Как найти фронтальную плоскость

f0a

A”

x

2″ 1′

h0a

A’

2′

1″

Рис. 3.15

Рассматривая прямые частного положения, мы уже познакомились с прямыми уровня: горизонталью, фронталью и профилью. Теперь рассмотрим горизонталь и фронталь плоскости. Горизонталь плоскости – это прямая, принадлежащая плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций. Следовательно, у всех точек горизонтали координата z постоянна. Поэтому ее фронтальная проекция ( h′′) параллельна оси X (рис. 3.16). Можно сказать, что горизонтальный след плоскости h0α – это тоже горизонталь, только координата z=0. А все горизонтали одной

плоскости параллельны друг другу. Мы знаем, что у параллельных прямых одноименные проекции параллельны. Следовательно, горизонтальная проекция горизонтали параллельна горизонтальному следу плоскости (т.е. h// h0α ).

Обратите внимание, что горизонталь обозначается h, а горизонтальный след – h0 . Говорят,

что горизонтальный след – это нулевая горизонталь.

Фронталь плоскости – это прямая, принадлежащая плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций (рис. 3.17). У фронтали плоскости горизонтальная проекция параллельна оси X, а фронтальная параллельна фронтальному следу, так как у всех точек фронтали координата y постоянна. У фронтального следа y=0, поэтому фронтальный след – это нулевая фронталь.

Напомним, что горизонтали и фронтали плоскости (так же как и любые прямые) предполагаются бесконечными.

Профиль плоскости – это прямая, принадлежащая плоскости и параллельная профильной плоскости проекций.

Для решения рассмотренной ранее задачи построения недостающей проекции точки, принадлежащей плоскости, в ряде случаев удобнее в качестве вспомогательной прямой взять горизонталь или фронталь плоскости.

Исходные данные задачи представлены на рис. 3.18,а. Проведем через фронтальную проекцию горизонтали ( h′′//оси X) (рис. 3.18,б). Горизонталь пересекается с фронтальным следом в точ-

ке 1

′′

– пересечение

f0α и h

′′

). Построив горизонтальную проекцию точки 1, через нее можно

(1

провести горизонтальную проекцию горизонтали параллельно горизонтальному следу (рис. 3.18,в). С помощью линии проекционной связи строится горизонтальная проекция точки A, лежащая на горизонтали h (рис. 3.18,г). Задача решена.

Возьмем те же самые исходные данные (рис. 3.19,а). Только теперь для построения недостающей проекции точки в качестве вспомогательной прямой используем фронталь плоскости. Через A′′ проведем f ′′ – фронтальную проекцию фронтали (она проходит параллельно фронталь-

ному следу). Там, где она пересечет ось X, будет находиться фронтальная проекция точки 1 (рис. 3.19,б). Поскольку у точки 1 z=0, она принадлежит горизонтальному следу. Продлив h0α , можно построить горизонтальную проекцию точки 1, лежащей на фронтали (рис. 3.19,в), и провести через нее горизонтальную проекцию фронтали ( f // X ). На рис. 3.19,г приведено окончательное решение задачи.

36

f0a

1

1″

h”

1′

h

x

h’

h0a

a

f0a

f”

2″

f

x

f’

2

2′

h0a

a

f0a

A”

x

a

h0a

f0a

A”

1″

h”

x

1′

h’

h0a

â

h’ h0a

Рис. 3.16

á

f0a

f”

x

2″

f’

2′

h0a

Рис. 3.17

á

f0a

A”

1″

h”

x

á

h0a

f0a

A”

1″

h”

x

A’

1′

h’

h0a

Рис. 3.18

ã

37

f0a

f”

f0a

A”

A”

x

x

1″

h0a

h0a

a

á

f”

f”

f0a

f0a

1″

A”

A”

f’

1″

A’

f’

x

x

1″

1″

h0a

ã

h0a

â

Рис. 3.19

3.4.Линии наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций

Вобщем случае плоскость образует с горизонтальной и фронтальной плоскостями проекций некоторые двугранные углы. Мерой двугранных углов служат линейные углы ( ϕ1 и ϕ2 ), полу-

чающиеся в сечении, перпендикулярном линии пересечения данной плоскости и соответствующей плоскости проекций (рис. 3.20,а и б).

Плоскость указанного сечения пересекается с заданной плоскостью по линии, называемой линией наибольшего наклона плоскости к соответствующей плоскости проекций. Линия наибольшего наклона принадлежит заданной плоскости и перпендикулярна соответствующему следу плоскости.

Линия наибольшего наклона плоскости к горизонтальной плоскости проекций называется линией ската. Она принадлежит заданной плоскости и перпендикулярна горизонтальному следу этой плоскости (или любой ее горизонтали, так как любая горизонталь плоскости параллельна горизонтальному следу).

Итак, нам необходимо провести в плоскости прямую, перпендикулярную горизонтали этой плоскости. Выясним, будет ли в этом случае справедлива теорема о частном случае проецирования прямого угла.

Поскольку одна из сторон прямого угла (в нашем случае горизонталь плоскости или горизонтальный след) параллельна горизонтальной плоскости проекций, то прямой угол на горизонтальную плоскость проекций будет проецироваться в истинную величину. Из этого следует, что горизонтальная проекция линии ската s перпендикулярна горизонтальному следу плоскости ( sh0α ,

рис. 3.21,а). Фронтальную проекцию линии ската определим из условия принадлежности ее плоскости α . Возьмем точки 1 и 2, принадлежащие как линии ската, так и следам плоскости, и построим фронтальную проекцию линии ската (рис. 3.21,б). На рис. 3.21,в показано, как определить

38

угол ϕ1 – угол наклона прямой s к горизонтальной плоскости проекций, а следовательно, угол наклона плоскости α к горизонтальной плоскости проекций.

b1 f0a

j1

h0a

à

Рис. 3.20

f0a

x

s’

h0a

a

1″

s”

x

2″

1′

s’f1

2′

Dz

â

f0a

f2

f0a

1″

s”

s’

2′ h0a

á

f0a

Dz

è.â.12

h0a

39

Рис. 3.21

Dy f0a

3″

f

è.â.3-4

2

x

3′

4″

4′

Dy

Рис. 3.22

h0a

B”

A”

C”

A’

C’

B’

a

Рис. 3.22 иллюстрирует определение угла наклона плоскости к фронтальной плоскости проекций. Здесь отрезок 3 4 – линия наибольшего наклона к фронтальной плоскости проекций. Эта линия перпендикулярна фронтальному следу, следовательно (по теореме о частном случае проецирования прямого угла), ее фронтальная проекция перпендикулярна фронтальному следу. Угол ϕ2 – угол наклона прямой 3 4 к фронтальной

плоскости проекций.

Рассмотрим аналогичную задачу при условии, что плоскость задана плоской фигурой (рис. 3.23,а). Обратите внимание, что в данном случае чертеж безосный, поэтому проще использовать не следы плоскости, а соответствующие линии уровня.

B”

1″ h”

A”

C”

A’

C’ 1′ h’

B’

á

40

B”

s”

1″ h”

A”

2″ C”

A’

2′

C’

s’

1′ h’

B’

â

B”

A”

1″

h”

2″

C”

A’

2′

è.â.

f1

C’

Dz

1′

h’

B’

ã

Прежде всего для нахождения угла наклона плоскости к горизонтальной плоскости проекций следует построить горизонталь этой плоскости. Начинаем построение с фронтальной проекции горизонтали. Эта проекция параллельна оси X (хотя на чертеже эта ось отсутствует, но ее направление мы знаем). Через точку A проведем h′′ и получим фронтальную проекцию вспомогательной точки 1 на пересечении В′′С′′ и h′′. Эта точка принадлежит прямой BC, лежащей в плоскости, следовательно, 1′ будет на BC. Поскольку горизонталь проведена через точку A, соединим Aи 1′ и получим горизонтальную проекцию горизонтали h. Горизонталь построена.

Теперь необходимо построить проекции линии ската s. Проведем ее через точку B (рис. 3.23,б). Мы уже знаем, что горизонтальная проекция линии ската перпендикулярна горизонтальной проек-

ции горизонтали, т.е.

s

s

и на пересечении ее со стороной

получим гори-

h . Проведем

A C

зонтальную проекцию

вспомогательной точки 2. Она нам нужна для построения фронтальной про-

екции линии ската. Проведя линию проекционной связи, получим фронтальную проекцию точки 2, а соединив фронтальные проекции точек B и 2, определим фронтальную проекцию линии ската. Проекции линии ската готовы. Осталось лишь определить угол наклона линии ската s к горизонтальной плоскости проекций. Это построение иллюстрирует рис. 3.23,г. Задача решена.

На рис. 3.24 приведено решение задачи на определение угла наклона плоскости к фронтальной плоскости проекций. Здесь через точку C проведена фронталь плоскости α( ABC) с помощью

вспомогательной точки 3, лежащей на стороне AB. Затем построена линия наибольшего наклона плоскости α к фронтальной плоскости проекций (это линия B-4, перпендикулярная фронтали). В

заключение определен угол ϕ2 – угол наклона плоскости к фронтальной плоскости проекций.

41

Фронталь плоскости

Фронталь плоскости – одна из главных линий плоскости.

Фронталь плоскости

Фронталь плоскости

На рисунке показаны:
фронталь плоскости αυ,
гризонталь h плоскости α,
профильная прямая ω плоскости α,
задание линий уровня на эпюре.

Главными линиями плоскости называют:
1. Прямые, принадлежащие плоскости и параллельные какой-либо плоскости проекции;
2. Прямые принадлежащие плоскости и перпендикулярные к какой-либо линии, отмеченной в пункте 1.

Прямые, параллельные плоскости проекции (1), принадлежат плоскости уровня поэтому их называют также прямыми (или линиями) уровня.
Линии уровня подразделяют на три вида:
а) В случае когда υα ^ υV, то прямая υ представляет собой фронталь плоскости α;
б) Если hα ^ h║H, то прямую h называют горизонталь плоскости α;
в) В случае когда ωα ^ ωW, то прямую ω называют профильная прямая плоскости α.

Наименование линии Горизонтальная проекция Фронтальная проекция Профильная проекция
Горизонталь ║αH ║оси x ║оси y
Фронталь ║оси x ║αV ║оси z
Профильная прямая ║оси y ║оси z ║αW

В плоскости можно провести множество фронталей

Фронталь плоскости

Фронталь плоскости

по фронталям плоскости можно построить следы плоскости, то есть перейти от какого то способа задания плоскости к заданию следами.
И наоборот от задания плоскости следами, по фронталям плоскости можно перейти к другим способам задания той же самой плоскости.

построить фронталь треугольника ABC

Фронталь плоскости

Фронталь плоскости

чтобы построить фронталь плоскости выраженной треугольником ABC необходимо:
– построить горизонтальную проекцию f` искомой фронтали, причем f` ‖ x, проводим из вершины A треугольника, достигая этим цели наименьшим количеством построений;
– в пересечении f` с B`C` противолежащей стороной треугольника отмечаем точку 1`;
– находим 1″ в пересечении ее линии проекционной связи со стороной B`C`;
– находим f” искомой фронтали, соединив прямой линией точки A” и 1″.

+

Содержание:

Плоскостью называется поверхность, образуемая движением прямой линии, которая движется параллельно самой себе по неподвижной направляющей прямой.

Способы задания плоскости

На чертеже плоскость может быть задана (рис. 4.1) несколькими способами:

  • а) проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой (рис. 4.1, а);
  • б) проекциями прямой и точки, нс лежащей на этой прямой (рис. 4.1,0 ;
  • в) проекциями двух пересекающихся прямых (рис. 4.1, в);
  • г) проекциями двух параллельных прямых (рис. 4.1, г);
  • д) проекциями любой плоской фигуры (рис. 4.1, д);
  • е) следами плоскости (рис. 4.1, е).

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

От одного задания плоскости можно перейти к другому. Напри­мер, если мы проведем через точки А и В (рис. 4.1, а) прямую, то от задания плоскости тремя точками мы перейдем к заданию плоскости точ­кой и прямой (рис. 4,1, б) и т.д. В ряде случаев плоскость более наглядно может быть изображена при помощи прямых, по которым она пересекает плоскости проекций. Прямые, по которым плоскость пересекает плоскости проекций, называются следами плоскости (рис. 4.2):

  • Плоскость в начертательной геометрии с примерами
  • Плоскость в начертательной геометрии с примерами – горизонтальный след плоскости Р;
  • Плоскость в начертательной геометрии с примерами -профильный след плоскости Р.

Точки пересечения плоскости с осями проекций Плоскость в начертательной геометрии с примерами называются точками схода следов.

Чтобы построить след плоскости, необходимо построить одно­именные следы двух прямых, лежащих в плоскости (рис. 4.2).

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Положение плоскости относительно плоскостей проекций

Относительно плоскостей проекций плоскость может занимать следующие положения:

  • Плоскость наклонена ко всем плоскостям проекций.
  • Плоскость перпендикулярна плоскости проекций.
  • Плоскость параллельна плоскости проекций.

Плоскость, не перпендикулярную и не параллельную ни одной из плоскостей проекций, называют плоскостью общего положения. Такими являются плоскости, изображенные на рис. 4.1, 4.2, а также на рис. 4.3.

Плоскость, которая по мере удаления от наблюдателя повышается, называется восходящей (рис. 4.4). Плоскость, понижающаяся по мере удаления от наблюдателя, называется нисходящей (рис. 4.5).

Чтобы на чертеже различить изображения восходящей и нисходящей плоскостей, проанализируем проекции треугольника, которым она задана. Из чертежа, на котором изображена восходящая плоскость (рис. 4.4), видно, что обе проекции треугольника АВС – горизонтальная Плоскость в начертательной геометрии с примерами и фронтальная Плоскость в начертательной геометрии с примерами – имеют одинаковые обходы порядка обозначений (по часовой стрелке). Проекции треугольника Плоскость в начертательной геометрии с примерами которыми задана нисходящая плоскость (рис. 4.5), имеют противоположные обходы обозначений: горизонтальная Плоскость в начертательной геометрии с примерами– против движения часовой стрелки, фронтальная Плоскость в начертательной геометрии с примерами – по часовой стрелке.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскости частного положения. Плоскости, перпендикулярные или параллельные к плоскостям проекций, называют плоскостями частного положения.

Плоскость, перпендикулярную к плоскости проекций, называют проецирующей.

Горизонтально-проецирующая плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами (рис. 4.6)

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Фронтально-проецирующая плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами (рис.4.7.)

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Профильно-проецирующая плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами рис (4.8.)

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость проецируется в прямую линию на ту плоскость проекций. которой она перпендикулярна. Эту проекцию можно рассматривать и как след плоскости. На эту же плоскость проекций в натуральную величину проецируются углы наклона данной плоскости к двум другим плоскостям проекций.

Проецирующие плоскости обладают собирательным свойством: если точка, линия или фигура расположены в плоскости, перпендикулярной плоскости проекций, то на этой плоскости их проекции совпадают со следом проецирующей плоскости.

Плоскости, параллельные плоскости проекций, называются плос­костями уровня. Плоскости уровня перпендикулярны одновременно двум плоскостям проекций (двояко проецирующие).

Горизонтальная плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами (рис. 4.9)

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Фронтальная плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами (рис. 4.10)

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Профильная плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами (рис.4.11)

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Любая линия или фигура, лежащая в плоскости уровня, проецируется без искажения на ту плоскость проекций, которой данная плоскость параллельна. На две другие плоскости проекций плоскость уровня проецируется в виде отрезков прямых линий (следов), перпендикулярных оси проекций, разделяющей эти плоскости проекций.

Точка и прямая в плоскости

К числу основных задач, которые решают на плоскости, относят следующие:

  • проведение в плоскости прямой;
  • построение в плоскости некоторой точки;
  • построение недостающей проекции точки, лежащей в плоскости;
  • проверка принадлежности точки плоскости.

Решение этих задач основано на известных положениях геомет­рии: прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие плоскости, или если она проходит через одну точку этой плоскости параллельно прямой, лежащей в этой плоско­сти.

Построение в плоскости прямой линии

Чтобы построить в плоскости прямую линию (рис. 4.12), необходимо отметить две точки, принадлежащие плоскости, например, точки А и К. Затем через них провести прямую Плоскость в начертательной геометрии с примерами

На рис. 4.13 прямая ВК принадлежит плоскости треугольника АВС, так как она проходит через вершину В и параллельна стороне треугольника Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Построение в плоскости некоторой точки

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости.

Для построения в плоскости точки в этой плоскости проводят вспомогательную прямую и на ней отмечают точку.

На чертеже плоскости, заданной проекциями точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами и прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами (рис. 4.14), проведены проекции вспомогательной прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами принадлежащей плоскости. На ней отмечены проекции Плоскость в начертательной геометрии с примерами точки D, принадлежащей этой плоскости.

Построение недостающей проекции точки

На рис. 4.15 плоскость задана треугольником Плоскость в начертательной геометрии с примерами Принадлежащая этой плоскости точка D задана проекцией d’. Требуется найти горизонтальную проекцию точки D. Ее строят с помощью вспомогательной прямой. Прямая принадлежит плоскости и проходит через точку D. Для этого проводим фронтальную проекцию пря­мой АК, строим ее горизонтальную проекцию Плоскость в начертательной геометрии с примерами и на ней отмечаем го­ризонтальную проекцию d точки.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Проверка принадлежности точки плоскости

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Для проверки принадлежности точки плоскости используют вспомогательную прямую. Прямая принадлежит плоскости.

Так, на рис. 4.16 плоскость задана параллельными прямыми АВ и СО, точка — проекциями е и е’ Проекции вспомогательной прямой проводят так, чтобы она проходила через одну из проекций точки. Например, фронтальная проекция вспомогательной прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами проходит через фронтальную проекцию точ­ки е’. Построив горизонтальную проекцию прямой 1 – 2, видим, что горизонтальная проекция е точки ей не принадлежит. Следовательно, точка Е не принадлежит плоскости.

Главные линии плоскости

Прямых, принадлежащих плоскости, очень много. Среди них есть прямые, занимающие особое, частное положение в плоскости. К ним относятся горизонтали, фронтали, профильные прямые и линии наибольшего наклона к плоскостям проекций. Эти линии называются глав­ными линиями плоскости. Горизонталь — прямая, лежащая в плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций (рис. 4.17).

Фронтальная проекция горизонтали Плоскость в начертательной геометрии с примерами параллельна оси х, про­фильная – осн у.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Фронталь – прямая, лежащая в плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций (рис. 4.18). Горизонтальная проекция фронтали Плоскость в начертательной геометрии с примерами параллельна оси х, профильная – оси z.

Профильная прямая – прямая, лежащая в плоскости и параллельная профильной плоскости проекций. Горизонтальная проекция про­ фильной прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами параллельна оси у, фронтальная – оси z (рис. 4.19).

Рассмотренные линии являются линиями наименьшего наклона к плоскостям проекций.

Из трех линий наибольшего наклона к плоскостям проекций отметим линию наибольшего наклона к горизонтальной плоскости. Эту линию называют линией ската.

Линия ската – это прямая, лежащая в плоскости и перпендикулярная ее горизонтальному следу или ее горизонтали (рис. 4.20). Линия наибольшего наклона па чертеже позволяет определить величину двугранного угла между заданной плоскостью и плоскостью проекций. Этот угол будет равен линейному углу, который составляет линия наибольшего наклона со своей проекцией на эту плоскость.

Для определения угла наклона используем метод прямоугольного треугольника (рис. 4.21).

Плоскость в начертательной геометрии с примерами Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Взаимное положение прямой и плоскости

Взаимное положение прямой и плоскости определяется количест­вом общих точек:

  • а) если прямая имеет две общие точки с плоскостью, то она принадлежит этой плоскости;
  • б) если прямая имеет одну общую точку с плоскостью, то прямая пересекает плоскость;
  • в) если точка пересечения прямой с плоскостью удалена в бесконечность, то прямая и плоскость параллельны.

Задачи, в которых определяется взаимное расположение различных геометрических фигур относительно друг друга, называются позиционными задачами.

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какойнибудь прямой, лежащей в этой плоскости. Чтобы построить такую прямую, надо в плоскости задать прямую и параллельно ей провести нужную прямую.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Пусть плоскость Р задана треугольником CDE. Через точку А (рис. 4.22) необходимо провести пря­мую АВ, параллельную плоскости Р.

Для этого через фронтальную проекцию Плоскость в начертательной геометрии с примерами точки А проведем фронтальную проекцию Плоскость в начертательной геометрии с примерами искомой прямой параллельно фронтальной проекции любой прямой, лежащей в плоскости Р, на­пример прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами Через горизонтальную проекцию а точки А параллельно cd проводим горизонталь­ную проекцию Плоскость в начертательной геометрии с примерами искомой прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами Прямая АВ параллельна плоскости Р, заданной треугольником CDE.

Прямая будет также параллельна плоскости, если она лежит в плоскости, параллельной данной.

Построение точки пересечения прямой с плоскостью

Задача на построение точки пересечения прямой с плоскостью широко применяется в начертательной геометрии. Она лежит в основе решения следующих задач:

  • на пересечение двух плоскостей;
  • на пересечение поверхности с плоскостью;
  • на пересечение прямой с поверхностью;
  • на взаимное пересечение поверхностей.

Построить точку пересечения прямой с плоскостью – значит найти точку, принадлежащую одновременно заданной прямой и плоскости. Графически такая точка определяется как точка пересечения прямой с линией, лежащей в плоскости.

Плоскость занимает проецирующее положение

Если плоскость занимает проецирующее положение (например, она перпендикулярна фронтальной плоскости проекций, рис. 4.23), то фронтальная проекция точки пересечения должна одновременно принадлежать фронтальному следу плоскости и фронтальной проекции прямой, то есть быть в точке их пересечения. Поэтому сначала определяется фронтальная проекция Плоскость в начертательной геометрии с примерамиточки К (точки пересечения прямой АВ с фронтально-проецирующей плоскостью Плоскость в начертательной геометрии с примерами а затем ее гори­зонтальная проекция.

Прямая занимает проецирующее положение

На рис. 4.24 изображена плоскость общего положения Плоскость в начертательной геометрии с примерами и фронтально-проецирующая прямая АВ, пересекающая плоскость в точке К. Фронтальная проекция точки – точка Плоскость в начертательной геометрии с примерами – совпадает с точками Плоскость в начертательной геометрии с примерами Для построения горизонтальной проекции точки пересечения проведем через точку К в плоскости Р прямую (например, 1 -2). Сначала построим ее фронтальную проекцию, а затем горизонтальную. Точка К является точкой пересечения прямых АВ и 1-2, то есть точка К одновременно ле­жит на прямой АВ и в плоскости Р и, следовательно, является точкой их пересечения.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Прямая и плоскость занимают общее положение

В этом случае линия, лежащая в плоскости и пересекающаяся с данной прямой, может быть получена как линия пересечения вспомогательной секущей плоскости Р, проведенной через прямую АВ, с данной плоскостью Плоскость в начертательной геометрии с примерами (линия MN] (рис. 4.25 и 4.26).

Точку пересечения прямой с плоскостью строят по следующему плану.

  1. Через прямую Плоскость в начертательной геометрии с примерами проводят вспомогательную плоскость Р (лучше проецирующую);
  2. Строят линию пересечения MN заданной плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами и вспомогательной плоскости F;
  3. Так как прямые АВ и MN лежат в одной плоскости Р, то определяют точку их пересечения (точку К), которая является точкой пересечения прямой АВ с плоскостью Плоскость в начертательной геометрии с примерами
  4. Определяют взаимную видимость прямой АВ и плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Для определения видимых участков прямой АВ анализируем положение точек на скрещивающихся прямых (конкурирующих точек).

Так, точки М и L находятся на скрещивающихся прямых АВ и CD: Плоскость в начертательной геометрии с примерами Их фронтальные проекции Плоскость в начертательной геометрии с примерамисовпадают. По горизонтальной проекции при взгляде по стрелке на плоскость V видно, что точка L (проекция Плоскость в начертательной геометрии с примерами находится перед точкой М (проекция Плоскость в начертательной геометрии с примерами то есть она закрывает точку М при проецировании на фронтальную плоскость. Следовательно, прямая АВ слева от точки К расположена перед треугольником CDE и на фронтальной проекции она будет видима. Вправо от точки К прямую АВ закрывает треугольник CDE до точки N, соответственно отрезок Плоскость в начертательной геометрии с примерами показан как невидимый. Невидимый участок на горизонтальной проекции прямой АВ выявлен анализом положения точек 1 и 2 Плоскость в начертательной геометрии с примерами принадлежащих скрещивающимся прямым АВ и DE. По фронтальной проекции видно, что если смотреть по стрелке на плоскость Н, то сначала видно точку 1, расположенную выше точки 2. На горизонтальной проекции точка 1 за­крывает точку 2. В этом месте прямая АВ закрыта треугольником CDE до точки их пересечения К (участок проекции Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Взаимное положение плоскостей

Общим случаем взаимного положения двух плоскостей является их пересечение. В частном случае, когда линия пересечения удалена в бесконечность, плоскости становятся параллельными. Параллельные плоскости совпадают при сокращении расстояния между ними до нуля.

Параллельные плоскости

Плоскости будут параллельными, если две пересекающиеся пря­мые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Например, через точку D (рис. 4.27) требуется провести плоскость, параллельную заданной Плоскость в начертательной геометрии с примерами Проводим через точку две прямые, параллельные двум любым прямым, находящимся в заданной плоскости, например сторонам треугольника.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Пересекающиеся плоскости

Линия пересечения двух плоскостей определяется

  • двумя точками, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям;
  • одной точкой, принадлежащей двум плоскостям, и известным направлением линии.

В обоих случаях задача заключается в нахождении точек, общих для двух плоскостей.

Пересечение двух проецирующих плоскостей

Если плоскости занимают частное положение, например, как на рис. 4.28, являются горизонтально-проецирующими, то проекцией линии пересечения на плоскость проекций, которой данные плоскости перпендикулярны (в данном случае горизонтальной), будет точка. Фронтальная проекция линии пересечения перпендикулярна оси проекций.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Пересечение проецирующей плоскости и плоскости общего положения

В этом случае одна проекция линии пересечения совпадает с проекцией проецирующей плоскости на той плоскости проекций, которой она перпендикулярна. На рис. 4.29 показано построение проекций линии пересечения фронтально-проецирующей плоскости, заданной следами, а на рис. 4.30 – горизонтально-проецирующей плоскости (треугольник АВС) с плоскостью общего положения (треугольник DEF).

На фронтальной проекции (рис. 4.29) в пересечении следа плоско­сти Плоскость в начертательной геометрии с примерами и сторон DE и DF треугольника DEF находим фронтальные проекции Плоскость в начертательной геометрии с примерами линии пересечения. По линиям связи находим горизонтальные проекции точек М и N линии пересечения.

При взгляде по стрелке на плоскость Н по фронтальной проекции видно, что часть треугольника левее линии пересечения MN Плоскость в начертательной геометрии с примерами находится над плоскостью Р, то есть будет видимой на горизонтальной плоскости проекций. Остальная часть – под плоскостью Плоскость в начертательной геометрии с примерами, то есть неви­дима. Подобным образом находится линия пересечения для плоскостей, изображенных на рис. 4.30.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Пересечения плоскостей общего положения

Общий прием построения линии пересечения таких плоскостей заключается в следующем. Вводим вспомогательную плоскость (посредник) и строим линии пересечения вспомогательной плоскости с двумя заданными (рис. 4.31). В пересечении построенных линий находим общую точку двух плоскостей. Чтобы найти вторую общую точку, повторяем построение с помощью еще одной вспомогательной плоскости.

При решении подобных задач удобнее в качестве посредников применять проецирующие плоскости.

На рис. 4.32 дано построение линии пересечения двух треугольников. Решение выполняем в следующей последовательности. Проводим две вспомогательные фронтально-проецирующие плоскости – плоскость Р через сторону АС и плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами через сторону ВС треугольника АВС. Плоскость Р пересекает треугольник DEF по прямой 1- 2. В пересечении горизонтальных проекций 1-2 и ас находим горизонтальную проекцию точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами линии пересечения.

Плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами пересекает треугольник DEF по прямой 3-4. В пересечении горизонтальных проекций 3-4 и Плоскость в начертательной геометрии с примерами находим горизонтальную проекцию точки N(n) линии пересечения. Фронтальные проекции этих точек, а следовательно, и линии пересечения, находим, проводя линии связи.

Анализ взаимной видимости треугольников на плоскостях проек­ций выполняем с помощью конкурирующих точек.

Для определения видимости на фронтальной плоскости проекций сравниваем фронтально-конкурирующие точки I и 5. Эти точки лежат на скрещивающихся прямых АС и DE. Их фронтальные проекции сов­падают. На горизонтальной проекции видно, что при взгляде по стрелке на плоскость V точка 5 расположена ближе к наблюдателю. Поэтому она закрывает точку 1. Следовательно, участок прямой АС левее точки М будет видимым на фронтальной плоскости проекций.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Для определения видимости на горизонтальной плоскости проек­ций сравниваем горизонтально-конкурирующие точки 6 и 7. Они лежат на скрещивающихся прямых АС и DF. Их горизонтальные проекции совпадают. При взгляде по стрелке на плоскость Н видно, что точка 6 и прямая АС расположены выше точки 7 и прямой DF. Следовательно, участок AM прямой АС на горизонтальной плоскости проекций будет видимым.

Способы преобразования чертежа

Для упрощения решения метрических и позиционных задач при­меняются различные способы преобразования ортогональных проекций. После таких преобразований новые проекции позволяют решать задачу минимальными графическими средствами.

Способ замены плоскостей проекций

Способ замены плоскостей проекций состоит в том, что одна из плоскостей заменяется новой. Эта плоскость выбирается перпендикулярно оставшейся плоскости проекций. Геометрическая фигура при этом не меняет своего положения в пространстве. Новую плоскость располагают так, чтобы по отношению к ней геометрическая фигура за­нимала частное положение, удобное для решения задачи. На новую плоскость проекций фигура проецируется с помощью перпендикулярных лучей.

На рис. 4.33 изображен пространственный чертеж отрезка прямой общего положения АВ и его проекции на плоскостях Н и V. Заменив плоскость V новой вертикальной плоскостью Плоскость в начертательной геометрии с примерами параллельной отрезку АВ, получим новую систему двух взаимно перпендикулярных плоскостей Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Н. Относительно этих плоскостей отрезок АВ занимает частное положение Плоскость в начертательной геометрии с примерами – новая ось проекций. Новая проекция отрезка АВ Плоскость в начертательной геометрии с примерами равна его натуральной величине, а угол Плоскость в начертательной геометрии с примерами равен натуральной ве­личине угла наклона отрезка АВ к плоскости Н. При замене фронтальной плоскости (как видно из рис. 4.33) по­стоянными остаются Плоскость в начертательной геометрии с примерами координаты точки, так как расстояние от точек до горизонтальной плоскости проекций Н не изменяется. Следовательно, для построения новой проекции отрезка (рис. 4.34) необходимо:

Плоскость в начертательной геометрии с примерами Плоскость в начертательной геометрии с примерами

При замене горизонтальной плоскости проекции Н на новую плоскость координаты Плоскость в начертательной геометрии с примерами точек остаются неизменными, так как расстояние от точки до фронтальной плоскости проекций не изменится. Эти координаты используются при проецировании точки на новую плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами расположенную перпендикулярно плоскости проекций V. Если для решения задачи необходима замена двух плоскостей проекций, то есть от исходной системы плоскостей проекции Плоскость в начертательной геометрии с примерами необходимо перейти к новой Плоскость в начертательной геометрии с примерами то ото можно сделать по одной из следующих схем:

Плоскость в начертательной геометрии с примерами или Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Четыре основные задачи, решаемые способом замены плоско­стей проекций

1. Прямую общего положения преобразовать в прямую, параллельную одной из плоскостей проекций. Такое преобразование позволяет определить натуральную величину отрезка прямой и углы наклона его к плоскостям проекций (рис. 4.35 и 4.36).

