Как найти геометрический центр треугольника

Центроид треугольника
Медианы и центроид треугольника
Барицентрические координаты	1 : 1 : 1
Трилинейные координаты
Код ЭЦТ	X(2)
Связанные точки
Изогонально сопряженная	точка Лемуана
Изотомически сопряженная	она же
Дополнительная[es]	она же
Антидополнительная[es]	она же

Центроид треугольника (также барицентр треугольника и центр тяжести треугольника) — точка пересечения медиан в треугольнике^[1].

Центроид традиционно обозначается латинской буквой . Центроид треугольника относится к замечательным точкам треугольника и он перечислен в энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга, как точка X(2).

Свойства[править | править код]

• Центроид делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
• Центроид лежит на отрезке, соединяющем ортоцентр и центр описанной окружности, и делит его в отношении 2:1 (см. прямая Эйлера).
• Если в вершины треугольника поместить равные массы, то центр масс (барицентр) полученной системы будет совпадать с центроидом. Более того, центр масс треугольника с равномерно распределённой внутри массой также находится в центроиде.
• Если  — центроид треугольника то для любой точки верно равенство

  .

• Центроид является точкой, для которой сумма квадратов расстояний до вершин треугольника принимает наименьшее значение (теорема Лейбница).
• Три отрезка прямых, соединяющих вершины треугольника с центроидом, разбивают данный треугольник на три равновеликих треугольника (равной площади).
• Три отрезка прямых, соединяющих середины сторон треугольника с центроидом, разбивают данный треугольник на три равновеликих четырёхугольника (равной площади).
• При изогональном сопряжении центроид переходит в точку Лемуана (в точку пересечения трех симедиан треугольника).
• Построим две прямые, каждая из которых проходит через точку Аполлония и точку Торричелли, отличную от изогонально сопряжённой ей. Такие прямые пересекутся в центроиде треугольника.
• Пусть  — треугольник на плоскости. Окружность, проходящая через центроид и две точки Аполлония треугольника , называется окружностью Парри треугольника .
• Три чевианы, проведённые через произвольную точку внутри треугольника, делят своими концами стороны треугольника на шесть отрезков. Произведение длин трёх из этих шести отрезков, не имеющих общих концов, максимально, если точка совпадает с центроидом^[2].
• Сумма квадратов сторон треугольника равна утроенной сумме квадратов расстояний от центроида до вершин:

.^[3]

и

,

где  — площадь треугольника.

История[править | править код]

Факт того, что три медианы пересекаются в одной точке, был доказан ещё Архимедом.

Вариации и обобщения. Центроиды в четырёхугольнике[править | править код]

• Центроид (барицентр или центр масс) произвольного четырёхугольника лежит в точке пересечения средних линий четырёхугольника и отрезка, соединяющего середины диагоналей, и делит все три отрезка пополам.

Четыре отрезка, каждый из которых соединяет вершину четырёхугольника с центроидом треугольника, образованного оставшимися тремя вершинами, пересекаются в центроиде четырёхугольника и делятся им в отношении 3:1, считая от вершины

• Если во вписанном в окружность четырёхугольнике провести диагональ, а в полученные два треугольника вписать две окружности, затем аналогично поступить, проведя вторую диагональ, тогда центроиды этих четырёх треугольников лежат на одной окружности^[5].
• У выпуклого четырёхугольника, вписанного в окружность, «центроид площади» или центр масс его площади G_a, вершинный центроид или центр масс четырёх его вершин G_v и точка пересечения его диагоналей P коллинеарны. Расстояния между этими точками удовлетворяют формуле^[6]

См. также[править | править код]

• Барицентр
• Центр тяжести
• Центр масс
• Ортоцентр
• Инцентр
• Замечательные точки треугольника
• Геометрия треугольника

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 80-81. — ISBN 5-94057-170-0.
• Дм. Ефремов. Новая геометрия треугольника 1902 год
• Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М: Учпедгиз, 1962. 153 с.
• Altshiller-Court, Nathan (1925), College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2nd ed.), New York: Barnes & Noble

Центр треугольника

Треугольник — наиболее распространенная форма деталей в сферах машиностроения и строительства. Точка пересечения 3-х медиан считается центром треугольника. На эту точку приходится также центр тяжести и центр симметрии предметов треугольной формы. При разработке дизайнерских, инженерных проектов очень важно точно рассчитать центр тяжести элементов металлической или бетонной конструкции.

Существует несколько понятий центра для треугольника.

Инцентр — точка пересечения его биссектрис. Это — центр описанной около треугольника окружности.

Ортоцентр — точка пересечения его высот.

Центр тяжести,центр масс или центроид (обозн. М) — точка пересечения медиан треугольника.

Рассмотрим треугольник. Определим середины его сторон и соединим их с противолежащими углами. Точка пересечения медиан и будет центром тяжести тр-ка. Медиана делится этой точкой в пропорции 2:1 , (считая от вершины тр-ка).

