Статья дает подробное разъяснение определений, геометрического смысла производной с графическими обозначениями. Будет рассмотрено уравнение касательной прямой с приведением примеров, найдено уравнения касательной к кривым 2 порядка.
Определения и понятия
Угол наклона прямой y=kx+b называется угол α, который отсчитывается от положительного направления оси ох к прямой y=kx+b в положительном направлении.
На рисунке направление ох обозначается при помощи зеленой стрелки и в виде зеленой дуги, а угол наклона при помощи красной дуги. Синяя линия относится к прямой.
Угловой коэффициент прямой y=kx+b называют числовым коэффициентом k.
Угловой коэффициент равняется тангенсу наклона прямой, иначе говоря k=tg α.
- Угол наклона прямой равняется 0 только при параллельности ох и угловом коэффициенте, равному нулю, потому как тангенс нуля равен 0. Значит, вид уравнения будет y=b.
- Если угол наклона прямой y=kx+b острый, тогда выполняются условия 0<α<π2 или 0°<α<90°. Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию tg α>0, причем имеется возрастание графика.
- Если α=π2, тогда расположение прямой перпендикулярно ох. Равенство задается при помощи равенства x=c со значением с, являющимся действительным числом.
- Если угол наклона прямой y=kx+b тупой, то соответствует условиям π2<α<π или 90°<α<180°, значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.
Секущей называют прямую, которая проходит через 2 точки функции f(x). Иначе говоря, секущая – это прямая, которая проводится через любые две точки графика заданной функции.
По рисунку видно, что АВ является секущей, а f(x) – черная кривая, α – красная дуга, означающая угол наклона секущей.
Когда угловой коэффициент прямой равняется тангенсу угла наклона, то видно, что тангенс из прямоугольного треугольника АВС можно найти по отношению противолежащего катета к прилежащему.
Получаем формулу для нахождения секущей вида:
k=tg α=BCAC=f(xB)-fxAxB-xA, где абсциссами точек А и В являются значения xA, xB, а f(xA), f(xB) – это значения функции в этих точках.
Очевидно, что угловой коэффициент секущей определен при помощи равенства k=f(xB)-f(xA)xB-xA или k=f(xA)-f(xB)xA-xB, причем уравнение необходимо записать как y=f(xB)-f(xA)xB-xA·x-xA+f(xA) или
y=f(xA)-f(xB)xA-xB·x-xB+f(xB).
Секущая делит график визуально на 3 части: слева от точки А, от А до В, справа от В. На располагаемом ниже рисунке видно, что имеются три секущие, которые считаются совпадающими, то есть задаются при помощи аналогичного уравнения.
По определению видно, что прямая и ее секущая в данном случае совпадают.
Секущая может множественно раз пересекать график заданной функции. Если имеется уравнение вида у=0 для секущей, тогда количество точек пересечения с синусоидой бесконечно.
Касательная к графику функции f(x) в точке x0; f(x0) называется прямая, проходящая через заданную точку x0; f(x0), с наличием отрезка, который имеет множество значений х, близких к x0.
Рассмотрим подробно на ниже приведенном примере. Тогда видно, что прямая, заданная функцией y=x+1, считается касательной к y=2x в точке с координатами (1; 2). Для наглядности, необходимо рассмотреть графики с приближенными к (1; 2) значениями. Функция y=2x обозначена черным цветом, синяя линия – касательная, красная точка – точка пересечения.
Очевидно, что y=2x сливается с прямой у=х+1.
Для определения касательной следует рассмотреть поведение касательной АВ при бесконечном приближении точки В к точке А. Для наглядности приведем рисунок.
Секущая АВ, обозначенная при помощи синей линии, стремится к положению самой касательной, а угол наклона секущей α начнет стремиться к углу наклона самой касательной αx.
Касательной к графику функции y=f(x) в точке А считается предельное положение секущей АВ при В стремящейся к А, то есть B→A.
Теперь перейдем к рассмотрению геометрического смысла производной функции в точке.
Геометрический смысл производной функции в точке
Перейдем к рассмотрению секущей АВ для функции f(x), где А и В с координатами x0, f(x0) и x0+∆x, f(x0+∆x), а ∆x обозначаем как приращение аргумента. Теперь функция примет вид ∆y=∆f(x)=f(x0+∆x)-f(∆x). Для наглядности приведем в пример рисунок.
Рассмотрим полученный прямоугольный треугольник АВС. Используем определение тангенса для решения, то есть получим отношение ∆y∆x=tg α. Из определения касательной следует, что lim∆x→0∆y∆x=tg αx. По правилу производной в точке имеем, что производную f(x) в точке x0 называют пределом отношений приращения функции к приращению аргумента, где ∆x→0, тогда обозначим как f(x0)=lim∆x→0∆y∆x.
Отсюда следует, что f'(x0)=lim∆x→0∆y∆x=tg αx=kx, где kx обозначают в качестве углового коэффициента касательной.
То есть получаем, что f’(x) может существовать в точке x0 причем как и касательная к заданному графику функции в точке касания равной x0, f0(x0), где значение углового коэффициента касательной в точке равняется производной в точке x0. Тогда получаем, что kx=f'(x0).
Геометрический смысл производной функции в точке в том, что дается понятие существования касательной к графику в этой же точке.
Уравнение касательной прямой
Чтобы записать уравнение любой прямой на плоскости, необходимо иметь угловой коэффициент с точкой, через которую она проходит. Его обозначение принимается как x0 при пересечении.
Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x0, f0(x0) принимает вид y=f'(x0)·x-x0+f(x0).
Имеется в виду, что конечным значением производной f'(x0) можно определить положение касательной, то есть вертикально при условии limx→x0+0f'(x)=∞ и limx→x0-0f'(x)=∞ или отсутствие вовсе при условии limx→x0+0f'(x)≠limx→x0-0f'(x).
Расположение касательной зависит от значения ее углового коэффициента kx=f'(x0). При параллельности к оси ох получаем, что kk=0, при параллельности к оу – kx=∞, причем вид уравнения касательной x=x0 возрастает при kx>0, убывает при kx<0.
Произвести составление уравнения касательной к графику функции y=ex+1+x33-6-33x-17-33 в точке с координатами (1; 3) с определением угла наклона.
Решение
По условию имеем, что функция определяется для всех действительных чисел. Получаем, что точка с координатами, заданными по условию, (1; 3) является точкой касания, тогда x0=-1, f(x0)=-3.
Необходимо найти производную в точке со значением -1. Получаем, что
y’=ex+1+x33-6-33x-17-33’==ex+1’+x33′-6-33x’-17-33’=ex+1+x2-6-33y'(x0)=y'(-1)=e-1+1+-12-6-33=33
Значение f’(x) в точке касания является угловым коэффициентом касательной, который равняется тангенсу наклона.
Тогда kx=tg αx=y'(x0)=33
Отсюда следует, что αx=arctg33=π6
Ответ: уравнение касательной приобретает вид
y=f'(x0)·x-x0+f(x0)y=33(x+1)-3y=33x-9-33
Для наглядности приведем пример в графической иллюстрации.
Черный цвет используется для графика исходной функции, синий цвет – изображение касательной, красная точка – точка касания. Рисунок, располагаемый справа, показывает в увеличенном виде.
Выяснить наличие существования касательной к графику заданной функции
y=3·x-15+1 в точке с координатами (1;1). Составить уравнение и определить угол наклона.
Решение
По условию имеем, что областью определения заданной функции считается множество всех действительных чисел.
Перейдем к нахождению производной
y’=3·x-15+1’=3·15·(x-1)15-1=35·1(x-1)45
Если x0=1, тогда f’(x) не определена, но пределы записываются как limx→1+035·1(x-1)45=35·1(+0)45=35·1+0=+∞ и limx→1-035·1(x-1)45=35·1(-0)45=35·1+0=+∞, что означает существование вертикальной касательной в точке (1;1).
