Гипотенуза — сторона в прямоугольном треугольнике, находящаяся напротив прямого угла. Две других стороны — катеты. В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее катетов.
Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (формула: c² = a² + b², где c — гипотенуза, a и b — катеты). Очень часто для вычисления гипотенузы используется именно эта теорема.
Как найти гипотенузу?
Как найти гипотенузу, зная катеты?
Если известны оба катета (две другие стороны прямоугольного треугольника), можно применить Теорему Пифагора.
Теорема Пифагора — в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Формула: c² = a² + b² (при c — гипотенуза, a и b — катеты).
Например:
Один катет равен 3 см, другой — 4 см. Таким образом, а = 3, b = 4, подставляем в формулу:
c² = 3² + 4² <=> c² = 9 + 16 <=> c² = 25 <=> c = √25 <=> c = 5.
Ответ: длина гипотенузы 5 см (или x = 5).
Как найти катет в прямоугольном треугольнике
По той же формуле можно найти и длину одного неизвестного катета, нужно только немного её изменить:
Начальная формула: c² = a² + b² (при c — гипотенуза, a и b — катеты), и найти катет можно по этой:
Например: Один катет равен 3 см, а гипотенуза — 5 см. Нужно узнать длину второго катета.
Применяем формулу b = √c² — a² ⇔
b = √5² — 3² ⇔ b = √25 — 9 ⇔ b = √16 ⇔ b = 4.
Как найти гипотенузу, зная катет и угол?
Если есть противолежащий катет — теорема синусов
Если в условии задачи дан угол и противолежащий катет, то ищем гипотенузу по Теореме синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
Примечание: гипотенуза есть только в прямоугольном треугольнике, однако теорему синусов можно применять к любым треугольникам (не только к прямоугольным).
Формула:
Например:
Известна одна сторона треугольника 𝐴𝐶 = √2 и ∠β = 45º.
∠α = 90º (т.к. мы ищем гипотенузу, то второй угол в треугольнике прямой, значит имеет 90º).
Так как во всех треугольниках сумма всех углов равна 180º, то можем узнать оставшийся ∠c.
Значит: ∠c = 180º — (90º + 45º) = 45º.
Подставляем в формулу (a/sinα = b/sinβ = c/sinγ) известные:
BC/sin90º = AC/sin45º = AB/sin45º
В таблице вы найдёте значения для синуса:
| sin 45º | √2/2 |
| sin 60º | √3/2 |
| sin 90º | 1 |
В условии задачи нам дано: 𝐴𝐶 = √2, значит:
BC/sin90º = √2/sin45º = AB/sin45º
Подставляем значения синуса из таблицы:
BC/1 = √2/(√2/2) = AB/(√2/2) (забудем на время про катет AB) ⇔
BC = √2/(√2/2) ⇔ BC = 2 (гипотенуза равна 2)
Если хотите вычислить катет, уже зная другой катет и гипотенузу:
AB/(√2/2) = 2 ⇔ AB = √2
Ответ: гипотенуза BC равна 2 см, а катет AB √2 см.
Если есть прилежащий катет — по косинусу
Если в условии задачи дан угол и прилежащий катет, то ищем гипотенузу по косинусу (в прямоугольном треугольнике, косинус острого угла (cos) — это отношение прилежащего катета (b) к гипотенузе(c), таким образом cos a = b/c, из этого получается c = b / cos α).
Т.е. гипотенуза (c) = прилежащий катет (b) / косинус угла или c = b / cos α.
Например:
Известна одна сторона треугольника AB = 1 и ∠β = 45º. Нужно вычислить гипотенузу (BC).
Помним, что гипотенуза (c) = прилежащий катет (b) / косинус угла или c = b / cos α. Т.е.: BC = AB / cosβ ⇔ BC = 1/ cos 45º.
Смотрим в таблице, чему равен cos 45º.
BC = 1/ (√2/2) = √2
Ответ: гипотенуза BC равна √2 см.
