Как найти функцию прямой по двум точкам

Как найти функцию прямой по двум точкам

Получить уравнение прямой по двум точкам бывает необходимо, когда мы решаем задачи, связанные с анализом различных фигур на плоскости. В этом случае бывает полезно знать уравнение прямой, проходящей через две точки. Например, составляя такое уравнение мы уже знаем – как проходит прямая, с какие углом наклона к осям координат и можем рассчитать расположение прямой по отношению к другим прямым или к фигурам.

Составляем уравнение прямой по двум точкам

Итак, пусть нам даны две точки A(x_1, y_1) и B(x_2, y_2). Наша прямая проходит через две эти точки, давайте получим уравнение этой прямой. Уравнение пучка прямых, проходящих через точку с координатами A(x_1, y_1) имеет вид:

    [y-y_1=k(x-x_1) eqno (1)]

То есть если прямая проходит через две точки A и B она – одна из этого пучка прямых, проходящих через точку A и эта прямая имеет определенный коэффициент k. Значит, координаты точки B должны удовлетворять уравнению (1), то есть

    [y_2-y_1=k(x_2-x_1) eqno (2)]

.

Находим из (2) k:

    [k=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}]

и подставим в уравнение (1):

    [y-y_1=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1) eqno (3)]

.

Преобразовывая уравнение (3) получим:

    [frac{y-y_1}{y_2-y_1}=frac{x-x_1}{x_2-x_1}]

Это и есть уравнение прямой, проходящей через две точки A(x_1, y_1) и B(x_2, y_2).

Примечание: если точки A и B лежат на прямой, которая параллельна оси Ox (y_2-y_1=0) или оси Oy x_2-x_1=0, то уравнение прямой будет иметь вид y=y_1 или x=x_1 соответственно.

Зная координаты любых двух точек прямой, мы всегда сможем определить угловой коэффициент прямой:

    [k=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}]

Геометрический вывод уравнения прямой

Действительно, давайте нарисуем прямую в системе координат xOy и отметим на прямой две точки A и B, координаты которых известны A(x_1, y_1) и B(x_2, y_2) и отметим на этой прямой произвольную точку M(x,y).

К выводу уравнения прямой через две дочки

Из подобия треугольников AMD и ABC находим:

    [frac{DM}{CB}=frac{AD}{AC}]

Из рисунка видно, что:

    [DM=y-y_1]

    [CB=y_2-y_1]

    [AD=x-x_1]

    [AC=x_2-x_1]

,

Таким образом, получаем уравнение прямой по двум точкам:

    [frac{y-y_1}{y_2-y_1}=frac{x-x_1}{x_2-x_1}]

Задача

Составим уравнение прямой, проходящей через две точки A(1,2) и B(3,7).

Решение: Имеем x_1=1, x_2=3, y_1=2, y_2=7. Подставим эти значения в уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

    [frac{y-2}{7-2}=frac{x-1}{3-1}]

    [frac{y-2}{5}=frac{x-1}{2}]

Умножим левую и правую части уравнения на 5, получим:

y-2=frac{5x-5}{2}

y=2+2,5x-2,5

y=2,5x-0,5 – получившееся уравнение прямой.

Давайте сделаем проверку – если мы все решили правильно, то при подстановке координат точек A и B мы получим верное равенство. Итак, подставим сначала координаты точки A:

y_1=2,5x_1-0,5

2=2,5 cdot 1-0,5

2=2

Теперь координаты точки B:

y_2=2,5x_2-0,5

7=2,5 cdot 3-0,5

7=7

Значит, уравнение прямой мы нашли верно.

Ответ: y=2,5x-0,5

Условие прохождения прямой через три заданные точки

Если нам в задаче нужно убедиться, что три точки с заданными координатами лежат на одной прямой, можно рассуждать так:

  1. Если две точки с заданными координатами образуют прямую, то их координаты удовлетворяют уравнению прямой, проходящей через две точки.
  2. Если третья точка также лежит на этой прямой, то и ее координаты будут удовлетворять этому уравнению.