Плоскость в начертательной геометрии с примерами Плоскость в начертательной геометрии с примерами

При решении задачи новую плоскость, например, Плоскость в начертательной геометрии с примерами (рис. 4.35), ставим в положение, параллельное отрезку. В этом случае новая ось проекций будет проходить параллельно горизонтальной проекции прямой:

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Через горизонтальные проекции Плоскость в начертательной геометрии с примерами перпендикулярно новой оси Плоскость в начертательной геометрии с примерами проводим линии связи и на них откладываем z координаты точек (то есть расстояние от оси х до фронтальной проекции точек). Новая проекция Плоскость в начертательной геометрии с примерами будет равна натуральной величине отрезка, а угол Плоскость в начертательной геометрии с примерами равен углу наклона отрезка к плоскости Н.

При замене горизонтальной плоскости проекций на новую располагаем эту плоскость параллельно отрезку АВ. Так мы определим натуральную величину отрезка и угол наклона его к плоскости V – угол Плоскость в начертательной геометрии с примерами (рис. 4.36).

В этом случае ось проекций новой плоскости проводим параллельно фронтальной проекции прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами а координаты у берем с горизонтальной плоскости проекций:

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

2. Прямую, параллельную одной из плоскостей проекций, преобразовать в проецирующую прямую, то есть поставить в положение, перпендикулярное плоскости проекций, чтобы прямая на эту плоскость спроецировалась в точку (рис. 4.37).

Так как данная прямая параллельна горизонтальной плоскости проекций, то для преобразования ее в проецирующую прямую, необходимо заменить фронтальную плоскость V на новую Плоскость в начертательной геометрии с примерами Располагаем плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерамиперпендикулярно АВ . Тогда на плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами прямая спроецируется в точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Чтобы прямую общего положения АВ (рис. 4.38) преобразовать в проецирующую, проводят две замены, то есть обе задачи, первую и вторую, решают последовательно. Сначала прямую общего положения преобразуют в прямую, параллельную плоскости проекций (прямую уровня), а затем эту прямую преобразуют в проецирующую.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами Плоскость в начертательной геометрии с примерами

3. Плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами общего положения преобразовать в проецирующую (рис. 4.39), то есть в расположенную перпендикулярно к одной из плоскостей проекций.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Заменим, например, плоскость V на новую плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами Расположим Плоскость в начертательной геометрии с примерами перпендикулярно плоскости Н и плоскости Р. Плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами будет перпендикулярна плоскости Р если мы ее расположим перпендикулярно какой- нибудь линии плоскости. Для упрощения решения задачи в качестве этой линии возьмем горизонталь (линию, параллельную го­ризонтальной плоскости проекций). Строим в плоскости Р горизонталь C1 и перпендику­лярно ей проводим новую плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами Ось Плоскость в начертательной геометрии с примерами проводим в любом месте перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали Плоскость в начертательной геометрии с примерами Строим новую фронтальную проекцию плоскости Р. Горизонталь на новую плоскость спроецируется в точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами а плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами – в линию Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Для преобразования плоскости Р в горизонтально-проецирующую плоскость, необходимо заменить плоскость Н на новую, расположив ее перпендикулярно плоскости V и фронтали плоскости Р (которую предварительно проводим в этой плоскости).

4. Преобразовать плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами из плоскости проецирующей в плоскость уровня (плоскость, параллельную одной из плоскостей проекций). При таком преобразовании мы определяем натуральную величину плоской фигуры (рис. 4.40 и 4.41).

Плоскость в начертательной геометрии с примерами Плоскость в начертательной геометрии с примерами

На рис. 4.40 изображена фронтально-проецирующая плоскость. Заменим горизонтальную плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами на новую Плоскость в начертательной геометрии с примерами Расположим ее перпендикулярно плоскости V и параллельно плоскости Р. Новую ось проекций Плоскость в начертательной геометрии с примерами проводим параллельно фронтальной проекции Плоскость в начертательной геометрии с примерами и новые линии связи перпендикулярно Плоскость в начертательной геометрии с примерами Так как заменена горизонтальная плоскость проекций, то координаты Плоскость в начертательной геометрии с примерами остаются неизменными. Перенесем их на новую плоскость. В результате получаем новую горизонтальную проекцию треугольника, равную натуральной величине треугольника АВС.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Задача решается аналогично, если плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами горизонтально-проецирующая (рис. 4.41). В этом случае заменяется фронталь­ная плоскость V на новую Плоскость в начертательной геометрии с примерами Она проводится перпендикулярно плоскости Н и параллельно плоскости Р. Ось Плоскость в начертательной геометрии с примерами строится параллельно линии Плоскость в начертательной геометрии с примерами. При такой замене координаты z не изменяются. Измеряем их на фронтальной плоскости проекций и откладываем на линиях связи от но­вой оси Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Для того чтобы преобразовать плоскость общего положения в плоскость, которая будет параллельна одной из плоскостей проекций, необходимо провести две замены, то есть решить совместно третью и четвертую задачи (рис. 4.42).

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Определение расстояния между двумя скрещивающимися прямыми

Пример:

Кратчайшим расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми является длина перпендикуляра, проведенного к той и другой прямой. Решение задачи зависит от расположения прямых относительно плоскостей проекций. Рассмотрим пример, когда одна прямая перпендикулярна плоскости проекций (например, AS – горизонтально- проецирующая прямая); вторая (например, ВС) – прямая общего положения, рис. 4.43.

Прямая AS перпендикулярна плоскости Н, поэтому перпендику­ляр к ней будет параллелен плоскости Н и на эту плоскость спроецируется в натуральную величину. Для построения горизонтальной проекции перпендикуляра – Плоскость в начертательной геометрии с примерами необходимо из точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами опустить перпендикуляр на Плоскость в начертательной геометрии с примерами. Отмстив горизонтальную проекцию точки М – точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами находим ее фронтальную проекцию – Плоскость в начертательной геометрии с примерами Так как прямая Плоскость в начертательной геометрии с примерами то ее фронтальная проекция Плоскость в начертательной геометрии с примерами будет параллельна оси х. Проводим Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Чтобы определить расстояние между прямыми, занимающими общее положение, необходимо произвести последовательную замену плоскостей таким образом, чтобы в новой системе плоскостей проекций одна из прямых занимала проецирующее положение.

Способ вращения

Способ вращения заключается в том, что положение геометрических элементов приводится в удобное для решения задачи относительно плоскостей проекций вращением вокруг оси, которая проводится перпендикулярно какой-нибудь плоскости проекций; положение плоскостей проекций при этом остается неизменным. На эпюре строят новые проекции повернутых геометрических элементов.

На рис. 4.44 показано вращение точки В вокруг оси Плоскость в начертательной геометрии с примерами перпендикулярной плоскости Н. Точку В вращаем вокруг оси Плоскость в начертательной геометрии с примерами (рис. 4.44. а) по окружности, радиус Плоскость в начертательной геометрии с примерами которой является перпендикуляром, опущен­ным из точки В на ось вращения Плоскость в начертательной геометрии с примерами Точка Плоскость в начертательной геометрии с примерами – центр вращения точки В.

Точка В опишет при вращении дугу окружности, которая располагается в плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами перпендикулярной оси вращения. А так как ось Плоскость в начертательной геометрии с примерами перпендикулярна плоскости Н, плоскость Т будет горизонтальной плоскостью.

Ось вращения – проецирующая прямая, перпендикулярная плоскости Н. траектория поворота точки В проецируется на плоскость Н окружностью, а на плоскость V – отрезком прямой линии. Переместив горизон­тальную проекцию точки В в новое положение Плоскость в начертательной геометрии с примерами то есть повернув ее на заданный угол Плоскость в начертательной геометрии с примерами строим фронтальную проекцию точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами с по­мощью линии проекционной связи. Так как вращение происходит в плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами перпендикулярной плоскости V, фронтальная проекция Плоскость в начертательной геометрии с примерами точки В будет находиться на следе плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами. плоскость вращения на эпюре обычно не проводят.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Траектория вращения точки проецируется в дугу окружности на плоскость проекций, которой перпендикулярна ось вращения. На плоскость, которой ось вращения параллельна, траектория вращения точки проецируется в отрезок, параллельный оси проекций.

При определении натуральной величины отрезка для упрощения построений ось вращения проводят через конец отрезка. На рис. 4.45, а ось вращения Плоскость в начертательной геометрии с примерами проведена через точку А перпендикулярно плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами при вращении точка В отрезка АВ описала дугу окружности с центром в точке, которая проецируется на плоскость Н в точку а, в ту же точку проецируется ось Плоскость в начертательной геометрии с примерами Траектория точки В на плоскость Н споецировалась без искажения, а ее фронтальная проекция совпала с осью Ох, так как точка В лежит в плоскости Н. движение точки В остановлено в тот момент, когда горизонтальная проекция ab отрезка АВ стала параллель­ной оси Ох. Отрезок расположился параллельно плоскости V и проецируется на нее в натуральную величину.

На рис. 4.45, б ось вращения проведена перпендикулярно плоскости V через точку С. Ее фронтальная проекция совпала с фронтальной проекцией оси вращения Плоскость в начертательной геометрии с примерами точки D. Фронтальная проекция Плоскость в начертательной геометрии с примерами отрезка CD повернута до положения, параллельного оси Ох. Отрезок стал параллельным плоскости Н и спроецировался на нее в натуральную ве­личину. Траектория точки D при вращении проецируется на плоскость Н отрезком Плоскость в начертательной геометрии с примерами параллельным оси Ох.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

На рис. 4.46 показан поворот треугольника АВС (плоскость тре­угольника АВС перпендикулярна плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами в положение, параллельное плоскости Н. для этого через одну из вершин треугольника (А) проводим ось вращения перпендикулярно плоскости V. Отрезок Плоскость в начертательной геометрии с примерами проекцию треугольника АBC на плоскость V – поворачиваем в положение, параллельное оси Ох. Траектория поворота вершин треугольника спроецировалась на плоскость V в дуги окружностей, а на плоскость Н – в отрезки прямых, параллельных оси Ох. Проведя линии проекционной связи из точек Плоскость в начертательной геометрии с примерами до пересечения с этими отрезками, получаем проекцию Плоскость в начертательной геометрии с примерами треугольника после поворота. Точка А своего положения не изменила, так как она находится на оси вращения. На плоскость Н треугольник спроецировался в натуральную ве­личину, так как его плоскость параллельна плоскости Н.

Способ плоскопараллельного перемещения

Способ вращения без указания осей или способ плоскопараллельного перемещения может быть применен в тех же случаях, что и рассмотренный выше способ вращения. Рассмотрим примеры, приведенные на рис. 4.47. Изобразим на плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами на свободном месте чертежа фронтальную проекцию Плоскость в начертательной геометрии с примерами прямой CD в новом положении так, что она будет параллельна оси Ох (проекция Плоскость в начертательной геометрии с примерами рис. 4.47, а). В этом случае существует такая ось вращения, поворот вокруг которой приведет прямую CD в положение, параллельное плоскости Н. Ось вращения можно не указывать, так как все построения могут быть проделаны без нее. На горизонтальной плоскости проекций траектории перемещения совпадут с прямыми, параллельными оси Ох. Опустив из точек Плоскость в начертательной геометрии с примерамилинии связи до пересечения с этими прямыми, получим проекцию Плоскость в начертательной геометрии с примерами прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами которая в новом положении проецируется на плоскость Н в натуральную величину.

На рис. 4.47, б без указания оси вращения показан поворот треугольника АВС в положение, параллельное плоскости Н. Его фронталь­ная проекция Плоскость в начертательной геометрии с примерами изображена на произвольном месте плоскости V параллельно оси Ох.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Из сказанного следует, что проекции геометрических элементов при вращении не изменяет своей величины на той плоскости проекций, которой перпендикулярна ось вращения. Это происходит потому, что угол наклона прямой или плоскости к плоскости проекций, к которой перпендикулярна ось, не изменяется при перемещении этих геометрических элементов. Взаимное расположение точек при повороте, а значит и форма и величина проекции вращаемого объекта на этой плоскости проекций остаются без изменений. Меняется лишь ее положение.

На этом и основан способ вращения без указания осей. Одну из проекций вычерчиваем в новом положении по отношению к оси проекций Ох, а на другой плоскости проекций проводим прямые, параллель­ные оси Ох, изображающие на плоскости проекций путь перемещения точек. В пересечении линий проекционной связи, проведенных от проекций точек после поворота, и линий, параллельных оси Ох, получаем точки, определяющие положение второй проекции после поворота.

Способ совмещения

Способ совмещения можно рассматривать как частный случай вращения. Он применяется для определения натуральной величины геометрической фигуры, расположенной в плоскости. Эту плоскость вместе с геометрической фигурой, лежащей в этой плоскости, вращают вокруг одного из следов, совмещая с той плоскостью проекций, в которой лежит этот след. В совмещенном положении геометрическая фигура изображается в натуральную величину. Если геометрическая фигура за­дана на эпюре без следов, то следы плоскости нужно построить. Рас­смотрим пример совмещения только для проецирующей плоскости. На­клонный след плоскости проходит через прямую, в которую проецируется геометрическая фигура, а второй след – перпендикулярно оси про­екций.

На рис. 4.48 показано совмещение плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами с фронтальной плоскостью проекций V вращением ее вокруг фронтального следа Плоскость в начертательной геометрии с примерами . Плоскость Р перпендикулярна плоскости V. Через вершины треугольника АВС проведены в плоскости Р горизонтали и фронтали.

Вершины треугольника лежат в точках пересечения этих линий.

Горизонтальные проекции горизонталей параллельны горизонтальному следу Плоскость в начертательной геометрии с примерами плоскости Р, а горизонтальные проекции фронталей параллельны оси Ох. На фронтальную плоскость проекций горизонтали, которые перпендикулярны плоскости V, проецируются в точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами на след Плоскость в начертательной геометрии с примерами На этот же след проецируются и фронтали.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Для построения совмещенного положения плоскости Р с плос­костью V проводим совмещенный горизонтальный след Плоскость в начертательной геометрии с примерами плоскости Р перпендикулярно фронтальному следу Плоскость в начертательной геометрии с примерами через точку схода следов Плоскость в начертательной геометрии с примерами СледыПлоскость в начертательной геометрии с примерами расположены в пространстве перпендикулярно друг другу, и в совмещенном положении прямой угол между ними сохранится. Затем проводим в совмещенной плоскости Р горизонтали и фронтали через точки их пересечения со следами плоскости. Горизонтали пересекают след Плоскость в начертательной геометрии с примерами в точках, совпадающих с проекциями Плоскость в начертательной геометрии с примерами и через эти точки проводим горизонтали параллельно совмещенному следу Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Фронтали пересекают горизонтальный след Плоскость в начертательной геометрии с примерами в точках 1, 2, 3. Из этих точек проводим дуги с центром в точке Плоскость в начертательной геометрии с примерами находим точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами и через них проводим совмещенные фронтали параллельно следу Плоскость в начертательной геометрии с примерами так как все фронтали плоскости параллельны ее фронтальному следу.

Каждая из проведенных фронтален, пересекаясь с соответствующей горизонталью, дает одну из вершин треугольника. Треугольник АВС в совмещенном положении изображается в натуральную величину.

Что такое плоскость

Плоскостью называется поверхность, обладающая тем свойством, что прямая, проходящая через любые две точки этой поверхности, лежит в ней всеми остальными точками.

Задание плоскости на чертежах осуществляется заданием геометрических элементов, определяющих положение этой плоскости в пространстве.

Как задать плоскость

Различают следующие способы задания плоскости:

  • –    задание равнозначными геометрическими элементами;
  • –    задание следами этой плоскости;
  • –    задание плоскими фигурами.

Рассмотрим подробнее каждый из этих способов.

К первому способу относят задание плоскости изображениями (Рис.4.1):

  • а)    трёх точек, не лежащих на одной прямой;
  • б)    прямой и точки вне этой прямой;
  • в)    двух пересекающихся прямых;
  • г)    двух параллельных прямых.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Следом плоскости на данной плоскости координат называется линия пересечения плоскости с указанной плоскостью координат. Задание плоскости следами обеспечивает наглядность изображения и позволяет наиболее просто решать задачи, связанные с построением изображений геометрических элементов, расположенных в этой плоскости.

Плоскостью общего положения называют плоскость, пересекающую все оси координат.

Покажем на чертеже (Рис.4.2, а) изображения осей координат и отметим на них произвольные точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Соединяя эти точки прямыми линиями, получим изображение плоскости в виде треугольника, называемого треугольником следов. Сторонами этого треугольника являются линии пересечения плоскости общего положения Плоскость в начертательной геометрии с примерами с плоскостями координат – следы плоскости.

Их называют: горизонтальным следом Плоскость в начертательной геометрии с примерами, фронтальным следом Плоскость в начертательной геометрии с примерами профильным следом Плоскость в начертательной геометрии с примерами плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами называют точками схода следов. Положение плоскости относительно плоскостей координат определяется отрезками Плоскость в начертательной геометрии с примерамиПлоскость в начертательной геометрии с примераминазываемыми параметрами плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Три заданных по величине и знаку параметра плоскости определяют положение её в системе координат.

Изображение следов плоскости в прямоугольных проекциях получают, откладывая на соответствующих осях координат (см. Рис.2, б) значения параметров плоскости. Соединяя точки схода следов Плоскость в начертательной геометрии с примерами прямыми линиями, получают изображения следов плоскости. Отметим, что отрезок Плоскость в начертательной геометрии с примерами откладывается дважды – на горизонтальной и вертикальной составляющих оси Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Для задания положения плоскости достаточно показать на чертеже два следа этой плоскости, так как при этом задаются все три параметра плоскости.

Рассмотрим пример построения следов плоскости общего положения с одним отрицательным параметром.

Пусть задана плоскость (Плоскость в начертательной геометрии с примерами). Откладывая на изображениях осей координат (Рис.4.3, а) значения параметров (с учётом коэффициентов искажения по осям), получим изображения точек схода следов Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Соединив попарно эти точки прямыми линиями, получим изображения следов Плоскость в начертательной геометрии с примерами При этом, как правило, показывают сплошными линиями только те части следов, которые располагаются на плоскостях координат, ограничивающих первый октант.

Для построения прямоугольных проекций следов плоскости нанесём на чертёж (см. Рис.4.3, б) оси координат. Откладывая заданные значения параметров, отмечаем точки схода следов Плоскость в начертательной геометрии с примерами Соединяя эти точки попарно прямыми линиями, получаем изображения следов.

Любую плоскую фигуру можно представить как часть плоскости, ограниченную ломаной или кривой линиями. Следовательно, задавая положения плоской фигуры в пространстве, тем самым мы задаём положение плоскости, частью которой является эта фигура. Положение плоской фигуры в пространстве определяется двумя её проекциями на плоскости координат. Так, чтобы построить проекции плоского многоугольника, достаточно построить проекции его вершин.

Треугольник, параллелограмм и трапеция, расположенные в плоскости общего положения, проецируются на плоскости координат соответственно в виде треугольника, параллелограмма и трапеции.

Это обусловлено тем, что три вершины треугольника как три любые точки, не лежащие на одной прямой, всегда лежат в одной плоскости. Покажем на чертеже (Рис.4.4, а) произвольную горизонтальную проекцию параллелограмма Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Фронтальную его проекцию найдём, построив вертикальные проекции вершин и выдерживая лишь проекционные связи между точками и параллель-ность между проекциями соответствующих сторон Плоскость в начертательной геометрии с примерамиПлоскость в начертательной геометрии с примерами Построение проекций трапеции (Рис.4.4, б) аналогично построению проекций параллелограмма. При этом должна быть выдержана лишь параллельность двух её сторон, например: Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Прямая и точка в плоскости

Известно, что прямая лежит в плоскости, если две точки прямой лежат в этой плоскости. Чтобы построить прямую, лежащую в заданной плоскости, достаточно соединить прямой линией две точки, заведомо лежащие в плоскости. Такими точками могут быть и точки, расположенные на следах плоскости.

Пусть дана плоскость общего положения Плоскость в начертательной геометрии с примерами (Рис.4.5, а). Требуется построить прямую, лежащую в этой плоскости. Отметим на изображениях следов Плоскость в начертательной геометрии с примерами две произвольные точки, соответственно, Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами Соединяя прямой точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами, получим изображение отрезка, лежащего в плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами. Точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами принадлежат следам Плоскость в начертательной геометрии с примерами расположены, соответственно, в плоскостях координат Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами Следовательно, для построенной прямой точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами и  Плоскость в начертательной геометрии с примерами являются следами.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Из изложенного следует, что прямая лежит в плоскости, если её следы лежат на соответствующих следах плоскости.

Построим горизонтальную и фронтальную проекции прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами (Рис.4.5, а). При этом горизонтальная проекция Плоскость в начертательной геометрии с примерами горизонтального следа и фронтальная проекция Плоскость в начертательной геометрии с примерами фронтального следа совпадут с изображениями точек Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами Фронтальную проекцию Плоскость в начертательной геометрии с примерами горизонтального следа и горизонтальную проекцию Плоскость в начертательной геометрии с примерами фронтального следа получим, построив изображение перпендикуляров, опущенных из точек Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами на ось Плоскость в начертательной геометрии с примерами  и Плоскость в начертательной геометрии с примерами Соединяя прямыми линиями соответствующие проекции следов, найдём изображения проекций прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами.

Чтобы построить прямоугольные проекции прямой общего положения, лежащей в плоскости, заданной следами (см. Рис.4.5, б), отмечают на следах плоскости две точки, например Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами  Принимая эти точки, соответственно, за горизонтальную проекцию горизонтального следа и фронтальную проекцию фронтального следа искомой прямой, строят проекции Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами, опуская перпендикуляры из точек Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами на ось Плоскость в начертательной геометрии с примерами Соединяя соответствующие проекции следов прямыми линиями, получают проекции прямой, лежащей в плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Чтобы построить точку, лежащую в плоскости, нужно провести вспомогательную прямую, лежащую в плоскости, и на не взять точку. Например, точка Плоскость в начертательной геометрии с примерами взятая на прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами (Рис.4.5, б), лежит в плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Рассмотрим частные случаи положения прямой в плоскости общего положения. К таким случаям относят прямые, лежащие в данной плоскости и параллельные какой – либо плоскости координат (линии уровня). Прямая, лежащая в плоскости и параллельная плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами называется горизонталью плоскости. Горизонталь параллельна горизонтальному следу плоскости.

Построим проекции горизонтали плоскости общего положения (Рис.4.6, а, б).

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Для этого на следе Плоскость в начертательной геометрии с примерами плоскости возьмём любую точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами (см. Рис.4.6, а) и из неё проведём прямую, параллельную изображению следа Плоскость в начертательной геометрии с примерами Для построения вторичных проекций горизонтали отметим на чертеже изображения проекций Плоскость в начертательной геометрии с примерами и фронтального следа этой горизонтали. Изображение фронтальной проекции горизонтали найдём, проведя через точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами прямую, параллельную оси Плоскость в начертательной геометрии с примерами Изображением горизонтальной проекции горизонтали будет прямая, проведённая через точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами параллельно изображению самой прямой и, следовательно, параллельно следу h’0tt- Возьмём на построенной горизонтали точку 1 и построим изображение её проекций. Для данного случая Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Для построения прямоугольных проекций горизонтали (Рис.4.6, б) достаточно взять на следе Плоскость в начертательной геометрии с примерами произвольную точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами (фронтальная проекция фронтального следа горизонтали) и построить горизонтальную проекцию Плоскость в начертательной геометрии с примерами этой точки. Фронтальную проекцию горизонтали получим, проведя через точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами прямую, параллельную оси Плоскость в начертательной геометрии с примерами Горизонтальной проекцией горизонтали будет прямая, проведённая через точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами параллельно следу Плоскость в начертательной геометрии с примерами. Отметим проекции точки 1, лежащей на горизонтали. При этом  Плоскость в начертательной геометрии с примерами и  Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Прямая, лежащая в плоскости произвольного положения и параллельная плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами называется фронталью плоскости.

Построим косоугольные проекции осей координат и плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами заданной следами (см. Рис.4.7,а). Возьмём произвольную точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами на следе Плоскость в начертательной геометрии с примерами и проведём через неё прямую, параллельную Плоскость в начертательной геометрии с примерами Это и будет изображением фронтали. Построение вторичных проекций фронтали и точки на ней (например, точки 2) аналогично построению, показанному в предыдущем примере. При этом Плоскость в начертательной геометрии с примерами Для построения прямоугольных проекций фронтали (см. Рис.4.7, б) достаточно на следе Плоскость в начертательной геометрии с примерами взять произвольную точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами (горизонтальная проекция горизонтального следа фронтали) и построить её фронтальную проекцию Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Горизонтальную проекцию фронтали получим, проведя через точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами прямую, параллельную оси Плоскость в начертательной геометрии с примерами Фронтальной проекцией фронтали будет прямая, проведённая через точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами параллельно следу Плоскость в начертательной геометрии с примерами Отметим проекции точки 2, лежащей на фронтали Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Прямая, лежащая в плоскости и параллельная плоскости  Плоскость в начертательной геометрии с примерами называется профильной. Рассматривать её построение не будем, так как оно аналогично построению горизонтали и фронтали.

Частные случаи положения плоскости

К частным случаям положения плоскости относят плоскости:

  • –    перпендикулярные одной из плоскостей координат;
  • –    параллельные одной из плоскостей координат;
  • –    проходящие через ось координат;
  • –    проходящие через начало координат.

Рассмотрим более подробно построение изображений плоскостей, перпендикулярных какой – либо плоскости координат. Такие плоскости называют проецирующими плоскостями.

Возможны три типа плоскостей, перпендикулярных к плоскостям координат, а именно:

  1. плоскости, перпендикулярные к плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами
  2. плоскости, перпендикулярные к плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами
  3. плоскости, перпендикулярные к плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость, перпендикулярная к плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами, параллельна оси Плоскость в начертательной геометрии с примерами Параметр Z такой плоскости равен бесконечности.

Построим косоугольную проекцию такой плоскости (см. Рис.4.8, а).

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Откладывая на осях координат параметры Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами находим точки схода следов Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами соединяя которые прямой линией, получим изображение горизонтального следа Плоскость в начертательной геометрии с примерами Так как точка схода Плоскость в начертательной геометрии с примерами удалена в бесконечность, то изображения фронтального Плоскость в начертательной геометрии с примерами и профильного Плоскость в начертательной геометрии с примерами следов получим, проводя из точек Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами прямые, параллельные оси Плоскость в начертательной геометрии с примерами 

Следы Плоскость в начертательной геометрии с примерами  и  Плоскость в начертательной геометрии с примерами, как параллельные оси Плоскость в начертательной геометрии с примерами, соответственно перпендикулярны к осям Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Возьмём в плоскости а произвольную точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами и построим её вторичные проекции. Горизонтальную проекцию найдём на следе Плоскость в начертательной геометрии с примерамиИзображения фронтальной и профильной проекций получим, построив параллелепипед координат точки.

Заметим важное обстоятельство: горизонтальная проекция точки или любого геометрического элемента, расположенного в плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами, перпендикулярной к плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами совпадает со следом  Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость, перпендикулярная к плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами называется горизонтально – проецирующей плоскостью. Построим прямоугольные проекции плоскости, перпендикулярной к плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами Для этого на осях координат отметим точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами (см. Рис.4.8, б). След Плоскость в начертательной геометрии с примерами  получим, соединяя прямой линией точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами с точкой Плоскость в начертательной геометрии с примерами, отмеченной на вертикальной оси  Плоскость в начертательной геометрии с примерами Следы Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами найдём, проводя прямые, параллельные оси Плоскость в начертательной геометрии с примерами из точек Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами отмеченной на горизонтальной оси  Плоскость в начертательной геометрии с примерами Построим прямоугольные проекции точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами лежащей в горизонтально-проецирующей плоскости. Её горизонтальной проекцией будет произвольная точка Плоскость в начертательной геометрии с примерами на следе Плоскость в начертательной геометрии с примерами Проекции  Плоскость в начертательной геометрии с примерами и  Плоскость в начертательной геометрии с примерами найдём, задаваясь значением координаты Плоскость в начертательной геометрии с примерами точки.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Рассмотрим построение проекций плоскости, перпендикулярной к плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами Откладывая на изображениях осей координат параметры X и Z (см. Рис.4.9, а), находим точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами и  Плоскость в начертательной геометрии с примерами соединяя которые прямыми линиями, получаем изображение следа Плоскость в начертательной геометрии с примерамиИзображения следов Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами найдем, проводя из точек схода следов Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами прямые, параллельные оси Плоскость в начертательной геометрии с примерами

В прямоугольных проекциях (см. Рис.4.9, б) след Плоскость в начертательной геометрии с примерами – прямая, проведённая из точки ха параллельно вертикальной оси Плоскость в начертательной геометрии с примерами а след Плоскость в начертательной геометрии с примерами -прямая, проведённая из точки za параллельно горизонтальной оси Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Изображение фронтальной проекции Плоскость в начертательной геометрии с примерами точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами (см. Рис.4.8, а, б) совпадает со следом Плоскость в начертательной геометрии с примерами а изображения проекций Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами могут быть построены по заданной координате у  этой точки.

Плоскость, перпендикулярная к плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами, называется фронтально – проецирующей плоскостью.

Построим изображение следов плоскости, перпендикулярной к плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами (см. Рис.4.10, а, б). Такая плоскость параллельна оси Плоскость в начертательной геометрии с примерамиОткладывая на осях координат параметры Y и Z, отметим точки схода следов Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами.

Изображение следа Плоскость в начертательной геометрии с примерами найдём, соединяя прямой линией точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами с точкой Плоскость в начертательной геометрии с примерами (в прямоугольных проекциях на Рис.4.10, б – через точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами на горизонтальной оси Плоскость в начертательной геометрии с примерами). Отметим, что при прямоугольном проецировании Плоскость в начертательной геометрии с примерамиПлоскость в начертательной геометрии с примерами Если взять точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами в плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами, то изображение её профильной проекции будет находиться на следе Плоскость в начертательной геометрии с примерами.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Изображения проекций Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами могут быть построены по заданной координате X этой точки.

Плоскость, перпендикулярная к плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами, называется профильно-проецирующей плоскостью.

Взаимное положение прямой и плоскости

Возможны следующие случаи взаимного положения прямой и плоскости:

  • –    прямая лежит в плоскости;
  • –    прямая параллельна плоскости;
  • –    прямая перпендикулярна к плоскости;
  • –    прямая пересекает плоскость.

Первый случай взаимного положения прямой и плоскости был ранее рассмотрен. Отметим лишь, что прямая лежит в плоскости, если её следы лежат на соответствующих следах плоскости.

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой – либо прямой, лежащей в плоскости. Задача о проведении прямой, параллельной заданной плоскости, через данную точку – неопределённа, так как в плоскости может быть проведено бесчисленное множество прямых и такое же количество параллельных им прямых может быть проведено через данную точку. Для определённости решения должно быть задано дополнительное условие ( направление прямой или одна из её проекций).

