Как найти главное значение аргумента комплексного числа

Как найти главное значение аргумента комплексного числа

Комплексные числа в тригонометрической
и показательной формах

Тригонометрическая форма комплексного числа

Каждому комплексному числу z=x+iy геометрически соответствует точка M(x,y) на плоскости Oxy. Но положение точки на плоскости, кроме декартовых координат (x,y), можно зафиксировать другой парой — ее полярных координат (r,varphi) в полярной системе (рис. 1.3,a).

Величина r является неотрицательной и для данной точки определяется единственным образом, а угол varphi может принимать бесчисленное множество значений (при этом zne0): если точке соответствует некоторое значение varphi_0, то ей также соответствуют значения varphi=varphi_0+2kpi,~ k=0,pm1,pm2,ldots. Например, если для точки z=-1-i (см. рис. 1.1) выбрать varphi_0=frac{5pi}{4}, то ей соответствует любое varphi=frac{5pi}{4}+2kpi,~ k=0,pm1,ldots, в частности varphi=-frac{3pi}{4} при k=-1. Если же выбрать varphi_0=-frac{3pi}{4}, то varphi=-frac{3pi}{4}+2kpi,~ k=0,pm1,ldots, а при k=1 получаем varphi=frac{5pi}{4}.

Положение точки на плоскости в полярных координатах

Используя связь декартовых и полярных координат точки Mcolon begin{cases} x=rcosvarphi,\ y=rsinvarphiend{cases} (рис. 1.3,б), из алгебраической формы записи комплексного числа z=x+iy получаем тригонометрическую форму:

z=r bigl(cosvarphi+isinvarphibigr).

(1.3)

Показательная форма комплексного числа

Если обозначить комплексное число z, у которого operatorname{Re}z= cosvarphi, а operatorname{Im}z=sinvarphi, через e^{i,varphi}, то есть cosvarphi+isinvarphi=e^{i,varphi}, то из (1.3) получим показательную форму записи комплексного числа:

z=r,e^{i,varphi}.

(1.4)

Равенство e^{i,varphi}= cosvarphi+isinvarphi называется формулой Эйлера.

Заметим, что геометрически задание комплексного числа z=(r,varphi) равносильно заданию вектора overrightarrow{OM}, длина которого равна r, то есть bigl|overrightarrow{OM}bigr|=r, а направление — под углом varphi к оси Ox (рис. 1.3,б).

Модуль комплексного числа

Число r — длина радиуса-вектора точки M(x,y) называется модулем комплексного числа z=x+iy. Обозначение: |z|=r.

Из рис. 1.3,б получаем формулу для нахождения модуля числа, заданного и алгебраической форме z=x+iycolon

|z|=sqrt{x^2+y^2},.

(1.5)

Геометрический смысл модуля комплексного числа

Очевидно, что |z|geqslant0 и |z|=0 только для числа z=0~(x=0,,y=0).

С помощью правила вычитания запишем модуль числа z=z_1-z_2, где z_1=x_1+iy_1 и z_2=x_2+iy_2,colon

bigl|z_1-z_2bigr|= sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2},.

А это, как известно, есть формула для расстояния между точками M_1(x_1,y_1) и M_2(x_2,y_2).

Таким образом, число |z_1-z_2| есть расстояние между точками z_1 и z_2 на комплексной плоскости.

Пример 1.13. Найти модули комплексных чисел:

bold{1)}~z_1=2,~z_2=-2+sqrt{3},;qquad bold{2)}~z_3=-2i,~ z_4=(2-sqrt{3})i,;qquad bold{3)}~ z_5=-1+2i,.

Решение

Аргумент комплексного числа

Полярный угол varphi точки M(x,y) называется аргументом комплексного числа z=x+iy. Обозначение: varphi=arg z.

В дальнейшем, если нет специальных оговорок, под arg z будем понимать значение varphi, удовлетворяющее условию -pi<varphileqslantpi. Так, для точки z=-1-i (см. рис. 1.1) arg z=-frac{3pi}{4}.

Формулу для нахождения аргумента комплексного числа z=x+iy, заданного в алгебраической форме, получаем, используя связь декартовых и полярных координат точки M(x,y) (см. рис. 1.3,б). Для точек, не лежащих на мнимой оси, т.е. для z, у которых xne0, получаем operatorname{tg}varphi= frac{y}{x}; для точек мнимой положительной полуоси, т.е. для z, у которых x=0,~ y>0, имеем varphi=frac{pi}{2}; для точек мнимой отрицательной полуоси, т.е. для z, у которых x=0,~ y<0, соответственно varphi=-frac{pi}{2}.

Аргумент числа z=0 — величина неопределенная.

Нахождение аргумента при xne0 сводится к решению тригонометрического уравнения operatorname{tg}varphi= frac{y}{x}. При y=0, т.е. когда z=x — число действительное, имеем varphi=0 при x>0 и varphi=pi при x<0. При yne0 решение уравнения зависит от четверти плоскости Oxy. Четверть, в которое расположена точка z, определяется по знакам operatorname{Re}z и operatorname{Im}z. В результате получаем:

Аргумент комплексного числа

arg z= begin{cases}operatorname{arctg}dfrac{y}{x},& x>0;\ pi+operatorname{arctg}dfrac{y}{x},& x<0,ygeqslant0;\ -pi+operatorname{arctg}dfrac{y}{x},& x<0,y<0;\ dfrac{pi}{2},& x=0,~y>0;\ -dfrac{pi}{2},& x=0,~y<0.end{cases}

(1.6)

При решении примеров удобно пользоваться схемой, которая изображена на рис. 1.5.

Пример 1.14. Найти аргументы чисел из примера 1.13.

Решение

Пример 1.15. Найти модуль и аргумент числа z=2-i.

Решение. Находим |z|=sqrt{2^2+(-1)^2}= sqrt{5}. Так как operatorname{Re}z=2>0,~ operatorname{Im}z=-1<0, т.е. точка расположена в четвертой четверти, то из равенства operatorname{tg}varphi=-frac{1}{2} получаем varphi= operatorname{arctg}!left(-frac{1}{2}right) (рис. 1.5).

Главное значение аргумента комплексного числа

Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно. Это следует из неоднозначности задания величины угла varphi для данной точки, а также из тригонометрической формы записи комплексного числа и свойства периодичности функций sinvarphi и cosvarphi.

Всякий угол, отличающийся от arg z на слагаемое, кратное 2pi, обозначается operatorname{Arg}z и записывается равенством:

operatorname{Arg}z=arg z+2kpi,quad k=0,pm1,pm2,ldots,

(1.7)

где arg z — главное значение аргумента, -pi<arg zleqslantpi.

Комплексные числа с нулевыми вещественными и мнимыми частями

Пример 1.16. Записать arg z и operatorname{Arg}z для чисел z_1=1,~ z_2=-1,~ z_3=i,~ z_4=-i.

Решение. Числа z_1 и z_2 — действительные, расположены на действительной оси (рис. 1.6), поэтому

arg z_1=0,~~ operatorname{Arg}z_1=2kpi;qquad arg z_2=pi,~~ operatorname{Arg}z_2= pi+2kpi,quad k=0,pm1,pm2,ldots;

числа z_3 и z_4 — чисто мнимые, расположены на мнимой оси (рис. 1.6), поэтому

arg z_3=frac{pi}{2},~~ operatorname{Arg}z_3=frac{pi}{2}+2kpi;qquad arg z_4=-frac{pi}{2},~~ operatorname{Arg}z_4= -frac{pi}{2}+2kpi,quad k=0,pm1, pm2,ldots

Пример 1.17. Записать комплексные числа из примера 1.16:

а) в тригонометрической форме;

б) в показательной форме.

