Как найти гипотенузу зная биссектрису

Да, можно опустить высоту. Да, можно по теореме Пифагора. Но! Посчитайте количество действий…

Ну и не придумать бы что-то свежее? Конечно, такой универсальный способ — «манит», понимаю, всё равно пару таких решений в комментариях жду. Ещё варианты, надеюсь, тоже будут! Хорошо, если несколько. Но а пока условие, а там и подсказки (если они кому необходимы).

Условие

Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника с острым углом, равным 30°, если известно, что биссектриса, проведенная из вершины прямого угла, равна а.

Подсказки

В треугольнике ADC можно найти сторону напротив угла 45° (биссектриса делит прямой угол пополам) по теореме синусов. А потом ещё раз использовать биссектрису, только теперь её свойство — то, как она делит гипотенузу (в каком отношении).

Важно вспомнить «расширенное» свойство угла 30°, с ним всё будет сильно проще/быстрее.

#огэ по математике #егэ по математике #школьное образование #задачи по математике #геометрические фигуры

Решение

Пусть CD — биссектриса прямоугольного треугольника ABC, проведённая из вершины C прямого угла, A = 30^o, CD = a. Из треугольника CBD по теореме синусов находим, что

= ,

откуда

BD = = = .

Аналогично из треугольника CAD находим, что AD = a. Следовательно,

AB = BD + AD = + a = .

Ответ

.

Вычислить можно, но через корень кубического уравнения.

Пусть $%a$%, $%b$% — катеты, $%c$% — гипотенуза, $%x$% и $%y$% — биссектрисы, проведённые к катетам длиной $%a$%, $%b$% соответственно. Углы, противолежащие $%a$%, $%b$% обозначим соответственно через $%alpha$% и $%beta$%. Ясно, что $%beta=pi/2-alpha$%.

Положим $%t={rm tg,}alpha/2$%. Согласно хорошо известным формулам, $$cos(alpha/2)=frac1{sqrt{1+t^2}}, sin(alpha/2)=frac{t}{sqrt{1+t^2}}, cosalpha=frac{1-t^2}{1+t^2}, sinalpha=frac{2t}{1+t^2}.$$ Заметим, что $%cos(beta/2)=cos(pi/4-alpha/2)=(cos(alpha/2)+sin(alpha/2))/sqrt{2}=(1+t)/sqrt{2(1+t^2)}$%.

Выразим длины биссектрис через $%c$% и $%t$%: $$x=frac{b}{cos(alpha/2)}=ccdotfrac{cosalpha}{cos(alpha/2)}=ccdotfrac{1-t^2}{sqrt{1+t^2}};$$

$$y=frac{a}{cos(beta/2)}=ccdotfrac{sinalpha}{cos(beta/2)}=ccdotfrac{2t}{1+t^2}cdotfrac{sqrt{2(1+t^2)}}{1+t}=2sqrt{2}ccdotfrac{t}{(1+t)sqrt{1+t^2}}.$$ Отсюда следует, что имеет место равенство $$frac{2sqrt{2}x}{y}=frac{(1+t)(1-t^2)}t.$$ Функция от $%t$% в правой части равенства, определённая на $%(0;1)$%, монотонно убывает на этом интервале, принимая ровно по разу каждое из положительных значений. Решая кубическое уравнение относительно $%t$% для заданных $%x$%, $%y$%, мы однозначно находим $%t$%, а затем находим $%c$%, пользуясь формулой, которая выражает $%x$% через $%c$% и $%t$%.

Легко проверяется, что по любым положительным $%x$%, $%y$% однозначно восстанавливается соответствующий треугольник. Действительно, значению $%t$% из интервала $%(0;1)$% однозначно соответствует острый угол $%alpha$%, тангенс половинного угла которого равен $%t$%. Далее строится треугольник с заданным острым углом и гипотенузой, и все выписанные здесь формулы обращаются в верные равенства.