Как найти гипотенузу равнобедренного треугольника
В равнобедренном треугольнике есть гипотенуза только в том случае, если он одновременно и прямоугольный, т.к. гипотенуза есть только в прямоугольных треугольниках (и его основание будет гипотенузой).
Чтобы найти такую гипотенузу, нужно любой из двух одинаковых катетов возвести в квадрат, умножить на 2 и посчитать квадратный корень: b = √2a² (где b — гипотенуза, а — катет). Это следствие из теоремы Пифагора.
Например:
Катет равнобедренного треугольника равен 7см. Нужно найти гипотенузу.
Формула b = √2a². Подставляем:
b = √2*7² = √2*49 ≈ √98 ≈ 9.899
Если забудете эту формулу, можно использовать уже знакомую формулу Пифагора для гипотенузы (c² = a² + b²):
c² = a² + b²
c² = 7² + 7²
c² = 49 + 49
c² = 98
c = √98
c ≈ 9.899
Ответ: гипотенуза равна 9.899.
Узнайте больше про Теорему Пифагора, Теорему косинусов, а также, что такое Тангенс и Аксиома.
Как найти гипотенузу равнобедренного треугольника
Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны между собой. Равные стороны называются боковыми, а последняя – основанием. Треугольник называется прямоугольным, если удин из углов прямой, то есть равен 90 градусам. Сторона, лежащая против угла в девяносто градусов, называется гипотенузой, а две другие – катетами.
Вам понадобится
- Знания по геометрии.
Инструкция
По теореме Пифагора квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Так как дан равнобедренный треугольник, то он обладает рядом свойств, одно из которых гласит, что углы при основании равнобедренного треугольника равны. Также любой треугольник обладает тем свойством, что сумма всех его углов равна 180 градусам. Из этих двух свойств следует, что прямой угол в равнобедренном треугольнике может лежать только напротив основания, а значит, основание такого треугольника является гипотенузой, а боковые стороны катетами.
Пусть дана длина боковой стороны равнобедренного треугольника a = 3. Так как боковые стороны в равнобедренном треугольнике равны, то и вторая сторона равна тоже трем a = b = 3. На предыдущем шаге было показано, что боковые стороны являются катетами, если равнобедренным треугольник еще и прямоугольный. Воспользуемся теоремой Пифагора, для нахождения гипотенузы: с^2 = a^2 + b^2. Так как a = b, то формула запишется в следующем виде: с^2 = 2*a^2.
Подставим значение длины стороны в полученную формулу и получим ответ – длину гипотенузы. с^2 = 2 * 3^2 = 18. Значит, квадрат гипотенузы равен 18. Извлечем квадратный корень из 18 и получим, чему равна гипотенуза: с = 4.24. Таким образом получили, что при длине боковой стороны равнобедренного прямоугольного треугольника равной 3, длина гипотенузы составляет 4.24.
Обратите внимание
Длина гипотенузы, как и всякая длина, всегда величина неотрицательная.
Полезный совет
Из того, что треугольник равнобедренный и прямоугольный следует, что его площадь равна половина площади квадрата со стороной равной длине боковой стороны, а основание такого треугольника равно диагонали такого квадрата.
Источники:
- что называется гипотенузой треугольника
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Если ТРЕУГОЛЬНИК прямоугольный -то
По теореме Пифагора находят . Она гласит – “Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов ” ,
если же угол не равен 90 градусов, то через угол между катетами . .
ВИКИПЕДИЯ
Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны между собой. Равные стороны называются боковыми, а последняя – основанием. По определению, правильный треугольник также является равнобедренным, но обратное утверждение неверно.
Свойства
* Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой. Также равны биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов.
* Биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию, совпадают между собой. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на этой линии.
* Углы, противолежащие равным сторонам, всегда острые (следует из их равенства) .
Пусть a — длина двух равных сторон равнобедренного треугольника, b — длина третьей стороны, α и β — соответствующие углы, R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной.
