Как найти геометрическое место точек на окружности

Геометрические места точек

Геометрическим местом точек называют множество точек, заданное условием, являющимся и свойством, и признаком.

Другими словами, все точки из рассматриваемого геометрического места точек, и только они, удовлетворяют заданному условию.

Примеры геометрических мест точек (сокращённо ГМТ ) на плоскости представлены в следующей таблице, причём геометрические места точек изображаются в таблице красным цветом .

Геометрическое место точек

Геометрическое место точек (ГМТ) — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, удовлетворяющих определённому условию.

Чтобы выяснить, что собой представляет некоторая фигура F — геометрическое место точек, удовлетворяющих заданному условию P, нужно доказать:

1) если определённая точка принадлежит фигуре F, то она удовлетворяет заданному условию P;

2) если определённая точка удовлетворяет заданному условию P, то она принадлежит фигуре F.

(то есть требуется доказать прямую теорему — свойство P точек, принадлежащих фигуре F, и обратную теорему — признак фигуры F: если точка удовлетворяет условию P, то она принадлежит F).

Геометрическое место точек, равноудалённых от данной точки — окружность.

Это следует непосредственно из определения окружности.

Некоторые теоремы о ГМТ

1) Геометрическим местом точек, равноудалённых от двух данных точек, является серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки.

2) Геометрическим местом точек, равноудалённых от сторон неразвёрнутого угла, является биссектриса этого угла.

3) Геометрическим местом точек, удалённых от данной прямой на расстояние h, состоит из двух прямых, параллельных данной прямой и отстоящих от неё на h.

4) Геометрическим местом точек, равноудалённых от двух параллельных прямых, является прямая, параллельная этим прямым и проходящая через середину их общего перпендикуляра.

Понятие ГМТ часто используют при решении задач на построение.

Как найти гмт от окружности

Учебный курс

Решаем задачи по геометрии

Геометрическое место точек. Метод геометрических мест Определение: Геометрическим местом точек называется геометрическая фигура на плоскости, каждая точка которой обладает одним и тем же определенным свойством. Метод геометрических мест применяется чаще всего при построениях. Например, серединный перпендикуляр к отрезку можно определить как геометрическое место точек, равноудаленных от точек концов отрезков; окружность можно определить как геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки. Теорема (о геометрическом месте точек). Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, есть прямая, перпендикулярная отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину. Доказательство. Пусть даны точки А и В, а точка С – середина отрезка АВ. Нужно найти геометрическое место точек, равноудаленных от точек А и В. Доказательство основано на свойстве серединного перпендикуляра к отрезку. Серединный перпендикуляр СК, принадлежащий прямой а, как и любая точка этой прямой, – есть геометрическое место точек, равноудаленных от А и В, так как СКꓕАВ. Допустим, что есть еще точка К1, расстояние до которой от А и В одинаково. Рассмотрим ∆АК1В, он разбит отрезком К1С на два треугольника: ∆АК1С и ∆К1СВ. Если эти треугольники равны, то точка К1 тоже удалена на одинаковое расстояние от А и В. Через точку С проходят две прямые СК и СК1. На основании теоремы 16 (о единственности перпендикуляра из точки к прямой), если СКꓕАВ по построению, то СК1 не может быть перпендикулярна АВ. Метод геометрических мест Построить точку Х, равноудаленную от А и В и находящуюся на расстоянии h от точки С. 1.Построим геометрическое место точек, удовлетворяющее первому условию: это будет серединный перпендикуляр к отрезку АВ. Прямая а, которая содержит серединный перпендикуляр к отрезку АВ, удовлетворяет полностью первому условию. 2.На перпендикуляре (прямая а) должна находится точка Х, которая удовлетворяла бы второму условию (расстояние от нее до С должно составлять h). Если из точки С радиусом h провести окружность, то все точки окружности будут расположены от С на одинаковом расстоянии h (построили второе геометрическое место точек, равноудаленных от С). 3.Пересечение первого геометрического места точек (прямая а) и второго (окружности с центром в точке С) будет удовлетворять обоим условиям задачи. Точки пересечения окружности и прямой (Х1 и Х) и будут теми искомыми точками, которые равноудалены от точек А и В и находятся от С на расстоянии h. [spoiler title=”источники:”] Геометрическое место точек http://profmeter.com.ua/communication/learning/course/course7/lesson1118/?LESSON_PATH=456.518.1118 [/spoiler]

Содержание:

Пусть в природе не существовало бы ни одного круга или треугольника, и все-таки истины, доказанные Евклидом, навсегда сохранили бы свою достоверность и очевидность.

Раньше вы знакомились с основными геометрическими фигурами, устанавливали особенности этих фигур и их взаимное расположение. Но на практике довольно часто приходится решать «обратную» задачу — по определенным особенностям находить фигуру, имеющую их. Именно таково содержание задач на построение, которые будут рассматриваться в этом разделе.

Еще в работах древнегреческих математиков описаны задачи на построение и методы их решения.

Многие из этих задач составляют классику евклидовой геометрии. Кроме практической ценности, такие задачи представляют значительный исследовательский интерес, поскольку в ходе их решения определяются новые особенности построенных фигур.

Окружность и круг:

Определение. Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, которая называется центром окружности.

Радиусом окружности называется отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности (или длина этого отрезка).

Хордой окружности называется отрезок, соединяющий две точки окружности.

Диаметром окружности называется хорда, проходящая через центр окружности.

Дугой окружности называется часть окружности, ограниченная двумя точками.

На рисунке 48 точка О — центр, отрезок ОС — радиус окружности. Радиус обозначают буквой R (или

На рисунке 49 изображены: хорда ЕН, дуга КМ (обозначается: ), диаметр АВ. Диаметр состоит из двух радиусов. Поэтому диаметры окружности равны между собой. Диаметр АВ состоит из радиусов OA и ОВ, откуда  Диаметр обозначают буквой D (или d). Тогда

Любые две точки окружности разбивают ее на две дуги, которые дополняют друг друга до окружности. Эти дуги так и называются — дополнительными. Чтобы различать такие дуги, их иногда обозначают тремя буквами. На рисунке 49 дуги АКМ и АНМ — дополнительные.

Определение. Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью.

Точки окружности также принадлежат кругу (рис. 50). Поэтому центр, радиус, хорда и диаметр у круга те же, что и у его окружности.

Часть круга, заключенная между двумя радиусами, называется сектором. Часть круга, заключенная между дугой окружности и хордой, соединяющей концы дуги, называется сегментом (рис. 51). Два радиуса разбивают круг на два сектора, хорда разбивает круг на два сегмента.

Полуокружностью называется дуга окружности, концы которой являются концами диаметра. Полукругом называется часть круга, ограниченная полуокружностью и диаметром, соединяющим концы полуокружности. На рисунке 49 дуга АКВ — полуокружность, сегмент АКВ — полукруг.

Угол, вершина которого находится в центре окружности, называется центральным углом. На рисунке 51 — центральный угол.

Окружности (круги) равны, если равны их радиусы.

Две окружности могут не иметь общих точек, могут пересекаться в двух точках или касаться друг друга в одной точке. Окружности разного радиуса с общим центром называются концентрическими. Часть плоскости между двумя концентрическими окружностями называется кольцом (рис. 52).

Определение окружности и круга

Окружность — это замкнутая линия на плоскости, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной точки — центра окружности.

Круг — это внутренняя часть плоскости, ограниченная окружностью.

Размеры окружности и круга определяются их радиусом — отрезком, который соединяет центр с точкой на окружности (рис. 3).

В математике «окружность» и «круг» — два различных, хотя и связанных между собой, понятия. Окружность, например, является моделью обруча, а круг — моделью крышки люка.

Определение окружности и ее элементов

Пусть на плоскости отмечена точка О. Очевидно, что от точки О можно отложить бесконечное множество отрезков длиной R (рис. 162). Концы всех таких отрезков на плоскости образуют окружность — фигуру, уже известную из курса математики. Определение Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, удаленных от данной точки (центра окружности) на одинаковое расстояние. Иначе говорят, что все точки окружности равноудалены от ее центра. Определение Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью и содержащая ее центр. Иначе говоря, круг состоит из всех точек плоскости, удаленных от данной точки (центра круга) на расстояние, не превышающее заданного. На рисунке 163 заштрихованная часть плоскости — круг, ограниченный окружностью с тем же центром. Центр окружности и круга является точкой круга, но не является точкой окружности.

Определение Радиусом окружности (круга) называется расстояние от центра окружности до любой ее точки. Радиусом также называется любой отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром. На рисунке 162 — радиусы окружности с центром О. Как правило, радиус обозначается буквой R (или r ).

Радиус – от латинского «радиус» – луч, спица

Хорда – от греческого «хорда» — струна, тетива

Диаметр — от греческого «диа» — насквозь и «метрео» – измеряющий насквозь; другое значение этого слова — поперечник

Радиусом также называется любой отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром. На рисунке 162 — радиусы окружности с центром О. Как правило, радиус обозначается буквой R (или r ).

Определение:

Хордой называется отрезок, соединяющий две точки окружности.

Диаметром называется хорда, проходящая через центр окружности.

На рисунке 164 изображены две хорды окружности, одна из которых является ее диаметром. Обычно диаметр обозначают буквой d. Очевидно, что диаметр вдвое больше радиуса, то есть d = 2R.

Построение окружности выполняют с помощью циркуля.

Что такое окружность и круг

Окружность — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, равноудален ных от данной точки. Эту точку называют центром окружности.

Отрезок, соединяющий любую точку окружности с ее центром, называют ради усом. Отрезок, соединяющий две против вольные точки окружности, — хорда окружности. Хорда, проходящая через центр окружности, — диаметр (рис. 200). Каждый диаметр окружности состоит’ из двух радиусов, поэтому его длина вдвое больше длины радиуса. Длина хорды, не проходящей через центр окружности, меньше длины диаметра, (Почему?)

Окружность на бумаге описывают < помощью циркуля. Считается, что из данного центра на плоскости можно описать только одну окружность данного радиуса (рис. 201).

Прямая и окружность могут иметь две общие точки (рис. 202, а), одну общую точку (рис. 202, б) или не иметь ни одной (рис. 202, в)

Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей.

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, Напивается касательной к окружности. Их общую точку называют точкой касания. (Речь идет о фигурах одной плоскости.) Точка касания лежит на окружности, поэтому касательная удалена от центра окружности на расстояние, равное длине радиуса. Другие точки касательной лежат вне окружности, расстояния т них до центра окружности больше длины радиуса.

Отсюда следует, что касательная к окружности перпендикулярна к ее радиусу, проведенному в точку касания.
 

Чтобы через данную на окружности Точку К провести касательную к этой окружности, нужно провести радиус ОК, потом — прямую КМ, перпендикулярную к этому радиусу (рис. 203).

Если две разные окружности имеют дин общие точки, то говорят, что данные окружности пересекаются в этих Точках. Точки пересечения двух окружностей лежат по разные стороны от Прямой, проходящей через центры этих окружностей. На рисунке 204 показаны окружности с центрами О и Ох, пересекающиеся в точках А и В.

Если две окружности имеют только одну общую точку, говорят, что они касаются и этой точке. Касание двух окружностей может быть внешним (рис. 205) и внутренним (рис. 206). В обоих случаях точка касания и центры окружностей лежат на одной прямой.

Две окружности одной плоскости, имеющие общий центр, называют концентрическими окружностями (рис. 207).

Обычно окружности чертят, пользуясь циркулем. Но иногда удобнее это делать с помощью специальных шаблонов с вырезанными кругами разных радиусов.

Окружность делит плоскость на две части (области). Объединение окружности с ее внутренней областью называется кругом. Граница круга — окружность. Поэтому центром, радиусом, диаметром, хордой круга называют соответственно центр, радиус, диаметр, хорду данной окружности (рис. 208).

Форму окружности имеет обруч, форму круга — дно ведра, видимый диск Солнца и др. Колесо на рельсе — материальная модель окружности, касающейся прямой. На схематическом изображении подшипника (рис. 209) видны несколько касающихся окружностей.

Как вам известно из предыдущих классов, длина С окружности и площадь S круга выражаются через радиус г следующими формулами:

Строгие доказательства этих формул будут рассмотрены в старших классах.

Для любознательных:

Слово коло древнерусское. Оно одного корня со словами кольцо, кольцевать, колобок, кольчуга, колесо, колея, коловорот, околица, околыш и др.   До XIX в. в русской научной литературе вместо слова окружность писали округ, кружение, окружие, циркумференция, периферия и даже периметр, а вместо круг— циркуль, обруч, колесо. Например, в «Арифметике» Л. Магницкого — первой математической книге, напечатанной в России (1703 г.), читаем: «Чрез « центр колесе линию проведи я же называется меридиана, что  современном прочтении означает: «Через центр круга проведи отрезок, называемый диаметром».

Пример:

Докажите, что точки касания окружности к сторонам треугольника равноудалены от его вершины.

Решение:

Пусть окружность с центром О касается сторон угла А в точках В и С (рис. 210). Докажем, что АВ = АС.

Радиусы ОВ и ОС, проведенные в точки касания, перпендикулярны к соответствующим касательным и равны. Поэтому прямоугольные треугольники АВО и АСО равные по катету и гипотенузе. Следовательно, АВ = АС.
 

Пример:

Докажите, что диаметр окружности, проходящий через середину хорды, отличной от диаметра, перпендикулярен к ней.

Решение:

Пусть АВ — хорда окружности, но проходящая через центр О окружности, а КР — диаметр окружное и, проходящий через середину М хорды АВ (рис. 211). Треугольник ОАВ равнобедренный, поскольку ОА = ОВ. А медиана ОМ равнобедренного треугольника, проведения к его основанию, также являете и высотой треугольника. Поэтому, а следовательно, и

Пример:

 Найдите площадь кольца, ограниченного двумя концентрическими окружностями радиусов (рис. 212).

Решение:

Площадь S кольца равна разности площадей кругов радиусов :

Геометрическое место точек

Чтобы решать более сложные задачи на Построение, следует знать, что такое геометрическое место точек.

Геометрическим местом точек (ГМТ) называется фигура, состоящая из всех точек, имеющих определенное свойство. Рассмотрим несколько геометрических мест точек плоскости. Окружность — это геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.

Круг радиуса r — геометрическое место точек, расстояния tit которых до данной точки не превышают r.

Пример №1

Найдите геометрическое место точек, равноудаленных от концов данного отрезка.

Решение:

Пусть дан отрезок АВ.