Ответ: уравнение примет вид х=1, где угол наклона будет равен π2.
Для наглядности изобразим графически.
Найти точки графика функции y=115x+23-45×2-165x-265+3x+2, где
- Касательная не существует;
- Касательная располагается параллельно ох;
- Касательная параллельна прямой y=85x+4.
Решение
Необходимо обратить внимание на область определения. По условию имеем, что функция определена на множестве всех действительных чисел. Раскрываем модуль и решаем систему с промежутками x∈-∞; 2 и [-2; +∞). Получаем, что
y=-115×3+18×2+105x+176, x∈-∞; -2115×3-6×2+9x+12, x∈[-2; +∞)
Необходимо продифференцировать функцию. Имеем, что
y’=-115×3+18×2+105x+176′, x∈-∞; -2115×3-6×2+9x+12′, x∈[-2; +∞)⇔y’=-15(x2+12x+35), x∈-∞; -215×2-4x+3, x∈[-2; +∞)
Когда х=-2, тогда производная не существует, потому что односторонние пределы не равны в этой точке:
limx→-2-0y'(x)=limx→-2-0-15(x2+12x+35=-15(-2)2+12(-2)+35=-3limx→-2+0y'(x)=limx→-2+015(x2-4x+3)=15-22-4-2+3=3
Вычисляем значение функции в точке х=-2, где получаем, что
- y(-2)=115-2+23-45(-2)2-165(-2)-265+3-2+2=-2, то есть касательная в точке (-2;-2) не будет существовать.
- Касательная параллельна ох, когда угловой коэффициент равняется нулю. Тогда kx=tg αx=f'(x0). То есть необходимо найти значения таких х, когда производная функции обращает ее в ноль. То есть значения f’(x) и будут являться точками касания, где касательная является параллельной ох.
Когда x∈-∞; -2, тогда -15(x2+12x+35)=0, а при x∈(-2; +∞) получаем 15(x2-4x+3)=0.
Решим:
-15(x2+12x+35)=0D=122-4·35=144-140=4×1=-12+42=-5∈-∞; -2×2=-12-42=-7∈-∞; -2 15(x2-4x+3)=0D=42-4·3=4×3=4-42=1∈-2; +∞x4=4+42=3∈-2; +∞
Вычисляем соответствующие значения функции
y1=y-5=115-5+23-45-52-165-5-265+3-5+2=85y2=y(-7)=115-7+23-45(-7)2-165-7-265+3-7+2=43y3=y(1)=1151+23-45·12-165·1-265+31+2=85y4=y(3)=1153+23-45·32-165·3-265+33+2=43
Отсюда -5; 85, -4; 43, 1; 85, 3; 43 считаются искомыми точками графика функции.
Рассмотрим графическое изображение решения.
Черная линия – график функции, красные точки – точки касания.
- Когда прямые располагаются параллельно, то угловые коэффициенты равны. Тогда необходимо заняться поиском точек графика функции, где угловой коэффициент будет равняться значению 85 . Для этого нужно решить уравнение вида y'(x)=85. Тогда, если x∈-∞; -2, получаем, что -15(x2+12x+35)=85, а если x∈(-2; +∞), тогда 15(x2-4x+3)=85.
Первое уравнение не имеет корней, так как дискриминант меньше нуля. Запишем, что
-15×2+12x+35=85×2+12x+43=0D=122-4·43=-28<0
Другое уравнение имеет два действительных корня, тогда
15(x2-4x+3)=85×2-4x-5=0D=42-4·(-5)=36×1=4-362=-1∈-2; +∞x2=4+362=5∈-2; +∞
Перейдем к нахождению значений функции. Получаем, что
y1=y(-1)=115-1+23-45(-1)2-165(-1)-265+3-1+2=415y2=y(5)=1155+23-45·52-165·5-265+35+2=83
Точки со значениями -1; 415, 5; 83 являются точками, в которых касательные параллельны прямой y=85x+4.
Ответ: черная линия – график функции, красная линия – график y=85x+4, синяя линия – касательные в точках -1; 415, 5; 83.
Возможно существование бесконечного количества касательных для заданных функций.
Написать уравнения всех имеющихся касательных функции y=3cos32x-π4-13, которые располагаются перпендикулярно прямой y=-2x+12.
Решение
Для составления уравнения касательной необходимо найти коэффициент и координаты точки касания, исходя из условия перпендикулярности прямых. Определение звучит так: произведение угловых коэффициентов, которые перпендикулярны прямым, равняется -1, то есть записывается как kx·k⊥=-1. Из условия имеем, что угловой коэффициент располагается перпендикулярно прямой и равняется k⊥=-2, тогда kx=-1k⊥=-1-2=12.
Теперь необходимо найти координаты точек касания. Нужно найти х, после чего его значение для заданной функции. Отметим, что из геометрического смысла производной в точке
x0 получаем, что kx=y'(x0). Из данного равенства найдем значения х для точек касания.
Получаем, что
y'(x0)=3cos32x0-π4-13’=3·-sin32x0-π4·32×0-π4’==-3·sin32x0-π4·32=-92·sin32x0-π4⇒kx=y'(x0)⇔-92·sin32x0-π4=12⇒sin32x0-π4=-19
Это тригонометрическое уравнение будет использовано для вычисления ординат точек касания.
32×0-π4=arcsin-19+2πk или 32×0-π4=π-arcsin-19+2πk
32×0-π4=-arcsin19+2πk или 32×0-π4=π+arcsin19+2πk
x0=23π4-arcsin19+2πk или x0=235π4+arcsin19+2πk, k∈Z
Z- множество целых чисел.
Найдены х точек касания. Теперь необходимо перейти к поиску значений у:
y0=3cos32x0-π4-13
y0=3·1-sin232x0-π4-13 или y0=3·-1-sin232x0-π4-13
y0=3·1–192-13 или y0=3·-1–192-13
y0=45-13 или y0=-45+13
Отсюда получаем, что 23π4-arcsin19+2πk; 45-13, 235π4+arcsin19+2πk; -45+13 являются точками касания.
Ответ: необходимы уравнения запишутся как
y=12x-23π4-arcsin19+2πk+45-13,y=12x-235π4+arcsin19+2πk-45+13, k∈Z
Для наглядного изображения рассмотрим функцию и касательную на координатной прямой.
Рисунок показывает, что расположение функции идет на промежутке [-10;10], где черная прямя – график функции, синие линии – касательные, которые располагаются перпендикулярно заданной прямой вида y=-2x+12. Красные точки – это точки касания.
Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе
Канонические уравнения кривых 2 порядка не являются однозначными функциями. Уравнения касательных для них составляются по известным схемам.
Касательная к окружности
Для задания окружности с центром в точке xcenter; ycenter и радиусом R применяется формула x-xcenter2+y-ycenter2=R2.
Данное равенство может быть записано как объединение двух функций:
y=R2-x-xcenter2+ycentery=-R2-x-xcenter2+ycenter
Первая функция располагается вверху, а вторая внизу, как показано на рисунке.
Для составления уравнения окружности в точке x0; y0, которая располагается в верхней или нижней полуокружности, следует найти уравнение графика функции вида y=R2-x-xcenter2+ycenter или y=-R2-x-xcenter2+ycenter в указанной точке.
Когда в точках xcenter; ycenter+R и xcenter; ycenter-R касательные могут быть заданы уравнениями y=ycenter+R и y=ycenter-R, а в точках xcenter+R; ycenter и
xcenter-R; ycenter будут являться параллельными оу, тогда получим уравнения вида x=xcenter+R и x=xcenter-R.
