Как найти функцию по заданному дифференциалу - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Сегодня научим Вас возобновлять функцию через интеграл от ее полного дифференциала.
Алгоритм который описывает что за чем нужно делать детально расписан в приведенной дальше статье.
Формула Ньютона-Лейбница для криволинейного интеграла от полного дифференциала имеет вид
(1)
где P(x, y) частичная производная функции u по переменной y,
Q(x, y) частичная производная функции u по переменной x.
Для ее использования необходимо лишь убедиться, что частичные производные P(x, y), Q(x, y) равны между собой

Криволинейный интеграл 2 рода (1) упрощается, если контур интегрирования от точки M₀(x₀,y₀) к M(x, y) по прямой заменить ломаной, что состоит из прямых параллельных к осям координат M₀M₁ но M₁M или M₀M₂ но M₂M.
С одной стороны это позволяют свойства криволинейных интегралов.
Из другой такой способ имеет практическую выгоду.

На практике можем превратить в нуль один из дифференциалов под интегралом, если интегрировать вдоль прямых параллельных осям, в замен придется интегрировать вдоль двух отрезков прямых, тоесть вычислять сумму двух интегралов. Детальнее об этом можете почитать в статье об интегрировании полных дифференциалов.

Пример 1 Найти функцию z, если известен полный дифференциал функции
dz=(ydx-xdy)/(3x²-2xy+3y²)

Решение: Разделяем слагаемые при dx, dy, но выписываем для функции z дифференциалы P, Q:

Найдем частичные производные первого порядка функций P(x, y), Q(x, y):

Из равенства частичных производных делаем вывод, что выражение dz является полным дифференциалом.
Функцию z найдем с помощью криволинейного интегралу 2-го рода:

Приведенный криволинейный интеграл от точки (0,0) к точке (x, y) будем вычислять вдоль прямых x=0 и y=y0.
Так как криволинейный интеграл не зависит от контура интегрирования, то кривую интегрирования будем строить в виде ломанной из двух прямых, которые параллельны осям и соединяют крайние точки.
Это делается с целью избавиться от одного из дифференциалов на каждом из промежутков интегрирования.
В этом случае ломаную можно выбрать из следующих прямых

Здесь также записано почему ровные соответствующие дифференциалы.
Вычислим криволинейный интеграл 2 рода для возобновления функции z через полный дифференциал:

Внимательно разберите интегрирование.

Пример 2 Найти функцию z, если

Решение: Имеем дифференциал:

Здесь обозначено

Найдем частичные производные первого порядка функций P(x, y) но Q(x, y):

Как видим условие равенства частных производных выполняется , поэтому выражение dz является полным дифференциалом.
Функцию z найдем с помощью криволинейного интеграла 2-го рода:

Полученный криволинейный интеграл от точки (1,0) к точке (x,y) будем вычислять вдоль прямых y=1 и x=x0.
То есть

Возобновим функцию z за ее полным дифференциалом с помощью криволинейного интегралу второго рода

При интегрировании выполнили замену переменных
Выписываем конечное значение интеграла

Впереди Вас ожидают новые решения на криволинейные, поверхностные, тройные и другие интегралы.

Источник

Теорема
1.
Пусть функции
непрерывны
в ограниченной правильной области
.
Для того, чтобы выражение

было полным дифференциалом некоторой
функции
необходимо
и достаточно, чтобы в области

выполнялось условие

(1)

При
этом сама функция восстанавливается
по полному дифференциалу с помощью
криволинейного интеграла 2^го
рода:

(2)

Доказательство.
Необходимость.
Если
,
то (по определению)

и
.
Теорема о равенстве смешанных производных
доказывает равенство (1).

Достаточность.
Равенство (1)
обеспечивает независимость
от
пути (теорема из §7). В доказательстве
леммы 2, §7, мы уже построили функцию

такую, что
.
Эта функция имеет вид (2);
криволинейный интеграл можно свести к
определённому, например, таким образом:

Тогда
получим выражение функции двух переменных
через её частные производные первого
порядка:

Замечание
1.
Условие правильности области было
введено лишь для упрощения доказательства
формулы Грина. На самом же деле всё
доказанное в этом и предыдущем параграфах
имеет место для т.н. односвязной области:

плоская
область

называется односвязной, если каков бы
не был замкнутый контур
,
ограниченная этим контуром часть
плоскости целиком принадлежит

(другими словами, область не содержит
“дыр”).

Всё
доказанное можно свести в такую теорему.

Теорема
2.
Пусть функции
непрерывны
в ограниченной замкнутой односвязной
области
.
Тогда следующие четыре утверждения
равносильны:

по любому контуру
.

3)
интеграл

не зависит от пути в
;

4)
выражение

является полным дифференциалом некоторой
функции.

Действительно,
из 1) следует 2) в силу формулы Грина.
Далее из 2) следует 3) (лемма 1), а из 3)
следует 4) в силу леммы 2. И, наконец, из
4) следует 1) в силу теоремы о равенстве
смешанных производных.

Замечание
2.
Примем без доказательства, что выражение

является полным дифферен-циалом некоторой
функции
,
если выполняются равенства:

(3)

Как
и в двумерном случае, эта функция
восстанавливается криволинейным
интегралом 2^города:

Если
в качестве пути

выбрать ломанную, звенья которой
параллельны осям координат, то получим
выражение

через определённые интегралы:

Пример2.
Убедиться, что выражение

является
полным дифференциалом некоторой функции
и найти эту функцию.

