Как найти функцию по ее графику
Еще в школе мы подробно изучаем функции и строим их графики. Однако читать график функции и находить ее вид по готовому чертежу, нас, к сожалению, практически не учат. На самом деле, это совсем не сложно, если помнить несколько основных видов функций.Задача описания свойств функции по ее графику часто возникает при экспериментальных исследованиях. По графику можно определить промежутки возрастания и убывания функции, разрывы и экстремумы, а также можно видеть асимптоты.
Инструкция
Если графиком является прямая линия, проходящая через начало координат и образующая с осью ОX угол α (угол наклона прямой к положительной полуоси ОХ). Функция, описывающая эту прямую, будет иметь вид y = kx. Коэффициент пропорциональности k равен tg α. Если прямая проходит через 2-ю и 4-ю координатные четверти, то k < 0, и функция является убывающей, если через 1-ю и 3-ю, то k > 0 и функция возрастает.Пусть график представляет собой прямую линию, располагающуюся различным образом относительно осей координат. Это линейная функция, и она имеет вид y = kx + b, где переменные x и y стоят в первой степени, а k и b могут принимать как положительные, так и отрицательные значения или равны нулю. Прямая параллельна прямой y = kx и отсекает на оси ординат |b| единиц. Если прямая параллельна оси абсцисс, то k = 0, если оси ординат, то уравнение имеет вид x = const.
Кривая, состоящая из двух ветвей, располагающихся в разных четвертях и симметричных относительно начала координат, называется гиперболой. Этот график выражает обратную зависимость переменной y от x и описывается уравнением y = k/x. Здесь k ≠ 0 – коэффициент обратной пропорциональности. При этом если k > 0, функция убывает; если же k < 0 – функция возрастает. Таким образом, областью определения функции является вся числовая прямая, кроме x = 0. Ветви гиперболы приближаются к осям координат как к своим асимптотам. С уменьшением |k| ветки гиперболы все больше «вдавливаются» в координатные углы.
Квадратичная функция имеет вид y = ax2 + bx + с, где a, b и c – величины постоянные и a 0. При выполнении условия b = с = 0, уравнение функции выглядит, как y = ax2 (простейший случай квадратичной функции), а ее график является параболой, проходящей через начало координат. График функции y = ax2 + bx + с имеет ту же форму, что и простейший случай функции, однако ее вершина (точка пересечения параболы с осью OY) лежит не в начале координат.
Параболой является также график степенной функции, выраженной уравнением y = xⁿ, если n – любое четное число. Если n – любое нечетное число, график такой степенной функции будет иметь вид кубической параболы.
В случае, если n – любое отрицательное число, уравнение функции приобретает вид. Графиком функции при нечетном n будет гипербола, а при четном n их ветви будут симметричны относительно оси ОУ.
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно по теме “Графики функций”.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Декартова система координат
Система координат – это две взаимно перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в точке, которая является началом отсчета для каждой из них.
Координатные оси – прямые, образующие систему координат.
Ось абсцисс (ось x ) – горизонтальная ось.
Ось ординат (ось y ) – вертикальная ось.
Функция
Функция – это отображение элементов множества X на множество Y. При этом каждому элементу x множества X соответствует одно единственное значение y множества Y.
Прямая
Линейная функция – функция вида y = a x + b где a и b – любые числа.
Графиком линейной функции является прямая линия.
Рассмотрим, как будет выглядеть график в зависимости от коэффициентов a и b :
Если a > 0 , прямая будет проходить через I и III координатные четверти.
b – точка пересечения прямой с осью y .
Если a < 0 , прямая будет проходить через II и IV координатные четверти.
b – точка пересечения прямой с осью y .
Если a = 0 , функция принимает вид y = b .
Отдельно выделим график уравнения x = a .
Важно: это уравнение не является функцией так как нарушается определение функции (функция ставит в соответствие каждому элементу x множества X одно единственно значение y множества Y). Данное уравнение ставит в соответствие одному элементу x бесконечное множества элементов y. Тем не менее, график данного уравнения построить можно. Просто не будем называть его гордым словом «Функция».
Парабола
Графиком функции y = a x 2 + b x + c является парабола.
Для того, чтобы однозначно определить, как располагается график параболы на плоскости, нужно знать, на что влияют коэффициенты a , b , c :
- Коэффициент a указывает на то, куда направлены ветки параболы.
- Если a > 0 , ветки параболы направлены вверх.
- Если a < 0 , ветки параболы направлены вниз.
- Коэффициент c указывает, в какой точке парабола пересекает ось y.
- Коэффициент b помогает найти x в – координату вершины параболы.
x в = − b 2 a
- Дискриминант позволяет определить, сколько точек пересечения у параболы с осью .
- Если D > 0 – две точки пересечения.
- Если D = 0 – одна точка пересечения.
- Если D < 0 – нет точек пересечения.
Гипербола
Графиком функции y = k x является гипербола.
Характерная особенность гиперболы в том, что у неё есть асимптоты.
Асимптоты гиперболы – прямые, к которым она стремится, уходя в бесконечность.
Ось x – горизонтальная асимптота гиперболы
Ось y – вертикальная асимптота гиперболы.
На графике асимптоты отмечены зелёной пунктирной линией.
Если коэффициент k > 0 , то ветви гиперолы проходят через I и III четверти.
Если k < 0, ветви гиперболы проходят через II и IV четверти.
Чем меньше абсолютная величина коэффиента k (коэффициент k без учета знака), тем ближе ветви гиперболы к осям x и y .
Квадратный корень
Функция y = x имеет следующий график:
Возрастающие/убывающие функции
Функция y = f ( x ) возрастает на интервале, если большему значению аргумента (большему значению x ) соответствует большее значение функции (большее значение y ) .
То есть чем больше (правее) икс, тем больше (выше) игрек. График поднимается вверх (смотрим слева направо)
Примеры возрастающих функций:
Функция y = f ( x ) убывает на интервале, если большему значению аргумента (большему значению x ) соответствует меньшее значение функции (большее значение y ) .
То есть чем больше (правее) икс, тем меньше (ниже) игрек. График опускается вниз (смотрим слева направо).
Примеры убывающих функций:
Для того, чтобы найти наибольшее значение функции, находим самую высокую точку на графике и смотрим, какая у нее координата по оси ординат (по оси y ) . Это значение и будет являться наибольшим значением функции.
Для того, чтобы найти наименьшее значение функции, находим самую нижнюю точку на графике и смотрим, какая у нее координата по оси ординат (по оси y ) . Это значение и будет являться наименьшим значением функции.