Касательная к эллипсу
Когда эллипс имеет центр в точке xcenter; ycenter с полуосями a и b, тогда он может быть задан при помощи уравнения x-xcenter2a2+y-ycenter2b2=1.
Эллипс и окружность могут быть обозначаться при помощи объединения двух функций, а именно: верхнего и нижнего полуэллипса. Тогда получаем, что
y=ba·a2-(x-xcenter)2+ycentery=-ba·a2-(x-xcenter)2+ycenter
Если касательные располагаются на вершинах эллипса, тогда они параллельны ох или оу. Ниже для наглядности рассмотрим рисунок.
Написать уравнение касательной к эллипсу x-324+y-5225=1 в точках со значениями x равного х=2.
Решение
Необходимо найти точки касания, которые соответствуют значению х=2. Производим подстановку в имеющееся уравнение эллипса и получаем, что
x-324x=2+y-5225=114+y-5225=1⇒y-52=34·25⇒y=±532+5
Тогда 2; 532+5 и 2; -532+5 являются точками касания, которые принадлежат верхнему и нижнему полуэллипсу.
Перейдем к нахождению и разрешению уравнения эллипса относительно y. Получим, что
x-324+y-5225=1y-5225=1-x-324(y-5)2=25·1-x-324y-5=±5·1-x-324y=5±524-x-32
Очевидно, что верхний полуэллипс задается с помощью функции вида y=5+524-x-32, а нижний y=5-524-x-32.
Применим стандартный алгоритм для того, чтобы составить уравнение касательной к графику функции в точке. Запишем, что уравнение для первой касательной в точке 2; 532+5 будет иметь вид
y’=5+524-x-32’=52·124-(x-3)2·4-(x-3)2’==-52·x-34-(x-3)2⇒y'(x0)=y'(2)=-52·2-34-(2-3)2=523⇒y=y'(x0)·x-x0+y0⇔y=523(x-2)+532+5
Получаем, что уравнение второй касательной со значением в точке
2; -532+5 принимает вид
y’=5-524-(x-3)2’=-52·124-(x-3)2·4-(x-3)2’==52·x-34-(x-3)2⇒y'(x0)=y'(2)=52·2-34-(2-3)2=-523⇒y=y'(x0)·x-x0+y0⇔y=-523(x-2)-532+5
Графически касательные обозначаются так:
Касательная к гиперболе
Когда гипербола имеет центр в точке xcenter; ycenter и вершины xcenter+α; ycenter и xcenter-α; ycenter, имеет место задание неравенства x-xcenter2α2-y-ycenter2b2=1, если с вершинами xcenter; ycenter+b и xcenter; ycenter-b, тогда задается при помощи неравенства x-xcenter2α2-y-ycenter2b2=-1.
Гипербола может быть представлена в виде двух объединенных функций вида
y=ba·(x-xcenter)2-a2+ycentery=-ba·(x-xcenter)2-a2+ycenter или y=ba·(x-xcenter)2+a2+ycentery=-ba·(x-xcenter)2+a2+ycenter
В первом случае имеем, что касательные параллельны оу, а во втором параллельны ох.
Отсюда следует, что для того, чтобы найти уравнение касательной к гиперболе, необходимо выяснить, какой функции принадлежит точка касания. Чтобы определить это, необходимо произвести подстановку в уравнения и проверить их на тождественность.
Составить уравнение касательной к гиперболе x-324-y+329=1 в точке 7; -33-3.
Решение
Необходимо преобразовать запись решения нахождения гиперболы при помощи 2 функций. Получим, что
x-324-y+329=1⇒y+329=x-324-1⇒y+32=9·x-324-1⇒y+3=32·x-32-4 или y+3=-32·x-32-4⇒y=32·x-32-4-3y=-32·x-32-4-3
Необходимо выявить, к какой функции принадлежит заданная точка с координатами 7; -33-3.
Очевидно, что для проверки первой функции необходимо y(7)=32·(7-3)2-4-3=33-3≠-33-3, тогда точка графику не принадлежит, так как равенство не выполняется.
Для второй функции имеем, что y(7)=-32·(7-3)2-4-3=-33-3≠-33-3, значит, точка принадлежит заданному графику. Отсюда следует найти угловой коэффициент.
Получаем, что
y’=-32·(x-3)2-4-3’=-32·x-3(x-3)2-4⇒kx=y'(x0)=-32·x0-3×0-32-4×0=7=-32·7-37-32-4=-3
Ответ: уравнение касательной можно представить как
y=-3·x-7-33-3=-3·x+43-3
Наглядно изображается так:
Касательная к параболе
Чтобы составить уравнение касательной к параболе y=ax2+bx+c в точке x0, y(x0), необходимо использовать стандартный алгоритм, тогда уравнение примет вид y=y'(x0)·x-x0+y(x0). Такая касательная в вершине параллельна ох.
Следует задать параболу x=ay2+by+c как объединение двух функций. Поэтому нужно разрешить уравнение относительно у. Получаем, что
x=ay2+by+c⇔ay2+by+c-x=0D=b2-4a(c-x)y=-b+b2-4a(c-x)2ay=-b-b2-4a(c-x)2a
Графически изобразим как:
Для выяснения принадлежности точки x0, y(x0) функции, нежно действовать по стандартному алгоритму. Такая касательная будет параллельна оу относительно параболы.
Написать уравнение касательной к графику x-2y2-5y+3, когда имеем угол наклона касательной 150°.
Решение
Начинаем решение с представления параболы в качестве двух функций. Получим, что
-2y2-5y+3-x=0D=(-5)2-4·(-2)·(3-x)=49-8xy=5+49-8x-4y=5-49-8x-4
Значение углового коэффициента равняется значению производной в точке x0 этой функции и равняется тангенсу угла наклона.
Получаем:
kx=y'(x0)=tg αx=tg 150°=-13
Отсюда определим значение х для точек касания.
Первая функция запишется как
y’=5+49-8x-4’=149-8x⇒y'(x0)=149-8×0=-13⇔49-8×0=-3
Очевидно, что действительных корней нет, так как получили отрицательное значение. Делаем вывод, что касательной с углом 150° для такой функции не существует.
Вторая функция запишется как
y’=5-49-8x-4’=-149-8x⇒y'(x0)=-149-8×0=-13⇔49-8×0=-3×0=234⇒y(x0)=5-49-8·234-4=-5+34
Имеем, что точки касания – 234; -5+34.
Ответ: уравнение касательной принимает вид
y=-13·x-234+-5+34
Графически изобразим это таким образом:
Содержание:
- Геометрический смысл производной и график функции
- Примеры с решением
Геометрический смысл производной состоит в том, что производная функции в данной точке равна тангенсу угла, образованного кривой, проходящей через эту точку, и касательной, проведенной на положительной оси.
Если к графику функции 
в точке 
можно провести касательную, непараллельную оси 
то 
— угловой коэффициент касательной:
Уравнение касательной к графику функции 
Как известно, уравнение прямой имеет вид 
а в данном случае, поскольку 
уравнение касательной в точке 
имеет вид: 
Составление уравнения касательной при 
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:
Пример 1.
К параболе 
в некоторой точке проведена касательная под углом 45° к оси абсцисс. Найдите точку касания.
Решение:
— точка касания. Точка 
принадлежит кривой 
тогда
По условию, 
Но 
тогда 
Ответ: 
Пример 2.
К графику функции 
— проведите касательную так, чтобы она была параллельна прямой 
Решение:
Если касательная параллельна прямой 
то угловой коэффициент этой касательной 
Но 
Тогда 
при 
То есть имеются две касательные, удовлетворяющие условию задачи:
Ответ: 
или 
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Геометрический смысл производной и график функции
Примеры с решением
Пример 1.
