Одной из объемных фигур, изучаемых в курсе пространственной геометрии, является пирамида. Важной характеристикой этой фигуры является ее высота. В статье дадим определение высоты пирамиды и приведем формулы, через которые она связана с другими линейными характеристиками.
Что собой представляет пирамида
Под пирамидой понимают геометрическую фигуру пространственную, которая получается в результате соединения всех углов многоугольника с одной точкой пространства. Рисунок ниже демонстрирует расположение линий (ребер) для четырехугольной и пятиугольной пирамид.
Многоугольная грань фигуры называется ее основанием. Точка, где все треугольные грани соединяются, называется вершиной. Для определения высоты пирамиды отмеченные элементы являются важными.
Высота фигуры
Высотой пирамиды называется перпендикуляр, который из ее вершины опущен на плоскость основания. Важно понимать, что из каждой вершины, принадлежащей основанию фигуры, тоже можно провести перпендикуляр к соответствующей треугольной грани, однако он высотой не будет являться. Высота пирамиды – это единственный перпендикуляр, который является одной из важных ее линейных характеристик.
Каждому школьнику известно, что любая плоская фигура обладает геометрическим центром (в физике ему соответствует центр масс). Например, геометрический центр для произвольного треугольника определяется точкой пересечения его медиан, для параллелограмма – точкой пересечения диагоналей. Если высота пирамиды пересекает ее основание в геометрическом центре, то фигура называется прямой. Пирамида прямая, имеющая в основании многоугольник с одинаковыми сторонами и углами, называется правильной.
Рисунок выше показывает, чем отличается неправильная пирамида от правильной. Видно, что высота неправильной фигуры лежит за пределами ее основания, в то время как у правильной шестиугольной пирамиды высота находится внутри фигуры, пересекая ее основание в центре геометрическом.
Важными свойствами всех правильных пирамид являются следующие:
- все боковые грани представляют собой равнобедренные треугольники и равны друг другу;
- длины боковых ребер и апофем являются одинаковыми.
Формулы для высоты правильной пирамиды
Существует четыре основных линейных характеристики для любой пирамиды правильной:
- сторона основания;
- боковое ребро;
- апофема боковой грани;
- высота фигуры.
Все они связаны математически друг с другом. Обозначим длину стороны основания символом a, высоту – h, апофему – hb и ребро – b. Формулы, которые эти величины связывают, имеют индивидуальный вид для соответствующей n-угольной пирамиды. Например, для правильной пирамиды четырехугольной высоту можно определить по формулам:
h = √(ab2 – a2/4);
h = √(b2 – a2/2).
Эти формулы следуют из теоремы Пифагора при рассмотрении соответствующих прямоугольных треугольников внутри пирамиды.
Если рассматривается фигура с треугольным основанием, тогда справедливы следующие формулы для высоты правильной пирамиды:
h = √(ab2 – a2/12);
h = √(b2 – a2/3).
Решение задачи с шестиугольной пирамидой
Предположим, что нам дана пирамида правильная с шестиугольным основанием. Известно, что высота основания пирамиды равна 13 см. Зная, что длина ее бокового ребра равна 10 см, необходимо вычислить объем и высоту правильной шестиугольной пирамиды.
Рисунок ниже показывает, как выглядит правильный шестиугольник.
Расстояние между любыми его двумя параллельными сторонами называется высотой. Не сложно показать, что эта высота ha связана с длиной стороны фигуры следующей формулой:
ha = a*√3
Подставляя в выражение значение ha, находим, что сторона основания a равна 7,51 см.
Высоту h фигуры можно определить, если рассмотреть прямоугольный треугольник, находящийся внутри пирамиды и состоящий из двух катетов (высота пирамиды и половина диагонали шестиугольного основания) и гипотенузы (боковое ребро). Тогда значение h будет равно:
h = √(b2 – a2) = √(100 – 56,4) = 6,6 см.
Объем пирамиды определяется как третья часть от произведения высоты фигуры на площадь ее основания. Площадь правильного шестиугольника равна:
S6 = n/4*a2*ctg(pi/n) = 6/4*a2*ctg(pi/6) = 3*√3/2*a2 = 3*√3/2*56,4 ≈ 146,53 см2.
Использованная для вычисления S6 формула является универсальной для произвольного правильного n-угольника.
Для определения объема фигуры остается подставить в соответствующую формулу найденные параметры:
V = 1/3*h*S6 = 1/3*6,6*146,53 = 322,366 см3.
