Как найти геодезическую длину

Геодезические линии

Из геометрии Евклида мы знаем, что в плоском пространстве кратчайшее расстояние между двумя точками — это прямая линия. Основным признаком прямой линии служит то, что ее длина является минимальной по сравнению с любой кривой, соединяющей те же точки. Оказалось, что в любых метрических пространствах существуют линии, обладающие минимальной длинной. Их принято называть геодезическими линиями.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.3. Линия, соединяющая две точки пространства и имеющая наименьшую длину по сравнению с любой другой, проходящей через эти же точки, называется геодезической.

Вывод дифференциального уравнения, основанного на определении 11.3, требует знаний

вариационного исчисления. Поэтому мы воспользуемся другим свойством геодезической линии: при параллельном переносе единичного касательного вектора вдоль геодезической он остается постоянным, т.е. ковариантная производная от его компонент равна нулю. Правда, откровенно следует сказать, что сам процесс параллельного переноса вектора в пространстве Римана теряет свою наглядность и становится неоднозначным. К сожалению, у нас нет иного выхода, как ограничится этим замечанием в надежде на любознательность читателя.

Рассмотрим в линию, задаваемую параметрическими уравнениями , где — произвольный параметр. Из математического анализа известно, что — вектор касательный к данной линии. Нормируем этот вектор на единицу, вводя новый параметр .

.

Отсюда . Вычислим ковариантную производную от и приравняем ее нулю.

Умножим это равенство на и просуммируем по .

Учитывая зависимость и формулу вычисления сложной производной,

(11.5)

Формула (11.5) задает дифференциальное уравнение геодезической линии в римановых пространствах. Если пространство Евклида рассматривать как частный случай риманового с кривизной равной нулю, то в нем всегда можно ввести ДСК, где все и уравнение (11.5) принимает вид: . Решением этого уравнения является прямая линия, задаваемая системой параметрических уравнений: .

Упражнение 11

1. Вывести уравнение геодезической линии, пользуясь определением геодезической как кривой экстремальной длины.

2. Найти символы Кристоффеля и компоненты тензора кривизны в 2-мерном пространстве вида:

a) ,

b)

3. Вычислить в ортонормированном базисе тензор кривизны для метрики:

,

где — функции от .

Найти для этой метрики тензор Риччи, скалярную кривизну и тензор Эйнштейна.

1. Пчелин Б. К. Векторный анализ. — М., 1969.

2. Краснов М. Л. и др. Векторный анализ. — М., 1978.

3. Фомин А. В., Будак В. Г. Кратные интегралы и ряды. — М., 1967.

4. Кухлинг Х. Справочник по физике . — М., 1982.

5. Кочин К. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления.— М., 1957.

6. Рашевский П. К. Тензорный анализ и риманова геометрия. — М., 1967

7. Дубровин Б. А. Современная геометрия — М., 1979.

8. Мак — Конелл Дж. Введение в тензорный анализ. — М., 1969.

Дата добавления: 2016-10-17 ; просмотров: 1043 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник

Решение задач по топографическим планам

Изменить язык:

Мобильная версия: Начать изучение

Масштабы: численный, линейный и поперечный

Масштабом

горизонтальным проложением линии

С помощью масштаба решаются две задачи: 1 — определение длины линии на топографическом плане (карте); 2 — построение заданной линии на топографическом плане (карте).

Применяется три типа масштаба:

численный, линейный и поперечный.

Численным масштабом

Численный масштаб – величина неименованная. Он записывается так: 1:1000, 1:2000, 1: 5000 и т.д., причём в такой записи 1000, 2000 и 5000 называется знаменателем масштаба М.

Численный масштаб говорит о том, что в одной единице длины линии на плане (карте ) содержится точно столько же единиц длины на местности. Так, например, в одной единице длины линии на плане 1:5000 содержится точно 5000 таких же единиц длины на местности, а именно: один сантиметр длины линии на плане 1:5000 соответствует 5000 сантиметрам на местности (т.е. 50 метрам на местности); в одном миллиметре длины линии на плане 1:5000 содержится 5000 миллиметров на местности (т.е. в одном миллиметре длины линии на плане 1:5000 содержится 500 сантиметров или 5 метров на местности) и т.д.