Пример 1. Даны проекции Плоскость в начертательной геометрии с примерами и  Плоскость в начертательной геометрии с примерами точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами и горизонтальная проекция Плоскость в начертательной геометрии с примерами прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами параллельной заданной плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами Построить фронтальную проекцию этой прямой (см. Рис.4.11).

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Построение осуществляем в такой последовательности. В заданной плоскости строим проекции вспомогательной прямой, параллельной искомой. Для этого проведём Плоскость в начертательной геометрии с примерами и построим фронтальную проекцию Плоскость в начертательной геометрии с примерами этой прямой. Затем проводим недостающую проекцию искомой прямой параллельно соответствующей проекции вспомогательной прямой, т.е. через точку Плоскость в начертательной геометрии с примерамипроводим прямую Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Пример 2. Через точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами заданную проекциями Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами провести прямую, параллельную горизонтали плоскости, заданной треугольником (см. Рис.4.12). В этом случае в качестве дополнительного условия задано направление прямой. Проведём в плоскости треугольника Плоскость в начертательной геометрии с примерами произвольную горизонталь Плоскость в начертательной геометрии с примерами. Искомые проекции прямой, проходящей через точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами и параллельной горизонтали Плоскость в начертательной геометрии с примерами, получим, проведя через точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами прямые, параллельные соответствующим проекциям горизонтали. Точка Плоскость в начертательной геометрии с примерами взята произвольно.

Прямая перпендикулярна к плоскости, если её прямоугольные проекции перпендикулярны к соответствующим следам этой плоскости.

Для доказательства данного утверждения изобразим плоскости координат и произвольную плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами (см. Рис.4.13).

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Пусть прямая Плоскость в начертательной геометрии с примерами перпендикулярна к плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами и пересекает её в точке Плоскость в начертательной геометрии с примерами Известно, что эта прямая должна быть перпендикулярна и к любой прямой, проведённой в плоскости через точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Проведём через точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами горизонталь плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами Тогда (в натуре) <АВС=90° Построим горизонтальные проекции горизонтали Плоскость в начертательной геометрии с примерами и прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами Если Плоскость в начертательной геометрии с примерами то Плоскость в начертательной геометрии с примерами так как плоскости, ограниченные четырёхугольниками Плоскость в начертательной геометрии с примерами перпендикулярны плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами и взаимно перпендикулярны. Отсюда Плоскость в начертательной геометрии с примерамиследовательно Плоскость в начертательной геометрии с примерами горизонтальная проекция Плоскость в начертательной геометрии с примерами перпендикулярна к горизонтальному следу плоскости.

Аналогичным построением можно показать, что фронтальные и профильные проекции прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами перпендикулярны к соответствующим следам плоскости.

Пример 3. Из произвольной точки на плоскости, заданной следами, построить перпендикуляр к ней.

Пусть даны плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами и точка Плоскость в начертательной геометрии с примерами лежащая в плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами лежат на проекциях горизонтали этой плоскости (см. Рис.4.14). Проекции перпендикуляра, восстановленного из точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами к плоскости а, изображаются в виде прямых, проведённых из точек Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами и перпендикулярно к соответствующим следам плоскостиПлоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами Плоскость в начертательной геометрии с примерами Точка Плоскость в начертательной геометрии с примерами взята произвольно.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Пример 4. Из точки А восстановить перпендикуляр к плоскости, заданной треугольником Плоскость в начертательной геометрии с примерами (Рис.4.15).

В данном случае нет необходимости строить следы плоскости, так как известно, что они параллельны соответствующим проекциям горизонтали и фронтали плоскости. Поэтому строим проекции горизонтали AF и фронтали АЕ. Проекции перпендикуляра, восстановленного из точки А к плоскости треугольника, получим, проведя а  Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Точка Плоскость в начертательной геометрии с примерами взята на перпендикуляре произвольно.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Случай пересечения прямой с плоскостью будет разобран после изложения следующего параграфа.

Взаимное положение плоскостей

Плоскости могут быть параллельны, взаимно перпендикулярны и могут пересекаться.

Известно, что две параллельные плоскости пересекаются третьей по параллельным прямым. Следы двух параллельных плоскостей – это линии их пересечения с плоскостями координат. Следовательно, соответствующие следы двух параллельных плоскостей – параллельны.

Пример 1. Через точку, заданную проекциями Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами провести плоскость, параллельную плоскости, заданной следами Плоскость в начертательной геометрии с примерами (см. Рис.4.16). Направление следов искомой плоскости известно (они параллельны следам Плоскость в начертательной геометрии с примерами Следовательно, для решения задачи достаточно найти точку, принадлежащую одному из следов, т.е. найти след любой прямой, лежащей в искомой плоскости и проходящей через точку А. Такой прямой может быть, например, горизонталь. Строим проекции горизонтали Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерамиПроводим через точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами фронтальный след искомой плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами Горизонтальный след Плоскость в начертательной геометрии с примерами получим, проведя прямую через точку схода следов Плоскость в начертательной геометрии с примерами параллельно следу Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Пример 2.Через точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами провести плоскость а параллельную плоскости треугольника BCD (Рис.4.17).

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Направления следов искомой плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами определим, проводя в плоскости треугольника горизонталь и фронталь, например BE и ВК. Далее строим проекции горизонтали плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами, проходящей через точку Плоскость в начертательной геометрии с примерамии  Плоскость в начертательной геометрии с примерами Фронтальный след Плоскость в начертательной геометрии с примерамиискомой плоскости получим, проведя через точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами прямую, параллельную Плоскость в начертательной геометрии с примерами Горизонтальный след Плоскость в начертательной геометрии с примерами проходит через точку схода следов Плоскость в начертательной геометрии с примерами и параллелен горизонтальной проекции горизонтали.

Отметим, что искомая плоскость может быть изображена двумя пересекающимися прямыми, параллельными сторонами заданного треугольника и проведёнными через точку А.

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой. Задача о проведении плоскости, перпендикуляр ной к заданной, через данную точку неопределённа, так как через перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость, можно провести бесчисленное множество плоскостей. В качестве дополнительного условия может быть задана, например, прямая, через которую следует провести плоскость, перпендикулярную заданной.

Пример 3.Через прямую Плоскость в начертательной геометрии с примерами провести плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами (Рис.4.18), перпендикулярную к плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Искомая плоскость должна проходить через перпендикуляр к плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерамиПостроим проекции перпендикуляра, опущенного из произвольной точки заданной прямой (например, точки В) на плоскость  Плоскость в начертательной геометрии с примерами). Плоскость, определяемая двумя пересекающимися прямыми АВ и ВС, будет искомой. Для построения следов искомой плоскости необходимо найти проекции следов прямых АВ и ВС. Следы Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами получим, проводя прямые через одноимённые проекции Плоскость в начертательной геометрии с примерами горизонтальных и фронтальных следов указанных прямых.

Пример 4.Через точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами провести горизонтально проецирующую плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами перпендикулярную к плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами (Рис.4.19).

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

В данном случае дополнительным условием является задание типа плоскости. Искомая плоскость должна проходить через перпендикуляр, опущенный из точки А на плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами. Горизонтальная проекция этого перпендикуляра должна совпадать с горизонтальным следом искомой плоскости и быть перпендикулярной к следу Плоскость в начертательной геометрии с примерами Поэтому след Плоскость в начертательной геометрии с примерами искомой плоскости получим, проведя через горизонтальную проекцию Плоскость в начертательной геометрии с примерами прямую, перпендикулярную к следу Плоскость в начертательной геометрии с примерами След  Плоскость в начертательной геометрии с примерами – прямая, перпендикулярная к оси ох, проведённая из точки схода следов Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Необходимо указать, что в общем случае соответствующие следы взаимно перпендикулярных плоскостей не перпендикулярны друг к другу.

Две плоскости пересекаются по прямой линии. Линия пересечения двух плоскостей проходит через точки пересечения одноимённых следов этих плоскостей.

Рассмотрим построение проекций линии пересечения двух плоскостей Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами (Рис.4.20, а, б), заданных следами.

Изображения одноимённых следов этих плоскостей пересекаются в точках М и N (Рис.4.20, а). Прямая MN – линия пересечения плоскостей Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Изображения проекций Плоскость в начертательной геометрии с примерами линии пересечения плоскостей получим, соединяя прямыми линиями изображения соответствующих проекций её следов.

Построим прямоугольные проекции (Рис.4.20, б) следов искомой линии пересечения плоскостей Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами. Проекции Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами этих следов совпадают с точками пересечения соответствующих следов плоскостей Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами. Проекции Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами найдём на оси ох. Проекции искомой линии пересечения получим, соединяя прямыми линиями соответствующие проекции её следов.

Рассмотрим построение проекций линий пересечения двух плоскостей, у которых два одноимённых следа взаимно параллельны.

Пусть даны две пересекающиеся плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами (Рис.4.21), у которых горизонтальные следы параллельны Плоскость в начертательной геометрии с примерами Проекции фронтального следа искомой линии пересечения отыскиваются просто: Плоскость в начертательной геометрии с примерами в точке пересечения Плоскость в начертательной геометрии с примерами – на оси ох. Так как следы Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами не пересекаются, то, следовательно, горизонтального следа искомая прямая не имеет. Такой линией может быть лишь общая для обеих плоскостей Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами горизонталь. Проекции ее получим, проведя из точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами прямую, параллельную оси Плоскость в начертательной геометрии с примерами а из точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами прямую, (Рис.4.20, а,) параллельную следам Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами Отметим, что если у пересекающихся плоскостей параллельны фронтальные следы, то линией их пересечения будет общая фронталь. Кроме того, общей горизонталью или фронталью двух пересекающихся плоскостей будет также линия пересечения таких плоскостей, одна из которых параллельна плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами или Плоскость в начертательной геометрии с примерами (Рис.4.22).

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Рассмотрим случай построения проекций линии пересечения плоскостей Плоскость в начертательной геометрии с примерами горизонтальные следы которых пересекаются вне пределов чертежа (Рис.4.23). Одной из точек, принадлежащих линии пересечения этих плоскостей, будет точка пересечения их фронтальных следов. Отметим проекции Плоскость в начертательной геометрии с примерами этой точки. Проекции второй точки искомой линии пересечения найдём с помощью вспомогательной плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами, параллельной плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами Любая линия, лежащая в плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами, параллельна плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерамиСледовательно, линиями пересечения плоскостей Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами с плоскостьюПлоскость в начертательной геометрии с примерами будут фронтали плоскостей Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерамиГоризонтальные проекции этих фронталей совпадут со следом Плоскость в начертательной геометрии с примерами Фронтальные их проекции найдём, отметив проекции точек  Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами пересечения следов Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами со следом Плоскость в начертательной геометрии с примерами и проведя через точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами прямые, соответственно параллельные следам Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами Точка Плоскость в начертательной геометрии с примерами пересечения построенных фронталей является общей для плоскостей Плоскость в начертательной геометрии с примерами, Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами, т.е. искомой второй точкой линии пересечения плоскостей Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами. Проведя прямые линии через соответствующие проекции точек N и К, получим проекции искомой линии пересечения плоскостей Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами.

Характерными являются случаи пересечения двух проецирующих плоскостей. Например, линия пересечения двух горизонтально проецирующих плоскостей Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами ( Рис.4.24) как линия пересечения двух плоскостей с плоскостью, им перпендикулярной, перпендикулярна к плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами Горизонтальная её проекция – точка, совпадающая с пересечением следов Плоскость в начертательной геометрии с примерами а фронтальная проекция – перпендикуляр к оси ох, восстановленный из точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами (точка Плоскость в начертательной геометрии с примерамивзята произвольно).

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

В случае, когда у двух плоскостей Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами имеется общая точка схода следов Плоскость в начертательной геометрии с примерами (Рис.4.25), линия пересечения этих плоскостей также находится с помощью вспомогательной плоскости. Одна общая точка этих плоскостей очевидна Плоскость в начертательной геометрии с примерами. Возьмём вспомогательную горизонтальную плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами Плоскость в начертательной геометрии с примерами. Плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами пересекаются по горизонтали Плоскость в начертательной геометрии с примерами плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами – по горизонтали Плоскость в начертательной геометрии с примерами (см. Рис.4.22). Фронтальные проекции этих горизонталей совпадают со следом Плоскость в начертательной геометрии с примерами горизонтальные проекции пересекаются в точке Плоскость в начертательной геометрии с примерами Точка Плоскость в начертательной геометрии с примерами – общая для всех трёх плоскостей Плоскость в начертательной геометрии с примерами, Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами, т. е. это вторая общая точка для плоскостей Плоскость в начертательной геометрии с примерами, Плоскость в начертательной геометрии с примерами. Соединяя точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами с точкой Плоскость в начертательной геометрии с примерами получим проекции линии пересечения.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Если пересекаются две профильно – проецирующие плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами (Рис.4.26, а, б), то очевидно, что линия их пересечения – прямая, параллельная оси ох.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Найти её можно двумя способами, либо по общим правилам (см. Рис.4.20), применив для нахождения общей точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами, через которую пройдёт линия пересечения Плоскость в начертательной геометрии с примерами вспомогательную плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами общего положения (Рис.4.26, б), либо построить произвольную ось zoy и найти профильные следы плоскостей Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами. Точка пересечения этих следов Плоскость в начертательной геометрии с примерами есть профильная проекция линии пересечения (Рис.4.26, а).

Если одна из профильно – проецирующих плоскостей Плоскость в начертательной геометрии с примерами проходит через ось Плоскость в начертательной геометрии с примерами угол наклона плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами к плоскостям координат задается произвольной точкой лежащей в этой плоскости), а вторая – Плоскость в начертательной геометрии с примерами горизонтальная (или вертикальная), проходящая через точку К, то очевидно (см. Рис.4.27, а, б), что линия пересечения 1-2 пройдёт через точку К, а её проекции – через соответствующие проекции точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами через Плоскость в начертательной геометрии с примерами Плоскость в начертательной геометрии с примерами через Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Рассмотренный случай находит применение, когда находится линия пересечения плоскости общего положения Плоскость в начертательной геометрии с примерами с профильно-проецирующей плоскостью Плоскость в начертательной геометрии с примерами проходящей через ось ох (Рис.4.28).

Проводим вспомогательную горизонтальную плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами (произвольно) Плоскость в начертательной геометрии с примерами Ищем линию пересечения Плоскость в начертательной геометрии с примерами плоскостей Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами (см. Рис.4.27). Находим линию пересечения плоскостей (см. Рис.4.22).

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Фронтальные проекции этих линий совпадают с фронтальным следом плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами а горизонтальные проекции пересекаются в точке Плоскость в начертательной геометрии с примерами Эта точка – общая для трёх плоскостей Плоскость в начертательной геометрии с примерами Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами и, следовательно, вторая искомая точка линии пересечения плоскостей Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами (первая точка – точка схода следов Плоскость в начертательной геометрии с примерами). Соединяя точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами с точками Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами получаем проекции линии пересечения Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Пересечение прямой линии с плоскостью

Точку пересечения (встречи) прямой линии с плоскостью определяют тремя последовательными построениями:

  1. через прямую проводят вспомогательную плоскость (как правило, проецирующую);
  2. строят линию пересечения заданной и вспомогательной плоскостей;
  3. отмечают точку пересечения построенной линии заданной прямой, которая и является искомой точкой встречи.

Рассмотрим примеры построения точек пересечения прямых с плоскостями.

Пусть даны косоугольные проекции (Рис.4.29, а) плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами и пересекающей её прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами Требуется найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью Плоскость в начертательной геометрии с примерами.

Проведём через прямую АВ горизонтально – проецирующую плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами. Изображение её горизонтального следа Плоскость в начертательной геометрии с примерами совпадает с изображением горизонтальной проекции Плоскость в начертательной геометрии с примерами прямой АВ. Изображение фронтального следа Плоскость в начертательной геометрии с примерами – прямая, проведённая из точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами перпендикулярно к оси ох. Построим линию пересечения плоскостей Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами. Проекции N и М следов этой линии совпадут с изображением точек пересечения одноимённых следов Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами. Соединяя точки N и М, получим линию пересечения плоскостей Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами. Изображение искомой точки К пересечения прямой АВ с плоскостью а найдём, отметив точку пересечения прямой АВ и линии пересечения NM плоскостей Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами.

В прямоугольных проекциях построение точки пересечения прямой с плоскостью осуществляется в аналогичной последовательности.

Пусть даны (см. Рис.4.29, б) плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами и пересекающая её прямая Плоскость в начертательной геометрии с примерами Проведём через прямую АВ горизонтально – проецирующую плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами Её горизонтальный след  Плоскость в начертательной геометрии с примерами совпадает с горизонтальной проекцией Плоскость в начертательной геометрии с примерами прямой АВ. Фронтальный след Плоскость в начертательной геометрии с примерами получим, проведя из точки схода следов Плоскость в начертательной геометрии с примерами прямую, перпендикулярную к оси ох. Построим проекции линии пересечения заданной и вспомогательной плоскостей. Горизонтальная проекция Плоскость в начертательной геометрии с примерами горизонтального следа этой прямой, а также фронтальная проекция Плоскость в начертательной геометрии с примерами её фронтального следа совпадут с точками пересечения соответствующих следов плоскостей Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами. Проекции Плоскость в начертательной геометрии с примерами и  Плоскость в начертательной геометрии с примерами найдём на оси ох. Соединяя одноимённые проекции следов прямыми линиями, получаем проекции пересечения плоскостей Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами. Фронтальную проекцию  Плоскость в начертательной геометрии с примерами искомой точки пересечения прямой АВ с плоскостью а найдём, отметив точку пересечения фронтальных проекций заданной прямой и построенной линии пересечения. Её горизонтальную проекцию Плоскость в начертательной геометрии с примерами получим на горизонтальной проекции Плоскость в начертательной геометрии с примерами прямой АВ.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Рассмотрим случай пересечения прямой, перпендикулярной к плоскости координат, с плоскостью общего положения.

Пусть дана плоскость общего положения Плоскость в начертательной геометрии с примерами и пересекающая её прямая Плоскость в начертательной геометрии с примерами перпендикулярная к плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами (Рис.4.30, а, б).

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Проведём через прямую АВ вспомогательную горизонтально – проецирующую плоскость. Любая прямая, проведённая через точку, в которую проецируется на плоскость Н заданная прямая, может быть принята за горизонтальный след такой плоскости. С целью упрощения построений этот след проводят так, чтобы вспомогательная плоскость пересекалась бы с заданной по общей горизонтали или фронтали.

Проведём Плоскость в начертательной геометрии с примерами через точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами из точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами схода следов (см. Рис.4.30, а). Линия пересечения плоскостей Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами будет общей горизонталью Плоскость в начертательной геометрии с примерамиобеих плоскостей. Фронтальную проекцию искомой точки пересечения прямой АВ с плоскостью Плоскость в начертательной геометрии с примерами найдём, отметив точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами пересечения фронтальных проекций заданной прямой и построенной горизонтали. Горизонтальная проекция Плоскость в начертательной геометрии с примерами совпадает с точкой Плоскость в начертательной геометрии с примерами в которую проецируется на плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами прямая АВ.

Если провести Плоскость в начертательной геометрии с примерами (см. Рис.4.30, б), то вспомогательная плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами будет параллельна плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами При этом линия пересечения плоскостей Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами будет общей фронталью Плоскость в начертательной геометрии с примерами обеих плоскостей. Проекции Плоскость в начертательной геометрии с примерами искомой точки пересечения прямой АВ с плоскостью а найдём, отметив точки пересечения соответствующих проекций заданной прямой и построенной фронтали.

Рассмотрим постороение точки встречи прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами общего положения с плоскостью, заданной плоской фигурой, например треугольником (Рис.4.31).

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Проведём через прямую АВ вспомогательную фронтально – проецирующую плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами. Её фронтальный след Плоскость в начертательной геометрии с примерами совпадает с фронтальной проекцией Плоскость в начертательной геометрии с примерами прямой АВ. Построим проекции линии пересечения заданной и вспомогательной плоскостей. Фронтальная проекция этой линии совпадает со следом Плоскость в начертательной геометрии с примерами. Фронтальные проекции двух точек, принадлежащих линии пересечения указанных плоскостей, найдем, отметив Плоскость в начертательной геометрии с примерами пересечения следа Плоскость в начертательной геометрии с примерамис фронтальными проекциями Плоскость в начертательной геометрии с примерами сторон треугольника. Горизонтальную проекцию линии пересечения плоскостей получим, соединяя прямой линией горизонтальные проекции Плоскость в начертательной геометрии с примерами и этих точек.

Горизонтальную проекцию Плоскость в начертательной геометрии с примерами искомой точки встречи прямой АВ с плоскостью треугольника CDE найдём, отметив точку пересечения горизонтальных проекций заданной прямой и построенной линии пересечения плоскостей. Фронтальную её проекцию Плоскость в начертательной геометрии с примерами найдём на фронтальной проекции Плоскость в начертательной геометрии с примерами прямой АВ.

Определим видимость проекций с помощью конкурирующих точек.

Если считать, что плоскость CDE непрозрачна, то отрезки прямой, перекрытые треугольником, будут невидимыми и должны быть показаны на чертеже штриховыми линиями. Очевидно, что видимость отрезков прямой изменяется в точке Плоскость в начертательной геометрии с примерами пересечения прямой с плоскостью. Начнём с определения видимости отрезков Плоскость в начертательной геометрии с примерами на плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами Отметим на чертеже две точки, принадлежащие прямой АВ и плоскости треугольника CDE и являющиеся конкурирующими по отношению к плоскости Н. Такими точками могут быть точки 3 и 4, горизонтальные проекции которых Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами находятся в пересечении Плоскость в начертательной геометрии с примерами  а фронтальные проекции 3 и 4 -на соответствующих проекциях Плоскость в начертательной геометрии с примерами Луч, проецирующий обе точки на плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами встретит раньше точку 3, принадлежащую прямой АВ. Следовательно, видимой будет горизонтальная проекция отрезка Плоскость в начертательной геометрии с примерами прямой. Часть проекции Плоскость в начертательной геометрии с примерами перекрытая проекцией треугольника, невидима и показана на чертеже штриховой линией.

Видимость фронтальных проекций Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами может быть определена, например, с помощью точек 1 и 5, конкурирующих по отношению к плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами В этом случае видима точка 1, принадлежащая стороне DE треугольника, так как горизонтальный луч, проецирующий точки 1 и 5 на плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами встретит раньше точку 1. Следовательно, фронтальная проекция треугольника перекрывает часть проекции Плоскость в начертательной геометрии с примерами отрезка КВ. Проекция Плоскость в начертательной геометрии с примерами отрезка АК видима и изобразится на чертеже сплошной линией.

Задание плоскости

Плоскость на комплексном чертеже можно задать:

  • тремя точками, не лежащими на одной прямой (рис. 5.1, а);
  • прямой и не принадлежащей ей точкой (рис. 5.1, б);
  • двумя пересекающимися прямыми (рис. 5.1, в);
  • двумя параллельными прямыми (рис. 5.1, г);
  • любой плоской фигурой (рис. 5.1, д);
  • следами (рис.5.2)

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Часто применяется способ задания плоскости с помощью прямых линий (взаимно пересекающихся или параллельных), по которым данная плоскость пересекается с плоскостями проекций Плоскость в начертательной геометрии с примерами. Это задание плоскости следами сохраняет наглядность изображения (рис. 5.2).

Следы плоскости

Линия пересечения какой-либо плоскости с плоскостью проекций (Плоскость в начертательной геометрии с примерами) называется следом плоскости. Следу присваивается наименование той плоскости проекций, которой он принадлежит. Например, горизонтальный след получен при пересечении заданной плоскости с плоскостью Плоскость в начертательной геометрии с примерами и обозначается Плоскость в начертательной геометрии с примерамифронтальный — с плоскостью Плоскость в начертательной геометрии с примерами (Плоскость в начертательной геометрии с примерами), профильный — с плоскостью Плоскость в начертательной геометрии с примерами. Два следа одной и той же плоскости пересекаются на оси проекции в точке, называемой точкой схода следов.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Каждый из следов плоскости совпадает со своей одноименной проекцией, остальные проекции оказываются лежащими на осях координат. Например, горизонтальный след плоскости Р (рис. 5.2) совпадает со своей горизонтальной проекцией Плоскость в начертательной геометрии с примерами, фронтальная его проекция находится на оси x, а профильная на оси у. По расположению следов плоскости можно судить о положении данной плоскости в пространстве.

Положение плоскости относительно плоскостей проекций

Любая произвольно взятая в пространстве плоскость может занимать общее или частное положение. Плоскостью общего положения называется плоскость, которая не перпендикулярна и не параллельна ни к одной из плоскостей проекций (см. рис. 5.2). Все остальные плоскости относятся к плоскостям частного положения и подразделяются на проецирующие плоскости и плоскости уровня.  

Проецирующей называется плоскость, перпендикулярная к одной из плоскостей проекций. Например, горизонтально-проецирующая плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерамиперпендикулярна к горизонтальной плоскости проекции Плоскость в начертательной геометрии с примерами (рис. 5.3).

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Горизонтальные проекции всех геометрических объектов (точек, прямых, фигур), лежащих в этой плоскости, совпадают с горизонтальным следом Плоскость в начертательной геометрии с примерами. Угол β, который образуется между плоскостями Σ и Плоскость в начертательной геометрии с примерами, проецируется на Плоскость в начертательной геометрии с примерамибез искажения. Фронтальный след Плоскость в начертательной геометрии с примерами перпендикулярен к оси x. Фронтально-проецирующая плоскостьПлоскость в начертательной геометрии с примерами перпендикулярна к фронтальной плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами (рис. 5.4).

Фронтальные проекции всех геометрических объектов (точек, прямых, фигур), лежащих в этой плоскости, совпадают с фронтальным следом плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами. Угол α, который образуется между заданной плоскостьюПлоскость в начертательной геометрии с примерамии Плоскость в начертательной геометрии с примерами, проецируется на Плоскость в начертательной геометрии с примерами без искажения. Горизонтальный след плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами перпендикулярен к оси x.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Профильно – проецирующая плоскость Т (Плоскость в начертательной геометрии с примерами ) перпендикулярна к профильной плоскости проекции Плоскость в начертательной геометрии с примерами (рис. 5.5). Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Профильные проекции всех геометрических объектов лежащих в этой плоскости, совпадают с профильным следом плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами.Углы α и β, которые образуются между заданной плоскостью и плоскостями проекций Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами (угол α = углу наклона плоскости T к плоскости проекции Плоскость в начертательной геометрии с примерами; угол β = углу наклона плоскости Т к плоскости проекций Плоскость в начертательной геометрии с примерами), плоскость Т проецируются на плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами без искажений. Горизонтальный и фронтальный следы плоскости параллельны оси х.

Профильно-проецирующая плоскость может проходить через ось x (рис. 5.6). Следы такой плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами совпадают друг с другом и с осью x, поэтому не определяют положение плоскости в системе двух плоскостей проекций. Необходимо кроме следов задать в плоскости точку (рис. 5.6). В частном случае эта плоскость может быть биссекторной плоскостью, если угол α = β, а точка А равноудалена от плоскостей проекций Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами  

Плоскостью уровня называется плоскость, перпендикулярная одновременно к двум плоскостям проекций и параллельная третьей. Таких плоскостей может быть три разновидности (рис. 5.7):

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Из определения плоскостей уровня следует, что одна из проекций точки, линии, фигуры, принадлежащих этим плоскостям, будет совпадать с одноименным следом плоскости уровня, а другая проекция будет натуральной величиной этих геометрических образов

Признаки принадлежности точки и прямой плоскости. Главные линии плоскости

Для определения принадлежности точки и прямой плоскости, следует руководствоваться следующими положениями:

  • точка принадлежит плоскости, если через нее можно провести линию, лежащую в плоскости;
  • прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие этой плоскости;
  • прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку данной плоскости и параллельна прямой, принадлежащей этой плоскости.

Через одну точку на плоскости можно провести бесконечное множество прямых.

Это могут быть произвольные линии и линии, занимающие особое положение по отношению к плоскостям проекций Плоскость в начертательной геометрии с примерами.

Прямая, принадлежащая рассматриваемой плоскости, проведенная параллельно горизонтальной плоскости проекций, называется горизонталью плоскости.

Прямая, принадлежащая рассматриваемой плоскости, проведенная параллельно фронтальной плоскости проекций, называется фронталью плоскости.

Горизонталь и фронталь являются линиями уровня плоскости. Горизонталь плоскости следует начинать строить с фронтальной проекции, т.к. она параллельна оси x, горизонтальная проекция горизонтали параллельна горизонтальному следу плоскости. Все горизонтали плоскости параллельны между собой, можно считать горизонтальный след плоскости нулевой горизонталью (рис. 5.8).

Фронталь плоскости следует начинать строить с горизонтальной проекции, т.к. она параллельна оси x, фронтальная проекция фронтали параллельна фронтальному следу. Фронтальный след плоскости – нулевая фронталь. Все фронтали плоскости параллельны между – собой (рис. 5.9).

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

К линии уровня относится и профильная прямая, лежащая в заданной плоскости и параллельная Плоскость в начертательной геометрии с примерами.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

К линиям уровня плоскости относятся и профильные прямые, лежащая в заданной плоскости и параллельные Плоскость в начертательной геометрии с примерами.

К главным линиям плоскости, кроме линии уровня, относятся линии наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций.

Определение угла наклона плоскости к плоскостям проекций

Плоскость общего положения наклонена к плоскостям проекций. Для определения величины угла наклона заданной плоскости к какой- либо плоскости проекции используются линии наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций: к Плоскость в начертательной геометрии с примерами – линия ската, к плоскости проекций Плоскость в начертательной геометрии с примерами – линия наибольшего наклона плоскости к плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами.

Линии наибольшего наклона плоскости – это прямые, образующие с плоскостью проекций наибольший угол, проводятся в плоскости перпендикулярно к соответствующим линиям уровня. Линии наибольшего наклона и ее соответствующая проекция образуют линейный угол, которым измеряется величина двухгранного угла, между данной плоскостью и плоскостью проекций (рис. 5.10).

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Взаимное положение двух плоскостей

Две плоскости в пространстве по отношению друг к другу могут занимать два положения:

  • плоскости пересекаются, при этом линия их пересечения всегда прямая;
  • плоскости параллельны друг другу.

Условия пересечения плоскостей

Две произвольные плоскости в пространстве всегда пересекаются по прямой линии. Как известно, две точки вполне определяют положение прямой в пространстве. Следовательно, задача по построению линии пересечения плоскостей сводится к определению положения двух принадлежащих обеим плоскостям точек.

Условия параллельности плоскостей

Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости:

  • если плоскости заданы пересекающимися прямыми, то они будут параллельны в случае, когда одноименные проекции прямых, лежащих в разных плоскостях, будут параллельны;
  • если плоскости заданы линиями уровня (фронталями и горизонталями), то они будут параллельны в случае, когда одноименные проекции линий уровня параллельны между собой;
  • если плоскости заданы следами, то они параллельны тогда, когда параллельны их одноименные следы;
  • если плоскости заданы любым другим способом, то в них необходимо построить пересекающиеся прямые (общего положения, уровня или следы) и сравнить одноименные их проекции. У параллельных плоскостей одноименные проекции пересекающихся прямых взаимно параллельны.