Мы получили значение высоты пирамиды и рассчитали ее объем. Таким образом, поставленная задача решена.
Достаточно знать длину бокового ребра пирамиды, количество сторон многоугольника, лежащего в основании пирамиды, а также длину стороны основания (сторону многоугольника).
В основании правильной пирамиды всегда лежит правильный многоугольник. Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность.
Есть такая формула:
a — длина стороны n-угольника (для правильного многоугольника).
L – длина окружности, описывающей этот многоугольник.
n – это количество сторон этого многоугольника
Если выразить эту формулу наоборот, то можно по стороне многоугольника найти длину окружности.
L=a*π/sin(180/n)
Зная длину окружности, можно найти радиус этой окружности:
L=2πR
R=L/(2π)
Подставляя L из первой формулы, получаем:
R = L/(2π) = a*π/(2π*sin(180/n)) = a/(2sin(180/n))
Теперь если приглядитесь к рисунку, то увидите, что радиус описанной окружности является также и катетом в прямоугольном треугольнике (игреком “y” на левой картинке).
А вертикальное ребро пирамиды это гипотенуза этого прямоугольного треугольника.
А искомая нам высота это второй катет этого прямоугольного треугольника.
По теореме Пифагора:
X²=Y²+h²
h²=X²-Y²
h=√(X²-Y²)
X нам известен – это длина боковой стороны пирамиды.
Y тоже известен – это расстояние от одного из углов основания пирамиды до центра пирамиды, и это же радиус описанной вокруг этого многоугольника окружности.
Y=R, а R равен: R=a/(2sin(180/n))
Итак подведём итог:
h=√(X²-Y²) = √(X²-R²) = √(X²-(a/(2sin(180/n)))²)
X – размер боковой стороны (ребра) пирамиды.
n – количество сторон многоугольника в основании.
a – размер стороны этого многоугольника в основании.
Более удобно эту формулу я отразил на рисунке.
Как найти сторону основания пирамиды
Задачи на вычисление стороны основания пирамиды составляют в задачнике по геометрии довольно большой раздел. Очень многое зависит от того, какая гемоетрическая фигура лежит в основании, а также от того, что дано в условиях задачи.
Вам понадобится
- – чертежные принадлежности;
- – тетрадь в клетку;
- – теорема синусов;
- – теорема Пифагора;
- – калькулятор.
Инструкция
В школьном курсе геометрии рассматриваются главным образом пирамиды, в основании которых лежит правильный многоугольник, то есть такой, у которого все стороны равны. Проекция вершины пирамиды совпадает с центром ее основания. Начертите пирамиду, в основании которой лежит равносторонний треугольник. В условиях могут быть даны:
– длина бокового ребра пирамиды и угол его с ребром между боковой гранью и основанием;
– длина бокового ребра и высота боковой грани;
– длина бокового ребра и высота пирамиды.
Если известны боковое ребро и угол, задача решается несколько иначе. Вспомните, что собой представляет каждая боковая грань пирамиды, в основании которой лежит равносторонний многоугольник. Это равнобедренный треугольник. Проведите его высоту, которая одновременно является биссектрисой и медианой. То есть половина стороны основания a/2=L*cosA, где а – сторона основания пирамиды, L – длина ребра. Чтобы найти размер стороны основания, достаточно полученный результат умножить на 2.
Если в задаче даны высота боковой грани и длина ребра, найдите сторону основания по теореме Пифагора. Боковая грань в данном случае будет гипотенузой, известная высота –з одним из катетов. Чтобы найти длину второго катета, нужно из квадрата гипотенузы вычесть квадрат второго катета, то есть (a/2)2=L2-h2, где а – сторона основания, L – длина боковой грани, h – высота боковой грани.
В этом случае нужно выполнить дополнительное построение, чтобы можно было оперировать тригонометрическими функциями. Вам даны боковое ребро L и высота пирамиды H, которая соединяет вершину пирамиды с центром основания. Из точки пересечения высоты с плоскостью основания проведите отрезок, соединив эту точку с одним из углов основания. У вас получился прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является боковое ребро, одним из катетов – высота пирамиды. По этим данным легко найти второй катет треугольника, для этого достаточно из квадрата бокового ребра L вычесть квадрат высоты H. Дальнейшие действия зависят от того, какая именно фигура лежит в основании.
