Как найти формулы привидения

Формулы приведения разработаны для углов, представленных в одном из следующих видов: (frac{pi}{2}+a), (frac{pi}{2}-a), (π+a), (π-a), (frac{3pi}{2}+a), (frac{3pi}{2}-a), (2π+a) и (2π-a). Аналогично их можно использовать для углов представленных в градусах: (90^°+a), (90^°-a), (180^°+a), (180^°-a), (270^°+a), (270^°-a), (180^°+a), (180^°-a). К счастью, учить наизусть формулы привидения вам не придется, потому что есть легкий и надежный способ вывести нужную за пару секунд.

Как быстро получить любую формулу приведения

Для начала обратите внимание, что все формулы имеют похожий вид:

Здесь нужно пояснить термин «кофункция» – это та же самая функция с добавлением или убиранием приставки «ко-». То есть, для синуса кофункцией будет косинус, а для косинуса – синус. С тангенсом и котангенсом – аналогично.

Функция:                Кофункция:
(sin⁡) (a)          (→)            (cos⁡) (a)
(cos⁡) (a)          (→)             (sin⁡) (a)
(tg⁡) (a)            (→)            (ctg) (a)
(ctg⁡) (a)          (→)             (tg) (a)

Таким образом, например, синус при применении этих формул никогда не поменяется на тангенс
или котангенс, он либо останется синусом, либо превратиться в косинус. А котангенс никогда не станет синусом или косинусом, он либо останется котангенсом, либо станет тангенсом. И так далее. 

Едем дальше. Так как исходная функция и ее аргумент нам обычно даны, то весь вывод нужной формулы сводится к двум вопросам:
– как определить знак перед конечной функцией (плюс или минус)?
– как определить меняется ли функция на кофункцию или нет?

Как определить знак перед конечной функцией (плюс или минус)?

Например, выводим формулу приведения для (⁡cos⁡(frac{3pi}{2}-a) =….) С исходной функцией понятно – косинус, а исходная четверть?

Для того, чтобы ответить на этот вопрос, представим, что (a) – угол от (0) до (frac{pi}{2}), т.е. лежит в пределах (0°…90^°) (хотя это может быть не так, но для определения знака данная условность необходима). В какой четверти тригонометрической окружности при таком условии будет находиться точка, обозначающая угол (frac{3pi}{2}-a)?
Чтобы ответить на вопрос, надо от точки, обозначающей (frac{3pi}{2}), повернуть в отрицательную сторону на угол (a).

В какой четверти мы окажемся? В третьей. А какой же знак имеет косинус в третьей четверти? Минус. Поэтому перед итоговой функцией будет стоят минус: (cos(frac{3pi}{2}-a)=-…)

Менять ли функцию на кофункцию или оставить прежней?

Здесь правило еще проще:

То есть, при аргументах исходной функции (frac{pi}{2}+a), (frac{pi}{2}-a), (frac{3pi}{2}+a) или (frac{pi}{2}-a), мы должны поменять функцию, а при аргументах (π+a), (π-a), (2π+a) или (2π-a) – нет. Для того, чтоб это легче запомнить, вы можете воспользоваться мнемоническим правилом, которое в школе называют «лошадиным правилом»:

Точки, обозначающие (frac{pi}{2}) ((90^°)) и (frac{3pi}{2}) ((270^°)), расположены вертикально, и если вы переводите взгляд с одной на другую и назад, вы киваете головой, как бы говоря «да».

Точки же, обозначающие (π) ((180^°)) и (2π) ((360^°)), расположены горизонтально, и если вы переводите взгляд между ними, вы мотаете головой, как бы говоря «нет».

 

Эти «да» и «нет» – и есть ответ на вопрос: «меняется ли функция?».
Таким образом, согласно правилу, в нашем примере выше (cos⁡(frac{3π}{2}-a)=…) косинус будет меняться на синус. В конечном итоге получаем, (cos⁡(frac{3π}{2}-a)=-sin⁡) (a). Это и есть верная формула приведения.

