Как найти гмт пространства

Геометрическим местом точек в пространстве называется фигура, которая состоит из всех точек пространства, обладающих определенным свойством.

Перечислим несколько геометрических мест точек в пространстве.

1. Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных точек А и В, является плоскость а, перпендикулярная прямой и проходящая через середину отрезка

2. Геометрическим местом точек, отстоящих от данной плоскости а на расстоянии являются две плоскости, параллельные данной плоскости и находящиеся от нее на расстоянии

3. Геометрическим местом точек, удаленных на данном расстоянии от данной точки О, является сфера с центром в точке О и радиусом

Пример 1. Найти в пространстве геометрическое место точек, равноудаленных от трех данных точек, не лежащих на одной прямой.

Решение. 1-й способ (рис. 178). Три данные точки А, В и С определяют плоскость а, в которой лежит Мы знаем, что геометрическое место точек, равноудаленных от точек А и В, есть плоскость Р, перпендикулярная отрезку и проходящая через середину D стороны аналогично для точек В и С таким геометрическим местом точек будет плоскость Точки, принадлежащие линии пересечения плоскостей находятся на одинаковом расстоянии от точек А, В и С. Прямая — искомое геометрическое место точек.

Точка О пересечения прямой с плоскостью а принадлежит геометрическому месту, следовательно, она находится на равном расстоянии от точек А, В и С и является центром окружности, описанной около треугольника Далее, так как то откуда

Вывод: искомое геометрическое место точек — прямая, перпендикулярная плоскости, определяемой данными точками А, В и С, и проходящая через центр окружности, описанной около

2-й способ (рис. 179). Пусть М — одна из точек искомого геометрического места точек, т. е. Наклонные равны, следовательно, равны и их проекции на плоскость а, т. е.

Отсюда следует: 1) О — центр окружности, описанной около точки геометрического места проектируются в одну и ту же точку на плоскости а, следовательно, все они

лежат на перпендикуляре к плоскости а, проходящем через точку О.

Пример 2. Найти в пространстве геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных пересекающихся прямых.

Решение. Пусть — данные прямые (рис. 180), Р — плоскость, ими определяемая. Пусть М — произвольная точка искомого геометрического места, т. е. Опустим перпендикуляр на плоскость Р; тогда как проекции равных наклонных на плоскость Р. Прямые соответственно перпендикулярны наклонным, следовательно, они перпендикулярны их проекциям, т. е. . Мы видим, что проекция произвольной точки геометрического места точек на плоскость Р, определяемую данными прямыми, находится на одинаковом расстоянии от Как известно, геометрическим местом точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых на плоскости, являются две прямые которые делят углы, образованные данными прямыми пополам. Все точки перпендикуляра очевидно, принадлежат геометрическому месту точек. Построим плоскость через прямые Эта плоскость по Т. 2.9 перпендикулярна плоскости Р. Все точки плоскости принадлежат искомому геометрическому месту точек.

Аналогично доказывается, что точки искомого геометрического места лежат также и на плоскости перпендикулярной плоскости Р. Плоскости перпендикулярны между собой, так как линейные углы прямые.

Итак, искомым геометрическим местом точек являются две плоскости перпендикулярные плоскости Р, причем плоскости перпендикулярны между собой и делят углы между данными прямыми пополам.

Способы задания геометрических мест точек в пространстве

В стереометрии любую пространственную фигуру можно рассматривать как геометрическое место точек (г.м.т.), т.е. как множество точек, каждая из которых удовлетворяет заданному характеристическому свойству (точка, не принадлежащая этому множеству, не удовлетворяет этому свойству). Например, в элементарной геометрии сфера определяется как г.м.т., равноудаленных от заданной точки (центра сферы), круговая цилиндрическая поверхность как г.м.т., равноудаленных от заданной прямой (оси цилиндрической поверхности) и т.п.