Его середина М равноудалена от А и В (рис. 215, а). Проведем прямую МК, перпендикулярную к АВ. Каждая ее точка К, отличная от М, также равноудалена от А и 4 В, поскольку А КАМ = А КВМ.

Таким образом, КА = КВ.

Если же точка Р не лежит на прямой МК, она не может быть равноудаленной от А и В (рис. 215, б).

Действительно, из допущения, что РА = РВ, следует перпендикулярность прямых РМ и АВ, так как медиана РМ равнобедренного треугольника РАВ является его высотой. Тогда сумма двух прямых углов РМВ и КМ А не равнялись бы 180°, а этого не может быть. Следовательно, вне прямой МК не существует точки, равноудаленной от А и В.

Таким образом, любая точка прямой МК равноудалена от B, а точка, не лежащая на МК, не может быть равноудаленной от А и В.

Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, называют серединным перпендикуляром данного отрезка. Из этого следует, что геометрическим местом точек, равноудаленных от концов отрезка, является его серединный перпендикуляр.

Пример №2

Найдите геометрическое место точек, лежащих внутри угли и равноудаленных от его сторон.

Решение:

1) Пусть М — точка угла, равно удаленная от его сторон ОА и О Л (рис. 216). Перпендикуляры МА и MB, опущенные из М на стороны угла, равны. Поэтому по катету и гипотенузе Следовательно, то есть точка М принадлежит биссектрисе данного угла АОВ.

■ 2) Если М — произвольная точка биссектрисы угла АОВ, > МА и MB — перпендикуляры на ОА и ОВ (см. рис. 216), то  (по гипотенузе и острому углу). Поэтом МА = MB, следовательно, точка М равноудалена от сторон данного угла.

Геометрическим местом точек угла, равноудаленных от его сторон, является биссектриса этого угла.

Примечание:

Здесь имеются в виду углы меньше развернутого.

Для любознательных:

Верно ли, что геометрическим местом точек, равноудален-ных от сторон угла, является биссектриса этого угла? Нет. Когда в планиметрии говорят о геометрическом месте точек, не  уточняя, о каких именно точках идет речь, то имеют в виду точки плоскости, которой принадлежит данная фигура. При таком  условии геометрическим местом точек, равноудаленных от ф сторон угла, является объединение биссектрисы I данного угле g и всех точек некоего другого угла, показанного на рисунке 217, 
 

Ведь каждая точка угла КОР также равноудалена от сторон донного угла АО В (речь идет об углах меньше развернутого).

Когда мы говорим, что геометрическим местом точек, равноудаленных от концов отрезка, является серединный перпендикуляр этого отрезка, то мы имеем в виду, что речь идет о геометрическом месте точек плоскости, на которой лежит отрезок.

А геометрическим местом точек пространства, равноудаленных от концов отрезка, является некая плоскость (мал. 218).

Подумайте, как расположена эта плоскость относительно денного отрезка.

Геометрические места точек пространства изучают в старших классах.

Пример №3

Докажите, что серединные перпендикуляры двух сторон треугольника пересекаются.

Решение:

Пусть n и m— серединные перпендикуляры сторон ВС и АВ треугольника (рис. 219). Докажем, что они не могут быть параллельны. Доказывать будем от противного. Допустим, что n || m. Тогда прямая, перпендикулярная к п, должна быть перпендикулярной и к m, то есть . Но по условию А две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны. Таким образом, из допущения, что п || т, следует параллельность сторон АВ и ВС треугольника. А этого не может быть. Поэтому прямые ли т не могут быть параллельными. Они пересекаются.

Окружность и треугольник

Окружность и треугольник могут не иметь общих точек или иметь 1, 2, 3, 4, 5, 6 общих точек (соответствующие рисунки выполните самостоятельно). Заслуживаем внимания случаи, когда окружность проходит через все три вершины треугольника или когда она касается всех и сторон треугольника. Рассмотрим такие случаи подробнее.

Описанная окружность

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все вершины треугольника (рис. 223).

Теорема: Около каждого треугольника можно описать только одну окружность. Ее центром является точка пересечения серединных перпендикуляров двух сторон треугольника.

Пусть ABC — произвольный треугольник (рис. 224). Найдем точку, равноудаленную от вершин А, В и С.’ Метрическое место точек, равноудаленных от А и В, — серединный перпендикуляр m отрезка АВ; геометрическое место точек, равноудаленна от В и С, — серединный перпендикуляр n отрезка ВС. Эти два серединных перпендикуляра не могут быть параллельными, они пересекаются в  точке О. А она равноудалена от Н и С. Следовательно, ОА = ОВ = ОС, поэтому О — центр окружности, описанной около ABC.

Для каждого отрезка АВ существует серединный перпендикуляр, и только один, а для ВС — серединный перпендикуляр и только один. И точка их пересечения существует всегда, только одна. Таким образом, около каждого треугольника можно описать одну окружность, и только одну. 

Следствия:

• Серединные перпендикуляры всех трех сторон произвольного треугольника проходят через одну и ту же точку.
• Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и только одну.

Из доказанной теоремы следует cnocof построения окружности, описанной около треугольника. Чтобы описать около треугольника ABC окружность, достаточно:

1. построить серединные перпендикуляры двух сторон данного треугольника;
2. определить точку О, в которой эти серединные перпендикуляры пересекаются;
3. ) из центра О провести окружность радиуса ОА.

Центр окружности, описанной около треугольника, может лежать во внутренней или внешней области данного треугольника либо на его сторон  (рис. 225).

Вписанная окружность

Теорема: В каждый треугольник можно вписан только одну окружность. Ее центром является точка пересечения двух биссектрис треугольника.

Доказательство:

Пусть ABC — произвольный треугольник. Определим точи О, равноудаленную от всех его сторон (рис. 227). Геометрическое место точек, лежащих внутри угла А и равноудаленных  второй АВ и АС, — биссектриса l угла А. Гtjметрическое место точек, равноудаленных от сторон АВ и ВС и лежащих внутри угла В, — биссектриса t угла B. Эти две биссектрисы обязательно Пересекаются (докажите это!). Точка U, в которой пересекаются биссектрисы l и t, равноудалена от всех трех сторон данного треугольника. Следовательно, точка О — центр окружности, Вписанной в треугольник АВС. 

Следствие:

В каждом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Из доказанной теоремы следует способ построения окружности, вписанной в треугольник. Чтобы вписать в данный треугольник окружность, достаточно:

1. провести две его биссектрисы;
2. из точки их пересечения О опустить перпендикуляр OL на произвольную сторону треугольника;
3. из центра О радиуса OL описать окружность. Она касается каждой стороны треугольника, следовательно, является вписанной в данный треугольник.

Для любознательных:

Теорема: Центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина его гипотенузы.

Пусть ABC — произвольный треугольник с прямым углом С, t— серединный перпендикуляр катета АС, пересекающий гипотенузу АВ в точке О (рис. 228).

Поскольку точка О лежит на серединном перпендикуляре отрезка АС, то .

точка О—середина гипотенузы АВ, равноудаленная от всех вершин треугольника. Таким образом, окружность с центром О и радиусом ОА проходит через все вершины данного треугольника. 

Диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен его гипотенузе.

Теорема: Из любой точки окружности ее Диаметр, не выходящий из этой точки, виден под прямым углом.

Доказательство:

Пусть АВ — произвольный диаметр окружности с центром О, а С— произвольная точка окружности, отличная от А и В (рис. 229). Покажем, чтоПоскольку

Геометрическим местом точек плоскости, из которых отрезок АВ виден под прямым углом, является окружность диаметра АВ. На самом деле этому ГМТ точки А и В не принадлежат. Подробнее об этом вы узнаете в старших классах.

Пример №4

Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника с гипотенузой 6 см.

Решение:

Диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является его гипотенузой. Радиус вдвое меньше: 3 см.

Пример №5

Докажите, что диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами а и Ь и гипотенузой с, равен a + b — c.

Решение:

Пусть в угол С прямой, а К, Р, Т — точки касания вписанной в треугольник окружности (рис. 230). Поскольку АР =АТ и ВК = ВТ, то АС + ВС – АВ = PC + СК = 2r, или 2r = a + b- с.

Геометрические построения

Пользуясь линейкой’ и циркулем, моле но выполнить много геометрических построений, то есть начертить геометрические фигуры. Рассмотрим сначала, как выполняются самые простые геометрические построения.

Пример №6

Постройте треугольник по   данным сторонам.

Решение:

Пусть    даны    три    отрезки а, b и с (рис. 232). Нужно построить, треугольник, стороны которого были бы равны этим отрезкам. С помощью линейки проводим произвольную прямую, обозначаем на ней произвольную точку В и циркулем откладываем на этой прямой отрезок ВС = а. Раствором циркуля, равным с описываем дугу окружности с центром В. С той же стороны от прямой СВ описываем дугу окружности радиуса b с центром С. Точку пересечения А этих дуг соединяем отрезками с С и В. Треугольник ABC — именно тот, который требовалось построить, так как его стороны ВС, АС и АВ равны данным отрезкам.

Примечание:

Если построенные дуги не пересекаются, требуемый треугольник построить невозможно. Это бывшие в том случае, когда один из данных отрезков больше суммы двух других или равен их сумме.

Пример №7

Постройте угол, равный данному углу.

Решение:

Пусть дан угол АОВ и требуется построить угол КРТ, равный (рис. 233). Проводим луч РТ и дуг* равных радиусов с центрами О и Р. Пусть одна из этих д пересекает стороны угла АОВ в точках А и В, а другая луч РТ в точке Т. Дальше раствором циркуля, равным А/ описываем третью дугу с центром Т. Если она пересекает другую дугу в точке К, проводим луч РК. Угол КРТ — то 1 Будем считать, что линейка без делений.

который требовалось построить. Ведь треугольники КРТ и АОВ равны (по трем сторонам), поэтому

Пример №8

Постройте биссектрису данного угла.

Решение:

Пусть АОВ — данный угол (рис. 234). Произвольным раствором циркуля опишем дугу с центром О. Пусть А и В — точки пересечения этой дуги с лучами О А и ОВ. Из центров А и В опишем дуги такими же радиусами. Если D — точка пересечения этих дуг, то луч OD — биссектриса угла АОВ.

Действительно, (по трем сторонам). Поэтому

Пример №9

Разделите данный отрезок пополам.

Решение:

Пусть АВ — данный отрезок (рис. 235). Из точек А и В радиусом АВ описываем дуги. Они пересекутся в неких точках С и D.

Прямая CD точкой М разделит данный отрезок пополам.

Действительно, по трем сторонам , поэтому  По первому признаку равенства треугольников . Итак, AM = ВМ.

Пример №10

Через данную точку Р проведите прямую, перпендикулярную и данной прямой а.

Решение:

В зависимости от того, лежит или не лежит точка Р на прямой а, задачу можно решить, как показа но на рисунках 236 и 237. Опишите и аргументируйте эти построения самостоятельно.
 

Пример №11

Через точку Р, не лежащую на прямой АВ, проведите прямую, параллельную прямой АВ.

Решение:

Через точку Р и про из вольную точку А прямой АВ проводим прямую АТ (рис. 238). Строим угол ТРМ, равный углу РАВ, так, что бы эти углы стали соответственны ми при прямых РК, АВ и секущей АР. Построенная таким образом пря мая РК удовлетворяет задачу: она проходит через данную точку Р и параллельна прямой АВ, поскольку

Для любознательных:

Геометрическими построениями часто приходилось заниматься многим людям. Еще в доисторические времена мастера, изготавливающие колеса к колесницам, умели делить окружность на несколько равных частей. В наше время выполнять такие построения приходится специалистам, проектирующим или изготавливающим шестеренки, дисковые пилы (рис. 239), турбины и различные роторные механизмы. Как бы вы разделили окружность, например, на 5, 6 или 7 равных частей?

Основные чертежные инструменты — линейка и циркуль — были известны еще несколько тысячелетий назад.

Слово линейка происходит от слова линия, которое на латинском языке сначала означало «льняная нитка», «черта, проведенная ниткой, бечевкой» (производное от лат. Плит — лен). Слово циркуль тоже латинского происхождения, первоначально слово циркулюс означало «окружность, круг», а потом стало означать инструмент, с помощью которого проводят окружности.

В Древней Греции линейку и циркуль признавали единственными приборами геометрических построений. Задачу на построение считали решенной, если все построения в ней выполнялись только с помощью линейки и циркуля. Сейчас специалисты при выполнении построений пользуются угольником, транспортиром, рейсмусом, рейсшиной и другими чертежными приспособлениями.

Пример №12

Разделите данную дугу окружности на две равные части.

Решение:

Пусть дана дуга АВ окружности с центром О (рис. 240). Представим угол АОВ и проведем его биссектрису ОК. Треугольники АОК и КОВ равны, поэтому и дуги АК и КВ равны.    

Пример №13

Постройте угол вдвое больше данною.

Решение:

Пусть АОВ — данный угол (рис. 241) Опишем дугу окружности с центром О Если она пересечет стороны данного угла в точках А и В, из В как из центра сделаем засечку ВС = ВА и проведем    луч    ОС.    Угол    АОС    вдвое    больше 

Задачи на построение

С геометрическими построениями имеют дело различные специалисты. Геометрические построении выполняют чертежники, архитекторы, конструкторы, топографы, геодезисты, штурманы. Разные геометрические фигуры строят также: слесарь — на жести, столяр — на доске, портной— на ткани, садовник — на земле.  

В задаче на построение требуется построить геометрическую фигуру, которая должна удовлетворять определенные условия. В геометрии построения выполняют чаще всего с помощь к линейки и циркуля. Условимся: если в задаче не сказано, какими инструментами следует выполнить построение, то имеются в виду только линейка (без делений) и циркуль.

Более сложные задачи на построение часто решают методом геометрических мест. Пусть, например, в задаче требуете!’ найти точку X, удовлетворяющую два условия. Если первое условие удовлетворяют точки фигуры К, а второе — точки фигуры Р, то X должна принадлежать каждой из этих фигур. Тс есть X — точка пересечения фигур К и Р.

Пример №14

Постройте прямоугольный треугольник по да» ному катету а и гипотенузе с (рис. 243).

Решение:

Строим прямой угол АСВ, на его стороне откладываем отрезок СВ = а. Точки С и В — две вершины треугольника, который требуется построить. Третья верши» должна лежать, во-первых, на луче СА, во-вторых, на pfti стоянии с от В, то есть на окружности радиуса с с центр В. Если эту окружность пересекает луч СА в точке А, 1 треугольник ABC — именно тот, который требовалось не строить. Ведь его угол С прямой, ВС = а, ВА = с.