Примеры с формулами приведения:

Зачем нужны формулы привидения? Ну, например, они позволяют упрощать выражения или находить значения некоторых тригонометрических выражений без использования калькулятора.

Пример. (Задание из ЕГЭ) Найдите значение выражения (frac{18 cos {⁡{41}^°} }{sin⁡ {{49}^°}})

Решение:

(frac{18 cos {{⁡41}^°} }{sin⁡{{49}^°}}=)		Углы ({41}^°) и ({49}^°) нестандартные, поэтому «в лоб» без калькулятора вычислить непросто. Однако использовав формулы привидения, мы легко найдем правильный ответ. Прежде всего, обратите внимание на один важный момент: (49^°=90^°-41^°). Поэтому мы можем заменить (49^°) на (90^°-41^°).
(=frac{18 cos {⁡41^° }}{sin⁡ {({90}^°-{41}^°)}}=)		Теперь применим к синусу формулу приведения: (90^°-41^°) – это первая четверть, синус в ней положителен. Значит, знак будет плюс; (90^°)- находится на «вертикали» – функция меняется на кофункцию. (sin⁡{(90^°-41^°)}=cos⁡ 41^° )
(=frac{18 cos {⁡41^° }}{cos⁡ {{41}^°}}=)		В числителе и знаменателе получились одинаковые косинусы. Сокращаем их.
(= 18)		Записываем ответ

Ответ:  (18)

Пример. Найдите значение выражения (frac{3 sin{⁡(pi-a)}-cos(frac{pi}{2}+a) }{cos⁡ {(frac{3pi}{2}-a)}})

Решение:

(frac{3 sin{⁡(pi-a)}-cos(frac{pi}{2}+a) }{cos⁡ {(frac{3pi}{2}-a)}}=)		Рассмотрим первое слагаемое числителя: (sin⁡(π-a)). Воспользуемся формулами приведения, выведя ее самостоятельно: ((π-a)) это вторая четверть, а синус во второй четверти положителен. Значит, знак будет плюс; (π) это точка «горизонтальная», то есть мотаем головой, значит функция остается той же. Таким образом, (sin⁡(π-a)=sin⁡a)
(=frac{3 sin{⁡a}-cos(frac{pi}{2}+a) }{cos⁡ {(frac{3pi}{2}-a)}}=)		Второе слагаемое числителя: (cos⁡{(frac{π}{2} + a)}): ((frac{π}{2} + a)) это опять вторая четверть, а косинус во второй четверти отрицателен. Значит, знак будет минус. (frac{π}{2}) это точка «вертикальная», то есть киваем, значит, функция меняется на кофункцию – синус. Таким образом, (cos{⁡(frac{π}{2} + a)}=-sin⁡a)
(=frac{3 sin{⁡a}-(-sin{a}) }{cos⁡ {(frac{3pi}{2}-a)}}=)		Теперь знаменатель: (cos⁡(frac{3π}{2} – a)). Его мы разобрали выше, он равен минус синусу. (cos⁡(frac{3π}{2} – a)=-sin{⁡a})
(=frac{3 sin{⁡a}-(-sin{a}) }{-sin⁡ {a}}=)		Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые.
(=frac{3 sin{⁡a}+sin{a}}{-sin⁡ {a}}=frac{4sin{a}}{-sin{a}})		Сократив на (sin⁡{a}), получаем ответ.
(=frac{4 }{-1}=)(-4)

Ответ:  (-4)

Пример. Вычислить чему равен (ctg(-a-frac{7π}{2})), если (tg) (⁡a=2)

Решение:

(ctg(-a-frac{7π}{2}) =)		Здесь сразу формулу приведения применять нельзя, так как аргумент нестандартный. Что не так? Прежде всего, (a) стоит первой, хотя должна быть после «точки привязки». Поменяем местами слагаемые аргумента, сохраняя знаки.
(= ctg(-frac{7π}{2}-a) =)		Уже лучше, но все еще есть проблемы – «точка привязки» с минусом, а такого аргумента у нас нет. Избавимся от минуса, вынеся его за скобку внутри аргумента.
(= ctg(-(frac{7π}{2}+a)) =)		Теперь вспомним о том, что котангенс – функция нечетная, то есть (ctg) ((-t)=- ctg) (t). Преобразовываем наше выражение.
(= – ctg(frac{7π}{2}+a) =)		Несмотря на то, что точка привязки (frac{7π}{2}) мы все равно можем использовать формулы приведения, потому что (frac{7π}{2}) лежит на пересечении одной из осей и числовой окружности (смотри пояснение ниже). ((frac{7π}{2}+a)) это четвертая четверть, и котангенс там отрицателен. «Точка привязки» – вертикальная, то есть функцию меняем. Окончательно имеем (ctg(frac{7π}{2}+a)=-tg a) .
(= – (- tg) (a) = tg) (a = 2)		Готов ответ.

Ответ:  (2)

Еще раз проговорим этот важный момент: с точки зрения формулы приведения (frac{7π}{2}) – это тоже самое, что и (frac{3π}{2}). Почему? Потому что (frac{7π}{2}=frac{3π+4π}{2}=frac{3π}{2}+frac{4π}{2}=frac{3π}{2}+2π). Иными словами, они отличаются ровно на один оборот (2π). А на значения тригонометрических функций количество оборотов никак не влияет:

(cos) (⁡t=cos ⁡(t+2π)=cos ⁡(t+4π)=cos ⁡(t+6π)= …=cos⁡ (t-2π)=cos ⁡(t-4π)=cos⁡ (t-6π)…)
(sin) (t=sin⁡ (t+2π)=sin ⁡(t+4π)=sin ⁡(t+6π)= …=sin⁡ (t-2π)=sin ⁡(t-4π)=sin ⁡(t-6π)…)

Аналогично с тангенсом и котангенсом (только у них «оборот» равен (π)).
(tg) (t=tg⁡(t+π)=tg⁡(t+2π)=tg⁡(t+3π)= …=tg⁡(t-π)=tg⁡(t-2π)=tg⁡(t-3π)…)
(ctg) (t=ctg⁡(t+π)=ctg⁡(t+2π)=ctg⁡(t+3π)= …=ctg⁡(t-π)=ctg⁡(t-2π)=ctg⁡(t-3π)…)

Таким образом, (-ctg(frac{7π}{2}+a)=- ctg(frac{3π}{2}+2π+a)=- ctg(frac{3π}{2}+a)).

То есть, для определения знака и необходимости смены функции важно лишь местоположение «точки привязки», а не её значение, поэтому так расписывать не обязательно (но можно если вы хотите впечатлить своими знаниями учительницу).

Ответы на часто задаваемые вопросы

Вопрос: Есть ли формулы приведения с аргументами ((frac{π}{3}-a)),((frac{π}{4}+a)),((frac{7π}{6}+a)) или тому подобное?
Ответ: К сожалению, нет. В таких ситуациях выгодно использовать формулы разности и суммы аргументов. Например, (cos⁡(frac{π}{3}-a)=cos⁡frac{π}{3} cos⁡a+sin⁡frac{π}{3} sin⁡a=frac{1}{2}cos⁡a+frac{sqrt{3}}{2} sin⁡a).

Смотрите также Как доказать тригонометрическое тождество?

$$ctg(pi-alpha)=-ctg(alpha);$$

Давайте вместо угла (alpha) возьмем какой-нибудь реальный угол. Суть от этого не изменится. Чтобы усложнить задачу, я не буду рисовать рисунок. Нарисуйте окружность сами и по пунктам сделайте пример.