Решение

Модули всех чисел, очевидно, равны 1. Поэтому, используя решение предыдущего примера и формулы (1.3) и (1.4), получаем:

а) 1=cos2kpi+ isin2kpi;~~ -1=cos(pi+2kpi)+ isin(pi+2kpi);~~ k=0,pm1,pm2,ldots

i=cos!left(frac{pi}{2}+2kpiright)+ isin!left(frac{pi}{2}+2kpiright);quad -i=cos!left(-frac{pi}{2}+2kpiright)+ isin!left(-frac{pi}{2}+2kpiright);

б) 1=e^{2kpi i};~~ -1=e^{(pi+2kpi)i};~~ i=e^{left(frac{pi}{2}+2kpiright)i};~~ -i=e^{left(-frac{pi}{2}+2kpiright)i},~~ k=0,pm1,pm2,ldots.

Пример 1.18. Записать в тригонометрической форме числа z_1=-1-i,~ z_2=cosfrac{pi}{5}-isinfrac{pi}{5},~ z_3= ileft(cosfrac{pi}{5}-isinfrac{pi}{5}right).

Решение

Числа z_1 и z_2 записаны в алгебраической форме (заметим, что заданная запись числа z_2 не является тригонометрической формой записи (сравните с (1.3)). Находим модули чисел по формуле (1.5):

|z_1|= sqrt{(-1)^2+(-1)^2}= sqrt{2},,qquad |z_2|=sqrt{cos^2 frac{pi}{5}+ left(-sin frac{pi}{5}right)^2}=1.

Далее находим аргументы. Для числа z_1 имеем operatorname{tg}varphi=1 и, так как operatorname{Re}z_1<0,~ operatorname{Im}z_1<0 (точка расположена в третьей четверти), получаем arg z_1=-pi+frac{pi}{4}=-frac{3pi}{4} (см. рис. 1.5). Для числа z_2 имеем operatorname{tg}varphi=-operatorname{tg}frac{pi}{5}, или operatorname{tg}varphi= operatorname{tg}left(-frac{pi}{5}right), и, так как operatorname{Re}z_2>0,~ operatorname{Im}z_2<0 (точка расположена в четвертой четверти (см. рис. 1.5)), получаем arg z_2=-frac{pi}{5}.

Записываем числа z_1 и z_2 в тригонометрической форме

begin{gathered}z_1= sqrt{2} left[cosleft(-frac{3pi}{4}+2kpiright)+ isinleft(-frac{3pi}{4}+2kpiright)right];\[5pt] z_2= cosleft(-frac{pi}{5}+2kpiright)+ isinleft(-frac{pi}{5}+ 2kpiright)!,quad k=0,pm1,pm2,ldots end{gathered}

Заметим, что для числа z_2 решение можно найти иначе, а именно используя свойства тригонометрических функций: cosalpha=cos(-alpha),~ -sinalpha=sin(-alpha).

Число z_3 является произведением двух чисел. Выполнив умножение, получим алгебраическую форму записи (найдем operatorname{Re}z_3 и operatorname{Im}z_3): z_3=sin frac{pi}{5}+ icos frac{pi}{5}. Здесь, как и для числа z_2, при решении удобно использовать преобразования тригонометрических выражений, а именно sinfrac{pi}{5}= cos!left(frac{pi}{2}-frac{pi}{5}right)!,~ cosfrac{pi}{5}= sin!left(frac{pi}{2}-frac{pi}{5}right).

Рассуждая, как выше, найдем |z_3|=1,~ arg z_3=frac{pi}{2}-frac{pi}{5}= frac{3pi}{10}. Для числа z_3=sin frac{pi}{5}+ icos frac{pi}{5}, записанного в алгебраической форме, получаем тригонометрическую форму:

z_3= cos!left(frac{3pi}{10}+2kpiright)+ isin!left(frac{3pi}{10}+2kpiright)!,quad k=0,pm1,pm2,ldots

Равенство комплексных чисел в тригонометрической форме

Условия равенства комплексных чисел получаем, используя геометрический смысл модуля и аргумента комплексного числа, заданного в тригонометрической форме. Так, для чисел z_1=r_1(cosvarphi_1+ isinvarphi_1), z_2=r_2(cosvarphi_2+ isinvarphi_2), из условия z_1=z_2. очевидно, следует:

r_1=r_2;qquad varphi_1-varphi_2=2kpi,quad k=0,pm1,pm2,ldots

или

|z_1|=|z_2|,quad operatorname{Arg}z_1-operatorname{Arg}z_2= 2kpi,quad k=0,pm1,pm2,ldots

(1.8)

Аргументы равных комплексных чисел либо равны (в частности равны главные значения), либо отличаются на слагаемое, кратное 2pi.

Для пары сопряженных комплексных чисел z и overline{z} справедливы следующие равенства:

|overline{z}|= |z|,qquad argoverline{z}=-arg z,.

(1.9)

Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме

Зададим два комплексных числа в тригонометрической форме z_1=r_1(cosvarphi_1+ isinvarphi_1) и z_2=r_2(cosvarphi_2+isinvarphi_2) и перемножим их по правилу умножения двучленов:

begin{aligned}z_1cdot z_2&= r_1cdot r_2cdot (cosvarphi_1+ isinvarphi_1)cdot (cosvarphi_2+isinvarphi_2)=\ &= r_1cdot r_2 bigl(cosvarphi_1cosvarphi_2- sinvarphi_1 sinvarphi_2+ i(cosvarphi_1 sinvarphi_2+ sinvarphi_1 cosvarphi_2)bigr) end{aligned}

или

z_1cdot z_2= r_1cdot r_2cdot bigl(cos(varphi_1+varphi_2)+ isin(varphi_1+ varphi_2)bigr).

Получили новое число z, записанное в тригонометрической форме: z=r(cosvarphi+ isinvarphi), для которого r=r_1cdot r_2,~ varphi= varphi_1+ varphi_2.

Правило умножения. При умножении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются:

|z_1cdot z_2|= |z_1|cdot |z_2|,qquad operatorname{Arg}(z_1cdot z_2)= arg z_1+arg z_2.

(1.10)

В результате умножения чисел может получиться аргумент произведения, не являющийся главным значением.

Пример 1.19. Найти модули и аргументы чисел:

bold{1)}~ z=-2i left(cosfrac{4pi}{7}- isinfrac{4pi}{7}right)!;qquad bold{2)}~ z=(1+i)(sqrt{3}-i).

Решение

Каждое из заданных чисел записано в виде произведения. Найдем модули и аргументы сомножителей и воспользуемся правилом (1.10) умножения чисел, заданных в тригонометрической форме:

bold{1)}quad z=z_1cdot z_2,quad z_1=-2i,quad z_2= cosfrac{4pi}{7}- isinfrac{4pi}{7}= cos!left(-frac{4pi}{7}right)+ isin!left(-frac{4pi}{7}right),.

Для чисел z_1 и z_2 находим модули и аргументы: |z_1|=2,~ arg z_1=-frac{pi}{2};~ |z_2|=1,~ arg z_2=-frac{4pi}{7}. Используя формулы (1.10), получаем

|z|=|z_1|cdot|z_2|=2,quad operatorname{Arg}z= arg z_1+arg z_2= -frac{pi}{2}-frac{4pi}{7};quad arg z= 2pi- frac{15pi}{14}= frac{13pi}{14}

б) z=z_1cdot z_2,~ z_1=1+i,~ z_2=sqrt{3}-i. Для числа z_1 имеем: |z_1|=sqrt{2},~ arg z_1=frac{pi}{4}; для числа z_2colon, |z_2|=2,~ operatorname{tg}varphi_2=-frac{1}{sqrt{3}}, и так как operatorname{Re}z_2>0,~ operatorname{Im}z_2<0 (точка расположена в четвертой четверти), то arg z_2=-frac{pi}{6}. Используя формулы (1.10), получаем |z|=2sqrt{2},~ arg z=frac{pi}{4}-frac{pi}{6}=frac{pi}{12}.

