Как найти главные кривизны поверхности

Как найти главные кривизны поверхности

Содержание

Вторая квадратичная форма

Краткие теоретические сведения

begin{gather*}
I_2 = -dvec{r}cdot dvec{n}=d^2vec{r}cdot vec{n}.
end{gather*}
Равенство $-dvec{r}cdot dvec{n}=d^2vec{r}cdot vec{n}$ можно доказать:
begin{equation*}
dvec{r}cdot vec{n}=0,, Rightarrow ,, d(dvec{r}cdot vec{n})=(d^2vec{r}cdot vec{n})+(dvec{r}cdot dvec{n})=0
end{equation*}
Так как
begin{equation*}
I_2 = d^2vec{r}cdot vec{n}
end{equation*}
и
begin{equation*}
vec{n}=frac{vec{r}_utimes vec{r}_v}{|vec{r}_utimes vec{r}_v|}, ,, |vec{r}_utimes vec{r}_v|=sqrt{EG-F^2},
end{equation*}
то коэффициенты для второй квадратичной формы можно записать через смешанное произведение:
begin{align*}
I_2&=L,du^2+2M,du,dv+N,dv^2,\
L&=frac{(vec{r}_{u u},vec{r}_u, vec{r}_v)}{sqrt{EG-F^2}},\
M&=frac{(vec{r}_{u v},vec{r}_u, vec{r}_v)}{sqrt{EG-F^2}},\
N&=frac{(vec{r}_{v v},vec{r}_u, vec{r}_v)}{sqrt{EG-F^2}}.
end{align*}

Решение задач

Задание 1 (Феденко 717)

Найти вторую квадратичную форму сферы:
begin{align*}
x&=R,mbox{cos},u,mbox{cos},v,\
y&=R,mbox{cos},u,mbox{sin},v,\
z&=R,mbox{sin},u.
end{align*}

begin{equation*}
E=R^2, ,, F=0, ,, G= R^2,mbox{cos}^2u.
end{equation*}
begin{equation*}
sqrt{EG-F^2}=R^2mbox{cos},u.
end{equation*}
begin{equation*}
L=R, ,, M=0, ,, N= R,mbox{cos}^2u.
end{equation*}
begin{equation*}
I_2=R,du^2+R,mbox{cos}^2u,dv^2.
end{equation*}

Кривизны

Краткие теоретические сведения

Нормальным сечением поверхности в точке $P$ называют линию пересечения поверхности с плоскостью, проходящей через нормаль поверхности в этой точке.

Кривизну нормального сечения поверхности в направлении $du:dv$ называют нормальной кривизной поверхности в данной точке и в данном направлении. Она вычисляется по формуле:
begin{equation*}
k_n=frac{L,du^2+2M,du,dv+N,dv^2}{E,du^2+2F,du,dv+G,dv^2}=frac{I_2}{I_1}
end{equation*}

Направление $du:dv$ называется главным, если нормальная кривизна поверхности в этом направлении достигает экстремального значения. В каждой точке поверхности имеются два главных направления. Нормальные кривизны соответствующих главных направлений называют главными кривизнами $k_1$ и $k_2$.

Необходимое и достаточное условие, чтобы направление $du:dv$ было главным:
begin{equation*}
left|
begin{array}{ccc}
dv^2 & -du,dv & du^2 \
E & F & G \
L & M & N \
end{array}
right|=0.
end{equation*}

Главные кривизны $k_1$ и $k_2$ можно найти из уравнения:
begin{equation*}
k^2(EG-F^2)-k(LG-2MF+NE)+(LN-M^2)=0.
end{equation*}

Полная (гауссова) кривизна:
begin{equation*}
K=k_1k_2=frac{LN-M^2}{EG-F^2}.
end{equation*}

Средняя кривизна:
begin{equation*}
H=frac{k_1+k_2}{2}=frac{EN+GL-2FM}{2(EG-F^2)}.
end{equation*}

begin{align*}
& K>0 ,, Rightarrow mbox{ точка поверхности называется эллиптической},\
& K<0 ,, Rightarrow mbox{ точка поверхности называется гиперболической},\
& K=0 ,, Rightarrow mbox{ точка поверхности называется /параболической}.
end{align*}

Решение задач

Задание 1

Записать выражение для нормальной кривизны в случае параметризации поверхности: $z=z(x,y)$.