Задание №11 из ОГЭ 2020. Типовые задачи и принцип их решения.
Скачать домашнее задание к уроку 5.
Как определить a, b и c по графику параболы
Предположим, вам попался график функции (y=ax^2+bx+c) и нужно по этому графику определить коэффициенты (a), (b) и (c). В этой статье я расскажу 3 простых способа сделать это.
1 способ – ищем коэффициенты на графике
Данный способ хорош, когда координаты вершины и точка пересечения параболы с осью (y) – целые числа. Если это не так, советую использовать способ 2.
Коэффициент (a) можно найти с помощью следующих фактов:
– Если (a>0), то ветви параболы направленных вверх, если (a 1), то график вытянут вверх в (a) раз по сравнению с «базовым» графиком (у которого (a=1)). Вершина при этом остается на месте. Это наглядно видно по выделенным точкам.
Ищем 3 точки с целыми координатами, принадлежащие параболе.
Пример:
Выписываем координаты этих точек и подставляем в формулу квадратичной функции: (y=ax^2+bx+c). Получится система с тремя уравнениями.
Решаем систему.
Пример:
Вычтем из второго уравнения первое:
Подставим (9a) вместо (b):
Первое и второе уравнения совпали (это нормально для точек, симметричных относительно прямой проходящей через вершину – как точки (A) и (B) в нашем случае), но нас это не остановит – мы вычтем из второго уравнение третье:
Подставим в первое уравнение (a):
Получается квадратичная функция: (y=-x^2-9x-15).
Сразу заметим, что по графику можно сразу определить, что (c=4). Это сильно облегчит нашу систему – нам хватит 2 точек. Выберем их на параболе: (C(-1;8)), (D(1;2)) (на самом деле, если присмотреться, то можно заметить, что эти точки выделены жирно на изначальной картинке – это вам подсказка от авторов задачи).
Таким образом имеем систему:
Сложим 2 уравнения:
Подставим во второе уравнение:
Теперь найдем точки пересечения двух функций:
Теперь можно найти ординату второй точки пересечения:
3 способ – используем преобразование графиков функций
Этот способ быстрее первого и более универсальный, в частности он может пригодится и в задачах на другие функции.
Главный недостаток этого способа – вершина должна иметь целые координаты.
Сам способ базируется на следующих идеях:
График (y=-x^2) симметричен относительно оси (x) графику (y=x^2).
– Если (a>1) график (y=ax^2) получается растяжением графика (y=x^2) вдоль оси (y) в (a) раз.
– Если (a∈(0;1)) график (y=ax^2) получается сжатием графика (y=x^2) вдоль оси (y) в (a) раз.
– График (y=a(x+d)^2) получается сдвигом графика (y=ax^2) влево на (d) единиц.
– График (y=a(x-d)^2) получается сдвигом графика (y=ax^2) вправо на (d) единиц.
График (y=a(x+d)^2+e) получается переносом графика (y=a(x+d)^2) на (e) единиц вверх.
График (y=a(x+d)^2-e) получается переносом графика (y=a(x+d)^2) на (e) единиц вниз.
У вас наверно остался вопрос – как этим пользоваться? Предположим, мы видим такую параболу:
Сначала смотрим на её форму и направленность её ветвей. Видим, что форма стандартная, базовая и ветви направлены вверх, поэтому (a=1). То есть она получена перемещениями графика базовой параболы (y=x^2).
А как надо было перемещать зеленый график чтоб получить оранжевый? Надо сдвинуться вправо на пять единиц и вниз на (4).
То есть наша функция выглядит так: (y=(x-5)^2-4).
После раскрытия скобок и приведения подобных получаем искомую формулу:
Чтобы найти (f(6)), надо сначала узнать формулу функции (f(x)). Найдем её:
Парабола растянута на (2) и ветви направлены вниз, поэтому (a=-2). Иными словами, первоначальной, перемещаемой функцией является функция (y=-2x^2).
Парабола смещена на 2 клеточки вправо, поэтому (y=-2(x-2)^2).
Парабола поднята на 4 клеточки вверх, поэтому (y=-2(x-2)^2+4).
Уравнение с двумя переменными и его график. Уравнение окружности
п.1. Понятие уравнения с двумя переменными
Мы уже знакомы со многими функциями и умеем их записывать в виде формул:
y = 2x + 5 – прямая, y = 5x 2 + 2x – 1 – парабола, (mathrm) – гипербола.
Если записать такое выражение: x 2 (x + y) = 1 – y – в нём тоже есть две переменные x и y, и постоянная 1.
Для наших примеров:
F(x; y) = 2x – y + 5 = 0 – прямая
F(x; y) = 5x 2 + 2x – y – 1 = 0 – парабола
F(x; y) = (mathrm<frac1x>) – y = 0 – гипербола
F(x; y)=x 2 (x + y) + y – 1 = 0 – некоторая кривая (график – ниже).
п.2. Обобщенные правила преобразования графика уравнения
Пусть F(x; y) = 0 – исходный график некоторой функции
Симметричное отображение относительно оси OY
Симметричное отображение относительно оси OX
Центральная симметрия относительно начала координат
Параллельный перенос графика на a единиц вправо
Параллельный перенос графика на a единиц влево
Параллельный перенос графика на b единиц вниз
Параллельный перенос графика на b единиц вверх
Сжатие графика к оси OY в a раз
Сжатие графика к оси OX в b раз
F(x; by) = 0
0 Например:
Окружность с центром в точке O(2; 1) и радиусом R = 3 задаётся уравнением: $$ mathrm <(x-2)^2+(y-1)^2=9>$$
п.4. Примеры
Пример 1. Постройте график уравнения:
а) 2x + 7y – 14 = 0
Выразим y из уравнения: ( mathrm<7>=-frac<2> + 2 > ) – это прямая
б) xy + 4 = 0
Выразим y из уравнения: ( mathrm> ) – это гипербола
в) ( x+ 2) 2 + y 2 = 4
Это – уравнение окружности с центром O(–2; 0), радиусом ( mathrm=2> )
г) x 2 + 5y – 2 = 0
Выразим y из уравнения: ( mathrm<5>> ) – это парабола
Пример 2*. Постройте график уравнения:
а) 2|x| + 5y = 10
( mathrm<5>=-frac25|x|+2> )
Строим график для ( mathrm ), а затем отражаем его относительно оси OY в левую полуплоскость.
б) 3x + |y| = 6
|y| = –3x + 6
Строим график для y > 0: y = –3x + 6, а затем отражаем его относительно оси OX в нижнюю полуплоскость.