Заметим, что для решения этой задачи можно раскрыть скобки, записать каждое число в алгебраической форме, а затем найти |z| и arg z, используя формулы (1.5), (1.6).

Деление комплексных чисел в тригонометрической форме

Рассмотрим частное комплексных чисел frac{z_1}{z_2}, заданных в тригонометрической форме. Из определения частного z=frac{z_1}{z_2} имеем z_1=zcdot z_2 и, применяя к произведению правило умножения (формулы (1.10)), получаем r=frac{r_1}{r_2},~ varphi=varphi_1-varphi_2.

Правило деления. Модуль частного, полученного в результате деления чисел, заданных в тригонометрической форме, равен частному от деления модуля числителя на модуль знаменателя, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя:

left|frac{z_1}{z_2}right|= frac{|z_1|}{|z_2|},qquad operatorname{Arg}frac{z_1}{z_2}= arg z_1-arg z_2.

(1.11)

В результате деления чисел по формуле (1.11) может получиться аргумент честного, не являющийся главным значением.

Пример 1.20. Записать в тригонометрической форме комплексное число frac{1+i}{sqrt{3}-i}.

Решение. Обозначим z=frac{z_1}{z_2},~ z_1=1+i,~ z_2=sqrt{3}-i. Для чисел z_1 и z_2 находим модули и аргументы: |z_1|=sqrt{2},~ arg z_1=frac{pi}{4}; |z_2|=2,~ arg z_2=-frac{pi}{6} (см. пример 1.19). По формуле (1.11) получаем |z|=frac{|z_1|}{|z_2|}=frac{sqrt{2}}{2},~ arg z=arg z_1-arg z_2=frac{pi}{4}-left(-frac{pi}{6}right)= frac{5pi}{12} и

frac{1+i}{sqrt{3}-i}= frac{sqrt{2}}{2}left(cosleft(frac{5pi}{12}+2kpiright)+ isinleft(frac{5pi}{12}+2kpiright)right)!,~ k=0,pm1,pm2,ldots

Возведение в степень комплексного числа в тригонометрической форме

Из определения степени z^n и правила умножения чисел, записанных в тригонометрической форме (формула (1.10)), получаем

|z^n|=r^n,quad operatorname{Arg}z^n=nvarphi, где z=r(cosvarphi+ isinvarphi).

Правило возведения в степень. При возведении в степень комплексного числа в эту степень возводится модуль числа, а аргумент умножается на показатель степени:

|z^n|= |z|^n,qquad operatorname{Arg}z^n= narg z,.

(1.12)

Записывая число z^n в тригонометрической форме z^n= r^n(cos nvarphi+ isin nvarphi), получаем формулу возведения в степень:

bigl[r(cosvarphi+ isinvarphi)bigr]^n= r^n(cos nvarphi+ isin nvarphi).

(1.13)

При r=1 это равенство принимает вид и называется формула Муавра

(cosvarphi+ isinvarphi)^n= cos nvarphi+ isin nvarphi,.

(1.14)

Пример 1.21. Найти модуль и аргумент комплексного числа (1+i)^5.

Решение. Обозначим z=z_1^5,~ z_1=1+i. Находим модуль и аргумент числа z_1colon, |z_1|=sqrt{2},~ arg z_1=frac{pi}{4}. Поэтому |z|= (sqrt{2})^5 и operatorname{Arg}z=5arg z_1=frac{5pi}{4}. Так как по определению для главного значения аргумента выполняется условие -pi<arg zleqslantpi, то arg z= frac{5pi}{4}-2pi=-frac{3pi}{4}.

Пример 1.22. Записать в тригонометрической форме число (1+i)^5(sqrt{3}-i)^7.

Решение

Пример 1.23. Используя формулу Муавра, найти выражения для cos3varphi и sin3varphi через тригонометрические функции угла varphi.

Решение

Из формулы (1.14) при n=3 имеем (cosvarphi+ isinvarphi)^3= cos3varphi+isin3varphi. Возведем левую часть в степень, учитывая, что i^3=-i (см. пример 1.8):

begin{aligned}cos^3varphi+ i3cos^2varphisinvarphi- 3cosvarphi sin^2varphi+ i^3sin^3varphi&= cos3varphi+ isin3varphi,\ (cos^3varphi-3cosvarphisin^2varphi)+ i(3cos^2varphisinvarphi-sin^3varphi)&= cos3varphi+ isin3varphi.end{aligned}

Используя условие равенства комплексных чисел, получаем:

cos3varphi= cos^3varphi- 3cosvarphisin^2varphi,qquad sin3varphi= 3cos^2varphi sinvarphi- sin^3varphi.

Извлечение корня из комплексного числа в тригонометрической форме

Рассмотрим задачу извлечения корня из комплексного числа, заданного в показательной или тригонометрической форме z=r,e^{ivarphi}, или z=r(cosvarphi+ isinvarphi). Искомое число w=sqrt[LARGE{n}]{z} также запишем в показательной форме: w=rho,e^{ivarphi},~ rho=|w|,~ theta=arg w. Используя определение операции извлечения корня z=w^n и условия (1.8), получаем соотношения

rho^n=r,qquad ncdottheta= varphi+2kpi,quad k=0,pm1,pm2,ldots

или

rho= sqrt[LARGE{n}]{r},quad theta= frac{varphi+2kpi}{n},quad k=0,pm1,pm2,ldots

(1.15)

Правило извлечения корня. Чтобы извлечь корень из комплексного числа, нужно извлечь корень (арифметический) той же степени из модуля данного числа, а аргумент (operatorname{Arg}z) разделить на показатель корня:

bigl|sqrt[LARGE{n}]{z}bigr|= sqrt[LARGE{n}]{|z|},qquad operatorname{Arg}sqrt[LARGE{n}]{z}= frac{operatorname{Arg}z}{n},.

(1.16)

Теперь можно записать число w=sqrt[LARGE{n}]{z} в показательной форме:

sqrt[LARGE{n}]{z}= sqrt[LARGE{n}]{|z|}cdot exp frac{i operatorname{Arg}z}{n},.

Если записать это соотношение в тригонометрической форме, то, учитывая периодичность тригонометрических функций, нетрудно убедиться, что выражение sqrt[LARGE{n}]{z} принимает только n различных значений. Для их записи достаточно в формуле (1.15) взять n последовательных значений k, например k=0,1,2,ldots,n-1. В результате получаем формулу извлечения корня из комплексного числа в тригонометрической форме, где r=|z|,~ varphi=arg z:

sqrt[LARGE{n}]{z}= sqrt[LARGE{n}]{r} left(cos frac{varphi+2kpi}{n}+ isin frac{varphi+2kpi}{n}right)!,quad 0,1,2,ldots,n-1.

(1.17)

Значения корня комплексного числа

Замечания 1.1

1. Рассмотренная задача извлечения корня степени n из комплексного числа равносильна решению уравнения вида z^n-a=0, где, очевидно, z=sqrt[LARGE{n}]{a}.

Для решения уравнения нужно найти n значений sqrt[LARGE{n}]{a}, а для этого необходимо найти r=|a|,~ varphi=arg a и использовать формулу извлечения корня.

2. Исследование формулы (1.17) показывает, что все комплексные числа w_k,~ k=1,2,ldots,n (значения sqrt[LARGE{n}]{z}) имеют равные модули, т.е. геометрически расположены на окружности радиуса R=sqrt[LARGE{n}]{r},~ r=|z|. Аргументы двух последовательных чисел отличаются на frac{2pi}{n}, так как arg w_{k+1}-arg w_k= frac{2pi}{n}, т.е. каждое последующее значение w_{k+1} может быть получено из предыдущего w_k поворотом радиуса-вектора точки w_k на frac{2pi}{n}.В этом заключается геометрический смысл формулы (1.17), что можно сформулировать следующим образом.