На рисунке изображен график функции и касательные к графику в точках 
и 
Пользуясь геометрическим смыслом производной, найдите 
Решение:
Поскольку 
Ответ: 1.
Пример 2.
На рисунке изображен график функции 
и касательная к нему в точке 
Найдите значение 
Решение. 
Ответ: -1.
Геометрический смысл производной и график производной
Пример 3.
На рисунке изображен график производной функции 
Найдите угол наклона касательной к графику функции 
проведенной в точке 
Решение:
Ответ: 
Напомним, что графиком линейной функции 
является прямая (рис. 109). Число 
называют угловым коэффициентом прямой, а угол 
углом между этой прямой и осью 
Если 
то 
(рис. 109, а); в этом случае функция возрастает и говорят, что прямая направлена вверх.
Если 
(рис. 109, б); в этом случае функция 
убывает и говорят, что прямая направлена вниз.
Выясним геометрический смысл производной дифференцируемой функции 
Пусть точки 
и 
принадлежат графику функции У
(рис. 110).
Пусть 
абсциссы точек 
и 
(рис. 111), тогда их ординаты равны 
Из треугольника 
(рис. Ill), где 
найдем угловой коэффициент к прямой AM, который зависит от 
(его можно рассматривать как функцию от 
и писать 
Имеем 
Пусть число 
фиксировано, а 
тогда точка 
неподвижна, а точка 
двигаясь по графику, стремится к точке 
(рис. 111). При этом прямая 
стремится занять положение некоторой прямой, которую называют касательной к графику функции 
потому что 
существует и равен 
Итак, 
Производное определение. Ограничение на отношение приращения функции к приращению аргумента называется производной функции в данной точке, если последняя стремится к нулю.
Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции 
в точке 
равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке 
Найти угол между касательной к графику функции 
в точке 
и осью 
Найдем угловой коэффициент касательной к кривой 
в точке 
т. е. значение производной этой функции при 
Производная функции 
равна /
По формуле (2) находим
(рис. 112).
Отметим, что это свойство полезно для построения графика
в точке
в точке 
синусоида касается прямой 
(рис. 112).Задача 1
Найти угол между касательной к параболе 
в точке 
и осью 
и написать уравнение этой касательной.
Решение:
Производная функции 
равна 
По формуле (2) находим 
откуда 
(рис. 113).
Найдем теперь уравнение касательной 
к параболе 
в точке 
(см. рис. 113). Если 
уравнение прямой 
то 
т. е. уравнение касательной имеет вид 
Подставляя в это уравнение координаты точки 
получаем 
откуда 
Следовательно, 
уравнение искомой касательной. <3
Аналогично тому, как это сделано в задаче 2, выведем уравнение касательной к графику дифференцируемой функции в точке 
(рис. 114), Если 
искомое уравнение, то по формуле (2) находим 
т. е. уравнение касательной имеет вид 
Подставляя в это уравнение координаты точки 
получаем 
откуда 
Итак, уравнение касательной 
или
Задача 2
Найти уравнение касательной к графику функции 
в точке с абсциссой 
Найдем значения функции 
и ее производной в точке 
Решение:
Используя формулу (3), найдем искомое уравнение касательной 
или
Касательная к графику функции 
в точке 
изображена на рисунке 115.
Показать, что касательная к параболе 
в точке с абсциссой 
пересекает ось 
в точке 
Пусть 
тогда
По формуле (3) находим уравнение касательной:
Найдем точку пересечения этой касательной с осью абсцисс. Из равенства 
находим 
Отсюда следует простой геометрический способ построения касательной к параболе 
в точке 
с абсциссой 
прямая, проходящая через точку 
и точку 
оси абсцисс, касается параболы в точке 
(рис. 116).
Построив касательную к параболе, можно построить ее фокус 
Напомним, что фокусом является точка, в которую нужно поместить источник света, чтобы все лучи, отраженные от параболического зеркала, были параллельны оси симметрии параболы. Для построения фокуса 
нужно построить прямую 
параллельную оси 
и прямую 
образующую с касательной такой же угол, как и прямая 
(рис. 117).
Лекции:
- Производная показательно степенной функции
- Математика для чайников
- Область значения функции
- Нормальное распределение
- Ранг матрицы: примеры решения
- Функции многих переменных
- Наибольшее и наименьшее значение функции
- Уравнение плоскости
- Экстремум функции трёх переменных
- Преобразование графиков тригонометрических функций
Производная функции. Геометрический смысл производной
Производная функции — одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная.
В этой статье просто и понятно рассказано о том, что такое производная и для чего она нужна. Мы не будем сейчас стремиться к математической строгости изложения. Самое главное — понять смысл.
Запомним определение:
Производная — это скорость изменения функции.
На рисунке — графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?
Ответ очевиден — третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.
Вот другой пример.
Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:
На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная, — разная. Что касается Матвея — у его дохода производная вообще отрицательна.
Определение.
Производная – это скорость изменения функции.
Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?
На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами — насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.
Производная функции обозначается 
.
Покажем, как найти 
с помощью графика.
Нарисован график некоторой функции 
. Возьмем на нем точку А с абсциссой 
. Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной.
Производная функции 
в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.
Обратите внимание — в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси ОХ.
Иногда учащиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.
Найдем 
. Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника 
Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике.
Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением
.
Величина k в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой. Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси X.
.
Мы получаем, что
Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.
Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.
Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.
Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.
Нарисуем график некоторой функции 
. Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других — убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.
В точке A функция 
возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке A, образует острый угол 
с положительным направлением оси X. Значит, в точке A производная положительна.
В точке B наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол 
с положительным направлением оси X. Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке B производная отрицательна.
Вот что получается:
Если функция 
возрастает, ее производная положительна.
Если 
убывает, ее производная отрицательна.
А что же будет в точках максимума и минимума? Мы видим, что в точках C (точка максимума) и D (точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.
Точка С — точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке С с «плюса» на «минус».
В точке D — точке минимума — производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».
Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.
Если производная 
положительна, то функция возрастает.
Если производная отрицательная, то функция убывает.
В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».
В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».
Запишем эти выводы в виде таблицы:
Сделаем два небольших уточнения. Одно из них понадобится вам при решении задач ЕГЭ. Другое — на первом курсе, при более серьезном изучении функций и производных.
1. Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая точка перегиба:
В точке E касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки E функция возрастала — и после точки E продолжает возрастать. Знак производной не меняется — она как была положительной, так и осталась.
2. Бывает и так, что в точке максимума или минимума производная не существует. На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно.
А как найти производную, если функция задана не графиком, а формулой? В этом случае применяется таблица производных. В ней вы найдете производные всех элементарных функций и правила взятия производных, то есть дифференцирования.
Геометрический смысл производной, задачи
Покажем, что такое геометрический смысл производной, на примере нескольких задач из Банка заданий ФИПИ.
Задача 1. На рисунке изображен график функции 
). Найдите количество решений уравнения 
)=0 на отрезке [-2,5; 9,5].
Решение:
Производная функции 
равна нулю в точках максимума и минимума функции 
Таких точек на графике 5.
Ответ: 5.
Задача 2. На рисунке изображен график функции y= ) — производной функции ). Сколько точек максимума имеет функция ) на отрезке ![[-1; 5]](https://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5C%20%5B-1%3B%5C%205%5D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 "[-1; 5]")
? В ответе запишите это число.
Решение:
Обратите внимание, что на этом рисунке изображен не график функции, а график ее производной.
В вариантах ЕГЭ по математике таких задач много. Пользуясь графиком производной, надо ответить на вопрос о поведении функции.
В точке максимума функции производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». Такая точка на отрезке ![[-1; 5]](https://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5B-1%3B%5C%205%5D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 "[-1; 5]")
на графике одна.
Ответ: 1.