Второй способ (рис. 244). Откладываем отрезок АВ = с и проводим окружность диаметра АВ — ГМТ, из которых АВ виден под прямым углом. Дальше строим полуокружность радиуса а с центром В — ГМТ, удаленных от В на расстояние а и лежащих по одну сторону от прямой АВ. Если два ГМТ пересекаются в точке С, то треугольник ABC — именно тот, который требовалось построить.

Составные части решения задачи на построение — анализ, построение, доказательство и исследование. В анализе ищут способ решения задачи, в построении выполняется само построение, в доказательстве обосновывается правильность выполненного построения, в исследовании выясняется, сколько решений имеет задача.

Пример №15

Постройте треугольник по данной стороне, прилежащему к ней углу и сумме двух других сторон (рис. 245).

Решение:

Анализ. Допустим, что требуемый треугольник ABC построен. Его сторона с и угол А = а — даны. Дан также отрезок, равный сумме сторон а и b. По данным отрезкам с и а + b и углу А между ними можно построить A ABD. Вершиной С искомого треугольника будет такая точка отрезка AD, для которой CD = СВ. Следовательно, точка С должна лежать и на серединном перпендикуляре отрезка BD.

Построение. По двум данным отрезкам и углу между ними строим , после чего проводим серединный перпендикуляр I отрезка BD. Пусть прямая I пересекает отрезок АВ в точке С. Проводим отрезок СВ. Треугольник ABC — такой, который требовалось построить.

Доказательство:

В треугольнике по построению. АС + СВ – АС + CD — а + b. Следовательно, удовлетворяет все условия задачи.

Исследование. Задача имеет решение только при условии, что а + b > с.

Примечание:

Если задача несложная и способ ее решения известен, анализ можно не описывать. А в решении не обязательно выделять анализ, построение, доказательство и исследование.

Для любознательных:

В математике чаще всего имеют дело с задачами: на вычисление, на доказательство, на построение, на преобразование и на исследование. Геометрическими задачами на построение активно интересовались античные геометры. Допуская лишь классические построения (выполняемые только линейкой и циркулем), они исследовали, какие из построений можно вы-полнить, а какие невозможно. В частности, выясняли:

1. можно ли любой угол разделить на три равные части;
2. можно ли построить квадрат, площадь которого была бы равна площади данного круга;
3. можно ли построить ребро такого куба, объем которого был бы в 2 раза больше объема данного куба.

Много столетий выдающиеся геометры пытались решить эти задачи и не смогли. Эти три классические задачи древности получили специальные названия:

1. трисекция угла,
2. 2квадратура круга,
3. удвоение куба.

Последнюю задачу называют еще делосской задачей, связывая ее с древнегреческой легендой. согласно которой оракул бога Аполлона согласился спасти жителей острова Делос от чумы, если кубический жертовник в делосском храме заменят на жертовник такой же формы, но вдвое большего объема. Только почти через 2000 лет ученые убедились, что ни одну из этих трех задач с помощью лишь линейки и циркуля решить невозможно.

  В настоящее время специалисты, которым приходится выполнять геометрические построения, пользуются не только линейкой и циркулем. С точки зрения классических методов такие построения приближенные. Но для практических нужд точности, которую обеспечивают приближенные методы, вполне достаточно

Пример №16

Найдите центр данной окружности.

Решение:

Обозначим на данной окружности три производные точки А, В и С (рис. 246).

Представим хорды АВ, ВС и проведем их серединные перпендикуляры n и m. Точка О, в которой пересекаются прямые n и m., — центр данной окружности. Ведь ОА = ОВ = ОС.

Пример №17

Через данную точку проведите касательную к данной окружности.

Решение:

Если данная точка А лежит на окружности центра О (рис. 247, а), проводим луч ОА, потом — прямую АК, перпендикулярную к ОА. Прямая АК — касательная, которую и требовалось построить.

Если точка А лежит вне данной окружности центра О (рис. 247, б), то на диаметре ОА описываем окружность. Она пересечется с данной окружностью в двух точках К и Р. Прямые АК и АР — искомые касательные, поскольку (Из точек К и Р вспомогательной окружности ее диаметр ОМ виден под прямыми углами АКО и АРО.) В этом случае задача имеет два решения.

Свойство диаметра, перпендикулярного хорде

Опорная задача:

Диаметр, перпендикулярный хорде, проходит через ее середину. Докажите.

Решение

Пусть СО — диаметр окружности с центром О, АВ — хорда этой окружности, Докажем, что М — точка пересечения отрезков АВ и СD— середина отрезка АВ.

В случае, когда хорда АВ сама является диаметром, точка М совпадает с центром О и утверждение задачи очевидно. Пусть хорда АВ не является диаметром (рис. 165). Проведем радиусы OA и ОВ. Тогда в равнобедренном треугольнике АОВ высота ОМ является медианой. Итак, AM = ВМ, что и требовалось доказать.

Докажите самостоятельно еще одно утверждение (опорное): диаметр окружности, проведенной через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен этой хорде.

Касательная к окружности

Определение и свойство касательной

Любая прямая, проходящая через точки окружности, называется секущей; ее отрезок, лежащий внутри окружности, является хордой. На рисунке 167 хорда CD — отрезок секущей b. Рассмотрим теперь прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку.

Определение:

Касательной к окружности называется прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку. Общая точка касательной и окружности называется точкой касания.

На рисунке 167 прямая а является касательной к окружности с центром О. Иначе говоря, прямая а касается окружности с центром О в точке А.

Определим взаимное расположение касательной и радиуса окружности, проведенного в точку касания.

Теорема (свойство касательной)

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Доказательство:

Пусть прямая а касается окружности с центром О в точке А (рис. 168). Докажем, что Применим метод доказательства от противного.

Пусть отрезок OA не является перпендикуляром к прямой а. Тогда, по теореме о существовании и единственности перпендикуляра к прямой, из точки О можно провести перпендикуляр ОB к прямой а. На луче АВ от точки В отложим отрезок ВС, равный АВ, и соединим точки О и С. Поскольку по построению отрезок ОВ — медиана и высота треугольника АОС, то этот треугольник равнобедренный с основанием АС, то есть OA = ОС. Таким образом, расстояние между точками О и С равно радиусу окружности, и, по определению радиуса, точка С должна лежать на данной окружности. Но это противоречит определению касательной, поскольку А — единственная общая точка окружности с прямой а. Из этого противоречия следует, что наше предположение неверно, то есть OA . Теорема доказана.

Признак касательной

Докажем теорему, обратную предыдущей.

Теорема: (признак касательной)

Если прямая проходит через точку окружности перпендикулярно радиусу, проведенному в эту точку, то она является касательной к окружности.

Доказательство:

Пусть прямая а проходит через точку А, лежащую на окружности с центром О, причем . Докажем, что а — касательная к окружности. Согласно определению касательной, нам необходимо доказать, что окружность имеет с прямой а единственную общую точку. Применим метод доказательства от противного.

Пусть прямая а имеет с окружностью общую точку В, отличную от А (рис. 169). Тогда из определения окружности ОА = ОВ как радиусы, то есть треугольник АОВ равнобедренный с основанием АВ. По свойству углов равнобедренного треугольника , что противоречит теореме о сумме углов треугольника.

Следовательно, точка А — единственная общая точка окружности и прямой а, значит, прямая а — касательная к окружности.

Свойство отрезков касательных

Пусть даны окружность с центром О и точка А, не принадлежащая кругу, ограниченному данной окружностью (рис. 170).

Через точку А можно провести две касательные к данной окружности. Отрезки, соединяющие данную точку А с точками касания, называют отрезками касательных, проведенных из точки А к данной окружности. На рисунке 170 АВ и АС — отрезки касательных, проведенных к окружности из точки А .

Опорная задача

Отрезки касательных, проведенных из данной точки к окружности, равны. Докажите.

Решение

Пусть АВ и АС — отрезки касательных, проведенных к окружности с центром О из точки А (рис. 170). Рассмотрим треугольники АОВ и АОС. По свойству касательной то есть эти треугольники являются прямоугольными с общей гипотенузой АО и равными катетами ОВ = ОС как радиусы окружности). Следовательно, по гипотенузе и катету, откуда АВ = АС.

Касание двух окружностей

Определение:

Две окружности, имеющие общую точку, касаются в этой точке, если они имеют в ней общую касательную.

Общая точка двух окружностей в таком случае называется точкой касания окружностей.

Различают два вида касания окружностей: внутреннее и внешнее.

Касание окружностей называется внутренним, если центры окружностей лежат по одну сторону от общей касательной, проведенной через точку касания (рис. 171, а);

Касание окружностей называется внешним, если центры окружностей лежат по разные стороны от общей касательной, проведенной через точку касания (рис. 171, б).

Рис. 171 Касание двух окружностей. 1. внутреннее; 2. внешнее.

По свойству касательной радиусы данных окружностей, проведенные в точку касания, перпендикулярны общей касательной. Из теоремы о существовании и единственности прямой, перпендикулярной данной, следует, что центры касающихся окружностей и точка касания окружнос тей лежат на одной прямой.

Касающиеся окружности имеют единствен ную общую точку — точку касания.

Если данные окружности имеют радиусы R и r (R > r), то расстояние между центрами окружностей равно R-r в случае внутреннего касания и R+r в случае внешнего касания.

Задачи на построение

Что такое задачи на построение?

Задачи на построение представляют собой отдельный класс геометрических задач, решение которых подчиняется определенным правилам. Цель решения этих задач — построение геометрических фигур с заданными свойствами с помощью чертежных инструментов. Если в условии задачи нет специальных примечаний, то имеются в виду построения с помощью циркуля и линейки. С помощью линейки можно провести:

• произвольную прямую;
• прямую, проходящую через данную точку;
• прямую, проходящую через две данные точки.

Заметим, что никаких других построений линейкой выполнять нельзя. В частности, с помощью линейки нельзя откладывать отрезки заданной длины.

Циркуль – от латинского “циркулус” – окружность, круг.

С помощью циркуля можно:

• провести окружность (часть окружности) произвольного или заданного радиуса с произвольным или заданным центром;
• отложить от начала данного луча отрезок заданной длины.

Кроме того, можно отмечать на плоскости точки и находить точки пересечения прямых и окружностей.

Все перечисленные операции называют элементарными построениями, а решить задачу на построение — это значит найти последовательность элементарных построений, после выполнения которых искомая фигура считается построенной, и доказать, что именно эта фигура удовлетворяет условию задачи.

Итак, решение задач на построение заключается не столько в самом построении фигуры, сколько в нахождении способа построения и доказательстве того, что полученная фигура искомая.

Основные задачи на построение

Если каждый шаг построений описывать полностью, решение некоторых задач может оказаться довольно громоздким. С целью упрощения работы выделяют несколько важнейших задач, которые считаются основными и не детализируются каждый раз при решении более сложных задач.

Построение треугольника с данными сторонами
	Пусть даны отрезки длиной а, b и с. Построим треугольник со сторонами, b и с.
	Проведем произвольный луч и отметим на нем точку А. Раствором циркуля, равным а, построим окружность с центром А. Пусть В — точка пересечения этой окружности с лучом.
	Раствором циркуля, равным b, опишем окружность с центром А, а раствором циркуля, равным с,— окружность с центром В. Пусть С — точка пересечения этих окружностей.
	Проведем отрезки АС и ВС. По построению треугольник ABC имеет стороны длиной а, b и с, то есть треугольник ABC искомый1.

¹ По данным задачи можно построить четыре разных треугольника с общей стороной АВ. По третьему признаку эти треугольники равны, то есть совмещаются наложением. В таких случаях решением задачи считают любой из этих равных треугольников.

Отметим, что эта задача имеет решение при условии, что длины отрезков а, b и с удовлетворяют неравенству треугольника.

С помощью описанных операций несложно решить задачу о построении угла, равного данному неразвернутому углу А. Для этого достаточно отложить на сторонах данного угла А отрезки АВ и АС и построить треугольник, равный треугольнику ABC.

Построение перпендикулярной прямой
	Пусть даны прямая а и точка О . Построим прямую, проходящую через точку О и перпендикулярную прямой а . Рассмотрим два случая
Точка O лежит на прямой а
	Построим окружность произвольного радиуса с центром О. Пусть А и B — точки пересечения этой окружности с прямой а .
	Построим окружности радиуса АВ с центрами А и В. Пусть С — одна из точек их пересечения. Проведем прямую через точки С и О.
	По построению отрезок СО — медиана равностороннего треугольника ABC , которая является также его высотой. Итак, , то есть прямая СО — искомая.
Точка O не лежит на прямой а
	Построим окружность с центром О , которая пересекает прямую O, в точках А и В .
	Построими окружности того же радиуса с центрами A и В . Пусть Ol — точка пересечения этих окружностей, причем точки О и Ol лежат по разные стороны от прямой а .
	Проведем прямую . Пусть С — точка пересечения прямых и а . По построению (по третьему признаку). Отсюда . Тогда ОС — биссектриса равнобедренного треугольника АОВ , проведенная к основанию. Она также является медианой и высотой треугольника. Следовательно, а , то есть прямая — искомая.

Отметим, что построенная прямая перпендикулярна отрезку АВ и проходит через его середину. Такую прямую называют серединным перпендикуляром к отрезку.

Пользуясь описанными построениями, несложно решить задачи на построение середины данного отрезка и на построение прямой, параллельной данной.

Для построения середины отрезка АВ достаточно провести две окружности радиуса АВ с центрами в точках А к В (рис. 172). Обозначив точки пересечения этих окружностей через и можно определить середину отрезка AB как точку пересечения прямых АВ и , после чего провести доказательство, аналогичное доказательству предыдущей задачи.

Для построения прямой, проходящей через данную точку О параллельно данной прямой а, достаточно провести через точку О прямую b, перпендикулярную а, и прямую с, перпендикулярную b (рис. 173). Тогда а || с по теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей.

Таким образом, основными задачами на построение будем считать следующие:

1. построение треугольника с данными сторонами;
2. построение угла, равного данному неразвернутому углу;
3. построение биссектрисы данного неразвернутого угла;
4. построение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой;
5. построение серединного перпендикуляра к данному отрезку;
6. построение середины данного отрезка;
7. построение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой.

Если эти задачи применяются как вспомогательные при решение более сложных задач, соответствующие построения можно подробно не описывать.

Решение задач на построение

Решение задач на построение состоит из четырех основных этапов: анализ, построение, доказательство, исследование.