Как найти центр треугольника

Если известны координаты его вершин, найдем сумму трех значений координат «х» и трех значений координат «у». Поделим каждую сумму на 3, получим среднее значение сумм координат «х» и «у», что и будет координатами центра тяжести.

Центром равностороннего треугольника является точка пересечения высот, биссектрис и медиан.

Центр равностороннего треугольника является также центром вписанной и описанной окружности.

Центроид расположен на отрезке, соединяющем ортоцентр и центр описанной окружности. Центроид делит отрезок 2:1.

Быстро найти центр треугольника G можно с помощью онлайн калькулятора. Для этого:

• ввести в поле калькулятора координаты вершин треугольника;
• нажать кнопку Вычислить. Калькулятор вычислит значение центра треугольника G.

Центр треугольника

Центр треугольника является центром симметрии одной из наиболее распространенных в машиностроении и строительстве формы деталей. Важным практическим применением вычисления данного параметра является потребность знать, в каком месте будет находиться центр тяжести того или иного элемента бетонной или металлической конструкции.

Центр треугольника, центр тяжести, центр симметрии находятся в одной точке. Именно на нее, точку пересечения трех медиан, приходится вес всей однородной детали треугольной формы. При выявлении значения центра треугольника G с помощью онлайнового калькулятора необходимо задать координаты его вершин:
o (x1, y1);
o (x2, y2);
o (x3, y3).

Важным направлением ряда инженерных расчетов является определение статических моментов в отношении тех или иных сложных по форме деталей. Следует иметь в виду, что любую фигуру можно представить совокупностью простых фигур, к которым относятся треугольник, прямоугольник и пр.

Статический момент сложной детали может быть определен как сумма статических моментов входящих в нее элементов. Отсюда вытекает важность умения быстро находить значения центра треугольника (центра тяжести), прямоугольника и пр.

Как определить центр треугольника?

Как найти середину у треугольника?

Пересекающиеся медианы Найдите середину одной стороны треугольника. Для этого измерьте сторону и разделите ее длину пополам. Середину отметьте точкой A.

Как найти центр тяжести в треугольнике?

Центроид треугольника (также барицентр треугольника и центр тяжести треугольника) — точка пересечения медиан в треугольнике. . Центроид треугольника относится к замечательным точкам треугольника и он перечислен в энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга, как точка X(2).

Как найти центр тяжести в прямоугольном треугольнике?

Как найти координаты центра тяжести треугольника?

1. Рисуем треугольник ABC.
2. Ставим точку M – середина BC.
3. Ставим точку H – середина AC.
4. Пересечение BH и AM – и есть центр тяжести треугольника ABC.
5. Найдем его координаты (координаты точки O (xo, yo, zo) )

Как найти Инцентр?

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в этот треугольник. Инцентр лежит ближе к вершине, расположенной напротив большей стороны треугольника.

Как найти центр тяжести тела неправильной формы?

Центр тяжести тела неправильной формы можно определить так: подвесить его за любую точку, и провести вертикальную линию по отвесу. Затем повернуть тело и повторить операцию. Точка пересечения двух прямых и есть центр тяжести тела.

Где находится центр тяжести призмы?

Так, центр тяжести призмы и цилиндра лежит на середине линии, соединяющей центры тяжести оснований. Центр тяжести шара совпадает с его геометрическим центром. Центр тяжести пирамиды (рис. 18, а) лежит на прямой, соединяющей центр тяжести площади основания с противоположной вершиной на расстоянии /4 высоты от основания.

Где находится центр тяжести у кольца?

Так, центр тяжести однородных диска и шара расположен в их центре, однородного цилиндра в точке на середине его оси; однородного параллелепипеда на пересечении его диагоналей и т, д. У всех однородных тел центр тяжести совпадает с центром симметрии. Центр тяжести может находиться вне тела, например, у кольца.

Как найти Центроид фигуры?

Центроид (барицентр или центр масс) вершин произвольного четырёхугольника лежит в точке пересечения 3-х отрезков: 1-й отрезок соединяет середины диагоналей, два другие – середины противополежащих сторон. Точка пересечения делит все три отрезка пополам.

Где находится центр тяжести однородного треугольника?

Таким образом, центр тяжести треугольника лежит в точке пересечения его медиан, которая, как известно, отделяет от каждой медианы третью часть, считая от соответствующей стороны.

Где находится центр тяжести у трапеции?

Для произвольной трапеции (то есть она может быть прямоугольной, тупоугольной, равнобокой или любой другой) справедливо то, что центр ее тяжести лежит на прямой, которая соединяет середины оснований трапеции.

Как найти центр масс треугольника?

Как найти центр треугольника

Если известны координаты его вершин, найдем сумму трех значений координат «х» и трех значений координат «у». Поделим каждую сумму на 3, получим среднее значение сумм координат «х» и «у», что и будет координатами центра тяжести.