При работе с планом в ряде случаев пользуются линейным масштабом.

Линейный масштаб

Рис.1

Основанием линейного масштаба называется отрезок АВ линейного масштаба (основная доля масштаба), равный обычно 2 см. Он переводится в соответствующую длину на местности и подписывается. Крайнее левое основание масштаба делят на 10 равных частей.

Наименьшее деление основания линейного масштаба равно 1/10 основания масштаба.

Пример: для линейного масштаба (использующегося при работе на топографическом плане масштаба 1:2000), показанного на рисунке 1, основание масштаба АВ равно 2 см (т.е. 40 метрам на местности), а наименьшее деление основания равно 2 мм, что в масштабе 1:2000 соответствует 4 м на местности.

Отрезок cd (рис. 1), взятый с топографического плана масштаба 1:2000, состоит из двух оснований масштаба и двух наименьших делений основания, что, в итоге, соответствует на местности 2х40м+2х2м = 88 м.

Более точное графическое определение и построение длин линий можно сделать с помощью другого графического построения — поперечного масштаба (рис. 2).

Поперечный масштаб

Основание AB нормального поперечного масштаба равно, как и в линейном масштабе, также 2 см. Наименьшее деление основания равно CD =1/10 АВ= 2мм. Наименьшее деление поперечного масштаба равно cd = 1/10 CD =1/100 АВ = 0,2мм (что следует из подобия треугольника BCD и треугольника Bcd).

Таким образом, для численного масштаба 1:2000 основание поперечного масштаба будет соответствовать 40 м, наименьшее деление основания (1/10 основания) равно 4 м, а наименьшее деление масштаба 1/100 АВ равно 0,4 м.

Пример: отрезок ав (рис. 2), взятый с плана масштаба 1:2000, соответствует на местности 137,6 м (3 основания поперечного масштаба (3х40=120 м), 4 наименьших деления основания (4х4=16 м) и 4 наименьших деления масштаба (0.4х4=1.6 м), т.е. 120+16+1.6=137.6 м) .

Остановимся на одной из важнейших характеристик понятия «масштаб».

Точностью масштаба называется горизонтальный отрезок на местности, который соответствует величине 0,1 мм на плане данного масштаба. Эта характеристика зависит от разрешающей способности невооруженного человеческого глаза, которая (разрешающая способность) позволяет рассмотреть минимальное расстояние на топографическом плане в 0.1мм. На местности эта величина будет уже равна 0.1 мм х М, где М – знаменатель масштаба.

Рис.2

Поперечный масштаб, в частности, позволяет измерить длину линии на плане (карте) масштаба 1:2000 именно с точностью данного масштаба.

Пример: в 1 мм плана 1:2000 содержится 2000 мм местности, а в 0,1мм, соответственно, 0,1 x М (мм) = 0.1 х 2000 мм = 200 мм = 20 см, т.е. 0,2 м.

Поэтому при измерении (построении) на плане длины линии ее значение следует округлить с точностью масштаба. Пример: при измерении (построении) линии длиной 58,37 м (рис. 3), ее значение в масштабе 1:2000 (с точностью масштаба 0,2 м) округляется до 58,4 м, а в масштабе 1:500 (точность масштаба 0,05 м) – длина линии округляется уже до 58,35 м.

Рис.3

Чтение
топографических планов

Для пользования топографическими планами необходимо изучить условные знаки, принятые для данного масштаба. Условные знаки – графические обозначения, которые показывают местоположение предметов и явлений, а также их количественные и качественные характеристики. Они издаются в виде отдельных таблиц или таблиц на учебных планах. Условные знаки делятся на масштабные (контурные), и внемасштабные.

Масштабными называются условные знаки, которыми местные предметы изображаются в масштабе данного плана, т.е. крупные объекты, например, пашни, луга, леса, моря, озера и т.п.

Внемасштабные условные знаки – знаки, показывающие предметы, которые вследствие своей малости не могут быть изображены в масштабе плана (ширина дорог, колодцы, родники, мосты, опоры ЛЭП, столбы электросети и т.д.). Величина этих знаков не соответствует истинным размерам изображаемых предметов.

Линейные знаки — картографические условные знаки, применяемые для изображения объектов линейного характера, длина которых выражается в масштабе карты, но ширина значительно превышает их фактическую ширину.