в) |x| + |y| = 2
|y| = –|x| + 2
Строим график для x > 0, y > 0: y = –x + 2, а затем отражаем его относительно осей OX и OY.
г) |x – 1| + |y – 2| = 4
Получим тот же ромб (квадрат), что и в (в), но его центр будет перенесен из начала координат в точку O(1; 2).
д) (mathrm<frac<|x-1|><2>+2|y-2|=4>)
Ромб по x растянется в 2 раза по диагонали, а по y – сожмётся в 2 раза по диагонали.
Пример 3. Постройте график уравнения:
а) x 2 + y 2 + 4x – 6y + 4 = 0
Выделим полные квадраты:
(x 2 + 4x + 4) + (y 2 – 6y + 9) – 9 = 0
(x + 2) 2 + (y – 3) 2 = 3 2 – уравнение окружности с центром (–2; 3), радиусом 3.
Касательная к графику функции в точке. Уравнение касательной. Геометрический смысл производной
Статья дает подробное разъяснение определений, геометрического смысла производной с графическими обозначениями. Будет рассмотрено уравнение касательной прямой с приведением примеров, найдено уравнения касательной к кривым 2 порядка.
Определения и понятия
Угол наклона прямой y = k x + b называется угол α , который отсчитывается от положительного направления оси о х к прямой y = k x + b в положительном направлении.
На рисунке направление о х обозначается при помощи зеленой стрелки и в виде зеленой дуги, а угол наклона при помощи красной дуги. Синяя линия относится к прямой.
Угловой коэффициент прямой y = k x + b называют числовым коэффициентом k .
Угловой коэффициент равняется тангенсу наклона прямой, иначе говоря k = t g α .
- Угол наклона прямой равняется 0 только при параллельности о х и угловом коэффициенте, равному нулю, потому как тангенс нуля равен 0 . Значит, вид уравнения будет y = b .
- Если угол наклона прямой y = k x + b острый, тогда выполняются условия 0 α π 2 или 0 ° α 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α > 0 , причем имеется возрастание графика.
- Если α = π 2 , тогда расположение прямой перпендикулярно о х . Равенство задается при помощи равенства x = c со значением с , являющимся действительным числом.
- Если угол наклона прямой y = k x + b тупой, то соответствует условиям π 2 α π или 90 ° α 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.
Определение 3
Секущей называют прямую, которая проходит через 2 точки функции f ( x ) . Иначе говоря, секущая – это прямая, которая проводится через любые две точки графика заданной функции.
По рисунку видно, что А В является секущей, а f ( x ) – черная кривая, α – красная дуга, означающая угол наклона секущей.
Когда угловой коэффициент прямой равняется тангенсу угла наклона, то видно, что тангенс из прямоугольного треугольника А В С можно найти по отношению противолежащего катета к прилежащему.
Получаем формулу для нахождения секущей вида:
k = t g α = B C A C = f ( x B ) – f x A x B – x A , где абсциссами точек А и В являются значения x A , x B , а f ( x A ) , f ( x B ) – это значения функции в этих точках.
Очевидно, что угловой коэффициент секущей определен при помощи равенства k = f ( x B ) – f ( x A ) x B – x A или k = f ( x A ) – f ( x B ) x A – x B , причем уравнение необходимо записать как y = f ( x B ) – f ( x A ) x B – x A · x – x A + f ( x A ) или
y = f ( x A ) – f ( x B ) x A – x B · x – x B + f ( x B ) .
Секущая делит график визуально на 3 части: слева от точки А , от А до В , справа от В . На располагаемом ниже рисунке видно, что имеются три секущие, которые считаются совпадающими, то есть задаются при помощи аналогичного уравнения.
По определению видно, что прямая и ее секущая в данном случае совпадают.
Секущая может множественно раз пересекать график заданной функции. Если имеется уравнение вида у = 0 для секущей, тогда количество точек пересечения с синусоидой бесконечно.
Касательная к графику функции f ( x ) в точке x 0 ; f ( x 0 ) называется прямая, проходящая через заданную точку x 0 ; f ( x 0 ) , с наличием отрезка, который имеет множество значений х , близких к x 0 .
Рассмотрим подробно на ниже приведенном примере. Тогда видно, что прямая, заданная функцией y = x + 1 , считается касательной к y = 2 x в точке с координатами ( 1 ; 2 ) . Для наглядности, необходимо рассмотреть графики с приближенными к ( 1 ; 2 ) значениями. Функция y = 2 x обозначена черным цветом, синяя линия – касательная, красная точка – точка пересечения.
Очевидно, что y = 2 x сливается с прямой у = х + 1 .
Для определения касательной следует рассмотреть поведение касательной А В при бесконечном приближении точки В к точке А . Для наглядности приведем рисунок.
Секущая А В , обозначенная при помощи синей линии, стремится к положению самой касательной, а угол наклона секущей α начнет стремиться к углу наклона самой касательной α x .
Касательной к графику функции y = f ( x ) в точке А считается предельное положение секущей А В при В стремящейся к А , то есть B → A .
Теперь перейдем к рассмотрению геометрического смысла производной функции в точке.
Геометрический смысл производной функции в точке
Перейдем к рассмотрению секущей А В для функции f ( x ) , где А и В с координатами x 0 , f ( x 0 ) и x 0 + ∆ x , f ( x 0 + ∆ x ) , а ∆ x обозначаем как приращение аргумента. Теперь функция примет вид ∆ y = ∆ f ( x ) = f ( x 0 + ∆ x ) – f ( ∆ x ) . Для наглядности приведем в пример рисунок.
Рассмотрим полученный прямоугольный треугольник А В С . Используем определение тангенса для решения, то есть получим отношение ∆ y ∆ x = t g α . Из определения касательной следует, что lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . По правилу производной в точке имеем, что производную f ( x ) в точке x 0 называют пределом отношений приращения функции к приращению аргумента, где ∆ x → 0 , тогда обозначим как f ( x 0 ) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .
Отсюда следует, что f ‘ ( x 0 ) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x , где k x обозначают в качестве углового коэффициента касательной.
То есть получаем, что f ’ ( x ) может существовать в точке x 0 причем как и касательная к заданному графику функции в точке касания равной x 0 , f 0 ( x 0 ) , где значение углового коэффициента касательной в точке равняется производной в точке x 0 . Тогда получаем, что k x = f ‘ ( x 0 ) .
Геометрический смысл производной функции в точке в том, что дается понятие существования касательной к графику в этой же точке.
Уравнение касательной прямой
Чтобы записать уравнение любой прямой на плоскости, необходимо иметь угловой коэффициент с точкой, через которую она проходит. Его обозначение принимается как x 0 при пересечении.
