Как найти формулу последовательности калькулятор

Как найти формулу последовательности калькулятор

Онлайн калькулятор для нахождения формулы общего члена последовательности.

Скачать калькулятор

Рейтинг: 2.7 (Голосов 311)

×

Пожалуйста напишите с чем связна такая низкая оценка:

×

Для установки калькулятора на iPhone – просто добавьте страницу
«На главный экран»

Для установки калькулятора на Android – просто добавьте страницу
«На главный экран»

Сообщить об ошибке

Смотрите также

Решение прогрессии Графические построения Математический анализ Решение интегралов Решение неравенств
Решение функций Решение комплексных чисел Производные функции Решение логарифмов Решение уравнений
Источник

Arithmetic Sequence Calculator

definition: an = a1 + f × (n-1)
example: 1, 3, 5, 7, 9 11, 13, …

Geometric Sequence Calculator

definition: an = a × rn-1
example: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, …

Fibonacci Sequence Calculator

definition: a0=0; a1=1; an = an-1 + an-2;
example: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …

In mathematics, a sequence is an ordered list of objects. Accordingly, a number sequence is an ordered list of numbers that follow a particular pattern. The individual elements in a sequence is often referred to as term, and the number of terms in a sequence is called its length, which can be infinite. In a number sequence, the order of the sequence is important, and depending on the sequence, it is possible for the same terms to appear multiple times. There are many different types of number sequences, three of the most common of which include arithmetic sequences, geometric sequences, and Fibonacci sequences.

Sequences have many applications in various mathematical disciplines due to their properties of convergence. A series is convergent if the sequence converges to some limit, while a sequence that does not converge is divergent. Sequences are used to study functions, spaces, and other mathematical structures. They are particularly useful as a basis for series (essentially describe an operation of adding infinite quantities to a starting quantity), which are generally used in differential equations and the area of mathematics referred to as analysis. There are multiple ways to denote sequences, one of which involves simply listing the sequence in cases where the pattern of the sequence is easily discernible. In cases that have more complex patterns, indexing is usually the preferred notation. Indexing involves writing a general formula that allows the determination of the nth term of a sequence as a function of n.

Arithmetic Sequence

An arithmetic sequence is a number sequence in which the difference between each successive term remains constant. This difference can either be positive or negative, and dependent on the sign will result in terms of the arithmetic sequence tending towards positive or negative infinity. The general form of an arithmetic sequence can be written as:

 

an = a1 + f × (n-1)

  or more generally

 where an refers to the nth
term in the sequence
  an = am + f × (n-m) a1 is the first term
i.e.   a1, a1 + f, a1 + 2f, … f is the common difference
EX:   1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …

It is clear in the sequence above that the common difference f, is 2. Using the equation above to calculate the 5th term:

EX:   a5 = a1 + f × (n-1)
a5 = 1 + 2 × (5-1)
a5 = 1 + 8 = 9

Looking back at the listed sequence, it can be seen that the 5th term, a5, found using the equation, matches the listed sequence as expected. It is also commonly desirable, and simple, to compute the sum of an arithmetic sequence using the following formula in combination with the previous formula to find an:

Using the same number sequence in the previous example, find the sum of the arithmetic sequence through the 5th term:

EX:   1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
(5 × (1 + 9))/2 = 50/2 = 25

Geometric Sequence

A geometric sequence is a number sequence in which each successive number after the first number is the multiplication of the previous number with a fixed, non-zero number (common ratio). The general form of a geometric sequence can be written as:

  an = a × rn-1 where an refers to the nth term in the sequence
i.e.   a, ar, ar2, ar3, … a is the scale factor and r is the common ratio
EX:   1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, …

In the example above, the common ratio r is 2, and the scale factor a is 1. Using the equation above, calculate the 8th term:

EX:   a8 = a × r8-1
a8 = 1 × 27 = 128

Comparing the value found using the equation to the geometric sequence above confirms that they match. The equation for calculating the sum of a geometric sequence:

Using the same geometric sequence above, find the sum of the geometric sequence through the 3rd term.