Точки, соответствующие значениям sqrt[LARGE{n}]{z}, расположены в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность с центром в начале координат, радиус которой R= sqrt[LARGE{n}]{|z|}, причем аргумент одного из значений w_k равен frac{arg z}{n}= frac{varphi}{n} (рис. 1.7).

Алгоритм решения комплексных уравнений вида z^n-a=0

1. Найти модуль и аргумент числа acolon, r=|a|,~ varphi=arg a.
2. Записать формулу (1.17) при заданном значении ncolon, sqrt[LARGE{n}]{a}= sqrt[LARGE{n}]{r} left(cos frac{varphi+2kpi}{n}+ isin frac{varphi+2kpi}{n}right).
3. Выписать значения корней уравнения z_k, придавая значения k=0,1,2,ldots,n-1.

Пример 1.24. Решить уравнения: a) z^6-1=0; б) z^3-i=0.

Решение

Задача равносильна задаче нахождения всех значений корня из комплексного числа. Решаем в каждом случае по алгоритму.

а) Найдем z=sqrt[LARGE{6}]{1}.
1. Определим модуль и аргумент числа 1colon, r=1,~ varphi=0.
2. При полученных значениях r и varphi записываем формулу (1.17):

z= sqrt[LARGE{6}]{1}= sqrt[LARGE{6}]{1} left(cosfrac{2kpi}{6}+ isinfrac{2kpi}{6}right)!,qquad k=0,1,2,3,4,5.

Заметим, что справа стоит sqrt[LARGE{6}]{1} — арифметический корень, его единственное значение равно 1.

3. Придавая k последовательно значения от 0 до 5, выписываем решения уравнения:

begin{array}{ll}z_1= cos0+isin0=1,&qquad z_2=cos dfrac{pi}{3}+isindfrac{pi}{3}= dfrac{1}{2}+ i,dfrac{sqrt{3}}{2},\[7pt] z_3= cosdfrac{2pi}{3}+ isindfrac{2pi}{3}= -dfrac{1}{2}+ i,dfrac{sqrt{3}}{2},&qquad z_4=cospi+isinpi=-1,\[10pt] z_5= cosdfrac{4pi}{3}+ isindfrac{4pi}{3}= -dfrac{1}{2}-i,dfrac{sqrt{3}}{2},&qquad z_6= cosdfrac{5pi}{3}+ isindfrac{5pi}{3}= dfrac{1}{2}-i,dfrac{sqrt{3}}{2}.end{array}

Геометрически соответствующие точки расположены в вершинах правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса R=1, одна из точек (соответствует k=0) z_1=1. Строим шестиугольник (рис. 1.8,в). Отметим свойства корней этого уравнения с действительными коэффициентами — его комплексные корни являются попарно сопряженными: z_6= overline{z}_2,~ z_5= overline{z}_3,~ z_1 и z_4 — действительные числа.

б) Найдем z=sqrt[LARGE{3}]{i}.
1. Определим модуль и аргумент числа rcolon, r=|i|=1,~ varphi=arg i=frac{pi}{2}.
2. По формуле (1.17) имеем

sqrt[LARGE{3}]{i}= 1cdot left(cosfrac{frac{pi}{2}+2kpi}{3}+ isin frac{frac{pi}{2}+2kpi}{3}right)= cos!left(frac{pi}{6}+ frac{2}{3}kpiright)+ isin!left(frac{pi}{6}+ frac{2}{3}kpiright)!,quad k=0,1,2.

3. Выписываем корни z_1,,z_2,,z_3colon, z_1= frac{sqrt{3}}{2}+i frac{1}{2},~ z_2= -frac{sqrt{3}}{2}+i frac{1}{2},~ z_3=-i.

Геометрический смысл комплексных корней

Для геометрического представления решения уравнения достаточно изобразить одно значение, например z_1=cosfrac{pi}{6}+ isinfrac{pi}{6} (при k=0) — это точка окружности |z|=1, лежащая на луче varphi=frac{pi}{6}. После этого строим правильный треугольник, вписанный в окружность |z|=1 (рис. 1.8,б).

Пример 1.25. Найти корень уравнения z^4-1+i=0, для которого operatorname{Re}z<0,~ operatorname{Im}z>0.

Решение

Геометрическая интерпретация корней комплексного уравнения

Задача равносильна задаче нахождения z=sqrt[LARGE{4}]{1-i} при условие operatorname{Re}z<0,~ operatorname{Im}z>0.

1. Находим модуль и аргумент числа 1-icolon, r=|1-i|=sqrt{2},~ varphi=arg(1-i)=-frac{pi}{4}.

2. По формуле (1.17) имеем: z_{k+1}= sqrt[LARGE{4}]{1-i}= sqrt[LARGE{8}]{2}e^{left(-frac{pi}{16}+frac{2kpi}{4}right) i},~ k=0,1,2,3.

3. Для нахождения искомого решения нет необходимости выписывать все значения корня. Нужно выбрать значение k~(k=0,1,2,3), при котором выполняется условие frac{pi}{2}< arg zleqslantpi (соответствующая точка — точка второй четверти). Удобно при этом использовать чертеж (рис. 1.9).

Условию поставленной задачи удовлетворяет корень z_3 (при k=2): z_3= sqrt[LARGE{8}]{2}e^{left(pi-frac{pi}{16}right)i}= sqrt[LARGE{8}]{2}e^{frac{15pi}{16},i}.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Модуль и аргумент комплексного числа

Пусть задано комплексное число $ z = a+bi $.

Формула
Модуль комплексного числа равен корню квадратному из суммы квадратов мнимой и действительной части и находится по формуле: $$ |z| = sqrt{a^2 + b^2} $$

Если комплексное число состоит только из действительной части $ z = a $, то его модуль равен $ |z| = |a| $.

Стоит заметить, что модуль комплексных чисел всегда неотрицательный $ |z| ge 0 $ и равен нулю $ |z| = 0 $, только в случае $ z = 0 $.

Формула
Аргумент комплексного числа обозначается $ varphi = arg z $ и зависит от полуплоскости, в которой лежат числа $a,b$:

  1. $ a > 0 $, тогда $ varphi = arctg frac{b}{a} $
  2. $ a < 0, b ge 0 $, тогда $ varphi = pi + arctg frac{b}{a} $
  3. $ a < 0, b < 0 $, тогда $ varphi = -pi + arctg frac{b}{a} $
  4. $ a = 0, b > 0 $, тогда $varphi = frac{pi}{2}$
  5. $ a = 0, b < 0 $, тогда $varphi = -frac{pi}{2}$ 

Введите комплексное число

Пример 1 Пример 2 Правила ввода

Пример 1
Найти модуль и аргумент комплексного числа $ z = 3 – 4i $.
Решение

Комплексное число состоит из действительной и мнимой части:

$$ a = Re z = 3 $$ $$ b = Im z = -4 $$

Применяя формулу вычисления модуля получаем:

$$ |z| = sqrt{a^2 + b^2} = sqrt{3^2 + (-4)^2} = sqrt{9+16} = 5 $$

Теперь вычисляем аргумент. Так как $a = 3 > 0$, то получаем аргумент:

$$varphi = arctg frac{b}{a} = arctg frac{-4}{3} = -arctg frac{4}{3}.$$
Ответ
$$ |z| = 5, varphi = -arctg frac{4}{3} $$
Пример 2
Найти модуль и аргумент комплексного числа $ z = 3i $
Решение

В данном случае отсутствует действительная часть, а вернее она равна нулю:

$$ a = Re z = 0 $$

Мнимая часть комплексного числа равна: $$ b = Im z = 3 $$

Вычисляем модуль по уже известной формуле:

$$ |z| = sqrt{a^2 + b^2} = sqrt{0^2 + 3^2} = sqrt{9} = 3 $$

А вот аргумент здесь попадает под правило при $a = 0, b>0$ и значит равен $$varphi = frac{pi}{2}.$$
Ответ
$$ |z| = 3, varphi = frac{pi}{2} $$
Пример 3
Найти модуль и аргумент комплексного числа $$ z = 1+sqrt{3}i $$
Решение

