
е называется неперовым
числом. Число е иррациональное, его
приближенное значение равно 2,72 (е =
2,718281828459045…). Число е принято за основание
натуральных логарифмов ()

5. Связь натурального и десятичного логарифмов.

За
основание натуральных
логарифмов принято число е, десятичных
– 10. (,)

По
определению логарифма имеем
.
Прологарифмируем по основанию 10.

Пользуясь
десятичными логарифмами, находим
,
значит,
либо

6. Предел функции в точке.

Определение
1 (на “языке последовательностей”, или
по Гейне). Пусть
функция
определена в некоторой окрестности
точки,
кроме, быть может, самой точки.
Число А называется пределом функциив точке(или при),
если для любой последовательности
допустимых значений аргумента,
сходящихся к числу(т.е.),
последовательность соответствующих
значений,
сходится к числу А (т.е.).

Определение
2 (на “языке
”,
или по Коши).
Пусть функция
определена в некоторой окрестности
точки,
кроме, быть может, самой точки.
Число А называется пределом функциив точке(или при),
если для любого положительногонайдётся такое положительное число,
что при всехx,
удовлетворяющих неравенству
,
выполнится неравенство.

Соседние файлы в папке 8b0e60bd_otvety-matan-ryabcev

• #

  09.02.2015970.75 Кб48ma.doc

• #

Онлайн калькулятор для нахождения формулы общего члена последовательности.

Нахождение общего члена ряда по заданным первым членам. Первая часть.

Числовой ряд можно задать по-разному. Чаще всего просто используют запись вида $sumlimits_{n=1}^{infty}u_n$. Однако изредка указывают несколько первых членов ряда, по которым нужно восстановить общий член ряда. Честно говоря, подобные задачи не имеют единственного решения, и это будет продемонстрировано в примере №1. Впрочем, есть некие общие приёмы, которые применяют в стандартных случаях.

Для начала стоит запомнить несколько последовательностей. Например, квадраты натуральных чисел, т.е. последовательность $u_n=n^2$. Вот несколько первых членов этой последовательности:

$$
begin{equation}
1;; 4;; 9;; 16;; 25;; 36;; 49;; 64; ;81; ldots
end{equation}
$$

Как мы получили эти числа? показатьскрыть

Также стоит иметь в виду члены последовательности $u_n=n^3$. Вот несколько первых её членов:

$$
begin{equation}
1;; 8;; 27;; 64;; 125;; 216;; 343;; 512;;729; ldots
end{equation}
$$

Кроме того, для формирования общего члена ряда частенько используется последовательность $u_n=n!$, несколько первых членов которой таковы:

$$
begin{equation}
1;; 2;; 6;; 24;; 120;; 720;; 5040; ldots
end{equation}
$$

Что обозначает “n!”? показатьскрыть

Часто используются также арифметическая и геометрическая прогрессии. Если первый член арифметической прогрессии равен $a_1$, а разность равна $d$, то общий член арифметической прогрессии записывается с помощью такой формулы:

$$
begin{equation}
a_n=a_1+dcdot (n-1)
end{equation}
$$

Что такое арифметическая прогрессия? показатьскрыть

Стоит также отметить геометрическую прогрессию. Если первый член прогрессии равен $b_1$, а знаменатель равен $q$, то общий член геометрической прогрессии задаётся такой формулой:

$$
begin{equation}
b_n=b_1cdot q^{n-1}
end{equation}
$$

Что такое геометрическая прогрессия? показатьскрыть

Во всех изложенных ниже примерах члены рядов будем обозначать буквами $u_1$ (первый член ряда), $u_2$ (второй член ряда) и так далее. Запись $u_n$ будет обозначать общий член ряда.

Пример №1

Найти общий член ряда $frac{1}{7}+frac{2}{9}+frac{3}{11}+frac{4}{13}+ldots$.

Решение

Суть таких задач состоит в том, чтобы заметить закономерность, которая присуща первым членам ряда. И на основании этой закономерности сделать вывод о виде общего члена. Что означает фраза “найти общий член”? Она означает, что необходимо найти такое выражение, подставляя в которое $n=1$ получим первый член ряда, т.е. $frac{1}{7}$; подставляя $n=2$ получим второй член ряда, т.е. $frac{2}{9}$; подставляя $n=3$ получим третий член ряда, т.е. $frac{3}{11}$ и так далее. Нам известны первые четыре члена ряда:

$$
u_1=frac{1}{7};; u_2=frac{2}{9};; u_3=frac{3}{11};; u_4=frac{4}{13}.
$$

Давайте двигаться постепенно. Все известные нам члены ряда – дроби, поэтому резонно предположить, что и общий член ряда тоже представлен дробью:

$$
u_n=frac{?}{?}
$$

Наша задача – выяснить, что же скрывается под знаками вопроса в числителе и знаменателе. Сначала обратимся к числителю. В числителях известных нам членов ряда стоят числа 1, 2, 3 и 4. Заметьте, что номер каждого члена ряда равен числителю. У первого члена в числителе стоит единица, у второго – двойка, у третьего – тройка, у четвёртого – четвёрка.