Площадные условные знаки — картографические условные знаки, применяемые для заполнения площадей объектов, выражающихся в масштабе карты.

Внемасштабные линейные знаки — картографические условные знаки, применяемые для изображения объектов линейного характера, длина которых не выражается в масштабе карты.

Внемасштабные площадные условные знаки — картографические условные знаки, применяемые для изображения объектов, площади которых не выражаются в масштабе карты (плана).

Пояснительные подписи — подписи, поясняющие вид или род изображенных на карте объектов, а также их количественные и качественные характеристики.

Штриховые элементы карты (плана) — элементы карты (плана), выполненные линиями, штрихами или точками.

Фоновые элементы карты (плана) — элементы карты (плана), выполненные каким-либо цветовым фоном.

Скачать условные знаки для топографических планов:

Задачи, решаемые
по топографическим планам

По топографическому плану можно решить ряд задач, в том числе определить: прямоугольные координаты точки; длину линии; дирекционный угол и румб линии; отметку точки; уклон, крутизну ската и др. Порядок решения этих задач показан на примере учебного плана масштаба 1:2000.

Определение прямоугольных
координат точек

На топографических планах наносится координатная сетка, образующая квадраты со сторонами 10 см. Вертикальные линии сетки параллельны оси абсцисс, а горизонтальные — оси ординат. Координаты вершин квадратов координатной сетки подписываются. Для быстрого нахождения какой-нибудь точки на топографическом плане указывают нижний левый угол соответствующего квадрата сетки координат.

Пример : запись 79,2 означает, что абсцисса линии сетки Х = 79,2 км, т.е. отстоит по оси Х от начала координат на 79200 м. Запись 66,2 означает, что ордината линии сетки Y = 66,2 км, т.е. отстоит по оси У от начала координат на 66200 м.

Для быстрого нахождения какой-нибудь точки на топографическом плане указывают нижний левый угол соответствующего квадрата сетки координат.

Пример: пользуясь координатной сеткой, циркулем и поперечным масштабом, по топографическому плану можно определить прямоугольные координаты точки А (рис. 4), находящейся в квадрате 79,2 – 66,2. Необходимо помнить, что абсциссы возрастают к северу, а ординаты — к востоку.

Сначала записывают в метрах абсциссу Х (южной) линии квадрата, в котором находится точка А, т.е. Х(южной линии сетки) =79200,0 м. Циркулем и поперечным масштабом определяют расстояние Δх = Y(а)-Y(А) также в метрах с точностью масштаба. Полученную величину Δх=64,8 м прибавляют к абсциссе нижней (южной) линии квадрата Х(южной линии сетки) =79200,0 м и находят абсциссу точки А: Х(А) = 79200,0 + 64,8 = 79264,8 м.

Рис.4

Аналогично определяют ординату точки А: к значению ординаты западной линии сетки квадрата У(западной линии сетки) =66200,0 м прибавляют длину отрезка Δy =y(A)-y(b), равную 141,6 м, и получают Y(А) = 66200,0 + 141,6 = 66341,6 м.

Измерение длин линий

Расстояние между точками А и В измеряется циркулем, значение длины линии АВ находится по поперечному масштабу и записывается с точностью масштаба.

Определение
дирекционного угла

Дирекционным углом α называется горизонтальный угол, отсчитываемый от северного направления осевого меридиана, по ходу часовой стрелки, до направления данной линии.

Дирекционный угол α линии АВ можно измерить с помощью транспортира. На рис. 5 представлены дирекционные углы α₁, α₂, α₃, и α₄ четырех линий М-1, М-2, М-3, М-4.

Рис.5

Дирекционный угол заданного направления α _пр называется прямым , а противоположного – обратным α _обр (рис. 6).

Рис.6

Связь между прямым и обратным дирекционными углами выглядит так:

Румбом (r) называется острый горизонтальный угол между северным или южным направлением оси ОХ координатной сетки и направлением данной линии. Румбы могут иметь значения от 0 до 90 градусов и сопровождаются названием четверти, в которой находится линия. На рис. 7 показаны румбы четырех линий М-1, М-2, М-3, М-4. Румбы этих линий записывают: СВ: r₁; ЮВ: r₂; ЮЗ: r₃; и СЗ: r₄, где, например, СВ — наименование румба, а r₁ — значение румба. Например, так выглядит записанный румб: ЮВ: 30º15′

Рис.7

Румб заданного направления r _пр. называется прямым , а противоположного – обратным r _обр. Прямой и обратный румбы равны по величине и отличаются только наименованием (рис. 8).