Таким образом, если нам даны три точки A(x_1, y_1), B(x_2, y_2) и C(x_3, y_3), лежащие на одной прямой, то их координаты будут удовлетворять условию:

    [frac{y_3-y_1}{y_2-y_1}=frac{x_3-x_1}{x_2-x_1}]

Теперь вы легко сможете составить уравнение прямой по двум точкам, а также найти угловой коэффициент прямой и проверить – принадлежит ли третья точка этой прямой.

Источник

Данная статья раскрывает получение уравнения прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат, расположенной на плоскости. Выведем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат. Наглядно покажем и решим несколько примеров, касающихся пройденного материала.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости

Перед получением уравнения прямой, проходящей через две заданные точки необходимо обратить внимание на некоторые факты. Существует аксиома, которая говорит о том, что через две несовпадающие точки на плоскости возможно провести прямую и только одну. Иначе говоря, две заданные точки плоскости определяются прямой линией, проходящей через эти точки.

Если плоскость задана прямоугольной системой координат Оху, то любая изображенная в нем прямая будет соответствовать уравнению прямой на плоскости. Также имеется связь с направляющим вектором прямой. Этих данных достаточно для того, чтобы произвести составление уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.

Рассмотрим на примере решения подобной задачи. Необходимо составить уравнение прямой a, проходящей через две несовпадающие точки M1(x1, y1) и M2(x2, y2), находящиеся в декартовой системе координат.

В каноническом уравнении прямой на плоскости, имеющего вид x-x1ax=y-y1ay, задается прямоугольная система координат Оху с прямой, которая пересекается с ней в точке с координатами M1(x1, y1) с направляющим вектором  a→=(ax, ay).

Необходимо составить каноническое уравнение прямой a, которая пройдет через две точки с координатами M1(x1, y1) и M2(x2, y2).

Прямая а имеет направляющий вектор M1M2→ с координатами(x2-x1, y2-y1), так как пересекает точки М1 и М2. Мы получили необходимые данные для того, чтобы преобразовать каноническое уравнение  с координатами направляющего вектора M1M2→=(x2-x1, y2-y1) и координатами лежащих на них точках M1(x1, y1) и M2(x2, y2). Получим уравнение вида x-x1x2-x1=y-y1y2-y1 или x-x2x2-x1=y-y2y2-y1.

Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости

Следуя по вычислениям, запишем параметрические уравнения прямой на плоскости, которое проходит через две точки с координатами M1(x1, y1) и M2(x2, y2). Получим уравнение вида x=x1+(x2-x1)·λy=y1+(y2-y1)·λ или x=x2+(x2-x1)·λy=y2+(y2-y1)·λ.

Рассмотрим подробней на решении нескольких примеров.

Пример 1

Записать уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки с координатами M1-5, 23, M21, -16.

Решение

Каноническим уравнением для прямой, пересекающейся в двух точках с координатами x1, y1 и x2, y2 принимает вид x-x1x2-x1=y-y1y2-y1. По условию задачи имеем, что x1=-5, y1=23, x2=1, y2=-16.  Необходимо подставить числовые значения в уравнение x-x1x2-x1=y-y1y2-y1. Отсюда получим, что каноническое уравнение примет вид x-(-5)1-(-5)=y-23-16-23⇔x+56=y-23-56.

Ответ: x+56=y-23-56.

При необходимости  решения задачи с другим видом уравнения, то для начала можно перейти к каноническому, так как из него проще прийти к любому другому.

Пример 2

Составить общее уравнение прямой, проходящей через точки с координатами M1(1, 1) и M2(4, 2) в системе координат Оху.

Решение

Для начала необходимо записать каноническое уравнение заданной прямой, которая проходит через заданные две точки. Получим уравнение вида x-14-1=y-12-1⇔x-13=y-11.