Взаимное положение прямой линии и плоскости

Прямая линия и плоскость в пространстве относительно друг друга могут занимать следующие положения:

  • прямая параллельна плоскости (частный случай — прямая лежит в плоскости);
  • прямая пересекается с плоскостью (частный случай — прямая перпендикулярна к плоскости).

Иногда на чертеже нельзя непосредственно установить взаимное положение прямой линии и плоскости (рис. 7.1).

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

В этом случае прибегают к некоторым вспомогательным построениям, в результате которых от вопроса о взаимном положении прямой линии и плоскости переходят к вопросу о взаимном положении двух прямых. В задачах такого типа используют метод введения вспомогательной плоскости.

Заключается он в следующем:

  • – через данную прямую m проводят вспомогательную плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами. Подбор вспомогательной плоскости производится с учетом построений в ходе решения задачи, чтобы решение задачи было наиболее простым;

Строят линию пересечения плоскостей – заданной Плоскость в начертательной геометрии с примерами и вспомогательной Плоскость в начертательной геометрии с примерами; устанавливают взаимное положение прямой m и линии пересечения плоскостей n.

При этом возможны следующие случаи:

  • прямая m параллельна прямой n, следовательно, прямая m параллельна плоскости Σ;
  • прямая m пересекает прямую n, следовательно, прямая пересекает плоскость Σ.

Пересечение прямой линии и плоскости

Если одна из пересекающихся фигур занимает частное положение, то точка пересечения находится значительно проще.  

Задание: найти точку пересечения отрезка прямой АВ с проецирующей плоскостью Р (рис. 7.2).

Плоскость в начертательной геометрии с примерами  

Решение: проанализировав чертеж, легко заметить, что плоскость Р занимает проецирующее положение (плоскость Р перпендикулярна к плоскостиПлоскость в начертательной геометрии с примерами.)

В первую очередь определяем фронтальную проекцию С 2 точки пересечения отрезка прямой АВ с плоскостью Р. Горизонтальная проекция Плоскость в начертательной геометрии с примерами искомой точки находится с помощью линии связи на горизонтальной проекции отрезка прямой АВ. На плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами плоскость Р проецируется в линию, совпадающую с фронтальным следом Плоскость в начертательной геометрии с примерами, следовательно прямая видима по обе стороны от следа Плоскость в начертательной геометрии с примерами.

При определении видимости горизонтальной проекции прямой необходимо установить, какой участок прямой находится над плоскостью Р, т.е. будет видимым на горизонтальной проекции. Таким участком является часть проекции отрезка, расположенная левее проекции Плоскость в начертательной геометрии с примерами.  

Задание: найти точку пересечения проецирующей прямой m с плоскостью Плоскость в начертательной геометрии с примерами (АВС) (рис. 7.3).

Плоскость в начертательной геометрии с примерами  

Решение: из чертежа видно, что плоскость, заданная треугольником ABC, занимает общее положение относительно плоскостей проекции, прямая m является горизонтально проецирующей,Плоскость в начертательной геометрии с примерами. В первую очередь определяется горизонтальная проекция Плоскость в начертательной геометрии с примерами искомой точки пересечения прямой m с плоскостью Плоскость в начертательной геометрии с примерами.

Для нахождения фронтальной проекции точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами в плоскости треугольника ABC проводится вспомогательная прямая 1-2. Построение начинается с горизонтальной проекции. В пересечении её фронтальной проекции 1 2 -2 2 с фронтальной проекцией прямой m находят фронтальную проекцию Плоскость в начертательной геометрии с примерами искомой точки К.  

Задание: найти точку пересечения прямой m общего положения с плоскостью общего положения Σ (ABC) (рис. 7.4).  

Решение: в данной задаче прямая m и плоскость Σ занимают общее положение относительно плоскостей проекции. Задача решается по следующей схеме:

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Видимость прямой m относительно плоскости Σ (АВС) определяется с помощью метода конкурирующих точек.

Метод конкурирующих точек заключается в следующем: Для определения видимости прямой m на горизонтальной плоскости выбирается пара точек 1 и D (см.рис.7.4). У этих точек координаты у одинаковы Плоскость в начертательной геометрии с примерами, координаты z различны (Плоскость в начертательной геометрии с примерами) , точка D выше точки 1 (координата точки D больше координаты точки 1).

Следовательно, на горизонтальной проекции точка D видима, аневидима.Tак как точка 1 принадлежит прямой m, то левее проекции точка Плоскость в начертательной геометрии с примерами прямая m находится ниже плоскости треугольника ABC, то есть она не видима (должна быть проведена штриховой линией).

Для определения видимости на фронтальной проекции можно воспользоваться парой точек 2 и 3 и рассмотреть вопрос видимости аналогично точкам 1 и D.

Параллельность прямой и плоскости

Прямая и плоскость параллельны, если в плоскости имеется прямая, параллельная заданной прямой.  

Задание: построить проекции прямой, проходящей через точку А и параллельной прямой m, принадлежащей плоскости Σ (BCD) (рис. 7.5).

Плоскость в начертательной геометрии с примерами  

Решение: в условии задачи задана фронтальная проекция Плоскость в начертательной геометрии с примерами прямой m. Находим горизонтальную проекцию Плоскость в начертательной геометрии с примерами прямой m. Условия параллельности прямой и плоскости: прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-то прямой, расположенной в данной плоскости. Используя это условие, строят проекции искомой прямой, проходящие через точку А; Плоскость в начертательной геометрии с примерами проводятся параллельно Плоскость в начертательной геометрии с примерами, Плоскость в начертательной геометрии с примерами — параллельно Плоскость в начертательной геометрии с примерами.

Прямая линия, перпендикулярная к плоскости

Обратимся к рисунку 8.1, на котором изображена плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами и перпендикулярная к ней прямая n.

Прямая n перпендикулярна к любой прямой плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами, т.е. Плоскость в начертательной геометрии с примерами Каждый такой прямой угол проецируется на плоскость проекций в виде некоторого угла, но угол между прямой n и горизонталью плоскости h проецируется на горизонтальную плоскость проекций в виде прямого угла, так как его сторона параллельна плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Если Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Угол между прямой n фронталью f плоскости проецируется на фронтальную плоскость проекций прямым углом (его сторона Плоскость в начертательной геометрии с примерами). Если Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Если прямая перпендикулярна к плоскости, то ее проекции перпендикулярны к одноименным проекциям линий уровня этой плоскости.

На рисунке 8.2 через точку N проведена прямая m, перпендикулярная к плоскости Σ. Для этого в плоскости Σ (а^b) определены горизонталь h и фронталь f, и горизонтальная проекция перпендикуляра проведена перпендикулярно к горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция — перпендикулярно к фронтальной проекции фронтали: Плоскость в начертательной геометрии с примерами.

Действительно, из чертежа следует, что прямая перпендикулярна к прямой h, так как угол между горизонтальными проекциями сторон угла прямой и одна сторона его (h) параллельна плоскостиПлоскость в начертательной геометрии с примерами. Точно так же прямая m перпендикулярна к прямой f. Но если прямая линия перпендикулярна к двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

В том случае, когда плоскость задана следами (рис. 8.3), проекции перпендикуляра располагаются перпендикулярно к одноименным следам плоскости: Плоскость в начертательной геометрии с примерами 

Плоскость, перпендикулярную к данной прямой, определяют с помощью пересекающихся линий уровня. На рисунке 8.4 (а – условие, 6 – решение) через точку А проведена плоскость Σ, перпендикулярная к заданной прямой m.

Горизонталь h плоскости проходит через точку А Плоскость в начертательной геометрии с примерами). Фронталь этой плоскости может быть также проведена через точку А, но может пересекать горизонталь и в любой другой точке, поскольку все они находятся в искомой плоскости.

На рисунке 8.4 фронталь Плоскость в начертательной геометрии с примерами проходит через точку В Плоскость в начертательной геометрии с примерами Плоскость в начертательной геометрии с примерами

На рисунке 8.5 показана прямая n перпендикулярная горизонтально проецирующей плоскости. Эта прямая является горизонталью. На рисунке 8.6 изображена прямая n, перпендикулярная к фронтально проецирующей плоскости. Эта прямая n является фронталью.

На рисунке 8.7 изображен отрезок прямой (MN), перпендикулярный к профильно проецирующей плоскости Σ. Заметим, что, проведя проекции Плоскость в начертательной геометрии с примерамимы еще не определим величину искомого перпендикуляра.

Это не должно нас удивлять, так как (h≡f), а перпендикулярность прямой и плоскости обеспечивается перпендикулярностью этой прямой к двум пересекающимся прямым плоскости. Для решения задачи нужно построить профильный след. Тогдa Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Если требуется определить, перпендикулярна ли некоторая прямая m к заданной плоскости Σ, то через какую-нибудь точку М этой прямой следует провести перпендикуляр n к плоскости Σ (рис. 8.8). При совпадении линии m и n прямая m перпендикулярна к плоскости Σ .

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Примеры решения задач

Задание: Построить перпендикуляр из точки А на плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами и найти точку пересечения перпендикуляра с плоскостью.  

Решение: исходя из принципа перпендикулярности прямой и плоскости (прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым этой плоскости), необходимо в плоскости провести две пересекающиеся прямые: горизонталь h и фронталь f (рис. 8.9).

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Затем из точки А проводим нормаль n к плоскости Σ. На основании теоремы о проецировании прямого угла Плоскость в начертательной геометрии с примерами. Если плоскость задана следами, то Плоскость в начертательной геометрии с примерами (рис. 8.10).

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Основание перпендикуляра определяется как точка пересечения его с плоскостью. Для этого нужно провести через нормаль проецирующую плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами, найти линию пересечения Плоскость в начертательной геометрии с примерами плоскостей Σ и Плоскость в начертательной геометрии с примерами и на пересечении проекции этой линии с проекцией нормали отметить общую точку В для нормали и плоскости.

Способы задания плоскости на чертеже

Плоскостью называется поверхность, образуемая перемещением прямой линии, которая движется параллельно самой себе по неподвижной направляющей прямой.

Положение плоскости в пространстве и на чертеже (рис. 3.1) можно определить:

  1. тремя точками, не лежащими на одной прямой;
  2. прямой и точкой вне ее;
  3. двумя пересекающимися прямыми;
  4. двумя параллельными прямыми;
  5. любой плоской фигурой.

Плоскость, не перпендикулярная ни одной плоскости проекций, называется плоскостью общего положения. На комплексном чертеже проекции элементов, задающих плоскость, занимают общее положение.

Плоскость, перпендикулярная или параллельная одной из плоскостей проекций, называется плоскостью частного положения.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Рисунок 3.1 – Способы задания плоскости на чертеже: 1- тремя точками, 2- прямой и точкой, 3- двумя пересекающимися прямыми, 4- двумя параллельными прямыми, 5- плоской фигурой

Кроме того, плоскость может быть задана следами плоскости. Следом плоскости называется линия пересечения заданной плоскости с любой из плоскостей проекций.

На рис. 3.2 изображена плоскость Р, которая пересекается с плоскостями проекций, и образует следующие следы:

  • горизонтальный след – в пересечении с горизонтальной плоскостью проекций;
  • фронтальный след – в пересечении с фронтальной плоскостью проекций;
  • профильный след – в пересечении с профильной плоскостью проекций.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Рисунок 3.2 – Плоскоть задананная следами

Два следа плоскости сходятся на осях в точках Плоскость в начертательной геометрии с примерами, которые называются точками схода следов.

Плоскости общего и частного положения

По отношению к плоскостям проекций плоскости могут занимать различное положение.

Плоскость, не перпендикулярную ни к одной из плоскостей проекций называют плоскостью общего положения.

Наглядное изображение плоскости общего положения Р дано на рисунке 3.2, которая задана следами.

Плоскость общего положения пересекает каждую из осей х, у, z.

Следы плоскости общего положения никогда не перпендикулярны к осям проекций.

При построении плоскости следами последние обычно ограничиваются участками, расположенными в первом октанте.

К плоскостям частного положения относят плоскости, перпендикулярные к плоскостям проекций.

Положение плоскости относительно плоскостей проекций

Проецирующие плоскости

Плоскость, перпендикулярная одной из плоскостей проекций, называется проецирующей. Различают:

  • а) горизонтально проецирующая плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами
  • б) фронтально проецирующая плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами
  • в) профильно проецирующая плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами Рисунок 3.3 – Проецирующие плоскости; а- горизонтально-проецирующая, б- фронтально-проецирующая, в- профильно-проецирующая плоскость

У проецирующих плоскостей одна проекция вырождается в прямую. Поэтому проекция фигуры, принадлежащей такой плоскости (треугольник ABC), вырождается в прямую (А’В’С).

Проецирующая плоскость однозначно задается на чертеже своей линейной проекцией Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскости уровня

Плоскость, параллельная одной из плоскостей проекций, называется плоскостью уровня. Различают (рис. 3.4):

  • а) горизонтальная плоскость уровня Плоскость в начертательной геометрии с примерами
  • б) фронтальная плоскость уровня Плоскость в начертательной геометрии с примерами
  • в) профильная плоскость уровня Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость уровня является частным случаем проецирующей плоскости, поэтому на чертеже задается своей линейной проекцией Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Фигура, принадлежащая плоскости уровня, проецируется на соответствующую плоскость проекций в натуральную величину.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Рисунок 3.4 – Плоскости уровня

  • а) горизонтальная плоскость уровня Плоскость в начертательной геометрии с примерами
  • б) фронтальная плоскость уровня Плоскость в начертательной геометрии с примерами
  • в) профильная плоскость уровня Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Проецирующие плоскости и плоскости уровня находят широкое применение в качестве вспомогательных элементов при решении различных задач начертательной геометрии, а также используются в техническом черчении при построении разрезов и сечений на чертежах.

Решение этих задач основано на известных положениях геометрии:

Главные линии плоскости

К числу прямых, занимающих особое положение в плоскости, относятся горизонтали, фронтали, профильные линии и линии наибольшего наклона.

Прямая, принадлежащая данной плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций Н называется горизонталью h плоскости.

Прямая, принадлежащая данной плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекции V называется фронталью плоскости f.

Профильной линией р плоскости называется прямая, принадлежащая данной плоскости и параллельная профильной плоскости проекций W.

Построение на чертеже проекций профильной линии следует начинать с проведения фронтальной и горизонтальной проекций Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Прямая, принадлежащая данной плоскости и перпендикулярная к ее линиям особого положения называется линией наибольшего наклона плоскости.

В любой плоскости можно провести бесчисленное множество главных линий: а) горизонтали; б) фронтали; в) профильные прямые; г) линии наибольшего ската. Линии наибольшего ската – прямые, проведенные в плоскости перпендикулярно к горизонталям этой плоскости.

Построение горизонтали (рис. 3.5) начинают с ее фронтальной проекции Плоскость в начертательной геометрии с примерами; построение фронтали плоскости начинают с ее горизонтальной проекции Плоскость в начертательной геометрии с примерами.

Построение на чертеже проекций профильной линии следует начинать с проведения фронтальной и горизонтальной проекций; линию ската начинают строить с ее горизонтальной проекции Плоскость в начертательной геометрии с примерами, которая перпендикулярна Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами Рисунок 3.5 – Поэтапное построение главных линий плоскости;

а) горизонтали; б) фронтали; в) профили; г) линии наибольшего ската.

Взаимное расположение прямой линии и плоскости

Параллельность прямой и плоскости

Возможны следующие три случая относительного расположения прямой и плоскости: прямая принадлежит плоскости, прямая параллельна плоскости, прямая пересекает плоскость.

На основании свойства плоскости: если прямая линия соединяет две точки данной плоскости, то такая прямая всеми своими точками лежит в этой плоскости. Построение прямых, принадлежащих плоскости рассмотрены на слайде (главные линии плоскости).

Из стереометрии известно: если прямая параллельна плоскости, то она параллельна одной из прямых, лежащих в этой плоскости. На эпюре параллельность прямой m и плоскости ABC доказывается тем, что m” // a”, m’ // a’ ; прямая принадлежит плоскости ABC.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Рисунок 3.6 – Прямая параллельная плоскости ∆АВС

Пересечение прямой и плоскости

Для определения точки пересечения прямой m с плоскостью α(∆АВС) выполняют следующие операции.

  1. Через прямую m проводят проецирующую плоскость β (рис. 20). В данном примере проводят горизонтальную проецирующую плоскость β’.
  2. Определяют линию n пересечение плоскости β с плоскостью α (∆АВС). На рисунке 20 горизонтальная проекция этой линии n’ совпадает с m’ по построению, а фронтальная n’ определяется проекциями точек 1′ и 2′ на фронтальные проекции А” В” и В”C” сторон треугольника АВС.
  3. Находят точку K пересечения прямой m с плоскостью α. Фронтальная проекция n” линии пересечения n пересекает m” в точке K”.

Поскольку n лежит в плоскости α, то точка K принадлежит как плоскости α, так и прямой m, т.е является точкой их пересечения . Ее горизонтальная проекция K’ определяется проекциями K” на m”.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Рисунок 3.7 – Прямая пересекающая плоскость ∆АВС

Видимость прямой и плоскости относительно горизонтальной плоскости проекций определяется с помощью горизонтально конкурирующих точек 2 и 3.

Точка 2 лежит на стороне АС, а 3- на прямой m. Их фронтальные проекции 2” и 3” показывают, что точка 2 находится ниже точки 3 и поэтому на горизонтальной плоскости проекций горизонтальная проекция 2′ точки 2 будет закрыта проекцией 3′ точки 3. Отсюда следует, что проекция А’C’ стороны АС расположена ниже проекции m’ и участок этой прямой с левой стороны до K’ будет видным. Относительную видимость на фронтальной плоскости проекций можно определить с помощью фронтально конкурирующих точек 4 и 5. Как показывают горизонтальные проекции этих точек 4′ и 5′, точка 4 лежит ближе к наблюдателю, чем точка 5,но поскольку последняя принадлежит прямой m, то участок её фронтальной проекции 5”K” невидим.

Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум прямым этой плоскости, например её горизонтали и фронтали.

Пример: Провести перпендикуляр из точки К к плоскости треугольника АВС.

Решение задачи начинают с построения горизонтали h(h’,h”) и фронтали ƒ(ƒ’,ƒ”) плоскости треугольника (см. рис. 3.8). Затем к этим прямым проводят из точки К перпендикуляр n, как показано на рисунке.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Рисунок 3.8 – Прямая перпендикулярная плоскости треугольника ABC

Прямая n перпендикулярна плоскости α(АВС), так как n перпендикулярно f и n перпендикулярно h (на основании свойства ортогонального проецирования).

При построении на комплексном чертеже перпендикуляра к плоскости нужно иметь в виду следующее: если n перпендикулярно α(h∩ƒ), то фронтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна фронтальной проекции фронтали, а его горизонтальная проекция – горизонтальной проекции горизонтали (n’ перпендикулярно h’; n” перпендикулярно ƒ”’). Действительно и обратное утверждение.

Если прямая линия пересекает плоскость под прямым углом, то на комплексном чертеже проекции этой прямой располагаются перпендикулярно проекциям соответствующих линий уровня плоскости.

Если, например, на плоскость, заданную треугольником ABC, необходимо опустить перпендикуляр из точки К, то построение выполняют следующим образом.

На плоскости проводят горизонталь h (h”, h’) и фронталь f (f ‘, f ”). Затем из заданных проекций K’ и K” точки К опускают перпендикуляры соответственно на h’ и f ”.

Прямая, проведенная таким образом из точки К, будет перпендикулярна плоскости треугольника ABC (так как прямая, перпендикулярная плоскости должна быть перпендикулярна двум прямым, лежащим в этой плоскости).

Пример задания плоскости

Плоскость может быть задана:
Плоскость в начертательной геометрии с примерами

1 .Проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой
Плоскость в начертательной геометрии с примерами

2. Проекцией прямой и точки, не лежащей на этой прямой
Плоскость в начертательной геометрии с примерами

3. Проекциями двух пересекающихся прямых

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

4.    Проекциями двух параллельных прямых

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

5. Проекциями любой плоской фигуры

6.  Следами

Следы плоскости

Прямые, по которым некоторая плоскость пересекает плоскости проекций, называются следами плоскости.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Следы пересекаются в одной точке, лежащей на оси – точка схода следа.

Ph – горизонтальный след плоскости Pv – фронтальный след плоскости Pw – профильный след плоскости Рх, Ру, Pz – точки схода следов

След плоскости – это прямая, принадлежащая данной плоскости и плоскости проекций. А поэтому след на эпюре совпадает с одноименной своей проекцией, а другие его проекции лежат на осях.

Ph – горизонтальный след плоскости совпадает со своей горизонтальной проекцией, фронтальная его проекция лежит на оси X, а профильная – на оси У.
Положение плоскости относительно плоскостей проекций

По положению в пространстве различают плоскости общего и частного положения.

Плоскости общего положения не параллельны и не перпендикулярны ни одной из плоскостей проекций.
 

Плоскости уровня

Это плоскости, параллельные одной из плоскостей проекций.
1.    Плоскость параллельная Плоскость в начертательной геометрии с примерами– горизонтальная плоскость уровня

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

2. Плоскость, параллельная П2- фронтальная плоскость уровня

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

3. Плоскость, параллельная П3 – профильная плоскость уровня

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Проецирующие плоскости

Это плоскости, перпендикулярные одной из плоскостей проекций.

1.    Плоскость, перпендикулярная Плоскость в начертательной геометрии с примерами – горизонтально-проецирующая плоскость

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

2. Плоскость, перпендикулярная Плоскость в начертательной геометрии с примерами – фронтально-проецирующая плоскость

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

3. Плоскость, перпендикулярная Плоскость в начертательной геометрии с примерами– профильно-проецирующая плоскость

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Прямые особого положения

Горизонталь (h) – прямая, лежащая в данной плоскости и и параллельная горизонтальной плоскости проекции.

Фронталь (f) – прямая, лежащая в плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций.
Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Все горизонтальные проекции горизонтали параллельны горизонтальному следу плоскости.

Все фронтальные проекции фронтали параллельны фронтальному следу плоскости.
Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Прямая и точка в плоскости

1.    Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие плоскости (или через одну точку этой плоскости параллельно прямой, лежащей в данной плоскости).
Плоскость в начертательной геометрии с примерами

2.    Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит любой прямой этой плоскости.
Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Взаимное положение прямой и плоскости, двух плоскостей

1.    Прямая параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой, лежащей в данной плоскости.
Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

а // а (через К провести прямую параллельно а)

Алгоритм решения:

1 2 Плоскость в начертательной геометрии с примерами a a // а

2.    Прямая, перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым данной плоскости.

В качестве таких прямых принимаем фронталь и горизонталь ( исходя из правила проецирования прямого угла).

Перпендикуляр к плоскости перпендикулярен любой прямой, проведенной в этой плоскости.
Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

3.    Плоскости параллельны между собой, если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.
Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

3.    Плоскости перпендикулярны, если прямая, принадлежащая одной плоскости, перпендикулярна другой плоскости.
а (А АВС) К(К,;К2) а//В

Задача: через прямую а провести плоскость, перпендикулярную Плоскость в начертательной геометрии с примерамиАВС.
X

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Искомую плоскость В задаем двумя пересекающимися прямыми а и Плоскость в начертательной геометрии с примерамиопущенным к Плоскость в начертательной геометрии с примерамиАВС.

Строим горизонталь Плоскость в начертательной геометрии с примерами и фронталь Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Исходя из правила построения перпендикуляра к плоскости, проводим прямую Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Получаем искомую плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Пересечение прямой линии с плоскостью

Прямая пересекает плоскость в точке, называемой точкой встречи.
Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Алгоритм решения состоит из трех операций:

  1. Прямая заключается во вспомогательную плоскость ( в данном случае во фронтально-проецирующую Плоскость в начертательной геометрии с примерами
  2. Определяется линия пересечения заданной плоскости со вспомогательной Плоскость в начертательной геометрии с примерами и находят Плоскость в начертательной геометрии с примерами по линиям связи. На горизонтальной проекции точка пересечения прямой d с Плоскость в начертательной геометрии с примерами– точка встречи Плоскость в начертательной геометрии с примерамиопределяем по линиям связи).
  3. Выясняется взаимное положение двух прямых: заданной и линии пересечения плоскостей 1 2 .
  4. Определяются видимые и не видимые участки прямой методом конкурирующих точек.

Взаимное пересечение двух плоскостей

Задачи на определение точки встречи прямой с плоскостью очень важны в
можно решать задачи на определение

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Через прямую АС Плоскость в начертательной геометрии с примерами про водим горизонтально-проеци-рующую плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами в точках Плоскость в начертательной геометрии с примерами

По линиям связи определяемПлоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Пересечение Плоскость в начертательной геометрии с примерами даёт Плоскость в начертательной геометрии с примерами Определяем на Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Аналогично находим точку L. Видимость определяем методом конкурирующих точек по узлам Плоскость в начертательной геометрии с примерами
начертательной геометрии. Пользуясь ими

Расстояние от точки до прямой

Для определения проекции расстояния от точки А до прямой общего положения m через А проведем плоскость, перпендикулярную mПлоскость в начертательной геометрии с примерами

Через m проведем фронтально-проецирующую плоскость L. Найдём точку пересечения прямой m с этой плоскостью Плоскость в начертательной геометрии с примерами Плоскость в начертательной геометрии с примерами точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами. Определяем по линиям связиПлоскость в начертательной геометрии с примерами).

Полученный отрезок АВ и есть расстояние от точки А до прямой m Плоскость в начертательной геометрии с примерамипроекции этого отрезка).

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Расстояние от точки до плоскости

Построить плоскость, параллельную Плоскость в начертательной геометрии с примерами и отстоящую от нес на n мм

Кратчайшее расстояние – перпендикуляр. Значит, из Д восстановим перпендикуляр к Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Определение плоскости

В геометрии плоскость представляют как бесконечную поверхность, имеющую на всем протяжении одинаковое направление. Плоскость безгранична и бесконечна.

Способы задания плоскости на эпюре

На эпюре плоскость задается проекциями тех элементов, которыми она задана в пространстве. Плоскость (рис. 5.1, 5.2)однозначно определяют:

  • три точки, не лежащие на одной прямой α(ABC) (рис 5.1, а);
  • пересекающиеся прямые β(b × c) (рис 5.1, б);
  • прямая и точка γ(a, D) (рис 5.1, в);
  • параллельные прямые δ(l || n) (рис 5.1,г);

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Рис. 5.1. Способы задания плоскостей:
а – a (ABC); б -β (b×c); в -γ (a,D); г – δ(l || n)

  • следы плоскости – линии пересечения плоскости с плоскостями проекций μ(μ12) (рис. 5.2)Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Рис. 5.2. Задание плоскости следами μ(μ12):
а – наглядное изображение;
б – комплексный чертеж

  • проекции плоской фигуры (треугольника, окружности, и т. д.).

Классификация плоскостей

В зависимости от положения относительно плоскостей проекций различают плоскости общего положения и плоскости частного положения.

Плоскость общего положения – плоскость, наклоненная под произвольными углами к плоскостям проекций (см. рис. 5.1, 5.2).

Плоскости частного положения можно разделить на две группы -проецирующие плоскости и плоскости уровня. Плоскости частного положения чаще всего задаются следами.

Проецирующие плоскости

Плоскости, перпендикулярные одной из плоскостей проекций, называются проецирующими.

Горизонтально-проецирующая плоскость δ(δ1)Плоскость в начертательной геометрии с примерамиП1 – плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций П1(рис. 5.3). Горизонтально-проецирующая плоскость задается горизонтальным следом плоскости δ1, который является геометрическим местом горизонтальных проекций всех точек, принадлежащих данной плоскости.

Углы наклона горизонтально-проецирующей плоскости к П2 и П3 проецируются на горизонтальную плоскость проекций в натуральную величину.
Плоскость в начертательной геометрии с примерами;
Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Рис. 5.3. Горизонтально-проецирующая плоскостью δ(δ1):
а – наглядное изображение;
б – комплексный чертеж

Фронтально-проецирующая плоскость γ(γ2)Плоскость в начертательной геометрии с примерами П2 – плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций П2, задается фронтальным следом плоскости γ2 (рис. 5.4).

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Рис. 5.4. Фронтально-проецирующая плоскость у(у2):
а – наглядное изображение;
б – комплексный чертеж

Проекции всех линий и точек, лежащих во фронтально-проецирующей плоскости, совпадают с фронтальным следом этой плоскости. Углы наклона фронтально-проецирующей плоскости τ – к П1 и φ – к П2 проецируются на фронтальную плоскость проекций без искажения.

Профильно-проецирующая плоскость σ(σ3) Плоскость в начертательной геометрии с примерамиП3 – плоскость, перпендикулярная профильной плоскости проекций П3, задается профильным следом плоскости σ3 (рис. 5.5).

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Рис. 5.5. Профильно-проецирующая плоскость σ(σ3):
а – наглядное изображение;
б – комплексный чертеж

Углы наклона профильно-проецирующей плоскости к П1 и П2 проецируются на профильную плоскость проекций без искажения.

Плоскости уровня

Плоскости, параллельные одной из плоскостей проекций, называются плоскостями уровня. Как и проецирующие плоскости, плоскости уровня задаются следами. Все объекты, лежащие в плоскости уровня, проецируются на параллельную плоскость проекций в натуральную величину.

Горизонтальная плоскость уровня ν || П1 – плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций.
Треугольник ABC, лежащий в горизонтальной плоскости уровня ν(ν2),проецируется на Π1 в натуральную величину (рис. 5.6).

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Рис. 5.6. Горизонтальная плоскость уровня ν (ABC):
а – наглядное изображение;
б – комплексный чертеж

Фронтальная плоскостьуровняμ(μ1) || П2 – плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций. На рис. 5.7 показана окружность l с центром в точке О и диаметром AB, лежащая во фронтальной плоскости уровня μ(μ1). Эта окружность проецируется на Пбез искажения.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Рис. 5.7. Фронтальная плоскость уровня μ(μ1):
а – наглядное изображение;
б – комплексный чертеж

Профильная плоскость уровня ω||Π3 – плоскость, параллельная профильной плоскости проекций. Отрезок [AB], лежащий в профильной плоскости уровня ω(ω3) , проецируется на плоскость П3 в натуральную величину (рис. 5.8)
Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Рис. 5.8. Профильная плоскость уровня ω(ω1):
а – наглядное изображение;
б – комплексный чертеж

Относительное положение двух плоскостей

Две плоскости в пространстве могут совпадать, пересекаться или быть параллельными.

Плоскости параллельны (рис. 5.9), если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Рис. 5.9. Параллельные плоскости общего положения:

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Проекции плоскости

Из геометрии известно, что плоскость в пространстве определяется тремя точками, не лежащими на одной прямой. В соответствии с этим на чертеже плоскость может быть задана:

  • – проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой (рис. 3.1, а);
  • – проекциями прямой и точки, взятой вне прямой (рис. 3.1, б);
  • – проекциями двух параллельных прямых (рис. 3.1, в);
  • – проекциями двух пересекающихся прямых (рис. 3.1, г);
  • – проекциями замкнутого отсека любой формы – треугольника, четырехугольника и т. д. (рис. 3.2). 

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Точка и прямая в плоскости

Из геометрии известны теоремы о принадлежности точки и прямой линии плоскости:

1-я теорема: точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой линии, лежащей в этой плоскости.

2-я теорема: прямая линия принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, лежащие в этой плоскости.

На рис. 3.2 показано применение этих теорем для построения горизонтальной проекции точки К(K”, K’-?), лежащей в плоскости, заданной треугольником ABC.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Для решения этой задачи требуется выполнить следующий графический алгоритм (графические действия):

1-е действие. Провести в заданной плоскости фронтальную проекцию вспомогательной прямой m(m”) через две точки этой плоскости – например, через точку А(A”) и заданную фронтальную проекцию точки K(K”); эта прямая пересекает сторону ВС треугольника в точке 1(1″,1′).