Общая схема решения задач на построение
1	Анализ	Выполнение рисунка-эскиза искомой фигуры и установление связи между ее элементами и данными задачи. Определение плана построения искомой фигуры.
2	Построение	Осуществление плана, разработанного в ходе анализа.
3	Доказательство	Обоснование того, что построенная фигура имеет заданную форму, а размеры и расположение ее элементов удовлетворяют условию задачи.
4	Исследование [1]	Определение количества решений и условий существования искомой фигуры или обоснование невозможности ее построения.

Если задача достаточно проста, то отдельные этапы ее решения можно проводить устно.

^1] В некоторых задачах для исследования необходимы геометрические утверждения и соотношения, изучаемые в 8—9 классах. В этих случаях исследования мы будем проводить в сокращенном виде или вообще опускать.

Рассмотрим на конкретных примерах некоторые методы решения задач на построение.

Пример №18

Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них.

Решение:

Анализ

Пусть a, b, — две стороны и медиана треугольника ABC, который необходимо построить (рис. 174).

Допустим, что треугольник ABC построен (рис. 175). Если ВМ — данная медиана треугольника ABC, то в треугольнике АВМ известны длины трех сторон по условию задачи). Таким образом, мы можем построить треугольник АВМ и найти вершины А и В искомого треугольника. Чтобы найти вершину С, достаточно отложить на луче AM отрез ок МС длиной

Построение

1. Разделим отрезок b пополам.
2. Построим треугольник АВМ со сторонами АВ = а,
3. Отложим на луче AM отрезок .
4. Соединим точки В и С.

Доказательство

В треугольнике — медиана (по построению). Следовательно, треугольник ABC искомый.

Исследование

Задача имеет решение при условии существования треугольника АВМ, то есть, если числа – удовлетворяют неравенству треугольника.

Сравним только что решенную задачу с задачей о доказательстве равенства треугольников но двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них (п. 13.1). Решая обе эти задачи, мы использовали треугольник АВМ в котором все стороны известны по условию. Его рассмотрение помогло в задаче на доказательство получить необходимые соотношения для углов данных треугольников, а в задаче на построение — найти две вершины искомого треугольника. Треугольник АВМ называют вспомогательным а соответствующий метод решения — методом вспомогательного треугольника.

Решение задач на построение с помощью метода вспомогательной треугольника подробно рассмотрено в Приложении 2.

Геометрическое место точек

Понятие о геометрическом месте точек

До сих пор мы описывали геометрические фигуры с помощью определений и устанавливали их особенности путем доказательства свойств и признаков, относящихся к фигуре в целом. Для случаев, когда определенное свойство и соответствующий ему признак имеет каждая точка фигуры, существует еще один способ описания.

Определение:

Геометрическим местом точек (сокращенно ГМТ) на плоскости называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, удовлетворяющих определенному условию.

Например, по определению окружность является геометрическим местом точек, удаленных от данной точки плоскости на одинаковое расстояние.

В определении ГМТ обратим внимание на слово «всех». Оно указывает на то, что для выяснения геометрического места точек недостаточно доказать, что точки указанной фигуры удовлетворяют определенному условию (то есть установить свойство точек). Необходимо также показать, что других точек, удовлетворяющих данному условию, на плоскости нет, то есть доказать соответствующий признак: если точка удовлетворяет указанному условию, то она принадлежит данной фигуре.

Иначе говоря, доказательство того, что некоторая фигура F является геометрическим местом точек, удовлетворяющих условию Р, состоит из доказательства двух утверждений — прямого и обратного:

1. если определенная точка P принадлежит фигуре F, то она удовлетворяет условию Р ;
2. если определенная точка удовлетворяет условию Р, то она принадлежит фигуре F .

Основные теоремы о ГМТ

Часто геометрическим местом точек является прямая или часть прямой. Докажем две важные теоремы о ГМТ.

Теорема: (о серединном перпендикуляре)

Серединный перпендикуляр к отрезку является геометрическим местом точек, равноудаленных от концов этого отрезка.

Доказательство:

Нам необходимо доказать два утверждения:

1. если точка принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку, то она равноудалена от концов этого отрезка;
2. если точка равноудалена от концов отрезка, то она принадлежит серединному перпендикуляру к этому отрезку.

Докажем первое из этих утверждений. Пусть точка С лежит на прямой с, перпендикулярной отрезку АВ и проходящей через его середину — точку О (рис. 176). В треугольнике АСВ отрезок СО — медиана и высота, значит, этот треугольник равнобедренный с основанием АВ. Отсюда АС=ВС , то есть расстояния от точки С до концов отрезка АВ равны. Докажем второе утверждение. Пусть точка D равноудалена от точек А и В , то есть AD = BD (рис. 177). Тогда в равнобедренном треугольнике ADB отрезок DO — медиана, проведенная к основанию, которая является также и высотой. Таким образом, прямая DO — серединный перпендикуляр к отрезку АВ. Теорема доказана.

Теорема: (о биссектрисе угла)

Биссектриса неразвернутого угла является геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон этого угла.

Доказательство

По аналогии с предыдущей теоремой докажем сначала, что любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла.

Пусть даны неразвернутый угол с вершиной А и точка D на его биссектрисе (рис. 178). Опустим из точки D перпендикуляры DB и DC на стороны данного угла. По определению, DB и DC — расстояния от точки D до сторон угла А.

Прямоугольные треугольники DBA и DCA имеют общую гипотенузу по условию. Тогда по гипотенузе и острому углу. Отсюда DB = DC, то есть точка D равноудалена от сторон данного угла.

Теперь докажем, что любая точка, равноудаленная от сторон угла, принадлежит его биссектрисе. Пусть F — некоторая точка, равноудаленная от сторон угла А, то есть перпендикуляры FB и FC, опущенные из точки F на стороны данного угла, равны (рис. 179). Соединим точки F и А . Тогда прямоугольные треугольники FBA и FCA равны по гипотенузе и катету.

Отсюда, то есть луч AF — биссектриса угла А.

Теорема доказана.

*Здесь и далее, говоря о точках, равноудаленных от сторон угла, мы имеем в виду точки, лежащие внутри угла и равноудаленные от прямых, содержащих его стороны.

Метод геометрических мест

Понятие ГМТ часто используется при решении задач на построение. Например, пусть необходимо построить точку, удовлетворяющую условиям и . Если геометрическим местом точек, удовлетворяющих условию, является фигура , а геометрическим местом точек, удовлетворяющих условию — фигура то искомая точка будет общей для фигур и то есть точкой их пересечения.

Рассуждения по такой схеме лежат в основе метода геометрических мест.

Пример №19

Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету.

Решение:

Пусть в искомом прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза АВ равна с, катет ВС равен а (рис. 180). Для построения треугольника воспользуемся методом геометрических мест. Для этого на стороне прямого угла С отложим катет ВС, ВС = а (рис. 181). Точка А должна принадлежать второй стороне прямого угла и быть удаленной от точки В на расстояние с, то есть А — точка пересечения окружности с центром В радиуса с со второй стороной прямого угла. Построенные точки А, В и С являются вершинами искомого прямоугольного треугольника ABC. В соответствии со следствием теоремы о сравнении сторон и углов треугольника задача имеет решение при условии а с.

Описанная и вписанная окружности треугольника

Окружность, описанная около треугольника

Определение:

Окружность называется описанной около треугольника, если все вершины треугольника лежат на данной окружности.

В этом случае говорят, что треугольник является вписанным в данную окружность.

На рисунке 183 окружность с центром О описана около треугольника ABC.

Поскольку все вершины треугольника лежат на описанной окружности, то все они равноудалены от центра окружности. Этот факт лежит в основе доказательства теоремы об описанной окружности.

Теорема: (об окружности, описанной около треугольника)

Около любого треугольника можно описать единственную окружность. Центр этой окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Доказательство:

Пусть прямые а и b — серединные перпендикуляры к сторонам АВ и ВС данного треугольника ABC (рис. 184).

Сначала докажем методом от противного, что прямые а и b пересекаются. Предположим, что эти прямые не пересекаются, то есть а || b . Тогда поскольку , то по следствию из теоремы о свойствах углов при параллельных прямых. Но по построению, отсюда что невозможно по условию. Следовательно, прямые а и b пересекаются в некоторой точке О.

По теореме о серединном перпендикуляре точка О равноудалена от точек А и В (то есть OA = OB) и равноудалена от точек В и С (то есть ОВ = ОС). Отсюда OA = OB = ОС. Следовательно, существует окружность с центром О, проходящая через все вершины треугольника ABC.

Докажем методом от противного, что такая окружность единственна.

Допустим, что около треугольника можно описать еще одну окружность, отличную от построенной. Тогда центр этой окружности равноудален от вершин треугольника и потому совпадает с О, точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Радиус этой окружности равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Значит, эта окружность совпадает с построенной.

И наконец, серединный перпендикуляр с к стороне АС содержит вое точки, равноудаленные от точек А и С. Поскольку точка О также равноудалена от точек А и С, то этот серединный перпендикуляр проходит через точку О. Теорема доказана.

Следствие:

Три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Отметим, что центр описанной окружности не всегда лежит внутри треугольника; он также может лежать на одной из его сторон или вне треугольника (рис. 185).

Окружность, вписанная в треугольник

Определение:

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

В этом случае треугольник является описанным около данной окружности.

На рисунке 186 окружность с центром О вписана в треугольник ABC. Прямые, содержащие стороны треугольника, являются касательными к вписанной окружности, а точки касания лежат на сторонах треугольника. Радиусы вписанной окружности, проведенные в точки касания, перпендикулярны сторонам данного треугольника.

Далее в таком случае мы будем говорить, что центр вписанной окружности равноудален от сторон треугольника.

Теорема: (об окружности, вписанной в треугольник)

В любой треугольник можно вписать единственную окружность. Центр этой окружности является точкой пересечения биссектрис треугольника.

Доказательство:

Пусть AD и BE — биссектрисы данного треугольника ABC (рис. 187).

Докажем методом от противного, что эти биссектрисы пересекаются. Пусть AD и BE не пересекаются. Тогда AD || BE, а углы BAD и ABE — внутренние односторонние при параллельных прямых AD и BE и секущей АВ. Сумма этих углов должна быть равна 180°, что противоречит теореме о сумме углов треугольника.

Итак, биссектрисы AD и BE пересекаются в некоторой точке О. Тогда по теореме о биссектрисе угла точка О равноудалена от сторон АВ и АС, а также равноудалена от сторон АВ и ВС . Таким образом, три перпендикуляра, опущенные из точки О на стороны данного треугольника, равны. Следовательно, существует окружность с центром О, которая касается всех сторон треугольника ABC.

Докажем методом от противного, что эта окружность единственна.

Допустим, что в треугольник можно вписать еще одну окружность, отличную от построенной. Тогда ее центр одинаково удален от сторон треугольника и совпадает с О, точкой пересечения биссектрис треугольника. Радиус этой окружности равен расстоянию от точки О до сторон треугольника. Таким образом, эта окружность совпадает с построенной.

И наконец, биссектриса CF содержит все точки, равноудаленные от сторон СА и СВ. Поскольку точка О также равноудалена от СА и СВ, то эта биссектриса проходит через точку О. Теорема доказана.

Следствие:

Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Поскольку все биссектрисы треугольника лежат внутри него, то и центр вписанной окружности всегда лежит внутри треугольника.

Пример №20

В равностороннем треугольнике центры описанной и вписанной окружностей совпадают. Докажите.

Решение:

В равностороннем треугольнике ABC биссектрисы являются также медианами и высотами (рис. 188). Это означает, что. прямые — серединные перпендикуляры к сторонам треугольника ABC. Поскольку все они пересекаются в одной точке, то эта точка — центр описанной и вписанной окружностей треугольника ABC.

Верно также и обратное утверждение: если в треугольнике центры описанной и вписанной окружностей совпадают, то этот треугольник равносторонний. Попробуйте доказать это самостоятельно.

Историческая справка:

Простейшие геометрические задачи на построение:

Возникновение задан на построение было обусловлено необходимостью измерений земельных участков и строительством. Значительных успехов в решении таких задач достигли древнегреческие ученые, прежде всего Евклид и Платон, в VII – III в. до н. з. Именно со времен Платона в решении задач на построение стали выделять четыре этапа: анализ, собственно построение, доказательство и исследование.

Задачи, которые невозможно решить с помощью циркуля и линейки

Особый интерес математиков древности вызывали три классические задачи, которые не удавалось решить с помощью циркуля и линейки – о квадратуре круга, трисекции угла и удвоении куба. Задача о квадратуре круга состояла в построении квадрата, площадь которого равна площади данного круга. В задаче о трисекции угла пытались разделить данный угол на три равные части. Такую задачу несложно решить для некоторых конкретных углов, например развернутого, прямого, но не для любого угла. Задача об удвоении куба состояла в построении куба, объем которого вдвое больше объема данного куба. Невозможность решить эти задачи с помощью циркуля и линейки была доказана в XIX в.

Циркуль или линейка

Интересна историй ограничений в выборе инструментов для решения задач на построение. В X веке арабский математик Абу-ль-Вафа предложил ограничиться в геометрических построениях односторонней линейкой и циркулем постоянного раствора. В 1797 г. итальянец Лоренцо Маскерони доказал: любая задача на построение, решенная с помощью циркуля и линейки, может быть решена и с помощью одного циркуля (при этом предполагалось, что через любые две точки может быть проведена прямая). А еще раньше, в 1672 г. к такому же выводу пришел датчанин Г. Мор. Так, теорема о возможности построений только циркулем получила название «теоремы Мора – Маскерони». В 1833 г. швейцарский геометр Якоб Штейнер показал, что, при наличии на плоскости окружности с отмеченным центром, любую задачу на построение можно решить с помощью одной линейки. Задачи на построение играют особую роль в обучении геометрии, ведь они прекрасно развивают логику и абстрактное мышление. Специалисты считают задачи на построение одними из самых полезных и красивых задач геометрии.

Об аксиомах геометрии

Вы ознакомились с начальными понятиями геометрии: точкой и прямой, а также лучом, отрезком и углом. Их основные свойства — аксиомы — не доказываются, но являются фундаментом для доказательства других утверждений. Первую попытку провести логическое обоснование геометрии с помощью систематизированного перечня исходных положений (аксиом или постулатов) осуществил древнегреческий математик Евклид в своей знаменитой книге «Начала». На протяжении многих веков ученые-геометры опирались именно на евклидовы аксиомы. Но в XIX—XX вв., после создания Лобачевским неевклидовой геометрии, исследования системы геометрических аксиом вышли на качественно новый уровень. Одним из тех, кто внес заметный вклад в усовершенствование аксиоматики, был выдающийся украинский математик Алексей Васильевич Погорелов. В своей фундаментальной работе «Основания геометрии» (1983) он разработал собственную усовершенствованную систему аксиом евклидовой геометрии, которая решила проблему преодоления ряда существенных трудностей, возникших при введении понятия меры для отрезков и углов. Более того, А. В. Погорелов предложил упрощенный вариант геометрической аксиоматики, предназначенный именно для преподавания геометрии в школе. Этот вариант был положен в основу учебника «Геометрия», по которому свыше четверти века изучали и, без сомнения, будут изучать геометрию в школе. Вот как выглядит система аксиом школьного курса, предложенная А. В. Погореловым.