begin{equation*}
k_n=frac{L,du^2+2M,du,dv+N,dv^2}{E,du^2+2F,du,dv+G,dv^2}=frac{I_2}{I_1}.
end{equation*}
begin{align*}
&I_1=(1+z_x^2)dx^2+2z_xz_ydxdy+(1+z_y^2)dy^2,\
&I_2=L,du^2+2M,du,dv+N,dv^2,\
&L=frac{z_{xx}}{sqrt{1+z_x^2+z_y^2}},\
&M=frac{z_{xy}}{sqrt{1+z_x^2+z_y^2}},\
&N=frac{z_{yy}}{sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}.
end{align*}

Задание 2

Найти нормальную кривизну гиперболического параболоида $z=x^2-y^2$ в точке $M(x=0, y=0)$ в направлении $frac{dy}{dx}=frac12$.
begin{align*}
&E=1+4x^2=1, ,, F=-4xy=0, ,, G=1+4y^2=1.\
&L=frac{2}{sqrt{1+4x^2+4y^2}}=2,\
&M=0,\
&N=frac{-2}{sqrt{1+4x^2+4y^2}}=-2.\
end{align*}
Учитывая направление $dx=2dy$, запишем нормальную кривизну:
begin{equation*}
k_n=frac{2dx^2-2dy^2}{dx^2+dy^2}=frac65.
end{equation*}

Задание 3 (Феденко 733)

Найти главные направления и главные кривизны прямого геликоида
begin{equation*}
x=u,mbox{cos}v, ,, y=u,mbox{sin},v, ,, z=av.
end{equation*}

begin{align*}
&E=1, ,, F=0, ,, G=u^2+a^2.\
&L=0, ,, M=frac{-a}{sqrt{u^2+a^2}}, ,, N=0.\
end{align*}
begin{align*}
&EG-F^2=u^2+a^2,\
&LG-2MF+NE=0,\
&LN-M^2=-frac{a^2}{u^2+a^2}.
end{align*}

Получили уравнение для нахождения $k_1$ и $k_2$:
begin{equation*}
(u^2+a^2)k^2-frac{a^2}{u^2+a^2}=0 ,, Rightarrow
end{equation*}
главные кривизны:
begin{equation*}
k_{1,2}=pmfrac{a}{u^2+a^2}.
end{equation*}

Условие для главных направлений:
begin{equation*}
left|
begin{array}{ccc}
dv^2 & -du,dv & du^2 \
1 & 0 & u^2+a^2 \
0 & frac{-a}{sqrt{u^2+a^2}} & 0 \
end{array}
right|=0 ,, Rightarrow
end{equation*}
главные направления:
begin{equation*}
frac{du}{dv}=pmsqrt{u^2+a^2}
end{equation*}

Задание 4 (Феденко 756)

Найти полную и среднюю кривизны прямого геликоида
begin{equation*}
x=u,mbox{cos}v, ,, y=u,mbox{sin},v, ,, z=av.
end{equation*}
На каких линиях полная кривизна постоянна?

Полная кривизна:
begin{equation*}
K=k_1k_2=-frac{a^2}{(u^2+a^2)^2}.
end{equation*}
Средняя кривизна:
begin{equation*}
H=frac{k_1+k_2}{2}=0.
end{equation*}
$K$ постоянна на винтовых линиях:
begin{equation*}
K=mbox{const} ,, Rightarrow ,, u=u_0=mbox{const} ,, Rightarrow ,, x=u_0mbox{cos},v,,, y=u_0mbox{sin},v,,,z=a,v.
end{equation*}

Источник

Макеты страниц

Как видно из формулы (16), нормальная кривизна поверхности в данной точке зависит от выбора направления на поверхности.

Направление на поверхности называется главным, если нормальная кривизна в этом направлении достигает экстремального значения.

Покажем, что в каждой точке -регулярной поверхности найдется не менее двух различных главных направлений.

Пусть произвольное направление в точке X на поверхности Тогда

— дифференцируемая функция переменных Отметим, что функции определяются только выбором точки X и от переменных не зависят.

Полагая

получим, что

Так как функция непрерывна и то на отрезке она либо постоянна, либо имеет хотя бы один максимум и хотя бы один минимум. Это и означает, что в каждой точке -регулярной поверхности есть два различных главных направления.

Экстремальные значения нормальных кривизн в главных направлениях называются главными кривизнами поверхности в данной точке (рис. 36).

Рис. 36. Указаны главные направления в точке X

Укажем способ вычисления главных направлений и главных, кривизн в данной точке регулярной поверхности.

Из формулы (18) для вытекает тождество относительно переменных

Продифференцируем это тождество по Учитывая, что производная нормальной кривизны в главном направлении обращается в нуль, получим для главного направления

Дифференцируя тождество (19) по и рассуждая аналогично, получаем

Здесь главная кривизна в направлении

Будем рассматривать полученные соотношения (20) — (21) как систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных Эта система имеет ненулевые решения, так как в данной точке регулярной поверхности всегда есть главные направления.