Приведем каноническое уравнение к искомому виду, тогда получим:

x-13=y-11⇔1·x-1=3·y-1⇔x-3y+2=0

Ответ: x-3y+2=0.

Примеры таких заданий были рассмотрены в школьных учебниках на уроках алгебры. Школьные задачи отличались тем, что известным было уравнение прямой с угловым коэффициентом, имеющее вид y=kx+b. Если необходимо найти значение углового коэффициента k и числа b, при которых уравнение y=kx+b определяет линию в системе Оху, которая проходит через  точки M1(x1, y1) и M2(x2, y2), где x1≠x2. Когда x1=x2 , тогда угловой коэффициент принимает значение бесконечности, а прямая М1М2 определена общим неполным уравнением вида x-x1=0.

Потому как точки М1 и М2 находятся на прямой, тогда их координаты удовлетворяют уравнению y1=kx1+bи y2=kx2+b. Следует решить систему уравнений y1=kx1+by2=kx2+b относительно k и b.

Для этого найдем k=y2-y1x2-x1b=y1-y2-y1x2-x1·x1 или k=y2-y1x2-x1b=y2-y2-y1x2-x1·x2.

С такими значениями k и b уравнение прямой, проходящее через заданные две точки, принимает следующий вид y=y2-y1x2-x1·x+y2-y2-y1x2-x1·x1 или y=y2-y1x2-x1·x+y2-y2-y1x2-x1·x2.

Запомнить сразу такое огромное количество формул не получится. Для этого необходимо учащать количество повторений в решениях задач.

Пример 3

Записать уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через точки с координатами M2(2, 1) и y=kx+b.

Решение

Для решения задачи применяем формулу с угловым коэффициентом, имеющую вид y=kx+b. Коэффициенты k и b должны принимать такое значение, чтобы данное уравнение соответствовало прямой, проходящей через две точки с координатами M1(-7, -5) и M2(2, 1).

Точки М1 и М2  располагаются на прямой, тогда их координаты должны обращать уравнение y=kx+b  верное равенство. Отсюда получаем, что -5=k·(-7)+b и 1=k·2+b. Объединим уравнение в систему -5=k·-7+b1=k·2+bи решим.

При подстановке получаем, что

-5=k·-7+b1=k·2+b⇔b=-5+7k2k+b=1⇔b=-5+7k2k-5+7k=1⇔⇔b=-5+7kk=23⇔b=-5+7·23k=23⇔b=-13k=23

Теперь значения k=23 и b=-13 подвергаются подстановке в уравнение y=kx+b. Получаем, что искомым уравнением, проходящим через заданные точки, будет уравнение, имеющее вид y=23x-13.

Такой способ решения предопределяет траты большого количества времени. Существует способ, при котором задание решается буквально в два действия.

Запишем каноническое уравнение прямой, проходящей через M2(2, 1) и M1(-7, -5), имеющее вид x-(-7)2-(-7)=y-(-5)1-(-5)⇔x+79=y+56. 

Теперь переходим к уравнению в угловым коэффициентом. Получаем, что: x+79=y+56⇔6·(x+7)=9·(y+5)⇔y=23x-13.

Ответ: y=23x-13.

Уравнения прямой, которая проходит через две заданные точки в трехмерном пространстве

Если в трехмерном пространстве имеется прямоугольная система координат Охуz с двумя заданными несовпадающими точками с координатами M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), проходящая через них прямая M1M2, необходимо получить уравнение этой прямой.

Имеем, что канонические уравнения вида x-x1ax=y-y1ay=z-z1az и параметрические вида x=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λспособны задать линию в системе координат Охуz, проходящую через точки, имеющие координаты (x1, y1, z1) с направляющим вектором a→=(ax, ay, az).