Например, если прямой румб равен r _пр = СВ: 350º, то обратный румб равен r _обр= ЮЗ: 350º.

Рис.8

Таблица перехода от дирекционных углов α к румбам r приведена ниже.

Формулы перехода от дирекционных углов к румбам

Определение отметок точек
и крутизны ската линии местности

Высотой Н точки местности называется расстояние по направлению отвесной линии от точки до уровенной поверхности.

Например, Н(А) = A(a) – высота точки А над уровенной по-верхностью PQ, Н(В) = B(b) — высота точки B над уровенной по-верхностью PQ (рис. 9).

Отметкой точки местности называется численное значение высоты точки. Например, Н(А) = 150 м, Н(В) =149 м.

На топографическом плане рельеф изображается надписями отметок отдельных характерных точек, условными знаками (промоина, обрыв и т. п.) и горизонта-лями.

Горизонталями называются замкнутые кривые линии, со-единяющие точки местности с одинаковыми отметками. Горизонтали образуются путём пересечения поверхности местности секущими горизонтальными плоскостями, проведенными через заданное расстояние, которое называется высотой сечения рельефа h.

Заложением называется расстояние d на плане между двумя соседними горизонталями (рис. 9 – 11).

Рис.9

По отметкам двух смежных (соседних) горизонталей можно определить отметку точки, лежащей между ними. Например: отметка первой точки В на нижней (рис. 10) горизонтали H1 = 161 м, отметка второй точки А на верхней (рис. 10) горизонтали H2 = 162 м (т.е. высота сечения рельефа h = 1 м), заложение d = 16,8 м, расстояние от первой горизонтали до точки С равно с = 7,6 м (рис. 10). Тогда (с требуемой точностью до 0,1 м) вычисляем отметку НС точки С по формуле

Крутизна ската — это угол, образуемый направлением ската с горизонтальной плоскостью в данной точке А. Уклон u линии местности – это тангенс угла наклона ν линии местности (тангенс крутизны ската) к горизонтальной плоскости (рис. 11).

Рис.11

Чем больше угол наклона, тем скат круче.

Для нашего примера уклон линии местности между горизонталями равен

Источник

При вычислении
длин линий в результат измерения вводят
поправки, которые исключают влияние
система­тических погрешностей.

Поправка
∆D_к
за
компарирование мерного прибора.
При измерении линий фактическая длина
мерного при­бора отличается от номинала
на величину поправки за компарирование

l
= l₀
+ ∆l_к.
Оцифровка мерного при­бора соответствует
номиналу, поэтому результат измере­ния
остатка обозначим через r₀.
В этом случае фактиче­ская длина
остатка r
за счет
поправки за компарирование изменится
на величину, пропорциональную длине
остат­ка, т. е.

r
= r₀
+ (∆_к/l₀)r₀

(26.1)

Аналогичное
равенства можно записать для отрезка,
чья длина кратна номинальной длине
ленты l₀

D
= n(l₀
+ ∆l_к),
(26.2)

где n
– число целых мерных лент, отложенных
в процессе измерения отрезка.

Полная длина линии
запишется как сумма (24.1) и (24.2)

D
= n(l₀
+ ∆l_к)
+ (r₀
+

r₀).
(26.3)

Раскроем скобки
и перепишем формулу (24.3) в несколько
ином виде

D
= (nl₀
+ r₀)
+

_к.
(26.4)

Величина (nl₀
+ r₀)
– эта длина линии, вычисленная с
номинальным значением длины мерного
прибора. Обозначив ее через D₀,
запишем

D
= D₀
+ (D₀/l₀)∆l_к
.

Величину

∆D_к
= D
– D₀
= (D₀/l₀)∆l_к

называют поправкой
в длину мерного прибора за компарирование.

Поправка
∆D
_t за
температуру
мерного
прибора.
При измерении линий температура мерного
прибора t
обычно
отличается от температуры компарирования
t₀.
В этом случае длина мерного прибора
равна

l
= l₀
+ α(t
– t₀)l₀

где α
–
коэффициент
линейного расширения материала мерного
прибора (для стали α
= 12,5.10^-6).

