Как найти гипотенузу треугольника если известна медиана

После изучения темы про прямоугольные треугольники ученики часто выбрасывают из головы всю информацию о них. В том числе и то, как найти гипотенузу, не говоря уже о том, что это такое.

И напрасно. Потому что в дальнейшем диагональ прямоугольника оказывается этой самой гипотенузой, и ее нужно найти. Или диаметр окружности совпадает с самой большой стороной треугольника, один из углов которого прямой. И найти ее без этого знания невозможно.

Существует несколько вариантов того, как найти гипотенузу треугольника. Выбор метода зависит от исходного набора данных в условии задачи величин.

Способ под номером 1: даны оба катета

Это самый запоминающийся метод, потому что использует теорему Пифагора. Только иногда ученики забывают, что по этой формуле находится квадрат гипотенузы. Значит, чтобы найти саму сторону, нужно будет извлечь квадратный корень. Поэтому формула для гипотенузы, которую принято обозначать буквой «с», будет выглядеть так:

с = √ (а² + в²), где буквами «а» и «в» записаны оба катета прямоугольного треугольника.

Способ под номером 2: известен катет и угол, который к нему прилежит

Для того чтобы узнать, как найти гипотенузу, потребуется вспомнить тригонометрические функции. А именно косинус. Для удобства будем считать, что даны катет «а» и прилежащий к нему угол α.

Теперь нужно вспомнить, что косинус угла прямоугольного треугольника равен отношению двух сторон. В числителе будет стоять значение катета, а в знаменателе — гипотенузы. Из этого следует, что последнюю можно будет сосчитать по формуле:

с = а / cos α.

Способ под номером 3: даны катет и угол, который лежит напротив него

Чтобы не запутаться в формулах, введем обозначение для этого угла — β, а сторону оставим прежнюю «а». В этом случае потребуется другая тригонометрическая функция – синус.

Как и в предыдущем примере, синус равен отношению катета к гипотенузе. Формула этого способа выглядит так:

с = а / sin β.

Для того чтобы не запутаться в тригонометрических функциях, можно запомнить простое мнемоническое привило: если в задаче идет речь о противолежащем угле, то нужно использовать синус, если — о прилежащем, то косинус. Следует обратить внимание на первые гласные в ключевых словах. Они образуют пары о-и или и-о.

Способ под номером 4: по радиусу описанной окружности

Теперь, для того чтобы узнать, как найти гипотенузу, потребуется вспомнить свойство окружности, которая описана около прямоугольного треугольника. Оно гласит следующее. Центр окружности совпадает с серединой гипотенузы. Если сказать по-другому, то самая большая сторона прямоугольного треугольника равна диагонали окружности. То есть удвоенному радиусу. Формула для этой задачи будет выглядеть так:

с = 2 * r, где буквой r обозначен известный радиус.

Это все возможные способы того, как находить гипотенузу прямоугольного треугольника. Пользоваться в каждой конкретной задаче нужно тем методом, который больше подходит по набору данных.

Пример задачи №1

Условие: в прямоугольном треугольнике проведены медианы к обоим катетам. Длина той, которая проведена к большей стороне, равна √52. Другая медиана имеет длину √73. Требуется вычислить гипотенузу.

Решение.

Так как в треугольнике проведены медианы, то они делят катеты на два равных отрезка. Для удобства рассуждений и поиска того, как найти гипотенузу, нужно ввести несколько обозначений. Пусть обе половинки большего катета будут обозначены буквой «х», а другого — «у».

Теперь нужно рассмотреть два прямоугольных треугольника, гипотенузами у которых являются известные медианы. Для них нужно дважды записать формулу теоремы Пифагора:

(2у)² + х² = (√52)²

и

(у)² + (2х)² = (√73)².

Эти два уравнения образуют систему с двумя неизвестными. Решив их, легко можно будет найти катеты исходного треугольника и по ним его гипотенузу.

Сначала нужно все возвести во вторую степень. Получается:

4у² + х² = 52

и

у² + 4х² = 73.

Из второго уравнения видно, что у² = 73 – 4х². Это выражение нужно подставить в первое и вычислить «х»:

4(73 – 4х²) + х² = 52.