2-е действие. Провести горизонтальную проекцию вспомогательной прямой m(m’) через горизонтальные проекции точек А(A’) и 1(1′).

3-е действие. Построить по линии связи искомую горизонтальную проекцию точки K(K’) на горизонтальной проекции вспомогательной прямой m(m’).

На рис. 3.3, а, б показано решение задачи, где требуется достроить горизонтальную проекцию четырехугольника ABCD(A”,B”,C”,D”; A’,B’,C’,D’-?, C’-?). Для решения задачи выполнены следующие графические построения:

  • – проведены проекции диагонали AC(A”C”, A’C’);
  • – проведена фронтальная проекция диагонали BD(B”D”);
  • – определены проекции вспомогательной точки 1(1″1′), принадлежащей диагоналям AC и BD;
  • – проведена через точки B’ и 1′ горизонтальная проекция диагонали d(d’), на которой должна лежать проекция вершины D(D’);
  • – построена по линии связи горизонтальная проекция D’ вершины D по ее принадлежности прямой d(d’);
  • – достроена горизонтальная проекция A’B’C’D’ четырехугольника ABCD.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Прямые особого положения в плоскости. Горизонталь h и фронталь f плоскости

Прямые линии, лежащие в плоскости и параллельные фронтальной плоскости проекций V, называются фронталями – f(f”,f’).

Прямые линии, лежащие в плоскости и параллельные горизонтальной плоскости проекций H, называются горизонталями – h(h”,h’).

На рис. 3.4 показано построение в плоскости треугольника DEF проекций фронтали и горизонтали.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Поскольку фронталь плоскости f параллельна фронтальной плоскости проекций V, построение ее проекций следует начинать с горизонтальной проекции фронтали f’, которая должна быть на чертеже параллельна оси x. Фронтальная проекция фронтали f” строится по ее принадлежности заданной плоскости с помощью вспомогательной точки 1(1′,1″).

Поскольку горизонталь плоскости h параллельна горизонтальной плоскости проекций H, построение ее проекций следует начинать с фронтальной проекции горизонтали h”, которая должна быть на чертеже параллельна оси x. Горизонтальная проекция горизонтали h’ строится по ее принадлежности заданной плоскости с помощью вспомогательной точки 2(2′,2″).

Прямые линии, лежащие в плоскости и перпендикулярные горизонтали этой плоскости, называются линиями наибольшего наклона (ската) плоскости. Они определяют угол наклона плоскости к плоскости проекций H.

На рис. 3.5, а изображена линия наибольшего ската m в плоскости α, а на рис. 3.5, б – построение ее проекций на чертеже этой плоскости, заданной следами.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

  • Чертежи на заказ

Понятие о следах плоскости

Следами плоскости называются линии, по которым плоскость пересекается с плоскостями проекций:

  • – горизонтальный след – линия пересечения плоскости с плоскостью проекций H;
  • – фронтальный след – линия пересечения плоскости с плоскостью проекций V;
  • – профильный след – линия пересечения плоскости с плоскостью проекций W.

!!! На чертежах вырожденные в прямые линии проекции плоскостей частного положения совпадают с соответствующими следами этих плоскостей и их можно обозначать как следы (см. рис. 3.6, 3.7, 3.8, 3.9, 3.10 и 3.11) этих плоскостей.

Положение плоскости относительно плоскостей проекций. Плоскости общего положения и плоскости частного положения

Относительно плоскостей проекций V, H и W плоскости в пространстве могут занимать семь различных положений – общее и шесть частных – и имеют соответствующие названия и характерные признаки проекций на чертежах. Следовательно, по заданным проекциям плоскости можно представить ее положение в пространстве, то есть «прочитать» чертеж плоскости.

Плоскость, не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций (см. рис. 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5), называется плоскости общего положения.0

!!! Запомните характерные признаки плоскости общего положения на чертеже – ни одна ее проекция не вырождается в линию, и каждая проекция искажает величину той формы, которой плоскость задана на чертеже.

  • Плоскости частного положения, перпендикулярные одной плоскости проекций, называются проецирующими плоскостями.

Фронтально-проецирующая плоскость перпендикулярна фронтальной плоскости проекций V.

На рис. 3.6 плоскость задана двумя пересекающимися прямыми DE и EF; горизонталь плоскости h преобразуется здесь во фронтально-проецирующую прямую (hПлоскость в начертательной геометрии с примерамиV).

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

!!! Запомните характерные признаки фронтально-проецирующей плоскости на чертеже – ее фронтальная проекция представляет собой прямую (вырожденная проекция βV), наклоненную к оси проекций x, и определяет угол наклона плоскости к плоскости проекций H. Горизонтальная и профильная проекции плоскости представляют собой искаженную по величине форму, которой эта плоскость задана на чертеже.

Горизонтально-проецирующая плоскость перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций H.

На рис. 3.7 плоскость задана треугольником ABC; фронталь плоскости f преобразуется в горизонтально-проецирующую прямую (fПлоскость в начертательной геометрии с примерамиH).

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

!!! Запомните характерные признаки горизонтально-проецирующей плоскости на чертеже – ее горизонтальная проекция представляет собой прямую (вырожденная проекция αV), наклоненную к оси проекций x, и определяет угол наклона плоскости к плоскости проекций V. Фронтальная и профильная (не показана) проекции плоскости представляют собой искаженную по величине форму, которой эта плоскость задана на чертеже.

Профильно-проецирующая плоскость перпендикулярна профильной плоскости проекций W.

На рис. 3.8 плоскость задана двумя параллельными прямыми KL и MN; фронталь и горизонталь плоскости преобразуются в профильно-проецирующие прямые.

!!! Запомните характерные признаки профильно-проецирующей плоскости на чертеже – ее профильная проекция представляет собой прямую (вырожденная проекция δW), наклоненную к осям проекций x и y, и определяет углы наклона плоскости к плоскостям проекций V и H. Фронтальная и горизонтальная проекции этой плоскости представляют собой искаженную по величине форму, которой эта плоскость задана на чертеже.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

  • Плоскости частного положения, перпендикулярные двум плоскостям проекций и параллельные третьей плоскости проекций называются плоскостями уровня.

Фронтальная плоскость уровня параллельна фронтальной плоскости проекций V и перпендикулярна плоскостям проекций H и W.

На рис. 3.9 фронтальная плоскость уровня задана параллелограммом DEFG; фронтальная проекция этой плоскости является ее натуральной величиной.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

!!! Запомните характерные признаки фронтальной плоскости на чертеже – ее горизонтальная и профильная проекции проецируются в прямые (вырожденные проекции βH и βW), параллельные соответственно осям проекций x и z.

Горизонтальная плоскость уровня параллельна горизонтальной плоскости проекций Н и перпендикулярна плоскостям проекций V и W.

На рис. 3.10 горизонтальная плоскость уровня задана треугольником ABC; горизонтальная проекция этой плоскости является ее натуральной величиной.

!!! Запомните характерные признаки горизонтальной плоскости на чертеже – ее фронтальная и профильная проекции проецируются в прямые (вырожденные проекции αV и αW), параллельные соответственно осям проекций x и y.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Профильная плоскость уровня параллельна плоскости проекций W и перпендикулярна плоскостям проекций V и H.

На рис. 3.11 плоскость задана кругом с центром в точке О и ее профильная проекция имеет натуральную величину этого круга.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

!!! Запомните характерные признаки профильной плоскости на чертеже – ее фронтальная и горизонтальная п р о е к ц и и представляют собой прямые (вырожденные проекции δV и δH), перпендикулярные оси проекций x и параллельные осям z и y.

Проведение плоскости частного положения через прямую общего положения (заключение прямой линии в плоскость частного положения)

Очень часто для решения различных задач требуется провести через прямую общего положения плоскость частного положения. Это графическое действие называется «заключить» прямую в плоскость частного положения (проецирующую или уровня).

На рис. 3.12, а, б показано графическое оформление этого действия.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

На рис. 3.12, а прямая общего положения АВ(A”B”, A’B’) заключена во фронтально-проецирующую плоскость β. Это означает, что прямая теперь лежит в этой плоскости и, следовательно, фронтальный след плоскости β(βV) совпадает с фронтальной проекцией АВ(А”В”) прямой; графически это действие оформляется продолжением фронтальной проекции прямой с обозначением следа надписью βV (рис. 3.12, б).

!!! Горизонтальная проекция плоскости β не оформляется на чертеже, но подразумевается (показана ограниченным тонкой волнистой линией отсеком произвольной формы, так как плоскость в пространстве не имеет границ).

На рис. 3.12, в прямая общего положения CD(C”D”, C’D’) заключена в горизонтально-проецирующую плоскость δ и это действие оформлено обозначением следа надписью δh на продолжении горизонтальной проекции заданной прямой (рассуждения аналогичны).

Структуризация материала третьей лекции в рассмотренном объеме схематически представлена на рис. 3.13 (лист 1). На последующих листах 2 и 3 компактно приведены иллюстрации к этой схеме для визуального закрепления основной части изученного материала при повторении (рис. 3.14 и 3.15).

Положение плоскости относительно плоскостей проекций

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость общего положения. Задание плоскости на чертеже.

Прямой и точкой

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Пересекающимися прямыми

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Параллельными прямыми

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Замкнутым отсеком

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

а

Плоскости частного положения – проецирующие

Характерные линии плоскости

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

 Горизонтально-проецирующая плоскость: Плоскость в начертательной геометрии с примерамиH

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Фронтально-проецирующая плоскость: Плоскость в начертательной геометрии с примерамиV

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Профильно-проецирующая плоскость: Плоскость в начертательной геометрии с примерамиW

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскости частного положения – уровня

Горизонтальная плоскость уровня: //H(Плоскость в начертательной геометрии с примерамиV u Плоскость в начертательной геометрии с примерамиW)

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Фронтальная плоскость уровня: //V(Плоскость в начертательной геометрии с примерамиH u Плоскость в начертательной геометрии с примерамиW)

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Профильная плоскость уровня: //W( Плоскость в начертательной геометрии с примерамиH u Плоскость в начертательной геометрии с примерамиV)

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Изображение плоскости на чертеже

Что такое плоскость? Из геометрии известно, что плоскость представляет собой бесконечную поверхность, которая на всем своем протяжении имеет одинаковое направление. Примером получения плоскости в пространстве может служить параллельное перемещение одной прямой по второй неподвижной прямой. Простейшими плоскостями считаются плоские геометрические фигуры (треугольник, круг и т.п.)

Плоскость на чертеже может быть задана (рис. 3.1):

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

  • –    проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой (см. рис. 3.1, а);
  • –    проекциями отрезка прямой и точкой, не лежащей на прямой (см. рис. 3.1, б);
  • –    проекциями двух пересекающихся отрезков прямых (см. рис. 3.1, в);
  • –    проекциями двух отрезков параллельных прямых (см. рис. 3.1, г);
  • –    проекциями плоской фигуры (треугольника) (см. рис. 3.1, д);

Соединяя проекции точек на первых четырех рисунках, можно перейти к изображению в виде треугольника или других плоских фигур.

На рис. 3.1, е изображена в пространстве плоскость, заданная треугольником Плоскость в начертательной геометрии с примерами Эта же плоскость показана на чертеже (см. рис. 3.1, д) двумя ее проекциями.

Плоскость на чертеже также может быть задана следами плоскости. Следами плоскости называются линии пересечения плоскости с плоскостями проекций (рис. 3.2, а, б).

Плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами (см. рис. 3.2) образует с плоскостями проекций Плоскость в начертательной геометрии с примерами трехгранный угол, вершина которого находится в пересечении следов. Две грани этого угла совпадают с плоскостями проекций и находятся между осью Плоскость в начертательной геометрии с примерами и следами плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами а третий угол – между следами Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами – всегда меньше суммы двух других углов. Это значит, что на чертеже угол, заключенный между следами Плоскость в начертательной геометрии с примерами (см. рис. 3.2, б), всегда больше угла, заключенного между этими следами в пространстве (см. рис. 3.2, а).

На рис. 3.2, а показаны горизонтальный Плоскость в начертательной геометрии с примерами и фронтальный  Плоскость в начертательной геометрии с примерами следы. Точка пересечения следов, расположенная на оси Плоскость в начертательной геометрии с примерами называется точкой схода следов Плоскость в начертательной геометрии с примерами Так как след плоскости является прямой, лежащей в плоскости проекций, то горизонтальная проекция фронтального следа Плоскость в начертательной геометрии с примерами будет находиться на оси Плоскость в начертательной геометрии с примерами Здесь же будет находиться и фронтальная проекция Плоскость в начертательной геометрии с примерами горизонтального следа плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами Обычно эти проекции следов не используются при решении задач и поэтому их можно не изображать и не обозначать.

Целесообразно следы плоскости обозначить на чертежах по наименованию самих плоскостей проекций Плоскость в начертательной геометрии с примерами или по обозначению их индексов, например, Плоскость в начертательной геометрии с примерами или же Плоскость в начертательной геометрии с примерами (рис. 3.3). Такое обозначение более удобно при решении задач. Следует иметь в виду, что со следами плоскости совпадают (сливаются) их проекции. Так, с горизонтальным следом плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами совпадает горизонтальная проекция этого следа, а с фронтальным следом плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами совпадает фронтальная проекция этого следа.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Построение следов плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами заданной двумя пересекающимися прямыми Плоскость в начертательной геометрии с примерами  показано на рис. 3.4. Чтобы построить фронтальный след плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами необходимо найти фронтальные следы Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами прямых Плоскость в начертательной геометрии с примерами Здесь же будут находиться и их фронтальные проекции Плоскость в начертательной геометрии с примерами Соединив данные следы прямой линией, получим фронтальный след плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами Определив горизонтальные следы Плоскость в начертательной геометрии с примерамипрямых Плоскость в начертательной геометрии с примерами и соединив их прямой линией, получим горизонтальный след плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами Из рис. 3.4 видно, что для построения следа Плоскость в начертательной геометрии с примерами достаточно найти один след Плоскость в начертательной геометрии с примерами прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами и соединить эту точку с точкой схода следов Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Прямая и точка в плоскости

Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, находящиеся в этой плоскости, или если она проходит через одну точку плоскости и параллельна прямой, принадлежащей данной плоскости (рис. 3.5).

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

На рис. 3.5, а плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами задана двумя пересекающимися прямыми Плоскость в начертательной геометрии с примерамиЧтобы прямая принадлежала этой плоскости, необходимо на прямых Плоскость в начертательной геометрии с примерами взять точки, например Плоскость в начертательной геометрии с примерами и через них провести прямую Плоскость в начертательной геометрии с примерами На рис. 3.5, б прямая Плоскость в начертательной геометрии с примерами принадлежит плоскости, так как она проходит через точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами принадлежащую плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами и параллельна прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, находящейся в этой плоскости. На рис. 3.6 показано построение проекции точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами на чертеже, заданном треугольником Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Для решения задачи проводим в плоскости, заданной треугольником Плоскость в начертательной геометрии с примерами прямую Плоскость в начертательной геометрии с примерами проходящую через произвольно выбранные точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами и принадлежащую плоскости треугольника. На прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами в произвольном месте берем точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами Фронтальная проекция точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами находится на фронтальной проекции прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами а горизонтальная проекция точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами – на горизонтальной проекции прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами Точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами можно было взять и на любой из сторон треугольника Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Чтобы построить проекции точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами принадлежащей плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами заданной следами (рис. 3.7), проводим в этой плоскости произвольно фронтальную и горизонтальную проекции прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами принадлежащей плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами и на соответствующих проекциях прямой отмечаем проекции точек Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Главные линии плоскости

К главным линиям плоскости относятся горизонтали Плоскость в начертательной геометрии с примерами фронтали Плоскость в начертательной геометрии с примерами профильные прямые Плоскость в начертательной геометрии с примерами и линии наибольшего наклона к плоскостям проекций.

Горизонталью Плоскость в начертательной геометрии с примерами плоскости называется прямая, лежащая в данной плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций (рис. 3.8). Так как горизонталь плоскости параллельна горизонтальной плоскости проекций Плоскость в начертательной геометрии с примерами то фронтальная ее проекция будет параллельна оси Плоскость в начертательной геометрии с примерами Для построения проекций горизонтали проводим через точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами прямую, параллельную оси Плоскость в начертательной геометрии с примерами Это будет фронтальная проекция горизонтали Плоскость в начертательной геометрии с примерами Горизонтальную проекцию горизонтали Плоскость в начертательной геометрии с примерами находим по линии связи.

На рис. 3.9. показано наглядное изображение плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами и горизонтали Плоскость в начертательной геометрии с примерами с ее проекциями Плоскость в начертательной геометрии с примерами При построении проекций горизонтали на чертеже плоскости, заданной следами Плоскость в начертательной геометрии с примерами (рис. 3.9, а, б), проводим через произвольно выбранную точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами (проекция Плоскость в начертательной геометрии с примерами на следе Плоскость в начертательной геометрии с примерами прямую Плоскость в начертательной геометрии с примерамипараллельно оси Плоскость в начертательной геометрии с примерами Горизонтальная проекция горизонтали Плоскость в начертательной геометрии с примерами пройдет через точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами параллельно горизонтальному следу Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Фронталью плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами называется прямая, лежащая в данной плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций. Горизонтальная проекция фронтали на чертеже параллельна оси Плоскость в начертательной геометрии с примерами а фронтальную проекцию фронтали находим при помощи линии связи (рис. 3.10).

На рис. 3.11, а показано наглядное изображение плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами и фронтали Плоскость в начертательной геометрии с примерами с ее проекциями Плоскость в начертательной геометрии с примерами а на рис. 3.11, б представлен чертеж плоскости, заданной следами, и горизонтальная и фронтальная проекции фронтали этой плоскости.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Профильной прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами называется прямая линия, принадлежащая плоскости и параллельная профильной плоскости проекций (рис. 3.12).

В этом случае фронтальная и горизонтальная проекции профильной прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами параллельны Плоскость в начертательной геометрии с примерами а профильная проекция Плоскость в начертательной геометрии с примерами т.е. равняется натуральной величине отрезка Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Линиями наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций (горизонтальной, фронтальной и профильной) называются прямые, принадлежащие этой плоскости и перпендикулярные фронталям, горизонталям, профильным прямым плоскости, или же соответствующим следам плоскости. Линию наибольшего наклона к горизонтальной плоскости проекций чаще всего называют линией ската.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Так, если в точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами (рис. 3.13, а) поместить шарик, то траектория  его движения  определится прямой  линией Плоскость в начертательной геометрии с примерами т.е. линией ската, перпендикулярной к горизонтали Плоскость в начертательной геометрии с примерами а также к горизонтальному следу Плоскость в начертательной геометрии с примерами плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Чтобы в плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами (рис. 3.13, б), заданной следами, провести линию ската, необходимо на этой плоскости взять произвольную точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами и через ее горизонтальную проекцию Плоскость в начертательной геометрии с примерами провести линию перпендикулярно  горизонтальному следу либо горизонтальной  проекции горизонтали Плоскость в начертательной геометрии с примерами Прямой угол между Плоскость в начертательной геометрии с примерами спроецируется на горизонтальную плоскость проекций без искажения, так как одна из его сторон, а

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Определение угла наклона плоскости к плоскостям проекций Плоскость в начертательной геометрии с примерамипроизводится аналогичным образом. Для этого необходимо провести фронталь в плоскости, а затем линию перпендикулярно к ней, или же профильную прямую и перпендикуляр к ней.

Положение плоскости относительно плоскостей проекций

Плоскость в пространстве может занимать относительно плоскостей проекций Плоскость в начертательной геометрии с примерами следующие положения: наклонно ко всем плоскостям проекций – плоскость общего положения (см. рис. 3.2, 3.3), перпендикулярно к одной из плоскостей проекций – проецирующая плоскость, перпендикулярно одновременно к двум плоскостям проекций, т.е. параллельно третьей плоскости проекций – плоскость уровня.

Проецирующие плоскости: горизонтально-проецирующая (перпендикулярна к Плоскость в начертательной геометрии с примерами фронтально-проецирующая (перпендикулярна к Плоскость в начертательной геометрии с примерами профильно проецирующая (перпендикулярна к Плоскость в начертательной геометрии с примерами

В горизонтально-проецирующей плоскости (рис. 3.15, а, б) фронтальный след Плоскость в начертательной геометрии с примерами расположен перпендикулярно к плоскости проекций Плоскость в начертательной геометрии с примерами и к оси Плоскость в начертательной геометрии с примерами а горизонтальный след может быть расположен под любым углом, кроме прямого. Горизонтальный след обладает собирательным свойством, т.е. любая точка, фигура, находящаяся в плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами всегда проецируется на горизонтальный след Плоскость в начертательной геометрии с примерами это относится и к точке Плоскость в начертательной геометрии с примерами (см. рис. 3.15, а, б), принадлежащей плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

На рис. 3.15, в изображен треугольник Плоскость в начертательной геометрии с примерами который занимает проецирующее положение относительно плоскости проекций Плоскость в начертательной геометрии с примерами Точка Плоскость в начертательной геометрии с примерами принадлежит данному треугольнику. Фронтальная ее проекция Плоскость в начертательной геометрии с примерами совпадает с Плоскость в начертательной геометрии с примерамиГоризонтальная проекция Плоскость в начертательной геометрии с примерами проецируется на горизонтальную проекцию треугольника Плоскость в начертательной геометрии с примерами Угол Плоскость в начертательной геометрии с примерами заключенный между осью Плоскость в начертательной геометрии с примерами и горизонтальным следом плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами а также между горизонтальной проекцией треугольника Плоскость в начертательной геометрии с примерами и осью Плоскость в начертательной геометрии с примерами есть угол наклона плоскостей Плоскость в начертательной геометрии с примерами и треугольника Плоскость в начертательной геометрии с примерами к фронтальной плоскости проекций.

Фронтально-проецирующие плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами изображенные наглядно следами Плоскость в начертательной геометрии с примерами и треугольником Плоскость в начертательной геометрии с примерами показаны на рис. 3.16, а, б, в.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

В данном случае (см. рис. 3.16, а и б) горизонтальный след Плоскость в начертательной геометрии с примерами расположен перпендикулярно Плоскость в начертательной геометрии с примерами и оси Плоскость в начертательной геометрии с примерами Точка Плоскость в начертательной геометрии с примерами находящаяся в плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерамиспроецируется обязательно на фронтальный след Плоскость в начертательной геометрии с примерами Треугольник Плоскость в начертательной геометрии с примерами (см. рис. 3.16, в) занимает проецирующее положение относительно плоскости проекций Плоскость в начертательной геометрии с примерами поэтому фронтальная его проекция изобразится в виде отрезка прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Угол Плоскость в начертательной геометрии с примерами (см. рис. 3.16, б, в), заключенный между Плоскость в начертательной геометрии с примерами и осью Плоскость в начертательной геометрии с примерами а также между Плоскость в начертательной геометрии с примерами и осью Плоскость в начертательной геометрии с примерами есть угол наклона плоскостей Плоскость в начертательной геометрии с примерами к плоскости проекций Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Профильно-проецирующая плоскость показана на рис. 3.17. На рис. 3.17, а показано наглядное изображение профильно-проецирующей плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерамиточка Плоскость в начертательной геометрии с примерами принадлежащая этой плоскости и ее проекции. Профильная проекция точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами находится на профильном следе Плоскость в начертательной геометрии с примерами На рис. 3.17, б и рис. 3.17, в изображены профильно-проецирующие плоскости, заданные следами плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами и треугольником Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Профильно-проецирующая плоскость, проходящая через ось Плоскость в начертательной геометрии с примерами называется осевой, а если она делит двугранный угол между плоскостями проекций Плоскость в начертательной геометрии с примерамипополам, то она еще называется биссекторной.

Плоскости уровня. К ним относятся горизонтальная плоскость – параллельная Плоскость в начертательной геометрии с примерами фронтальная – параллельная Плоскость в начертательной геометрии с примерами и профильная – параллельная Плоскость в начертательной геометрии с примерами Эти плоскости уровня перпендикулярны одновременно двум другим плоскостям проекций. Например, горизонтальная плоскость перпендикулярна одновременно фронтальной и профильной плоскостям проекций.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

На рис. 3.18, а показано наглядное изображение горизонтальной плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами в системе плоскостей проекций Плоскость в начертательной геометрии с примерами а на рис. 3.18, б – чертеж данной плоскости, изображенный фронтальным и профильным следами Плоскость в начертательной геометрии с примерами Показано также, как точка Плоскость в начертательной геометрии с примерами находящаяся в плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами проецируется на плоскости проекций.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Прямая линия, параллельная плоскости

Прямая линия относительно плоскости может занимать следующие положения: находиться в плоскости, быть параллельной плоскости и пересекаться с плоскостью.

Из геометрии известно, что прямая линия параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой, находящейся в этой плоскости. Пусть требуется через точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами провести прямую, параллельную плоскости, заданной треугольником Плоскость в начертательной геометрии с примерами (рис. 4.1).

В треугольнике Плоскость в начертательной геометрии с примерами проводим произвольно отрезок Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами а через точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами проводим прямую Плоскость в начертательной геометрии с примерами параллельную данному отрезку, т.е. Плоскость в начертательной геометрии с примерами Через данную точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами можно провести бесчисленное множество прямых, параллельных плоскости треугольника Плоскость в начертательной геометрии с примерами в том числе и параллельных сторонам треугольника.

Если бы была поставлена задача провести через точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами прямую, параллельную треугольнику Плоскость в начертательной геометрии с примерами и фронтальной плоскости проекций, то в данном случае можно провести только одну прямую, параллельную и треугольнику и Плоскость в начертательной геометрии с примерами Для этого в треугольнике проводим фронталь Плоскость в начертательной геометрии с примерами а через точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами – прямую Плоскость в начертательной геометрии с примерами параллельную фронтали Плоскость в начертательной геометрии с примерамиПлоскость в начертательной геометрии с примерами(рис. 4.2).

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

В случае построения прямой, параллельной плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами заданной следами, необходимо в плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами провести произвольно прямую или горизонталь (фронталь), а затем провести проекции прямой, проходящей через точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами параллельные соответствующим проекциям прямых, взятых в плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами (рис. 4.3).

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

На рис. 4.3, а в плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами проведен отрезок произвольной прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами а через точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами – прямая Плоскость в начертательной геометрии с примерами одноименные проекции которой параллельны проекциям отрезков, взятых в плоскости, т.е. Плоскость в начертательной геометрии с примерами

На рис. 4.3, б в плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами проведена горизонталь Плоскость в начертательной геометрии с примерами а через Плоскость в начертательной геометрии с примерами– прямая Плоскость в начертательной геометрии с примерами параллельная Плоскость в начертательной геометрии с примерами и через Плоскость в начертательной геометрии с примерами проведена прямая Плоскость в начертательной геометрии с примерами параллельная Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Прямая линия, перпендикулярная плоскости

Прямая линия перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости (рис. 4.4).

На комплексном чертеже легко построить проекции прямого угла между прямой общего положения и линией уровня (фронталью, горизонталью). На основании свойств прямого угла прямой угол проецируется в натуральную величину, например, на Плоскость в начертательной геометрии с примерами если одна из его сторон параллельна этой плоскости проекций, т.е. является фронталью. Чтобы прямой угол проецировался на Плоскость в начертательной геометрии с примерами без искажения, необходимо, чтобы одна из его сторон была параллельна Плоскость в начертательной геометрии с примерами т.е. была горизонталью. На рис. 4.5 показано, как проведен перпендикуляр из точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами к фронтали и горизонтали.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Если задать плоскость двумя пересекающимися прямыми Плоскость в начертательной геометрии с примерами одна из которых будет фронталью, а вторая – горизонталью и провести из точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами перпендикуляр к Плоскость в начертательной геометрии с примерами т.е. к фронтальной проекции фронтали, а из Плоскость в начертательной геометрии с примерами – перпендикуляр к Плоскость в начертательной геометрии с примерами т.е. к горизонтальной проекции горизонтали, то этот отрезок будет перпендикулярен заданной плоскости (рис. 4.6).

Для того чтобы прямая была перпендикулярна плоскости, необходимо и достаточно, чтобы на чертеже ее горизонтальная проекция была перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция прямой – перпендикулярна фронтальной проекции фронтали.

В случае, если плоскость задана следами, то, учитывая, что горизонтальная проекция горизонтали Плоскость в начертательной геометрии с примерами всегда параллельна горизонтальному следу Плоскость в начертательной геометрии с примерами а фронтальная проекция фронтали параллельна фронтальному следу Плоскость в начертательной геометрии с примерами то, чтобы из точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами провести прямую перпендикулярно плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами (рис. 4.7), необходимо ее горизонтальную проекцию провести перпендикулярно горизонтальному следу Плоскость в начертательной геометрии с примерами а фронтальную проекцию -перпендикулярно фронтальному следу Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Прямая линия, пересекающаяся с плоскостью частного положения

Точку пересечения (встречи) прямой линии с плоскостью частного положения определяют непосредственно из чертежа, без дополнительных построений, так как известно, что следы плоскостей частного положения обладают собирательным свойством, и любая точка, находящаяся в плоскости, обязательно проецируется на один из следов плоскости; вторая проекция точки находится по линии связи. Подробно это рассмотрим на примере пересечения отрезка Плоскость в начертательной геометрии с примерами с горизонтально проецирующей плоскостью Плоскость в начертательной геометрии с примерами (рис. 4.8).

Отрезок Плоскость в начертательной геометрии с примерами пересекается с плоскостью Плоскость в начертательной геометрии с примерами в точке Плоскость в начертательной геометрии с примерами горизонтальная ее проекция Плоскость в начертательной геометрии с примерами находится на следе Плоскость в начертательной геометрии с примерами как точка, принадлежащая этой плоскости. Фронтальная проекция Плоскость в начертательной геометрии с примерами определяется по линии связи (см. рис. 4.8, а и б). Часть отрезка Плоскость в начертательной геометрии с примерами на фронтальной плоскости проекций, а именно, за точкой пересечения Плоскость в начертательной геометрии с примерами закрыта плоскостью, поэтому она изображается штриховой линией.

На рис. 4.8, в приведен пример определения точки пересечения прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами с горизонтально-проецирующей плоскостью.

Пересечение плоскости частного положения с плоскостью общего положения

Рассмотрим построение линии пересечения плоскости общего положения Плоскость в начертательной геометрии с примерами и проецирующей Плоскость в начертательной геометрии с примерами заданных следами (рис. 4. 10).

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Из наглядного изображения (рис. 4.10, а) видно, что на пересечении горизонтальных следов плоскостей Плоскость в начертательной геометрии с примерами находится горизонтальный след линии пересечения этих плоскостей Плоскость в начертательной геометрии с примерами и его горизонтальная проекция Плоскость в начертательной геометрии с примерамиНа пересечении фронтальных следов Плоскость в начертательной геометрии с примерами находится фронтальный след линии пересечения Плоскость в начертательной геометрии с примерами и его проекция Плоскость в начертательной геометрии с примерами Соединив одноименные проекции точек Плоскость в начертательной геометрии с примерами получим фронтальную и горизонтальную проекции линии пересечения Плоскость в начертательной геометрии с примерами причем последняя совпадает с горизонтальным следом плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами Это же решение показано на чертеже (см. рис. 4.10, б).