В аналитической геометрии пространственные геометрические фигуры задаются как множества решений соответствующих уравнений. Рассмотрим, например, уравнение с тремя неизвестными . Его решением называется тройка чисел, при подстановке которых вместо неизвестных уравнение превращается в верное числовое равенство. Каждое решение уравнения можно рассматривать как точку в координатном пространстве с абсциссой , ординатой и аппликатой . Таким образом, множество точек , координаты которых удовлетворяют уравнению , образуют в координатном пространстве некоторую фигуру .Например, уравнение (или ) в прямоугольной системе координат задает сферу единичного радиуса с центром (рис.4.2,в).

Переход к этому способу описания геометрических фигур базируется на введении системы координат в пространстве, которая позволяет вместо точек (элементарных геометрических объектов) оперировать с числами (элементарными алгебраическими объектами). В разд.2 подчеркивалось, что введение системы координат устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками пространства и их координатами (упорядоченными наборами из трех чисел), т.е. соответствие, удовлетворяющее двум условиям:

1) разным точкам пространства соответствуют разные наборы координат, отличающиеся хотя бы одной координатой;

2) любому набору координат соответствует некоторая точка.

Введение системы координат позволяет задать любую геометрическую фигуру уравнением, связывающим координаты таким образом, что координаты любой точки, принадлежащей заданной фигуре, удовлетворяют этому уравнению, а координаты точки, не принадлежащей фигуре, не удовлетворяют уравнению. Такой способ описания геометрических фигур применяется в аналитической геометрии.

---

Общие уравнения геометрических мест точек в пространстве

Уравнением множества точек (уравнением г.м.т.) в координатном пространстве называется равенство, связывающее координаты точек, верное для координат точек, принадлежащих множеству , и неверное для координат точек, не принадлежащих . Например, уравнение множества в аффинной системе координат имеет вид:

в частности, в прямоугольной системе координат в цилиндрической системе координат

в сферической системе координат

где и — некоторые функции трех аргументов.

Уравнения (4.1)-(4.3) представляют собой аналитическую запись функциональной зависимости между координатами точек в пространстве, образующих геометрическое место точек. В частных случаях одна из координат может быть выражена через другую, т.е. одна координата задается как явная функция другой координаты. Тогда получается уравнение, разрешенное относительно этой координаты, например:

Заметим, что уравнениями вида в прямоугольной системе координат задаются графики функций двух переменных.

---

Пример 4.1. Изобразить в координатном пространстве (в прямоугольной системе координат) множества точек, координаты которых удовлетворяют следующим уравнениям:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Решение. а) Уравнению удовлетворяют только те точки пространства, у которых абсцисса равна единице , а ординаты и аппликаты могут принимать любые значения. Эти точки принадлежат плоскости, параллельной координатной плоскости и пересекающей ось абсцисс в точке (рис.4.1,а).

б) На плоскости заданное уравнение определяет две пересекающиеся прямые , при этом аппликата не входит в уравнение и поэтому может принимать любые значения. Следовательно, заданное уравнение определяет две пересекающиеся по оси плоскости, проходящие через прямые и на плоскости (рис.4.1,6).

в) Уравнение равносильно системе уравнений которая определяет прямую, совпадающую с осью аппликат (рис.4.1,в).

г) Выражение есть квадрат расстояния от точки до ее ортогональной проекции на ось . Поэтому уравнению (или ) удовлетворяют только те точки, которые удалены от оси аппликат на расстояние, равное 1. Это множество точек является круговой цилиндрической поверхностью радиуса 1 (рис.4.1,г).

д) Учитывая неравенства: , делаем вывод, что левая часть заданного уравнения неотрицательна и равна нулю только при одновременном выполнении условий . Следовательно, заданное уравнение определяет множество точек первого октанта системы координат (рис.4.1,д).

---

Пример 4.2. Применяя цилиндрические или сферические координаты, изобразить множества точек, заданных в прямоугольной системе координат уравнениями:

a) ;

б) ;

в) .