Соответственно
изменится длина остатка

r
= r₀
+ α(t –
t₀)r₀.

С учетом предыдущего
соотношения получим уравнение, учитывающее
поправку за температурное расширение
прибора.

D
= (nl₀
+ r₀)
+ α (t –
t₀)
(nl₀
+ r₀),

но nl₀
+ r₀
=D₀,
тогда

D
= D₀
+ α (t
– t₀)
D₀.

Величину

∆D_t
= D
– D₀
= α(t
– t₀)D₀.

называют поправкой
в длину линии за температуру мер­ного
прибора.

Если при измерении
линий для создания топографиче­ских
планов разность температур по абсолютной
величине не превышает 8º, то поправку
за температуру не учиты­вают. При
учете поправок обычно измеряют температуру
воздуха, а не мерного прибора. Возникающая
при этом погрешность мала и не влияет
на точность измерений.

При измерении длин
линий на конструкциях зданий и сооружений
дополнительно учитывают температурные
расширения конструкций. Если температуру
конструкций при эксплуатации обозначить
через t_э,
то поправку за температуру можно
вычислить по формуле

∆D_t
= ∆α(t_ср–
t_э)D₀
+ ∆tα_срD₀,
(26.5)

где α_ср,
t_ср
– средние
значения соответственно коэффи­циентов
линейного расширения и температур
конструк­ций и мерного прибора; ∆α,
∆t
– разности
коэффициентов линейного расширения и
температур конструкций мерного прибора.

Поправку по формуле
(26.5) учитывают при выполнении высокоточных
линейных измерений на конструкциях
уникальных сооружений.

На объектах массовой
застройки из сборных железо­бетонных
конструкций разность коэффициентов
линейного расширения ∆α.
близка к
нулю (0,5.10^-6),
поэтому пер­вый член правой части
равенства (26.5) мал. Тогда

∆D_t
= ∆tα_срD₀.

Наибольшие
затруднения при измерениях вызывает
определение температуры конструкций,
так как для этого приходится в них делать
лунки. Поэтому поправки по формуле
(26.5) учитывают только при возведении
зданий повышенной этажности и промышленных
сооружений с пролетами между опорами
более 6м.

На типовых зданиях
массовой застройки для упро­щения
вычислений и измерений значения поправок
метро­вых делений прибора приводят
к значениям температуры эксплуатации
здания, что позволяет обойтись без учета
температуры.

Поправка
∆D_ν,h
за приведение линии к горизонту.
Горизонтальное положение d
наклонной
линии D
находят по углу наклона v
или по превышению h
(рис. 31).

Если известен угол
наклона, то из прямоугольного треугольника
АВС имеем

d
= D
cos ν.

Рис.
31. Поправка за приведение линии к
горизонту

При вычислениях
горизонтальных проложений исполь­зуют
микрокалькуляторы. При отсутствии
микрокальку­лятора для упрощения
вычислений в результаты измере­ний
вводят поправку

∆ D_ν
= d
– D
= – D(1
– cosν)
= –2D
sin(ν/2)

Поправка за
приведение линий к горизонту всегда
отрицательна,, так как горизонтальное
проложение всегда меньше длины наклонной
линии.

При углах наклона
менее 10º синус изменяется про­порционально
значениям угла. Поэтому sin (v/2)≈
0,5 sin
v.
Тогда

∆D_ν
= –0,5sin²ν

Если известно
превышение концов измеряемой линии, то
по теореме Пифагора (рис. 31)
имеем

D²
= d²
+h²;
h²
= D²
– d²
=
(D
– d)
(D
+ d).

При вычислениях
поправки обычно удерживают две­–три
значащие цифры, поэтому можно принять
d≈D.
Если учесть, что ∆D_h
= d
– D,
то

∆D_h
= – h²/2D

(24.6)

Если линия имеет
перегибы ската, то поправки за приведение
к горизонту вычисляют по частям. При
этом линию разбивают на отрезки с
равномерными скатами, а поправку для
каждого отрезка вычисляют раздельно
по формуле (24.6).