Стороны могут быть найдены следующим образом:
* a = 2Rsinα,b = 2Rsinβ (теорема синусов) ;
* a = frac b {2 cos alpha} (следствие теоремы косинусов) ;
* b = a sqrt {2 (1 – cos beta)} (следствие теоремы косинусов) ; ПЕРЕСКАЗЫВАЮ 2 УМНОЖЕННОЕ НА КОРЕНЬ ИЗ ДВУХ УМНОЖЕННЫХ НА ЕДИНИЦУ МИНУС УГОЛ БЕТА В СКОБКАХ –
* b = 2a sin frac beta 2 ; ДВА А УМНОЖЕННЫЕ НА СИНУС БЕТА ПОПОЛАМ
* b = 2acosα (теорема о проекциях) . ДВА А УМНОЖЕННЫЕ НА КОСИНУС АЛЬФА
Гипотенуза — формула, правила и примеры вычислений
Слово «гипотенуза» со школьных времен у многих вызывает негативные ассоциации. Добавим загадочного и непонятного. Происходит от греческого «ὑποτείνουσα».
А ведь означает всего-навсего «вытянутый». И речь идет о простейшей форме треугольника – прямоугольной (рис. 1).
Гипотенузой называют сторону напротив прямого угла. Самую протяженную. В данном случае – с. Остальные составляющие – катеты.
Простыми фигурами интересовались древние строители Вавилона и Египта. А особенно – землемеры. Еще бы: ведь основа любой цивилизации – распределение угодий и налоги.
Считается, что теоретическая база была доказательно предложена Пифагором в V-м веке до н. э. Хотя, скорее всего, это было сделано ранее.
Теорема Пифагора
Сумма квадратов катетов составляет квадрат гипотенузы:
Верно и обратное утверждение. Треугольник, удовлетворяющий приведенному равенству – прямоугольный.
Формула верна только в Евклидовой геометрии, где параллельные прямые не пересекаются.
Утверждение приведено в современной интерпретации. В оригинале выглядит несколько по-другому: площадь квадрата, построенного на гипотенузе, идентична сумме площадей квадратов, построенных на катетах (рис. 2).
Существует масса способов доказательства. В том числе весьма сложных. А попадаются удивительно изящные, как например, на рисунке 3:
В тригонометрии
Построим на плоскости прямоугольную систему координат с единичной (с радиусом, равным 1) окружностью с центром в точке (0; 0). B – пересечение угла α и кривой (рис. 4).
На оси абсцисс X отмечается cos α; на оси ординат Y – sin α.
В получившемся прямоугольном треугольнике отрезок 0B является гипотенузой. Учитывая доказанную теорему, выводим основное равенство математической дисциплины:
sin 2 α + cos 2 α = 1
Гипотенуза прямоугольного треугольника
Связана со сторонами следующими соотношениями (см. рис. 1):
a – противолежащий α катет;
Величины sin α и cos α меньше либо равны 1, что очевидно из рис. 4. Но в треугольнике не может быть два прямых угла. Как не может быть нулевого.
Это означает, что гипотенуза – всегда наибольшая сторона треугольника, т. е.
Гипотенуза равнобедренного треугольника
В такой фигуре катеты равны и являются сторонами прямого угла (рис. 5). Расчет гипотенузы c производится по формуле теоремы Пифагора.
Нетрудно заметить, что углы α = 45°. Поскольку сумма всех равна 180°.
Пример решения задачи
Дан прямоугольный треугольник ABC (рис. 1). Рассчитайте длину AB, если b = 20 см, а β = 70°.
AC является катетом, противолежащим углу β. Значит нахождение гипотенузы сводится к отношениям:
Ответ: АВ = 21,3 см.
В интернете есть онлайн калькуляторы для оперативного расчета величины. Но целесообразно ими пользоваться разве что при значительном объеме вычислений. Ведь формулы довольно просты.