Логично предположить, что у n-го члена в числителе будет стоять $n$:

$$
u_n=frac{n}{?}
$$

Кстати сказать, к этому выводу мы можем прийти и иным путём, более формальным. Что представляет собой последовательность 1, 2, 3, 4? Отметим, что каждый последующий член этой последовательности на 1 больше, чем предыдущий. Мы имеем дело с четырьмя членами арифметической прогрессии, первый член которой $a_1=1$, а разность $d=1$. Используя формулу (4), получим выражение общего члена прогрессии:

$$
a_n=1+1cdot (n-1)=1+n-1=n.
$$

Итак, угадывание или формальный расчёт – дело вкуса. Главное – мы записали числитель общего члена ряда. Перейдём к знаменателю.

В знаменателях мы имеем последовательность 7, 9, 11, 13. Это четыре члена арифметической прогрессии, первый член которой равен $b_1=7$, а разность $d=2$. Общий член прогрессии найдем, используя формулу (4):

$$
b_n=7+2cdot (n-1)=7+2n-2=2n+5.
$$

Полученное выражение, т.е. $2n+5$, и будет знаменателем общего члена ряда. Итак:

$$
u_n=frac{n}{2n+5}.
$$

Общий член ряда получен. Давайте проверим, подходит ли найденная нами формула $u_n=frac{n}{2n+5}$ для вычисления уже известных членов ряда. Найдём члены $u_1$, $u_2$, $u_3$ и $u_4$ по формуле $u_n=frac{n}{2n+5}$. Результаты, естественно, должны совпасть с заданными нам по условию первыми четырьмя членами ряда.

$$
u_1=frac{1}{2cdot 1+5}=frac{1}{7};; u_2=frac{2}{2cdot 2+5}=frac{2}{9};; u_3=frac{3}{2cdot 3+5}=frac{3}{11};; u_4=frac{4}{2cdot 4+5}=frac{4}{13}.
$$

Всё верно, результаты совпадают. Заданный в условии ряд можно записать теперь в такой форме: $sumlimits_{n=1}^{infty}frac{n}{2n+5}$. Общий член ряда имеет вид $u_n=frac{n}{2n+5}$.

В принципе, если речь идёт о стандартном примере, то можно считать, что ответ получен. Однако если вам интересно поисследовать вопрос более детально, то прошу читать далее. Вопрос вот в чём: является ли найденное выше представление общего члена единственным? Ответ на этот вопрос далеко не столь очевидный, как кажется на первый взгляд. Например, давайте продолжим заданный в условии ряд таким образом:

$$
frac{1}{7}+frac{2}{9}+frac{3}{11}+frac{4}{13}+0+0+0+0+0+0+0+ldots
$$

Разве такой ряд не имеет право на существование? Ещё как имеет. И для этого ряда можно записать, что

$$
u_1=frac{1}{7};; u_2=frac{2}{9};; u_3=frac{3}{11};; u_4=frac{4}{13}; ; u_n=0; (n≥ 5).
$$

Можно записать и иное продолжение. Например, такое:

$$
frac{1}{7}+frac{2}{9}+frac{3}{11}+frac{4}{13}+frac{1}{5}+frac{1}{6}+frac{1}{7}+frac{1}{8}+frac{1}{9}+frac{1}{10}+ldots
$$

И такое продолжение ничему не противоречит. При этом можно записать, что

$$
u_1=frac{1}{7};; u_2=frac{2}{9};; u_3=frac{3}{11};; u_4=frac{4}{13}; ; u_n=frac{1}{n}; (n≥ 5).
$$

Если первые два варианта показались вам чересчур формальными, то предложу третий. Давайте запишем общий член в таком виде:

$$
u_n=frac{n}{n^4-10n^3+35n^2-48n+29}.
$$

Вычислим первые четыре члена ряда, используя предложенную формулу общего члена:

begin{aligned}
& u_1=frac{1}{1^4-10cdot 1^3+35cdot 1^2-48cdot 1+29}=frac{1}{7};\
& u_2=frac{2}{2^4-10cdot 2^3+35cdot 2^2-48cdot 2+29}=frac{2}{9};\
& u_3=frac{3}{3^4-10cdot 3^3+35cdot 3^2-48cdot 3+29}=frac{3}{11};\
& u_4=frac{4}{4^4-10cdot 4^3+35cdot 4^2-48cdot 4+29}=frac{4}{13}.
end{aligned}