Уравнение касательной к графику функции y = f ( x ) в точке x 0 , f 0 ( x 0 ) принимает вид y = f ‘ ( x 0 ) · x – x 0 + f ( x 0 ) .
Имеется в виду, что конечным значением производной f ‘ ( x 0 ) можно определить положение касательной, то есть вертикально при условии lim x → x 0 + 0 f ‘ ( x ) = ∞ и lim x → x 0 – 0 f ‘ ( x ) = ∞ или отсутствие вовсе при условии lim x → x 0 + 0 f ‘ ( x ) ≠ lim x → x 0 – 0 f ‘ ( x ) .
Расположение касательной зависит от значения ее углового коэффициента k x = f ‘ ( x 0 ) . При параллельности к оси о х получаем, что k k = 0 , при параллельности к о у – k x = ∞ , причем вид уравнения касательной x = x 0 возрастает при k x > 0 , убывает при k x 0 .
Произвести составление уравнения касательной к графику функции y = e x + 1 + x 3 3 – 6 – 3 3 x – 17 – 3 3 в точке с координатами ( 1 ; 3 ) с определением угла наклона.
Решение
По условию имеем, что функция определяется для всех действительных чисел. Получаем, что точка с координатами, заданными по условию, ( 1 ; 3 ) является точкой касания, тогда x 0 = – 1 , f ( x 0 ) = – 3 .
Необходимо найти производную в точке со значением – 1 . Получаем, что
y ‘ = e x + 1 + x 3 3 – 6 – 3 3 x – 17 – 3 3 ‘ = = e x + 1 ‘ + x 3 3 ‘ – 6 – 3 3 x ‘ – 17 – 3 3 ‘ = e x + 1 + x 2 – 6 – 3 3 y ‘ ( x 0 ) = y ‘ ( – 1 ) = e – 1 + 1 + – 1 2 – 6 – 3 3 = 3 3
Значение f ’ ( x ) в точке касания является угловым коэффициентом касательной, который равняется тангенсу наклона.
Тогда k x = t g α x = y ‘ ( x 0 ) = 3 3
Отсюда следует, что α x = a r c t g 3 3 = π 6
Ответ: уравнение касательной приобретает вид
y = f ‘ ( x 0 ) · x – x 0 + f ( x 0 ) y = 3 3 ( x + 1 ) – 3 y = 3 3 x – 9 – 3 3
Для наглядности приведем пример в графической иллюстрации.
Черный цвет используется для графика исходной функции, синий цвет – изображение касательной, красная точка – точка касания. Рисунок, располагаемый справа, показывает в увеличенном виде.
Выяснить наличие существования касательной к графику заданной функции
y = 3 · x – 1 5 + 1 в точке с координатами ( 1 ; 1 ) . Составить уравнение и определить угол наклона.
Решение
По условию имеем, что областью определения заданной функции считается множество всех действительных чисел.
Перейдем к нахождению производной
y ‘ = 3 · x – 1 5 + 1 ‘ = 3 · 1 5 · ( x – 1 ) 1 5 – 1 = 3 5 · 1 ( x – 1 ) 4 5
Если x 0 = 1 , тогда f ’ ( x ) не определена, но пределы записываются как lim x → 1 + 0 3 5 · 1 ( x – 1 ) 4 5 = 3 5 · 1 ( + 0 ) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ и lim x → 1 – 0 3 5 · 1 ( x – 1 ) 4 5 = 3 5 · 1 ( – 0 ) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , что означает существование вертикальной касательной в точке ( 1 ; 1 ) .
Ответ: уравнение примет вид х = 1 , где угол наклона будет равен π 2 .
Для наглядности изобразим графически.
Найти точки графика функции y = 1 15 x + 2 3 – 4 5 x 2 – 16 5 x – 26 5 + 3 x + 2 , где
- Касательная не существует;
- Касательная располагается параллельно о х ;
- Касательная параллельна прямой y = 8 5 x + 4 .
Решение
Необходимо обратить внимание на область определения. По условию имеем, что функция определена на множестве всех действительных чисел. Раскрываем модуль и решаем систему с промежутками x ∈ – ∞ ; 2 и [ – 2 ; + ∞ ) . Получаем, что
y = – 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ – ∞ ; – 2 1 15 x 3 – 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ – 2 ; + ∞ )
Необходимо продифференцировать функцию. Имеем, что
y ‘ = – 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 ‘ , x ∈ – ∞ ; – 2 1 15 x 3 – 6 x 2 + 9 x + 12 ‘ , x ∈ [ – 2 ; + ∞ ) ⇔ y ‘ = – 1 5 ( x 2 + 12 x + 35 ) , x ∈ – ∞ ; – 2 1 5 x 2 – 4 x + 3 , x ∈ [ – 2 ; + ∞ )
Когда х = – 2 , тогда производная не существует, потому что односторонние пределы не равны в этой точке:
lim x → – 2 – 0 y ‘ ( x ) = lim x → – 2 – 0 – 1 5 ( x 2 + 12 x + 35 = – 1 5 ( – 2 ) 2 + 12 ( – 2 ) + 35 = – 3 lim x → – 2 + 0 y ‘ ( x ) = lim x → – 2 + 0 1 5 ( x 2 – 4 x + 3 ) = 1 5 – 2 2 – 4 – 2 + 3 = 3
Вычисляем значение функции в точке х = – 2 , где получаем, что
- y ( – 2 ) = 1 15 – 2 + 2 3 – 4 5 ( – 2 ) 2 – 16 5 ( – 2 ) – 26 5 + 3 – 2 + 2 = – 2 , то есть касательная в точке ( – 2 ; – 2 ) не будет существовать.
- Касательная параллельна о х , когда угловой коэффициент равняется нулю. Тогда k x = t g α x = f ‘ ( x 0 ) . То есть необходимо найти значения таких х , когда производная функции обращает ее в ноль. То есть значения f ’ ( x ) и будут являться точками касания, где касательная является параллельной о х .
Когда x ∈ – ∞ ; – 2 , тогда – 1 5 ( x 2 + 12 x + 35 ) = 0 , а при x ∈ ( – 2 ; + ∞ ) получаем 1 5 ( x 2 – 4 x + 3 ) = 0 .