Прямая M1M2 имеет направляющий вектор вида M1M2→=(x2-x1, y2-y1, z2-z1), где прямая проходит через точку M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), отсюда каноническое уравнение может быть вида x-x1x2-x1=y-y1y2-y1=z-z1z2-z1 или x-x2x2-x1=y-y2y2-y1=z-z2z2-z1, в свою очередь параметрические x=x1+(x2-x1)·λy=y1+(y2-y1)·λz=z1+(z2-z1)·λ или x=x2+(x2-x1)·λy=y2+(y2-y1)·λz=z2+(z2-z1)·λ.

Рассмотрим рисунок, на котором изображены 2 заданные точки в пространстве  и уравнение прямой.

Уравнения прямой, которая проходит через две заданные точки в трехмерном пространстве

Пример 4

Написать уравнение прямой, определенной в прямоугольной системе координат Охуz трехмерного пространства, проходящей через заданные две точки с координатами M1(2, -3, 0) и M2(1, -3, -5).

Решение

Необходимо найти каноническое уравнение. Так как речь идет о трехмерном пространстве, значит при прохождении прямой через заданные точки, искомое каноническое уравнение примет вид x-x1x2-x1=y-y1y2-y1=z-z1z2-z1.

По условию имеем, что x1=2, y1=-3, z1=0, x2=1, y2=-3, z2=-5. Отсюда следует, что необходимые уравнения запишутся таким образом:

x-21-2=y-(-3)-3-(-3)=z-0-5-0⇔x-2-1=y+30=z-5

Ответ: x-2-1=y+30=z-5.

Источник

На этой странице вы найдете два калькулятора, которые строят уравнение прямой по координатам двух точек, принадлежащих этой прямой.

Первый калькулятор находит уравнение прямой с угловым коэффициентом, то есть уравнение в форме y=ax+b. Также он строит график и отдельно выводит угловой коэффициент и значение y в месте пересечения прямой с осью ординат.

Второй калькулятор находит параметрические уравнения прямой, то есть систему уравнений вида x=at+x_0\y=bt+y_0. Он также строит график и отдельно выводит направляющий вектор.

Формулы расчета можно найти под калькуляторами.

PLANETCALC, Уравнение прямой с угловым коэффициентом по двум точкам

Уравнение прямой с угловым коэффициентом по двум точкам

Первая точка

Вторая точка

Значение y в точке пересечения с осью ординат

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

PLANETCALC, Параметрическое уравнение прямой

Параметрическое уравнение прямой

Первая точка

Вторая точка

Параметрическое уравнение для x

Параметрическое уравнение для y

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Найдем уравнение прямой с угловым коэффициентом по двум известным точкам (x_0, y_0) и (x_1, y_1).

Нам надо найти угловой коэффициент a и y координату точки пересечения прямой с осью ординат b.

Мы можем составить следующие уравнения для двух точек относительно a и b
y_0=ax_0+b\y_1=ax_1+b

Вычитаем первое из второго
y_1 - y_0=ax_1 - ax_0+b - b\y_1 - y_0=ax_1 - ax_0\y_1 - y_0=a(x_1 -x_0)

Откуда
a=frac{y_1 - y_0}{x_1 -x_0}

b можно найти как
b=y-ax
Таким образом, как только мы нашли а, для расчета b достаточно только подставить значения x_0, y_0, a или x_1, y_1, a в выражение выше.

Параметрическое уравнение прямой

Найдем параметрическое уравнение прямой по двум известным точкам (x_0, y_0) и (x_1, y_1).

Нам надо найти компоненты направляющего вектора.
D=begin{vmatrix}d_1\d_2end{vmatrix}=begin{vmatrix}x_1-x_0\y_1-y_0end{vmatrix}
Этот вектор описывает величину и направление воображаемого движения по прямой от первой до второй точки.

Имея направляющий вектор, легко записать параметрические уравнения прямой
x=d_1t+x_0\y=d_2t+y_0
Обратите внимание, что если t = 0, то x = x_0, y = y_0 и если t = 1, то x = x_1, y = y_1

Источник

Перейти к содержанию

Вывести уравнение прямой по координатам двух точек

Просмотров 23к. Обновлено 26 октября 2021

Общее уравнение прямой имеет вид y = kx + b. Для какой-то конкретной прямой в уравнении коэффициенты k и b заменяются на числа, например, y = 4x — 2. Задача сводится именно к нахождению этих коэффициентов.