После преобразования:

292 – 16 х² + х² = 52 или 15х² = 240.

Из последнего выражения х = √16 = 4.

Теперь можно вычислить «у»:

у² = 73 – 4(4)² = 73 – 64 = 9.

у = 3.

По данным условия получается, что катеты исходного треугольника равны 6 и 8. Значит, можно воспользоваться формулой из первого способа и найти гипотенузу:

√(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Ответ: гипотенуза равна 10.

Пример задачи №2

Условие: вычислить диагональ, проведенную в прямоугольнике с меньшей стороной, равной 41. Если известно, что она делит угол на такие, которые соотносятся как 2 к 1.

Решение.

В этой задаче диагональ прямоугольника является наибольшей стороной в треугольнике с углом 90º. Поэтому все сводится к тому, как найти гипотенузу.

В задаче идет речь об углах. Это значит, что нужно будет пользоваться одной из формул, в которых присутствуют тригонометрические функции. А сначала требуется определить величину одного из острых углов.

Пусть меньший из углов, о которых идет речь в условии, будет обозначен α. Тогда прямой угол, который делится диагональю, будет равен 3α. Математическая запись этого выглядит так:

90º = 3 α.

Из этого уравнения просто определить α. Он будет равен 30º. Причем он будет лежать напротив меньшей стороны прямоугольника. Поэтому потребуется формула, описанная в способе №3.

Гипотенуза равна отношению катета к синусу противолежащего угла, то есть:

41 / sin 30º = 41 / (0,5) = 82.

Ответ: гипотенуза равна 82.

Что можно сказать о прямоугольном треугольнике, если известен его катет и медиана, проведенная к гипотенузе?

По катету и медиане, проведённой из вершины прямого угла, можно найти гипотенузу и второй катет. Зная все стороны прямоугольного треугольника, можно найти его периметр, площадь, радиусы вписанной и описанной окружностей.

Дано: ∆ABC, ∠C=90º,

BC=a, CF — медиана,

CF=m.

Найти:

   

Решение:

1) Так как медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, то

   

В прямоугольном треугольнике ABC по теореме Пифагора

   

   

   

2) Периметр треугольника ABC равен

   

   

3) Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов, поэтому

   

   

4) Радиус r вписанной в прямоугольный треугольник окружности и радиус R описанной окружностисоответственно равны

   

где a и b — катеты, c — гипотенуза.

Соответственно, если один из катетов равен a, а медиана, проведённая к гипотенузе — m, то радиусы вписанной и описанной окружности можно найти как

   

Через катет и медиану, проведенную к гипотенузе, могут быть также найдены синус, косинус, тангенс и котангенс острых углов и другие соотношения.

Как найти гипотенузу: 4 способа поиска ответа

После изучения темы про прямоугольные треугольники ученики часто выбрасывают из головы всю информацию о них. В том числе и то, как найти гипотенузу, не говоря уже о том, что это такое.

И напрасно. Потому что в дальнейшем диагональ прямоугольника оказывается этой самой гипотенузой, и ее нужно найти. Или диаметр окружности совпадает с самой большой стороной треугольника, один из углов которого прямой. И найти ее без этого знания невозможно.

Существует несколько вариантов того, как найти гипотенузу треугольника. Выбор метода зависит от исходного набора данных в условии задачи величин.

Способ под номером 1: даны оба катета

Это самый запоминающийся метод, потому что использует теорему Пифагора. Только иногда ученики забывают, что по этой формуле находится квадрат гипотенузы. Значит, чтобы найти саму сторону, нужно будет извлечь квадратный корень. Поэтому формула для гипотенузы, которую принято обозначать буквой «с», будет выглядеть так:

с = √ (а 2 + в 2 ), где буквами «а» и «в» записаны оба катета прямоугольного треугольника.

Способ под номером 2: известен катет и угол, который к нему прилежит

Для того чтобы узнать, как найти гипотенузу, потребуется вспомнить тригонометрические функции. А именно косинус. Для удобства будем считать, что даны катет «а» и прилежащий к нему угол α.