Решение. а) Запишем уравнение в цилиндрической системе координат , где . Это уравнение не зависит от полярного угла . При любом фиксированном значении уравнение определяет параболу. Например, при получаем параболу в плоскости . Следовательно, описываемое множество точек можно получить, вращая параболу вокруг ее оси симметрии (рис.4.2,а). Получаемая при этом поверхность называется параболоидом вращения.

б) Запишем уравнение в цилиндрической системе координат (напомним, что полярный радиус по определению). Это уравнение не зависит от полярного угла . При любом фиксированном значении уравнение определяет угол, составленный из двух лучей . Например, при получаем два луча в плоскости . Следовательно, описываемое множество точек можно получить, вращая угол вокруг оси , проходящей через вершину угла. При этом получаем коническую поверхность (рис.4.2,б).

в) Запишем уравнение в сферической системе координат (напомним, что радиус по определению). Это уравнение не зависит от широты и долготы . Следовательно, это множество точек, равноудаленных от начала координат, т.е. сфера (рис.4.2,в).

---

Пример 4.3. В координатном пространстве (в прямоугольной системе координат) отмечены точки и . Вывести уравнение геометрического места точек , отношение расстояний от каждой из которых до двух заданных точек равно :

а) для , то есть ;

б) для , то есть .

Решение. а) Точка равноудалена от заданных точек. Запишем уравнение в координатной форме:

Отсюда получаем , т.е. . Следовательно, искомое г.м.т. — это плоскость, перпендикулярная отрезку и проходящая через его середину (рис.4.3,а).

б) Запишем уравнение в координатной форме:

Возводя обе части уравнения в квадрат и приводя подобные члены, получаем , т.е. уравнение сферы с центром в начале координат и радиусом .

Заметим, что при любом положительном искомое геометрическое место точек является сферой (сферой Аполлония).

---

Уравнения пересечений и объединений геометрических мест точек в пространстве

Рассмотрим основные операции с множествами точек, заданными своими уравнениями в координатном пространстве.

Пусть множества и в аффинной системе координат заданы общими уравнениями и соответственно.

Пересечение множеств и состоит из точек, координаты которых удовлетворяют системе уравнений

Не трудно составить одно уравнение, равносильное этой системе, например:

Объединение множеств и состоит из точек, координаты которых удовлетворяют совокупности уравнений

равносильной одному уравнению, например:

Включение с алгебраической точки зрения означает, что уравнение является следствием уравнения , т.е.

Равенство означает, что уравнения и равносильны (эквивалентны), т.е.

В частности, равносильные уравнения, описывающие одно и то же геометрическое место точек, получаются при тождественных алгебраических преобразованиях, например при умножении обеих частей уравнения на отличное от нуля число, при приведении подобных членов, при переносе членов из одной части уравнения в другую с изменением знака на противоположный и т.п.

Полученные соотношения, сводящие операции с множествами в пространстве к алгебраическим операциям с уравнениями этих геометрических мест точек, не зависят от выбора системы координат. Например, в прямоугольной системе координат аналогичные соотношения получаем, полагая и , в цилиндрической системе координат при и , в сферической при и

---

Плоские сечения

Пусть в прямоугольной системе координат фигура определяется уравнением

Подставляя в уравнение некоторое фиксированное значение , получаем уравнение с двумя неизвестными . Это уравнение описывает некоторое множество на координатной плоскости . Запишем уравнение в виде равносильной ему системы уравнений

Второе уравнение системы определяет плоскость, параллельную координатной плоскости . Следовательно, система (4.5) описывает множество точек фигуры , принадлежащих плоскости (см. рис.4.4,а), т.е. плоское сечение фигуры . Каждую фигуру , заданную уравнением , можно представить как совокупность ее плоских сечений (4.5) при всех значениях постоянной . Тем самым исследование и построение пространственной фигуры сводится к исследованию и построению ее плоских сечений. В этом состоит идея метода сечений. Разумеется, можно рассматривать сечения фигуры плоскостями (рис.4.4,б) или , параллельными координатным плоскостям или соответственно.