– 1 5 ( x 2 + 12 x + 35 ) = 0 D = 12 2 – 4 · 35 = 144 – 140 = 4 x 1 = – 12 + 4 2 = – 5 ∈ – ∞ ; – 2 x 2 = – 12 – 4 2 = – 7 ∈ – ∞ ; – 2 1 5 ( x 2 – 4 x + 3 ) = 0 D = 4 2 – 4 · 3 = 4 x 3 = 4 – 4 2 = 1 ∈ – 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ – 2 ; + ∞
Вычисляем соответствующие значения функции
y 1 = y – 5 = 1 15 – 5 + 2 3 – 4 5 – 5 2 – 16 5 – 5 – 26 5 + 3 – 5 + 2 = 8 5 y 2 = y ( – 7 ) = 1 15 – 7 + 2 3 – 4 5 ( – 7 ) 2 – 16 5 – 7 – 26 5 + 3 – 7 + 2 = 4 3 y 3 = y ( 1 ) = 1 15 1 + 2 3 – 4 5 · 1 2 – 16 5 · 1 – 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y ( 3 ) = 1 15 3 + 2 3 – 4 5 · 3 2 – 16 5 · 3 – 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3
Отсюда – 5 ; 8 5 , – 4 ; 4 3 , 1 ; 8 5 , 3 ; 4 3 считаются искомыми точками графика функции.
Рассмотрим графическое изображение решения.
Черная линия – график функции, красные точки – точки касания.
- Когда прямые располагаются параллельно, то угловые коэффициенты равны. Тогда необходимо заняться поиском точек графика функции, где угловой коэффициент будет равняться значению 8 5 . Для этого нужно решить уравнение вида y ‘ ( x ) = 8 5 . Тогда, если x ∈ – ∞ ; – 2 , получаем, что – 1 5 ( x 2 + 12 x + 35 ) = 8 5 , а если x ∈ ( – 2 ; + ∞ ) , тогда 1 5 ( x 2 – 4 x + 3 ) = 8 5 .
Первое уравнение не имеет корней, так как дискриминант меньше нуля. Запишем, что
– 1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 – 4 · 43 = – 28 0
Другое уравнение имеет два действительных корня, тогда
1 5 ( x 2 – 4 x + 3 ) = 8 5 x 2 – 4 x – 5 = 0 D = 4 2 – 4 · ( – 5 ) = 36 x 1 = 4 – 36 2 = – 1 ∈ – 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ – 2 ; + ∞
Перейдем к нахождению значений функции. Получаем, что
y 1 = y ( – 1 ) = 1 15 – 1 + 2 3 – 4 5 ( – 1 ) 2 – 16 5 ( – 1 ) – 26 5 + 3 – 1 + 2 = 4 15 y 2 = y ( 5 ) = 1 15 5 + 2 3 – 4 5 · 5 2 – 16 5 · 5 – 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3
Точки со значениями – 1 ; 4 15 , 5 ; 8 3 являются точками, в которых касательные параллельны прямой y = 8 5 x + 4 .
Ответ: черная линия – график функции, красная линия – график y = 8 5 x + 4 , синяя линия – касательные в точках – 1 ; 4 15 , 5 ; 8 3 .
Возможно существование бесконечного количества касательных для заданных функций.
Написать уравнения всех имеющихся касательных функции y = 3 cos 3 2 x – π 4 – 1 3 , которые располагаются перпендикулярно прямой y = – 2 x + 1 2 .
Решение
Для составления уравнения касательной необходимо найти коэффициент и координаты точки касания, исходя из условия перпендикулярности прямых. Определение звучит так: произведение угловых коэффициентов, которые перпендикулярны прямым, равняется – 1 , то есть записывается как k x · k ⊥ = – 1 . Из условия имеем, что угловой коэффициент располагается перпендикулярно прямой и равняется k ⊥ = – 2 , тогда k x = – 1 k ⊥ = – 1 – 2 = 1 2 .
Теперь необходимо найти координаты точек касания. Нужно найти х , после чего его значение для заданной функции. Отметим, что из геометрического смысла производной в точке
x 0 получаем, что k x = y ‘ ( x 0 ) . Из данного равенства найдем значения х для точек касания.
y ‘ ( x 0 ) = 3 cos 3 2 x 0 – π 4 – 1 3 ‘ = 3 · – sin 3 2 x 0 – π 4 · 3 2 x 0 – π 4 ‘ = = – 3 · sin 3 2 x 0 – π 4 · 3 2 = – 9 2 · sin 3 2 x 0 – π 4 ⇒ k x = y ‘ ( x 0 ) ⇔ – 9 2 · sin 3 2 x 0 – π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 – π 4 = – 1 9
Это тригонометрическое уравнение будет использовано для вычисления ординат точек касания.
3 2 x 0 – π 4 = a r c sin – 1 9 + 2 πk или 3 2 x 0 – π 4 = π – a r c sin – 1 9 + 2 πk
3 2 x 0 – π 4 = – a r c sin 1 9 + 2 πk или 3 2 x 0 – π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk
x 0 = 2 3 π 4 – a r c sin 1 9 + 2 πk или x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z
Z – множество целых чисел.
Найдены х точек касания. Теперь необходимо перейти к поиску значений у :
y 0 = 3 cos 3 2 x 0 – π 4 – 1 3
y 0 = 3 · 1 – sin 2 3 2 x 0 – π 4 – 1 3 или y 0 = 3 · – 1 – sin 2 3 2 x 0 – π 4 – 1 3
y 0 = 3 · 1 – – 1 9 2 – 1 3 или y 0 = 3 · – 1 – – 1 9 2 – 1 3
y 0 = 4 5 – 1 3 или y 0 = – 4 5 + 1 3
Отсюда получаем, что 2 3 π 4 – a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 – 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; – 4 5 + 1 3 являются точками касания.
Ответ: необходимы уравнения запишутся как
y = 1 2 x – 2 3 π 4 – a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 – 1 3 , y = 1 2 x – 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk – 4 5 + 1 3 , k ∈ Z
Для наглядного изображения рассмотрим функцию и касательную на координатной прямой.
Рисунок показывает, что расположение функции идет на промежутке [ – 10 ; 10 ] , где черная прямя – график функции, синие линии – касательные, которые располагаются перпендикулярно заданной прямой вида y = – 2 x + 1 2 . Красные точки – это точки касания.
Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе
Канонические уравнения кривых 2 порядка не являются однозначными функциями. Уравнения касательных для них составляются по известным схемам.
Касательная к окружности
Для задания окружности с центром в точке x c e n t e r ; y c e n t e r и радиусом R применяется формула x – x c e n t e r 2 + y – y c e n t e r 2 = R 2 .
Данное равенство может быть записано как объединение двух функций:
y = R 2 – x – x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = – R 2 – x – x c e n t e r 2 + y c e n t e r
Первая функция располагается вверху, а вторая внизу, как показано на рисунке.