Теперь нужно вспомнить, что косинус угла прямоугольного треугольника равен отношению двух сторон. В числителе будет стоять значение катета, а в знаменателе — гипотенузы. Из этого следует, что последнюю можно будет сосчитать по формуле:

с = а / cos α.

Способ под номером 3: даны катет и угол, который лежит напротив него

Чтобы не запутаться в формулах, введем обозначение для этого угла — β, а сторону оставим прежнюю «а». В этом случае потребуется другая тригонометрическая функция – синус.

Как и в предыдущем примере, синус равен отношению катета к гипотенузе. Формула этого способа выглядит так:

с = а / sin β.

Для того чтобы не запутаться в тригонометрических функциях, можно запомнить простое мнемоническое привило: если в задаче идет речь о противолежащем угле, то нужно использовать синус, если — о прилежащем, то косинус. Следует обратить внимание на первые гласные в ключевых словах. Они образуют пары о-и или и-о.

Способ под номером 4: по радиусу описанной окружности

Теперь, для того чтобы узнать, как найти гипотенузу, потребуется вспомнить свойство окружности, которая описана около прямоугольного треугольника. Оно гласит следующее. Центр окружности совпадает с серединой гипотенузы. Если сказать по-другому, то самая большая сторона прямоугольного треугольника равна диагонали окружности. То есть удвоенному радиусу. Формула для этой задачи будет выглядеть так:

с = 2 * r, где буквой r обозначен известный радиус.

Это все возможные способы того, как находить гипотенузу прямоугольного треугольника. Пользоваться в каждой конкретной задаче нужно тем методом, который больше подходит по набору данных.

Пример задачи №1

Условие: в прямоугольном треугольнике проведены медианы к обоим катетам. Длина той, которая проведена к большей стороне, равна √52. Другая медиана имеет длину √73. Требуется вычислить гипотенузу.

Так как в треугольнике проведены медианы, то они делят катеты на два равных отрезка. Для удобства рассуждений и поиска того, как найти гипотенузу, нужно ввести несколько обозначений. Пусть обе половинки большего катета будут обозначены буквой «х», а другого — «у».

Теперь нужно рассмотреть два прямоугольных треугольника, гипотенузами у которых являются известные медианы. Для них нужно дважды записать формулу теоремы Пифагора:

(2у) 2 + х 2 = (√52) 2

(у) 2 + (2х) 2 = (√73) 2 .

Эти два уравнения образуют систему с двумя неизвестными. Решив их, легко можно будет найти катеты исходного треугольника и по ним его гипотенузу.

Сначала нужно все возвести во вторую степень. Получается:

Из второго уравнения видно, что у 2 = 73 – 4х 2 . Это выражение нужно подставить в первое и вычислить «х»:

4(73 – 4х 2 ) + х 2 = 52.

292 – 16 х 2 + х 2 = 52 или 15х 2 = 240.

Из последнего выражения х = √16 = 4.

Теперь можно вычислить «у»:

у 2 = 73 – 4(4) 2 = 73 – 64 = 9.

По данным условия получается, что катеты исходного треугольника равны 6 и 8. Значит, можно воспользоваться формулой из первого способа и найти гипотенузу:

√(6 2 + 8 2 ) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Ответ: гипотенуза равна 10.

Пример задачи №2

Условие: вычислить диагональ, проведенную в прямоугольнике с меньшей стороной, равной 41. Если известно, что она делит угол на такие, которые соотносятся как 2 к 1.

В этой задаче диагональ прямоугольника является наибольшей стороной в треугольнике с углом 90º. Поэтому все сводится к тому, как найти гипотенузу.

В задаче идет речь об углах. Это значит, что нужно будет пользоваться одной из формул, в которых присутствуют тригонометрические функции. А сначала требуется определить величину одного из острых углов.

Пусть меньший из углов, о которых идет речь в условии, будет обозначен α. Тогда прямой угол, который делится диагональю, будет равен 3α. Математическая запись этого выглядит так:

Из этого уравнения просто определить α. Он будет равен 30º. Причем он будет лежать напротив меньшей стороны прямоугольника. Поэтому потребуется формула, описанная в способе №3.