Так как координаты точки это значения x и y, то мы имеем два уравнения. Пусть, например, координаты точки А(3;2), а координаты B(-1;-1). Получаем уравнения:
2 = k*3 + b,
-1 = k*(-1) + b.
Решая полученную систему уравнений находим значения k и b:
b = 2 — 3k
-1 = -k + 2 — 3k
4k = 3
k = 3/4 = 0.75
b = 2 — 3 * 0.75 = 2 — 2.25 = -0.25
Таким образом, получается уравнение конкретной прямой, проходящей через указанные точки: y = 0.75x — 0.25.

Вывод общих выражений для вычисления b и k:
| y1 = kx1 + b
| y2 = kx2 + b
b = y2 — kx2
y1 = kx1 + y2 — kx2
k = (y1 — y2) / (x1 — x2)

Алгоритм решения данной задаче на языке программирования будет таков:

  1. Получить значения координат первой точки и присвоить их переменным, например x1 и y1.
  2. Получить значения координат (x2, y2) второй точки.
  3. Вычислить значение k по формуле k = (y1 — y2) / (x1 — x2).
  4. Вычислить значение b по формуле b = y2 — k * x2.
  5. Вывести на экран полученное уравнение.

Pascal

уравнение прямой по двум точкам паскаль



var	

	x1,y1,x2,y2: real;

	k, b: real;

 
begin

	write('A(x1;y1): '); readln(x1, y1);

	write('B(x2;y2): '); readln(x2, y2);





  



                       
  






 
	k := (y1 - y2) / (x1 - x2);

	b := y2 - k * x2;

 
	writeln('y = ',k:0:2,'x + ',b:0:2);

end.





A(x1;y1): 

1.2

5.6

B(x2;y2): 

-3.45 8.2

y = -0.56x + 6.27

Язык Си



#include 

 
main() {

    float x1, y1, x2, y2, k, b;

 
    printf("A(x1;y1): ");

    scanf("%f%f", &x1,&y1);

    printf("A(x2;y2): ");

    scanf("%f%f", &x2,&y2);

 
    k = (y1 - y2) / (x1 - x2);

	b = y2 - k * x2;

 
    printf("Уравнение прямой: y = %.2fx + %.2fn", k, b);

}





  



                       
  










A(x1;y1): 5.67 -1.45

A(x2;y2): -3.12 4.00

Уравнение прямой: y = -0.62x + 2.07

Python

уравнение прямой по двум точкам python
уравнение прямой по двум точкам python



print("Координаты точки A(x1;y1):")

x1 = float(input("tx1 = "))

y1 = float(input("ty1 = "))

 
print("Координаты точки B(x2;y2):")

x2 = float(input("tx2 = "))

y2 = float(input("ty2 = "))

 
print("Уравнение прямой, проходящей через эти точки:")

k = (y1 - y2) / (x1 - x2)

b = y2 - k*x2

print(" y = %.2f*x + %.2f" % (k, b))





Координаты точки A(x1;y1):

	x1 = 4.3

	y1 = -1.2

Координаты точки B(x2;y2):

	x2 = -8.5

	y2 = 4

Уравнение прямой, проходящей через эти точки:

 y = -0.41*x + 0.55

КуМир



алг уравнение_прямой

нач

  вещ x1, y1, x2, y2, k, b

  вывод "Координаты точки A(x1;y1): "

  ввод x1, y1

  вывод "Координаты точки B(x2;y2): "

  ввод x2, y2

  k := (y1 - y2) / (x1 - x2)

  b := y2 - k * x2

  вывод "Уравнение прямой: y = " + вещ_в_лит(k) + "x + " + вещ_в_лит(b)