Решение.
Выпишем

и

и найдём их производные:

Равенства
(3)
выполняются,
значит, данное выражение – это полный
дифференциал некоторой функции. Эта
функция имеет вид (в качестве пути
интегрирования выберем начало координат):

Соседние файлы в папке Лекции по мат.анализу

Источник

Уравнения в полных дифференциалах

В этой теме мы рассмотрим метод восстановления функции по ее полному дифференциалу, дадим примеры задач с полным разбором решения.

Бывает так, что дифференциальные уравнения (ДУ) вида P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 могут содержать в левых частях полные дифференциалы некоторых функций. Тогда мы можем найти общий интеграл ДУ, если предварительно восстановим функцию по ее полному дифференциалу.

Пример 1

Рассмотрим уравнение P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0. В записи левой его части содержится дифференциал некоторой функции U(x, y) = 0. Для этого должно выполняться условие ∂P∂y≡∂Q∂x.

Полный дифференциал функции U(x, y) = 0 имеет вид dU=∂U∂xdx+∂U∂ydy. С учетом условия ∂P∂y≡∂Q∂x получаем:

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=∂U∂xdx+∂U∂ydy

Откуда:

∂U∂x=P(x,y)∂U∂y=Q(x,y)

Преобразовав первое уравнение из полученной системы уравнений, мы можем получить:

U(x,y)=∫P(x,y)dx+φ(y)

Функцию φ(y) мы можем найти из второго уравнения полученной ранее системы:
∂U(x,y)∂y=∂∫P(x,y)dx∂y+φy'(y)=Q(x,y)⇒φ(y)=∫Q(x,y)-∂∫P(x,y)dx∂ydy

Так мы нашли искомую функцию U(x, y) = 0.

Пример 2

Найдите для ДУ (x2-y2)dx-2xydy=0 общее решение.

Решение

P(x,y)=x2-y2, Q(x,y)=-2xy

Проверим, выполняется ли условие ∂P∂y≡∂Q∂x:

∂P∂y=∂(x2-y2)∂y=-2y∂Q∂x=∂(-2xy)∂x=-2y

Наше условие выполняется.

На основе вычислений мы можем сделать вывод, что левая часть исходного ДУ является полным дифференциалом некоторой функции U(x, y) = 0. Нам нужно найти эту функцию.

Так как (x2-y2)dx-2xydy является полным дифференциалом функции U(x, y) = 0, то

∂U∂x=x2-y2∂U∂y=-2xy

Интегрируем по x первое уравнение системы:

U(x,y)=∫(x2-y2)dx+φ(y)=x33-xy2+φ(y)

Теперь дифференцируем по y полученный результат:

∂U∂y=∂x33-xy2+φ(y)∂y=-2xy+φy'(y)

Преобразовав второе уравнение системы, получаем: ∂U∂y=-2xy. Это значит, что
-2xy+φy'(y)=-2xyφy'(y)=0⇒φ(y)=∫0dx=C

где С – произвольная постоянная.

Получаем: U(x,y)=x33-xy2+φ(y)=x33-xy2+C. Общим интегралом исходного уравнения является x33-xy2+C=0.

Разберем еще один метод нахождения функции по известному полному дифференциалу. Он предполагает применение криволинейного интеграла от фиксированной точки (x0 , y0) до точки с переменными координатами (x, y):

U(x,y)=∫(x0,y0)(x,y)P(x,y)dx+Q(x,y)dy+C

В таких случаях значение интеграла никак не зависит от пути интегрирования. Мы можем взять в качестве пути интегрировании ломаную, звенья которой располагаются параллельно осям координат.

Пример 3

Найдите общее решение дифференциального уравнения (y-y2)dx+(x-2xy)dy=0.

Решение

Проведем проверку, выполняется ли условие ∂P∂y≡∂Q∂x:

∂P∂y=∂(y-y2)∂y=1-2y∂Q∂x=∂(x-2xy)∂x=1-2y

Получается, что левая часть дифференциального уравнения представлена полным дифференциалом некоторой функции U(x, y)=0. Для того, чтобы найти эту функцию, необходимо вычислить криволинейный интеграл от точки (1; 1) до (x, y). Возьмем в качестве пути интегрирования ломаную, участки которой пройдут по прямой y = 1 от точки (1, 1) до (x, 1), а затем от точки (x, 1) до (x, y):

∫(1,1)(x,y)y-y2dx+(x-2xy)dy==∫(1,1)(x,1)(y-y2)dx+(x-2xy)dy++∫(x,1)(x,y)(y-y2)dx+(x-2xy)dy==∫1x(1-12)dx+∫1y(x-2xy)dy=(xy-xy2)y1==xy-xy2-(x·1-x·12)=xy-xy2

Мы получили общее решение дифференциального уравнения вида xy-xy2+C=0.

Пример 4

Определите общее решение дифференциального уравнения y·cosxdx+sin2xdy=0.

Решение

Проверим, выполняется ли условие ∂P∂y≡∂Q∂x.

Так как ∂(y·cosx)∂y=cosx, ∂(sin2x)∂x=2sinx·cosx, то условие выполняться не будет. Это значит, что левая часть дифференциального уравнения не является полным дифференциалом функции. Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными и для его решения подходят другие способы решения.

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Источник

Обычно вопрос нахождения функции по полному дифференциалу рассматривают в разделе функций нескольких переменных. Поскольку эта операция играет важную роль в приложениях, то, не прибегая к строгости построения такой функции, покажем на примерах этот процесс.

Пример 1

Вычислить:

Решение. Здесь Х = y², Y = 2xy, поэтому проверяем условие (1.30) (которое называют часто условием интегрируемости по формуле Ньютона-Лейбница (1.28)).