Связанные с упомянутыми фигурами задачи распространены в реальной жизни. Приведенные уравнения призваны помочь в решении.
Равнобедренный прямоугольный треугольник
Средняя оценка: 4.1
Всего получено оценок: 274.
Средняя оценка: 4.1
Всего получено оценок: 274.
И равнобедренный, и прямоугольный треугольник достаточно привычны любому, кто знаком с геометрией. Сочетание этих признаков встречается довольно редко и плохо поддается визуальному восприятию. Не всегда можно представить полный набор свойств такого треугольника, поэтому поговорим о нем более подробно.
Определение
Равнобедренный треугольник – это треугольник, боковые стороны которого равны. Прямоугольный треугольник содержит в себе прямой угол. Значит равнобедренный прямоугольный треугольник – это прямоугольный треугольник, катеты которого равны.
Гипотенуза прямоугольного треугольника всегда больше катета. Это следует из теоремы о соотношениях сторон и углов треугольника. Значит, в прямоугольном треугольнике только гипотенуза может быть основанием, а величина гипотенузы будет соответствовать длине основания.
Свойства
Поговорим подробнее о свойствах и формулах. Не совсем ясно, как будут проходить высоты в таком треугольнике, все привыкли пользоваться свойством, которое говорит о том, что в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, совпадает с медианой и биссектрисой.
В равнобедренном прямоугольном треугольнике такая высота всегда будет направлена из прямого угла к гипотенузе. А две другие высоты будут совпадать с катетами.
Рис. 2. Высота прямоугольного равнобедренного треугольника
Если к гипотенузе прямоугольного равнобедренного треугольника провести высоту, то она разделит треугольник на два, равных между собой, равнобедренных прямоугольных треугольника.
Теорема Пифагора для равнобедренного треугольника выглядит немного упрощенной:
Квадрат гипотенузы равен удвоенному квадрату катета. Это значительно упрощает решение.
Вообще, любые задачи, связанные с прямоугольными равнобедренными треугольниками, решаются очень просто. Любого значения достаточно, чтобы определить все остальное. Значения любого из катетов достаточно, чтобы определить гипотенузу через упрощенную теорему Пифагора, а затем найти периметр и площадь прямоугольного равнобедренного треугольника.
Через гипотенузу можно найти катет и через тригонометрическую функцию, так как все углы прямоугольного равнобедренного треугольника заранее известны: один угол 90 градусов и два по 45.
Рис. 3. Углы прямоугольного равнобедренного треугольника
Разберем подробно, почему известны все углы. В любом прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 градусам. Это следует из общей суммы углов в треугольнике, которая всегда равна 180 градусам.
При этом углы при основании равнобедренного треугольника, а в нашем случае это всегда гипотенуза, всегда равны. Значит, чтобы найти каждый из острых углов при гипотенузе, нужно их сумму, т.е. 90 градусов, разделить пополам. Получается, что каждый из углов при гипотенузе прямоугольного равнобедренного треугольника будет равен 45 градусам.
Можно рассмотреть это свойство и с другой стороны: если сумма двух углов треугольника равняется 90 градусам и эти углы равны между собой, то этот треугольник является равнобедренным и прямоугольным.
Из этого же свойства вытекает равенство синусов и косинусов острых углов прямоугольного равнобедренного треугольника между собой, а также равенство их тангенсов и котангенсов.
То есть, синус любого острого угла прямоугольного равнобедренного треугольника равен косинусу любого острого угла данного треугольника и равен $$<sqrt<2>over2>$$. Тангенс любого острого угла прямоугольного равнобедренного треугольника равен котангенсу любого острого угла данного треугольника и равен 1.
Что мы узнали?
Мы подробно поговорили о всех взаимосвязях свойств прямоугольного и равнобедренного треугольника. А также о том, как эти связи проявляются в равнобедренном прямоугольном треугольнике. Разобрали в подробностях, почему любые задачи на нахождение параметров прямоугольного равнобедренного треугольника легко решаются и выделили основную и единственную проблему в решениях таких задач: трудность визуального восприятия.