---

Цилиндрические фигуры

Фигура, состоящая из параллельных прямых, называется цилиндрической. Прямые называются образующими цилиндрической фигуры.

Пусть в прямоугольной системе координат фигура определяется уравнением

в котором неизвестная отсутствует. Обозначим через множество решений этого уравнения как уравнения с двумя неизвестными и , а также соответствующее множество точек на координатной плоскости (при ). Тогда вместе с любой точкой уравнению (4.6) удовлетворяют также и все точки прямой, параллельной оси аппликат и проходящей через точку . Таким образом, фигура является цилиндрической, ее образующие параллельны оси и пересекают плоскость в точках множества (рис.4.5,а). Уравнения или также описывают цилиндрические фигуры, образующие которых параллельны оси ординат или абсцисс соответственно.

---

Конические фигуры

Фигура, состоящая из лучей, имеющих общее начало, называется конической. Лучи называются образующими, а их общее начало — вершиной конической фигуры.

Пусть в сферической системе координат фигура определяется уравнением вида (4.3):

в котором неизвестная отсутствует. Обозначим через множество решений этого уравнения как уравнения с двумя неизвестными и , а также соответствующее множество точек на сфере . Тогда вместе с любой точкой уравнению (4.7) удовлетворяют также и все точки луча , исходящего из начала системы координат. Таким образом, фигура является конической, ее вершина совпадает с началом координат, а образующие пересекают множество (рис.4.5,б).

---

Фигуры вращения

Пусть в цилиндрической системе координат фигура определяется уравнением вида (4.2):

в котором неизвестная отсутствует. Обозначим через множество решений этого уравнения как уравнения с двумя неизвестными и , а также соответствующее множество точек на плоскости (т.е. на плоскости , соответствующей прямоугольной системе координат). Тогда вместе с любой точкой уравнению (4.8) удовлетворяют также и все точки окружности радиуса с центром в точке на оси аппликат , плоскость, содержащая окружность, перпендикулярна этой оси (рис.4.6). Таким образом, фигуру можно представить как фигуру вращения, полученную путем вращения множества вокруг оси аппликат (оси вращения).

---

Параметрические уравнения геометрических мест точек в пространстве

Функциональная зависимость между координатами точек пространства, например в прямоугольной системе координат , может быть задана в параметрической форме, в которой координаты выражаются в виде Функций вспомогательной переменной, называемой параметром:

где — параметр, принимающий действительные значения. В общем случае при задании множества не обязательно использовать один параметр, т.е. вспомогательных переменных может быть несколько, например, двухпараметрическое множество точек описывается системой:

где — параметры, принимающие действительные значения. Каждую из систем (4.9), (4.10) называют параметрическим уравнением геометрического места точек.

---

Пример 4.4. Изобразить в координатном пространстве (в прямоугольной системе координат) множества точек, координаты которых удовлетворяют следующим параметрическим уравнениям:

Решение. 1) Из первого уравнения следует, что все точки заданного множества принадлежат координатной плоскости . Из двух последних уравнений следует, что . Таким образом, заданное множество — это прямая в плоскости (рис.4.7,а).

2) Исключим из первых двух уравнений параметр . Возведя обе части каждого уравнения в квадрат и сложив почленно результаты, получим уравнение окружности . Параметром служит величина угла поворота радиус-вектора изображающей точки, измеряемого от положительного направления оси абсцисс (см. рис.3.4,а). При равномерном увеличении угла поворота равномерно увеличивается аппликата изображающей точки, так как . Следовательно, заданная система описывает винтовую линию (рис.4.7,б) при .

3) Запишем заданное параметрическое уравнение в матричном виде

а затем в векторной форме , где — радиус- вектор произвольной точки . Полученное уравнение является аффинным уравнением плоскости, проходящей через концы базисных векторов (рис.4.7,в).

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Геометрическим местом точек (ГМТ) с данным свойством называется множество всех точек пространства, обладающих этим свойством.