Для составления уравнения окружности в точке x 0 ; y 0 , которая располагается в верхней или нижней полуокружности, следует найти уравнение графика функции вида y = R 2 – x – x c e n t e r 2 + y c e n t e r или y = – R 2 – x – x c e n t e r 2 + y c e n t e r в указанной точке.
Когда в точках x c e n t e r ; y c e n t e r + R и x c e n t e r ; y c e n t e r – R касательные могут быть заданы уравнениями y = y c e n t e r + R и y = y c e n t e r – R , а в точках x c e n t e r + R ; y c e n t e r и
x c e n t e r – R ; y c e n t e r будут являться параллельными о у , тогда получим уравнения вида x = x c e n t e r + R и x = x c e n t e r – R .
Касательная к эллипсу
Когда эллипс имеет центр в точке x c e n t e r ; y c e n t e r с полуосями a и b , тогда он может быть задан при помощи уравнения x – x c e n t e r 2 a 2 + y – y c e n t e r 2 b 2 = 1 .
Эллипс и окружность могут быть обозначаться при помощи объединения двух функций, а именно: верхнего и нижнего полуэллипса. Тогда получаем, что
y = b a · a 2 – ( x – x c e n t e r ) 2 + y c e n t e r y = – b a · a 2 – ( x – x c e n t e r ) 2 + y c e n t e r
Если касательные располагаются на вершинах эллипса, тогда они параллельны о х или о у . Ниже для наглядности рассмотрим рисунок.
Написать уравнение касательной к эллипсу x – 3 2 4 + y – 5 2 25 = 1 в точках со значениями x равного х = 2 .
Решение
Необходимо найти точки касания, которые соответствуют значению х = 2 . Производим подстановку в имеющееся уравнение эллипса и получаем, что
x – 3 2 4 x = 2 + y – 5 2 25 = 1 1 4 + y – 5 2 25 = 1 ⇒ y – 5 2 = 3 4 · 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5
Тогда 2 ; 5 3 2 + 5 и 2 ; – 5 3 2 + 5 являются точками касания, которые принадлежат верхнему и нижнему полуэллипсу.
Перейдем к нахождению и разрешению уравнения эллипса относительно y . Получим, что
x – 3 2 4 + y – 5 2 25 = 1 y – 5 2 25 = 1 – x – 3 2 4 ( y – 5 ) 2 = 25 · 1 – x – 3 2 4 y – 5 = ± 5 · 1 – x – 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 – x – 3 2
Очевидно, что верхний полуэллипс задается с помощью функции вида y = 5 + 5 2 4 – x – 3 2 , а нижний y = 5 – 5 2 4 – x – 3 2 .
Применим стандартный алгоритм для того, чтобы составить уравнение касательной к графику функции в точке. Запишем, что уравнение для первой касательной в точке 2 ; 5 3 2 + 5 будет иметь вид
y ‘ = 5 + 5 2 4 – x – 3 2 ‘ = 5 2 · 1 2 4 – ( x – 3 ) 2 · 4 – ( x – 3 ) 2 ‘ = = – 5 2 · x – 3 4 – ( x – 3 ) 2 ⇒ y ‘ ( x 0 ) = y ‘ ( 2 ) = – 5 2 · 2 – 3 4 – ( 2 – 3 ) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y ‘ ( x 0 ) · x – x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 ( x – 2 ) + 5 3 2 + 5
Получаем, что уравнение второй касательной со значением в точке
2 ; – 5 3 2 + 5 принимает вид
y ‘ = 5 – 5 2 4 – ( x – 3 ) 2 ‘ = – 5 2 · 1 2 4 – ( x – 3 ) 2 · 4 – ( x – 3 ) 2 ‘ = = 5 2 · x – 3 4 – ( x – 3 ) 2 ⇒ y ‘ ( x 0 ) = y ‘ ( 2 ) = 5 2 · 2 – 3 4 – ( 2 – 3 ) 2 = – 5 2 3 ⇒ y = y ‘ ( x 0 ) · x – x 0 + y 0 ⇔ y = – 5 2 3 ( x – 2 ) – 5 3 2 + 5
Графически касательные обозначаются так:
Касательная к гиперболе
Когда гипербола имеет центр в точке x c e n t e r ; y c e n t e r и вершины x c e n t e r + α ; y c e n t e r и x c e n t e r – α ; y c e n t e r , имеет место задание неравенства x – x c e n t e r 2 α 2 – y – y c e n t e r 2 b 2 = 1 , если с вершинами x c e n t e r ; y c e n t e r + b и x c e n t e r ; y c e n t e r – b , тогда задается при помощи неравенства x – x c e n t e r 2 α 2 – y – y c e n t e r 2 b 2 = – 1 .
Гипербола может быть представлена в виде двух объединенных функций вида
y = b a · ( x – x c e n t e r ) 2 – a 2 + y c e n t e r y = – b a · ( x – x c e n t e r ) 2 – a 2 + y c e n t e r или y = b a · ( x – x c e n t e r ) 2 + a 2 + y c e n t e r y = – b a · ( x – x c e n t e r ) 2 + a 2 + y c e n t e r
В первом случае имеем, что касательные параллельны о у , а во втором параллельны о х .
Отсюда следует, что для того, чтобы найти уравнение касательной к гиперболе, необходимо выяснить, какой функции принадлежит точка касания. Чтобы определить это, необходимо произвести подстановку в уравнения и проверить их на тождественность.
Составить уравнение касательной к гиперболе x – 3 2 4 – y + 3 2 9 = 1 в точке 7 ; – 3 3 – 3 .
Решение
Необходимо преобразовать запись решения нахождения гиперболы при помощи 2 функций. Получим, что
x – 3 2 4 – y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x – 3 2 4 – 1 ⇒ y + 3 2 = 9 · x – 3 2 4 – 1 ⇒ y + 3 = 3 2 · x – 3 2 – 4 и л и y + 3 = – 3 2 · x – 3 2 – 4 ⇒ y = 3 2 · x – 3 2 – 4 – 3 y = – 3 2 · x – 3 2 – 4 – 3
Необходимо выявить, к какой функции принадлежит заданная точка с координатами 7 ; – 3 3 – 3 .
Очевидно, что для проверки первой функции необходимо y ( 7 ) = 3 2 · ( 7 – 3 ) 2 – 4 – 3 = 3 3 – 3 ≠ – 3 3 – 3 , тогда точка графику не принадлежит, так как равенство не выполняется.