Выписываем действительную и мнимую часть:

$$ a = 1 $$ $$ b = sqrt{3} $$

Так как $ a > 0 $, то аргумент равен

$$ varphi = arctg frac{sqrt{3}}{1} = arctg sqrt{3} = frac{pi}{3} $$

Находим модуль извлекая квадратный корень из суммы квадратов действительной и мнимой части: $$|z| = sqrt{1^2 + (sqrt{3})^2} = sqrt{1+3}=2.$$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Ответ
$$ varphi = frac{pi}{3}, |z| = 2 $$
Пример 4
Найти аргумент комплексного числа $$ z = -1 + sqrt{3}i $$
Решение

Действительная часть $$ a = Re z = -1 $$

Мнимая часть $$ b = Im z = sqrt{3} $$

Так как $ a < 0 $ и $ b > 0 $, то пользуемся второй формулой:

$$ varphi = arg z = pi + arctg frac{sqrt{3}}{-1} = pi + arctg (-sqrt{3}) = $$

$$ = pi – arctg(sqrt{3}) = pi – frac{pi}{3} = frac{2pi}{3}. $$
Ответ
$$ varphi = frac{2pi}{3} $$
Источник

Тригонометрическая форма комплексных чисел

29 ноября 2021

Второй урок по комплексным числам. Если вы только начинаете изучать эту тему (что такое комплексная единица, модуль, сопряжённые), см. первый урок: «Что такое комплексное число».

Сегодня мы узнаем:

  1. Что такое тригонометрическая форма
  2. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме
  3. Формула Муавра (возведение в степень)
  4. Дополнение 1. Геометрический подход, чтобы не путать, где синус, а где косинус
  5. Дополнение 2. Как быстро и надёжно искать аргумент комплексного числа?

Начнём с ключевого определения.

1. Тригонометрическая форма

Определение. Тригонометрическая форма комплексного числа — это выражение вида

[z=left| z right|cdot left( cos text{ }!!varphi!!text{ }+isin text{ }!!varphi!!text{ } right)]

где $left| z right|$ — модуль комплексного числа, $text{ }!!varphi!!text{ }$ — некоторый угол, который называется аргумент комплексного числа (пишут $text{ }!!varphi!!text{ }=arg left( z right)$).

Любое число $z=a+bi$, отличное от нуля, можно записать с тригонометрической форме. Для этого нужно вычислить модуль и аргумент. Например:

Записать в тригонометрической форме число $z=sqrt{3}+i$.

Переписываем исходное число в виде $z=sqrt{3}+1cdot i$ и считаем модуль:

[left| z right|=sqrt{{{left( sqrt{3} right)}^{2}}+{{1}^{2}}}=2]

Выносим модуль за скобки:

[z=sqrt{3}+1cdot i=2cdot left( frac{sqrt{3}}{2}+frac{1}{2}cdot i right)]

Вспоминаем тригонометрию, 10-й класс:

[frac{sqrt{3}}{2}=cos frac{text{ }!!pi!!text{ }}{6};quad frac{1}{2}=sin frac{text{ }!!pi!!text{ }}{6}]

Окончательный ответ:

[z=2cdot left( cos frac{text{ }!!pi!!text{ }}{6}+icdot sin frac{text{ }!!pi!!text{ }}{6} right)]

Понятно, что вместо $frac{text{ }!!pi!!text{ }}{6}$ с тем же успехом можно взять аргумент $frac{13text{ }!!pi!!text{ }}{6}$. Синус и косинус не поменяется. Главное — выбрать такой аргумент, чтобы в тригонометрической форме не осталось никаких минусов. Все минусы должны уйти внутрь синуса и косинуса. Сравните:

Записать в тригонометрической форме число $z=-1-i$.

Правильно:

[z=sqrt{2}cdot left( cos frac{5text{ }!!pi!!text{ }}{4}+isin frac{5text{ }!!pi!!text{ }}{4} right)]

Неправильно:

[begin{align} & z=-sqrt{2}cdot left( cos frac{text{ }!!pi!!text{ }}{4}+isin frac{text{ }!!pi!!text{ }}{4} right) \ & z=sqrt{2}cdot left( -cos frac{text{ }!!pi!!text{ }}{4}-isin frac{text{ }!!pi!!text{ }}{4} right) \ & z=sqrt{2}cdot left( cos frac{3text{ }!!pi!!text{ }}{4}-isin frac{3text{ }!!pi!!text{ }}{4} right) \ end{align}]

2. Умножение и деление комплексных чисел

Комплексные числа, записанные в тригонометрической форме, очень удобно умножать и делить.

Теорема. Пусть даны два комплексных числа:

[begin{align} & {{z}_{1}}=left| {{z}_{1}} right|cdot left( cos alpha +isin alpha right) \ & {{z}_{2}}=left| {{z}_{2}} right|cdot left( cos beta +isin beta right) \ end{align}]

Тогда их произведение равно

[{{z}_{1}}cdot {{z}_{2}}=left| {{z}_{1}} right|cdot left| {{z}_{2}} right|cdot left( cos left( alpha +beta right)+isin left( alpha +beta right) right)]

А если ещё и $left| {{z}_{2}} right|ne 0$, то их частное равно

[frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}=frac{left| {{z}_{1}} right|}{left| {{z}_{2}} right|}cdot left( cos left( alpha -beta right)+isin left( alpha -beta right) right)]

Получается, что при умножении комплексных чисел мы просто умножаем их модули, а аргументы складываем. При делении — делим модули и вычитаем аргументы. И всё!

Найти произведение и частное двух комплексных чисел:

[begin{align} & {{z}_{1}}=2cdot left( cos frac{pi }{3}+isin frac{pi }{3} right) \ & {{z}_{2}}=5cdot left( cos frac{pi }{6}+isin frac{pi }{6} right) \ end{align}]

Считаем произведение:

[begin{align} {{z}_{1}}cdot {{z}_{2}} & =2cdot 5cdot left( cos left( frac{pi }{3}+frac{pi }{6} right)+isin left( frac{pi }{3}+frac{pi }{6} right) right)= \ & =10cdot left( cos frac{pi }{2}+isin frac{pi }{2} right) \ end{align}]

Считаем частное:

[begin{align} frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} & =frac{2}{5}cdot left( cos left( frac{pi }{3}-frac{pi }{6} right)+isin left( frac{pi }{3}-frac{pi }{6} right) right)= \ & =0,4cdot left( cos frac{pi }{6}+isin frac{pi }{6} right) \ end{align}]

По сравнению со стандартной (алгебраической) формой записи комплексных чисел экономия сил и времени налицо.:)

3. Формула Муавра

Пусть дано комплексное число в тригонометрической форме:

[z=left| z right|cdot left( cos text{ }!!varphi!!text{ }+isin text{ }!!varphi!!text{ } right)]

Возведём его в квадрат, умножив на само себя:

[begin{align} {{z}^{2}} & =zcdot z = \ & =left| z right|left| z right|cdot left( cos left( text{ }!!varphi!!text{ + }!!varphi!!text{ } right)+isin left( text{ }!!varphi!!text{ + }!!varphi!!text{ } right) right)= \ & ={{left| z right|}^{2}}cdot left( cos 2text{ }!!varphi!!text{ }+isin 2text{ }!!varphi!!text{ } right) \ end{align}]

Затем возведём в куб, умножив на себя ещё раз:

[{{z}^{3}}={{left| z right|}^{3}}cdot left( cos 3varphi +isin 3varphi right)]

Несложно догадаться, что будет дальше — при возведении в степень $n$. Это называется формула Муавра.