В решении задач ГМТ должны присутствовать три момента:

1) предъявлено множество Р, про которое мы утверждаем, что оно-искомое;

2) доказано, что каждая точка множества Р обладает заданным свойством;

3) доказано, что нет других точек, обладающих данным свойством.

Важнейшими ГМТ в пространстве являются следующие:

а) ГМТ, удаленных на расстояние R > 0 от данной точки О, есть (по определению) сфера радиуса R с центром в точке О.

б) ГМТ, равноудаленных от двух различных точек А и В есть плоскость Р, перпендикулярная отрезку АВ и проходящая через его середину.

в) ГМТ, равноудаленных от трех не лежащих на одной прямой точек А, В и С есть прямая, перпендикулярная плоскости АВС и проходящая через центр окружности, описанной около треугольника АВС.

г) ГМТ, равноудаленных от сторон двугранного угла, есть его биссектральная плоскость.

д) Геометрическим местом точек М (х, у, z) пространства с системой координат Охуz таких, что Ах + Ву + Сz + D = 0 (А, В, С, D – числа такие, что А² + В² + С² не равно 0) является плоскостью, перпендикулярная вектору n {A,B.C}.

е) Уравнение (х – а) ² + (у – b) ² + (z – с) ² = R², где R Ю 0, задает сферу радиуса R с центром в точке O (а, b, с).

Если мы знаем ГМТ, М₁, определяемое свойством Р₁ и ГМТ М₂, определяемое свойством Р₂, то ГМТ, для которых одновременно выполняются свойства Р₁ и Р₂, есть пересечение множеств М₁ и М₂.

Как правило, можно понять, как устроено искомое ГМТ, если разбить данное свойство на более простые, найти соответствующие более простые ГМТ и из них построить искомое. Иногда удается ввести систему координат и записать данное свойство в виде формулы f(х, у, z ) = 0. Иногда нужно угадать хорошую геометрическую закономерность, присутствующую в данном свойстве.

Задача 1. Найти геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из точки А на всевозможные прямые, проходящие через фиксированную точку В.

Решение. Искомое ГМТ есть сфера, построенная на отрезке АВ как на диаметре. В самом деле, если мы проведем произвольную плоскость через прямую АВ, то из всех точек искомого ГМТ в этой плоскости отрезок АВ будет виден под прямым углом, так что пересечение искомого ГМТ с плоскостью, проходящей через прямую АВ есть окружность, построенная на АВ как на диаметре.

Теперь уже ясно, что ГМТ обязано быть сферой радиуса AB/2 с центром в середине АВ.

Ответ: сфера, построенная на отрезке АВ как на диаметре.

Задача 2. В пространстве даны две точки А и В. Найдите геометрическое место таких точек М, что АМ² – ВМ² = b², где b > 0.

Решение. Возьмем такую же систему координат, как в предыдущей задаче. Точка М (х, у, z ) принадлежит искомому ГМТ, если и только если

МА² – МВ² = b² — ((х + а ) ² + у² + z² ) – ((х – а ) ² + у² + z² ) = b²

Очевидно, это уравнение плоскости, пертендикулярной оси Ох, т. е. прямой АВ. Точка пересечения этой плоскости с прямой АВ зависит от числа b²/4a.

Ответ: плоскость, перпендикулярная прямой АВ, пересекающая ее правее середины отрезка АВ на расстоянии b²/2AB от нее.

Задачи для самостоятельного решения.

Дана сфера. Найдите геометрическое место центров сфер, вписанных в тетраэдры, вписанные в данную сферу.

В провтранстве дана точка А. Найдите геометрическое место проекций А на всевозможные плоскости, проходящие через прчмую f, не содержащую точку А.

В пространстве дана точка О и две прямые. Найдите геометрическое место точек М, для которых сумма длин проекций отрезка ОМ на данные прямые есть величина постоянная.

Найдите геометрическое место середин общих касательных к двум заданным сферам.

Найдите геометрическое место центров сфер, касающихся двух данных пересекающихся прямых.