Пример 7
$$cos(3pi+frac{pi}{6})=?;$$

• Угол ((3pi+frac{pi}{6})) лежит в третьей четверти. Действительно, (3pi=2pi+pi) можно представить как полный круг плюс еще половина;
• В третьей четверти косинус отрицательный. Знак минус;
• (3pi) лежит на горизонтальной оси в точке (C). Значит косинус не меняется на синус;

$$cos(3pi+frac{pi}{6})=-cos(frac{pi}{6})=-frac{sqrt{3}}{2};$$

До этого мы рассматривали примеры, когда угол (alpha) был острым. А что, если он больше (90^o)?

В этом случае нам придется сделать из него острый угол. Рассмотрим пример:

Пример 8
$$tg(frac{pi}{2}-frac{5pi}{6})=?;$$
Угол (frac{5pi}{6}) – тупой угол. Для того, чтобы воспользоваться формулой приведения, можно представить:
$$frac{5pi}{6}=pi-frac{pi}{6};$$
Подставим в исходный пример
$$tg(frac{pi}{2}-frac{5pi}{6})=tg(frac{pi}{2}-pi+frac{pi}{6})=tg(frac{pi}{6}-frac{pi}{2});$$
Угол (frac{pi}{6}) острый и теперь можно воспользоваться правилом лошади.

• ((frac{pi}{6}-frac{pi}{2})) лежит в четвертой четверти. Отмечаем (frac{pi}{6}) и по часовой стрелке вычитаем из него (frac{pi}{2});
• В четвертой четверти тангенс отрицательный;
• (frac{pi}{2}) лежит на вертикальной оси, тангенс меняется на котангенс;

$$tg(frac{pi}{2}-frac{5pi}{6})=tg(frac{pi}{6}-frac{pi}{2})=-ctg(frac{pi}{6})=-sqrt{3};$$

У любопытного читателя может возникнуть вопрос: а почему данный алгоритм называется правилом лошади? При чем тут, казалось бы, лошадь?

Лошадь, действительно, не при чем. Но дело в том, что когда вы определяете в третьем пункте, меняется ли наша тригонометрическая функция на противоположную или нет, то в случае, если дополнительный угол к (alpha) лежит на вертикальной оси, мы как бы смотрим вверх-вниз, киваем головой, как лошадь, говоря себе: «Да, меняем». Или если угол лежит на горизонтальной оси, то мы киваем влево вправо вдоль горизонтальной оси, как бы говоря: «Нет, не меняем». Такое вот странное название у правила.

Данная статья посвящена подробному изучению тригонометрических формул приведения. Дан полный список формул приведения, показаны примеры их использования, приведено доказательство верности формул. Также в статье дано мнемоническое правило, которое позволяет выводить формулы приведения, не запоминая каждую формулу.

Формулы приведения. Список

Фомулы приведения позволяют приводить основные тригонометрические функции углов произвольной величины к функциям углов, лежащих в интервале от 0 до 90 градусов (от 0 до π2 радиан). Оперировать углами от 0 до 90 градусов гораздо удобнее, чем работать со сколь угодно большими значениями, поэтому формулы приведения широко применяются при решении задач тригонометрии. 

Прежде, чем мы запишем сами формулы, уточним несколько важных для понимания моментов.

• Аргументами тригонометрических функций в формулах приведения являются угды вида ±α+2π·z, π2±α+2π·z, 3π2±α+2π·z. Здесь z – любое целое число, а α – произвольный угол поворота.
• Не обязательно учить все формулы приведения, количество которых довольно внушительно. Существует мнемоническое правило, которо позволяет легко вывести нужную формулу. Речь о мнемоническом правиле пойдет позже.

Теперь перейдем непосредственно к формулам приведения.

