Как найти глобальный экстремум функции

8.3.1. Понятие глобального экстремума функции

Рассмотрим
функцию
,
которая задана на замкнутом множестве.
Точканазывается точкойглобального
максимума
или наибольшим
значением
функции на множестве
,
если
.

Если же
,
то точка
называется точкойглобального
минимума
или наименьшим
значением
функции на множестве
.

Точка
называется точкойглобального
экстремума
функции
на множестве,
если точкаявляется глобальным минимумом или
глобальным максимумом функциина множестве.

Если функция
непрерывна на замкнутом и ограниченном
множестве
,
то из теоремы Вейерштрасса следует,
что во множественайдутся точки глобального максимума
и минимума функции.

Точки глобального
экстремума функции могут быть внутренними
точками множества
или принадлежать границе множества.
Если точка глобального экстремума
является внутренней, то она является
локальным экстремумом функции.Отсюда
вытекает алгоритм отыскания глобальных
экстремумов функции
на множестве
:

1. Во множестве
найти все критические точки функции, а
также точки, в которых функция не
дифференцируема.

2. Найти все точки,
в которых функция может принимать
наибольшее и наименьшее значения на
границе множества
.

3. Вычислить
значения функции в точках, найденных в
пунктах 1 и 2.

4. Среди значений,
найденных в пункте 3, выбрать наибольшее
и наименьшее значения.

Примеры

1. Найти глобальный
экстремум функции
на множестве.

Решение.
Множество
является ограниченным, таки.
Из теоремы 4.9. вытекает, чтоявляется замкнутым множеством.
Следовательно функцияна множествеимеет глобальный минимум и максимум.
Множествопредставляет собой треугольник,
ограниченный осями координат и прямой(рис. 8.7).

Рис.8.7.

Найдем критические
точки функции
.
Так как

,
,

то функция
имеет единственную критическую точку,
которая принадлежит множеству.

Исследуем функцию
на отрезке
,.
Подставляяв выражение для функции, получим.
Функция принимает наименьшее и наибольшее
значение на концах отрезка и в критической
точке.
Отсюда следует, что на отрезке,функция принимает наименьшее и наибольшее
значение только в точках

,
и.

Исследуем функцию
на отрезке
,.
Подставляяв выражение для функции, получим.
Функция принимает наименьшее и наибольшее
значение на концах отрезка и в критической
точке.
Отсюда следует, что на отрезке,функция принимает наименьшее и наибольшее
значение только в точках

,
и.

Исследуем функцию
на отрезке
,.
Подставляяв выражение для функции, получим

.

Функция принимает
наименьшее и наибольшее значение на
концах отрезка и в критической точке
.
Отсюда следует, что на отрезке,функция принимает наименьшее и наибольшее
значение только в точках

,
и.

В таблице 8.1
приведены значения функции во всех
найденных точках.

Таблица
8.1

Из таблицы 8.1
следует, что
и—
точки соответственно глобального
минимума и максимума функция,
и

,
.
●

Задачи

Найти глобальные
экстремумы функции
на множестве.

1.
,.

2.
,.

3.
,.

4.
,.

5.
,.

Ответы

1.
,.

2.
,.

3.
,.

4.
,.

5.
,.
▲

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Одной из основных характеристик функции на отрезке являются ее глобальные экстремумы, т. е. наибольшее и наименьшее значения на .

Если функция непрерывна на , то наибольшее и наименьшее значения она принимает на концах этого отрезка или в точках ее локального экстремума. Следовательно, для отыскания глобальных экстремумов , функции , надо найти ее значения на концах отрезка , в точках локального экстремума и выбрать соответственно наименьшее и наибольшее из них.

Если , , …, – точки локальных экстремумов, то

,

Вопросы для самоконтроля

1 Какие условия должны выполнятся, чтобы функция возрастала, убывала, была неубывающей и невозрастающей?

2 Какая точка называется точкой локального экстремума?

3 Какая точка называется точкой абсолютного экстремума?

4 Сформулируйте необходимое условие локального экстремума.

5 Сформулируйте достаточные условия экстремума.

6 Как находится глобальный экстремум функции на отрезке?