§ 20.Геометрические места точек, связанные с расстояниями в пространстве

Некоторые множества точек в пространстве задаются условиями, связанными с расстояниями между точками, точкой и фигурой, двумя фигурами. Перечислим некоторые из этих множеств, предлагая вам осмыслить и доказать, где это требуется, описанные ниже факты.

 Множество всех точек пространства, удалённых от данной точки на данное расстояние R (R > 0), есть сфера с центром в данной точке радиуса R (рис. 144).

 Множество всех точек пространства, удалённых от данной прямой на данное расстояние R (R > 0), есть цилиндрическая поверхность радиусом R (рис. 145).

 Множество всех точек пространства, удалённых от данной плоскости на данное расстояние a (a > 0), есть две параллельные ей плоскости (рис. 146).

 Множество всех точек пространства, равноудалённых от двух данных точек, есть плоскость, проходящая через середину отрезка с концами в данных точках перпендикулярно этому отрезку. В этой плоскости лежат центры всех сфер, проходящих через данные точки (рис. 147).

 Множество всех точек пространства, равноудалённых от трёх данных точек, не лежащих на одной прямой, есть прямая, перпендикулярная плоскости этих точек и проходящая через центр окружности, описанной около треугольника с вершинами в данных точках. Этой прямой принадлежат центры всех сфер, проходящих через данные точки (рис. 148).

 Множество всех точек пространства, равноудалённых от четырёх данных точек, не лежащих в одной плоскости, есть единственная точка — центр сферы, проходящей через данные четыре точки.

 Множество всех точек пространства, равноудалённых от двух данных параллельных прямых, есть плоскость, проходящая через середину отрезка общего перпендикуляра этих прямых и ему перпендикулярная. В этой плоскости лежат центры всех сфер, касающихся данных прямых (рис. 149).

 Множество всех точек пространства, равноудалённых от двух данных пересекающихся прямых, есть две плоскости, перпендикулярные плоскости, в которой лежат эти прямые, и проходящие через биссектрисы углов, образованных данными прямыми (рис. 150).

 Множество всех точек пространства, равноудалённых от прямых, содержащих стороны данного треугольника, есть четыре прямые, перпендикулярные плоскости треугольника и проходящие соответственно через центр окружности, вписанной в этот треугольник, и через центр каждой из трёх окружностей, вневписанных для этого треугольника (рис. 151).

 Множество всех точек пространства, равноудалённых от сторон данного треугольника, есть прямая, перпендикулярная плоскости треугольника, проходящая через центр вписанной в него окружности. На этой прямой лежат центры всех шаров, касающихся сторон треугольника (рис. 152).

 Множество всех точек пространства, равноудалённых от двух параллельных плоскостей, есть параллельная им плоскость, проходящая через середину отрезка их общего перпендикуляра. Ей принадлежат центры всех шаров, касающихся обеих плоскостей (рис. 153).

 Множество всех точек двугранного угла, равноудалённых от его граней, есть «биссекторная» полуплоскость этого угла. В ней лежат центры всех шаров, вписанных в этот угол (рис. 154).

 Множество всех точек пространства, равноудалённых от двух пересекающихся плоскостей, есть две плоскости, проходящие через прямую пересечения данных плоскостей и делящие пополам образованные ими двугранные углы. Эти плоскости называются биссекторными. Им принадлежат центры всех шаров, касающихся обеих плоскостей (рис. 155).

 Множество всех точек пространства, лежащих внутри трёхгранного угла и равноудалённых от его граней, есть луч прямой пересечения биссекторных плоскостей двугранных углов этого трёхгранного угла. Этому лучу принадлежат центры всех сфер, вписанных в трёхгранный угол (рис. 156).

 Множество середин всех отрезков, концы которых лежат на данных скрещивающихся прямых, есть плоскость, параллельная каждой из данных скрещивающихся прямых.

 Множество всех точек пространства, равноудалённых от двух равных касающихся шаров, есть плоскость, проходящая через точку касания этих шаров перпендикулярно линии их центров.