EX:   1 + 2 + 4 = 7

Fibonacci Sequence

A Fibonacci sequence is a sequence in which every number following the first two is the sum of the two preceding numbers. The first two numbers in a Fibonacci sequence are defined as either 1 and 1, or 0 and 1 depending on the chosen starting point. Fibonacci numbers occur often, as well as unexpectedly within mathematics and are the subject of many studies. They have applications within computer algorithms (such as Euclid’s algorithm to compute the greatest common factor), economics, and biological settings including the branching in trees, the flowering of an artichoke, as well as many others. Mathematically, the Fibonacci sequence is written as:

  an = an-1 + an-2 where an refers to the nth term in the sequence
EX:   0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … a0 = 0; a1 = 1
Источник

Калькулятор

Инструкция

Шаг 1. Введите в поле число или буквенное выражение.

Шаг 2. Нажмите на кнопку “Анализ”.

Шаг 3. Получите подробный результат.

Вводить в калькулятор можно исключительно латинские буквы и любые цифры с клавиатуры.

Числовая последовательность

Последовательность – это когда числа идут друг за другом в определённой последовательности. Если говорить на математическом языке, то числовая последовательность – функция вида y = f(x), x O N, где N – множество натуральных чисел или функция натурального аргумента.

Последовательность можно задавать тремя основными способами:

  1. Последовательность задаётся аналитически, если даётся формула её n-ого порядка y_n = f(n). Например, y_n = 2n - 1 – последовательность нечётных чисел 1, 3, 5, 7, 9, … .
  2. Объяснением, из каких элементов строится последовательность. Например, все члены последовательности равняются единице (1). В этом случае говорится о стандартной последовательности – 1, 1, 1, …, 1, 1, 1, … .
  3. Объяснением правила, которое позволяет вычислить n-й член последовательности, если мы знаем предыдущие члены. Тогда задают один или два изначальных членов последовательности. Например, y_1 = 3, y_n = y_{n-1} + 4, если n = 2, 3, 4, … . Тогда здесь y_1 = 3, y_2 = 3 + 4 = 7, y_3 = 7 + 4 = 11 и т. д.

Источник

Представим, что подряд выписаны все четные натуральные числа: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 18, 18, 20, 22… Это — последовательность четных натуральных чисел. Число 2 — ее первый член, 4 — второй, 6 — третий, 20 — десятый и т. д.

Приведем еще несколько примеров числовых прогрессий:

  • 1, 2, 3, 4, 5… — последовательность натуральных чисел,   
  • 1, 3, 5, 7, 9… — последовательность нечетных натуральных чисел,
  • 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5… – последовательность чисел, обратных к натуральным.

Последовательности бывают конечные и бесконечные. Конечной, например, есть последовательность однозначных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Последовательность всех натуральных чисел — бесконечная. Записывая бесконечную последовательность, после нескольких ее первых членов ставят многоточие. Первый, второй, третий члены последовательности четных натуральных чисел равны соответственно 2, 4, 6. Пишут: a1 = 2, а2 = 4, а3 = 6

А чему равен ее n-й член An? Поскольку каждый член последовательности парных натуральных чисел вдвое больше от своего порядкового номера, то ее n-й член равен 2n, т. е.

An = 2n.

Это формула n-го члена последовательности парных натуральных чисел.

An = 2n − 1

Формула n-го члена последовательности нечетных натуральных чисел.

Если известна формула n-го члена последовательности, то нетрудно вычислить любой ее член. Напишем несколько первых членов последовательности, n-й член которой:

An = n2 + 2

Предоставляя переменной п значения 1, 2, 3, 4, 5… получим первые члены последовательности: 6, 11, 18, 27, 38, 51… Тысячный член этой последовательности а1000 = 10002 + 2 = 1000002.

Гораздо труднее решать обратную задачу — для данной последовательности найти ее n-й член. Например, формула n-го члена последовательности простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13… — неизвестна до сих пор, хотя математики искали ее более 2000 лет.