Окончательно
горизонтальное проложение линии с
уче­том всех поправок вычисляют по
формуле

d
= D₀
+ ∆D_к
+ ∆D_t
+ ∆D_ν,h.

При измерении
линий могут быть допущены промахи и
грубые погрешности. Один вид промахов
(оцифровку делений) был отмечен выше.
Существует еще целый ряд погрешностей,
влияние которых на суммарный результат
измере­ний можно существенно уменьшить.
Эти погрешности носят си­стематический
характер по влиянию на результат, но
случайны по величине. Чтобы уменьшить
их величины, необходимо учиты­вать
следующее.

1. Отклонение концов
рулетки от створа измерений всегда
увеличивает измеряемую длину. Чем меньше
отклоняются концы от створа, тем меньше
погрешность измерения. При измерениях
для многих целей укладку мерных приборов
в створ производят с использованием
оптических труб. К такому приему прибегают
в тех случаях, когда хотят получить
результат с относительной погрешностью
менее 1:3000 от измеряемой длины. Отклонения
от створа концов 30 и 50-метровых рулеток
более чем на 0,15м
недопустимы.

2. Большую погрешность
в измеряемую длину может внести разное
натяжение прибора при эталонировании
и практической работе. Следует избегать
избыточного натяжения, так как тонкое
полотно рулеток растягивается, при этом
часто не восстанавли­вая начальную
длину. Достаточно точно (до ± 100 Н) можно
вы­держать натяжение, используя для
этого ручные приборы – ди­намометры
типа ПН-2 или пружинные бытовые весы.

3. Недопустимо
ослаблять внимание при отсчитывании
по кон­цам мерного прибора или его
фиксации. Достигнутая точность может
быть утрачена при неодновременном
снятии отсчетов, под­вижке мерного
прибора во время фиксации его концов.
Поэтому не следует пренебрегать
возможностью дважды или даже трижды
взять отсчеты по концам мерного прибора
и сравнить разности от­счетов по
переднему и заднему концам (П – 3).
Разность отсчетов (для одного пролета
измерений) при работе рулетками не
должна превышать 2мм, а при измерении
мерными лентами – 1см.

4. Необходимо
следить не только за превышением концов
мер­ного прибора, но и за его изгибом
в вертикальной плоскости. Точ­ность
определения поправки за наклон зависит
от точности опре­деления превышений:
чем короче линия, тем точнее надо знать
превышение. Как правило, достаточно его
знать с погрешностью до 1,0…1,5 см на 100м
длины.

5. При введении
поправок за отличие температуры, данной
в урав­нении рулетки (+20С^º),
и температуры измерений следует помнить,
что измеряют температуру воздуха, а
поправку вводят за изменение температуры
металлического полотна мерного прибора.
Поэтому при прямом солнечном облучении
мерного прибора термометр подкла­дывают
под его полотно и держат 3…5 мин. с тем,
чтобы точнее определить температуру
мерного полотна. Разность температуры
воз­духа и мерного прибора измеряют
с погрешностью не грубее 5 С^º.

6. Существенно
исказить результат измерения может
плохое за­крепление точек, между
которыми ведется измерение. Вязкая
поч­ва, зыбко забитые кол, штырь или
шпилька, изменяющие свое положение от
случайных ударов, приводят к появлению
недопу­стимых погрешностей в измеряемой
длине. Назад

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #

  12.03.20156.3 Mб35Краткий курс аналитической геометрии.pdf

• #
• #
• #
• #
• #
• #

8.1. Измерение длин линий мерными лентами и рулетками

Мерные приборы. Расстояния в геодезии измеряют мерными приборами и дальномерами. Мерными приборами называют ленты, рулетки, проволоки, которыми расстояние измеряют путём укладки мерного прибора в створе измеряемой линии. Дальномеры применяют оптические и светодальномеры.

Мерные ленты типа ЛЗ изготавливают из стальной полосы шириной до 2,5 см и длиной 20, 24 или 50 м. Наиболее распространены 20-метровые ленты. На концах лента имеет вырезы для фиксирования концов втыкаемыми в землю шпильками. На ленте отмечены метровые и дециметровые деления. Для хранения ленту наматывают на специальное кольцо. К ленте прилагается комплект из шести (или одиннадцати) шпилек.

