Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, в которой отношение между последующим и предыдущим членами остается неизменным. Это неизменное отношение называется знаменателем прогрессии.
Геометрическая прогрессия называется возрастающей, когда абсолютная величина ее знаменателя больше единицы, и убывающей, когда она меньше единицы.
Знаменатель прогрессии может быть и отрицательным числом, но прогрессии с отрицательным знаменателем практического значения не имеют.
Любой член геометрической прогрессии можно вычислить по формуле
Сумма первых n членов геометрической прогрессии (знаменатель которой не равен единице) выражается формулой
первое из выражений удобнее брать, когда прогрессия возрастающая, второе — когда она убывающая
Если же q = 1, то сумма прогрессии равна
Суммой бесконечно убывающей прогрессии называется число, к которому неограниченно приближается сумма первых n членов убывающей прогрессии при неограниченном возрастании числа n.
Сумма бесконечно убывающей прогрессии прогрессии выражается формулой
Калькулятор
Геометрическая прогрессия
Точность вычисления
Знаков после запятой: 2
Сумма геометрической прогрессии Sn
Сумма бесконечно убывающей прогрессии
Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность, в которой все ее члены расположены в порядке, подчиняющемся определенной закономерности. Формула геометрической прогрессии определяет, что каждое следующее число будет получено умножением предыдущего на знаменатель прогрессии – постоянное число, не меняющее свое значение в пределах одной последовательности.
bn=b1 q(n-1)
В зависимости от знаменателя прогрессии, выписанные члены геометрической прогрессии могут давать различный вид ряда. Если знаменатель является числом положительным, больше 1 (k > 1), тогда он будет увеличивать значение каждого следующего числа. Такая прогрессия будет монотонно возрастать на протяжении всего ряда. Если знаменатель – положительный, но находится между 0 и 1 (0 < k < 1), тогда он будет каждый раз уменьшать значение следующего члена, и такая прогрессия будет называться бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
Если для все возрастающей последовательности, можно только найти сумму первых членов геометрической прогрессии, то сумма членов бесконечно убывающей прогрессии будет равна вполне конкретному числовому значению, которое может рассчитать калькулятор. Третий случай представлен отрицательным знаменателем (k < 0), тогда прогрессия становится знакочередующейся, то есть первые члены геометрической прогрессии определяют порядок знаков для всей последовательности чисел. Как знаменатель геометрической прогрессии, так и первый член геометрической прогрессии по определению не могут быть равны нулю.
Существует всего несколько формул геометрической прогрессии, из которых можно вывести все необходимые для решения конкретных задач:
• Формула первого члена геометрической прогрессии;
• Формула n члена геометрической прогрессии;
• Формула суммы первых членов геометрической прогрессии;
• Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии;
• Формула знаменателя геометрической прогрессии.
Таким образом, если условиями задана геометрическая прогрессия с хотя бы двумя параметрами из всех выше представленных, для нее можно будет найти любую из всех прочих переменных.
Калькулятор онлайн.
Сумма геометрической прогрессии.
Дано: b1, q, n
Найти: Sn
Эта математическая программа находит (S_n) – сумму n первых членов геометрической прогрессии, исходя из заданных пользователем чисел
( b_1, q ) и ( n ).
Числа ( b_1 ) и ( q ) можно задать не только целые, но и дробные. Причём, дробное число можно ввести в виде десятичной
дроби ( ( 2,5 ) ) и в виде обыкновенной дроби ( ( -5frac{2}{7} ) ).
Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс нахождения решения.
Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и
экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.
А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее
сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным
решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень
образования в области решаемых задач повышается.
Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.
Правила ввода чисел
Числа ( b_1 ) и ( q ) можно задать не только целые, но и дробные.
Число ( n ) может быть только целым положительным.
Правила ввода десятичных дробей.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так 2.5 или так 2,5
Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод:
Результат: ( -frac{2}{3} )
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод:
Результат: ( -1frac{2}{3} )
Введите числа b1, q, n
Наши игры, головоломки, эмуляторы:
Немного теории.
Числовая последовательность
В повседневной практике часто используется нумерация различных предметов, чтобы указать порядок их расположения. Например,
дома на каждой улице нумеруются. В библиотеке нумеруются читательские абонементы и затем располагаются в порядке присвоенных
номеров в специальных картотеках.
В сберегательном банке по номеру лицевого счёта вкладчика можно легко найти этот счёт и посмотреть, какой вклад на нём лежит.