 Пусть A и B — данные точки. Множество всех точек M пространства таких, что треугольник ABM — равнобедренный, представляет собой объединение, компонентами которого являются: 1) плоскость α, перпендикулярная прямой AB и делящая отрезок AB пополам, за исключением точки пересечения AB с плоскостью α; 2) сферы S1 радиуса AB с центром в точке A, за исключением точек пересечения прямой AB с этой сферой; 3) сфера S2 радиуса BA с центром в точке B, за исключением точек пересечения прямой AB с этой сферой.

 Множество всех точек пространства, из каждой из которых данный отрезок AB виден под прямым углом, есть сфера с диаметром AB, за исключением точек A и B.

Задания для работы с интернет-ресурсами

1. Найдите в Интернете задачи и рисунки по темам: «Расстояние между точкой и фигурой», «Расстояние от точки до прямой на плоскости», «Расстояние от точки до прямой в пространстве», «Расстояние от точки до плоскости», «Приёмы нахождения расстояний от точки до фигуры в пространстве».

2. Наберите в поисковой системе слова «Расстояние между двумя параллельными прямыми», «Расстояние между прямой и плоскостью», «Расстояние между двумя параллельными плоскостями», «Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми», «Расстояние между двумя фигурами в пространстве», а также «Угол между наклонной и плоскостью». Найдите и решите задачи ЕГЭ типа С-2 в демоверсиях и на других сайтах. Постарайтесь найти статьи на эту тему в журнале «Квант» и «Библиотечка кванта», выложенных, например, на сайтах: http://www.mccme.ru/, точнее, на http://www.math.ru/lib/. Посмотрите также материалы математических олимпиад.

3. Изучите материал по теме: «Геометрические места точек в пространстве». Сравните эти материалы с примерами из учебника. Посмотрите, например, реферат по теме: «Сравнительная характеристика геометрических мест точек на плоскости и в пространстве». Наберите в поисковой системе слова отдельно о каждом указанном в учебнике геометрическом месте точек в пространстве. Посмотрите рисунки.

Математическая сущность метода геометрических мест весьма проста. Она состоит в том, что искомая точка определяется как точка пересечения некоторых двух геометрических мест (или иногда как точка пересечения некоторого геометрического места с данной прямой или окружностью); при этом те условия задачи, которые определяют положение искомой точки, расчленяются мысленно на два условия, и каждое из них дает некоторое геометрическое место, построение которого оказывается возможным (иногда одно из этих геометрических мест заменяется непосредственно данной прямой или окружностью) [18].

Метод геометрических мест является одним из важнейших приемов решения геометрических задач на построение вообще и должен занимать большое место в решении задач на построение, по преимуществу в 8 классе.

При изложении этого метода в школе дело, конечно, заключается не в том, чтобы учащиеся умели описать суть метода словами, а в том, чтобы учащиеся умели сознательно пользоваться этим методом.

Основа данного метода – понятие геометрического места точек. Геометрическим местом точек (ГМТ) пространства, обладающих данным свойством, называется множество всех точек пространства, каждая из которых обладает этим свойством.

Все остальные точки пространства указанным свойством не обладают. ГМТ задается свойством точек, которое называется характеристическим свойством этого ГМТ (фигуры).

Каждая задача, в которой требуется найти ГМТ по его характеристическому свойству, предполагает требование описать это ГМТ наглядно через известные элементарные фигуры. Решение задачи на отыскание ГМТ неизбежно приводит к доказательству двух утверждений – прямого и ему противоположного; необходимо доказать, что: 1) каждая точка предполагаемого (искомого) ГМТ обладает заданным свойством; 2) любая точка, не принадлежащая этой фигуре, заданным свойством не обладает.

Набор изучаемых ГМТ может быть самым разнообразным. Традиционный школьный набор – это:

а) множество всех точек плоскости, удаленных от данной точки на данное расстояние;

б) множество всех точек плоскости, равноудаленных от двух данных точек;

в) множество всех точек плоскости, удаленных от данной прямой на данное расстояние;

г) множество всех точек плоскости, равноудаленных от двух данных прямых.