Для второй функции имеем, что y ( 7 ) = – 3 2 · ( 7 – 3 ) 2 – 4 – 3 = – 3 3 – 3 ≠ – 3 3 – 3 , значит, точка принадлежит заданному графику. Отсюда следует найти угловой коэффициент.
y ‘ = – 3 2 · ( x – 3 ) 2 – 4 – 3 ‘ = – 3 2 · x – 3 ( x – 3 ) 2 – 4 ⇒ k x = y ‘ ( x 0 ) = – 3 2 · x 0 – 3 x 0 – 3 2 – 4 x 0 = 7 = – 3 2 · 7 – 3 7 – 3 2 – 4 = – 3
Ответ: уравнение касательной можно представить как
y = – 3 · x – 7 – 3 3 – 3 = – 3 · x + 4 3 – 3
Наглядно изображается так:
Касательная к параболе
Чтобы составить уравнение касательной к параболе y = a x 2 + b x + c в точке x 0 , y ( x 0 ) , необходимо использовать стандартный алгоритм, тогда уравнение примет вид y = y ‘ ( x 0 ) · x – x 0 + y ( x 0 ) . Такая касательная в вершине параллельна о х .
Следует задать параболу x = a y 2 + b y + c как объединение двух функций. Поэтому нужно разрешить уравнение относительно у . Получаем, что
x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c – x = 0 D = b 2 – 4 a ( c – x ) y = – b + b 2 – 4 a ( c – x ) 2 a y = – b – b 2 – 4 a ( c – x ) 2 a
Графически изобразим как:
Для выяснения принадлежности точки x 0 , y ( x 0 ) функции, нежно действовать по стандартному алгоритму. Такая касательная будет параллельна о у относительно параболы.
Написать уравнение касательной к графику x – 2 y 2 – 5 y + 3 , когда имеем угол наклона касательной 150 ° .
Решение
Начинаем решение с представления параболы в качестве двух функций. Получим, что
– 2 y 2 – 5 y + 3 – x = 0 D = ( – 5 ) 2 – 4 · ( – 2 ) · ( 3 – x ) = 49 – 8 x y = 5 + 49 – 8 x – 4 y = 5 – 49 – 8 x – 4
Значение углового коэффициента равняется значению производной в точке x 0 этой функции и равняется тангенсу угла наклона.
k x = y ‘ ( x 0 ) = t g α x = t g 150 ° = – 1 3
Отсюда определим значение х для точек касания.
Первая функция запишется как
y ‘ = 5 + 49 – 8 x – 4 ‘ = 1 49 – 8 x ⇒ y ‘ ( x 0 ) = 1 49 – 8 x 0 = – 1 3 ⇔ 49 – 8 x 0 = – 3
Очевидно, что действительных корней нет, так как получили отрицательное значение. Делаем вывод, что касательной с углом 150 ° для такой функции не существует.
Вторая функция запишется как
y ‘ = 5 – 49 – 8 x – 4 ‘ = – 1 49 – 8 x ⇒ y ‘ ( x 0 ) = – 1 49 – 8 x 0 = – 1 3 ⇔ 49 – 8 x 0 = – 3 x 0 = 23 4 ⇒ y ( x 0 ) = 5 – 49 – 8 · 23 4 – 4 = – 5 + 3 4
Имеем, что точки касания – 23 4 ; – 5 + 3 4 .
Ответ: уравнение касательной принимает вид
[spoiler title=”источники:”]
http://reshator.com/sprav/algebra/9-klass/uravnenie-s-dvumya-peremennymi-i-ego-grafik-uravnenie-okruzhnosti/
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/proizvodnye/kasatelnaja-k-grafiku-funktsii-v-tochke/
[/spoiler]
Как найти k и b по графику линейной функции?
В новой 9 задаче профильного ЕГЭ много заданий на линейные функции. Самое сложное, что нужно сделать, решая эти задачи – определить формулу линейной функции , т.е. найти (k) и (b) по графику. Примеры таких заданий (решения будут внизу статьи):
В статье я расскажу про два простых способа найти (k) и (b), если известен график линейной функции.
Способ 1
Первый способ основывается на трех фактах:
Линейная функция пересекает ось (y) в точке (b).
Примеры:
Но не советую определять так (b), если прямая пересекает ось не в целом значении или если точка пересечения вообще не видна на графике. Для таких случаев пользуйтесь вторым способом.
Если функция возрастает, то знак коэффициента (k) плюс, если убывает – минус, а если постоянна, то (k=0).
Чтоб конкретнее определить (k) надо построить на прямой прямоугольный треугольник так, чтобы гипотенуза лежала на графике функции, а вершины треугольника совпадали с вершинами клеточек. Далее, чтоб определить (k) нужно вертикальную сторону треугольника поделить на горизонтальную и поставить знак согласно возрастанию/убыванию функции.
Давайте пока что не будем искать формулу иррациональной функции, сосредоточимся только на линейной функции.
(b=3) – это сразу видно. Функция идет вниз, значит (k 0). (k=+frac=frac<4><4>=1,b=1). (f(x)=x+1).
Теперь перейдем к функции (g(x)). Найдем координаты точек (D) и (E): (D(-2;4)), (E(-4;1)). Можно составить систему:
Вычтем второе уравнение из первого, чтоб убрать (b):
(g(x)=1,5x+7). Обе функции найдены, теперь можно найти абсциссу (икс) точки пересечения. Приравняем (f(x)) и (g(x)).
Картинку в хорошем качестве, можно скачать нажав на кнопку «скачать статью».
Алгоритм определения формулы линейной функции по графику
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Выполнила учительница математики МБОУ Башкирский лицей № 1 муниципального района Учалинский район Республики Башкортостан Хидиятова Залифа Даутовна
Алгоритм определения формулы линейной функции по графику»
На рисунке представлен график функции у = kx +b.
Записать формулу линейной функции, соответствующей данному графику.
1) Так как ордината точки пересечения графика функции с осью Оy равна 1, следовательно, b=1.
Значит, у = kx+ 1
2) Выбираем на графике произвольную точку, например, А (2;2) и определяем её координаты: если x = 2, то у = 2. Подставим в нашу формулу вместо Х и У и получим уравнение относительно k.
2 = 2k+1
2k=1
k = 0.5 Записываем формулу линейной функции: у = 0,5х + 1.
Написать ФОРМУЛУ линейной функции У= КХ+В, график которой изображен на рисунке :
Это ВПР задание 8) это ответ:
ВНИМАНИЕ : задание на сегодня 16 апреля
Внимание : вот эти следующие задания пока НЕ РЕШАТЬ.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
- Сейчас обучается 949 человек из 80 регионов
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
- Сейчас обучается 681 человек из 75 регионов
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
- Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Дистанционные курсы для педагогов
Самые массовые международные дистанционные
Школьные Инфоконкурсы 2022
33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
5 568 022 материала в базе
Материал подходит для УМК
«Алгебра», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.