Как видите, предложенная формула общего члена вполне корректна. И таких вариаций можно придумать бесконечно много, их количество ничем не ограничено. В стандартных примерах, конечно, используется стандартный набор неких известных последовательностей (прогрессии, степени, факториалы и т.д.). Однако в таких задачах всегда присутствует неопределённость, и об этом желательно помнить.

Во всех последующих примерах эта неоднозначность оговариваться не будет. Решать станем стандартными способами, которые приняты в большинстве задачников.

Ответ: общий член ряда: $u_n=frac{n}{2n+5}$.

Пример №2

Записать общий член ряда $frac{1}{1cdot 5}+frac{1}{3cdot 8}+frac{1}{5cdot 11}+frac{1}{7cdot 14}+frac{1}{9cdot 17}+ldots$.

Решение

Нам известны первые пять членов ряда:

$$
u_1=frac{1}{1cdot 5};; u_2=frac{1}{3cdot 8}; ; u_3=frac{1}{5cdot 11}; ; u_4=frac{1}{7cdot 14}; ; u_5=frac{1}{9cdot 17}.
$$

Все известные нам члены ряда – дроби, значит и общий член ряда будем искать в виде дроби:

$$
u_n=frac{?}{?}.
$$

Сразу обратим внимание на числитель. Во всех числителях стоят единицы, поэтому и в числителе общего члена ряда будет единица, т.е.

$$
u_n=frac{1}{?}.
$$

Теперь обратимся к знаменателю. В знаменателях известных нам первых членов ряда расположены произведения чисел: $1cdot 5$, $3cdot 8$, $5cdot 11$, $7cdot 14$, $9cdot 17$. Первые из этих чисел таковы: 1, 3, 5, 7, 9. Данная последовательность имеет первый член $a_1=1$, а каждый последующий получается из предыдущего прибавлением числа $d=2$. Иными словами, это первые пять членов арифметической прогрессии, общий член которой можно записать с помощью формулы (4):

$$
a_n=1+2cdot (n-1)=1+2n-2=2n-1.
$$

В произведениях $1cdot 5$, $3cdot 8$, $5cdot 11$, $7cdot 14$, $9cdot 17$ вторые числа таковы: 5, 8, 11, 14, 17. Это элементы арифметической прогрессии, первый член которой $b_1=5$, а знаменатель $d=3$. Общий член этой прогрессии запишем с помощью всё той же формулы (4):

$$
b_n=5+3cdot (n-1)=5+3n-3=3n+2.
$$

Сведём результаты воедино. Произведение в знаменателе общего члена ряда таково: $(2n-1)(3n+2)$. А сам общий член ряда имеет следующий вид:

$$
u_n=frac{1}{(2n-1)(3n+2)}.
$$

Для проверки полученного результата найдём по формуле $u_n=frac{1}{(2n-1)(3n+2)}$ те четыре первых члена ряда, которые нам известны:

begin{aligned}
& u_1=frac{1}{(2cdot 1-1)(3cdot 1+2)}=frac{1}{1cdot 5};\
& u_2=frac{1}{(2cdot 2-1)(3cdot 2+2)}=frac{1}{3cdot 8};\
& u_3=frac{1}{(2cdot 3-1)(3cdot 3+2)}=frac{1}{5cdot 11};\
& u_4=frac{1}{(2cdot 4-1)(3cdot 4+2)}=frac{1}{7cdot 14};\
& u_5=frac{1}{(2cdot 5-1)(3cdot 5+2)}=frac{1}{9cdot 17}.
end{aligned}

Итак, формула $u_n=frac{1}{(2n-1)(3n+2)}$ позволяет точно вычислить члены ряда, известные из условия. При желании заданный ряд можно записать так:

$$
sumlimits_{n=1}^{infty}frac{1}{(2n-1)(3n+2)}=frac{1}{1cdot 5}+frac{1}{3cdot 8}+frac{1}{5cdot 11}+frac{1}{7cdot 14}+frac{1}{9cdot 17}+ldots
$$

Ответ: общий член ряда: $u_n=frac{1}{(2n-1)(3n+2)}$.

Продолжение этой темы рассмотрим в второй и третьей частях.