Пример построения линии пересечения горизонтально-проецирующей плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами заданной следами, и плоскости общего положения, заданной треугольником, приведен на рис. 4.11.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

На рис. 4.11, а показано наглядное изображение двух плоскостей с линией пересечения 12, на рис. 4.11, б это показано на чертеже. Горизонтальная проекция линии пересечения Плоскость в начертательной геометрии с примерами в таких случаях находится всегда на горизонтальном следе.

Построение линии пересечения плоскости общего положения Плоскость в начертательной геометрии с примерами и плоскости уровня, в частности, горизонтальной плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами показано на рис. 4.12.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Так как плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами и плоскость проекций Плоскость в начертательной геометрии с примерами параллельны между собой, а общей пересекающей их плоскостью является плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерамиПлоскость в начертательной геометрии с примерами то линия пересечения плоскостей Плоскость в начертательной геометрии с примерами есть горизонтальный след Плоскость в начертательной геометрии с примерами а плоскостей Плоскость в начертательной геометрии с примерами – отрезок прямой линии Плоскость в начертательной геометрии с примерами (см. рис. 4.12, а). Исходя из вышеизложенного, они должны быть параллельны между собой, т.к. две параллельные плоскости одновременно пересекаются третьей плоскостью Плоскость в начертательной геометрии с примерами Фронтальная проекция линии пересечения совпадает с фронтальным следом Плоскость в начертательной геометрии с примерами плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами и проходит параллельно оси Плоскость в начертательной геометрии с примерами горизонтальная проекция линии пересечения проходит параллельно горизонтальному следу Плоскость в начертательной геометрии с примерами к тому же отрезок Плоскость в начертательной геометрии с примерами является горизонталью. На рис. 4.12, б приведен чертеж пересечения плоскости общего положения Плоскость в начертательной геометрии с примерами и горизонтальной плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Проведение плоскостей частного положения через прямую линию

Для решения задач на определение точек пересечения прямой с различными плоскостями необходимо проводить дополнительные построения, такие, например, как проведение через прямую проецирующих плоскостей или плоскостей уровня. Через прямую общего положения можно провести любую проецирующую плоскость (рис. 4.13, 4.14), а через прямые, параллельные плоскостям проекций, можно провести как проецирующие плоскости, так и плоскости уровня (см. рис. 4.14).

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

В заключение необходимо определить видимые и невидимые части прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами относительно плоскостей проекций Плоскость в начертательной геометрии с примерами считая, что треугольник Плоскость в начертательной геометрии с примерами является непрозрачным. Для этого необходимо сравнить положение в пространстве двух конкурирующих точек, одна из которых принадлежит прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами а вторая – стороне треугольника Плоскость в начертательной геометрии с примерами

При определении видимости прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами относительно горизонтальной плоскости проекций рассмотрим взаимное положение прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами и стороны Плоскость в начертательной геометрии с примерами треугольника Плоскость в начертательной геометрии с примерами В точке пересечения их горизонтальных проекций Плоскость в начертательной геометрии с примерами совпадают две горизонтальные проекции Плоскость в начертательной геометрии с примерами точек 3 и 4. Точка Плоскость в начертательной геометрии с примерамипринадлежит стороне Плоскость в начертательной геометрии с примерами треугольника Плоскость в начертательной геометрии с примерами точка Плоскость в начертательной геометрии с примерами принадлежит прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерамиПо расположению фронтальных проекций Плоскость в начертательной геометрии с примерами этих точек устанавливаем, что точка Плоскость в начертательной геометрии с примерами находится выше точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами относительно горизонтальной плоскости проекций Плоскость в начертательной геометрии с примерами Это значит, что участок прямой линии Плоскость в начертательной геометрии с примерами от точки пересечения Плоскость в начертательной геометрии с примерами с треугольником Плоскость в начертательной геометрии с примерами до точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами находится под треугольником. Следовательно, горизонтальная проекция отрезка Плоскость в начертательной геометрии с примерами будет невидимой и она изображена штриховой линией.

При определении видимости прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами относительно фронтальной плоскости проекций рассмотрим взаимное положение прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами и стороны Плоскость в начертательной геометрии с примерами треугольника Плоскость в начертательной геометрии с примерами В точке пересечения их фронтальных проекций  Плоскость в начертательной геометрии с примерами совпадают две фронтальные проекции Плоскость в начертательной геометрии с примерами точек 1 и 5. Точка Плоскость в начертательной геометрии с примерамипринадлежит стороне Плоскость в начертательной геометрии с примерами точка Плоскость в начертательной геометрии с примерами принадлежит прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами По расположению горизонтальных проекций Плоскость в начертательной геометрии с примерами этих точек замечаем, что точка Плоскость в начертательной геометрии с примерами) находится далее от плоскости проекции Плоскость в начертательной геометрии с примерами и ближе к нам, чем точка Плоскость в начертательной геометрии с примерами Это значит, что прямая Плоскость в начертательной геометрии с примерами до точки пересечения Плоскость в начертательной геометрии с примерами с треугольником Плоскость в начертательной геометрии с примерами находится перед треугольником. Следовательно, фронтальная проекция Плоскость в начертательной геометрии с примерами прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами будет видимой до точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами а фронтальная проекция отрезка Плоскость в начертательной геометрии с примерами будет невидимой и она изображена штриховой линией.

При определении точки пересечения прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами с плоскостью, заданной следами Плоскость в начертательной геометрии с примерами (рис. 4.18), необходимо также прямую Плоскость в начертательной геометрии с примерами заключить в горизонтально-проецирующую плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами и найти их линию пересечения Плоскость в начертательной геометрии с примерами Фронтальная проекция точки пересечения прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами будет находиться на фронтальной проекции линии пересечения Плоскость в начертательной геометрии с примерами горизонтальная проекция Плоскость в начертательной геометрии с примерами находится при помощи линии связи.

Пересечение двух плоскостей общего положения

Линия пересечения двух плоскостей – это прямая, принадлежащая как одной, так и другой плоскости. Но положение любой прямой в пространстве определяется положением двух ее точек. Поэтому для построения линии пересечения двух плоскостей надо найти две точки, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям.

Рассмотрим построение линии пересечения двух плоскостей Плоскость в начертательной геометрии с примерами заданных следами (рис. 4.19, а – наглядное изображение, см. рис. 4.19, б -чертеж).

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

На наглядном изображении (см. рис. 4.19, а) показана линия пересечения этих плоскостей – Плоскость в начертательной геометрии с примерами Она проходит через точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами в которой пересекаются фронтальные следы Плоскость в начертательной геометрии с примерами, и точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами в которой пересекаются горизонтальные следы Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Точка Плоскость в начертательной геометрии с примерами является фронтальным следом линии пересечения плоскостей, а точка Плоскость в начертательной геометрии с примерами – горизонтальным следом линии пересечения. Одновременно в этих точках находятся и соответствующие проекции этих следов Плоскость в начертательной геометрии с примерами Так как точка Плоскость в начертательной геометрии с примерами находится во фронтальной плоскости проекций, то горизонтальная проекция Плоскость в начертательной геометрии с примерами будет находиться на оси Плоскость в начертательной геометрии с примерами Аналогично и с точкой Плоскость в начертательной геометрии с примерами Соединяя прямыми линиями одноименные проекции точек Плоскость в начертательной геометрии с примерами получим проекции прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами – линии пересечения плоскостей Плоскость в начертательной геометрии с примерами (см. рис. 4.19, б).

При построении линии пересечения двух плоскостей общего положения, заданных непрозрачными треугольниками Плоскость в начертательной геометрии с примерами (рис. 4.20) воспользуемся способом построения точек пересечения прямой линии с плоскостью общего положения, т.е. в качестве прямых линий примем две стороны, Плоскость в начертательной геометрии с примерами треугольника Плоскость в начертательной геометрии с примерами и определим точки пересечения их с плоскостью, заданной треугольником Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Для нахождения точки пересечения стороны Плоскость в начертательной геометрии с примерами треугольника Плоскость в начертательной геометрии с примерами с треугольником Плоскость в начертательной геометрии с примерами проводим через Плоскость в начертательной геометрии с примерами фронтально-проецирующую плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами (показан след Плоскость в начертательной геометрии с примерами Эта плоскость пересекает треугольник Плоскость в начертательной геометрии с примерами по линии Плоскость в начертательной геометрии с примерами На пересечении горизонтальной проекции стороны Плоскость в начертательной геометрии с примерами и горизонтальной проекции линии пересечения Плоскость в начертательной геометрии с примерами находится горизонтальная проекция точки пересечения Плоскость в начертательной геометрии с примерами стороны Плоскость в начертательной геометрии с примерами с треугольником Плоскость в начертательной геометрии с примерами Фронтальная проекция Плоскость в начертательной геометрии с примерами этой точки определена при помощи линии связи.

Точка пересечения стороны Плоскость в начертательной геометрии с примерами треугольника Плоскость в начертательной геометрии с примерами с плоскостью, заданной треугольником Плоскость в начертательной геометрии с примерами определяется аналогичным образом. Для этого через Плоскость в начертательной геометрии с примерами проводим фронтально-проецирующую плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Видимость участков треугольников определена таким же образом, как и в примере, приведенном на рис. 4.17.

Видимость треугольников относительно горизонтальной плоскости проекций Плоскость в начертательной геометрии с примерами определена при помощи конкурирующих точек Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примераминаходящихся на сторонах Плоскость в начертательной геометрии с примерами треугольников. Точка Плоскость в начертательной геометрии с примерами принадлежит стороне Плоскость в начертательной геометрии с примерами треугольника Плоскость в начертательной геометрии с примерами а точка Плоскость в начертательной геометрии с примерами принадлежит стороне Плоскость в начертательной геометрии с примерами треугольника Плоскость в начертательной геометрии с примерамиГоризонтальные проекции этих точек совпадают Плоскость в начертательной геометрии с примерами т.к. находятся в точке пересечения горизонтальных проекций сторон Плоскость в начертательной геометрии с примерами Фронтальная проекция Плоскость в начертательной геометрии с примерами принадлежащая Плоскость в начертательной геометрии с примерами находится выше фронтальной проекции Плоскость в начертательной геометрии с примерами принадлежащей Плоскость в начертательной геометрии с примерами Следовательно, горизонтальная проекция Плоскость в начертательной геометрии с примерами будет видимой на Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Относительно фронтальной плоскости проекций Плоскость в начертательной геометрии с примерами видимость определена при помощи конкурирующих точек Плоскость в начертательной геометрии с примерами Так как на Плоскость в начертательной геометрии с примерами горизонтальная проекция Плоскость в начертательной геометрии с примерами точки 7, принадлежащая стороне Плоскость в начертательной геометрии с примерамиПлоскость в начертательной геометрии с примерами расположена дальше от Плоскость в начертательной геометрии с примерами т.е. ближе к нам, чем горизонтальная проекция Плоскость в начертательной геометрии с примерами точки 4, принадлежащей стороне Плоскость в начертательной геометрии с примерами то видимой на Плоскость в начертательной геометрии с примерами будет фронтальная проекция Плоскость в начертательной геометрии с примерами стороны Плоскость в начертательной геометрии с примерами на участке Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Взаимно параллельные плоскости

Две плоскости в пространстве могут занимать два различных положения: они могут быть параллельны между собой или пересекаться.

Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Рассмотрим параллельность плоскостей на примере. Пусть требуется через точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами построить плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерамипараллельную плоскости, заданной треугольником Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами (рис. 5.1).

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Через точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами проводим прямые Плоскость в начертательной геометрии с примерами Это значит, что горизонтальная проекция Плоскость в начертательной геометрии с примерами должна быть параллельна Плоскость в начертательной геометрии с примерами а фронтальная проекция Плоскость в начертательной геометрии с примерами должна быть параллельна Плоскость в начертательной геометрии с примерами Что же касается прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами то горизонтальная проекция Плоскость в начертательной геометрии с примерами Построенная плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерамипараллельна плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами так как пересекающиеся прямые Плоскость в начертательной геометрии с примерамисоответственно параллельны двум пересекающимся сторонам Плоскость в начертательной геометрии с примерами треугольника Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Если плоскости заданы следами, то признаком параллельности данных плоскостей является параллельность одноименных следов Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами (рис. 5.2, а и б).

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Рассмотрим пример построения параллельной плоскости, проходящей через заданную точку. Пусть требуется через точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами провести плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами заданную следами, параллельно плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами также заданной следами (рис. 5.3).

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Для решения задачи через точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами проводим в первом случае горизонталь Плоскость в начертательной геометрии с примерами (см. рис. 5.3, а), т.е. Плоскость в начертательной геометрии с примерами проводим параллельно следу плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами – параллельно оси Плоскость в начертательной геометрии с примерами и находим фронтальный след этой горизонтали Плоскость в начертательной геометрии с примерамиЧерез Плоскость в начертательной геометрии с примерами проводим фронтальный след плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами параллельно Плоскость в начертательной геометрии с примерами а через точку схода следов Плоскость в начертательной геометрии с примерами проводим Плоскость в начертательной геометрии с примерами параллельно Плоскость в начертательной геометрии с примерами Во втором случае (см. рис. 5.3, б), чтобы построить плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами параллельную плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами применена фронталь Плоскость в начертательной геометрии с примерами Ход решения виден из чертежа. Это относится ко всем видам плоскостей, за исключением профиль-но-проецирующих плоскостей. Чтобы определить, параллельны ли такие плоскости при параллельности одноименных следов, например, горизонтальных и фронтальных (рис. 5.4, а, б), необходимо построить профильные следы данных плоскостей. Если они параллельны, то и плоскости параллельны, а если пересекаются, то и плоскости пересекаются (см. рис. 5.4). В данном случае профильные проекции следов пересекаются: Плоскость в начертательной геометрии с примерами следовательно, плоскости также пересекаются. Проекциями линии пересечения Плоскость в начертательной геометрии с примерами служат отрезки Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Следует отметить, что плоскости также пересекаются, если хотя бы одна пара одноименных следов пересекается. На рис. 5.5, а показаны две горизонтально-проецирующие плоскости, Плоскость в начертательной геометрии с примерами у которых фронтальные следы Плоскость в начертательной геометрии с примерами параллельны, а горизонтальные пересекаются. Такие плоскости пересекаются по линии Плоскость в начертательной геометрии с примерами На рис. 5.5, б показана фронтальная проекция линии пересечения Плоскость в начертательной геометрии с примерамиГоризонтальная проекция этой линии проецируется в точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами т.к. расположена перпендикулярно к плоскости проекций Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Взаимно перпендикулярные плоскости

Две плоскости взаимно перпендикулярны:

  • –    если одна из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости (рис. 5.6);
  • –    если одна из плоскостей проходит перпендикулярно прямой, расположенной в другой плоскости (рис. 5.7).

Иными словами, две плоскости взаимно перпендикулярны, если имеется возможность провести прямую, принадлежащую одной плоскости и одновременно перпендикулярную к другой плоскости.

В первом случае (см. рис. 5.6) плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами перпендикулярна плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами так как проходит через отрезок Плоскость в начертательной геометрии с примерами перпендикулярный плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами На рис. 5.7 плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами перпендикулярна плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами так как проходит перпендикулярно отрезку Плоскость в начертательной геометрии с примерами принадлежащему плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Рассмотрим построение взаимно перпендикулярных плоскостей на чертеже. Пусть требуется провести плоскость через отрезок прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерамиПлоскость в начертательной геометрии с примерамиперпендикулярную плоскости, заданной треугольником Плоскость в начертательной геометрии с примерамиПлоскость в начертательной геометрии с примерамиЗадача будет решена, если из точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами отрезка Плоскость в начертательной геометрии с примерами провести прямую перпендикулярно к треугольнику Плоскость в начертательной геометрии с примерами (рис. 5.8). Для этого в треугольнике Плоскость в начертательной геометрии с примерами проводим фронталь и горизонталь. Затем из точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами проводим перпендикуляр Плоскость в начертательной геометрии с примерами (горизонтальная проекция горизонтали), а из точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами – перпендикуляр Плоскость в начертательной геометрии с примерами (фронтальная проекция фронтали). Таким образом, плоскость, заданная двумя пересекающимися прямыми Плоскость в начертательной геометрии с примерамиперпендикулярна треугольнику Плоскость в начертательной геометрии с примерами  т.к. проходит через перпендикуляр к нему Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Рассмотрим второй случай. Пусть требуется из точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами провести плоскость перпендикулярно к стороне Плоскость в начертательной геометрии с примерами треугольника Плоскость в начертательной геометрии с примерами (рис. 5.9).

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Иными словами, чтобы сторона Плоскость в начертательной геометрии с примерами была перпендикулярна новой плоскости, проходящей через точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами должна быть перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали Плоскость в начертательной геометрии с примерами – перпендикулярна фронтальной проекции фронтали Плоскость в начертательной геометрии с примерами новой плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами – Поэтому из точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами проводим Плоскость в начертательной геометрии с примерамиперпендикулярно Плоскость в начертательной геометрии с примерами пройдет параллельно оси Плоскость в начертательной геометрии с примерами а из точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами проводим перпендикуляр к Плоскость в начертательной геометрии с примерамипройдет параллельно оси Плоскость в начертательной геометрии с примерами Данные плоскости взаимно перпендикулярны, т.к. плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами проходит перпендикулярно стороне Плоскость в начертательной геометрии с примерами треугольника Плоскость в начертательной геометрии с примерами

На приведенных примерах (рис. 5.10 и рис. 5.11) изображены взаимно перпендикулярные плоскости, которые заданы треугольником Плоскость в начертательной геометрии с примерами и следами плоскости.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами перпендикулярна плоскости треугольника Плоскость в начертательной геометрии с примерами (см. рис. 5.10). Она проходит перпендикулярно прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами лежащей в плоскости треугольника Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами также перпендикулярна плоскости треугольника Плоскость в начертательной геометрии с примерами (см. рис. 5.11), так как она перпендикулярна горизонтали Плоскость в начертательной геометрии с примерамит.е. Плоскость в начертательной геометрии с примерамиОдновременно она еще перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций, т.е. является горизонтально-проецирующей плоскостью.

Следует также отметить, что перпендикулярность горизонтальных следов плоскости общего положения Плоскость в начертательной геометрии с примерами и горизонтально-проецирующей Плоскость в начертательной геометрии с примерами (рис. 5.12) соответствует взаимной перпендикулярности этих плоскостей.

Это легко доказать, если попытаться провести прямую, принадлежащую плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами перпендикулярно плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами Такой прямой является горизонталь, которая проведена через точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами взятую на следе плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Перпендикулярность фронтальных следов плоскости общего положения и фронтально проецирующей также дает основание утверждать о перпендикулярности этих плоскостей. Доказательство аналогичное.

Однако если одноименные следы двух плоскостей общего положения перпендикулярны между собой, то такие плоскости не перпендикулярны (рис. 5.13), т.к. здесь не соблюдается условие перпендикулярности плоскостей. Невозможно провести прямую, принадлежащую одной плоскости, например, Плоскость в начертательной геометрии с примерами и перпендикулярно ко второй плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами Если взять в плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами горизонтальную проекцию прямой и провести ее перпендикулярно горизонтальному следу Плоскость в начертательной геометрии с примерами то это будет горизонтальная проекция горизонтали, а фронтальная проекция горизонтали должна быть проведена параллельно оси  Плоскость в начертательной геометрии с примерами т.е. не перпендикулярно Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Взаимно перпендикулярные прямые

Как известно (см. раздел 4.2), легко построить прямой угол между прямой общего положения и прямой уровня (фронталью, горизонталью).

Чтобы построить две взаимно перпендикулярные прямые общего положения, необходимо предварительно выполнить дополнительные построения, т.к. прямой угол между такими прямыми проецируется на плоскости проекций с искажением.

Пусть требуется из точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами (рис. 5.14) провести перпендикуляр к прямой общего положения Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Для решения задачи необходимо выполнить следующее:

Для этого нужно заключить прямую Плоскость в начертательной геометрии с примерами в проецирующую плоскость, например, горизонтально-проецирующую плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами (след Плоскость в начертательной геометрии с примерами и найти линию их пересечения (12). На этой линии находится точка Плоскость в начертательной геометрии с примерами пересечения прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами с плоскостью Плоскость в начертательной геометрии с примерами Соединив точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами получим искомый отрезок Плоскость в начертательной геометрии с примерами перпендикулярный прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами так как он находится в плоскости, перпендикулярной прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами

На рис. 5.15 приведено решение задачи на проведение через точку Плоскость в начертательной геометрии с примерамипрямой линии, перпендикулярной прямой общего положения Плоскость в начертательной геометрии с примерами Здесь в качестве плоскости, перпендикулярной прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами проведена плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами заданная следами Плоскость в начертательной геометрии с примерами Для ее построения применена фронталь Плоскость в начертательной геометрии с примерами проведенная через точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами и перпендикулярно прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерамиПлоскость в начертательной геометрии с примерами Определив горизонтальный след фронтали Плоскость в начертательной геометрии с примерами проводим через него горизонтальный след плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами перпендикулярно Плоскость в начертательной геометрии с примерами Фронтальный след Плоскость в начертательной геометрии с примерами проводим перпендикулярно Плоскость в начертательной геометрии с примерами Определив линию пересечения Плоскость в начертательной геометрии с примерами Плоскость в начертательной геометрии с примерами двух плоскостей Плоскость в начертательной геометрии с примерами находим точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами пересечения прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами с плоскостью Плоскость в начертательной геометрии с примерами Отрезок Плоскость в начертательной геометрии с примерами является перпендикуляром к прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Метрические задачи на определение расстояний

Рассмотрим решение задач на определение расстояний от точки до плоскости и до прямой линии общего положения. Пусть требуется определить расстояние от точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами до плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами расположенной перпендикулярно горизонтальной плоскости проекций (рис. 5.16).

Из точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами проводим перпендикуляр к плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами Горизонтальная проекция перпендикуляра будет перпендикулярна горизонтальному следу Плоскость в начертательной геометрии с примерами а фронтальная проекция перпендикуляра будет перпендикулярна фронтальному следу Плоскость в начертательной геометрии с примерами Расстояние от точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами до плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами определится проекциями Плоскость в начертательной геометрии с примерами Сначала определим точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами которая находится на пересечении перпендикуляра и горизонтального следа Плоскость в начертательной геометрии с примерами Фронтальная проекция точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами находится по линии связи.

При определении расстояния от точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами до плоскости общего положения Плоскость в начертательной геометрии с примерамизаданной следами (рис. 5.17), необходимо:

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Отрезок Плоскость в начертательной геометрии с примерами есть расстояние от точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами до плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами

На рис. 5.18 показано определение расстояния от точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами до плоскости, заданной параллельными прямыми Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Чтобы провести из точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами перпендикуляр к плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примераминеобходимо в первую очередь в плоскости провести фронталь Плоскость в начертательной геометрии с примерами и горизонталь Плоскость в начертательной геометрии с примерами Фронтальная проекция перпендикуляра проведена из точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами перпендикулярно Плоскость в начертательной геометрии с примерами а горизонтальная – из точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами перпендикулярно Плоскость в начертательной геометрии с примерами Точка пересечения Плоскость в начертательной геометрии с примерами перпендикуляра с плоскостью Плоскость в начертательной геометрии с примерами найдена при помощи фронтально-проецирующей плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами (фронтальный след Плоскость в начертательной геометрии с примерами Истинная величина расстояния Плоскость в начертательной геометрии с примерами определена путем построения прямоугольного треугольника Плоскость в начертательной геометрии с примерами

При определении расстояния от точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами до прямой общего положения Плоскость в начертательной геометрии с примерами (см. раздел 5.3, рис. 5.14) из точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами проведена плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами перпендикулярная прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами Затем найдена точка пересечения Плоскость в начертательной геометрии с примерами прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами с заданной плоскостью. Соединив точки  получим проекцию расстояния от точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами до прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами Для определения истинной величины расстояния от точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами до прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами необходимо построить на одной из проекций, Плоскость в начертательной геометрии с примерами прямоугольный треугольник.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в проекциях с числовыми отметками

В проекциях с числовыми отметками плоскость может быть задана:

  1. тремя точками, не лежащими на одной прямой (рис. 13.7, а);
  2. прямой и точкой, не лежащей на прямой (см. рис. 13.7, б);
  3. двумя параллельными прямыми (см. рис. 13.7, в);
  4. двумя пересекающимися прямыми (см. рис. 13.7, г);

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

5) масштабом уклона плоскости (рис. 13.8, а и б).

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Задание плоскости масштабом уклона является наиболее наглядным и удобным.

Масштабом уклона плоскости называется градуированная проекция линии наибольшего наклона плоскости.

На рис. 13.8, а изображена плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами с горизонталями Плоскость в начертательной геометрии с примерами отстоящими друг от друга по высоте на расстоянии 1м, и линией наибольшего наклона Плоскость в начертательной геометрии с примерами перпендикулярной этим горизонталям. Горизонтали и линия наибольшего наклона спроецированы на плоскость. Проекция линии наибольшего наклона изображается двумя параллельными прямыми (тонкой и толстой), и вдоль этой проекции со стороны тонкой линии указываются отметки горизонталей в сторону подъема плоскости. Это и есть масштаб уклона плоскости, обозначается он Плоскость в начертательной геометрии с примерами Углом наклона (падения) плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами называется угол наклона этой плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами к плоскости проекций Плоскость в начертательной геометрии с примерами (рис. 13.9, а).

Иногда необходимо определить положение плоскости относительно меридиана Земли. Для этой цели вводятся понятия: направление простирания плоскости и угол простирания плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами

За направление простирания плоскости принимают правое направление горизонталей, если смотреть в сторону возрастания отметок.

Угол простирания плоскости – это угол между направлением меридиана и направлением простирания плоскости. Угол отсчитывают от северного конца меридиана против часовой стрелки до направления простирания (см. рис. 13.9, б).

Угол простирания плоскости и ее уклон определяют положение плоскости относительно сторон света.
Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Прямая в плоскости

В проекциях с числовыми отметками при проектировании инженерных сооружений появляется необходимость решения некоторых вспомогательных задач.

Рассмотрим способы решения этих задач на конкретных примерах.

На рис. 13.10 показано построение произвольной прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами в плоскости, заданной масштабом уклона Плоскость в начертательной геометрии с примерами Задача имеет множество решений. В плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами выбирают две произвольные точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами принадлежащие горизонталям плоскости, имеющие соответственно отметки 3 и 6. Соединив точки Плоскость в начертательной геометрии с примерамиполучим прямую Плоскость в начертательной геометрии с примерами принадлежащую плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами

На рис. 13.11 показано построение произвольной плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами, проходящей через прямую Плоскость в начертательной геометрии с примерами Эта задача также имеет множество решений. Градуируем прямую Плоскость в начертательной геометрии с примерами и через полученные точки 11, 12 и 13 проводим горизонтали плоскости произвольного направления, отметки которых соответствуют отметкам точек прямой.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

На рис. 13.12, а показано наглядное изображение плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами с заданным уклоном, проходящей через прямую Плоскость в начертательной геометрии с примерами общего положения Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Построение выполняем в следующем порядке:

  1. строим прямой круговой конус с вершиной в произвольной точке В на прямой, образующие которого имеют уклон Плоскость в начертательной геометрии с примерами равный заданному уклону плоскости;
  2. горизонтали искомой плоскости будут касательными к одноименным горизонталям конуса;
  3. образующая касания конуса является линией наибольшего наклона искомой плоскости, а ее горизонтальная проекция – масштабом уклона искомой плоскости.

На рис.13.12, б дано построение плоскости с заданным уклоном Плоскость в начертательной геометрии с примерамипроходящей через прямую Плоскость в начертательной геометрии с примерами общего положения Построение выполняем в следующем порядке:

1) находим интервал Плоскость в начертательной геометрии с примерами плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами соответствующий уклону плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами

2) проводим горизонтали конуса – концентрические окружности на расстоянии интервала Плоскость в начертательной геометрии с примерами друг от друга (радиус основания конуса равен интервалу).

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

3) градуируем прямую Плоскость в начертательной геометрии с примерами и проводим через полученные точки прямой касательные к одноименным горизонталям конуса. Эти касательные и будут горизонталями искомой плоскости;

4) задача имеет два решения, так как через каждую точку прямой можно провести две различные касательные к окружности.

Взаимное положение двух плоскостей

Если две плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами пересекаются, то для построения линии их пересечения необходимо найти точки пересечения двух пар одноименных горизонталей этих плоскостей (рис. 13.13).

На рис. 13. 14 дано построение линии пересечения двух плоскостей Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерамизаданных масштабом уклонов, где Плоскость в начертательной геометрии с примерами – линия их пересечения.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Если две плоскости параллельны, то в проекциях с числовыми отметками масштабы уклонов их будут параллельны, интервалы равны, отметки возрастают в одну сторону (рис. 13.15).
Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Взаимное положение прямой линии и плоскости

На рис. 13.16 дано наглядное изображение точки пересечения прямой с плоскостью. Для определения точки пересечения прямой с плоскостью необходимо:

  1. через заданную прямую Плоскость в начертательной геометрии с примерами провести произвольную вспомогательную плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами
  2. найти линию пересечения Плоскость в начертательной геометрии с примерами заданной Плоскость в начертательной геометрии с примерами и вспомогательной Плоскость в начертательной геометрии с примерами плоскостей;
  3. определить точку пересечения Плоскость в начертательной геометрии с примерами прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами с линией пересечения Плоскость в начертательной геометрии с примерами так как линия Плоскость в начертательной геометрии с примерами принадлежит плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами то точка Плоскость в начертательной геометрии с примерами – это точка пересечения прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами с плоскостью Плоскость в начертательной геометрии с примерами

На рис. 13.17 прямая Плоскость в начертательной геометрии с примерами пересекает плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами заданную Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Для определения точки пересечения прямой с плоскостью необходимо выполнить следующие построения:

  1. проградуировать прямую Плоскость в начертательной геометрии с примерами
  2. проградуировать сторону Плоскость в начертательной геометрии с примерами треугольника Плоскость в начертательной геометрии с примерами
  3. построить две горизонтали в Плоскость в начертательной геометрии с примерами первую провести через точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами и точку с отметкой 5 на прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами а вторую – через точку с отметкой 4 на прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами параллельно первой горизонтали;
  4. заключить прямую  Плоскость в начертательной геометрии с примерами во вспомогательную плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами Для этого через точки прямой с отметками 4 и 5 проводим горизонтали таким образом, чтобы они пересекали одноименные горизонтали плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами в пределах чертежа. Полученные точки принадлежат линии пересечения Плоскость в начертательной геометрии с примерами двух плоскостей Плоскость в начертательной геометрии с примерами
  5. продолжить линию пересечения Плоскость в начертательной геометрии с примерами до пересечения с прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами Точка Плоскость в начертательной геометрии с примерами является точкой пересечения прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами с плоскостью Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Если прямая перпендикулярна плоскости, то ее проекция перпендикулярна горизонталям плоскости или параллельна масштабу уклона плоскости.

Интервал прямой по величине будет обратен интервалу плоскости, и отметки будут возрастать в разных направлениях.