Гипотенуза – формула, правила и примеры вычислений
Слово «гипотенуза» со школьных времен у многих вызывает негативные ассоциации. Добавим загадочного и непонятного. Происходит от греческого «ὑποτείνουσα».
А ведь означает всего-навсего «вытянутый». И речь идет о простейшей форме треугольника – прямоугольной (рис. 1).
Гипотенузой называют сторону напротив прямого угла. Самую протяженную. В данном случае – с. Остальные составляющие – катеты.
Простыми фигурами интересовались древние строители Вавилона и Египта. А особенно – землемеры. Еще бы: ведь основа любой цивилизации – распределение угодий и налоги.
Считается, что теоретическая база была доказательно предложена Пифагором в V-м веке до н. э. Хотя, скорее всего, это было сделано ранее.
Теорема Пифагора
Сумма квадратов катетов составляет квадрат гипотенузы:
Верно и обратное утверждение. Треугольник, удовлетворяющий приведенному равенству – прямоугольный.
Формула верна только в Евклидовой геометрии, где параллельные прямые не пересекаются.
Утверждение приведено в современной интерпретации. В оригинале выглядит несколько по-другому: площадь квадрата, построенного на гипотенузе, идентична сумме площадей квадратов, построенных на катетах (рис. 2).
Существует масса способов доказательства. В том числе весьма сложных. А попадаются удивительно изящные, как например, на рисунке 3:
В тригонометрии
Построим на плоскости прямоугольную систему координат с единичной (с радиусом, равным 1) окружностью с центром в точке (0; 0). B – пересечение угла α и кривой (рис. 4).
На оси абсцисс X отмечается cos α; на оси ординат Y – sin α.
В получившемся прямоугольном треугольнике отрезок 0B является гипотенузой. Учитывая доказанную теорему, выводим основное равенство математической дисциплины:
sin 2 α + cos 2 α = 1
Гипотенуза прямоугольного треугольника
Связана со сторонами следующими соотношениями (см. рис. 1):
a – противолежащий α катет;
Величины sin α и cos α меньше либо равны 1, что очевидно из рис. 4. Но в треугольнике не может быть два прямых угла. Как не может быть нулевого.
Это означает, что гипотенуза – всегда наибольшая сторона треугольника, т. е.
Гипотенуза равнобедренного треугольника
В такой фигуре катеты равны и являются сторонами прямого угла (рис. 5). Расчет гипотенузы c производится по формуле теоремы Пифагора.
Нетрудно заметить, что углы α = 45°. Поскольку сумма всех равна 180°.
Пример решения задачи
Дан прямоугольный треугольник ABC (рис. 1). Рассчитайте длину AB, если b = 20 см, а β = 70°.
AC является катетом, противолежащим углу β. Значит нахождение гипотенузы сводится к отношениям:
Ответ: АВ = 21,3 см.
В интернете есть онлайн калькуляторы для оперативного расчета величины. Но целесообразно ими пользоваться разве что при значительном объеме вычислений. Ведь формулы довольно просты.
Связанные с упомянутыми фигурами задачи распространены в реальной жизни. Приведенные уравнения призваны помочь в решении.
[spoiler title=”источники:”]
http://obrazovaka.ru/matematika/ravnobedrennyy-pryamougolnyy-treugolnik-ploschad.html
http://nauka.club/matematika/geometriya/gipotenuza.html
[/spoiler]
В повседневной жизни каждому человеку время от времени приходится решать задачи из школьной программы. Несмотря на то что многие в детстве считали эти знания ненужными, сейчас все понимают, что были неправы. Например, в любой момент может понадобиться найти длину гипотенузы равнобедренного треугольника, формулу расчета которой несложно вывести самостоятельно. Для этого следует вспомнить законы геометрии.