1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
2. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
3. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
4. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

Каждый угол имеет градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на

1. которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
2. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.
3. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.
4. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник, в заданном расположении относительно данной полупрямой.
5. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.

Этой системы аксиом мы придерживаемся и в нашем учебнике с учетом принятой нами терминологии. Некоторые аксиомы были сформулированы в главе I, другие аксиомы не формулировались, но фактически использовались в рассуждениях. Отметим, что авторы не ставили цель представлять в этом учебнике абсолютно совершенную и логически завершенную систему аксиом, а сосредоточили основное внимание на практическом применении основных свойств простейших геометрических фигур при доказательстве теорем и решении задач. В дальнейшем, при изучении свойств фигур в пространстве, формулировки некоторых аксиом будут уточнены, а сама система аксиом — расширена.

Вообще же, система аксиом должна удовлетворять условиям независимости (не содержать аксиомы, которые можно вывести с помощью других аксиом), непротиворечивости (не иметь явных или скрытых противоречий) и полноты (содержать достаточное количество аксиом, чтобы доказать основные утверждения). Исследование проблем построения таких систем аксиом является содержанием одного из разделов современной геометрии.

Метод вспомогательного треугольника

Метод вспомогательного треугольника применяется при решении многих задач на построение. Используя этот метод, необходимо придерживаться следующей последовательности действий:

1. предположив, что искомый треугольник построен, выполнить рисунок- эскиз и найти на нем вспомогательный треугольник, способ построения которого известен (или получить такой треугольник путем дополнительных построений);
2. установить, какие вершины искомого треугольника мы получим, построив вспомогательный треугольник;
3. определить на основании данных задачи последовательность построения других вершин, предположив, что вспомогательный треугольник построен;
4. осуществить все намеченные построения;
5. провести необходимые доказательства и исследования.

Довольно часто метод вспомогательного треугольника используют в сочетании с другими методами. Рассмотрим такие случаи на примерах.

Пример №21

Постройте прямоугольный треугольник по катету и сумме второго катета и гипотенузы.

Решение:

Пусть а и b + с — катет и сумма второго катета и гипотенузы треугольника ABC, который необходимо построить (рис. 194).

Анализ

Допустим, что треугольник ABC построен (рис. 195). Отложим на луче ВС отрезок CD длиной с и соединим точки А и D. Треугольник АВD прямоугольный с катетами а и b+с, то есть может быть построен по данным задачи и является вспомогательным. Построив его, получим вершины А и В искомого треугольника. Для построения вершины С воспользуемся одним из признаков равнобедренного треугольника. Точка С является точкой пересечения серединного перпендикуляра к стороне АD с лучом BD.

Построение

• 1. Построим прямой угол с вершиной В.
• 2. Отложим на сторонах этого угла отрезки АВ = а и ВD = b+с и соединим точки А и О. Треугольник АВD вспомогательный.
• 3. Построим перпендикуляр к отрезку АО. который проходит через его середину В. Пусть С — точка его пересечения с лучом ВD.
• 4. Соединим точки А и С.

Доказательство:

В треугольнике по построению. В треугольнике — высота и медиана (по построению). Значит, треугольник АСD равнобедренный с основанием AD), откуда СА=СD=с. По построению , следовательно, Таким образом, треугольник ABC искомый.

Исследование:

В соответствии с неравенством треугольника, задача имеет решение при условии ac+b

При решении этой задачи мы использовали метод спрямления. Суть его такова: если в условии задачи на построение заданы сумма (или разность) отрезков, то на рисунке-эскизе их необходимо отложить на одной прямой от общего конца так, чтобы другие концы этих отрезков образовали заданный отрезок-сумму (разность). Благодаря такому дополнительному построению, удается получить вспомогательный треугольник.

Пример №22

Постройте треугольник по медиане и двум углам, на которые она делит угол треугольника.

Решение:

Пусть m — медиана треугольника ABC, который необходимо построить, — углы, на которые медиана делит угол треугольника (рис. 196).

Анализ

Допустим, что треугольник ABC построен (рис. 197). Применим метод удвоения медианы. Для этого на луче ВМ отложим отрезок МD, равный m, и соединим точки O и А. По первому признаку равенства треугольников (АМ=СМ по определению медианы, ВМ =DМ по построению, как вертикальные). Тогда

Следовательно, треугольник АВD вспомогательный, поскольку его можно построить по стороне и прилежащим к ней углам Построив этот треугольник, получим вершины А и В скомого треугольника. Для построения вершины С достаточно удвоить в треугольнике АВD медиану AM.

Построение (сокращенный план)

• 1. Построим треугольник АВD, в котором BD=2m . Треугольник АВй вспомогательный.
• 2. Построим в треугольнике АВD медиану AM и на ее продолжении отложим отрезок МС, равный Am. >
• 3. Соединим точки B и С.

Доказательство

по первому признаку равенства треугольников по построению, как вертикальные). Тогда Также по построению В треугольнике — медиана, поскольку по построению Таким образом, треугольник ABC — искомый.

Пример №23

Постройте треугольник по стороне, медиане, проведенной к этой стороне, и высоте, опущенной на другую сторону.

Решение:

Пусть а — сторона искомого треугольника ABC, — проведенная к ней медиана, — высота треугольника, проведенная к другой стороне (рис. 198). Построим этот треугольник.

Анализ

Пусть треугольник ABC построен (рис. 199). Тогда прямоугольный треугольник ВСН можно построить по гипотенузе BC и катету ВН : на стороне прямого угла Н отложим катет BH=h_{b ,} тогда С — точка пересечения окружности с центром В радиуса а со второй стороной прямого угла.

Таким образом, мы построим вершины В и С искомого треугольника. Для построения вершины А снова используем метод геометрических мест. Поскольку основание высоты ВН принадлежит стороне АС, то точка А лежит на прямой НС. Поскольку то точка А должна лежать на расстоянии от точки D. Это означает, что A — точка пересечения прямой СH и окружности радиуса с центром D.

Построение

• 1. Построим прямой угол с вершиной Н.
• 2. Отложим на стороне этого угла отрезок ВН, ВН= h_b.
• 3. Построим окружность с центром В радиуса а. Пусть С — точка пересечения этой окружности с другой стороной прямого угла.
• 4. Соединим точки В и С и разделим отрезок ВС пополам. Пусть точка D — его середина.
• 5. Проведем прямую СН.
• 6. Построим окружность с центром D радиуса m_а. Пусть А — точка пересечения этой окружности с прямой СН.
• 7. Соединим точки А и В.

Доказательство

В треугольнике — медиана, — высота (по построению). Следовательно, треугольник ABC — искомый.

Исследование

В соответствии со следствием теоремы о сравнении сторон и углов треугольника вспомогательный треугольник существует, если h_b a. В зависимости от длины медианы задача имеет одно или два решения, или не имеет ни одного.

Реальная геометрия

На любой шине от автомобиля есть маркировка, указывающая на ее размеры, например, 195/55 R16 (рис. 54). Число 195 означает ширину шины в мм. В данном случае ширина шины равна 195 мм или 19,5 см.

Второе число 55 означает высоту шины или высоту ее профиля, выраженную в процентах от ее ширины. В нашем случае это 55 % от 195 мм, то есть примерно 107 мм или 10,7 см.

И наконец надпись R16 обозначает внутренний диаметр шины, выраженный в дюймах. Так как 1 дюйм то для нашей шины получим

Интересно знать:

Если круг вращать около своего диаметра, получим геометрическое тело, которое вы хорошо знаете, — шар (рис. 55). Он также имеет центр, радиус, диаметр. Поверхность шара называется сферой. Сфера — это оболочка шара. Расстояние от центра шара до любой точки сферы равно радиусу шара. Диаметр шара равен двум радиусам.

Если провести плоскость, пересекающую шар, то в сечении получим круг. Когда секущая плоскость будет проходить через центр шара, радиус R полученного круга будет равен радиусу шара.

Справочный материал по окружности и кругу

18. Геометрическое место точек

• ✓ Геометрическим местом точек (ГМТ) называют множество всех точек, обладающих определенным свойством.
• ✓ Серединный перпендикуляр отрезка является геометрическим местом точек, равноудаленных от концов этого отрезка.
• ✓ Биссектриса угла является геометрическим местом точек, принадлежащих углу и равноудаленных от его сторон.

19. Окружность и круг, их элементы

• ✓ Окружностью называют геометрическое место точек, расстояния от которых до заданной точки равны данному положительному числу. Данную точку называют центром окружности.
• ✓ Любой отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром, называют радиусом окружности.
• ✓ Отрезок, соединяющий две точки окружности, называют хордой окружности. Хорду, проходящую через центр окружности, называют диаметром.
• ✓ Диаметр окружности в два раза больше ее радиуса.
• ✓ Кругом называют геометрическое место точек, расстояния от которых до заданной точки не больше данного положительного числа. Заданную точку называют центром круга. Радиус окружности, ограничивающей круг, называют радиусом круга. Если X — произвольная точка круга с центром О и радиусом
• ✓ Окружность, ограничивающая круг, ему принадлежит.
• ✓ Хорда и диаметр круга — это хорда и диаметр окружности, ограничивающей круг.

20. Свойства окружности

• ✓ Диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам.
• ✓ Диаметр окружности, который делит хорду, отличную от диаметра, пополам, перпендикулярен этой хорде.

21. Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная к окружности

• ✓ Прямая и окружность могут не иметь общих точек, иметь две общие точки или иметь одну общую точку.
• ✓ Прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку, называют касательной к окружности.
• ✓ Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
• ✓ Если прямая, проходящая через точку окружности, перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то эта прямая является касательной к данной окружности.
• ✓ Если расстояние от центра окружности до некоторой прямой равно радиусу окружности, то эта прямая является касательной к данной окружности.
• ✓ Если через данную точку к окружности проведены две касательные, то отрезки касательных, соединяющие данную точку с точками касания, равны.

Описанная и вписанная окружности треугольника

 Окружность называют описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

На рисунке 247 изображена окружность, описанная около треугольника. В этом случае также говорят, что треугольник вписан в окружность.

• ✓ Центр описанной окружности треугольника равноудален от всех его вершин.
• ✓ Около любого треугольника можно описать окружность. Центр окружности, описанной около треугольника, — это точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника.
• ✓ Серединные перпендикуляры сторон треугольника пересекаются в одной точке.
• ✓ Окружность называют вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.
• ✓ На рисунке 248 изображена окружность, вписанная в треугольник. В этом случае также говорят, что треугольник описан около окружности.
• ✓ Центр вписанной окружности треугольника равноудален от всех его сторон.
• ✓ В любой треугольник можно вписать окружность. Центр окружности, вписанной в треугольник, — это точка пересечения биссектрис треугольника.
• ✓ Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
• ✓ Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, вычисляют по формуле где r — радиус вписанной окружности, а и b — катеты, с — гипотенуза.

Что называют окружностью

Окружностью называют геометрическую фигуру, состоящую из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки (рис. 282).

Эту точку называют центром окружности; отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром, называют радиусом окружности.

На рисунке 282 точка – центр окружности, – радиус окружности.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называют хордой. Хорду, проходящую через центр окружности, называют диаметром. На рисунке 282 – хорда, – диаметр. Часть плоскости, ограниченную окружностью, вместе с самой окружностью называют кругом (рис. 283).

Центром, радиусом, диаметром, хордой круга называют соответственно центр, радиус, диаметр, хорду окружности, ограничивающей круг.

Свойства элементов окружности.

1. Диаметр окружности вдвое больше его радиуса.
2. Диаметр является наибольшей из хорд.
3. Диаметр из любой точки окружности виден под прямым углом.
4. Диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит ее пополам.
5. Диаметр окружности, проходящий через середину хорды, которая не является диаметром, перпендикулярен этой хорде.

Касательной к окружности называют прямую, которая имеет с окружностью одну общую точку. Эту точку называют точкой касания.

На рисунке 284 прямая — касательная к окружности, точка – точка касания.

Свойство касательной. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки. Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны. На рисунке 285

Окружность, вписанная в треугольник

Окружность называют вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон. При этом треугольник называют описанным около окружности (рис. 286).

В любой треугольник можно вписать окружность. Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения биссектрис треугольника.

Окружность, описанная около треугольника

Окружность называют описанной около треугольника, если она проходит через все вершины треугольника. При этом треугольник называют вписанным в окружность (рис. 287).

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Геометрическое место точек в окружности и круге

Любое множество точек — это геометрическая фигура. Изобразить произвольную фигуру легко: все, что нарисуете, — это геометрическая фигура (рис. 272). Однако изучать фигуры, состоящие из хаотически расположенных точек, вряд ли целесообразно. Поэтому разумно выделить тот класс фигур, все точки которых обладают каким-то характерным свойством. Каждую из таких фигур называют геометрическим местом точек.

Определение. Геометрическим местом точек (ГМТ) называют множество всех точек, обладающих определенным свойством.

Образно ГМТ можно представить так: задают некоторое свойство, а потом на белой плоскости все точки, обладающие этим свойством, красят в красный цвет. Та «красная фигура», которая при этом получится, и будет ГМТ.

Например, зафиксируем две точки и . Для всех точек зададим свойство: одновременно принадлежать лучам и . Ясно, что указанным свойством обладают все точки отрезка и только они (рис. 273). Поэтому искомым ГМТ является отрезок .

Рассмотрим перпендикулярные прямые и . Для всех точек зададим свойство: принадлежать прямой и находиться на расстоянии 1 см от прямой . Очевидно, что точки и (рис. 274) удовлетворяют этим условиям. Также понятно, что никакая другая точка, отличная от и , этим свойством не обладает. Следовательно, искомое ГМТ — это фигура, состоящая из двух точек и (рис. 274).

Вообще, чтобы иметь право какое-то множество точек называть ГМТ, надо доказать две взаимно обратные теоремы:

1. каждая точка данного множества обладает заданным свойством;
2. если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству.