Формула Муавра. При возведении всякого комплексного числа

[z=left| z right|cdot left( cos varphi +isin varphi right)]

в степень $nin mathbb{N}$ получим

[{{z}^{n}}={{left| z right|}^{n}}cdot left( cos left( nvarphi right)+isin left( nvarphi right) right)]

Простая формула, которая ускоряет вычисления раз в десять! И кстати: эта формула работает при любом $nin mathbb{R}$, а не только натуральном. Но об этом позже. Сейчас примеры:

Вычислить:

[{{left( sqrt{3}-i right)}^{16}}]

Представим первое число в тригонометрической форме:

[begin{align} sqrt{3}-i & = 2cdot left( frac{sqrt{3}}{2}+icdot left( -frac{1}{2} right) right)= \ & =2cdot left( cos left( -frac{pi }{6} right)+isin left( -frac{pi }{6} right) right) \ end{align}]

По формуле Муавра:

[begin{align} & {{left( 2cdot left( cos frac{11pi }{6}+isin frac{11pi }{6} right) right)}^{16}}= \ & ={{2}^{16}}cdot left( cos frac{88pi }{3}+isin frac{88pi }{3} right)= \ & ={{2}^{16}}cdot left( cos frac{4pi }{3}+isin frac{4pi }{3} right) \ end{align}]

Последним шагом мы воспользовались периодичностью синуса и косинуса, уменьшив аргумент сразу на 28π.

Следующую задачу в разных вариациях любят давать на контрольных работах и экзаменах:

Вычислить:

[{{left( left( -frac{sqrt{2}}{2} right)+left( -frac{sqrt{2}}{2} right)i right)}^{2022}}]

Теперь второе число запишем в комплексной форме:

[begin{align} & left( -frac{sqrt{2}}{2} right)+left( -frac{sqrt{2}}{2} right)i= \ & =1cdot left( cos frac{5pi }{4}+isin frac{5pi }{4} right) \ end{align}]

По формуле Муавра:

[begin{align} & {{left( 1cdot left( cos frac{5pi }{4}+isin frac{5pi }{4} right) right)}^{2022}}= \ & ={{1}^{2022}}cdot left( cos frac{5055pi }{2}+isin frac{5055pi }{2} right)= \ & =1cdot left( cos frac{3pi }{2}+isin frac{3pi }{2} right)=-i \ end{align}]

Вот так всё просто! Следующие два раздела предназначены для углублённого изучения. Для тех, кто хочет действительно разобраться в комплексных числах.

4. Дополнение 1. Геометрический подход

Многие путают местами косинус и синус. Почему комплексная единица стоит именно у синуса? Вспомним, что есть декартова система координат, где точки задаются отступами по осям $x$ и $y$:

А есть полярная система координат, где точки задаются поворотом на угол $varphi $ и расстоянием до центра $r$:

А теперь объединим эти картинки и попробуем перейти из декартовой системы координат в полярную:

Комплексное число $z=a+bi$ задаёт на плоскости точку $C$, удалённую от начала координат на расстояние

[AC=sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=left| z right|]

Треугольник $ABC$ — прямоугольный. Пусть $angle BAC=varphi $. Тогда:

[begin{align} & AB=ACcdot cos varphi =left| z right|cdot cos varphi \ & BC=ACcdot sin varphi =left| z right|cdot sin varphi \ end{align}]

С другой стороны, длины катетов $AB$ и $BC$ — это те самые отступы $a$ и $b$, с помощью которых мы задаём комплексное число. Поэтому:

[begin{align} a+bi & =left| z right|cos varphi +icdot left| z right|sin varphi = \ & =left| z right|left( cos varphi +isin varphi right) \ end{align}]

Итак, мы перешли от пары $left( a;b right)$ к паре $left( left| z right|;varphi right)$, где $left| z right|$ — модуль комплексного числа, $varphi $ — его аргумент (проще говоря, угол поворота).

Важное замечание. А кто сказал, что такой угол $varphi $ существует? Возьмём число $z=a+bi$ и вынесем модуль за скобку:

[begin{align} z & =a+bi= \ & =sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}cdot left( frac{a}{sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}+icdot frac{b}{sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}} right)= \ & =left| z right|cdot left( cos text{ }!!varphi!!text{ }+isin text{ }!!varphi!!text{ } right) \ end{align}]

Осталось подобрать такой угол $varphi $, чтобы выполнялось два равенства:

[begin{align} & frac{a}{sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=cos text{ }!!varphi!!text{ } \ & frac{b}{sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=sin text{ }!!varphi!!text{ } \ end{align}]

Такой угол обязательно найдётся, поскольку выполняется основное тригонометрическое тождество:

[begin{align} {{sin }^{2}}text{ }!!varphi!!text{ } & +{{cos }^{2}}text{ }!!varphi!!text{ }= \ & ={{left( frac{a}{sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}} right)}^{2}}+{{left( frac{b}{sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}} right)}^{2}}= \ & =frac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=1 \ end{align}]

На практике основная трудность заключается именно в поиске подходящего аргумента.

5. Дополнение 2. Как найти аргумент?

В учебниках пишут много разной дичи, типа вот этой:

Формула правильная, но пользы от неё — ноль. Запомнить сложно, а применять и вовсе невозможно. Мы пойдём другим путём.

5.1. Точки на координатных осях

Для начала рассмотрим точки, лежащие осях координат.

Тут всё очевидно:

  • На положительной полуоси абсцисс $varphi =0$ (фиолетовая точка $A$).
  • На отрицательной — $varphi =pi $ (синяя точка $B$).
  • На положительной полуоси ординат $varphi =frac{pi }{2}$ (зелёная точка $B$).
  • На отрицательной — $varphi =frac{3pi }{2}$ (красная точка $C$). Однако ничто не мешает рассмотреть $varphi =-frac{pi }{2}$ — результат будет тем же самым.:)

5.2. Точки с арктангенсом

А если точки не лежат на осях, то в записи комплексного числа $a+bi$ числа $ane 0$ и $bne 0$. Рассмотрим вспомогательный угол

[{{varphi }_{1}}=operatorname{arctg}left| frac{b}{a} right|]

Очевидно, это острый угол:

[0 lt operatorname{arctg}left| frac{a}{b} right| lt frac{pi }{2}]

Зная знаки чисел $a$ и $b$, мы немедленно определим координатную четверть, в которой располагается искомая точка. И нам останется лишь отложить вспомогательный угол ${{varphi }_{1}}$ от горизонтальной оси в эту четверть.

В правой полуплоскости мы откладываем от «нулевого» луча:

Точка $Aleft( 3;4 right)$ удалена от начала координат на расстояние 5:

[begin{align} 3+4i & =5cdot left( cos varphi +isin varphi right) \ varphi & =operatorname{arctg}frac{4}{3} end{align}]

Для точки $Bleft( 6;-6 right)$ арктангенс оказался табличным:

[6-6i=6sqrt{2}cdot left( cos left( -frac{pi }{4} right)+isin left( -frac{pi }{4} right) right)]

В левой полуплоскости откладываем от луча, соответствующего углу $pi $:

Итого для точки $Cleft( -2;5 right)$ имеем:

[begin{align} -2+5i & =sqrt{29}cdot left( cos varphi +isin varphi right) \ varphi & =pi -operatorname{arctg}frac{5}{2} end{align}]

И, наконец, для точки $Dleft( -5;-3 right)$:

[begin{align} -5-3i & =sqrt{34}cdot left( cos varphi +isin varphi right) \ varphi & =pi +operatorname{arctg}frac{3}{5} end{align}]

Звучит просто, выглядит красиво, работает идеально! Но требует небольшой практики. Пробуйте, тренируйтесь и берите на вооружение.

А в следующем уроке мы научимся извлекать корни из комплексных чисел.:)

Смотрите также:

  1. Как извлекать корни из комплексных чисел
  2. Комплексные числа — первый и самый важный уок
  3. Тест к параграфу «Что такое логарифм» (легкий)
  4. Тест к уроку «Площади многоугольников без координатной сетки» (средний)
  5. Четырехугольная пирамида: как найти координаты вершин
  6. Задача C1: тригонометрические уравнения и формула двойного угла
Источник

6

Пример. Произведением двух комплексных чисел z1 = 3 +7i и z2 = −1+2i будет комплексное число z1z2 = (3 +7i)(−1+2i)= −3 −7i +6i −14 = −17 −i .