Гипотенуза равна отношению катета к синусу противолежащего угла, то есть:

Гипотенуза треугольника

Гипотенуза треугольника — это такая сторона треугольника, длина которой равна
квадратному корню из суммы квадратов длин двух других сторон.

Можно сказать, что в треугольнике есть гипотенуза, если длину
какой-нибудь стороны можно выразить по формуле:

Это формула из Теоремы Пифагора. Где с — гипотенуза треугольника, a и b — катеты треугольника.

Не во всех треугольниках есть гипотенуза!

Признаки наличия гипотенузы в треугольнике

Существует ряд случаев / признаков по которым
можно определить, что в треугольнике есть гипотенуза:

• Прямоугольный треугольник;
• Треугольник, у которого один из углов прямой, по условию;
• Два угла треугольника по 45 градусов;
• Треугольник, к которому можно применить Теорему Пифагора;
• Если в треугольнике известны только два угла, и третий угол
  является прямым (по теореме о сумме углов треугольника);
• Квадратный корень из суммы квадратов длин двух
  сторон треугольника равен длине третьей стороне;
• По условию задачи две стороны являются катетами.
• Египетский треугольник;

Если хотя бы один из вышеперечисленных признаков верен,
соответствует условию задачи, то в треугольнике есть гипотенуза.

Пример гипотенузы в треугольнике

На рисунке 1 изображен прямоугольный треугольник со сторонами a, b, c.

В данном случае, определить какая сторона является гипотенузой
довольно таки просто. Стороны a и b образуют прямой угол,
поэтому сторона c — гипотенуза. Сторона c является гипотенузой
треугольника, так как два смежных с ней угла, образуют в
сумме угол в 90 градусов, т.е прямой.

Длина гипотенузы треугольника

Мы могли бы определить является ли сторона гипотенузой произвольного
треугольника, зная только величину длин всех сторон треугольника.

Как узнать есть ли гипотенуза? Какова её длина?

Допустим, длина стороны a = 3, b = 4, c = 5, тогда по Теореме Пифагора (по признаку гипотенузы в треугольнике):

Все сходится, следовательно гипотенуза в треугольнике есть, и её длина равна 5.
Если в вашем случае ответ не сходится, числа получились в
итоге разные, значит, однозначно гипотенузы в треугольнике нет!

Длину гипотенузы треугольника, можно узнать с помощью Теоремы Пифагора, только в трех базовых случаях:

1. В треугольнике известны длины двух сторон, есть прямой угол;
2. Два угла треугольника по 45 градусов, известна только одна сторона;
3. Известны длины всех сторон треугольника;

Гипотенуза – формула, правила и примеры вычислений

Слово «гипотенуза» со школьных времен у многих вызывает негативные ассоциации. Добавим загадочного и непонятного. Происходит от греческого «ὑποτείνουσα».

А ведь означает всего-навсего «вытянутый». И речь идет о простейшей форме треугольника – прямоугольной (рис. 1).

Гипотенузой называют сторону напротив прямого угла. Самую протяженную. В данном случае – с. Остальные составляющие – катеты.

Простыми фигурами интересовались древние строители Вавилона и Египта. А особенно – землемеры. Еще бы: ведь основа любой цивилизации – распределение угодий и налоги.

Считается, что теоретическая база была доказательно предложена Пифагором в V-м веке до н. э. Хотя, скорее всего, это было сделано ранее.

Теорема Пифагора

Сумма квадратов катетов составляет квадрат гипотенузы:

Верно и обратное утверждение. Треугольник, удовлетворяющий приведенному равенству – прямоугольный.

Формула верна только в Евклидовой геометрии, где параллельные прямые не пересекаются.

Утверждение приведено в современной интерпретации. В оригинале выглядит несколько по-другому: площадь квадрата, построенного на гипотенузе, идентична сумме площадей квадратов, построенных на катетах (рис. 2).

Существует масса способов доказательства. В том числе весьма сложных. А попадаются удивительно изящные, как например, на рисунке 3:

В тригонометрии

Построим на плоскости прямоугольную систему координат с единичной (с радиусом, равным 1) окружностью с центром в точке (0; 0). B – пересечение угла α и кривой (рис. 4).