16. Линейная функция и её график
Другие материалы
- 16.09.2020
- 199
- 11
- 31.03.2020
- 1166
- 30
- 16.03.2020
- 225
- 1
- 16.03.2020
- 191
- 1
- 08.03.2020
- 281
- 6
- 20.02.2020
- 1243
- 70
- 21.01.2020
- 180
- 0
- 09.12.2019
- 418
- 13
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Добавить в избранное
- 30.09.2020 15882
- DOCX 549.2 кбайт
- 155 скачиваний
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Хидиятова Залифа Даутовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Автор материала
- На сайте: 5 лет и 3 месяца
- Подписчики: 0
- Всего просмотров: 38447
- Всего материалов: 37
Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов
Дистанционные курсы
для педагогов
663 курса от 690 рублей
Выбрать курс со скидкой
Выдаём документы
установленного образца!
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
ЕГЭ в 2022 году будут сдавать почти 737 тыс. человек
Время чтения: 2 минуты
Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга
Время чтения: 1 минута
Количество бюджетных мест в вузах по IT-программам вырастет до 160 тыс.
Время чтения: 2 минуты
Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств
Время чтения: 2 минуты
В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов
Время чтения: 1 минута
Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ
Время чтения: 0 минут
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Построение графиков функций
О чем эта статья:
11 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Понятие функции
Функция — это зависимость y от x, где x является переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.
Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:
- Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
- Графический способ — наглядно.
- Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
- Словесный способ.
Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.
Например, для функции вида 
область определения выглядит так
- х ≠ 0, потому что на ноль делить нельзя. Записать можно так: D (y): х ≠ 0.
Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.
Например, естественная область значений функции y = x² — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.
Понятие графика функции
Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.
График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.
Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.
Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.
В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.
Отметим любые три точки на координатной плоскости, например: L (-2; -2), M (0; 0) и N (1; 1).
Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:
Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться в решении задач.
Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.
Исследование функции
Важные точки графика функции y = f(x):
- стационарные и критические точки;
- точки экстремума;
- нули функции;
- точки разрыва функции.
Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.
Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.
Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.
Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.
Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.
Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке: 
Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.
Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.
Схема построения графика функции:
- Найти область определения функции.
- Найти область допустимых значений функции.
- Проверить не является ли функция четной или нечетной.
- Проверить не является ли функция периодической.
- Найти нули функции.
- Найти промежутки знакопостоянства функции, то есть промежутки, на которых она строго положительна или строго отрицательна.
- Найти асимптоты графика функции.
- Найти производную функции.
- Найти критические точки в промежутках возрастания и убывания функции.
- На основании проведенного исследования построить график функции.
У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!
Построение графика функции
Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах.
Задача 1. Построим график функции 
Упростим формулу функции:
при х ≠ -1.
График функции — прямая y = x — 1 с выколотой точкой M (-1; -2).
Задача 2. Построим график функции
Выделим в формуле функции целую часть:
График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции 
Выделение целой части — полезный прием, который применяется в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин.
Задача 3. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax2 + bx + c.
Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.
Ветви вниз, следовательно, a 0.
Точка пересечения с осью Oy — c = 0.
Координата вершины 
, т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.
Ветви вниз, следовательно, a 0.
Координата вершины 
, т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b
Как видим, k = 3 > 0 и угол наклона к оси Ox острый, b = -1 — смещение по оси Oy.
k = -1 > 0 и b = 2 можно сделать аналогичные выводы, как и в первом пункте.
k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, B = 0 — график проходит через начало координат.
k = 0 — константная функция, прямая проходит через точку b = -1 и параллельно оси Ox.
Задача 5. Построить график функции 
Это дробно-рациональная функция. Область определения функции D(y): x ≠ 4; x ≠ 0.
Нули функции: 3, 2, 6.
Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.
Вертикальные асимптоты: x = 0, x = 4.
Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, y = 1 — горизонтальная асимптота.
Вот так выглядит график:
Задача 6. Построить графики функций:
б) 
г) 
д) 
Когда сложная функция получена из простейшей через несколько преобразований, то преобразования графиков можно выполнить в порядке арифметических действий с аргументом.
а) 
Преобразование в одно действие типа f(x) + a.
Сдвигаем график вверх на 1:
б)
Преобразование в одно действие типа f(x — a).
Сдвигаем график вправо на 1:
В этом примере два преобразования, выполним их в порядке действий: сначала действия в скобках f(x — a), затем сложение f(x) + a.
Сдвигаем график вправо на 1:
Сдвигаем график вверх на 2:
г) 
Преобразование в одно действие типа 
Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:
д) 
Мы видим три преобразования вида f(ax), f (x + a), -f(x).
Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.
Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:
Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:
Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:
источники:
http://infourok.ru/algoritm-opredeleniya-formuly-linejnoj-funkcii-po-grafiku-4463697.html
http://skysmart.ru/articles/mathematic/postroenie-grafikov-funkcij
По графику производной y= f ‘ (x) можно не только исследовать поведение функции y=f(x) , но и попытаться построить ее график.
Поскольку для одной функции первообразных существует бесконечное множество, график функции по графику производной можно построить лишь схематично: точки экстремума и промежутки возрастания и убывания функции определить можно, а нули функции и экстремумы — нет.
Дан график производной: y= f ‘ (x):
Построить график функции y=f(x).
Решение:
Точки x=x2, x=x3, x=x4, в которых производная y= f ‘ (x) обращается в нуль — это точки экстремума функции y=f(x).
В точках x=x2 и x=x4 производная меняет знак с «-«на «+», поэтому x2 и x=x4 — точки минимума функции y=f(x).
В точке x=x3 производная меняет знак с «+» на «-«, поэтому x=x3 — точка максимума функции.
На промежутках [x1;x2] и [x3;x4] f ‘ (x)<0, поэтому y=f(x) на этих промежутках убывает.
На промежутках [x2;x3] и [x4;x5] f ‘ (x)>0, поэтому для y=f(x) они являются промежутками возрастания.
Сказать что-то более определенное о нулях и других значениях функции y=f(x) не получится. Данный эскиз графика y=f(x) — один из множества графиков первообразных для функции y= f ‘ (x). Другие могут быть получены из него параллельным переносом вдоль оси oy.
Если график производной y= f ‘ (x) представляет собой прямую, параллельную оси ox (y=b, где b- число),, то функция y=f(x) — линейная. Она является возрастающей, если b>0, убывающей, если b<0, и постоянной, если b=0.