Произведением комплексно сопряжённых чисел является действительное число.

Действительно, (x +iy)(x −iy)= x2 +iyx −iyx −i2 y2 = x2 + y2 .

4.4 Деление комплексных чисел

Частным двух

комплексных чисел

z1 = x1 +iy1

и

z2 = x2 +iy2 ,

z2

≠ 0

называется

комплексное число, вычисляемое по правилу

z1

=

z1z2

=

x1x2

+ y1 y2

+i

x2 y1 − x1 y2

.

z

2

z

z

2

x2 + y2

x2

+ y

2

2

2

2

2

2

Иногда сначала

определяют при z

2

≠ 0

величину

1

=

z2

=

x2

−i

y2

. Тогда

z

x2 + y2

x2

+ y2

2

z

z

2

2

2

2

2

2

z1 = z1 1 и далее используется операцияумножения комплексных чисел. z2 z2

3 +i

(3 +i)(4 +3i)

12 +4i +9i −3

9 13

Пример.

=

=

=

+ 25 i .

4 −3i

(4 −3i)(4 +3i)

16 +9

25

Тригонометрическая (или полярная) форма записи комплексного числа

z

имеет

вид

z = r (cosϕ +i sinϕ), где

r =

z

=

x2 + y2

– модуль комплексного числа.

ϕ – аргумент комплексного числа.

Аргумент

комплексного числа

z = x +iy

при

x ≠ 0 вычисляется исходя

из

того,

что

tg (Argz)= tgϕ = xy . Случай когда x = 0 рассмотрен чуть ниже.

Главное значение аргумента комплексного числа, обозначаемое arg z , есть такое значение аргумента комплексного числа, которое удовлетворяет условию −π < arg z ≤π (иногда, для удобства, выбирают 0 ≤ arg z < 2π ). Соответственно, Argz = argz +2kπ , где k Z .

Главное значение аргумента комплексного числа можно найти по следующему правилу

Оглавление Е.Е. Красновский, В.Д. Морозова «Теория функций комплексного переменного»

7

arctg (y x), x > 0

π

+arctg (y x), x < 0, y ≥ 0

arg z =

π

+arctg (y x), x

<

0, y

<

0

–

π 2, x = 0, y > 0

−π 2, x = 0, y > 0

Пример. Найдём модуль и главное значение аргумента для следующих комплексных чисел z1 =1+i : z1 = 2 , arg (z1 )=π4 ;

z2 =1−3 i : z2 = 2 , arg (z2 )= −π3; z3 = −2 +2i : z3 = 22 , arg (z3 )= 3π4;

z4 = −1−

i

:

z4

= 2

, arg (z4 )= −5π 6 ;

3

3

6.Действия с комплексными числами втригонометрической форме

6.1Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме

При умножении двух комплексных чисел z1 = r1 (cosϕ1 +i sinϕ1 )

и z2

= r2 (cosϕ2 +i sinϕ2 )

в

тригонометрической форме их

модули

следует

перемножить,

а

аргументы сложить:

z1z2 = r1r2 (cos(ϕ1 +ϕ2 )+i sin (ϕ1 +ϕ2 )), то есть

z1z2

=

z1

z2

, Arg (z1z2 )= Argz1 +Argz2 .

6.2 Деление комплексных чисел в тригонометрической форме

При делении двух комплексных

чисел z1 = r1 (cosϕ1 +i sinϕ1 )

и z2

= r2 (cosϕ2 +i sinϕ2 )

в

тригонометрической форме при z2 ≠ 0

(а значит, и r2

≠ 0 ) модуль делимого надо разделить на

модуль делителя, а аргумент делителя вычесть из аргумента делимого:

z1

=

r1

(cos(ϕ1 −ϕ2 ) +i sin(ϕ1 −ϕ2 )).

z2

r2

То есть,

z

=

z1

, Arg

z

1

1

= Argz − Argz

.

z2

z2

z2

1

2

Оглавление Е.Е. Красновский, В.Д. Морозова «Теория функций комплексного переменного»

8

6.3 Возведение комплексного числа в целую положительную степень

При возведении комплексного числа в целую положительную степень удобно предварительно записать его в тригонометрической форме после чего воспользоваться формулой Муавра возведения комплексного числа в целую положительную степень.

zn = (r(cosϕ +i sinϕ))n = rn (cos nϕ +i sin nϕ).

3

π

π

3

3

3π

3π

Пример.

(3 +3i)

2

+i sin

= (3 2 )

+i sin

=

= 3

cos

4

4

cos

4

4

1

+i

1

= −54 +54i .

= 54 2

−

2

2

6.4 Извлечение корня целой положительной степени из комплексного числа

arg z +2kπ

+i sin

arg z +2kπ

n z = n r

cos

n

n

,

1

k = 0,1,…, n −

Из этого соотношения называемого формулой Муавра извлечения корня целой

положительной степени из комплексного числа, следует, что среди возможных значений

n

z

(при z ≠ 0 ) различными будут n значений, соответствующих, например, значениям k =

0, n −1.

Геометрически, все значения n

располагаются на окружности с центром в точке z = 0 и

z

радиусом

и являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в эту окружность.

n

z

Пример.

Найдём

a

,

где

a .

У

этого

корня

a

различных значений zk ,

при

1

k = 0,1,2,3 a −1.

Поскольку

1 =1(cos(0)+i sin (0)), то

значения

корня имеют

вид

0 +2kπ

+i sin

0 +2kπ

2kπ

+i sin

2kπ

. Они лежат на окружности с центром в

zk =1 cos

a

a

=

1 cos

a

a

точке z = 0 и радиусом 1, являются вершинами правильного a-угольника, вписанного в эту окружность и при этом координаты одной из вершин имеют вид (1,0).

Оглавление Е.Е. Красновский, В.Д. Морозова «Теория функций комплексного переменного»

9

4

π

π

Пример.

Решим уравнение

z

=

3 −3i . Учтём,

что

(3 −3i)= 3 2

−

. У

cos −

4

+i sin

4

этого

уравнения

4

корня

zk ,

k = 0,1,2,3 , которые имеют вид

π

π

−

4

+2kπ

−

4

+

2kπ

zk = 4 3

, а именно

2

cos

+i sin

4

4

−

π

−

π

4

4

π

π

z0

= 8 18 cos

+i sin

= 8

18

cos −

+i sin

−

,

4

4

16

16

π

π

z = 8

cos

−

4

+

2π

+i sin

−

4 +2π

=

8

cos 7π +i sin

7π ,

18

18

1

4

4

16

16

−

π

+4π

−

π

+

4π

z2 =

4

+i sin

4

15π

+i sin

15π

,

8 18

cos

= 8

18

cos

4

4

16

16

−

π

+6π

−

π

+6π

z3 =

4

+i sin

4

23π

+i sin

23π

8 18

cos

= 8

18

cos

.

4

16

16

4

6.5 Возведение комплексного числа в рациональную степень

Формула для возведения комплексного числа в рациональную степень. Возведение комплексного числа z2 ≠ 0 в рациональную степень q = m / n, где m / n – несократимая дробь, можно рассматривать как две последовательные операции: сперва возведение комплексного числа в целую степень m Z, а затем извлечение из результата корня n-й степени. Учитывая,

что Arg(zm ) = mArgz, получаем

q

= r

q

m arg z

+2kπ

+i sin

marg z

+2kπ

,

z

cos

n

n

k = 0,1,…, n −1

Оглавление Е.Е. Красновский, В.Д. Морозова «Теория функций комплексного переменного»

Соседние файлы в папке 11-02-2013_11-32-37

  • #

    10.02.201511.41 Кб5index.htm

  • #

    10.02.201543.73 Кб6riadi_furie_variant_17.xmcd

  • #
Источник
Автор статьи

Щебетун Виктор

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Определение 1

Длина радиус-вектора, который изображает заданное комплексное число $z=a+bi$, называется модулем данного комплексного числа.