Формулы приведения позволяют переходить от работы с произвольными и сколь угодно большими углами к работе с углами в пределах от 0 до 90 градусов. запишем все формулы в виде таблицы.

sinα+2πz=sinα, cosα+2πz=cosαtgα+2πz=tgα, ctgα+2πz=ctgαsin-α+2πz=-sinα, cos-α+2πz=cosαtg-α+2πz=-tgα, ctg-α+2πz=-ctgαsinπ2+α+2πz=cosα, cosπ2+α+2πz=-sinαtgπ2+α+2πz=-ctgα, ctgπ2+α+2πz=-tgαsinπ2-α+2πz=cosα, cosπ2-α+2πz=sinαtgπ2-α+2πz=ctgα, ctgπ2-α+2πz=tgαsinπ+α+2πz=-sinα, cosπ+α+2πz=-cosαtgπ+α+2πz=tgα, ctgπ+α+2πz=ctgαsinπ-α+2πz=sinα, cosπ-α+2πz=-cosαtgπ-α+2πz=-tgα, ctgπ-α+2πz=-ctgαsin3π2+α+2πz=-cosα, cos3π2+α+2πz=sinαtg3π2+α+2πz=-ctgα, ctg3π2+α+2πz=-tgαsin3π2-α+2πz=-cosα, cos3π2-α+2πz=-sinαtg3π2-α+2πz=ctgα, ctg3π2-α+2πz=tgα

 В данном случае формулы записаны с радианами. Однако можно записать их и с использованием градусов. Достаточно только перевести радианы в градусы, заменив π на 180 градусов.

Примеры использования формул приведения

Покажем, как пользоваться формулами приведения и как указанные формулы применяются при решении практических примеров.

Угол под знаком тригонометрической функции можно представить не одним, а множеством способов. Например, аргумент тригонометрической функции может быть представлен в видах ±α+2πz, π2±α+2πz, π±α+2πz, 3π2±α+2πz. Продемонстрируем это.

Возьмем угол α=16π3. Это угол можно записать так:

α=16π3=π+π3+2π·2α=16π3=-2π3+2π·3α=16π3=3π2-π6+2π

В зависимости от представления угла используется соответствующая формула приведения.

Возьмем тот же угол α=16π3 и вычислим его тангенс

Теперь используем другое представление угла α=16π3.

α=16π3, tg α=?α=-2π3+2π·3tg16π3=tg-2π3+2π·3=-tg2π3=-(-3)=3

Наконец, для третьего представления угла запишем

α=16π3=3π2-π6+2πtg3π2-α+2πz=ctg αtg α=tg (3π2-π6+2π)=ctgπ6=3

Теперь приведем пример на использование формул приведения посложнее

Мнемоническое правило

Формул приведения много, и, к счастью, нет необходимости заучивать их наизусть. Существуют закономерности, по которым можно выводить формулы приведения для разных углов и тригонометрических функций. Эти закономерности называются мнемоническим правилом. Мнемоника – искусство запоминания. Мнемоническое правило состоит из трех частей, или содержит три этапа.

Чтобы пользоваться мнемоническим праилом для формул приведения нужно уметь определять знаки тригонометрических функций по четвертям единичной окружности. Разберем примеры применения мнемонического правила. 

Рассмотрим  пример с конкретным углом α=777°. Приведем синус альфа к тригонометрической функции острого угла.

Теперь рассмотрим пример, который показывает, как важно правильно определить знак тригонометрической функции и правильно представить угол при использовании мнемонического правила. Повторим еще раз.

Угол α должен быть острым!

Вычислим тангенс угла 5π3. Из таблицы значений основных тригонометрических функций можно сразу взять значение tg 5π3=-3, но мы применим мнемоническое правило.

Формулы приведения. Доказательство

Доказательство формул приведения основывается на свойствах периодичности и симметричности тригонометрических функций, а также на свойстве сдвига на углы π2 и 3π2. Доказательство справедливости всех формул приведения иожно проводить без учета слагаемого 2πz, так как оно обозначает изменение угла на целое число полных оборотов и как раз отражает свойство периодичности.