Из этого вытекает, что

Вычисляя определитель, получим квадратное уравнение для искомой функции

Проведенные выше рассуждения позволяют утверждать, что уравнение (22) имеет вещественные корни которые и являются главными кривизнами. Эти корни либо различны, либо совпадают,

Рассмотрим оба случая.

1+. Уравнение (22) имеет два различных корня

Этим корням отвечают на поверхности два различных главных направления , определяемых из систем

Покажем, что если направления координатных линий на поверхности в некоторой точке совпадают с главными направлениями, то в этой точке коэффициенты обращаются в нуль.

Пусть направления координатных линий главные. Тогда из системы (23) вытекает, что

Из второго и третьего равенств вследствие того, что заключаем:

Заметим, что в рассматриваемом случае кривизны можно найти из следующих формул:

2+. Уравнение (22) имеет совпадающие корни:

Покажем, что в этом случае каждое направление на поверхности в данной точке является главным.

Так как в точке регулярной поверхности всегда есть два различных главных направления, то система должна иметь два линейно независимых решения. Это возможно лишь при выполнении равенств

Отсюда вытекает, что

и, следовательно,

(см. формулу (18)).

Тем самым нормальная кривизна поверхности в данной точке постоянна (не зависит от направления) и, значит, каждое направление является главным.

Точками на поверхности, для которых каждое направление является главным, могут быть либо точки уплощения нормальная кривизна поверхности в каждом направлении в такой точке равна нулю), либо эллиптические точки называемые в данном случае точками округления или омбилическими точками.

Пример. Все точки плоскости являются точками уплощения, все точки сферы являются точками округления.

Из соотношения видно, что если координатные линии на поверхности в данной точке ортогональны то и

Подведем некоторые итоги.

В каждой точке регулярной поверхности имеются взаимно ортогональные главные направления.

Если направления координатных линий на поверхности совпадают с главными направлениями, то

Верно и обратное: если то, как следует из формулы (18), координатные линии и и имеют главные направления.

Источник

М
– точка С2-гладкой
поверхности Ф, заданной вектор-функцией
.
Пусть kn 
0 (хотя бы
один коэффициент L,
M,
N
ненулевой)

ПН
– касательная плоскость к Ф в точке М.

Рассмотрим прямые
плоскости ПН,
проходящие через точку М.

На каждой такой
прямой от точки М
по обе стороны отложим отрезки MP
=
,
где kn
– нормальная
кривизна линий на поверхности, для
которых данная прямая является
касательной.

Множество полученных
таким образом точек Р
образует линию, называемую индикатрисой
кривизны
(индикатрисой
Дюпена)

Франсуа Пьер Шарль Дюпен (1784-1873)

французский геометр и экономист. По
образованию – инженер-кораблестроитель.

В 16 лет вывел уравнение циклоиды (циклоида
Дюпена).

В области дифференциальной геометрии:
доказал теорему, носящую его имя, о
пересечении поверхностей ортогональной
системы вдоль общих линий кривизны;
ввел кривую, позволяющую наглядно
представить распределение кривизны
поверхности в различных нормальных ее
сечениях (индикатрису Дюпена).

Усовершенствовал геометрию световых
лучей французского физика и математика
Этьена Малюса, что способствовало
модернизации геометрической оптики и
явилось вкладом в геометрию прямолинейных
конгруэнций.

:
L
x2
+ 2M
xy
+ N
y2
= 1
– уравнение
индикатрисы
Дюпена в аффинной системе координат R
= {M,
,
}
(Р(x,
y)
– точки
индикатрисы)

В зависимости от
вида индикатрисы Дюпена (кривая второго
порядка) проводят классификацию точек
поверхности. Она может представлять
собой:

1) эллипс, если LN
– M2
>
0 =>
точка М
– эллиптическая.
Если индикатриса Дюпена – окружность,
то т. М
называется омбилической.

2) пару сопряженных
гипербол, если
LN – M2
<
0, точка М
– гиперболическая.

3) пару параллельных
прямых, если LN
–
M2
= 0,
точка М
– параболическая.

Пример. Определить
тип точек на поверхности z
= x
+ y2

x
= u
(1;
0; 1) (0;
0; 0) (0;
0; 0)

y
= v
(0;
1; 2v) (0;
0; 2)

z
= u
+ v2


=

= (–1; –2v;
1) => ||
=

(–;
–;
)

L
= 0, M
= 0, N
=
·
=

=> LN
– M2
= 0 => все
точки данной поверхности являются
параболическими.