Задача 3. На рисунке изображены график функции 
и касательная к нему в точке с абсциссой 
Найдите значение производной функции 
в точке
Решение:
Вспомним определение.
Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке (то есть угловому коэффициенту касательной).
Это геометрический смысл производной.
В точке 
функция y = f(x) убывает. Касательная, проведенная к ее графику в этой точке, образует тупой угол 
с положительным направлением оси Х. Найдем тангенс острого угла 
смежного с углом 
Ответ: -0,5.
Задача 4. На рисунке изображен график производной функции 
определенной на отрезке ![[-3; 7].](https://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5B-3%3B%5C%207%5D.&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 "[-3; 7].")
В какой точке отрезка ![[1; 5]](https://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5B1%3B%5C%205%5D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 "[1; 5]")
принимает наименьшее значение?
Решение:
На рисунке изображен график производной. Если функция возрастает — ее производная положительна. Если функция убывает — ее производная отрицательна. В точке минимума производная равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».
На рисунке есть такая точка, и это x = 1,5.
Слева от этой точки, на отрезке [1; 1,5] производная отрицательна, и функция убывает. Справа от этой точки, на интервале [1,5; 5), производная положительна, и функция возрастает.
Значит, 
– точка минимума функции
Поэтому и свое наименьшее значение функция 
принимает в точке 1,5.
Ответ: 1,5.
Задача 5. На рисунке изображен график 
— производной функции 
В какой точке отрезка ![[1; 5]](https://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5B1%3B%205%5D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 "[1; 5]")
функция принимает наименьшее значение?
Решение:
На рисунке изображен график производной. Если функция возрастает — ее производная положительна. Если функция убывает — ее производная отрицательна. В точке минимума производная равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».
На рисунке есть такая точка, и это x = 3.
Слева от этой точки производная отрицательна, и функция убывает. Справа от точки x = 3 производная положительна, и функция возрастает.
Значит, 
– точка минимума функции
Кстати, вид графика функции определить нетрудно. Это квадратичная парабола с ветвями вверх.
Ответ: 3.
Задача 6. На рисунке изображен график 
производной непрерывной функции 
В какой точке отрезка ![[-4; - 1]](https://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5B-4%3B%5C%20-%5C%201%5D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 "[-4; - 1]")
функция 
принимает наибольшее значение?
Решение:
На отрезке ![left[-4;1right]](https://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cleft%5B-4%3B1%5Cright%5D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 "left[-4;1right]")
расположена точка 
в которой производная равна нулю и меняет знак с «+» на «-».
Это значит, что 
— точка максимума функции на отрезке и наибольшее значение функция принимает именно в этой точке.
Ответ: – 2,5.
Задача 7. На рисунке изображен график производной функции определенной на интервале (-3;7). В какой точке отрезка [-2; 4] функция принимает наименьшее значение?
Решение:
Точка минимума функции f(x) — это x = 0. В этой точке производная равна 0 и меняет знак с «минуса» на «плюс».
Слева от точки 0 производная отрицательна, функция убывает. Справа от этой точки производная положительна, функция возрастает.
Наименьшее значение на отрезке достигается при x = 0.
Ответ: 0.
Задача 8. На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой Найдите значение производной функции в точке
Решение:
Производная функции 
в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке.
– касательная к
В точке производная отрицательная, 
т.к. функция — убывает в этой точке.
— угол, который образует касательная с положительным направлением оси Х.
Угол — тупой, а смежный с ним угол 
— острый.
Ответ: -0,375.
Задача 9. На рисунке изображен график непрерывной функции f(x) и касательные CD и MN, проведенные к ее графику в точках А и В. Найдите отношение значений производной функции f(x) в точках А и В.
Решение:
Найдём значения производных в точках А и В с помощью графика.
где — угол наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой
Для точки А: 
Для точки В: 
Отношение производных: 
Ответ: 0,15.
Условия касания
Пусть прямая касается графика функции в точке Тогда для точки выполняются условия касания:
Первое уравнение показывает, что значения функций и в точке равны друг другу. Это верно, поскольку эта точка лежит и на одном, и на другом графике.
Второе условие показывает, что производная функции в точке 
равна угловому коэффициенту касательной, то есть k.
Задача 10. Прямая 
касается графика функции 
причем абсцисса точки касания положительна. Найдите b.
Решение:
Запишем условие касания:
Начнем со второго уравнения:
Т.к. 
то 
Найдем 
подставив в первое уравнение:
отсюда
Ответ: -7.
Условия касания встречаются нам не только в заданиях 1 части ЕГЭ по математике, но и в задачах с параметрами. Более того, это один из приемов решения уравнений и неравенств с параметрами.
Физический смысл производной
Мы узнали, что такое геометрический смысл производной. Научились находить производную с помощью графика функции и решать задачи ЕГЭ. Производная помогает нам исследовать функции, находить их точки максимума и минимума, строить графики функций.
И оказывается, что с производной вы познакомились намного раньше — в школьном курсе физики. Вы уже пользовались этим математическим понятием, но не называли его словом «производная».
Вспомним тему «Кинематика» в физике. Это раздел физики, описывающий механическое движение. Величины, которыми описывается движение какого-либо тела, — это скорость v, время t, координата х, если тело движется вдоль прямой. Или координаты x и y, если оно движется по плоскости.
Вспомним формулу для равномерного прямолинейного движения: 
где x — координата.
Пусть 3 материальных точки — например, три автомобиля — одновременно выезжают с постоянными скоростями из точки А и едут по прямолинейному шоссе. На графике показано, как меняется их координата x с течением времени. У какого из автомобилей скорость больше?
Очевидно, у третьего. Считая, что x = vt, для первого автомобиля найдем 
= 20 км/ч. Возможно, это машина, которая поливает или чистит дорогу, и поэтому так медленно едет. Для второго автомобиля 
= 40 км/ч, для третьего 
= 75 км/ч.
Но если пройденный путь, то есть изменение координаты тела, мы разделим на время, то найдем тангенс угла наклона для каждой из этих прямых. Так и есть.
Скорость тела — это производная от его координаты по времени.
А теперь пусть тело, например, автомобиль, движется вдоль оси x, причем его скорость не является постоянной. Зависимость его координаты от времени x(t) показана на графике.
Возьмем на графике точку, соответствующую моменту времени 
и проведем в этой точке касательную к графику функции.
Тангенс угла наклона этой касательной численно равен мгновенной скорости тела в момент 
Мы получили, что мгновенная скорость — это производная от координаты по времени.
Это физический смысл производной.
Но не только скорость в физике является производной от другой физической величины, координаты.
Ускорение — это производная от скорости по времени. Сила тока — производная от заряда по времени.
Изучая курс физики в школе и в вузе, вы увидите множество уравнений, связывающих одни физические величины с производными других физических величин. Такие уравнения называются дифференциальными. А само действие взятия производной называется дифференцированием.
Вот задача из вариантов ЕГЭ по математике, где используется физический смысл производной.
Задача 11. Материальная точка M начинает движение из точки A и движется по прямой на протяжении 12 секунд. График показывает, как менялось расстояние от точки A до точки M со временем. На оси абсцисс откладывается время t в секундах, на оси ординат — расстояние s.
Определите, сколько раз за время движения скорость точки M обращалась в ноль (начало и конец движения не учитывайте).
Решение:
Производная — это скорость изменения функции. Мгновенная скорость движущегося тела (материальной точки) является производной от его координаты по времени. Это физический смысл производной.
Найдем на графике s(t) точки, в которых производная функции s(t) равна нулю. Таких точек 6. Это точки максимума и минимума функции s(t).
Ответ: 6.
Изучая высшую математику в вузе, вы узнаете еще одно определение производной.
Производной функции f(x) в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при приращении аргумента, стремящемся к нулю.