Теорема 19.1. Серединный перпендикуляр отрезка является геометрическим местом точек, равноудаленных от концов этого отрезка.

Доказательство: По теореме 8.2 каждая точка серединного перпендикуляра обладает заданным свойством. По теореме 11.2, если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит серединному перпендикуляру.

Теорема 19.2. Биссектриса угла является геометрическим местом точек, принадлежащих углу и равноудаленных от его сторон.

Прямая теорема. Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон.

Доказательство: Очевидно, что вершина угла обладает доказываемым свойством.

Пусть какая-то точка не совпадает с вершиной угла и принадлежит его биссектрисе (рис. 275). Опустим перпендикуляры и соответственно на стороны и . Надо доказать, что .

В прямоугольных треугольниках и гипотенуза — общая, , так как — биссектриса угла . Следовательно, по гипотенузе и острому углу. Отсюда . Обратная теорема. Если точка, принадлежащая углу, равноудалена от его сторон, то она лежит на биссектрисе этого угла.

Доказательство: Очевидно, что вершина угла обладает доказываемым свойством.

Пусть какая-то точка , принадлежащая углу , не совпадает с его вершиной и равноудалена от его сторон. Опустим перпендикуляры и соответственно на стороны и . Надо доказать, что (рис. 275).

В прямоугольных треугольниках и гипотенуза — общая, по условию. Следовательно, по гипотенузе и катету. Отсюда .

Заметим, что доказательство теоремы будет полным, если показать, что равноудаленность точки угла от его сторон исключает возможность, когда одна из точек к или принадлежит продолжению стороны угла (рис. 276). Исследовать эту ситуацию вы можете на занятии математического кружка. Также отметим, что теорема остается справедливой и для развернутого угла.

Определение. Окружностью называют геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки.

Заданную точку называют центром окружности. На рисунке 277 точка — центр окружности.

Любой отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром, называют радиусом окружности. На рисунке 277 отрезок — радиус. Из определения следует, что все радиусы одной окружности равны.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называют хордой окружности. На рисунке 277 отрезок — хорда. Хорду, проходящую через центр окружности, называют диаметром. На рисунке 277 отрезок — диаметр окружности. Очевидно, что , т. е. диаметр окружности в два раза больше ее радиуса.

Из курса математики шестого класса вы знаете, что фигуру, ограниченную окружностью, называют кругом (рис. 278). Теперь с помощью понятия ГМТ можно дать другое

Определение. Кругом называют геометрическое место точек, расстояние от которых до заданной точки не больше данного положительного числа.

Заданную точку называют центром круга, данное число — радиусом круга. Если — произвольная точка круга с центром радиуса , то (рис. 278). Если , то говорят, что точка лежит внутри окружности, ограничивающей данный круг. Точка кругу не принадлежит (рис. 278). Также говорят, что точка лежит вне окружности, ограничивающей круг. Из определения круга следует, что окружность, ограничивающая круг, ему принадлежит.

Хорда и диаметр круга — это хорда и диаметр окружности, ограничивающей круг.

Пример:

На продолжении хорды окружности с центром за точку отметили точку такую, что отрезок равен радиусу окружности (рис. 279). Прямая пересекает данную окружность в точках и . Докажите, что .

Решение:

Пусть . Так как — равнобедренный, то . — внешний угол треугольника , . Так как — равнобедренный, то имеем: . — внешний угол треугольника . Тогда , то есть .

Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности

Теорема 20.1. Диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам.

Доказательство: Если хорда является диаметром, то теорема очевидна.

На рисунке 286 изображена окружность с центром , — точка пересечения диаметра и хорды . Надо доказать, что . Проведем радиусы и . В равнобедренном треугольнике отрезок — высота, а значит, и медиана, т. е. .

Теорема 20.2. Диаметр окружности, делящий хорду, отличную от диаметра, пополам, перпендикулярен этой хорде.

Докажите эту теорему самостоятельно. Подумайте, будет ли верным это утверждение, если хорда является диаметром.

На рисунке 287 изображены прямая и окружность, которые на рисунке 287, а не имеют общих точек, на рисунке 287, б имеют две общие точки, на рисунке 287, в — одну.

Определение. Прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку, называют касательной к окружности.

Очевидно, что касательная к окружности имеет только одну общую точку с кругом, ограниченным этой окружностью. На рисунке 287, в прямая — касательная, — точка касания.

Если отрезок (луч) принадлежит касательной к окружности и имеет с этой окружностью общую точку, то говорят, что отрезок (луч) касается окружности. Например, на рисунке 288 изображен отрезок , который касается окружности в точке .

Теорема 20.3 (свойство касательной). Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Доказательство: На рисунке 289 изображена окружность с центром , — точка касания прямой и окружности. Надо доказать, что .

Предположим, что это не так, то есть — наклонная к прямой . Тогда из точки опустим перпендикуляр на прямую (рис. 289). Поскольку точка — единственная общая точка прямой а и круга с центром , то точка не принадлежит этому кругу. Отсюда . Получили противоречие: перпендикуляр больше наклонной . Следовательно, .

Теорема 20.4 (признак касательной к окружности). Если прямая, проходящая через точку окружности, перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то эта прямая является касательной к данной окружности.

Доказательство: На рисунке 290 изображена окружность с центром в точке , отрезок — ее радиус, точка принадлежит прямой , . Докажем, что прямая — касательная к окружности.

Пусть прямая не является касательной, а имеет еще одну общую точку с окружностью (рис. 291). Тогда — равнобедренный ( и равны как радиусы). Отсюда получаем противоречие: в треугольнике есть два прямых угла. Следовательно, прямая является касательной к окружности. Следствие. Если расстояние от центра окружности до некоторой прямой равно радиусу окружности, то эта прямая является касательной к данной окружности.

Часто при решении целого класса задач используют результат следующей задачи.

Пример:

Если из данной точки к окружности проведены две касательные, то отрезки касательных, соединяющих данную точку с точками касания, равны.

Решение:

На рисунке 292 изображена окружность с центром . Прямые и — касательные, и — точки касания. Надо доказать, что . Проведем радиусы и в точки касания. По свойству касательной и . В прямоугольных треугольниках и катеты и равны как радиусы одной окружности, — общая гипотенуза. Следовательно, по гипотенузе и катету. Отсюда .

§ 23. Метод геометрических мест точек в задачах на построение

Известно, что если смешать синий и жёлтый цвета, то получим зелёный.

Пусть на плоскости надо найти точки, обладающие какими-то двумя свойствами одновременно. Если синим цветом покрасить точки, обладающие первым свойством, а жёлтым — обладающие вторым свойством, то понятно, что зелёные точки будут обладать сразу двумя свойствами. В этом и состоит идея метода ГМТ, которую проиллюстрируем следующими задачами.

Задача 1. Постройте треугольник по трём данным его сторонам.

Решение. Пусть даны три отрезка, длины которых равны a, b, c (рис. 327). Надо построить треугольник ABC, в котором AB = c, AC = b, BC = a.

Проведём произвольную прямую. С помощью циркуля отложим на ней отрезок CB, равный a (рис. 328). Понятно, что задача свелась к построению третьей вершины треугольника, точки A.

Воспользуемся тем, что точка A обладает сразу двумя свойствами:

1)принадлежит геометрическому месту точек, удалённых от точки B на расстояние c, т. е. окружности с центром в точке B радиуса с (см. рис. 328);

2)принадлежит геометрическому месту точек, равноудалённых от точки C на расстояние b, т. е. окружности с центром в точке С радиуса b (см. рис. 328).

В качестве точки A можно выбрать любую из двух образовавшихся зелёных точек.

Полученный треугольник ABC является искомым, так как в нём AB = c, AC = b, BC = a.

Из описанного построения следует, что если каждый из трёх данных отрезков меньше суммы двух других, то эти отрезки могут служить сторонами треугольника.

Задача 2. Постройте фигуру, все точки которой принадлежат данному углу, равноудалены от его сторон и находятся на заданном расстоянии a от его вершины.

Решение. Искомые точки принадлежат сразу двум геометрическим местам точек: биссектрисе данного угла и окружности с центром в его вершине и радиусом, равным a.

Построим биссектрису угла и указанную окружность (рис. 329). Их пересечением является искомая точка X.

Задача 3. Постройте центр окружности радиуса R, проходящей через данную точку M и касающуюся данной прямой a.

Решение. Поскольку окружность касается прямой a, то её центр находится на расстоянии R от этой прямой. Геометрическим местом точек, удалённых от данной прямой на данное расстояние, являются две параллельные прямые (см. упражнение 498). Следовательно, центр окружности находится на прямой b или на прямой с (рис. 330).

Геометрическое место точек, являющихся центрами окружностей радиуса R, проходящих через точку M, — это окружность данного радиуса с центром в точке M. Поэтому в качестве центра искомой окружности можно выбрать любую из точек пересечения окружности с одной из прямых b или с (рис. 331).

Построение для случая, когда данная точка принадлежит данной прямой, рассмотрите самостоятельно.

Задача 4. Постройте треугольник по стороне, медиане, проведённой к этой стороне, и радиусу описанной окружности.

Решение. Построим окружность данного радиуса и проведём хорду AB, равную стороне искомого треугольника. Тогда концы хорды являются двумя вершинами искомого треугольника. Понятно, что третья вершина принадлежит одновременно построенной окружности и окружности с центром в точке O, являющейся серединой хорды AB, и радиусом, равным данной медиане. Каждый из треугольников ABС1 и ABС2 (рис. 332) является искомым. Поскольку эти треугольники равны, то задача имеет единственное решение.

Упражнения

622.Даны прямая m и точки A и B вне её (рис. 333). Постройте на прямой m точку, равноудалённую от точек A и B.

623.Точки A и B принадлежат прямой m. Постройте точку, удалённую от прямой m на расстояние a и равноудалённую от точек A и B. Сколько решений имеет задача?

624.Точки B и C принадлежат разным сторонам угла A, причём АВ ≠ АС. Постройте точку M, принадлежащую углу, равноудалённую от его сторон и такую, что MB = MC.

625.Точки B и C принадлежат разным сторонам угла A. Постройте точку D, принадлежащую углу, равноудалённую от его сторон и такую, что DC = BC. Сколько решений может иметь задача?

626.Постройте равнобедренный треугольник по основанию и боковой стороне.

627.Для данной окружности постройте точку, являющуюся её центром.

628.Постройте окружность данного радиуса, проходящую через данную точку, центр которой принадлежит данной прямой.

629.Постройте окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки.

630.Найдите все точки, принадлежащие данной окружности и равноудалённые от концов данного отрезка. Сколько решений может иметь задача?

631.Даны две пересекающиеся прямые m и n и отрезок AB. Постройте на прямой m точку, удалённую от прямой n на расстояние AB. Сколько решений имеет задача?

632.В треугольнике ABC известно, что ∠C = 90°. На катете AC постройте точку D, удалённую от прямой AB на расстояние CD.

633.Постройте равнобедренный треугольник по основанию и радиусу описанной окружности. Сколько решений может иметь задача?

634.Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к одной из данных сторон.

635.Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и медиане, проведённой к боковой стороне.

636.На данной окружности постройте точку, находящуюся на данном расстоянии от данной прямой. Сколько решений может иметь задача?

637.На данной окружности постройте точку, равноудалённую от двух данных пересекающихся прямых. Сколько решений может иметь задача?

638.Между двумя параллельными прямыми дана точка. Постройте окружность, проходящую через эту точку и касающуюся данных прямых. Сколько решений имеет задача?

639.Постройте окружность, проходящую через данную точку A и касающуюся данной прямой m в данной точке B.

640.Даны две параллельные прямые и секущая. Постройте окружность, касающуюся этих трёх прямых.

641.Постройте треугольник по двум сторонам и радиусу описанной окружности. Сколько решений может иметь задача?

642.Постройте треугольник по стороне, высоте, проведённой к этой стороне, и радиусу описанной окружности. Сколько решений может иметь задача?

643.Постройте равносторонний треугольник по радиусу описанной окружности.

644.Три прямые попарно пересекаются и не проходят через одну точку. Постройте точку, равноудалённую от всех трёх прямых. Сколько решений имеет задача?

645.Постройте прямоугольный треугольник по катету и сумме гипотенузы и другого катета.

646.Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и сумме катетов.

647.Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и разности катетов.

648.Постройте прямоугольный треугольник по катету и разности гипотенузы и другого катета.

649.Постройте равнобедренный треугольник по основанию и разности боковой стороны и высоты, опущенной на основание.

650.Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и сумме двух других сторон.

651.Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и разности двух других сторон.

652.Постройте треугольник по стороне, противолежащему ей углу и разности двух других сторон.

653.Постройте треугольник по стороне, противолежащему ей углу и сумме двух других сторон.

654.Постройте треугольник по стороне, разности углов, прилежащих к этой стороне, и сумме двух других сторон.

655.Постройте треугольник по периметру и двум углам.

656.Постройте остроугольный треугольник по периметру, одному из углов и высоте, проведённой из вершины другого угла.

657.Постройте треугольник по высоте и медиане, проведённым из одной вершины, и радиусу описанной окружности.

658.Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне.

659.Постройте треугольник по стороне, высоте, проведённой к этой стороне, и медиане, проведённой к одной из двух других сторон.

Упражнения для повторения

660.На рисунке 334 ∠A = 46°, ∠ACB = 68°, ∠DEC = 120°. Найдите углы треугольников EFC и DBE.

661.Через середину O стороны MK треугольника MKN провели прямую, перпендикулярную стороне MK и пересекающую сторону MN в точке C. Известно, что MC = KN, ∠N = 50°. Найдите угол MCO.

662.В треугольнике ABC из вершины прямого угла C провели высоту CH и биссектрису CM. Длина отрезка HM в 2 раза меньше длины отрезка CM. Найдите острые углы треугольника ABC.

663.На рисунке 335 BD = DC, DN ⊥ BC, ∠BDM = ∠MDA. Найдите сумму углов MBN и BMD.

Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте

664.Разрежьте фигуру, изображённую на рисунке 336, на три части, не являющиеся квадратами, так, чтобы из этих частей можно было сложить квадрат.

Когда сделаны уроки

Из истории геометрических построений

Умение достигать результат, используя минимальные средства, всегда считалось признаком высокого мастерства. Видимо, поэтому в Древней Греции в значительной степени было развито искусство выполнять геометрические построения с помощью только двух инструментов: дощечки с ровным краем (линейки) и двух заострённых палочек, связанных на одном конце (циркуля). Такое ограничение в выборе инструментов историки связывают с древнегреческой традицией, считавшей прямую и окружность самыми гармоничными фигурами. Так, в своей книге «Начала» великий учёный Евклид описывал построения геометрических фигур, при которых использовались лишь циркуль и линейка.