Первые 16 формул следуют напрямую из свойств основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котанганса. 

Приведем доказательство формул приведения для синусов  и косинусов

sinπ2+α=cos α и cosπ2+α=-sin α

Посмотрим на единичную окружность, начальная точка которой после повоторота на угол α перешла в точку A1x, y, а после поворота на угол π2+α – в точку A2. Из обеих точек проведем перпендикуляры к оси абсцисс.

                                                                         

Два прямоугольных треугольника OA1H1 и OA2H2 равны по гипотенузе и прилежащим к ней углам. Из расположения точек на окружности и равенства треугольников можно сделать вывод о том, что точка A2 имеет координаты A2-y, x. Используя определения синуса и косинуса, запишем:

sin α=y, cosα=x, sinπ2+α=x, cosπ2+α=y

Отсюда

sinπ2+α=cos α, cosπ2+α=-sinα

С учетом основных тождеств тригонометрии и только что доказанного, можно записать

tgπ2+α=sinπ2+αcosπ2+α=cos α-sin α=-ctg αctgπ2+α=cosπ2+αsinπ2+α=-sin αcosα=-tg α

Для доказательства формул приведения с аргументом π2-α его необходимо представить в виде π2+(-α). Например:

cosπ2-α=cosπ2+(-α)=-sin(-α)=sinα

В доказательстве используются свойства тригонометрических функций с аргументами, противоположными по знаку.

Все остальные формулы приведения можно доказать на базе записанных выше.

При изучении геометрии вы установили, что

если

Свойство периодичности тригонометрических функций позволяет свести вычисление значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла к вычислению значений этих функций при значениях аргумента, принадлежащих промежутку  Например,

На практике принято сводить значения тригонометрических функций произвольного угла к вычислению значений этих функций для угла, принадлежащего промежутку .

Это можно делать с помощью формул приведения.

Рассмотрим промежуток  Любое число  из этого промежутка можно пред ставить в виде  

Например, 
Поскольку ординаты точек  равны, а абсциссы отличаются только знаком, то:  (рис. 113).
Тогда для  получим, что 
А для  имеем:

Вместе с тем любое число  из промежутка  можно также представить в виде  где  Например, 
Так как ордината точки  равна абсциссе точки  а абсцисса точки отличается от ординаты точки  только знаком (рис. 114), то:  а 

Для  получим:

Так как любое число  из промежутка  можно представить в виде  или  то, рассуждая аналогично, получим формулы приведения:

Поскольку любое число  из промежутка можно представить в виде  то получим:

Проанализировав полученные формулы, можно заметить закономерности, позволяющие сформулировать правило, с помощью которого можно применять формулы приведения, не заучивая их:

В правой части формулы приведения ставится тот знак, который имеет в соответствующей четверти исходная функция, если считать, что угол  — острый.

Если в формуле приведения аргумент имеет вид:

•     то название функции не меняется;
•     то название функции меняется (синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс).

Например, применим полученное правило для выражения 

1. Если считать, что угол  — острый, то —  — угол третьей четверти. В третьей четверти косинус (исходная функция) отрицательный, значит, в правой части равенства нужно поставить знак «минус».
2. Поскольку аргумент имеет вид  то название функции «косинус» нужно поменять на «синус». Таким образом, получим: 

Пример:

Приведите выражение к тригонометрической функции числа  применив формулы приведения:

 

Решение:

Применим правило:

а) 1. Так как  — угол четвертой четверти, в которой косинус положительный, то в правой части равенства не нужно ставить знак «минус».

2. Поскольку аргумент имеет вид  то название функции «косинус» не меняется. Значит, 

б) 1. Так как  — угол четвертой четверти, в которой тангенс отрицательный, то в правой части равенства нужно поставить знак «минус».