На рис. 13.18 изображены плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами с горизонталями, масштаб уклона Плоскость в начертательной геометрии с примерами и прямая Плоскость в начертательной геометрии с примерами перпендикулярная плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Известно, что горизонтальная проекция перпендикуляра к плоскости составляет прямой угол с одноименными проекциями горизонталей этой плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Рассмотрим прямоугольный треугольник Плоскость в начертательной геометрии с примерами высота которого, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, равна 1 м. Отрезки перпендикуляра Плоскость в начертательной геометрии с примерами и линии наибольшего наклона плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами являются катетами треугольника Плоскость в начертательной геометрии с примерами Разность отметок концов каждого катета равна единице.

Из чертежа 13.18 видно, что Плоскость в начертательной геометрии с примерами – интервал перпендикуляра к плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами – интервал плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами

На рис. 13.19 дан пример определения расстояния от точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами до плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерамизаданной масштабом уклона.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Построения необходимо выполнять в следующей последовательности:

1. Из точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами опускаем перпендикуляр на плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами т.е. проводим через точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами прямую, параллельную масштабу уклона Плоскость в начертательной геометрии с примерами

2. Градуируем проекцию перпендикуляра. Для этого определим интервал перпендикуляра по формуле Плоскость в начертательной геометрии с примерами – интервал плоскости, Плоскость в начертательной геометрии с примерами – интервал прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами перпендикулярной плоскости.

Интервал перпендикуляра можно определить другим способом с помощью прямоугольного треугольника. Для этого в любом месте чертежа возьмем произвольную точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами и через нее проведем отрезок Плоскость в начертательной геометрии с примерами равный единице линейного масштаба. Отложим отрезок Плоскость в начертательной геометрии с примерами равный интервалу линии наклона плоскости на перпендикуляре к прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами соединим точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами и Плоскость в начертательной геометрии с примерами Проведем прямую Плоскость в начертательной геометрии с примерами перпендикулярную Плоскость в начертательной геометрии с примерами и пересекающуюся с прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами в точке Плоскость в начертательной геометрии с примерами Отрезок Плоскость в начертательной геометрии с примерами равен интервалу перпендикуляра. Откладываем от точки Плоскость в начертательной геометрии с примерами вверх и вниз на прямой отрезки, равные интервалу перпендикуляра, таким образом, чтобы отметки прямой возрастали в сторону, противоположную направлению возрастания отметок масштаба уклона.

3. Проведем через перпендикуляр вспомогательную плоскость, изобразив ее горизонталями Плоскость в начертательной геометрии с примерами

4. Строим линию Плоскость в начертательной геометрии с примерами пересечения двух плоскостей (одноименные горизонтали двух плоскостей будут пересекаться).

5. Находим точку встречи Плоскость в начертательной геометрии с примерами перпендикуляра с плоскостью. Отрезок Плоскость в начертательной геометрии с примерамиявляется проекцией некоторого расстояния, натуральная величина которого определена с помощью прямоугольного треугольника Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Проекции тел и поверхностей

Проекции с числовыми отметками позволяют судить о форме тел по одной горизонтальной проекции и высотным отметкам, указывающим характерные точки поверхности

Многогранники задаются проекциями своих ребер с указанием отметок их вершин (рис. 14.1, а и б).

Если тела ограничены кривыми поверхностями, то они задаются проекциями горизонтальных сечений, которые являются линиями пересечения поверхности данного тела плоскостями, параллельными плоскости По и отстоящими друг от друга на расстоянии, которое называется высотой сечения и может быть равно 1 м, 5 м, 10 м и т.д.(рис. 14.2, а и б).

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Земная (топографическая) поверхность – это поверхность случайного вида, образование которой не описывается математическими законами.

Топографическая поверхность изображается проекциями горизонталей, которые представляют собой линии пересечения земной поверхности плоскостями уровня и сопровождаются отметками, указывающими высоту сечения (рис. 14.3, а и б).
Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Пересечение поверхности плоскостью

Линией пересечения любой поверхности плоскостью называется линия, соединяющая точки пересечения их горизонталей с одинаковыми отметками.

Сечение топографической поверхности вертикальной плоскостью называется профилем

На рис. 14.4, а топографическая поверхность задана горизонталями (17, 1S, 19, 20), плоскость – горизонтальным следом, совпадающим с направлением Плоскость в начертательной геометрии с примерами В точках пересечения прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами с горизонталями поверхности восстанавливаем перпендикуляры, на которых откладываем отметки точек и соединяем их плавной линией. Профиль можно строить совмещенным с планом, можно вынести за пределы чертежа (см. рис. 14.4).

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

На рис. 14.5 дано построение профиля по линии Плоскость в начертательной геометрии с примерами многогранной поверхности. Так как каждая грань поверхности является плоскостью, то достаточно спроецировать две точки с каждой грани, чтобы получить линию пересечения этой грани плоскостью.

На рис 14.6 топографическая поверхность, заданная горизонталями 11 – 15, пересекается произвольной плоскостью, заданной масштабом уклона Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Изображаем плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами горизонталями, перпендикулярными масштабу уклона Плоскость в начертательной геометрии с примерами находим точки пересечения одноименных горизонталей. Соединяем плавной линией полученные точки. Линия Плоскость в начертательной геометрии с примерами является линией пересечения поверхности плоскостью.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Пересечение прямой линии с поверхностью

Чтобы построить точку пересечения прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами с поверхностью, необходимо заключить прямую в плоскость общего положения (рис. 14.7). Для этого градуируем прямую Плоскость в начертательной геометрии с примерами и через точки 8, 9,10 и 11 проводим в произвольном направлении горизонтали, которыми задаем плоскость. Точки пересечения горизонталей с одинаковыми отметками соединяем плавной кривой. Полученная линия встречается с заданной прямой в искомой точке Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Для нахождения точки пересечения прямой с поверхностью можно использовать другой способ. На рис. 14.8 дана прямая Плоскость в начертательной геометрии с примерами пересекающая топографическую поверхность. Все построения выполняем в следующем порядке:

  1. заключаем прямую в вертикальную плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами
  2. строим профиль топографической поверхности;
  3. спроецировав прямую на вспомогательную вертикальную плоскость, отмечаем фронтальные проекции точек пересечения прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами с профилем топографической поверхности.

Отметки точек определяем по их фронтальным проекциям Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Примеры решения инженерных задач в проекциях с числовыми отметками

При проектировании различных инженерных земляных сооружений, таких как строительные площадки, железные и автомобильные дороги и пр., приходится строить их откосы и линии пересечения этих откосов.

Откосами называются плоскости и поверхности, которые ограничивают строительную площадку со всех сторон и соединяют ее с поверхностью местности.

В том случае, когда уровень строительной площадки выше уровня поверхности местности, площадка выполняется в виде насыпи, а когда ниже, то в виде выемки. Углы наклона (уклона) откосов задаются при проектировании сооружения и зависят от типа грунта.

Пример 1.

Построить откосы строительной площадки и определить линии их пересечения

На рис. 14.9 показан план строительной площадки, ограниченной контуром Плоскость в начертательной геометрии с примерами Отметка уровня площадки +10 м Отметка горизонтальной плоскости местности, на которой выполняется площадка, равна +7 м.

Площадка ограничена отрезками прямых Плоскость в начертательной геометрии с примерами и дугой окружности Плоскость в начертательной геометрии с примерами центр которой находится в точке Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Проектирование откосов площадки заключается в проведении плоскостей с заданным уклоном Плоскость в начертательной геометрии с примерами через горизонтальные отрезки прямых и поверхность прямого кругового конуса, заданного горизонталью (дуга Плоскость в начертательной геометрии с примерами с отметкой +10 м) нуклоном образующей Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Интервалы плоскостей Плоскость в начертательной геометрии с примерами равны Плоскость в начертательной геометрии с примерами поэтому проводим горизонтали параллельно отрезкам Плоскость в начертательной геометрии с примерами на расстоянии, равном одной единице масштаба. Интервалы плоскостей Плоскость в начертательной геометрии с примерами и конической поверхности равны Плоскость в начертательной геометрии с примерами поэтому горизонтали плоскостей Плоскость в начертательной геометрии с примерами и горизонтали конуса, представляющие собой окружности с центром Плоскость в начертательной геометрии с примерами проводим с интервалом, равным полутора единицам масштаба. Для определения линии пересечения откосов находим точки пересечения горизонталей с одинаковыми отметками. Плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами пересекаются по прямым Плоскость в начертательной геометрии с примерами соответственно. Отрезок прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами касается дуги окружности Плоскость в начертательной геометрии с примерами поэтому плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами проведенная через этот отрезок, касается поверхности конуса, так как плоскость и коническая поверхность имеют одинаковые уклоны Плоскость в начертательной геометрии с примерами – линия касания плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами конуса).

Плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами в отличие от плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами не касается конуса, а пересекает его поверхность по кривой линии Плоскость в начертательной геометрии с примерами т.к. плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами проводится через прямую Плоскость в начертательной геометрии с примерами пересекающую конус. Для определения линии пересечения конической поверхности плоскостью находим точки пересечения их горизонталей с одинаковыми отметками.

Пример 2.

Построить линии пересечения откосов горизонтальной площадки с отметкой кромки +20 м и дороги, соединяющей площадку с местностью (рис. 14.10).

Уклоны откосов площадки равны Плоскость в начертательной геометрии с примерами уклон дороги – Плоскость в начертательной геометрии с примерами Отметка горизонтальной местности равна +17 м. Площадка выполняется в виде насыпи.

Из рис. 14.10 видно, что дорога, соединяющая площадку с местностью, является участком прямолинейной наклонной дороги.

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Кромки дороги Плоскость в начертательной геометрии с примерами не являются горизонталями, поэтому горизонтали откоса на этом участке не параллельны им.

Решение задачи сводится к проведению плоскости заданного уклона Плоскость в начертательной геометрии с примерами через наклонную прямую Плоскость в начертательной геометрии с примерами За вершину прямого кругового конуса с вертикальной осью примем точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами Основание конуса расположено в горизонтальной плоскости с отметкой 17.

Радиус основания (интервал) этого конуса определяется по формуле: 

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Поэтому проекция горизонтали 19, проходящей через точку Плоскость в начертательной геометрии с примерами коснется душ окружности, радиус которой равен двум единицам масштаба.

Остальные горизонтали этого откоса (плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами проводим через точки прямой Плоскость в начертательной геометрии с примерами параллельно горизонтали с отметкой 19. Аналогично строим откос (плоскость Плоскость в начертательной геометрии с примерами через прямую Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Горизонтали откоса (плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами проводим с интервалом Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Линию пересечения откоса площадки (плоскости Плоскость в начертательной геометрии с примерами с откосами дороги (плоскостями Плоскость в начертательной геометрии с примерами определяем по точкам пересечения их горизонталей с одинаковыми отметками Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Пример 3.

Построить границы земляных работ при проектировании строительной площадки с примыкающим к ней со стороны насыпи прямолинейным участком дороги на топографической поверхности.

На рис. 14.11 дана строительная площадка с отметкой Плоскость в начертательной геометрии с примерами на заданной топографической поверхности Уклоны откосов площадки равны уклон выемки Плоскость в начертательной геометрии с примерами уклон насыпи Плоскость в начертательной геометрии с примерами а уклон дороги Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Плоскость в начертательной геометрии с примерами

Для определения границы земляных работ необходимо выполнить следующие построения:

1. Определить границы выемки и насыпи на пересечении 42-ой горизонтали топографической поверхности с кромками площадки, имеющими отметку 42. Точки пересечения называются точками нулевых работ.

2. Провести горизонтали откосов выемки н насыпи с интервалами Плоскость в начертательной геометрии с примерами (плоскости откосов выемки и насыпи задать масштабами уклонов Плоскость в начертательной геометрии с примерами

3. Провести градуирование бровок дороги (42 -39).

Для проведения горизонталей откосов, проходящих через бровки дороги, необходимо провести вспомогательные конусы с радиусами оснований Плоскость в начертательной геометрии с примерами т.к. дорога расположена со стороны насыпи (плоскости откосов насыпи задать масштабами уклонов Плоскость в начертательной геометрии с примерами

4. Построить линии пересечения соседних откосов как точки пересечения горизонталей откосов с одинаковыми отметками.

5. Построить границы земляных работ как линии пересечения откосов выемки и насыпи с топографической поверхностью. Эти линии проходят через точки пересечения горизонталей откосов н горизонталей топографической поверхности с одинаковыми отметками.

  • Поверхности
  • Изображения и обозначения на чертежах
  • Отображение пространственных объектов на плоскость
  • Моделирование линии на эпюре Монжа
  • Методы проецирования
  • Образование проекций
  • Точка и прямая
  • Прямая линия

Начертательная геометрия: конспект лекций.

4. Горизонтали и фронтали плоскости.

Среди прямых, которые лежат в некоторой плоскости, можно выделить два класса прямых, играющих большую роль при решении всевозможных задач. Это прямые, которые называют горизонталями и фронталями.

Горизонталь плоскости Р (рис. 41) – прямая, которая лежит в этой плоскости и параллельна горизонтальной плоскости. Горизонталь как прямая, параллельная горизонтальной плоскости, имеет фронтальную проекцию ѓ, параллельную оси х.

Три прямые – горизонталь Г, ее горизонтальная проекция г и горизонтальный след Рh плоскости Р – параллельны (рис. 42).

Действительно, горизонталь является прямой, параллельной горизонтальной плоскости, и поэтому не имеет горизонтального следа Рh, лежащего с ней в одной плоскости. При этом горизонталь Г не может пересечь свою горизонтальную проекцию г. В противном случае в этой точке пересечения она встречала бы горизонтальную плоскость, что противоречит определению, т. е. все три прямые Г, г и Рh параллельны.

Любая из плоскостей имеет множество горизонталей. Все горизонтали этой плоскости параллельны друг другу вследствие того, что все они параллельны прямой Рh.

Фронталь плоскости Р – прямая, которая лежит в этой плоскости и параллельна фронтальной плоскости (рис. 43).

Фронталь является прямой, параллельной фронтальной плоскости, и ее горизонтальная проекция ф параллельна оси х.

Фронталь Ф, ее фронтальная проекция ф́ и фронтальный след Рv взаимно параллельны. У каждой плоскости есть бесчисленное множество фронталей. Все фронтали данной плоскости параллельны, за исключением плоскости, параллельной фронтальной плоскости.

Фронталь плоскости

Фронталь плоскости – одна из главных линий плоскости.

На рисунке показаны: фронталь плоскости αυ, гризонталь h плоскости α, профильная прямая ω плоскости α, задание линий уровня на эпюре.

Главными линиями плоскости называют: 1. Прямые, принадлежащие плоскости и параллельные какой-либо плоскости проекции; 2. Прямые принадлежащие плоскости и перпендикулярные к какой-либо линии, отмеченной в пункте 1.

Прямые, параллельные плоскости проекции (1), принадлежат плоскости уровня поэтому их называют также прямыми (или линиями) уровня. Линии уровня подразделяют на три вида: а) В случае когда υα ^ υV, то прямая υ представляет собой фронталь плоскости α; б) Если hα ^ h║H , то прямую h называют горизонталь плоскости α; в) В случае когда ωα ^ ωW, то прямую ω называют профильная прямая плоскости α.

Наименование линии Горизонтальная проекция Фронтальная проекция Профильная проекция
Горизонталь ║αH ║оси x ║оси y
Фронталь ║оси x ║αV ║оси z
Профильная прямая ║оси y ║оси z ║αW

В плоскости можно провести множество фронталей

по фронталям плоскости можно построить следы плоскости, то есть перейти от какого то способа задания плоскости к заданию следами. И наоборот от задания плоскости следами, по фронталям плоскости можно перейти к другим способам задания той же самой плоскости.

построить фронталь треугольника ABC

чтобы построить фронталь плоскости выраженной треугольником ABC необходимо: – построить горизонтальную проекцию f` искомой фронтали, причем f` ‖ x, проводим из вершины A треугольника, достигая этим цели наименьшим количеством построений; – в пересечении f` с B`C` противолежащей стороной треугольника отмечаем точку 1`; – находим 1″ в пересечении ее линии проекционной связи со стороной B`C`; – находим f” искомой фронтали, соединив прямой линией точки A” и 1″.

Как построить фронталь треугольника

Начертательная геометрия: конспект лекций.

4. Горизонтали и фронтали плоскости.

Среди прямых, которые лежат в некоторой плоскости, можно выделить два класса прямых, играющих большую роль при решении всевозможных задач. Это прямые, которые называют горизонталями и фронталями.

Горизонталь плоскости Р (рис. 41) – прямая, которая лежит в этой плоскости и параллельна горизонтальной плоскости. Горизонталь как прямая, параллельная горизонтальной плоскости, имеет фронтальную проекцию ѓ, параллельную оси х.

Три прямые – горизонталь Г, ее горизонтальная проекция г и горизонтальный след Рh плоскости Р – параллельны (рис. 42).

Действительно, горизонталь является прямой, параллельной горизонтальной плоскости, и поэтому не имеет горизонтального следа Рh, лежащего с ней в одной плоскости. При этом горизонталь Г не может пересечь свою горизонтальную проекцию г. В противном случае в этой точке пересечения она встречала бы горизонтальную плоскость, что противоречит определению, т. е. все три прямые Г, г и Рh параллельны.

Любая из плоскостей имеет множество горизонталей. Все горизонтали этой плоскости параллельны друг другу вследствие того, что все они параллельны прямой Рh.

Фронталь плоскости Р – прямая, которая лежит в этой плоскости и параллельна фронтальной плоскости (рис. 43).

Фронталь является прямой, параллельной фронтальной плоскости, и ее горизонтальная проекция ф параллельна оси х.

Фронталь Ф, ее фронтальная проекция ф́ и фронтальный след Рv взаимно параллельны. У каждой плоскости есть бесчисленное множество фронталей. Все фронтали данной плоскости параллельны, за исключением плоскости, параллельной фронтальной плоскости.

Фронталь плоскости

Фронталь плоскости — одна из главных линий плоскости.

На рисунке показаны: фронталь плоскости αυ, гризонталь h плоскости α, профильная прямая ω плоскости α, задание линий уровня на эпюре.

Главными линиями плоскости называют: 1. Прямые, принадлежащие плоскости и параллельные какой-либо плоскости проекции; 2. Прямые принадлежащие плоскости и перпендикулярные к какой-либо линии, отмеченной в пункте 1.

Прямые, параллельные плоскости проекции (1), принадлежат плоскости уровня поэтому их называют также прямыми (или линиями) уровня. Линии уровня подразделяют на три вида: а) В случае когда υα ^ υV, то прямая υ представляет собой фронталь плоскости α; б) Если hα ^ h║H , то прямую h называют горизонталь плоскости α; в) В случае когда ωα ^ ωW, то прямую ω называют профильная прямая плоскости α.

Наименование линии Горизонтальная проекция Фронтальная проекция Профильная проекция
Горизонталь ║αH ║оси x ║оси y
Фронталь ║оси x ║αV ║оси z
Профильная прямая ║оси y ║оси z ║αW

В плоскости можно провести множество фронталей

по фронталям плоскости можно построить следы плоскости, то есть перейти от какого то способа задания плоскости к заданию следами. И наоборот от задания плоскости следами, по фронталям плоскости можно перейти к другим способам задания той же самой плоскости.

построить фронталь треугольника ABC

чтобы построить фронталь плоскости выраженной треугольником ABC необходимо: — построить горизонтальную проекцию f` искомой фронтали, причем f` ‖ x, проводим из вершины A треугольника, достигая этим цели наименьшим количеством построений; — в пересечении f` с B`C` противолежащей стороной треугольника отмечаем точку 1`; — находим 1″ в пересечении ее линии проекционной связи со стороной B`C`; — находим f» искомой фронтали, соединив прямой линией точки A» и 1″.

Как построить фронталь треугольника

Плоскостью называется поверхность, образуемая движением прямой линии, которая движется параллельно самой себе по неподвижной направляющей прямой .

Проекции плоскости на комплексном чертеже будут различны в зависимости от того, чем она задана. Как известно из геометрии, плоскость может быть задана: а) тремя точками, не лежащими на одной прямой; б) прямой линией и точкой, лежащей вне этой прямой; в) двумя пересекающимися прямыми; г) двумя параллельными прямыми.

На комплексном чертеже (рис. 99) проекции плоскости также задаются проекциями этих элементов, например, на рис 99, а — проекциями трех точек А, , и С, не лежащих на одной прямой; на рис. 99, б — проекциями прямой ВС и точки А у не лежащей на этой прямой; на рис. 99, в — проекциями двух пересекающихся прямых; на рис. 99, г проекциями двух параллельных прямых линий АВ и CD.

На рис. 100 плоскость задана прямыми линиями, по которым эта плоскость пересекает плоскости проекций. Такие линии называются следами плоскости.
Линия пересечения данной плоскости Р с горизонтальной плоскостью проекций Н называется горизонтальным следом плоскости Р и обозначается Рн.
Линия пересечения плоскости Р с фронтальной плоскостью проекций V называется фронтальным следом этой плоскости и обозначается Рv.

Линия пересечения плоскости Р с профильной плоскостью проекций W называется профильным следом этой плоскости и обозначается Pw.

Следы плоскости пересекаются на осях проекций. Точки пересечения следов плоскости с осями проекций называются точками схода следов. Эти точки обозначаются Рx, Рy и Рz.

Расположение следов плоскости Р на комплексном чертеже по отношению к осям проекций определяет положение самой плоскости по отношению к плоскостям проекций. Например, если плоскость Р имеет фронтальный и профильный следы Pv и Pw, параллельные осям Ох и Оу то такая плоскость параллельна плоскости Н и называется горизонтальной (рис. 101, и). Плоскость Р со следами Рн и Pw , параллельными осям проекций Ох и Oz (рис. 101, называется фронтальной, а плоскость Р со следами Pv и Pн параллельными осям проекций Оу и Oz, — профильной (рис. 101, в).

Горизонтальная, фронтальная и профильная плоскости, перпендикулярные к двум плоскостям проекций, называются плоскостями уровня. Если на комплексном чертеже плоскость уровня задана не следами, а какой-нибудь плоской фигурой, например, треугольником или параллелограммом (рис. 101, г, д, е), то на одну из плоскостей проекций эта фигура проецируется без искажения, а на две другие плоскости проекций — в виде отрезков прямых.

ПРОЕЦИРУЮЩИЕ ПЛОСКОСТИ И ПЛОСКОСТЬ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ

Плоскость, перпендикулярная к плоскости Н (рис. 102, а),называется горизонтально-проецирующей плоскостью. Фронтальный след Pv этой плоскости перпендикулярен оси Ох, а горизонтальный след Рн расположен под углом к оси Ох (комплексный чертеж на рис. 102, а)

Если горизонтально-проецирующая плоскость задана не следами, а какой-либо фигурой, например треугольником АВС (рис. 102, 6), то горизонтальная проекция этой плоскости представляет собой прямую линию, а фронтальная и профильная проекции — искаженный вид треугольника АВС.

Фронтально-проецирующей плоскостью называется плоскость, перпендикулярная к фронтальной плоскости проекций (рис. 102, в).

Горизонтальный след этой плоскости перпендикулярен оси Ох, а фронтальный след расположен под некоторым углом к оси Ох (комплексный чертеж на рис. 102, в).

При задании фронтально-проецирующей плоскости не следами, а, например, параллелограммом ABCD фронтальная проекция такой плоскости представляет собой прямую линию (рис. 102, г), а на горизонтальную и профильную плоскости проекций параллелограмм проецируется с искажением.

Профильно-проецирующей плоскостью называется плоскость, перпендикулярная к плоскости W (рис. 102, д). Следы Pv и Рн этой плоскости параллельны оси Ох.

При задании профильно-проецирующей плоскости не следами, а, например, треугольником АВС (рис. 102, е) профильная проекция такой плоскости представляет собой прямую линию. Плоскости, перпендикулярные двум плоскостям проекций, как было сказано, называются плоскостями уровня.

Если плоскость Р не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций (рис. 102, ж), то такая плоскость называется плоскостью общего положения. Все три


следа Pv, Рн и Pw плоскости Р наклонены к осям проекций.

Если плоскость общего положения задана не следами, а, например, треугольником АВС (рис. 102, з), то этот треугольник проецируется на плоскости H, V и W в искаженном виде.

ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ И ПРЯМОЙ, РАСПОЛОЖЕННЫХ НА ПЛОСКОСТИ

Если прямая расположена на плоскости, то она должна проходить через две какие-либо точки, принадлежащие этой плоскости. Такие две точки могут быть взяты на следах плоскости — одна на горизонтальном, а другая на фронтальном. Так как следы прямой и плоскости находятся на плоскостях проекций и то следы прямой, принадлежащей плоскости, должны быть расположены на одноименных следах этой плоскости (рис. 103, а);например, горизонтальный след Н прямой — на горизонтальном следе плоскости, фронтальный след V прямой — на фронтальном следе Рv плоскости (рис. 103, б).

Для того чтобы на комплексном чертеже плоскости Р, заданной следами, провести какую-либо прямую общего положения, необходимо наметить на следах плоскости точки v’ или считать их следами искомой прямой (точнее, v’ — фронтальной проекцией горизонтального следа прямой).

Опустив перпендикуляры из v’ и на ось проекций х, находим на ней вторые проекции следов прямой: v — горизонтальную проекцию фронтального следа прямой и h’ — фронтальную проекцию горизонтального следа прямой. Соединив одноименные проекции следов, т. е. v’c h и v c h прямыми, получим две проекции прямой линии, расположенной в плоскости общего положения Р.

Очень часто требуется провести на плоскости горизонталь и фронталь, которые называются главными линиями плоскости или линиями уровня. Главные линии помогают решать многие задачи проекционного черчения.

Горизонталь и фронталь имеют в системе двух плоскостей V и Н только по одному следу (например, горизонталь имеет только фронтальный след). Поэтому, зная один след главной линии, проекцию главной линии проводят по заранее известному направлению. Это направление для горизонтали видно из рис. 104, а, где показана плоскость общего положения и горизонталь, лежащая на ней. Из рисунка видно, что горизонтальная проекция горизонтали параллельна горизонтальному следу плоскости.

Таким образом, чтобы на комплексном чертеже плоскости Р провести в этой плоскости какую-либо горизонталь, нужно наметить на следе Рv плоскости точку v’ (рис. 104, б) и считать ее фронтальной проекцией фронтального следа горизонтали. Затем через точку v’ параллельно оси х проводят прямую, которая будет фронтальной проекцией горизонтали.

Опустив перпендикуляр из точки v’ на ось x , получают точку v, которая будет горизонтальной проекцией фронтального следа горизонтали. Прямая, проведенная из точки v параллельно следу PH плоскости, представляет собой горизонтальную проекцию искомой горизонтали. Построение проекции фронтали показано на рис. 104, в и г.

11 с редко требуется провести горизонталь и фронталь на проецирующих плоскостях. Рассмотрим, например, построение горизонтали на фронтально-проецирующей плоскости (рис. 105). На следе плоскости Рv намечаем фронтальную проекцию фронтального следа горизонтали и на оси находим его горизонтальную проекцию v (рис. 105, а). Затем через точку проводим параллельно Рн горизонтальную проекцию горизонтали; фронтальная проекция горизонтали совпадает с точкой v’.

Если плоскость задана не следами, а пересекающимися или параллельными прямыми, то построение проекций горизонтали или фронтали, расположенных в этой плоскости, выполняется следующим образом.

Пусть плоскость задана двумя параллельными прямыми AВ и СD (рис. 105, 6). Для построения горизонтали, лежащей в этой плоскости, проводим параллельно оси х фронтальную проекцию горизонтали и отмечаем точки е’и f’ пересечения фронтальной проекции горизонтали с фронтальными проекциями параллельных прямых, которыми задана плоскость. Через точки е’и f’ проводим вертикальные линии связи до пересечения с ab и cd в точках е и f. Точки е и f соединяем прямой линией, которая и будет горизонтальной проекцией горизонтали.

Если требуется найти следы плоскости, заданной пересекающимися или параллельными прямыми, надо найти следы этих прямых и через полученные точки провести искомые следы плоскости.

Рассмотрим комплексный чертеж параллелограмма ABCD (рис. 106, a),который задает некоторую плоскость X. Отрезок DC расположен в плоскости H, следовательно, его горизонтальная проекция dc является горизонтальным следом плоскости (точнее — горизонтальной проекцией горизонтального следа плоскости).

Чтобы найти фронтальный след этой плоскости, необходимо продолжить горизонтальную проекцию dc прямой DC до пересечения с осью х в точке Рх, через которую должен пройти искомый фронтальный след плоскости.

Второй точкой v’, через которую пройдет искомый фронтальный след плоскости, является фронтальный след прямой АВ (фронтальная проекция фронтального следа). Фронтальную проекцию фронтального следа прямой АВ находим, продолжая горизонтальную проекцию ab прямой АВ до пересечения с осью х в точке v, которая будет горизонтальной проекцией искомого фронтального следа прямой АВ. Фронтальная проекция фронтального следа этой прямой находится на перпендикуляре, восставленном из точки v к оси х, в точке v’ его пересечения с продолжением фронтальной проекции а’в’ прямой АB. Соединив точки Px с v’, находим фронтальный след Pv плоскости.

Пример решения подобной задачи приведен на рис 106, б.

Часто на комплексных чертежах приходится решать такую задачу: по одной из заданных проекций точки, расположенной на заданной плоскости, определить две другие проекции точки. Ход решения задачи следующий.

Через заданную проекцию точки, например фронтальную проекцию n’ точки N, расположенной на плоскости треугольника АВС (рис. 107), проводим одноименную проекцию вспомогательной прямой любого направления, например m’к’.

Горизонталью плоскости называется прямая, принадлежащая этой плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций Н.

Строим другую проекцию mк вспомогательной прямой. Для этого проводим вертикальные линии связи через точки m’ и к’ до пересечения с линиями ас и вс. Из точки n’ проводим линию связи до пересечения с проекцией mк в искомой точке n.

Профильную проекцию n» находим по общим правилам проецирования.

В качестве вспомогательной прямой для упрощения построения чаще используются горизонталь или фронталь.

Чтобы найти какую-либо точку на плоскости Р, например точку А (рис. 108, а и б) надо найти ее проекции а’и а, которые располагаются на одноименных проекциях горизонтали, проходящей через эту точку. Через точку А проведена горизонталь Av’ .

Проводим проекции горизонтали: фронтальную — через v’ параллельно оси х, горизонтальную — через v параллельно следу Рн плоскости Р. На фронтальной проекции горизонтали намечаем фронтальную проекцию а’ искомой точки и, проводя вертикальную линию связи, определяем горизонтальную проекцию а точки А.

Если точка лежит на проецирующей плоскости, то построение ее проекций упрощается. В этом случае одна из проекций точки всегда расположена на следу плоскости (точнее, на его проекции). Например, горизонтальная проекция а точки А, расположенной на горизонтально-проецирующей плоскости Р, находится на горизонтальной проекции горизонтального следа плоскости (рис. 108, в и г)

При заданной фронтальной проекции a’ точки А, лежащей на горизонтально-проецирующей плоскости , найти вторую проекцию этой точки (горизонтальную) можно без вспомогательной прямой, посредством проведения линии связи через а’ до пересечения со следом РН.

Если точка расположена на фронтально-проецирующей плоскости Р (рис. 108, д и е), то ее фронтальная проекция а’ находится на фронтальном следе Хv плоскости Р.

ПРОЕКЦИИ ПЛОСКИХ ФИГУР

Зная построение проекций прямых и точек, расположенных на плоскости, можно построить проекции любой плоской фигуры, например, прямоугольника, треугольника, круга.

Как известно, каждая плоская фигура ограничена отрезками прямых или кривых линий, которые могут быть построены по точкам.