Вспомните свойства равностороннего треугольника. У него высоты одновременно являются биссектрисами и медианами. В точке пересечения они делятся пополам. То есть получается, что вы нашли половину высоты основания. Для удобства вычислений проведите все три высоты. Вы увидите, что отрезок, квадрат длины которого вы уже нашли, является гипотенузой прямоугольного треугольника. Извлеките квадратный корень. Вам известен и острый угол – 30°, так что найти половину стороны основания не составит особого труда, применив теорему косинусов.
Для пирамиды, в основании которой лежит правильный четырехугольник, алгоритм будет тем же самым. Если вы вычтите из квадрата бокового ребра квадрат высоты пирамиды, получите возведенную в квадрат половину диагонали основания. Извлеките корень, найдите размер диагонали, которая одновременно является гипотенузой равнобедренного прямоугольного треугольника. Размер любого из катетов найдите по теореме Пифагора, синусов или косинусов.
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Объём правильной пирамиды. Продолжаем рассматривать задачи с пирамидами. На блоге уже рассмотрены задания с правильными пирамидами, в этих статьях шла речь о нахождении элементов и площади поверхности. Здесь разберём примеры связанные с понятием объёма. Для решения подобных заданий обязательно нужно знать формулу объёма пирамиды:
S – площадь основания пирамиды
h – высота пирамиды
Основанием может быть любой многоугольник. Но в большинстве задач на ЕГЭ речь в условии, как правило, идёт о правильных пирамидах. Напомню одно из её свойств:
Вершина правильной пирамиды проецируется в центр её основания
Посмотрите на проекцию правильной треугольной, четырёхугольной и шестиугольной пирамид (ВИД СВЕРХУ):
Можете посмотреть ещё одну статью на блоге, где разбирались задачи связанные с нахождением объёма пирамиды. Рассмотрим задачи:
27087. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна корню из трёх.
Объём пирамиды вычисляется по формуле:
S – площадь основания пирамиды
h – высота пирамиды
Найдём площадь основания пирамиды, это правильный треугольник. Воспользуемся формулой – площадь треугольника равна половине произведения соседних сторон на синус угла между ними, значит:
Таким образом, объём пирамиды равен:
Ответ: 0,25
27088. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен корню из трёх.
Такие понятия как высота пирамиды и характеристики её основания связаны формулой объёма:
S – площадь основания пирамиды
h – высота пирамиды
Сам объём нам известен, площадь основания можем найти, так как известны стороны треугольника, который является основанием. Зная указанные величины без труда найдём высоту.
Для нахождения площади основания воспользуемся формулой – площадь треугольника равна половине произведения соседних сторон на синус угла между ними, значит:
Таким образом, подставив данные значения в формулу объема можем вычислить высоту пирамиды:
Высота равна трём.
Ответ: 3
27109. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем.
Объём пирамиды вычисляется по формуле:
S – площадь основания пирамиды
h – высота пирамиды
Высота нам известна. Необходимо найти площадь основания. Напомню, что вершина правильной пирамиды проецируется в центр её основания. Основанием правильной четырёхугольной пирамиды является квадрат. Мы можем найти его диагональ. Рассмотрим прямоугольный треугольник (выделен синим):
Отрезок соединяющий центр квадрата с точкой В это катет, который равен половине диагонали квадрата. Этот катет можем вычислить по теореме Пифагора:
Значит BD = 16. Вычислим площадь квадрата воспользовавшись формулой площади четырёхугольника:
Следовательно:
Таким образом, объём пирамиды равен:
Ответ: 256
27178. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12, объем равен 200. Найдите боковое ребро этой пирамиды.
Высота пирамиды и её и объём известны, значит можем найти площадь квадрата, который является основанием. Зная площадь квадрата, мы сможем найти его диагональ. Далее рассмотрев прямоугольный треугольник по теореме Пифагора вычислим боковое ребро:
Найдём площадь квадрата (основания пирамиды):
Вычислим диагональ квадрата. Так как его площадь равна 50, то сторона будет равна корню из пятидесяти и по теореме Пифагора:
Точка О делит диагональ BD пополам, значит катет прямоугольного треугольника ОВ = 5.
Таким образом, можем вычислить чему равно боковое ребро пирамиды:
Ответ: 13
245353. Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 3.
Как уже неоднократно было сказано – объём пирамиды вычисляется по формуле:
S – площадь основания пирамиды
h – высота пирамиды
Боковое ребро перпендикулярное основанию равно трём, это означает, что высота пирамиды равна трём. Основания пирамиды – это многоугольник, площадь которого равна:
Таким образом:
Ответ: 27
27086. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.