Модуль заданного комплексного числа вычисляется по следующей формуле:

[r=|z|=|a+bi|=sqrt{a^{2} +b^{2} } .]

Пример 1

Вычислить модуль заданных комплексных чисел $z_{1} =13,, , z_{2} =4i,, , , z_{3} =4+3i$.

Решение:

Модуль комплексного числа $z=a+bi$ вычислим по формуле: $r=sqrt{a^{2} +b^{2} } $.

Для исходного комплексного числа $z_{1} =13$ получим $r_{1} =|z_{1} |=|13+0i|=sqrt{13^{2} +0^{2} } =sqrt{169} =13$

Для исходного комплексного числа $, z_{2} =4i$ получим $r_{2} =|z_{2} |=|0+4i|=sqrt{0^{2} +4^{2} } =sqrt{16} =4$

Для исходного комплексного числа $, z_{3} =4+3i$ получим $r_{3} =|z_{3} |=|4+3i|=sqrt{4^{2} +3^{2} } =sqrt{16+9} =sqrt{25} =5$

Логотип baranka

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

Определение 2

Угол $varphi $, образованный положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором $overrightarrow{OM} $, который соответствует заданному комплексному числу $z=a+bi$, называется аргументом данного числа и обозначается $arg z$.

Примечание 1

Модуль и аргумент заданного комплексного числа в явном виде используются при представлении комплексного числа в тригонометрической или показательной форме:

  • $z=rcdot (cos varphi +isin varphi )$ – тригонометрическая форма;
  • $z=rcdot e^{ivarphi } $ – показательная форма.

Пример 2

Записать комплексное число в тригонометрической и показательной формах, заданное следующими данными: 1) $r=3;varphi =pi $; 2) $r=13;varphi =frac{3pi }{4} $.

«Модуль и аргумент комплексного числа» 👇

Решение:

1) Подставим данные $r=3;varphi =pi $ в соответствующие формулы и получим:

$z=3cdot (cos pi +isin pi )$ – тригонометрическая форма

$z=3cdot e^{ipi } $ – показательная форма.

2) Подставим данные $r=13;varphi =frac{3pi }{4} $ в соответствующие формулы и получим:

$z=13cdot (cos frac{3pi }{4} +isin frac{3pi }{4} )$ – тригонометрическая форма

$z=13cdot e^{ifrac{3pi }{4} } $ – показательная форма.

Пример 3

Определить модуль и аргумент заданных комплексных чисел:

1) $z=sqrt{2} cdot (cos 2pi +isin 2pi )$; 2) $z=frac{5}{3} cdot (cos frac{2pi }{3} +isin frac{2pi }{3} )$; 3) $z=sqrt{13} cdot e^{ifrac{3pi }{4} } $; 4) $z=13cdot e^{ipi } $.

Решение:

Модуль и аргумент найдем, используя формулы записи заданного комплексного числа в тригонометрической и показательной формах соответственно

[z=rcdot (cos varphi +isin varphi );] [z=rcdot e^{ivarphi } .]

1) Для исходного комплексного числа $z=sqrt{2} cdot (cos 2pi +isin 2pi )$ получим $r=sqrt{2} ;varphi =2pi $.

2) Для исходного комплексного числа $z=frac{5}{3} cdot (cos frac{2pi }{3} +isin frac{2pi }{3} )$ получим $r=frac{5}{3} ;varphi =frac{2pi }{3} $.

3) Для исходного комплексного числа $z=sqrt{13} cdot e^{ifrac{3pi }{4} } $ получим $r=sqrt{13} ;varphi =frac{3pi }{4} $.

4) Для исходного комплексного числа $z=13cdot e^{ipi } $ получим $r=13;varphi =pi $.

Аргумент $varphi $ заданного комплексного числа $z=a+bi$ можно вычислить, используя следующие формулы:

[varphi =tgfrac{b}{a} ;cos varphi =frac{a}{sqrt{a^{2} +b^{2} } } ;sin varphi =frac{b}{sqrt{a^{2} +b^{2} } } .]

На практике для вычисления значения аргумента заданного комплексного числа $z=a+bi$ обычно пользуются формулой:

$varphi =arg z=left{begin{array}{c} {arctgfrac{b}{a} ,age 0} \ {arctgfrac{b}{a} +pi ,a

или решают систему уравнений

$left{begin{array}{c} {cos varphi =frac{a}{sqrt{a^{2} +b^{2} } } } \ {sin varphi =frac{b}{sqrt{a^{2} +b^{2} } } } end{array}right. $. (**)

Пример 4

Вычислить аргумент заданных комплексных чисел: 1) $z=3$; 2) $z=4i$; 3) $z=1+i$; 4) $z=-5$; 5) $z=-2i$.

Решение:

1) $z=3$

Так как $z=3$, то $a=3,b=0$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

[varphi =arg z=arctgfrac{0}{3} =arctg0=0.]

2) $z=4i$

Так как $z=4i$, то $a=0,b=4$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

[varphi =arg z=arctgfrac{4}{0} =arctg(infty )=frac{pi }{2} .]

3) $z=1+i$.

Так как $z=1+i$, то $a=1,b=1$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, решая систему (**):

[left{begin{array}{c} {cos varphi =frac{1}{sqrt{1^{2} +1^{2} } } =frac{1}{sqrt{2} } =frac{sqrt{2} }{2} } \ {sin varphi =frac{1}{sqrt{1^{2} +1^{2} } } =frac{1}{sqrt{2} } =frac{sqrt{2} }{2} } end{array}right. .]

Из курса тригонометрии известно, что $cos varphi =sin varphi =frac{sqrt{2} }{2} $ для угла, соответствующего первой координатной четверти и равного $varphi =frac{pi }{4} $.

4) $z=-5$

Так как $z=-5$, то $a=-5,b=0$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

[varphi =arg z=arctgfrac{0}{-5} +pi =arctg0+pi =0+pi =pi .]

5) $z=-2i$

Так как $z=-2i$, то $a=0,b=-2$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

[varphi =arg z=arctgfrac{-2}{0} =arctg(-infty )=frac{3pi }{2} .]

Примечание 3

Аргумент чисто мнимых чисел равен соответственно:

  • $frac{pi }{2} $ с положительной мнимой частью;
  • $frac{3pi }{2} $ с отрицательной мнимой частью.

Решение:

Число $z_{1} $ изображено точкой $(3;0)$, следовательно, длина радиус-вектора равна 3, т.е. $r=3$, а аргумент $varphi =0$ по примечанию 2.

Число $z_{2} $ изображено точкой $(-2;0)$, следовательно, длина соответствующего радиус-вектора равна 2, т.е. $r=2$, а аргумент $varphi =pi $ по примечанию 2.

Число $z_{3} $ изображено точкой $(0;1)$, следовательно, длина соответствующего радиус-вектора равна 1, т.е. $r=1$, а аргумент $varphi =frac{pi }{2} $ по примечанию 3.

Число $z_{4} $ изображено точкой $(0;-1)$, следовательно, длина соответствующего радиус-вектора равна 1, т.е. $r=1$, а аргумент $varphi =frac{3pi }{2} $ по примечанию 3.

Число $z_{5} $ изображено точкой $(2;2)$, следовательно, длина соответствующего радиус-вектора равна $sqrt{2^{2} +2^{2} } =sqrt{4+4} =sqrt{8} =2sqrt{2} $, т.е. $r=2sqrt{2} $, а аргумент $varphi =frac{pi }{4} $ по свойству прямоугольного треугольника.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник

Добавить комментарий