2.Поскольку аргумент имеет вид  название функции «тангенс» нужно поменять на «котангенс». Тогда 

в) 1. Так как  — угол второй четверти, в которой синус положительный, то в правой части равенства части равенства не нужно ставить знак «минус»

2. Поскольку аргумент имеет вид  то название функции «синус» не меняется. Значит, 

Пример:

Используйте формулы приведения и найдите значение выражения:

Решение:

 

Первый способ:

1. Так как  угол второй четверти, в которой синус положительный, то в правой части равенства не нужно ставить знак «минус».
2. Поскольку аргумент имеет вид  то название функции «синус» не меняется. Значит, 

Второй способ:

  (в третьей четверти тангенс положительный, название функции не меняется).

 (в третьей четверти косинус отрицательный, название функции не меняется). (в четвертой четверти котангенс отрицательный, название функции не меняется).

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример:

Вычислите, используя формулы приведения:

Решение:

  (в четвертой четверти косинус положительный, название функции не меняется);

 (во второй четверти синус положительный, название функции не меняется);

 (в третьей четверти котангенс положительный, название функции меняется);

 (в четвертой четверти тангенс отрицательный, название функции не меняется).

Пример:

Найдите значение выражения:

Решение:

а) Так как синус — нечетная функция, то

Применим формулы приведения:

б) Воспользуемся свойством четности косинуса и получим: 

По формулам приведения: 

в)    Воспользуемся свойством периодичности тангенса и получим:

Применим формулы приведения: 

г)    Поскольку котангенс — нечетная функция, то 

Используем свойство периодичности котангенса и получим:

Пример:

По формулам приведения:

Приведите к тригонометрической функции угла 

Решение:

а) Используем свойство периодичности косинуса и получим: 

По формулам приведения: 

б) Воспользуемся свойством периодичности котангенса: 

Применим формулы приведения: 

в)    Так как тангенс — нечетная функция, то  По формулам приведения: 

г)    Поскольку синус — нечетная функция, то 

Воспользуемся свойством периодичности синуса и получим: 

По формулам приведения: 

Пример:

Приведите к тригонометрической функции угла  

Решение:

 

Пример:

Вычислите:

Решение:

 

Пример:

Упростите выражение:

Решение:

а) Применим формулы приведения: 

б)Воспользуемся периодичностью косинуса и формулами приведения и получим:

в)Применим формулы приведения:

г) Используем периодичность тангенса, нечетность котангенса и формулы приведения:

Пример:

Решите уравнение: 

Решение:

Применим формулы приведения и получим: 

Ответ: 

Определение. Формулами приведения называют формулы, которые позволяют перейти от тригонометрических функций вида к функциям аргумента . С их помощью синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла можно привести к синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу угла из интервала от 0 до 90 градусов (от 0 до  радиан). Таким образом, формулы приведения позволяют нам переходить к работе с углами в пределах 90 градусов, что, несомненно, очень удобно.

Формулы приведения:

Для использования формул приведения существует два правила.

1. Если угол можно представить в виде (π/2 ±a) или (3*π/2 ±a), то название функции меняется sin на cos, cos на sin, tg на ctg, ctg на tg. Если же угол можно представить в виде (π ±a) или (2*π ±a), то название функции остается без изменений.

   Посмотрите на рисунок ниже, там схематично изображено, когда следует менять знак, а когда нет

2. Знак приведенной функции остается прежним. Если исходная функция имела знак «плюс», то и приведенная функция имеет знак «плюс». Если исходная функция имела знак «минус», то и приведенная функция имеет знак «минус».

На рисунке ниже представлены знаки основных тригонометрических функций в зависимости от четверти.

Пример:

Вычислить 

Воспользуемся формулами приведения:

 Sin(150˚) находится во второй четверти, по рисунку видим что знак sin в этой четверти равен “+”. Значит у приведенной функции тоже будет знак «+». Это мы применили второе правило.

Теперь 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ это π/2. То есть имеем дело со случаем π/2+60, следовательно по первому правилу меняем функцию с sin на cos. В итоге получаем Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.