Оглавление:
- Теорема Пифагора
- Как вычислить формулу
- Вопрос на засыпку
Законы геометрии
В первую очередь надо определиться с терминами. Чтобы в дальнейшем было понятно, что означают те или иные геометрические понятия, необходимо вспомнить следующие определения:
- треугольник;
- сторона;
- угол;
- бедро;
- равнобедренный;
- равносторонний;
- прямоугольный;
- гипотенуза;
- катет;
- теорема.
Треугольник – это замкнутая геометрическая фигура, состоящая из трех точек, соединенных последовательно тремя отрезками, которые являются сторонами этой фигуры. Прямые, исходящие из одной точки, образуют угол.
Каждый треугольник состоит из трех сторон. Исходящие из одной вершины стороны называются бедрами, поэтому фигура, у которой минимум две стороны имеют равную длину, называется равнобедренной. В случае когда все стороны фигуры равны, она называется равносторонним треугольником.
Треугольник, в котором есть прямой угол, называется прямоугольным. Прямым в геометрии называется угол в 90 градусов. Поскольку в каждой треугольной фигуре сумма всех углов равна 180 градусов, то в ней может быть только один прямой угол. Гипотенуза в переводе с греческого языка означает «натянутая» – это сторона треугольника, которая лежит напротив прямого угла.
Катет – это одна из двух других сторон прямоугольного треугольника, тоже греческое слово, которое в переводе означает опущенный, отвесный или перпендикуляр. Катеты одновременно являются бедрами, а в равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза служит еще и основанием.
Теорема – это истина, которую надо доказать. Одно из самых известных и значимых правил геометрии – это теорема Пифагора.
Теорема Пифагора
Древнегреческий математик и философ Пифагор, если верить историкам, первым нашел правильный расчет соотношения размеров длин катетов и гипотенузы. Согласно теореме Пифагора, длина гипотенузы в квадрате равна сумме длин катетов, возведенных в квадрат. Можно кратко описать теорему, обозначив гипотенузу буквой Г, а катеты — К1 и К2:
Г2 =К12 + К22
Как вычислить формулу
Если довериться логике и Пифагору, то легко высчитать, что размер самой длинной стороны треугольника будет равен квадратному корню из суммы квадратов двух меньших сторон. Если учесть, что в равнобедренном треугольнике катеты равны, то формулу можно усовершенствовать.
Гипотенузу равнобедренного треугольника можно рассчитать путем вычисления квадратного корня из квадрата длины катета, умноженного на два.
Вопрос на засыпку
Чтобы ответить на вопрос, как найти гипотенузу равностороннего треугольника, надо вспомнить, чему равен каждый его угол. При любой длине сторон в этой фигуре, сумма всех углов неизменна и равна 180 градусов, соответственно каждый из них в этой фигуре равен 60 градусов. Прямого угла в такой фигуре не может быть по определению, поэтому нет и гипотенузы. Значит, поставленный вопрос некорректен и не имеет ответа.
Практическое применение
В каких сферах повседневной жизни может понадобиться знание формулы? Эта тема находит практическое применение в архитектуре, строительстве, физике, математике, астрономии и других областях народного хозяйства, например:
- Для дизайнера, работающего над планировкой дома или квартиры, важно знать, является ли конкретный угол прямым. Высчитав длину всех сторон, можно сделать вывод о размере угла.
- В организациях, занимающихся оптовой торговлей или транспортными услугами, для правильного построения логистической схемы распределения товара между розничными точками порой необходимо рассчитывать самые краткие и оптимальные пути передвижения между различными объектами.
- На даче или огороде можно правильно рассчитать длину лестницы, необходимой для установки на определенную высоту под определенным углом, чтобы легко взбираться на мансарду или чердак.
Если внимательно оглядеться вокруг, можно различить большое количество разнообразных геометрических фигур.
Где геометрия, там и возможности использовать ее правила и формулы расчетов, в том числе и формулу длины гипотенузы.