3.5.3. Главные кривизны поверхности

Определение.
Главными
кривизнами поверхности
называются экстремальные значения
нормальных кривизн в заданной точке
(если они имеются)

Определение.
Касательные
к кривым на поверхности, нормальные
кривизны которых – главные, называются
главными
направлениями
поверхности.

Главные направления
поверхности являются главными
направлениями индикатрисы Дюпена.

Определение.
Кривая на поверхности, в каждой точке
которой касательная направлена по
главному направлению, называется линией
кривизны
поверхности.

Примеры.
Параллели и меридианы поверхности
вращения являются линиями кривизны.

Главные кривизны
k1
и k2
в точке M
поверхности являются корнями уравнения:


= 0

или: (EG
– F2)
k2
– (EN
+ GL
– 2MF)
k
+ (LN
– M2)
= 0

Пример. Найти
главные кривизны поверхности
z
= x2
+ y3
в точке
М(1;
1; 2)

x
= u
u
= 1, v
= 1

y
= v
(1;
0; 2u)
= (1; 0; 2) (0;
0; 2) (0;
0; 0)

z
= u3
+ v3
(0;
1; 3v2)
= (0; 1; 3) (0;
0; 6v)
= (0; 0; 6)


=

= (–2; –3; 1) => ||
=

(–;
–;
)

E
= 1 + 4 = 5, F
= 6; G
= 10; L
=
;
M
= 0; N
=

EG
– F2
= 14; EN
+ GL
– 2MF
=

+

=
,
LN
– M2
=

14k2
–
k
+

= 0 => k1,2
=

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Источник

From Wikipedia, the free encyclopedia

Saddle surface with normal planes in directions of principal curvatures

In differential geometry, the two principal curvatures at a given point of a surface are the maximum and minimum values of the curvature as expressed by the eigenvalues of the shape operator at that point. They measure how the surface bends by different amounts in different directions at that point.

Discussion[edit]

At each point p of a differentiable surface in 3-dimensional Euclidean space one may choose a unit normal vector. A normal plane at p is one that contains the normal vector, and will therefore also contain a unique direction tangent to the surface and cut the surface in a plane curve, called normal section. This curve will in general have different curvatures for different normal planes at p. The principal curvatures at p, denoted k1 and k2, are the maximum and minimum values of this curvature.

Here the curvature of a curve is by definition the reciprocal of the radius of the osculating circle. The curvature is taken to be positive if the curve turns in the same direction as the surface’s chosen normal, and otherwise negative. The directions in the normal plane where the curvature takes its maximum and minimum values are always perpendicular, if k1 does not equal k2, a result of Euler (1760), and are called principal directions. From a modern perspective, this theorem follows from the spectral theorem because these directions are as the principal axes of a symmetric tensor—the second fundamental form. A systematic analysis of the principal curvatures and principal directions was undertaken by Gaston Darboux, using Darboux frames.

The product k1k2 of the two principal curvatures is the Gaussian curvature, K, and the average (k1 + k2)/2 is the mean curvature, H.

If at least one of the principal curvatures is zero at every point, then the Gaussian curvature will be 0 and the surface is a developable surface. For a minimal surface, the mean curvature is zero at every point.

Formal definition[edit]

Let M be a surface in Euclidean space with second fundamental form I!I(X,Y). Fix a point p ∈ M, and an orthonormal basis X1, X2 of tangent vectors at p. Then the principal curvatures are the eigenvalues of the symmetric matrix

left[I!I_{{ij}}right]={begin{bmatrix}I!I(X_{1},X_{1})&I!I(X_{1},X_{2})\I!I(X_{2},X_{1})&I!I(X_{2},X_{2})end{bmatrix}}.

If X1 and X2 are selected so that the matrix left[I!I_{{ij}}right] is a diagonal matrix, then they are called the principal directions. If the surface is oriented, then one often requires that the pair (X1, X2) be positively oriented with respect to the given orientation.

Without reference to a particular orthonormal basis, the principal curvatures are the eigenvalues of the shape operator, and the principal directions are its eigenvectors.

Generalizations[edit]

For hypersurfaces in higher-dimensional Euclidean spaces, the principal curvatures may be defined in a directly analogous fashion. The principal curvatures are the eigenvalues of the matrix of the second fundamental form I!I(X_{i},X_{j}) in an orthonormal basis of the tangent space. The principal directions are the corresponding eigenvectors.

Similarly, if M is a hypersurface in a Riemannian manifold N, then the principal curvatures are the eigenvalues of its second-fundamental form. If k1, …, kn are the n principal curvatures at a point p ∈ M and X1, …, Xn are corresponding orthonormal eigenvectors (principal directions), then the sectional curvature of M at p is given by

K(X_{i},X_{j})=k_{i}k_{j}

for all i,j with ineq j.