Пусть на счёте № 1 лежит вклад а1 рублей, на счёте № 2 лежит вклад а2 рублей и т. д. Получается числовая последовательность
a1, a2, a3, …, aN
где N — число всех счетов. Здесь каждому натуральному числу n от 1 до N поставлено в соответствие число an.
В математике также изучаются бесконечные числовые последовательности:
a1, a2, a3, …, an, … .
Число a1 называют первым членом последовательности, число a2 — вторым членом последовательности,
число a3 — третьим членом последовательности и т. д.
Число an называют n-м (энным) членом последовательности, а натуральное число n — его номером.
Например, в последовательности квадратов натуральных чисел 1, 4, 9, 16, 25, …, n2, (n + 1)2, …
а1 = 1 – первый член последовательности; аn = n2 является n-м членом последовательности;
an+1= (n + 1)2 является (n + 1)-м (эн плюс первым) членом последовательности.
Часто последовательность можно задать формулой её n-го члена.
Например, формулой ( a_n=frac{1}{n}, ; n in mathbb{N} ) задана последовательность
( 1, ; frac{1}{2} , ; frac{1}{3} , ; frac{1}{4} , dots,frac{1}{n} , dots )
Геометрическая прогрессия
Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной 4 см. Построим треугольник, вершинами которого являются середины сторон данного
треугольника. По свойству средней линии треугольника сторона второго треугольника равна 2 см. Продолжая аналогичные построения,
получим треугольники со сторонами ( 1, ; frac{1}{2}, ; frac{1}{4} ) см и т.д. Запишем последовательность длин сторон этих
треугольников: ( 4, ; 2, ; 1, ; frac{1}{2}, ; frac{1}{4}, ; frac{1}{8}, dots )
В этой последовательности каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число ( frac{1}{2} )
Определение.
Числовая последовательность
b1, b2, b3, …, bn, …
называется геометрической прогрессией если для всех натуральных n выполняется равенство
bn+1 = bnq,
где ( b_n neq 0 ), q — некоторое число, не равное нулю.
Из этой формулы следует, что ( frac{ b_{n+1}}{b_n}=q ). Число q называется знаменателем геометрической прогрессии.
По определению геометрической прогрессии
( b_{n+1} = b_n q, quad b_{n-1}=frac{b_n}{q}, )
откуда
( b_n^2 = b_{n-1}b_{n+1}, quad n>1 )
Если все члены геометрической прогрессии положительны, то ( b_n=sqrt{b_{n-1}b_{n+1}} ), т.е. каждый член прогрессии, начиная
со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов. Этим объясняется название «геометрическая» прогрессия.
Отметим, что если b1 и q заданы, то остальные члены геометрической прогрессии можно вычислить по рекуррентной формуле
bn+1 = bnq. Однако для больших n это трудоёмко. Обычно пользуются формулой n-го члена.
По определению геометрической прогрессии
b2 = b1q,
b3 = b2q = b1q2,
b4 = b3q = b1q3 и т.д.
Вообще,
( b_n = b_1q^{n-1} )
так как n-й член геометрической прогрессии получается из первого члена умножением (n-1) раз на число q.
Эту формулу называют формулой n-го члена геометрической прогрессии.
Также не сложно получить формулу для нахождения n-ого члена геометрической прогрессии зная m-ый член.
Запишем формулы n-го члена геометрической прогрессии и m-го члена:
( b_n = b_1q^{n-1} )
$$ b_m = b_1q^{m-1} Rightarrow b_1 = frac{b_m}{q^{m-1}} $$
Подставляя b1 в первое равенство получим:
$$ b_n = frac{b_m}{q^{m-1}} cdot q^{n-1} = b_m cdot q^{n-1-(m-1)} = b_m cdot q^{n-m} $$
Таким образом мы получили формулу для нахождения n-ого члена геометрической прогрессии зная m-ый член:
( b_n = b_m cdot q^{n-m} )
Сумма n первых членов геометрической прогрессии
Найдем сумму
S = 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + 35.
Умножим обе части равенства на 3:
3S = 3 + 3 + 32 + 33 + 34 + 35 + 36.
Перепишем эти два равенства так:
S = 1 + (3 + 32 + 33 + 34 + 35),
3S = (3 + 3 + 32 + 33 + 34 + 35) + 36.