Это определение есть в вашем школьном учебнике алгебры. Но намного важнее не механически его запомнить, а понять его смысл. Первые шаги к этому мы сделали, определив производную как скорость изменения функции. Мы также узнали, что такое геометрический смысл производной и физический смысл производной.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Производная функции. Геометрический смысл производной» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена:
08.05.2023
- Приращение аргумента и приращение функции
- Определение производной
- Физический смысл производной
- Геометрический смысл производной
- Алгоритм поиска значения производной в заданной точке
- Алгоритм поиска уравнения производной
- Примеры
п.1. Приращение аргумента и приращение функции
Приращением аргумента называют разность $$ triangle x=x-x_0 $$ где (x) – произвольное число, которое мало отличается от начальной точки (x_0). Приращение аргумента может быть как положительным, так и отрицательным.
Приращением функции называют соответствующую разность $$ triangle y=f(x)-f(x_0 )=f(x_0+triangle x)-f(x_0) $$ Приращение функции может быть как положительным, так и отрицательным.
Например:
 |
begin{gather*} y=2x-1\ x_0=1, x=1,1 end{gather*} Найдем приращение аргумента и функции. begin{gather*} triangle x= x-x_0=1,1-1=0,1gt 0\ \ f(x)=f(1,1)=2cdot 1,1-1=1,2\ f(x_0 )=f(1)=2cdot 1-1=1\ triangle y=f(x)-f(x_0 )=1,2-1=0,2gt 0 end{gather*} |
 |
begin{gather*} y=-x+2\ x_0=1, x=1,1 end{gather*} Найдем приращение аргумента и функции. begin{gather*} triangle x= x-x_0=1,1-1=0,1gt 0\ \ f(x)=f(1,1)=-1,1+2=0,9\ f(x_0 )=f(1)=-1+2=1\ triangle y=f(x)-f(x_0)=0,9-1=-0,1lt 0 end{gather*} |
Если функция возрастает, приращение аргумента и приращение функции имеют один и тот же знак: $$ begin{cases} y=f(x) – text{возрастает}\ triangle xgt 0 end{cases} Rightarrow triangle ygt 0 $$ Если функция убывает, приращение аргумента и приращение функции имеют разные знаки: $$ begin{cases} y=f(x) – text{убывает}\ triangle xgt 0 end{cases} Rightarrow triangle ylt 0 $$
п.2. Определение производной
Производной функции (f(x)) в точке (x_0) называют предел отношения приращения функции в точке (x_0) к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю, а предел существует: $$ f'(x_0)=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle y}{triangle x} $$
Например:
Найдем производную функции (f(x)=x^2-4) в точке (x_0=3)
Значение функции в точке: (f(x_0 )=3^2-4=5)
Пусть (triangle x) – некоторое приращение аргумента. Тогда: begin{gather*} f(x)=f(x_0+triangle x)=(x_0+triangle x)^2-4=(3+triangle x)^2-4=9+6triangle x+triangle x^2-4=\ =5+6triangle x+triangle x^2 end{gather*} Приращение функции: $$ triangle y=f(x)-f(x_0)=5+6triangle x+triangle x^2-5=6triangle x+triangle x^2=triangle x(6+triangle x) $$ Производная: $$ f'(x_0)=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle x}{triangle y}=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle x(6+triangle x)}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0}(6+triangle x)=6+0=6 $$ Ответ: 6
п.3. Физический смысл производной
Рассмотрим прямолинейное движение.
Пусть расстояние по прямой между городами (triangle x=) 300 км поезд преодолевает за (triangle t=)4 часа. Мы легко можем найти его среднюю скорость: $$ v_{cp}=frac{triangle x}{triangle t}, v_{cp}=frac{300}{4}=75 (text{км/ч}) $$ Но поезд не едет все время с одной и той же скоростью: где-то ускоряется, где-то замедляется, где-то и вовсе останавливается.
Если мы захотим определить скорость как можно точнее, нам понадобится уменьшать интервалы времени и измерять соответствующий путь. Уменьшив время до «мгновений», мы получим «мгновенную скорость» для каждой точки траектории в каждый момент времени.
Мгновенная скорость это скорость тела в данный момент времени (t_0): $$ v(t_0)=lim_{triangle trightarrow 0}frac{triangle x}{triangle t}=x'(t_0) $$ где (triangle x=x-x_0) – путь тела за время (triangle t=t-t_0, x(t)) – уравнение движения.
Мгновенная скорость равна первой производной от уравнения движения при (t=t_0).
Сравнивая определения мгновенной скорости и производной функции, мы можем сформулировать физический смысл производной:
Производная функции (y=f(x)) в точке (x_0) равна скорости изменения функции в этой точке.
Или, ближе к физике/химии/биологии:
Производная уравнения процесса (s=f(t)) в момент времени (t_0) равна скорости протекания процесса в этот момент.
п.4. Геометрический смысл производной
Пусть на плоскости задана кривая (y=f(x)).
Выберем на кривой две точки (A(x_0,y_0)) и (B(x,y)). Прямая AB будет секущей для кривой (y=f(x)). Угол наклона прямой AB определяется угловым коэффициентом: $$ k_{AB}=tgangle A=frac{BC}{AC}=frac{triangle y}{triangle x} $$ Начнем движение точки B вдоль кривой по направлению к точке A. Приращение аргумента при этом будет уменьшаться: (triangle x=ACrightarrow 0). В тот момент, когда B совпадет с A, секущая AB превратится в касательную AD. Угловой коэффициент касательной: $$ k_{AD}=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle y}{triangle x}=y'(x_0) $$
Мы можем сформулировать геометрический смысл производной:
Производная функции (y=f(x)) в точке (x_0) равна угловому коэффициенту касательной к графику этой функции в этой точке.
п.5. Алгоритм поиска значения производной в заданной точке
На входе: уравнение функции (y=f(x)), точка (x_0)
Шаг 1. Найти значение функции в заданной точке (y_0=f(x_0)).
Шаг 2. Задать приращение аргумента (triangle x=x-x_0), найти приращение функции (triangle y=f(x)-f(x_0)=f(x_0+triangle x)-f(x_0)).
Шаг 3. Найти предел (lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle y}{triangle x}=f'(x_0))
На выходе: значение производной в точке (x_0)
Например:
Найдем значение производной в точке (x_0=1) для функции (y=x^2-3).
Значение функции в заданной точке: (f(x_0)=1^2-3=-2)
Пусть (∆x) – некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: begin{gather*} triangle y=f(x_0+triangle x)-f(x_0)=((1+triangle x)^2-3)-(-2)=\ =1+2triangle x+(triangle x)^2-1=2triangle x+(triangle x)^2=triangle x(2+triangle x) end{gather*} Ищем предел: begin{gather*} lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle y}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle x(2+triangle x)}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0}(2+triangle x)=2+0=2 end{gather*} Искомая производная в заданной точке: (f'(1)=2)
Ответ: 2
п.6. Алгоритм поиска уравнения производной
На входе: уравнение функции (y=f(x))
Шаг 1. Задать приращение аргумента (triangle x), найти выражение для приращения функции (triangle y=f(x+triangle x)-f(x)).
Шаг 2. Найти предел выражения (lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle y}{triangle x}=f'(x))
На выходе: уравнение производной (y ‘=f'(x)) в любой точке (x).
Например:
Найдем общее уравнение производной для функции (y=x^2-3).