На оси абсцисс X отмечается cos α; на оси ординат Y – sin α.

В получившемся прямоугольном треугольнике отрезок 0B является гипотенузой. Учитывая доказанную теорему, выводим основное равенство математической дисциплины:

sin 2 α + cos 2 α = 1

Гипотенуза прямоугольного треугольника

Связана со сторонами следующими соотношениями (см. рис. 1):

a – противолежащий α катет;

Величины sin α и cos α меньше либо равны 1, что очевидно из рис. 4. Но в треугольнике не может быть два прямых угла. Как не может быть нулевого.

Это означает, что гипотенуза – всегда наибольшая сторона треугольника, т. е.

Гипотенуза равнобедренного треугольника

В такой фигуре катеты равны и являются сторонами прямого угла (рис. 5). Расчет гипотенузы c производится по формуле теоремы Пифагора.

Нетрудно заметить, что углы α = 45°. Поскольку сумма всех равна 180°.

Пример решения задачи

Дан прямоугольный треугольник ABC (рис. 1). Рассчитайте длину AB, если b = 20 см, а β = 70°.

AC является катетом, противолежащим углу β. Значит нахождение гипотенузы сводится к отношениям:

Ответ: АВ = 21,3 см.

В интернете есть онлайн калькуляторы для оперативного расчета величины. Но целесообразно ими пользоваться разве что при значительном объеме вычислений. Ведь формулы довольно просты.

Связанные с упомянутыми фигурами задачи распространены в реальной жизни. Приведенные уравнения призваны помочь в решении.

[spoiler title=”источники:”]

http://colibrus.ru/gipotenuza-treugolnika/

http://nauka.club/matematika/geometriya/gipotenuza.html

[/spoiler]

Как вычислить гипотенузу в прямоугольном треугольнике

Если один из углов в треугольнике равен 90°, значит, две прилегающие к нему стороны можно называть катетами, а сам треугольник – прямоугольным. Третью сторону в такой фигуре называют гипотенузой, и с ее длиной связан самый, пожалуй, известный на нашей планете математический постулат – теорема Пифагора. Однако для вычисления длины этой стороны можно использовать не только ее.

Инструкция

Теорему Пифагора используйте для нахождения длины гипотенузы (с) треугольника с известными величинами обоих катетов (a и b). Вам нужно возвести их размеры в квадрат и сложить, а из получившегося результата извлеките квадратный корень: c = √(a²+b²).

Если кроме размеров обоих катетов (a и b) в условиях дана высота (h), опущенная на гипотенузу (c), необходимость в вычислении степеней и корней отпадет. Перемножьте длины коротких сторон и разделите результат на высоту: c = a*b/h.

При известных величинах углов в вершинах прямоугольного треугольника, примыкающих к гипотенузе, и длине одного из катетов (a), воспользуйтесь определениями тригонометрических функций – синуса и косинуса. Выбор одной из них зависит от взаимного расположения известного катета и задействованного в расчетах угла. Если катет лежит напротив угла (α), исходите из определения синуса – длина гипотенузы (c) должна быть равна произведению длины этого катета на синус противолежащего угла: c = a*sin(α). Если же задействован угол (β), примыкающий к известному катету, используйте определение косинуса – умножайте длину стороны на косинус прилежащего к ней угла: c = a*cos(β).

Знание радиуса (R) описанной около прямоугольного треугольника окружности делает вычисление длины гипотенузы (c) очень простой задачей – просто увеличьте эту величину вдвое: c = 2*R.

Медиана по определению делит пополам сторону, на которую она опущена. Как следует из предыдущего шага, половина гипотенузы равна радиусу описанной окружности. Поскольку вершина, из которой на гипотенузу может быть опущена медиана, тоже обязана лежать на описанной окружности, длина этого отрезка равна радиусу. Значит, если длина медианы (f), опущенной из прямого угла, известна, для вычисления размера гипотенузы (c) можно использовать формулу, аналогичную предыдущей: c = 2*f.

Источники:

• формула длины гипотенузы в прямоугольном треугольнике

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?