Глобальный экстремум или
наибольшее и наименьшее значение функции
Глобальным экстремумом функции нескольких переменных называют
наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой ограниченной области D .
Пусть функция f ( x; y ) , определена и непрерывна в некоторой замкнутой
ограниченной области D с границей g ( x; y ) = 0 . Тогда заведомо функция в области D
имеет наибольшее и наименьшее значение. Кроме того, функция также может достигать
наибольшее и наименьшее значение функции на границе области. Таким образом,
исследование функции на глобальный экстремум
Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой в
области D функции z = f ( x; y ) состоит в следующем:
1.
Найти все критические точки функции z = f ( x; y ) , принадлежащие D . Для
этого вычислить частные производные функции z ′x , z ′y .
полученные частные производные к нулю
 z ′x = 0
получившуюся систему уравнений 
, определив координаты точек;
′
z
=
 у
2.
Приравнять
и
решить
3.
Построить область D и посмотреть принадлежит ли найденные точки
области D;
4.
Найти точки, лежащие на границе области. Для этого, уравнение каждого
графика, которым ограничена область, подставить в функцию z = f ( x; y ) вместо
соответствующей переменной. Затем найти производную, приравнять ее к нулю и
определить координаты точек;
5.
Найти значения функции z = f ( x; y ) в критических точках, принадлежащих
области D , и на границах области;
6.
Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них наибольшее и
наименьшее значение.
Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции z = 3 − x 2 − y 2 в
области D , ограниченной прямыми x = ±1 , у = ±1 .
Решение. Найти все критические точки функции, для этого вычислим частные
производные первого порядка
z ′x ( y = const ) = (3 − x 2 − у 2 )′ = −2 х ,
z ′y ( x = const ) = (3 − x 2 − y 2 )′ = −2 у .
 z′x = −2 х = 0  х = 0
Для поиска точек решим систему 
. Отсюда получаем точку
′
z
=
−
2
y
=

у
=
y

O (0;0) . Строим график
Точка O (0;0) не принадлежит области D .
Исследуем поведение функции на границе области, т.е. на контуре ABCD , где
A(−1;−1) , B(1;−1) , C (1;1) , D(−1;1) .
1. AB : y = −1  z = 3 − x 2 − 1 = 2 − x 2 .
Найдем производную: z ‘ = (2 − x 2 )’ = −2 x = 0  x = 0 . Получаем точку M 2 (0;−1) .
2. BС : х = 1  z = 3 − 1 − у 2 = 2 − у 2 .
Найдем производную: z ‘ = (2 − у 2 )’ = −2 у = 0  у = 0 . Получаем точку M 3 (1;0) .
3. DC : y = 1  z = 3 − x 2 − 1 = 2 − x 2 .
Найдем производную: z ‘ = (2 − x 2 )’ = −2 x = 0  x = 0 . Получаем точку M 2 (0;1) .
4. AD : х = −1  z = 3 − 1 − у 2 = 2 − у 2 .
Найдем производную: z ‘ = (2 − у 2 )’ = −2 у = 0  у = 0 . Получаем точку M 3 (−1;0) .
Найдем значения функции z = 3 − x 2 − y 2 в критических точках и на границах
области:
z (0;−1) = 2 ;
z (1;0) = 2 ;
z (0;1) = 2 ;
z (−1;0) = 2 ;
z ( A) = z (−1;−1) = 1 ;
z ( B ) = z (1;−1) = 1 ;
z (C ) = z (1;1) = 1 ;
z ( D) = z (−1;1) = 1 .
Сравнивая полученные результаты, имеем: точки (0;−1) , (1;0) , (0;1) , (−1;0)
является точками глобального максимума, а точки A, B, C , D – точками глобального
минимума.
Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции
z = x 2 + 2 xy − y 2 − 4 x в замкнутой области D , ограниченной прямыми y = x + 1, x = 3 ,
у = 0.
Решение. Найти все критические точки функции, для этого вычислим частные
производные первого порядка
z ′x ( y = const ) = ( x 2 + 2 xy − y 2 − 4 x)′ = 2 х + 2 y − 4 ,
z ′y ( x = const ) = ( x 2 + 2 xy − y 2 − 4 x)′ = 2 x − 2 y .
Для поиска точек решим систему
 z ′x = 2 x + 2 y − 4 = 0
,
 ′
z
=
2
x
−
2
y
=
y

2 y + 2 y − 4 = 0


=
x
y

4 y − 4 = 0
.