Кроме этого к списку по возможности могут быть добавлены следующие ГМТ:

а) множество всех точек плоскости, из которых данный отрезок виден под данным углом (частный случай – множество всех точек плоскости, из которых данный отрезок идеен под прямым углом);

б) множество всех точек плоскости, для каждой из которых разность квадратов расстояний до двух данных точек постоянна, равна квадрату данного отрезка;

в) множество вех точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояний до двух данных точек постоянно (окружность Аполлония).

Рассматривать эти ГМТ целесообразно только в классах с углубленным изучением математики, а также на внеклассных занятиях по математике.

Сущность метода геометрических мест заключается в следующем:

а) задача сводится к построению некоторой точки;

б) выясняется, какими свойствами обладает данная точка;

в) рассматривается одно из свойств, строится множество всех точек, обладающих этим свойством;

г) берется следующее свойство и так далее;

д) поскольку искомая точка должна обладать всеми этими свойствами, то она должна принадлежать каждому из построенных множеств, то есть принадлежит пересечению этих множеств.

В Приложении 4 приведено решение задачи: “Построить треугольник АВС по двум высотам, проведенным из вершин В и С, и по медиане, проведенной из вершины А”.

Методические рекомендации по методу ГМТ [10]. Понятие ГМТ, обладающих некоторым свойством, лучше ввести на примере ГМТ, равноудаленных от двух данных точек. А затем, когда будут изучены признаки равенства прямоугольных треугольников, при решении задачи о нахождения точки, равноудаленной от двух данных точек А и В, необходимо дать определение ГМТ, обладающих некоторым свойством, как множество всех точек, обладающих этим свойством.

Уже в 7 классе встречаются некоторые задачи, решение которых можно было бы рассматривать как использование метода геометрических мест (например, задача на построение треугольника по трем сторонам). Однако само упоминание о методе и его изучение должно быть отнесено к 8 классу.

В каком же месте курса 8 класса следует знакомить учащихся с методом геометрических мест? Несомненно, что это должно быть сделано по возможности ранее. Наиболее подходящим для этого временем был бы тот момент, когда учащиеся в конце темы “Четырехугольники” ознакомились с достаточным числом геометрических мест.

Учитель начинает с того, что показывает учащимся, какое значение имеет идея геометрического места при решении хорошо известной им задачи, скажем при построении треугольника по трем сторонам. Пусть основание треугольника АВ уже построено; остается определить положение третей вершины С. Выясняется, что для определения положения точки С в задаче остаются два условия: длина сторон АС и ВС. Проводя дугу окружности с центром в точке А и радиусом В, мы строим геометрическое место точек, расстояние которых от точки А равно В; аналогично для второй дуги, и т. д. Вслед за этим может быть предложен как в классе, так и для решения дома, ряд других несложных задач, близких по содержанию к предыдущей, например:

1) построить треугольник по основанию, медиане, проведенной к основанию и боковой стороне;

2) построить треугольник по основанию, боковой стороне и высоте, опущенной на основание.

Целесообразно в качестве одной из первых задач на метод геометрических мест дать и такую задачу, где искомая фигура определялась бы не только по своей форме и размерам, но и по положению на плоскости. Примером может служить следующая задача:

3) построить равнобедренный треугольник, у которого основанием служит данный отрезок АВ, а вершина лежит на данной окружности [10].

В дальнейшей работе по геометрии в 8 классе задачи на метод геометрических мест должны предлагаться систематически до конца учебного года вместе с задачами на вычисление. Наряду с этим применение метода геометрических мест должно быть отчетливо выяснено учащимся и в тех вопросах теоретического курса, где это уместно. Сюда относятся такие вопросы, как проведение окружности через три точки, построение касательной к окружности из данной точки, построение вписанных и описанных окружностей (при решении этой задачи особенно полезным будет рассмотрение геометрического места точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, вместо геометрического места точек, равноудаленных от сторон данного угла).