Пусть (∆x) – некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: begin{gather*} triangle y=f(x+triangle x)-f(x)=((x+triangle x)^2-3)-(x^2-3)=\ =(x+triangle x)^2-x^2=(x+triangle x-x)(x+triangle x+x)=triangle x(2x+triangle x) end{gather*} Ищем предел: begin{gather*} lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle y}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle x(2x+triangle x)}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0}(2x+triangle x)=2x+0=2x end{gather*} Ответ: уравнение производной (y ‘=2x)
п.7. Примеры
Пример 1. Пользуясь алгоритмом поиска значения производной в заданной точке, найдите:
a) ( f'(1), text{если} f(x)=2x )
По условию (x_0=1)
Значение функции в заданной точке: (f(x_0 )=2cdot 1=2)
Пусть (triangle x) – некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: begin{gather*} triangle y=f(x_0+triangle x)-f(x_0)=2(1+triangle x)-2=2+2triangle x-2=2triangle x end{gather*} Ищем предел: begin{gather*} lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle y}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{2triangle x}{triangle x}=2 end{gather*} Искомая производная в заданной точке: (f'(1)=2)
б) ( f'(3), text{если} f(x)=3x^2 )
По условию (x_0=3)
Значение функции в заданной точке: (f(x_0 )=3cdot 3^2=27)
Пусть (triangle x) – некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: begin{gather*} triangle y=f(x_0+triangle x)-f(x_0)=3(3+triangle x)^2-27=3(9+6triangle x+(triangle x)^2)-27=\ =27+18triangle x+3(triangle x)^2-27=3triangle x(6+triangle x) end{gather*} Ищем предел: begin{gather*} lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle y}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{3triangle x(6+triangle x)}{triangle x}=3lim_{triangle xrightarrow 0}(6+triangle x)=3(6+0)=18 end{gather*} Искомая производная в заданной точке: (f'(3)=18)
в) ( f'(-1), text{если} f(x)=4x-1 )
По условию (x_0=-1)
Значение функции в заданной точке: (f(x_0)=4cdot (-1)-1=-5)
Пусть (triangle x) – некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: begin{gather*} triangle y=f(x_0+triangle x)-f(x_0)=(4(-1+triangle x)-1)-(-5)=-5+4triangle x+5=4triangle x end{gather*} Ищем предел: begin{gather*} lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle y}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{4triangle x}{triangle x}=4 end{gather*} Искомая производная в заданной точке: (f'(-1)=4)
г) ( f'(2), text{если} f(x)=x^3 )
По условию (x_0=2)
Значение функции в заданной точке: (f(x_0)=2^3=8)
Пусть (triangle x) – некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: begin{gather*} triangle y=f(x_0+triangle x)-f(x_0)=(2+triangle x)^3-8=\ =2^3+3cdot 2^2cdot triangle x+3cdot 2cdot (triangle x)^2+(triangle x)^3-8=\ =12triangle x+6(triangle x)^2+(triangle x)^3=triangle xcdot (12+6triangle x+(triangle x)^2 ) end{gather*} Ищем предел: begin{gather*} lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle y}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle xcdot(12+6triangle x+(triangle x)^2)}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0}(12+6triangle x+(triangle x)^2)=12+0+0=12 end{gather*} Искомая производная в заданной точке: (f'(2)=12)
Ответ: а) 2; б) 18; в) 4; г) 12
Пример 2. Пользуясь алгоритмом поиска уравнения производной, найдите общее уравнение производной для функции (y=f(x)):
a) ( f(x)=C), где C – постоянная величина
Пусть (triangle x) – некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: begin{gather*} triangle y=f(x+triangle x)-f(x)=C-C=0 end{gather*} Отношение (frac{triangle y}{triangle x}=frac{0}{triangle x}=0)
Предел (lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle y}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0}0=0)
Производная (y ‘=C’=0)
Производная постоянной равна нулю: (C ‘=0)
б) ( f(x)=x)
Пусть (triangle x) – некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: begin{gather*} triangle y=f(x+triangle x)-f(x)=x+triangle x-x=triangle x end{gather*} Ищем предел: (lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle y}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle x}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0}1=1)
Производная (x ‘=1)
Производная аргумента равна единице: (x ‘=1)
в) ( f(x)=x^2)
Пусть (triangle x) – некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: begin{gather*} triangle y=f(x+triangle x)-f(x)=(x+triangle x)^2-x^2=(x+triangle x-x)(x+triangle x+x)=triangle x(2x+triangle x) end{gather*} Ищем предел: begin{gather*} lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle y}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle x(2x+triangle x)}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0}(2x+triangle x)=2x+0=2x end{gather*} Производная ((x^2) ‘=2x)
г) ( f(x)=x^3)
Пусть (triangle x) – некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: begin{gather*} triangle y=f(x+triangle x)-f(x)=(x+triangle x)^3-x^3=\ =(x+triangle x-x)((x+triangle x)^2+x(x+triangle x)+x^2)=triangle x((x+triangle x)^2+x(x+triangle x)+x^2) end{gather*} Ищем предел: begin{gather*} lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle y}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle x((x+triangle x)^2+x(x+triangle x)+x^2)}{triangle x}=\ =lim_{triangle xrightarrow 0}((x+triangle x)^2+x(x+triangle x)+x^2)=(x+0)^2+x(x+0)+x^2=3x^2 end{gather*} Производная ((x^3) ‘=3x^2)
д) ( f(x)=frac1x)
Пусть (triangle x) – некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: begin{gather*} triangle y=f(x+triangle x)-f(x)=frac{1}{x+triangle x}-frac1x=frac{x-(x+triangle x)}{x(x+triangle x)}=-frac{triangle x}{x(x+triangle x)} end{gather*} Ищем предел: begin{gather*} lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle y}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0}left(-frac{triangle x}{triangle xcdot x(x+triangle x)}right)=-lim_{triangle xrightarrow 0}frac{1}{x(x+triangle x)}=-frac{1}{x(x+0)}=-frac{1}{x^2} end{gather*} Производная (left(frac1xright) ‘=-frac{1}{x^2})
e) ( f(x)=kx+b)
Пусть (triangle x) – некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: begin{gather*} triangle y=f(x+triangle x)-f(x)=k(x+triangle x)+b-kx-b=ktriangle x end{gather*} Ищем предел: begin{gather*} lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle y}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{ktriangle x}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0}k=k end{gather*} Производная ((kx+b) ‘=k)
ж) ( f(x)=sqrt{x})
Пусть (triangle x) – некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: begin{gather*} triangle y=f(x+triangle x)-f(x)=sqrt{x+triangle x}-sqrt{x} end{gather*} Ищем предел, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение: begin{gather*} lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle y}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{sqrt{x+triangle x}-sqrt{x}}{triangle x}= lim_{triangle xrightarrow 0}frac{(sqrt{x+triangle x}-sqrt{x})(sqrt{x+triangle x}+sqrt{x})}{triangle x(sqrt{x+triangle x}+sqrt{x})}=\ =lim_{triangle xrightarrow 0}frac{x+triangle x-x}{triangle x(sqrt{x+triangle x}+sqrt{x})}=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{1}{(sqrt{x+triangle x}+sqrt{x})}=frac{1}{sqrt{x+0}+sqrt{x}}=frac{1}{2sqrt{x}} end{gather*} Производная ((sqrt{x}) ‘=frac{1}{2sqrt{x}})
15 марта 2011
В задаче 6 дается график функции или производной, по которому требуется определить одну из следующих величин:
- Значение производной в некоторой точке x0,
- Точки максимума или минимума (точки экстремума),
- Интервалы возрастания и убывания функции (интервалы монотонности).
Функции и производные, представленные в этой задаче, всегда непрерывны, что значительно упрощает решение. Не смотря на то, что задача относится к разделу математического анализа, она вполне по силам даже самым слабым ученикам, поскольку никаких глубоких теоретических познаний здесь не требуется.
Для нахождения значения производной, точек экстремума и интервалов монотонности существуют простые и универсальные алгоритмы — все они будут рассмотрены ниже.