Существует много задач на построение. С некоторыми из них вы уже успели познакомиться. Однако есть три задачи на построение, которые сыграли в развитии математики особую роль. Эти задачи стали знаменитыми.

Задача о квадратуре круга. Построить квадрат, площадь которого равна площади данного круга.

Задача о трисекции угла (от латинских tria — «три» и section — «разрезание»). Разделить угол на три равные части.

Задача об удвоении куба. Построить куб, объём которого в 2 раза больше объёма данного куба.

Эти задачи занимали умы людей на протяжении тысячелетий. Их пытались решить и такие выдающиеся учёные древности, как Гиппократ Хиосский, Евдокс Книдский, Евклид, Эратосфен, Аполлоний Пергский, Герон, Папп, Платон, Архимед, и гении Нового времени Рене Декарт, Франсуа Виет, Исаак Ньютон. И лишь в середине XIX века была доказана их неразрешимость, т. е. невозможность выполнить указанные построения с использованием лишь циркуля и линейки. Этот результат был получен средствами не геометрии, а алгебры, благодаря переводу этих задач на язык уравнений.

Когда вы решали задачи на построение, особенно те, которые отмечены знаком  , вы, по-видимому, испытали сложности, связанные с ограниченностью набора инструментов. Поэтому предложение ещё больше сузить возможности применяемых приборов может показаться вам по меньшей мере неожиданным. Однако ещё в Х веке персидский математик Мохаммед Абу-ль-Вефа описал решение целого ряда задач на построение с помощью линейки и циркуля, раствор которого нельзя было менять. Совсем удивительной является теорема, опубликованная в 1797 году итальянским математиком Лоренцо Маскерони (1750–1800): всякое построение, выполнимое циркулем и линейкой, можно проделать одним циркулем. При этом Маскерони обусловливал следующее: поскольку одним циркулем провести прямую нельзя, то прямая считается построенной, если построены какие-нибудь две её точки.

В ХХ веке была обнаружена книга датского учёного Георга Мора (1640–1697), в которой он также описал построения одним циркулем. Поэтому сформулированную выше теорему называют теоремой Мора — Маскерони.

Уравнение окружности.

Аналитическая геометрия дает единообразные приемы решения геометрических задач. Для этого все заданные и искомые точки и линии относят к одной системе координат.

В системе координат можно каждую точку охарактеризовать ее координатами, а каждую линию – уравнением с двумя неизвестными, графиком которого эта линия является. Таким образом геометрическая задача сводится к алгебраической, где хорошо отработаны все приемы вычислений.

Окружность есть геометрическое место точек с одним определенным свойством (каждая точка окружности равноудалена от одной точки, называется центром). Уравнение окружности должно отражать это свойство, удовлетворять этому условию.

Геометрическая интерпретация уравнения окружности – это линия окружности.

Если поместить окружность в систему координат, то все точки окружности удовлетворяют одному условию – расстояние от них до центра окружности должно быть одинаковым и равным окружности.

Окружность с центром в точке А и радиусом R поместим в координатную плоскость.

Если координаты центра (а;b), а координаты любой точки окружности (х; у), то уравнение окружности имеет вид:

Если квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов разностей соответствующих координат любой точки окружности и ее центра, то это уравнение является уравнением окружности в плоской системе координат.

Если центр окружности совпадает с точкой начала координат, то квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов координат любой точки окружности. В этом случае уравнение окружности принимает вид:

Следовательно, любая геометрическая фигура как геометрическое место точек определяется уравнением, связывающим координаты ее точек. И наоборот, уравнение, связывающее координаты х и у, определяют линию как геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Примеры решения задач про уравнение окружности

Задача. Составить уравнение заданной окружности

Составьте уравнение окружности с центром в точке O (2;-3) и радиусом 4.

Решение.
Обратимся к формуле уравнения окружности:
R 2 = (x- a ) 2 + (y- b ) 2

Подставим значения в формулу.
Радиус окружности R = 4
Координаты центра окружности (в соответствии с условием)
a = 2
b = -3

Получаем:
(x — 2 ) 2 + (y — ( -3 )) 2 = 4 2
или
(x — 2 ) 2 + (y + 3 ) 2 = 16 .

Задача. Принадлежит ли точка уравнению окружности

Проверить, принадлежит ли точка A(2;3) уравнению окружности (x — 2) 2 + (y + 3) 2 = 16.

Решение.
Если точка принадлежит окружности, то ее координаты удовлетворяют уравнению окружности.
Чтобы проверить, принадлежит ли окружности точка с заданными координатами, подставим координаты точки в уравнение заданной окружности.

В уравнение ( x — 2) 2 + ( y + 3) 2 = 16
подставим, согласно условию, координаты точки А(2;3), то есть
x = 2
y = 3

Проверим истинность полученного равенства
( x — 2) 2 + ( y + 3) 2 = 16
( 2 — 2) 2 + ( 3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 равенство неверно

Таким образом, заданная точка не принадлежит заданному уравнению окружности.

Декартовы координаты точек плоскости. Уравнение окружности

Числовая ось

Определение 1 . Числовой осью ( числовой прямой, координатной прямой ) Ox называют прямую линию, на которой точка O выбрана началом отсчёта (началом координат) (рис.1), направление

указано в качестве положительного направления и отмечен отрезок, длина которого принята за единицу длины.

Определение 2 . Отрезок, длина которого принята за единицу длины, называют масштабом .

Каждая точка числовой оси имеет координату , являющуюся вещественным числом. Координата точки O равна нулю. Координата произвольной точки A , лежащей на луче Ox , равна длине отрезка OA . Координата произвольной точки A числовой оси, не лежащей на луче Ox , отрицательна, а по абсолютной величине равна длине отрезка OA .

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Определение 3 . Прямоугольной декартовой системой координат Oxy на плоскости называют две взаимно перпендикулярных числовых оси Ox и Oy с одинаковыми масштабами и общим началом отсчёта в точке O , причём таких, что поворот от луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении против хода часовой стрелки (рис.2).

Замечание . Прямоугольную декартову систему координат Oxy , изображённую на рисунке 2, называют правой системой координат , в отличие от левых систем координат , в которых поворот луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении по ходу часовой стрелки. В данном справочнике мы рассматриваем только правые системы координат, не оговаривая этого особо.

Если на плоскости ввести какую-нибудь систему прямоугольных декартовых координат Oxy , то каждая точка плоскости приобретёт две координаты – абсциссу и ординату, которые вычисляются следующим образом. Пусть A – произвольная точка плоскости. Опустим из точки A перпендикуляры AA₁ и AA₂ на прямые Ox и Oy соответственно (рис.3).

Определение 4 . Абсциссой точки A называют координату точки A₁ на числовой оси Ox , ординатой точки A называют координату точки A₂ на числовой оси Oy .

Обозначение . Координаты (абсциссу и ординату) точки A в прямоугольной декартовой системе координат Oxy (рис.4) принято обозначать A (x ; y) или A = (x ; y).

Замечание . Точка O , называемая началом координат , имеет координаты O (0 ; 0) .

Определение 5 . В прямоугольной декартовой системе координат Oxy числовую ось Ox называют осью абсцисс , а числовую ось Oy называют осью ординат (рис. 5).

Определение 6 . Каждая прямоугольная декартова система координат делит плоскость на 4 четверти ( квадранта ), нумерация которых показана на рисунке 5.

Определение 7 . Плоскость, на которой задана прямоугольная декартова система координат, называют координатной плоскостью .

Замечание . Ось абсцисс задаётся на координатной плоскости уравнением y = 0 , ось ординат задаётся на координатной плоскости уравнением x = 0.

Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости

Утверждение 1 . Расстояние между двумя точками координатной плоскости

вычисляется по формуле

Доказательство . Рассмотрим рисунок 6.

| A1A2| 2 = = ( x2 – x1) 2 + ( y2 – y1) 2 .

(1)

что и требовалось доказать.

Уравнение окружности на координатной плоскости

Поскольку расстояние от любой точки окружности до центра равно радиусу, то, в соответствии с формулой (1), получаем:

Уравнение (2) и есть искомое уравнение окружности радиуса R с центром в точке A₀ (x₀ ; y₀) .

Следствие . Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат имеет вид

Точки принадлежащие кругу и окружности

Вводятся координаты (x;y) точки и радиус круга ( r ). Определить принадлежит ли данная точка кругу, если его центр находится в начале координат.

Будем считать, что точка принадлежит кругу, если находится внутри его или на его окружности.

Из любой точки координатной плоскости можно провести отрезок к началу координат. Если длина этого отрезка больше радиуса круга, то точка лежит за пределами круга и, следовательно, не принадлежит ему. Если же отрезок, соединяющий точку и начало координат, меньше радиуса круга с центром в начале координат или равен ему, то точка будет принадлежать кругу.

Отрезок между любой точкой и нулевой точкой (началом координат) является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого равны значениям x и y координаты данной точки.

Таким образом задача сводится по-сути к двум действия:

1. Нахождение длины отрезка между точкой и началом координат по теореме Пифагора (квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов).
2. Сравнению полученного значения с радиусом круга.

Окружность — это линия на плоскости, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от центра окружности. Это расстояние называется радиус и в записях обозначается буквой R .
Центр окружности обозначают буквой O.

Окружность разделяет плоскость на две части, внутреннюю и внешнюю. Внутренняя часть, включающая саму окружность, называется кругом. (Наведите курсор на рисунок.)

Точка O — это центр и круга и окружности.

Отрезки OA, OB, и OC — это радиусы, их длины равны. Отрезок BC, проходящий через центр окружности (круга) называется диаметром и обозначается буквой D. Диаметр разделяет круг на два полукруга, а окружность на две полуокружности.

Диаметр равен двум радиусам, это хорошо видно на рисунке.

BC = OC + OB , так как BC = D а OC = OB = R , то

Точки A и B делят окружность на две части, которые называются дугами, а точки A и B концами этих дуг.

Дуга окружности — это часть окружности ограниченная двумя точками.

На рисунке точки B и C разделили окружность на две дуги, голубую и зеленую.

Записать их названия мы можем так:

BC (дуга BC) — в данном случае речь может идти как о голубой так и о зеленой;

BAC (дуга BAC) — в данном случае речь идет именно о зеленой дуге.

Выберите верные утверждения, исходя из рисунка:

1) Точки C, B и E не принадлежат кругу.

2) Точки D, B и O принадлежат окружности.

3) Точки A, B и O принадлежат кругу. Неверно. Точка B принадлежат кругу, так как окружность часть круга. Неверно. Точка O центр окружности, но не лежит на ней. 1) Точка О является центром и окружности, и круга.

2) Точка О является центром окружности, но не центром круга.

3) Точки D и B не принадлежат окружности. 1) Точки B и D не принадлежат кругу.

2) Точки A, B, D и O принадлежат кругу.

3) Точки B, D и E принадлежат кругу. Неверно. Точка О является центром и окружности, и круга. Неверно. Точки D и B принадлежат окружности. Неверно. Точки B и D принадлежат кругу, так как лежат на окружности, а она часть круга. 1) Точки B и D разделяют окружность на 4 дуги.

2) Точки B и D разделяют окружность на 3 дуги.

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На данном уроке дается определение окружности и круга, а также определение дуги, радиуса, хорды и диаметра окружности, рассматривается взаимное расположение точек и окружности, а также двух окружностей, решаются различные задачи по этой теме.

Окружность и круг

Окружность можно построить с помощью циркуля (рис. 1). Ножку с иголкой устанавливают в точку, а ножка с грифелем опишет замкнутую линию, которую называют окружностью.

Окружность – это множество точек, равноудаленных от заданной точки (точки О), которую называют центром окружности. Окружность разделит плоскость на 2 части. Ту часть плоскости, которая лежит внутри окружности вместе с самой окружностью, называют кругом. Точка О является как центром окружности, так и центром круга (рис. 2).

Рис. 2. Окружность и круг

Взаимное расположение окружности и точки

Точки могут лежать на окружности, т. е. принадлежать окружности. Точки А и В принадлежат окружности с центром в точке О (Рис. 3); точки О, Е и D не принадлежат окружности с центром в точке О; точки О, Е, А, В принадлежат кругу с центром в точке О, а точка D не принадлежит этому кругу.

Рис. 3. Окружность и круг с центром в точке О

Точки А и В делят окружность на две части (рис. 4), каждую из которых называют дугой окружности; точки А и В – концами дуг.

Рис. 4. Окружность

Дуга, радиус, хорда, диаметр окружности

Дуга окружности – это часть окружности, ограниченная двумя точками. Пример. На окружности с центром в точке О отмечены точки А, В и С. Назовите дуги, на которые эти дуги делят окружность. Дуги с концами в точках А и В: дуга АВ, дуга АСВ. Дуги с концами в точках В и С: дуга ВС, дуга ВАС. Дуги с концами в точках А и С: дуга АС, дуга АВС. Отрезки ОА, ОВ соединяют центр окружности с точками, лежащими на окружности. Их называют радиусами (рис. 5).

Рис. 5. Радиусы окружности

Радиус – это расстояние от центра окружности до любой точки окружности. Радиусы одной окружности равны. Обозначают радиусы R или r. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называют хордой. Хорду, проходящую через центр окружности, называют диаметром. Обозначают: d или D. Свойства диаметра: 1. диаметр – самая большая хорда. 2. d = 2R. Диаметр делит круг на два полукруга, а окружность – на две полуокружности

Задача 1

Постройте окружность с центром в точке О и радиусом 4 см. Постройте прямую а так, чтобы она пересекла окружность в двух точках А и В (рис. 6). На каком расстоянии от центра окружности находятся точки А и В?

Рис. 6. Окружность с центром в точке О и радиусом 4 см

Так как расстояние между двумя точками – это длина отрезка с концами в этих точках, то нам необходимо найти длины отрезков ОА и ОВ. По определению отрезки ОА и ОВ – радиусы одной и той же окружности. Тогда ОА = ОВ = R= 4 см. Значит, на расстоянии 4 см находятся точки А и В от центра окружности.

Задача 2

Постройте отрезок АВ, равный 4 см. Постройте первую окружность с центром в точке А радиусом 3 см, и другую окружность с центром в точке В радиусом 2 см. Назовите точки пересечения окружностей точками Е и С (рис. 7). Чему равны длины отрезков АЕ, АС, ЕВ и ВС?

Рис. 7. Отрезок АВ

По определению, отрезок АЕ, АС – это радиусы первой окружности. АЕ = АС = = 2 см.