Выражения, стоящие в скобках, одинаковы. Поэтому, вычитая из нижнего равенства верхнее, получаем:
3S – S = 36 – 1, 2S = 36 – 1,
$$ S=frac{3^6 – 1}{2} = frac{729 – 1}{2} = 364 $$
Рассмотрим теперь произвольную геометрическую прогрессию ( b_1, ; b_1q, ; dots, ; b_1q^n, ; dots ) знаменатель
которой ( q neq 1 ).
Пусть Sn – сумма n первых членов этой прогрессии:
( S_n = b_1 + b_1q + b_1q^2 + … + b_1q^{n-1} )
Тогда сумма n первых членов геометрической прогрессии со знаменателем ( q neq 1 ) равна
$$ S_n = frac{b_1(q^n-1)}{q-1} $$
Можно получить ещё одну формулу для нахождения суммы n первых членов геометрической прогрессии:
$$ S_n = frac{b_1(q^n-1)}{q-1} = frac{b_1q^n – b_1}{q-1} = frac{b_1q^{n-1} cdot q – b_1}{q-1} $$
Так как ( b_n=b_1q^{n-1} ), то можно подставить ( b_n ) в предыдущее выражение:
$$ S_n = frac{b_n q – b_1}{q-1} $$
Геометрическая прогрессия — ненулевая числовая последовательность, образованная в результате умножения каждого последующего члена на заданный коэффициент не равный нулю.
Определение последовательности
Прежде чем разбираться с прогрессией, следует понять определение числовой последовательности и закона, которым она задается. Вспомним натуральный ряд — первую числовую последовательность, которую мы изучаем еще в детском саду. Это целые числа, используемые для пересчета предметов. Начало выглядит так:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 … n
Если каждому числу натурального ряда поставить в соответствие другое число, образованное согласно определенной формуле, мы получим новую последовательность:
a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10 … an
Число an — общий член последовательности и закон, образующий элементы ряда. Очевидно, что формула задания натурального ряда это просто n. Для последовательности четных чисел каждый элемент и общий член задается формулой 2n, а для нечетных — 2n − 1.
Арифметическая и геометрическая прогрессии
Рассмотрим для начала арифметическую прогрессию, которая также является числовой последовательностью. Каждый член арифметической прогрессии равен предыдущему, суммированному с постоянным коэффициентом. Формула арифметической прогрессии представляет собой закон:
an = a1 + d × (n − 1),
где a1 — первое число ряда, d — разность прогрессии.
Простыми словами, каждый член прогрессии больше предыдущего на какое-либо число. К примеру, последовательность натуральных чисел является арифметической прогрессией с разностью d = 1.
Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, каждый последующий член которой равен предыдущему, умноженному на постоянный коэффициент q. Формула такого ряда выглядит как:
bn = b1 × q(n − 1),
где b1 — первый элемент ряда, q — знаменатель прогрессии.
Проще говоря, каждый последующий член прогрессии больше предыдущего в q раз. К примеру, логарифмическая шкала для отображения графика величин на больших промежутках выглядит как:
1, 10, 100, 1000, 10000, 100000…
Очевидно, что каждый последующий элемент больше предыдущего в 10 раз. Кроме того, к геометрическим прогрессиям относятся последовательности квадратных (q = 2) и кубических (q = 3) чисел.
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
Если знаменатель геометрической прогрессии находится в диапазоне 0 < q < 1, то элементы последовательности постепенно убывают, а сумма ряда сходится к определенному значению. Сумма членов бесконечно убывающей прогрессии определяется по простой формуле:
S = b1 / (1 – q).
Существуют разные числовые последовательности, которые представляют собой арифметические или геометрические прогрессии. Одним из интересных рядов считается прогрессия вида:
π, π, π, π, π…
П — это всемирно известная математическая константа «пи», приблизительно равная 3,1415926. Последовательность из π переставляет собой одновременно арифметическую прогрессию с d = 0 и геометрическую прогрессию с q = 1.
История и применение прогрессий
Одним из первых проявлений геометрической прогрессии в реальности стало использование системы гирь в купеческом деле. Леонардо Фибоначчи занимался вопросом оптимизации количества гирь для взвешивания любого количества товара. Он пришел к выводу, что лучшего всего использовать меры со значением 1, 2, 4, 8, 16,.. что является прогрессией с q = 2.