Посмотреть решение
27110. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 600. Высота пирамиды равна 6. Найдите объем пирамиды.
Посмотреть решение
27111. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды.
Посмотреть решение
27113. Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 1. Найдите объем шестиугольной пирамиды.
Посмотреть решение
27114. Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 12. Точка E — середина ребра SB. Найдите объем треугольной пирамиды EABC.
Посмотреть решение
27176. Найдите объем пирамиды, высота которой равна 6, а основание — прямоугольник со сторонами 3 и 4.
Посмотреть решение
27179. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2, боковое ребро равно 4. Найдите объем пирамиды.
Посмотреть решение
27181. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4, а угол между боковой гранью и основанием равен 450. Найдите объем пирамиды.
Посмотреть решение
На этом всё. Успеха Вам!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Пирамида – это многогранник, в основании которого лежит многоугольник. Все грани в свою очередь образуют треугольники, которые сходятся в одной вершине. Пирамиды бывают треугольными, четырехугольными и так далее. Для того чтобы определить, какая пирамида перед вами, достаточно посчитать количество углов в ее основании. Определение “высота пирамиды” очень часто встречается в задачах по геометрии в школьной программе. В статье попробуем рассмотреть разные способы ее нахождения.
Части пирамиды
Каждая пирамида состоит из следующих элементов:
- боковые грани, которые имеют по три угла и сходятся в вершине;
- апофема представляет собой высоту, которая опускается из ее вершины;
- вершина пирамиды – это точка, которая соединяет боковые ребра, но при этом не лежит в плоскости основания;
- основание – это многоугольник, на котором не лежит вершина;
- высота пирамиды представляет собой отрезок, который пересекает вершину пирамиды и образует с ее основанием прямой угол.
Как найти высоту пирамиды, если известен ее объем
Через формулу объема пирамиды V = (S*h)/3 (в формуле V – объем, S – площадь основания, h – высота пирамиды) находим, что h = (3*V)/S. Для закрепления материала давайте сразу же решим задачу. В треугольной пирамиде площадь основания равна 50 см2, тогда как ее объем составляет 125 см3. Неизвестна высота треугольной пирамиды, которую нам и необходимо найти. Здесь все просто: вставляем данные в нашу формулу. Получаем h = (3*125)/50 = 7,5 см.
Как найти высоту пирамиды, если известна длина диагонали и ее ребра
Как мы помним, высота пирамиды образует с ее основанием прямой угол. А это значит что высота, ребро и половина диагонали вместе образуют прямоугольный треугольник. Многие, конечно же, помнят теорему Пифагора. Зная два измерения, третью величину найти будет несложно. Вспомним известную теорему a² = b² + c², где а – гипотенуза, а в нашем случае ребро пирамиды; b – первый катет или половина диагонали и с – соответственно, второй катет, или высота пирамиды. Из этой формулы c² = a² – b².
Теперь задачка: в правильной пирамиде диагональ равна 20 см, когда как длина ребра – 30 см. Необходимо найти высоту. Решаем: c² = 30² – 20² = 900-400 = 500. Отсюда с = √ 500 = около 22,4.
Как найти высоту усеченной пирамиды
Она представляет собой многоугольник, который имеет сечение параллельно ее основанию. Высота усеченной пирамиды – это отрезок, который соединяет два ее основания. Высоту можно найти у правильной пирамиды, если будут известны длины диагоналей обоих оснований, а также ребро пирамиды. Пусть диагональ большего основания равна d1, в то время как диагональ меньшего основания – d2, а ребро имеет длину – l. Чтобы найти высоту, можно с двух верхних противоположных точек диаграммы опустить высоты на ее основание. Мы видим, что у нас получились два прямоугольных треугольника, остается найти длины их катетов. Для этого из большей диагонали вычитаем меньшую и делим на 2. Так мы найдем один катет: а = (d1-d2)/2. После чего по теореме Пифагора нам остается лишь найти второй катет, который и является высотой пирамиды.
Теперь рассмотрим все это дело на практике. Перед нами задача. Усеченная пирамида имеет в основании квадрат, длина диагонали большего основания равняется 10 см, в то время как меньшего – 6 см, а ребро равняется 4 см. Требуется найти высоту. Для начала находим один катет: а = (10-6)/2 = 2 см. Один катет равен 2 см, а гипотенуза – 4 см. Получается, что второй катет или высота будет равна 16-4 = 12, то есть h = √12 = около 3,5 см.