Рулетки – узкие (до 10 мм) стальные ленты длиной 20, 30, 50, 75 или 100 м с миллиметровыми делениями. Для высокоточных измерений служат рулетки, изготовленные из инвара – сплава (64% железа, 35,5% никеля и 0,5% различных примесей), имеющего малый коэффициент линейного расширения. Для измерений пониженной точности применяют тесьмяные и фиберглассовые рулетки.

Компарирование. До применения мерных приборов их компарируют. Компарированием называется сравнение длины мерного прибора с другим прибором, длина которого точно известна.

Для компарирования ленты ЛЗ на ровной поверхности (например, досчатой, каменной) с помощью выверенной образцовой ленты отмеряют отрезок номинальной длины (20 м) и укладывают на том же месте проверяемую рабочую ленту. Совместив нулевой штрих ленты с началом отрезка, закрепляют конец ленты в этом положении. Затем ленту растягивают и линеечкой измеряют величину несовпадения конечного штриха ленты с концом отрезка, то есть отличие Dl длины ленты от номинала. В последующем эту величину используют для вычисления поправок за компарирование. Ими исправляют результаты измерений лентой. Если Dl не превышает 1-2 мм, поправкой за компарирование пренебрегают.

Для компарирования ленты в полевых условиях на ровной местности закрепляют концы базиса. Базис измеряют более точным прибором (светодальномером, рулеткой или лентой, проверенной на стационарном компараторе), а затем компарируемой лентой. Из сравнения результатов измерений получают поправку Dl. Измерения выполняют несколько раз и за окончательный результат принимают среднее.

Рулетки, предназначаемые для высокоточных измерений, компарируют на стационарных компараторах, где по результатам проверки длины ленты при разных температурах выводят уравнение её длины:

l = l₀ + Dl + a l₀ (t– t₀). (8.1)

Здесь l – длина ленты при температуре t; l₀ – номинальная длина; Dl – поправка к номинальной длине при температуре компарирования t₀ ; a – температурный коэффициент линейного расширения. Для новых рулеток уравнение длины указывают в паспорте прибора.

Вешение линии. Перед измерением длины линии на её концах устанавливают вехи. Если длина линии превышает 100 м или на каких-то её участках не видны установленные вехи, то в их створе ставят дополнительные вехи (створом двух точек называют проходящую через них вертикальную плоскость). Вешение обычно ведут «на себя». Наблюдатель становится на провешиваемой линии у вехи A (рис. 8.1, а), а рабочий по его указаниям ставит веху 1 так, чтобы она закрыла собой веху B. Таким же образом последовательно устанавливают вехи 2, 3 и т. д. Установка вех в обратном порядке, то есть «от себя», является менее точной, так как ранее выставленные вехи закрывают видимость на последующие.

Рис. 8.1. Вешение линии: а – “на себя”; б – через препятствие; в – то же (вид в плане).

Если точки A и B недоступны или между ними расположена возвышенность (рис. 8.1, б, в), то вехи ставят примерно на линии AB на возможно большем расстоянии друг от друга, но так, чтобы в точке C увидеть вехи B и D, а в точке D – вехи A и C. При этом рабочий в точке C по указаниям рабочего в точке D ставит свою веху в створ линии AD. Затем рабочий в точке D по указаниям рабочего в точке C переносит свою веху в точку D₁, то есть в створ точек C и B. Затем из точки С веху переносят в точку С₁ и так далее до тех пор, когда обе вехи окажутся в створе AB.

Измерение длин линий лентой. Ориентируясь по выставленным вехам, два мерщика откладывают ленту в створе линии, фиксируя концы ленты втыкаемыми в землю шпильками. По мере продвижения измерений задний мерщик вынимает из земли использованные шпильки и использует их для подсчета числа отложенных лент. Измеренное расстояние равно D=20n+r, где n – число отложенных целых лент и r – остаток (отсчет по последней ленте, меньший 20 м).

Длину измеряют дважды – в прямом и обратном направлениях. Расхождение не должно превышать 1/2000 (при неблагоприятных условиях – 1/1000). За окончательное значение принимают среднее.

Введение поправок. Измеренные расстояния исправляют поправками за компарирование, за температуру и за наклон.