Несколько первых членов последовательности не задают ее однозначно.

Например, существует множество различных последовательностей, первые члены которых 2, 4, 6, 8. В частности, такие первые члены имеют последовательности, n-е члены которых:

  • An = 2n
  • Cn = 2 n + (n − 1) (n − 2) (n − 3) (n − 4)

Из двух соседних членов a1 и a2 последовательности член a2 называют следующим за а1, а а1 — предыдущим по отношению к а2. Последовательность называют растущей, если каждый ее член, начиная со второго, больше предыдущего. Последовательность называется убывающей, если каждый ее член, начиная со второго, меньше предыдущего.

Замечания

Иногда рассматривают также прогрессивности, членами, которых являются различные выражения, функции, фигуры то ​ что. Можно говорить и о последовательности месяцев в году, дней в неделе, букв в слове, фамилий в списке, вагонов в поезде, станций на железной дороге и т. д. Мы дальше будем говорить только о числовых последовательностях, хотя и зовем их коротко последовательностями.

Понятие арифметической прогрессии

Арифметической прогрессией называется прогрессивность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, к которому добавляют одно и то же число. Это постоянное для данной последовательности число d называется разницей арифметической прогрессии.

Первый член и разность арифметической прогрессии могут быть какими угодно числами. Арифметическая прогрессия растущая, если ее разница положительная, или нисходящая, если ее разница отрицательная.

Пример нисходящей арифметической прогрессии: 11, 9, 7, 5, 3, 1, −1, −3…

Чтобы получить любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, надо к предыдущему члена добавить разницу d. Поэтому если первый член и разность арифметической прогрессии равны соответственно а и d, то первые члены этой арифметической прогрессии:

a1, a1 + d, a1 + 2d, a1 + 3d, a1 + 4d…

Обратите внимание: коэффициент при d на 1 меньше порядкового номера члена прогрессии. Так же находим а6 = а1 + 5d, а7 = а1 + 6d и вообще:

An = a1 + (n − 1)d

Это формула n-го члена арифметической прогрессии. Сумма членов конечной арифметической прогрессии равна полусумме крайних ее членов, умноженной на число членов.

Sn = [(a1 + an) / 2] × n

Примеры задач

Пример 1

В арифметической прогрессии a1 = 4, d = 3. Найдите a20.

В калькуляторе задаем:

  • Первое число: 3
  • Последнее число: 20
  • Разница (шаг): 3

Получаем:

  • Арифметическая прогрессия: 61
  • Сумма членов прогрессии: 650
  • Последовательность: 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61

Проверяем самостоятельно по формулам с теории:

  • a20 = а1 + 19d = 4 + 19 × 3 = 61

Пример 2

Найдите сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии 5, 7, 9…

В калькуляторе задаем:

  • Первое число: 5
  • Последнее число: 20
  • Разница (шаг): 2

Результаты рассчета:

  • Арифметическая прогрессия: 43
  • Сумма членов прогрессии: 480
  • Последовательность: 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43

Проверяем:

  • Здесь а1 = 5, d = 2. Поэтому а20 = 5 + 19 × 2 = 43
  • S = [(5 + 43) / 2] × 20 = 480

Онлайн-калькулятор делает вычисления намного проще: он экономит время, избавляя от необходимости делать вычисления вручную по формулам.

Источник

Арифметической прогрессией называется такая последовательность чисел, в которой разность между последующим и предыдущим членами остается неизменной. Эта неизменная разность называется разностью прогрессии.
Любой член арифметической прогрессии можно вычислить по формуле
a_n=a_1+d(n-1)

Сумма первых n членов арифметической прогрессии выражается формулой
S_n=frac{(a_1+a_n)n}{2}

Калькулятор n-го члена и суммы n членов:

PLANETCALC, Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия

Первый член прогрессии а1

Показать все члены прогрессии

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Сумма арифметической прогрессии Sn

Источник

Добавить комментарий