Задача 3

Начертите отрезок СМ, равный 5 см. Постройте точку, удаленную от концов отрезка на 3 см. Сколько таких точек можно построить? Таких точек можно построить 2. Они будут лежать на пересечении двух окружностей с центром в точке С и с центром в точке М радиусом 3 см (рис. 8).

Рис. 8. Точки, удаленные от концов отрезка на 3 см

Список литературы

1. Н.Я. Виленкин. Учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений/ 17-е изд. – М.: Мнемозина, 2005.
2. Шевкин А.В. Текстовые задачи по математике: 5–6. – М.: Илекса, 2011. – 106 с.
3. Ершева А.П., Голобородько В.В. Вся школьная математика в самостоятельных и контрольных работах. Математика 5–6. – М.: Илекса, 2006. – 432 с.
4. Н.Н. Хлевнюк, М.В. Иванова. Формирование вычислительных навыков на уроках математики. 5–9 классы. – М.: Илекса, 2011. – 248 с.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

Учебник математики. 5 класс. Н.Я. Виленкин. № 850–856.

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

Скачать материал

без ожидания

Скачать материал

без ожидания

Описание презентации по отдельным слайдам:

• 

  1 слайд

  Геометрические места точек
  Геометрическим местом точек (ГМТ) называется фигура, состоящая из всех точек, удовлетворяющих заданному свойству или нескольким заданным свойствам.
  Примерами геометрических мест точек являются:
  окружность – ГМТ, удаленных от данной точки на данное расстояние;
  круг – ГМТ, удаленных от данной точки на расстояние, не превосходящее данное.

• 

  2 слайд

  Упражнение 1
  Отметьте точки, расположенные в узлах сетки и удаленные от точки O на расстояние, равное 2. (Стороны клеток равны 1).
  Ответ:

• 

  3 слайд

  Упражнение 2
  Отметьте точки, расположенные в узлах сетки и удаленные от точки O на расстояние, меньшее 2. (Стороны клеток равны 1).
  Ответ:

• 

  4 слайд

  Упражнение 3
  Отметьте точки, расположенные в узлах сетки и удаленные от точки O на расстояние, большее 2 и меньшее 3. (Стороны клеток равны 1).
  Ответ:

• 

  5 слайд

  Упражнение 4
  Отметьте точки, расположенные в узлах сетки, расстояния от которых до точек A и B меньше трех. (Стороны клеток равны 1).
  Ответ:

• 

  6 слайд

  Упражнение 5
  Отметьте точки, расположенные в узлах сетки, расстояния от которых до точек A и B меньше или равны двум. (Стороны клеток равны 1).
  Ответ:

• 

  7 слайд

  Упражнение 6
  Отметьте точки, расположенные в узлах сетки, расстояние от которых до точки A меньше трех, а расстояние до точки B меньше двух. (Стороны клеток равны 1).
  Ответ:

• 

  8 слайд

  Упражнение 7
  Отметьте точки, расположенные в узлах сетки, расстояние от которых до точки A больше двух, а расстояние до точки B меньше двух. (Стороны клеток равны 1).
  Ответ:

• 

  9 слайд

  Упражнение 8
  Отметьте точки, расположенные в узлах сетки, расстояние от которых до точки A меньше, чем расстояние до точки B, и расстояние до точки B меньше, чем расстояние до точки C.
  Ответ:

• 

  10 слайд

  Упражнение 9
  Отметьте точки, расположенные в узлах сетки, расстояние от которых до точки A больше, чем расстояние до точки B, и расстояние до точки B меньше, чем расстояние до точки C.
  Ответ:

• 

  11 слайд

  Упражнение 10
  Отметьте точки, расположенные в узлах сетки, из которых отрезок AB виден под углом 90о.
  Ответ:

• 

  12 слайд

  Упражнение 11
  Отметьте точки, расположенные в узлах сетки, из которых отрезок AB виден под углом 90о.
  Ответ:

• 

  13 слайд

  Упражнение 12
  Отметьте точки, расположенные в узлах сетки, из которых отрезок AB виден под углом 90о.
  Ответ:

• 

  14 слайд

  Упражнение 13
  Отметьте точки, расположенные в узлах сетки, из которых отрезок AB виден под углом 45о.
  Ответ:

• 

  15 слайд

  Упражнение 14
  Отметьте точки, расположенные в узлах сетки, из которых отрезок AB виден под углом 45о.
  Ответ:

• 

  16 слайд

  Упражнение 15
  Отметьте точки, расположенные в узлах сетки, из которых отрезок AB виден под углом 135о.
  Ответ:

• 

  17 слайд

  Серединный перпендикуляр
  Теорема. Серединный перпендикуляр к отрезку является ГМТ, одинаково удаленных от концов этого отрезка.
  Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину.
  Доказательство. Пусть дан отрезок АВ и точка О – его середина. Очевидно, точка О одинаково удалена от точек А, В и принадлежит серединному перпендикуляру.
  Обратно, пусть точка С принадлежит серединному перпендикуляру и не совпадает с О, тогда прямоугольные треугольники АОС и ВОС равны (по катетам). Следовательно, АС=ВС.
  Пусть точка С одинаково удалена от точек А и В и не совпадает с точкой О. Тогда треугольник АВС равнобедренный и СО – медиана. По свойству равнобедренного треугольника медиана является также и высотой. Значит, точка С принадлежит серединному перпендикуляру.

• 

  18 слайд

  Упражнение 1
  Изобразите ГМТ, равноудаленных от точек A и B.
  Ответ:

• 

  19 слайд

  Упражнение 2
  На прямой c изобразите точку C, равноудаленную от точек A и B.
  Ответ:

• 

  20 слайд

  Упражнение 3
  Изобразите ГМТ, равноудаленных от точек A и B.
  Ответ:

• 

  21 слайд

  Упражнение 4
  На прямой c изобразите точку C, равноудаленную от точек A и B.
  Ответ:

• 

  22 слайд

  Упражнение 5
  Изобразите ГМТ, равноудаленных от точек A и B.
  Ответ:

• 

  23 слайд

  Упражнение 6
  На прямой c изобразите точку C, равноудаленную от точек A и B.
  Ответ:

• 

  24 слайд

  Упражнение 7
  Отметьте точку, равноудаленную от точек A, B и C.
  Ответ:

• 

  25 слайд

  Упражнение 8
  Отметьте точку, равноудаленную от точек A, B и C.
  Ответ:

• 

  26 слайд

  Упражнение 9
  Отметьте точку, равноудаленную от точек A, B и C.
  Ответ:

• 

  27 слайд

  Упражнение 10
  Изобразите геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки.
  Ответ: Серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему две данные точки.

• 

  28 слайд

  Упражнение 11
  Изобразите геометрическое место вершин С равнобедренных треугольников с заданным основанием AB.
  Ответ: Серединный перпендикуляр к отрезку AB без середины этого отрезка.

• 

  29 слайд

  Упражнение 12
  Пусть А и В – точки плоскости. Укажите геометрическое место точек С, для которых АС ВС.
  Ответ: Полуплоскость, определяемая серединным перпендикуляром к отрезку AB, содержащая точку A.

• 

  30 слайд

  Упражнение 13
  Пусть А и В точки плоскости, c – прямая. Укажите геометрическое место точек прямой c, расположенных ближе к А, чем к В. В каком случае таких точек нет?
  Ответ: Часть прямой c, лежащая внутри полуплоскости, определяемой серединным перпендикуляром к отрезку AB и точкой A. Если прямая c целиком лежит в полуплоскости, определяемой серединным перпендикуляром и точкой B, то таких точек нет.

• 

  31 слайд

  Биссектриса угла
  Теорема. Биссектриса угла является ГМТ, лежащих внутри этого угла и одинаково удаленных от его сторон.
  Если CA = CB, то прямоугольные треугольники АOС и ВOС равны (по гипотенузе и катету). Следовательно, углы AOC и BOC равны. Значит, точка C принадлежит биссектрисе угла. Обратно, если точка C принадлежит биссектрисе угла, то прямоугольные треугольники AOC и BOC равны (по гипотенузе и острому углу). Следовательно, AC = BC. Значит, точка С одинаково удалена от сторон данного угла.
  Доказательство. Рассмотрим угол c вершиной в точке О и сторонами а, b. Пусть точка С лежит внутри данного угла. Опустим из нее перпендикуляры СА и CB на стороны а и b.

• 

  32 слайд

  Упражнение 1
  Изобразите геометрическое место внутренних точек угла AOB, равноудаленных от его сторон.
  Ответ:

• 

  33 слайд

  Упражнение 2
  На прямой c отметьте точку C, равноудаленную от сторон угла AOB.
  Ответ:

• 

  34 слайд

  Упражнение 3
  Изобразите геометрическое место внутренних точек угла AOB, равноудаленных от его сторон.
  Ответ:

• 

  35 слайд

  Упражнение 4
  На прямой c отметьте точку C, равноудаленную от сторон угла AOB.
  Ответ:

• 

  36 слайд

  Упражнение 5
  Изобразите геометрическое место внутренних точек угла AOB, равноудаленных от его сторон.
  Ответ:

• 

  37 слайд

  Упражнение 6
  На прямой c отметьте точку C, равноудаленную от сторон угла AOB.
  Ответ:

• 

  38 слайд

  Упражнение 7
  Что является геометрическим местом центров окружностей касающихся двух данных пересекающихся прямых?
  Ответ: Биссектрисы углов, образующихся при пересечении данных прямых, без точки пересечения этих прямых.

• 

  39 слайд

  Упражнение 8
  Ответ: а) Точки, принадлежащие биссектрисам четырех углов, образованных данными прямыми;
  б) внутренности двух вертикальных углов, образованных биссектрисами.
  Пусть a и b – пересекающиеся прямые. Найдите геометрическое место точек: а) одинаково удаленных от a и b; б) расположенных ближе к a, чем к b.

• 

  40 слайд

  Упражнение 9
  На прямой c, пересекающей стороны угла, найдите точку C, одинаково удаленную от этих сторон.
  Ответ: Точка пересечения данной прямой с биссектрисой данного угла.

• 

  41 слайд

  Упражнение 10
  Дан угол АOB и точки M, N на его сторонах. Внутри угла найдите точку, одинаково удаленную от точек M и N и находящуюся на одинаковом расстоянии от сторон угла.
  Ответ: Точка пересечения серединного перпендикуляра к MN с биссектрисой угла.

• 

  42 слайд

  Пересечение фигур
  Пусть Ф1 и Ф2 – фигуры на плоскости. Фигура Ф, состоящая из всех точек, принадлежащих фигуре Ф1 и фигуре Ф2, называется пересечением фигур Ф1 и Ф2 и обозначается Ф1 Ф2.

• 

  43 слайд

  Упражнение 1
  Ответ: Искомое ГМТ является пересечением двух кругов с центрами в точках O1, O2 и радиусами R1, R2.
  Даны две точки O1 и O2. Найдите ГМТ X, для которых XO1 R1 и XO2 R2. Пересечением каких фигур является искомое ГМТ.

• 

  44 слайд

  Упражнение 2
  Даны две точки A и B. Найдите ГМТ C, для которых CA CB AB. Пересечением каких фигур является искомое ГМТ.
  Ответ: Искомое ГМТ является пересечением круга и полуплоскости.

• 

  45 слайд

  Упражнение 3
  Даны три точки A, B, C. Найдите ГМТ X, для которых AX BX и BX CX. Пересечением каких фигур является искомое ГМТ.
  Ответ: Искомое ГМТ является пересечением двух полупространств, определяемых серединными перпендикулярами к отрезкам AB и BC.

• 

  46 слайд

  Объединение фигур
  Пусть Ф1 и Ф2 – фигуры на плоскости. Фигура Ф, состоящая из всех точек, принадлежащих фигуре Ф1 или фигуре Ф2, называется объединением фигур Ф1 и Ф2 и обозначается Ф1 Ф2.

• 

  47 слайд

  Упражнение 1
  Даны две точки O1 и O2. Найдите ГМТ X, для которых XO1 R1 или XO2 R2. Объединением каких фигур является искомое ГМТ.
  Ответ: Искомое ГМТ является объединением двух кругов с центрами в точках O1, O2 и радиусами R1, R2.

• 

  48 слайд

  Упражнение 2
  Даны три точки A, B, C. Найдите ГМТ X, для которых AX BX или BX CX. Объединением каких фигур является искомое ГМТ.
  Ответ: Искомое ГМТ является объединением двух полупространств, определяемых серединными перпендикулярами к отрезкам AB и BC.

• 

  49 слайд

  Разность фигур
  Пусть Ф1 и Ф2 – фигуры на плоскости. Фигура Ф, состоящая из всех точек, принадлежащих фигуре Ф1 и не принадлежащих фигуре Ф2, называется разностью фигур Ф1 и Ф2 и обозначается Ф1 Ф2.

• 

  50 слайд

  Упражнение 1
  Ответ: Искомое ГМТ является разностью двух кругов с центрами в точках O1, O2 и радиусами R1, R2.
  Даны две точки O1 и O2. Найдите ГМТ X, для которых XO1 R1 и XO2 R2. Разностью каких фигур является искомое ГМТ.

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 251 279 материалов в базе

• Выберите категорию:

• Выберите учебник и тему

• Выберите класс:

• Тип материала:

  • Все материалы

  • Статьи

  • Научные работы

  • Видеоуроки

  • Презентации

  • Конспекты

  • Тесты

  • Рабочие программы

  • Другие методич. материалы

Найти материалы

Вам будут интересны эти курсы:

• Курс профессиональной переподготовки «Маркетинг: теория и методика обучения в образовательной организации»

• Курс повышения квалификации «Основы местного самоуправления и муниципальной службы»

• Курс повышения квалификации «Организация научно-исследовательской работы студентов в соответствии с требованиями ФГОС»

• Курс профессиональной переподготовки «Организация и предоставление туристских услуг»

• Курс повышения квалификации «Специфика преподавания конституционного права с учетом реализации ФГОС»

• Курс повышения квалификации «Применение MS Word, Excel в финансовых расчетах»

• Курс повышения квалификации «Основы менеджмента в туризме»

• Курс повышения квалификации «Методы и инструменты современного моделирования»

• Курс повышения квалификации «Мировая экономика и международные экономические отношения»

• Курс профессиональной переподготовки «Уголовно-правовые дисциплины: теория и методика преподавания в образовательной организации»

• Курс профессиональной переподготовки «Технический контроль и техническая подготовка сварочного процесса»

• Курс повышения квалификации «Информационная этика и право»