Проекции фигуры, ограниченной прямыми линиями (треугольника и многоугольника), строят по точкам (вершинам). Затем одноименные проекции вершин соединяют прямыми линиями и получают проекции фигур.

Проекции круга или другой криволинейной фигуры строят при помощи нескольких точек, которые берут равномерно по контуру фигуры. Одноименные проекции точек соединяют плавной кривой по лекалу.

Проекции плоской фигуры строят различными способами в зависимости от положения фигуры относительно плоскостей проекций и Наиболее просто построить проекции фигуры, расположенной параллельно плоскостям Н и V; сложнее — при расположении фигуры на проецирующей плоскости или на плоскости общего положения.

Рассмотрим несколько примеров.

Если треугольник АВС расположен на плоскости, параллельной плоскости H (рис. 109, a), то горизонтальная проекция этого треугольника будет его действительным видом, а фронтальная проекция — отрезком прямой, параллельным оси х. Комплексный чертеж треугольника АВС показан на рис. 109, 6. Такой треугольник можно видеть на изображении резьбового резца (рис. 109, в),передняя грань которого треугольная.

Трапеция ABCD расположена на фронтально-проецирующей плоскости (рис. 110, а). Фронтальная проекция трапеции представляет собой отрезок прямой линии, а горизонтальная — трапецию (рис. 110, б)

Задняя грань отрезного резца (рис. 110, в) имеет форму трапеции.

Рассматривая плоскость, параллельную горизонтальной, фронтальной или профильной плоскости проекций (плоскость уровня), можно заметить, что любая фигура, лежащая в этой плоскости, имеет одну из проекций, представляющую собой действительный вид этой фигуры; вторая и третья проекции фигуры совпадают со следами этой плоскости.

Рассматривая проецирующую плоскость, заметим, что любая точка, отрезок прямой или кривой линии, а также фигуры, расположенные на проецирующей плоскости, имеют одну проекцию, расположенную на следе этой плоскости. Например, если круг лежит на фронтально-проецирующей плоскости Р (рис. 111), то фронтальная проекция круга совпадает с фронтальным следом Pv плоскости Р. Две другие проекции круга искажены и представляют собой эллипсы. Большие оси эллипсов равны проекциям диаметра круга 37. Малые оси эллипсов равны проекциям диаметра круга 15, перпендикулярного диаметру 37.

На рис. 111,6 показано колено трубы с двумя фланцами. Горизонтальная проекция контура нижнего фланца, который расположен в горизонтальной плоскости, будет действительным видом окружности. Горизонтальная проекция контура верхнего фланца изобразится в виде эллипса.

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ

Две плоскости могут быть взаимно параллельными или пересекающимися.

Из стереометрии известно, что если две параллельные плоскости пересекают какую-либо третью плоскость, то линии пересечения этих плоскостей параллельны между собой. Исходя из этого положения, можно сделать вывод, что одноименные следы двух параллельных плоскостей Р и Q также параллельны между собой.

Если даны две профильно-проецирующие плоскости Р и К (рис. 112, а), то параллельность их фронтальных и горизонтальных следов на комплексном чертеже в системе V и Н недостаточна для того, чтобы определить, параллельны эти плоскости или нет. Для этого необходимо построить их профильные следы в системе V, Н и W (рис. 112, б). Плоскости Р и K будут параллельны только в том случае, если параллельны их профильные следы Pw и Kw.

Одноименные следы пересекающихся плоскостей Р и Q (рис. 112, в) пересекаются в точках V и H, которые принадлежат обеим плоскостям, т. е. линии их пересечения. Так как эти точки расположены на плоскостях проекций, то, следовательно, они являются также следами линии пересечения плоскостей. Чтобы на комплексном чертеже построить проекции линии пересечения двух плоскостей Р и Q, заданных следами Pv, Рн и Qv,Qh, необходимо отметить точки пересечения одноименных следов плоскостей, т. е. точки v’ и h (рис. 112, г); точка v’ — фронтальная проекция фронтального следа искомой линии пересечения плоскостей Р и Q, h — горизонтальная проекция горизонтального следа этой же прямой. Опуская перпендикуляры из точек v’ и h на ось х, находим точки v и h’. Соединив прямыми одноименные проекции следов, т. е. точки v’ и h’, v и h’ получим проекции линии пересечения плоскостей Р и Q.

ПРЯМАЯ, ПРИНАДЛЕЖАЩАЯ ПЛОСКОСТИ

Для этого фронтальную проекцию отрезка m’n’ продолжаем до пересечения с отрезками a’b’ и c’d’ (проекциями сторон треугольника АВС), получаем точки (рис. 113, б).

Из точек е’к’ проводим линии связи на горизонтальную проекцию до пересечения с отрезками ab и ca , получаем точки еk. Продолжим горизонтальную проекцию mn отрезка прямой MN до пересечения с проекциями сторон bа и са, если точки пересечения совпадут с ранее полученными точками e и k то прямая MN принадлежит плоскости треугольника.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПЛОСКОСТЬЮ

Если прямая АВ пересекается с плоскостью Р, то на комплексном чертеже точка их пересечения определяется следующим образом.

Через прямую А В проводят любую вспомогательную плоскость Q. Для упрощения построений плоскость Q обычно берется проецирующей (рис. 114, a). В данном случае проведена вспомогательная горизонтально-проецирующая плоскость Q. Через горизонтальную проекцию аb прямой АВ проводят горизонтальный след QH плоскости Q и продолжают его до пересечения с осью x в точке Qx . Из точки Qx к оси х восставляют перпендикуляр QxQy , который будет фронтальным следом Qv вспомогательной плоскости Q.

Вспомогательная плоскость Q пересекает данную плоскость Р по прямой VH, следы которой лежат на пересечении следов плоскостей Р и Q. Заметив точки пересечения следов Pv и Qv — точку v’ и следов Qн и PH — точку h,опускают из этих точек на ось х перпендикуляры, основания которых — точки v’ и h’ — будут вторыми проекциями следов прямой VH. Соединяя точки v’и h’, v и h, получают фронтальную и горизонтальную проекции линии пересечения плоскостей.

Точка пересечения М заданной прямой AB и найденной прямой VH и будет искомой точкой пересечения прямой АВ с плоскостью Р. Фронтальная проекция m’ этой точки расположена на пересечении проекций a’b’ и v’h’. Горизонтальную проекцию m точки М находят, проводя вертикальную линию связи из точки m’ до пересечения с ab.

Если плоскость задана не следами, а плоской фигурой, например, треугольником (рис. 114, 6), то точку пересечения прямой MN с плоскостью треугольника АВС находят следующим образом.

Через прямую МN проводят вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость . Для этого через точки m’ и n’ проводят фронтальный след плоскости Ру продолжают его до оси x и из точки пересечения следа плоскости Ру с осью х опускают перпендикуляр Рн, который будет горизонтальным следом плоскости Р.

Затем находят линию ED пересечения плоскости Р с плоскостью данного треугольника ABC. Фронтальная проекция e’d’ линии ED совпадает с m’n’. Горизонтальную проекцию ed находят, проводя вертикальные линии связи из точек е’и d’ до встречи с проекциями ab и ас сторон треугольника АВС. Точки e и d соединяют прямой. На пересечении горизонтальной проекции ed линии ED с горизонтальной проекцией прямой MN находят горизонтальную проекцию k искомой точки К. Проведя из точки k вертикальную линяю связи, на ходят фронтальную проекцию k’ Точка К — искомая точка пересечения прямой МК с плоскостью треугольника АВС.

В частном случае прямая может быть перпендикулярна плоскости Р.Из условия перпендикулярности прямой к плоскости следует, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим на этой плоскости (в частности, этими прямыми могут быть следы плоскости). Тогда проекции прямой АВ будут перпендикулярны одноименным следам этой плоскости (рис 115, а) Фронтальная проекция а’b’ перпендикулярна фронтальному следу Ру, а горизонтальная проекция ab перпендикулярна горизонтальному следу Рн плоскости Р.

Если плоскость задана параллельными или пересекающимися прямыми, то проекции прямой, перпендикулярной этой плоскости, будут перпендикулярны горизонтальной проекции горизонтали и фронтальной проекции фронтали, лежащих на плоскости.

Таким образом, если, например, на плоскость, заданную треугольником АВС необходимо опустить перпендикуляр, то построение выполняется следующим образом (рис. 115, б).

На плоскости проводят горизонталь СЕ и фронталь FA. Затем из заданных проекций d и d’ точки D опускают перпендикуляры соответственно на ce и f’a’. Прямая, проведенная из точки D будет перпендикулярна плоскости треугольника АВС.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ

Задачи на построение линии пересечения плоскостей, заданных пересекающимися прямыми, можно решать подобно задаче на пересечение плоскости с прямыми линиями. На рис. 116 показано построение линии пересечения плоскостей, заданных треугольниками АВС и DEF. Прямая MN построена по найденным точкам пересечения сторон DE и EF треугольника DEF с плоскостью треугольника АВС.

Например, чтобы найти точку M, через прямую DF проводят фронтально-проецирующую плоскость Р, которая пересекается с плоскостью треугольника АВС по прямой 12. Через полученные точки 1′ и 2′ проводят вертикальные линии связи до пересечения их с горизонтальными проекциями ав и ас сторон треугольника АВС в точках 1 и 2. На пересечении горизонтальных проекций df и 12 получают горизонтальную проекцию m искомой точки М, которая будет точкой пересечения прямой DF с плоскостью АВС. Затем находят фронтальную проекцию m’ точки M. Точку N пересечения прямой EF с плоскостью АВС находят так же, как и точку М.

Соединив попарно точки m’ и n’, m и n, получают проекции линий пересечения MN плоскостей АВС и DEF.

[spoiler title=”источники:”]

http://ngeo.fxyz.ru/%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8/%D1%84%D1%80%D0%BE%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%8C_%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%81%D0%BA%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8/

http://b4.cooksy.ru/articles/kak-postroit-frontal-treugolnika

[/spoiler]

3.1. Способы задания плоскости на ортогональных чертежах

Положение плоскости в пространстве определяется:

  • тремя точками, не лежащими на одной прямой;
  • прямой и точкой, взятой вне прямой;
  • двумя пересекающимися прямыми;
  • двумя параллельными прямыми;
  • плоской фигурой.

В соответствии с этим на эпюре плоскость может быть задана:

  • проекциями трёх точек, не лежащих на одной прямой (Рисунок 3.1,а);
  • проекциями точки и прямой (Рисунок 3.1,б);
  • проекциями двух пересекающихся прямых (Рисунок 3.1,в);
  • проекциями двух параллельных прямых (Рисунок 3.1,г);
  • плоской фигурой (Рисунок 3.1,д);
  • следами плоскости;
  • линией наибольшего ската плоскости.

Рисунок 3.1 – Способы задания плоскостей

Рисунок 3.1 – Способы задания плоскостей

Плоскость общего положения – это плоскость, которая не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций.

Следом плоскости называется прямая, полученная в результате пересечения заданной плоскости с одной из плоскостей проекций.

Плоскость общего положения может иметь три следа: горизонтальный – απ1, фронтальный – απи профильный – απ3, которые она образует при пересечении с известными плоскостями проекций: горизонтальной π1, фронтальной πи профильной π3 (Рисунок 3.2).

Рисунок 3.2 – Следы плоскости общего положения

Рисунок 3.2 – Следы плоскости общего положения

3.2. Плоскости частного положения

Плоскость частного положения – плоскость, перпендикулярная или параллельная плоскости проекций.

Плоскость, перпендикулярная плоскости проекций, называется проецирующей и на эту плоскость проекций она будет проецироваться в виде прямой линии.

Свойство проецирующей плоскости: все точки, линии, плоские фигуры, принадлежащие проецирующей плоскости, имеют проекции на наклонном следе плоскости (Рисунок 3.3).

Рисунок 3.3 – Фронтально-проецирующая плоскость

Рисунок 3.3 – Фронтально-проецирующая плоскость, которой принадлежат: точки А, В, С; линии АС, АВ, ВС; плоскость треугольника АВС

Фронтально-проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, а).

Горизонтально-проецирующая плоскостьплоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, б).

Профильно-проецирующая плоскость  плоскость, перпендикулярная профильной плоскости проекций.

Плоскости, параллельные плоскостям проекций, называются плоскостями уровня или дважды проецирующими плоскостями.

Фронтальная плоскость уровняплоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, в).

Горизонтальная плоскость уровня плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, г).

Профильная плоскость уровня плоскость, параллельная профильной плоскости проекций (Рисунок 3.4, д).

Рисунок 3.4 – Эпюры плоскостей частного положения

Рисунок 3.4 – Эпюры плоскостей частного положения

3.3. Точка и прямая в плоскости. Принадлежность точки и прямой плоскости

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости (Рисунок 3.5). Прямая принадлежит плоскости, если она имеет с плоскостью хотя бы две общие точки (Рисунок 3.6).

Рисунок 3.5 – Принадлежность точки плоскости

Рисунок 3.5 – Принадлежность точки плоскости

α = m // n ∈ ⇒  α

Рисунок 3.6 – Принадлежность прямой плоскости

Рисунок 3.6 – Принадлежность прямой плоскости

left.begin{array}{l}alpha=mparallel n,\Dinalpha\Cinalpha\end{array}right} Longrightarrow CDinalpha

Упражнение

Дана плоскость, заданная четырехугольником (Рисунок 3.7, а). Необходимо достроить горизонтальную проекцию вершины С.

достроить горизонтальную проекцию плоского четырехугольника

Рисунок 3.7 – Решение задачи

Решение:

  1. ABCD – плоский четырехугольник, задающий плоскость.
  2. Проведём в нём диагонали AC и BD (Рисунок 3.7, б), которые являются пересекающимися прямыми, также задающими ту же плоскость.
  3. Согласно признаку пересекающихся прямых, построим фронтальную проекцию точки пересечения этих прямых — K: A2C2 ∩ B2D2=K2.
  4. Восстановим линию проекционной связи до пересечения с горизонтальной проекцией прямой BD: на проекции диагонали B1D1 строим К1.
  5. Через А1К1 проводим проекцию диагонали А1С1.
  6. Точку С1 получаем, посредством линии проекционной связи до пересечения её с горизонтальной проекцией продолженной диагонали А1К1.

3.4. Главные линии плоскости

В плоскости можно построить бесконечное множество прямых, но есть особые прямые, лежащие в плоскости, называемые главными линиями плоскости (Рисунок 3.8 – 3.11).

Прямой уровня или параллелью плоскости называется прямая, лежащая в данной плоскости и параллельная одной из плоскостей проекций.

Горизонталь или горизонтальная прямая уровня (первая параллель) – это прямая, лежащая в данной плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций (π1) (Рисунок 3.8, а; 3.9).

Фронталь или фронтальная прямая уровня f (вторая параллель) – это прямая лежащая в данной плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций (π2) (Рисунок 3.8, б; 3.10).

Профильная прямая уровня p (третья параллель) – это прямая лежащая в данной плоскости и параллельная профильной плоскости проекций (π3) (Рисунок 3.8, в; 3.11).

Рисунок 3.8 а – Горизонтальная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

Рисунок 3.8 а – Горизонтальная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

Рисунок 3.8 б – Фронтальная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

Рисунок 3.8 б – Фронтальная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

Рисунок 3.8 в – Профильная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

Рисунок 3.9 – Горизонтальная прямая уровня в плоскости, заданной следами

Рисунок 3.9 – Горизонтальная прямая уровня в плоскости, заданной следами

Рисунок 3.10 – Фронтальная  прямая уровня в плоскости, заданной следами

Рисунок 3.10 – Фронтальная  прямая уровня в плоскости, заданной следами

Рисунок 3.11 – Профильная  прямая уровня в плоскости, заданной следами

Рисунок 3.11 – Профильная  прямая уровня в плоскости, заданной следами

3.5. Взаимное положение прямой и плоскости

Прямая по отношению к заданной плоскости может быть параллельной и может с ней иметь общую точку, то есть пересекаться.

3.5.1. Параллельность прямой плоскости

Признак параллельности прямой плоскости: прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, принадлежащей этой плоскости (Рисунок 3.12).

alpha=mcap n\left.begin{array}{l}a_2parallel m_2\a_1parallel m_1\end{array}right} Rightarrow aparallelalpha

Рисунок 3.12 – Параллельность прямой плоскости

Рисунок 3.12 – Параллельность прямой плоскости

3.5.2. Пересечение прямой с плоскостью

Для построения точки пересечения прямой с плоскостью общего положения (Рисунок 3.13), необходимо:

  1. Заключить прямую а во вспомогательную плоскость β (в качестве вспомогательной плоскости следует выбирать плоскости частного положения);
  2. Найти линию пересечения вспомогательной плоскости β с заданной плоскостью α;
  3. Найти точку пересечения заданной прямой а с линией пересечения плоскостей MN.

Рисунок 3.13 – Построение точки встречи прямой с плоскостью

Рисунок 3.13 – Построение точки встречи прямой с плоскостью

Упражнение

Заданы: прямая АВ общего положения, плоскость σ⊥π1. (Рисунок 3.14). Построить точку пересечения прямой АВ с плоскостью σ.

Решение:

    1. Точка К должна принадлежать прямой АВ ⇒ К1А1В и заданной плоскости σ ⇒ К1∈σ, следовательно, К1 находится в точке пересечения проекций А1В1 и σ1;
    2. Плоскость σ – горизонтально-проецирующая, следовательно, горизонтальной проекцией плоскости σ является прямая σ1 (горизонтальный след плоскости);
    3. Фронтальную проекцию точки К находим посредством линии проекционной связи: К2А2В2.
        1.  

Рисунок 3.14 – Пересечение прямой общего положения с плоскостью частного положения

Рисунок 3.14 – Пересечение прямой общего положения с плоскостью частного положения

Упражнение

Заданы:  плоскость σ = ΔАВС – общего положения, прямая EF (Рисунок 3.15).

Требуется построить точку пересечения прямой EF с плоскостью σ.

построить точку пересечения прямой с плоскостью

Рисунок 3.15 – Пересечение прямой с плоскостью

Решение:

  1. Заключим прямую EF во вспомогательную плоскость, в качестве которой воспользуемся горизонтально-проецирующей плоскостью α (Рисунок 3.15, а);
  2. Если α⊥π1, то на плоскость проекций π1 плоскость α проецируется в прямую (горизонтальный след плоскости απили α1), совпадающую с E1F1;
  3. Найдём прямую пересечения (1-2) проецирующей плоскости α с плоскостью σ (решение подобной задачи будет рассмотрено ниже);
  4. Прямая (1-2) и заданная прямая EF лежат в одной плоскости α и пересекаются в точке K.

Алгоритм решения задачи (Рисунок 3.15, б): Через EF проведем вспомогательную плоскость α:

  1. left.begin{array}{l}alpha perp pi_1\alphain EF\end{array}right} Longrightarrow alpha_1in E_1F_1
  2. alphacapsigma=(1-2)left.begin{array}{l}|alpha_1cap A_1C_1=1_1longrightarrow 1_2\|alpha_1cap A_1B_1=2_1longrightarrow 2_2\end{array}right.
  3. (1_2-2_2)cap E_2F_2=K_2\left.begin{array}{l}Kin EF\Kin (1-2)Rightarrow Kinsigma\end{array}right}Longrightarrow K=EFcap (sigma =triangle ABC)

3.6. Определение видимости методом конкурирующих точек

При оценке положения данной прямой, необходимо определить – точка какого участка прямой расположена ближе (дальше) к нам, как к наблюдателям, при взгляде на плоскость проекций π1 или π2.
Точки, которые принадлежат разным объектам, а на одной из плоскостей проекций их проекции совпадают (то есть, две точки проецируются в одну), называются конкурирующими на этой плоскости проекций.
Необходимо отдельно определить видимость на каждой плоскости проекций.
Видимость на π2 (рис. 3.15)
Выберем точки, конкурирующие на π2 – точки 3 и 4. Пусть точка 3∈ВС∈σ, точка 4∈EF.
Чтобы определить видимость точек на плоскости проекций πнадо определить расположение этих точек на горизонтальной плоскости проекций при взгляде на π2.
Направление взгляда на π2 показано стрелкой.
По горизонтальным проекциям точек 3 и 4, при взгляде на π2, видно, что точка 41 располагается ближе к наблюдателю, чем 31.
41E1F1 ⇒ 4∈EF ⇒ на πбудет видима точка 4, лежащая на прямой EF, следовательно, прямая EF на участке рассматриваемых конкурирующих точек расположена перед плоскостью σ и будет видима до точки K – точки пересечения прямой с плоскостью σ.
Видимость на π1.
Для определения видимости выберем точки, конкурирующие на π1 – точки 2 и 5.
Чтобы определить видимость точек на плоскости проекций πнадо определить расположение этих точек на фронтальной плоскости проекций при взгляде на π1.
Направление взгляда на π1 показано стрелкой.
По фронтальным проекциям точек 2 и 5, при взгляде на π1, видно, что точка 22 располагается ближе к наблюдателю, чем 52.
22А2В2 ⇒ 2∈АВ ⇒ на πбудет видима точка 2, лежащая на прямой АВ, следовательно, прямая EF на участке рассматриваемых конкурирующих точек расположена под плоскостью σ и будет невидима до точки K – точки пересечения прямой с плоскостью σ.
Видимой из двух конкурирующих точек будет та, у которой координата «Z» или(и)  «Y» больше.

3.7. Перпендикулярность прямой плоскости

Признак перпендикулярности прямой плоскости: прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости.

Рисунок 3.16 – Задание прямой, перпендикулярной плоскости

Рисунок 3.16 – Задание прямой, перпендикулярной плоскости

Теорема. Если прямая перпендикулярна плоскости, то на эпюре: горизонтальная проекции прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция прямой перпендикулярна фронтальной проекции фронтали (Рисунок 3.16, б)

Теорема доказывается через теорему о проецировании прямого угла в частном случае.

Если плоскость задана следами, то проекции прямой перпендикулярной плоскости перпендикулярны соответствующим следам плоскости (Рисунок 3.16, а).

Пусть прямая p перпендикулярна плоскости σ=ΔАВС  и проходит через точку K.

  1. Построим горизонталь и фронталь в плоскости σ=ΔАВС  : σ=ΔАВС : A-1∈σ; A-1//π1С-2∈σ; С-2//π2.
  2. Восстановим из точки K перпендикуляр к заданной плоскости: p1h1 и p2f2, или p1⊥απ1 и p2⊥απ2.

3.8. Взаимное положение двух плоскостей

3.8.1. Параллельность плоскостей

Две плоскости могут быть параллельными и пересекающимися между собой.

Признак параллельности двух плоскостей: две плоскости взаимно параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Упражнение

Задана плоскость общего положения α=ΔАВС и точка F∉α (Рисунок 3.17).

Через точку F провести плоскость β, параллельную плоскости α.

Рисунок 3.17 – Построение плоскости, параллельной заданной

Рисунок 3.17 – Построение плоскости, параллельной заданной

Решение: В качестве пересекающихся прямых плоскости α возьмем, например, стороны треугольника АВ и ВС.

  1. Через точку F проводим прямую m, параллельную, например, АВ.
  2. Через точку F, или же через любую точку, принадлежащую m,  проводим прямую n, параллельную, например, ВС, причём m∩n=F.
  3. β = m∩n и β//α по определению.

3.8.2. Пересечение плоскостей

Результатом пересечения 2-х плоскостей является прямая. Любая прямая на плоскости или в пространстве может быть однозначно задана двумя точками. Поэтому для того, чтобы построить линию пересечения двух плоскостей, следует найти две точки, общие для обеих плоскостей, после чего соединить их.

Рассмотрим примеры пересечения двух плоскостей при различных способах их задания: следами; тремя точками, не лежащими на одной прямой; параллельными прямыми; пересекающимися прямыми и др.

Упражнение

Две плоскости α и β заданы следами (Рисунок 3.18). Построить линию пересечения плоскостей. Рисунок 3.18 – Пересечение плоскостей общего положения, заданных следами

Рисунок 3.18 – Пересечение плоскостей общего положения, заданных следами

Порядок построения линии пересечения плоскостей:

  1. Найти точку пересечения горизонтальных следов — это точка М (её проекции М и М2, при этом М1, т.к. М – точка частного положения, принадлежащая плоскости π1).
  2. Найти точку пересечения фронтальных следов — это точка N (её проекции Nи N2, при этом N2=N, т.к. N – точка частного положения, принадлежащая плоскости π2).
  3. Построить линию пересечения плоскостей, соединив одноименные проекции полученных точек: М1N1 и М2N2.

МN – линия пересечения плоскостей.

Упражнение

Задана плоскость σ = ΔАВС, плоскость α – горизонтально- проецирующая (α⊥π1) ⇒α1 – горизонтальный след плоскости (Рисунок 3.19). Построить линию пересечения этих плоскостей.

Решение:
Так как плоскость α пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС, то точки пересечения K и L этих сторон с плоскостью α являются общими для обеих заданных плоскостей, что позволит, соединив их, найти искомую линию пересечения.
Точки могут быть найдены как точки пересечения прямых с проецирующей плоскостью: находим горизонтальные проекции точек K и L, то есть K1 и L, на пересечении горизонтального следа (α1) заданной плоскости α с горизонтальными проекциями сторон ΔАВСА1Ви A1C1. После чего посредством линий проекционной связи находим фронтальные проекции этих точек Kи Lна фронтальных проекциях прямых АВ и АС. Соединим одноимённые проекции: K1 и L1Kи L2. Линия пересечения заданных плоскостей построена.

Алгоритм решения задачи:

left.begin{array}{l}ABcapsigma=K\ACcapsigma=L\end{array}right} left.begin{array}{l}Rightarrow A_1B_1capsigma_1=K_1 rightarrow K_2\Rightarrow A_1C_1cap sigma_1=L_1 rightarrow L_2\end{array}right.

KL – линия пересечения ΔАВС и σ (α∩σ = KL).

Рисунок 3.19 – Пересечение плоскостей общего и частного положения

Рисунок 3.19 – Пересечение плоскостей общего и частного положения

Упражнение

Заданы плоскости α  = m//n и плоскость σ = ΔАВС (Рисунок 3.20). Построить линию пересечения заданных плоскостей. Решение:

  1. Чтобы найти точки, общие для обеих заданных плоскостей и задающие линию пересечения плоскостей α и β, необходимо воспользоваться вспомогательными плоскостями частного положения.
  2. В качестве таких плоскостей выберем две вспомогательные плоскости частного положения, например: σ // τ; σ⊥π2; τ⊥π2.
  3. Вновь введённые плоскости пересекаются с каждой из заданных плоскостей α и β по прямым, параллельным друг другу, так как σ // τ:

— результатом пересечения плоскостей α, σ и τ являются прямые (4-5) и (6-7); — результатом пересечения плоскостей β, σ и τ являются прямые (3-2) и (1-8).

  1. Прямые  (4-5) и (3-2) лежат в плоскости σ; точка их пересечения М одновременно лежит в плоскостях σ и β, то есть на прямой пересечения этих плоскостей;
  2. Аналогично находим точку N, общую для плоскостей  σ и β.
  3. Соединив точки M и N, построим прямую пересечения плоскостей σ и β.

Рисунок 3.20 – Пересечение двух плоскостей общего положения

Рисунок 3.20 – Пересечение двух плоскостей общего положения (общий случай)

Алгоритм решения задачи:

left.begin{array}{l}alphacapsigma=(4-5)\betacapsigma=(3-2)\end{array}right}\left.begin{array}{l}alphacaptau=(6-7)\betacaptau=(1-8)\end{array}right}left.begin{array}{l}(4_1-5_1)cap(3_1-2_1)=M_1rightarrow M_2\(6_1-7_1)cap(1_1-8_1)=N_1rightarrow N_2\end{array}right}rightarrow\left.begin{array}{l}M_1N_1\M_2N_2\end{array}right}Rightarrowalphacapbeta=MN

Упражнение

Заданы плоскости α = ΔАВС и β = a//b. Построить линию пересечения заданных плоскостей (Рисунок 3.21).

Рисунок 3.21 Решение задачи на пересечение плоскостей

Рисунок 3.21 Решение задачи на пересечение плоскостей

Решение: Воспользуемся вспомогательными секущими плоскостями частного положения. Введём их так, чтобы сократить количество построений. Например, введём плоскость σ⊥π2, заключив прямую a во вспомогательную плоскость σ (σ∈a). Плоскость σ пересекает плоскость α по прямой (1-2), а σ∩β=а. Следовательно (1-2)∩а=K. Точка К принадлежит обеим плоскостям α и β. Следовательно, точка K, является одной из искомых точек, через которые проходит прямая пересечения заданных плоскостей α и β. Для нахождения второй точки, принадлежащей прямой пересечения α и β, заключим прямую b во вспомогательную плоскость τ⊥π2 (τb). Соединив точки K и L, получим прямую пересечения плоскостей α и β.

3.8.3. Взаимно перпендикулярные плоскости

Плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой.

Упражнение

Задана плоскость σ⊥π2 и прямая общего положения – DE (Рисунок 3.22)

Требуется построить через DE плоскость τ⊥σ.

Решение.

Проведём перпендикуляр CD к плоскости  σ – C2D2⊥σ2 (на основании теоремы о проецировании прямого угла).

Рисунок 3.22 – Построение плоскости, перпендикулярной к заданной плоскости

Рисунок 3.22 – Построение плоскости, перпендикулярной к заданной плоскости

По теореме о проецировании прямого угла C1D1 должна быть параллельна оси проекций. Пересекающиеся прямые CD∩DE задают плоскость τ. Итак, τ⊥σ. Аналогичные рассуждения, в случае плоскости общего положения.

Упражнение

Задана плоскость α = ΔАВС и точка K вне плоскости α. Требуется построить плоскость β⊥α, проходящую через точку K. Алгоритм решения (Рисунок 3.23):

  1. Построим горизонталь h и фронталь f в заданной плоскости α = ΔАВС;
  2. Через точку проведём перпендикуляр b к плоскости α (по теореме о перпендикуляре к плоскости: если прямая перпендикулярна плоскости, то её проекции перпендикулярны к наклонным проекциям горизонтали и фронтали, лежащих в плоскости: b2f2b1h1;
  3. Задаём плоскость β любым способом, например, β = a∩b, таким образом, плоскость, перпендикулярная к заданной, построена: α⊥β.

Рисунок 3.23 – Построение плоскости, перпендикулярной к заданной

Рисунок 3.23 – Построение плоскости, перпендикулярной к заданной ΔАВС

3.9. Задачи для самостоятельного решения

1. Задана плоскость  α = m//n (Рисунок 3.24). Известно, что K∈α.

Постройте фронтальную проекцию точки К.

RIS2_13

Рисунок 3.24

2. Постройте следы прямой, заданной отрезком CB, и определите квадранты, через которые она проходит (Рисунок 3.25).

ris3_14

Рисунок 3.25

3. Постройте проекции квадрата, принадлежащего плоскости α⊥π2, если его диагональ MN //π2 (Рисунок 3.26).

ris2_16

Рисунок 3.26

4. Построить прямоугольник ABCD с большей стороной ВС на прямой m, исходя из условия, что отношение его сторон равно 2 (Рисунок 3.27).

ris3_10

Рисунок 3.27

5. Задана плоскость α=a//b (Рисунок 3.28). Построить плоскость β параллельную плоскости α и удаленную от нее на расстоянии 20 мм.

ris4_7

Рисунок 3.28

6. Задана плоскость α=∆АВС и точка D вне плоскости. Построить через точку D плоскость β⊥α и β⊥π1.

7. Задана плоскость α=∆АВС и точка D вне плоскости. Построить через точку D прямую DE//α и DE//π1.

Добавить комментарий