Внимательно читайте условие задачи B9, чтобы не допускать глупых ошибок: иногда попадаются довольно объемные тексты, но важных условий, которые влияют на ход решения, там немного.
Вычисление значения производной. Метод двух точек
Если в задаче дан график функции f(x), касательная к этому графику в некоторой точке x0, и требуется найти значение производной в этой точке, применяется следующий алгоритм:
- Найти на графике касательной две «адекватные» точки: их координаты должны быть целочисленными. Обозначим эти точки A (x1; y1) и B (x2; y2). Правильно выписывайте координаты — это ключевой момент решения, и любая ошибка здесь приводит к неправильному ответу.
- Зная координаты, легко вычислить приращение аргумента Δx = x2 − x1 и приращение функции Δy = y2 − y1.
- Наконец, находим значение производной D = Δy/Δx. Иными словами, надо разделить приращение функции на приращение аргумента — и это будет ответ.
Еще раз отметим: точки A и B надо искать именно на касательной, а не на графике функции f(x), как это часто случается. Касательная обязательно будет содержать хотя бы две таких точки — иначе задача составлена некорректно.
Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
Рассмотрим точки A (−3; 2) и B (−1; 6) и найдем приращения:
Δx = x2 − x1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y2 − y1 = 6 − 2 = 4.
Найдем значение производной: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.
Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
Рассмотрим точки A (0; 3) и B (3; 0), найдем приращения:
Δx = x2 − x1 = 3 − 0 = 3; Δy = y2 − y1 = 0 − 3 = −3.
Теперь находим значение производной: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.
Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
Рассмотрим точки A (0; 2) и B (5; 2) и найдем приращения:
Δx = x2 − x1 = 5 − 0 = 5; Δy = y2 − y1 = 2 − 2 = 0.
Осталось найти значение производной: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.
Из последнего примера можно сформулировать правило: если касательная параллельна оси OX, производная функции в точке касания равна нулю. В этом случае даже не надо ничего считать — достаточно взглянуть на график.
Вычисление точек максимума и минимума
Иногда вместо графика функции в задаче B9 дается график производной и требуется найти точку максимума или минимума функции. При таком раскладе метод двух точек бесполезен, но существует другой, еще более простой алгоритм. Для начала определимся с терминологией:
- Точка x0 называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x0) ≥ f(x).
- Точка x0 называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x0) ≤ f(x).
Для того чтобы найти точки максимума и минимума по графику производной, достаточно выполнить следующие шаги:
- Перечертить график производной, убрав всю лишнюю информацию. Как показывает практика, лишние данные только мешают решению. Поэтому отмечаем на координатной оси нули производной — и все.
- Выяснить знаки производной на промежутках между нулями. Если для некоторой точки x0 известно, что f’(x0) ≠ 0, то возможны лишь два варианта: f’(x0) ≥ 0 или f’(x0) ≤ 0. Знак производной легко определить по исходному чертежу: если график производной лежит выше оси OX, значит f’(x) ≥ 0. И наоборот, если график производной проходит под осью OX, то f’(x) ≤ 0.
- Снова проверяем нули и знаки производной. Там, где знак меняется с минуса на плюс, находится точка минимума. И наоборот, если знак производной меняется с плюса на минус, это точка максимума. Отсчет всегда ведется слева направо.
Эта схема работает только для непрерывных функций — других в задаче B9 не встречается.
Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−5; 5]. Найдите точку минимума функции f(x) на этом отрезке.
Избавимся от лишней информации — оставим только границы [−5; 5] и нули производной x = −3 и x = 2,5. Также отметим знаки:
Очевидно, в точке x = −3 знак производной меняется с минуса на плюс. Это и есть точка минимума.
Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7]. Найдите точку максимума функции f(x) на этом отрезке.
Перечертим график, оставив на координатной оси только границы [−3; 7] и нули производной x = −1,7 и x = 5. Отметим на полученном графике знаки производной. Имеем:
Очевидно, в точке x = 5 знак производной меняется с плюса на минус — это точка максимума.
Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−6; 4]. Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−4; 3].
Из условия задачи следует, что достаточно рассмотреть только часть графика, ограниченную отрезком [−4; 3]. Поэтому строим новый график, на котором отмечаем только границы [−4; 3] и нули производной внутри него. А именно, точки x = −3,5 и x = 2. Получаем:
На этом графике есть лишь одна точка максимума x = 2. Именно в ней знак производной меняется с плюса на минус.
Небольшое замечание по поводу точек с нецелочисленными координатами. Например, в последней задаче была рассмотрена точка x = −3,5, но с тем же успехом можно взять x = −3,4. Если задача составлена корректно, такие изменения не должны влиять на ответ, поскольку точки «без определенного места жительства» не принимают непосредственного участия в решении задачи. Разумеется, с целочисленными точками такой фокус не пройдет.
Нахождение интервалов возрастания и убывания функции
В такой задаче, подобно точкам максимума и минимума, предлагается по графику производной отыскать области, в которых сама функция возрастает или убывает. Для начала определим, что такое возрастание и убывание:
- Функция f(x) называется возрастающей на отрезке [a; b] если для любых двух точек x1 и x2 из этого отрезка верно утверждение: x1 ≤ x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2). Другими словами, чем больше значение аргумента, тем больше значение функции.
- Функция f(x) называется убывающей на отрезке [a; b] если для любых двух точек x1 и x2 из этого отрезка верно утверждение: x1 ≤ x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2). Т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Сформулируем достаточные условия возрастания и убывания:
- Для того чтобы непрерывная функция f(x) возрастала на отрезке [a; b], достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была положительна, т.е. f’(x) ≥ 0.
- Для того чтобы непрерывная функция f(x) убывала на отрезке [a; b], достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была отрицательна, т.е. f’(x) ≤ 0.
Примем эти утверждения без доказательств. Таким образом, получаем схему для нахождения интервалов возрастания и убывания, которая во многом похожа на алгоритм вычисления точек экстремума:
- Убрать всю лишнюю информацию. На исходном графике производной нас интересуют в первую очередь нули функции, поэтому оставим только их.
- Отметить знаки производной на интервалах между нулями. Там, где f’(x) ≥ 0, функция возрастает, а где f’(x) ≤ 0 — убывает. Если в задаче установлены ограничения на переменную x, дополнительно отмечаем их на новом графике.
- Теперь, когда нам известно поведение функции и ограничения, остается вычислить требуемую в задаче величину.
Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7,5]. Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых чисел, входящих в эти промежутки.
Как обычно, перечертим график и отметим границы [−3; 7,5], а также нули производной x = −1,5 и x = 5,3. Затем отметим знаки производной. Имеем:
Поскольку на интервале (− 1,5) производная отрицательна, это и есть интервал убывания функции. Осталось просуммировать все целые числа, которые находятся внутри этого интервала:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−10; 4]. Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Избавимся от лишней информации. Оставим только границы [−10; 4] и нули производной, которых в этот раз оказалось четыре: x = −8, x = −6, x = −3 и x = 2. Отметим знаки производной и получим следующую картинку:
Нас интересуют промежутки возрастания функции, т.е. такие, где f’(x) ≥ 0. На графике таких промежутков два: (−8; −6) и (−3; 2). Вычислим их длины:
l1 = − 6 − (−8) = 2;
l2 = 2 − (−3) = 5.
Поскольку требуется найти длину наибольшего из интервалов, в ответ записываем значение l2 = 5.
Смотрите также:
- ЕГЭ 2022, задание 6. Касательная к графику функции
- ЕГЭ 2022, задание 6. Касательная к графику функции
- Схема Бернулли. Примеры решения задач
- Решение задач B6: №362—377
- Четырехугольная пирамида: как найти координаты вершин
- Нестандартная задача B2: студенты, гонорары и налоги