Classification of points on a surface[edit]

  • At elliptical points, both principal curvatures have the same sign, and the surface is locally convex.
    • At umbilic points, both principal curvatures are equal and every tangent vector can be considered a principal direction. These typically occur in isolated points.
  • At hyperbolic points, the principal curvatures have opposite signs, and the surface will be locally saddle shaped.
  • At parabolic points, one of the principal curvatures is zero. Parabolic points generally lie in a curve separating elliptical and hyperbolic regions.
    • At flat umbilic points both principal curvatures are zero. A generic surface will not contain flat umbilic points. The monkey saddle is one surface with an isolated flat umbilic.
Surface point classes[1]

k1
< 0 = 0 > 0
k2 < 0 Concave ellipsoid Concave cylinder Hyperboloid surface
= 0 Concave cylinder Plane Convex cylinder
> 0 Hyperboloid surface Convex cylinder Convex ellipsoid

Line of curvature[edit]

The lines of curvature or curvature lines are curves which are always tangent to a principal direction (they are integral curves for the principal direction fields). There will be two lines of curvature through each non-umbilic point and the lines will cross at right angles.

In the vicinity of an umbilic the lines of curvature typically form one of three configurations star, lemon and monstar (derived from lemon-star).[2] These points are also called Darbouxian Umbilics (D1, D2, D3) in honor of
Gaston Darboux, the first to make a systematic study in Vol. 4, p 455, of his Leçons (1896).

  • Configurations of lines of curvature near umbilics

  • Lemon - D1

    Lemon – D1

  • Monstar - D2

    Monstar – D2

  • Star - D3

    Star – D3

In these figures, the red curves are the lines of curvature for one family of principal directions, and the blue curves for the other.

When a line of curvature has a local extremum of the same principal curvature then the curve has a ridge point. These ridge points form curves on the surface called ridges. The ridge curves pass through the umbilics. For the star pattern either 3 or 1 ridge line pass through the umbilic, for the monstar and lemon only one ridge passes through.[3]

Applications[edit]

Principal curvature directions along with the surface normal, define a 3D orientation frame at a surface point. For example, in case of a cylindrical surface, by physically touching or visually observing, we know that along one specific direction the surface is flat (parallel to the axis of the cylinder) and hence take note of the orientation of the surface. The implication of such an orientation frame at each surface point means any rotation of the surfaces over time can be determined simply by considering the change in the corresponding orientation frames. This has resulted in single surface point motion estimation and segmentation algorithms in computer vision.[4]

See also[edit]

  • Earth radius#Principal sections
  • Euler’s theorem (differential geometry)

References[edit]

  1. ^ Surface Curvature
  2. ^ Berry, M. V.; Hannay, J. H. (1977). “Umbilic points on Gaussian random surfaces”. Journal of Physics A. 10 (11): 1809–21. Bibcode:1977JPhA…10.1809B. doi:10.1088/0305-4470/10/11/009. S2CID 55230556.
  3. ^ Porteous, I. R. (1994). Geometric Differentiation. Cambridge University Press. ISBN 0-521-39063-X.
  4. ^ Perera, S.; Barnes, N. (November 2013). “1-Point Rigid Motion Estimation and Segmentation with a RGB-D Camera”. 2013 International Conference on Digital Image Computing: Techniques and Applications (DICTA): 1–8. doi:10.1109/DICTA.2013.6691469. ISBN 978-1-4799-2126-3. S2CID 15915653.

Further reading[edit]

  • Darboux, Gaston (1896) [1887]. Leçons sur la théorie génerale des surfaces. Gauthier-Villars.
  • Guggenheimer, Heinrich (1977). “Chapter 10. Surfaces”. Differential Geometry. Dover. ISBN 0-486-63433-7.
  • Kobayashi, Shoshichi & Nomizu, Katsumi (1996). Foundations of Differential Geometry, Vol. 2 (New ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-15732-5.
  • Spivak, Michael (1999). A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 3). Publish or Perish. ISBN 0-914098-72-1.
  • Sotomayor, J. (1993). “O elipsóide de Monge = Revista Matemática Universitária” (PDF). 15: 33–47.
  • Sotomayor, J. (2007). “El elipsoide de Monge y las líneas de curvatura”. Materials Matemàtics. 01: 1–25.

External links[edit]

  • Historical Comments on Monge’s Ellipsoid and the Configuration of Lines of Curvature on Surfaces Immersed in R3
Источник

Добавить комментарий