Сегодня геометрическая прогрессия играет важную роль в расчете банковских депозитов. При оформлении денежного депозита под 11 % в год, вкладчик ежегодно будет получать прибыль в размере 1,11 от предыдущей суммы на банковском счету (q = 1,11). Например, если изначальный вклад составляет $1 000, то через год на счету вкладчика будет $ 1 110, через два — $1 232, а через три года $1 367. Данная формула в банковском деле носит название сложных процентов.
Еще одни примером работы геометрической прогрессии является эпидемическое распространение гриппа. К примеру, один больной за сутки может заразить 12 человек, каждый из 12 также заразит еще 12 человек, поэтому на второй день будет 144 больных, на третий — 1 728, а на четвертый — 20 736.
Наша программа генерирует геометрическую прогрессию выбранной величины. Для этого вам потребуется ввести значение первого члена в ячейку «Первое число», знаменатель прогрессии в ячейку «Разница (шаг)» и количество элементов последовательности в ячейку «Последнее число». После этого программа предоставит числа, соответствующие закону геометрической прогрессии.
Рассмотрим на примере
Денежная игра по почте
Во времена СССР существовала афера, основанная на принципе геометрической прогрессии. Суть аферы в следующем. Люди получали письма с указанием 5 адресов и инструкцией:
- разослать по адресам по 1 рублю;
- вычеркнуть первый адрес и пятым вписать свой;
- разослать письма-приглашения с указанными адресами своим друзьям и знакомым.
Авантюристы предоставляли логичное объяснение механизма обогащения. Действительно, если приглашенные вами люди пришлют по 1 рублю, то вы вернете потраченные деньги. Пять приглашенных участников игры разошлют письма своим друзьям, в которых ваш адрес указан под номером 4. Количество таких писем уже 25, а следующая волна приглашенных пришлет вам в сумме 25 рублей. После чего 25 человек разошлют по 5 писем, где ваш адрес стоит третьим и это уже 125 конвертов по 1 рублю в каждом.
Сколько же денег обещали аферисты по окончанию круга приглашений? Ответ лежит в простой геометрической прогрессии. По их версии пройдет 5 волн приглашений с вашим адресом. Так как единицу мы не учитываем, а начинаем с 5 писем, то последнее число у нас будет равно 6. Первое, естественно, 1. Шаг нашей геометрической прогрессии составляет 5. Вбиваем эти данные в ячейки калькулятора и получаем последовательность:
1, 5, 25, 125, 625, 3125,
сумма элементов последовательности при этом составляет 3906. Именно прибыль в 3906 рублей обещали аферисты доверчивым гражданам. Естественно, что на практике все деньги уходили организаторам игры, так как на первом шаге аферисты отправляли не одно письмо, а сотни, в которых были указаны их собственные адреса. Даже если на первом шаге мошенники отправят всего 200 писем, то уже на пятом шаге в игру должны включиться 625 000 человек, а организаторы получат от них более 700 000 рублей. Дальнейшие шаги уже не имеют смысла.
Заключение
Геометрическая прогрессия часто встречается в реальности. Пользуйтесь нашим каталогом калькуляторов для решения интересных задачек или для проверки учебных примеров.
Сумма членов геометрической прогрессии находится по одной из формул:
Формулы суммы членов геометрической прогрессии
1) {S_n= frac{b_1-b_1 cdot q^n}{1-q}},
2) {S_n= frac{b_1 cdot (1-q^n)}{1-q}}
b1 – первый член прогрессии,
q – знаменатель прогрессии,
n – номер члена
Для нахождения суммы членов геометрической прогрессии вы можете воспользоваться нашим онлайн калькулятором. Просто введите данные и получите результат. А узнать больше про геометрическую прогрессию можно на странице.
Пример нахождения суммы арифметической прогрессии
Задача 1
Дана арифметическая прогрессия: 1; 3; 9; … Найдите сумму первых восьми ее членов.
Решение
Первый член прогрессии b1 = 1.
Чтобы найти знаменатель прогрессии, нужно разделить ее второй член на первый. В нашем случае q = b2 / b1 = 3 / 1 = 3.
Количество суммируемых членов равно 8, т. е. n = 8. Подставим значения в формулу и получим результат:
S_n= dfrac{b_1 cdot (1-q^n)}{1-q} = dfrac{1 cdot (1-3^8)}{1-3} = dfrac{1 cdot (1-6561)}{-2} = dfrac{-6560}{-2} = 3280
Ответ: 3280
Используем калькулятор для проверки.