Как найти длину медианы в прямоугольном треугольнике?

Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равняется половине квадратного корня из суммы квадратов катетов.

Где находится центр круга?

Центр вписанной окружности треугольника (инцентр) — одна из замечательных точек треугольника, точка пересечения биссектрис треугольника. Центр вписанной в треугольник окружности также иногда называют инцентром.

Где лежит центр равнобедренного треугольника?

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является серединным перпендикуляром. Следовательно, центр описанной около равнобедренного треугольника окружности будет лежать на серединном перпендикуляре, который является и высотой, и медианой, и биссектрисой угла при вершине.

Где лежит центр окружности?

Окружность, проходящая через все три вершины треугольника, называется его описанной окружностью. Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

[spoiler title=”источники:”]

http://allcalc.ru/node/846

http://topobzor10.ru/kak-opredelit-tsentr-treugolnika

[/spoiler]

Была ли эта статья полезной?

Формулы площадей, центров тяжести, осевых и полярных моментов инерции, моментов сопротивления и других геометрических характеристик основных простых фигур: прямоугольника, квадрата, равнобедренного и прямоугольного треугольника, круга, полукруга, четверти круга, кольцевого и тонкостенного сечений.

Обозначения в формулах:
C — положение центра тяжести фигуры;
A — площадь сечения;
I_x , I_y — осевые моменты инерции сечения относительно главных осей;
I_x1 , I_y1 — осевые моменты инерции относительно вспомогательных (смещённых) осей;
I_ρ — полярный момент инерции сечения;
W_x , W_y — осевые моменты сопротивления;
W_ρ — полярный момент сопротивления

Прямоугольник

Прямоугольник высотой h и шириной b.

Центр тяжести прямоугольника в точке пересечения его диагоналей, на расстоянии половины высоты (h/2) по вертикали и половины ширины (b/2) по горизонтали.

Площадь

Центральные осевые моменты инерции прямоугольника

Моменты инерции относительно смещенных осей, проходящих через нижнюю левую точку

Осевые моменты сопротивления прямоугольного сечения

Квадрат

Квадрат — это частный случай прямоугольника, у которого высота равна ширине, т.е. h=b=a.

Центр тяжести квадрата находится так же на пересечении диагоналей — на расстоянии половины стороны (a/2) по высоте и ширине.

Площадь

Центральные осевые моменты инерции квадрата

Моменты инерции относительно смещенных осей, проходящих через нижнюю левую точку

Осевой момент сопротивления квадратного сечения

Треугольник равнобедренный

Равнобедренный треугольник высотой h и шириной основания b.

Центр тяжести треугольника располагается в точке пересечения его медиан на расстоянии 1/3 высоты от основания и 2/3 высоты от его вершин.

Площадь

Центральные осевые моменты инерции треугольника

Момент инерции относительно смещенной оси x₁, проходящей через его основание

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник высотой h и шириной основания b.

Центр тяжести прямоугольного треугольника располагается аналогично, на пересечении медиан на расстоянии 1/3 высоты от основания и 2/3 высоты от вершины.

Площадь

Центральные осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Моменты инерции относительно смещенных осей x₁ и y₁, проходящих через точку, соединяющую его катеты

Трапеция

Равнобокая трапеция высотой H и шириной оснований: малого a и большого b.

Площадь трапеции

Центр тяжести на линии, соединяющей середины оснований трапеции, на высоте, определяемой по формуле:

Круг

Круг диаметром D (d) или радиусом R (r)

Площадь круга через его диаметр и радиус

Центральные осевые и полярный моменты инерции круга

Осевые и полярный моменты сопротивления

Полукруг

Половина круга диаметром D (d) или радиусом R (r)

Площадь

Осевые моменты инерции полукруга

Четверть круга

Четверть круга диаметром D (d) или радиусом R (r)

Площадь

Центральные осевые моменты инерции четверти круга

Моменты инерции относительно смещенных осей x₁ и y₁

Кольцо

Кольцо с внешним диаметром D и внутренним d, (радиусами: внешним R и внутренним r)

Отношение внутреннего диаметра (радиуса) к внешнему обозначается буквой c.

Площадь

Центральные осевые и полярный моменты инерции кольца

Осевые и полярный моменты сопротивления

Тонкостенное сечение (труба)

Тонкостенный профиль (сечение трубы) средним радиусом R₀ и толщиной стенки трубы t при R₀>>t

Площадь

Центральные осевые и полярный моменты инерции трубного сечения

Осевые и полярный моменты сопротивления

Пример определения координат центра тяжести сложной фигуры:

Другие видео

Смотрите также:
Определение координат центра тяжести сложных фигур
Геометрические характеристики сечений

Сохранить или поделиться с друзьями

Вы находитесь тут:

На нашем сайте Вы можете получить решение задач и онлайн помощь

Подробнее