Как найти фундаментальную матрицу онлайн

С помощью данной математической программы вы можете решить и исследовать систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Программа не только даёт ответ задачи, но и приводит подробное решение с пояснениями шагов решения.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и
экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.
А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее
сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным
решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень
образования в области решаемых задач повышается.

Правила ввода чисел

Система (m) линейных алгебраических уравнений с (n) неизвестными (сокращенно СЛАУ) представляет собой систему вида

( left{ begin{array}{l}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + cdots + a_{1n}x_n = b_1 \
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + cdots + a_{2n}x_n = b_2 \
cdots \
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + cdots + a_{mn}x_n = b_m
end{array} right. tag{1} )

Уравнения системы называют алгебраическими потому, что левая часть каждого из них есть многочлен от (n) переменных
( x_1 , ldots x_n ), а линейными потому, что эти многочлены имеют первую степень.

Числа (a_{ij} in mathbb{R} ) называют коэффициентами СЛАУ. Их нумеруют двумя индексами: номером уравнения (i) и номером
неизвестного (j). Действительные числа ( b_1 , ldots b_m ) называют свободными членами уравнений.

СЛАУ называют однородной, если ( b_1 = b_2 = ldots = b_m = 0 ). Иначе её называют неоднородной.

Решением СЛАУ, да и вообще всякой системы уравнений, называют такой набор значений неизвестных ( x_1^circ, ldots , x_n^circ ),
при подстановке которых каждое уравнение системы превращается в тождество. Любое конкретное решение СЛАУ также называют её частным решением.

Решить СЛАУ — значит решить две задачи:
— выяснить, имеет ли СЛАУ решения;
— найти все решения, если они существуют.

СЛАУ называют совместной, если она имеет какие-либо решения. В противном случае её называют несовместной. Однородная СЛАУ
всегда совместна, поскольку нулевой набор значений её неизвестных всегда является решением.

Если СЛАУ (1) имеет решение, и притом единственное, то её называют определенной, а если решение неединственное — то неопределенной.
При (m=n), т.е. когда количество уравнений совпадает с количеством неизвестных, СЛАУ называют квадратной.

Кроме координатной формы (1) записи СЛАУ часто используют и другие её представления.

Рассматривая коэффициенты (a_{ij}) СЛАУ при одном неизвестном (x_j) как элементы столбца, а (x_j) как коэффициент, на который умножается
столбец, из (1) получаем новую форму записи СЛАУ:
( begin{pmatrix}
a_{11} \
a_{21} \
vdots \
a_{m1}
end{pmatrix} x_1 + begin{pmatrix}
a_{12} \
a_{22} \
vdots \
a_{m2}
end{pmatrix} x_2 + ldots + begin{pmatrix}
a_{1n} \
a_{2n} \
vdots \
a_{mn}
end{pmatrix} x_n = begin{pmatrix}
b_1 \
b_2 \
vdots \
b_m
end{pmatrix} )

или, обозначая столбцы соответственно ( a_1 , ldots , a_n , b ),
( x_1 a_1 + x_2 a_2 + ldots + x_n a_n = b tag{2} )

Таким образом, решение СЛАУ (1) можно трактовать как представление столбца (b) в виде линейной комбинации столбцов ( a_1, ldots, a_n ).
Соотношение (2) называют векторной записью СЛАУ.

Обратим внимание на то, что слева в каждом уравнении системы (1) стоит сумма попарных произведений — так же, как и в произведении двух матриц.
Если взять за основу произведение матриц, то СЛАУ (1) можно записать так :
( begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \
a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} \
vdots & vdots & ddots & vdots \
a_{m1} & a_{m2} & cdots & a_{mn}
end{pmatrix} begin{pmatrix}
x_1 \
x_2 \
vdots \
x_n
end{pmatrix} = begin{pmatrix}
b_1 \
b_2 \
vdots \
b_m
end{pmatrix} )

или (Ax=b), где (A) — матрица размера (m times n); (x) — столбец неизвестных; (b) — столбец свободных членов:
( A = begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \
a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} \
vdots & vdots & ddots & vdots \
a_{m1} & a_{m2} & cdots & a_{mn}
end{pmatrix} ,; )
( X = begin{pmatrix}
x_1 \
x_2 \
vdots\
x_n
end{pmatrix} ,; )
( B = begin{pmatrix}
b_1 \
b_2 \
vdots \
b_m
end{pmatrix} )

Поскольку (A ;,; X) и (B) являются матрицами, то запись СЛАУ (1) в виде (AX=B) называют матричной. Если (B=0), то СЛАУ
является однородной и в матричной записи имеет вид (AX=0).

Приведенные рассуждения показывают, что задачи :
а) решения СЛАУ (1)
б) представления столбца в виде линейной комбинации данных столбцов
в) решения матричных уравнений вида (AX=B)
являются просто различной формой записи одной и той же задачи.

“Триединство” форм записи СЛАУ позволяет легко получить критерий совместности СЛАУ. Напомним, что содержательный смысл это понятие имеет
для неоднородных СЛАУ (однородные СЛАУ всегда совместны).