x
=
y

Получаем точку M 1 (1;1) . Строим график
Точка M 1 (1;1) не принадлежит области D .
Исследуем поведение функции на границе области, т.е. на контуре ABC , где
A(−1;0) , B(3;4) , C (3;0) .
1. y = 0  z = x 2 + 2 xy − y 2 − 4 x = x 2 − 4 x .
Найдем производную: z ‘ = ( x 2 − 4 x)’ = 2 x − 4 = 0  x = 2 . Получаем точку M 2 (2;0) .
2. х = 3  z = x 2 + 2 xy − y 2 − 4 x = 9 + 6 у − у 2 − 12 = − у 2 + 6 у − 3 .
Найдем производную:
M 3 (3;3) .
z ‘ = (− у 2 + 6 у − 3)’ = −2 у + 6 = 0  у = 3 . Получаем точку
3. y = х + 1  z = x 2 + 2 x( х + 1) − ( х + 1) 2 − 4 x = x 2 + 2 x 2 + 2 х − х 2 − 2 х − 1 − 4 х =
= 2×2 − 4х + 1.
Найдем производную:
M 2 (1;2) .
z ‘ = (2 x 2 − 4 х + 1)’ = 4 x − 4 = 0
 x = 1 . Получаем точку
Найдем значения функции z = x 2 + 2 xy − y 2 − 4 x в критических точках и на
границах области:
z (2;0) = 4 + 0 − 0 − 8 = −4 ;
z (3;3) = 9 + 18 − 9 − 12 = 6 ;
z (1;2) = 1 + 4 − 4 − 4 = −3 ;
z ( A) = z (−1;0) = 1 + 0 − 0 + 4 = 5 ;
z ( B ) = z (3;4) = 9 + 24 − 16 − 12 = 5 ;
z (C ) = z (3;0) = 9 + 0 − 0 − 12 = −3 .
Сравнивая полученные результаты, имеем: точка
(3;3) является точкой
глобального максимума, а точка (2;0) – точкой глобального минимума.
Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции z = 10 + 2 ху − x 2 в
замкнутой области D , ограниченной y ≤ 4 − х 2 , у ≥ 0 .
Решение. Найти все критические точки функции, для этого вычислим частные
производные первого порядка
z ′x ( y = const ) = (10 + 2 ху − x 2 )′ = 2 у − 2 х ,
z ′y ( x = const ) = (10 + 2 ху − x 2 )′ = 2 x .
 z ′x = 2 y − 2 х = 0
Для поиска точек решим систему 
,
′
z
=
2
x
=
y

Получаем точку О (0;0) .
Строим график
Точка О (0;0) принадлежит области D .
Исследуем поведение функции z = 10 + 2 ху − x 2 на границе области.
1. y = 0  z = 10 + 2 ху − x 2 = 10 − х 2 .
Найдем производную: z ‘ = (10 − x 2 )’ = −2 x = 0  x = 0 . Получаем точку (0;0) .
2. у = 4 − х 2  z = 10 + 2 ху − x 2 = 10 + 2 х(4 − х 2 ) − х 2 = 10 + 8 х − 2 х 3 − х 2 =
= −2 х 3 − х 2 + 8 х + 10 .
Найдем производную: z ‘ = (−2 х 3 − х 2 + 8 х + 10)’ = −6 х 2 − 2 х + 8 = 0
6 х 2 + 2 х − 8 = 0  3х 2 + х − 4 = 0 .
D = 1 − 4 ⋅ (−4) ⋅ 3 = 49 ,
−1+ 7
−1− 7
8
4
x1 =
= 1 , x1 =
=− =− .
6
6
3
6
16 20
 4
у1 = 4 − 1 = 3 , у2 = 4 −  −  = 4 − =
.
9
9
 3
 4 20 
Получаем точки M 1 (1;3) и M 2  − ;  .
 3 9 
Найдем значения функции z = 10 + 2 ху − x 2 в критических точках и на границах
области:
z (0;0) = 10 ;
z (1;3) = 10 + 6 − 1 = 15 ;
2
160 16 270 − 160 − 48 62
 4 20 
 4  20  4 
z  − ;  = 10 + 2 ⋅  −  ⋅ −  −  = 10 −
− =
= .
27 9
27
27
 3 9 
 3 9  3
Сравнивая полученные результаты, имеем: точка
(1;3) является точкой
 4 20 
глобального максимума, а точка  − ;  – точкой глобального минимума.
 3 9 

Экстре́мум (лат. extremum — крайнее) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).

Задачи нахождения экстремума возникают во всех областях человеческого знания: теория автоматического управления, проблемы экономики, биология, физика и т. д.^[1]

Определения[править | править код]

Пусть дана функция и  — внутренняя точка области определения Тогда

Если неравенства выше строгие, то называется точкой строгого локального или глобального максимума или минимума соответственно.

Значение функции называют соответственно (строгим) локальным или глобальным максимумом или минимумом. Точки, являющиеся точками (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума.

Замечание[править | править код]

Функция определённая на множестве может не иметь на нём ни одного локального или глобального экстремума. Например,

Необходимые условия существования локальных экстремумов[править | править код]

• Из леммы Ферма вытекает следующее^[2]:

Пусть точка является точкой экстремума функции , определенной в некоторой окрестности точки .

Тогда либо производная не существует, либо .

Эти условия не являются достаточными, так, функция может иметь нуль производной в точке, но эта точка может не быть точкой экстремума, а являться, скажем, точкой перегиба, как точка (0,0) у функции .

Достаточные условия существования локальных экстремумов[править | править код]

является точкой строгого локального максимума. А если

то является точкой строгого локального минимума.

Заметим, что при этом функция не обязательно дифференцируема в точке .

и

является точкой локального максимума. А если

и

то является точкой локального минимума.

Если чётно и , то  — точка локального максимума.
Если чётно и , то  — точка локального минимума.
Если нечётно, то экстремума нет.

См. также[править | править код]

• Критическая точка (математика)
• Методы оптимизации
• Условный экстремум

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума. — М.: Наука, 1969. — 150 с.