кон







Координаты точки A(x1;y1): 4 9

Координаты точки B(x2;y2): -1 -3

Уравнение прямой: y = 2.4x + -0.6

Basic-256



input "x1 = ", x1

input "y1 = ", y1

input "x2 = ", x2

input "y2 = ", y2

 
k = (y1 - y2) / (x1 - x2)

b = y2 - k * x2





  



                       
  






 
decimal 2

print "y = " + k + "x + " + b 





x1 = 7.45

y1 = -1

x2 = -3.4

y2 = 3

y = -0.37x + 1.75

Источник

Получить уравнение прямой, проходящей через две точки помогут созданные нами калькуляторы. Предлагаем найти каноническое и параметрическое уравнение прямой, а также уравнение прямой с угловым коэффициентом как на плоскости, так и в пространстве.

Прямая – это бесконечная линия, по которой проходит кратчайший путь между любыми двумя её точками.

Уравнения прямой, проходящей через две точки могут быть следующих видов:

  • каноническое уравнение,
  • параметрическое уравнение,
  • общее уравнение прямой,
  • уравнение прямой с угловым коэффициентом,
  • уравнение прямой в полярных координатах и другие.

Для получения уравнений введите координаты двух точек прямой. Онлайн-калькулятор найдет уравнения и выдаст результат с подробным решением.

Каноническое уравнение прямой на плоскости

{dfrac{x-x_a}{x_b-x_a} = dfrac{y-y_a}{y_b-y_a}}

xa и ya – координаты первой точки A,

xb и yb – координаты второй точки B

Параметрическое уравнение прямой на плоскости

{begin{cases} x=l cdot t + x_a \ y=m cdot t + y_a end{cases}}

xa, ya – координаты точки, лежащей на прямой,

{l;m} – координаты направляющего вектора прямой,

t – произвольный параметр, аналогичный параметру в векторно-параметрическом уравнении.

Каноническое уравнение прямой в пространстве

{dfrac{x-x_a}{x_b-x_a} = dfrac{y-y_a}{y_b-y_a} = dfrac{z-z_a}{z_b-z_a}}

xa, ya и za – координаты первой точки A,

xb, yb и zb – координаты второй точки B

Параметрическое уравнение прямой в пространстве

{ begin{cases} x=l cdot t + x_a \ y=m cdot t + y_a \ z=n cdot t + z_a end{cases} }

xa, ya и za – координаты точки, лежащей на прямой,

{l;m;n} – координаты направляющего вектора прямой,

t – произвольный параметр, аналогичный параметру в векторно-параметрическом уравнении.

Пример нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки

Найдем уравнения прямой, проходящей через точки A(1,2) и B(3,8).

Каноническое уравнение прямой

Каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид {dfrac{x-x_a}{x_b-x_a} = dfrac{y-y_a}{y_b-y_a}}

Подставим в формулу координаты точек A и B: {dfrac{x-1}{3-1} = dfrac{y-2}{8-2}}

Получаем каноническое уравнение прямой: {dfrac{x-1}{2} = dfrac{y-2}{4}}

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Из канонического уравнения получаем уравнение прямой с угловым коэффициентом: {y=3x-1}

Параметрическое уравнение прямой

Параметрическое уравнение прямой имеет вид:

{ begin{cases} x=l cdot t + x_a \ y=m cdot t + y_a end{cases} }

где {x_a, y_b} – координаты точки, лежащей на прямой, {{l;m}} – координаты направляющего вектора прямой, t – произвольный параметр, аналогичный параметру в векторно-параметрическом уравнении. В качестве координат используем координаты точки {A(x_a, y_b)}.

Найдем координаты направляющего вектора:

overline{AB} = {x_b – x_a; y_b – y_a} = {3-1; 8-2} = {2; 6}

Получаем параметрическое уравнение:

begin{cases} x=2 t + 1 \ y=6 t + 2 end{cases}

Используем калькулятор для проверки полученного ответа.

Источник

Добавить комментарий