Матрицу
( A = begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \
a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} \
vdots & vdots & ddots & vdots \
a_{m1} & a_{m2} & cdots & a_{mn}
end{pmatrix} )
называют матрицей (коэффициентов) СЛАУ (1), а матрицу
( (A|B) = left( begin{array}{cccc|c}
a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} & b_1 \
a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} & b_2 \
vdots & vdots & ddots & vdots & vdots \
a_{m1} & a_{m2} & cdots & a_{mn} & b_m
end{array} right) )

расширенной матрицей СЛАУ (1). Расширенная матрица полностью характеризует СЛАУ. Это означает, что по этой матрице однозначно
(если сохранить обозначения для неизвестных) восстанавливается сама СЛАУ.

Теорема Кронекера-Капелли. Для совместности СЛАУ (AX=B) необходимо и достаточно, чтобы ранг её матрицы (A) был равен рангу
её расширенной матрицы ( (A|B) ).

Теорема. СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет решение, и притом единственное, которое определяется по
формулам Крамера :

$$ x_i = frac{Delta_i}{|A|} ;,quad i=overline{1,n} tag{3} $$

где (Delta_i) — определитель матрицы, получающейся из матрицы (A) заменой (i)-го столбца на столбец свободных членов.

Следствие. Однородная СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет единственное решение — нулевое.

Если матрица СЛАУ не является квадратной невырожденной, то формулы Крамера не работают и приходится использовать другие методы
нахождения решений.

Следующая теорема описывает важнейшее свойство множества решений однородной системы (m) линейных алгебраических уравнений с (n) неизвестными.

Теорема. Если столбцы ( X^{(1)}, X^{(2)}, ldots , X^{(s)} ) — решения однородной СЛАУ (AX=0), то любая их линейная комбинация
также является решением этой системы.

Следствие. Если однородная СЛАУ имеет ненулевое решение, то она имеет бесконечно много решений.

Естественно попытаться найти такие решения ( X^{(1)}, ldots , X^{(s)} ) системы (AX=0), чтобы любое другое решение этой системы
представлялось в виде их линейной комбинации и притом единственным образом. Оказывается, что это всегда возможно и приводит к следующему определению.

Определение. Любой набор из (k=n-r) линейно независимых столбцов, являющихся решениями однородной СЛАУ (AX=0), где
(n) — количество неизвестных в системе, а (r) — ранг её матрицы (A), называют фундаментальной системой решений этой однородной СЛАУ.

При исследовании и решении однородных систем линейных алгебраических уравнений будем использовать следующую терминологию. Если в матрице
(A) однородной СЛАУ (AX=0) фиксировать базисный минор, то ему соответствуют базисные столбцы и, следовательно, набор неизвестных, отвечающих
этим столбцам. Указанные неизвестные называют базисными, или зависимыми, а остальные неизвестные — свободными, или
независимыми.

Теорема. Пусть дана однородная СЛАУ (AX=0) с (n) неизвестными и ( text{rang}A = r ). Тогда существует набор из (k=n-r)
решений ( X^{(1)}, ldots , X^{(k)} ) этой СЛАУ, образующих фундаментальную систему решений.

Если в фундаментальной системе решений все значения независимых неизвестных равны нулю, кроме одного, которое равно единице, то такую систему решений
называют фундаментальной нормальной системой решений.

Следствие. С помощью нормальной фундаментальной системы решений однородной СЛАУ множество всех решений можно описать формулой :
$$ X = c_1X^{(1)} + ldots + c_kX^{(k)} $$
где постоянные ( c_i ;, quad i=overline{1,k} ), принимают произвольные значения.

Следствие. Для существования ненулевого решения у однородной квадратной СЛАУ необходимо и достаточно, чтобы её матрица была вырождена.

Рассмотрим произвольную СЛАУ (AX=B). Заменив столбец (B) свободных членов нулевым, получим однородную СЛАУ (AX=0), соответствующую
неоднородной СЛАУ (AX=B). Справедливо следующее утверждение о структуре произвольного решения неоднородной СЛАУ.

Теорема. Пусть столбец (X^circ) — некоторое решение СЛАУ (AX=B). Произвольный столбец (X) является решением этой СЛАУ тогда и
только тогда, когда он имеет представление (X = X^circ + Y ), где (Y) — решение соответствующей однородной СЛАУ (AY=0).

Следствие. Пусть (X’) и (X”) — решения неоднородной системы (AX=B). Тогда их разность ( Y = X’ – X” ) является
решением соответствующей однородной системы (AY=0).

Эта теорема сводит проблему решения СЛАУ к случаю однородной системы: чтобы описать все решения неоднородной СЛАУ, достаточно энать одно
её решение (частное решение) и все решения соответствующей однородной СЛАУ.

Чтобы решить неоднородную систему, надо, во-первых, убедиться, что она совместна (например, по теореме Кронекера-Капелли), а во-вторых,
найти частное решение (X^circ) этой системы, чтобы свести её к однородной системе.

Теорема о структуре общего решения СЛАУ. Пусть (X^circ) — частное решение СЛАУ (AX=B) и известна фундаментальная система
решений ( X^{(1)}, ldots , X^{(k)} ) соответствующей однородной системы (AX=0). Тогда любое решение СЛАУ (AX=B) можно представить в виде
$$ X = X^circ + c_1 X^{(1)} + c_2 X^{(2)} + ldots + c_k X^{(k)} $$
где ( c_i in mathbb{R} ;, quad i=overline{1,k} ).

Эту формулу называют общим решением СЛАУ.