Поправка за компарирование определяется по формуле

D_k = n Dl ,

где Dl – отличие длины ленты от 20 м и n – число уложенных лент. При длине ленты больше номинальной – поправка положительная, при длине меньше номинальной – отрицательная. Поправку за компарирование вводят в измеренные расстояния, если Dl > 2 мм.

Поправка за температуру определяется по формуле

D_t = aD(t–t₀)

где a – термический коэффициент расширения (для стали a = 0,0000125); t и t₀ – температура ленты во время измерений и при компарировании. Поправку D_t учитывают, если ½t–t₀½>10°.

Поправка за наклон вводится для определения горизонтального проложения d измеренного наклонного расстояния D

d = D cosn , (8.2)

где n – угол наклона. Вместо вычисления по формуле (8.2) можно в измеренное расстояние D ввести поправку за наклон: d=D+Dn, где

D_n = d – D = D (cosn – 1) = -2D sin² . (8.3)

По формуле (8.3) составляют таблицы, облегчающие вычисления.

Поправка за наклон имеет знак минус. При измерениях лентой ЛЗ поправку учитывают, когда углы наклона превышают 1°.

Если линия состоит из участков с разным уклоном, то находят горизонтальные проложения участков и результаты суммируют.

Углы наклона, необходимые для приведения длин линий к горизонту, измеряют эклиметром или теодолитом.

Эклиметр имеет внутри коробки 5 (рис. 8.2, а) круг с градусными делениями на его ободе. Круг вращается на оси и под действием укреплённого на нём груза 3 занимает положение, при котором нулевой диаметр круга горизонтален. К коробке прикреплена визирная трубка с двумя диоптрами – глазным 1 и предметным 4.

Рис. 8.2. Эклиметр: а – устройство; б – измерение угла наклона

Для измерения угла наклона n в точке B (рис. 8.2, б) ставят веху с меткой M на высоте глаза. Наблюдатель (в точке A), глядя в трубку 2 эклиметра, наводит её на точку M и нажатием кнопки 6 освобождает круг. Когда нулевой диаметр круга примет горизонтальное положение, против нити предметного диоптра 4 берут отсчёт угла наклона. Точность измерения угла эклиметром 15 – 30¢.

Поверку эклиметра выполняют измерением угла наклона одной и той же линии в прямом и обратном направлениях. Оба результата должны быть одинаковы. В противном случае надо переместить груз 3 в такое положение, при котором отсчёт будет равен среднему из прямого и обратного измерений.

Точность измерений лентой в разных условиях различна и зависит от многих причин – неточное укладывание ленты в створ, ее непрямолинейность, изменения температуры ленты, отклонения угла наклона ленты от измеренного эклиметром, неодинаковое натяжение ленты, ошибки фиксирования концов ленты, зависящие от характера грунта и др.

Приближённо точность измерений лентой ЛЗ считают равной 1:2000. При благоприятных условиях она в 1,5 – 2 раза выше, а при неблагоприятных – около 1:1000.

Измерение расстояний рулетками. Измерения рулеткой, выполняемые для составления плана местности, аналогичны измерениям лентой ЛЗ. Для измерений с более высокой точностью, необходимой, например, в разбивочных работах, выполняемых при строительстве сооружений, измеряемую линию расчищают, выравнивают и разбивают на отрезки по длине рулетки, забивая в створе линии до уровня земли колья и отмечая створ втыкаемыми в них иглами или ножами. При неровной поверхности на неё укладывают доски или даже делают мостки. Для измерения пролёта между соседними иглами (ножами) рулетку укладывают вдоль пролёта и натягивают с той же силой (50 или 100 H), что и при компарировании, используя для этого динамометр. Отсчёты по рулетке берут одновременно по команде против двух игл (лезвий ножей). Длину пролёта d_i определяют по формуле

d_i = П – З,

где П и З – передний (больший) и задний отсчёты по шкале рулетки. Полученный результат исправляют поправками за компарирование и температуру, используя уравнение длины рулетки (8.1).

Если линия имеет наклон, необходимо учесть поправку

,

где h – превышение между концами пролёта, измеряемое нивелиром.

Длина линии определится как сумма длин пролётов. Относительные ошибки расстояний при такой методике измерений 1:5000 – 1:10000.

ГЕОДЕЗИЧЕСКОЕ РАССТОЯНИЕ

Полезное