Градиент функции
Как найти?
Постановка задачи
Найти градиент функции $ f(x,y,z) $ в точке $ M(x_0,y_0,z_0) $
План решения
Градиент функции $ f(x,y,z) $ – это вектор, каждая координата которого является частной производной первого порядка этой функции:
$$ grad f = frac{partial f}{partial x} overline {i} + frac{partial f}{partial y} overline{j} + frac{partial f}{partial z} overline {k} $$
- Берём частные производные первого порядка от функции $ f(x,y,z) $:
$$ frac{partial f}{partial x}, frac{partial f}{partial y}, frac{partial f}{partial z} $$ - Вычисляем полученные производные в точке $ M(x_0,y_0,z_0) $:
$$ frac{partial f}{partial x} bigg |_{M(x_0,y_0,z_0)}, frac{partial f}{partial y} bigg |_{M(x_0,y_0,z_0)}, frac{partial f}{partial z} bigg |_{M(x_0,y_0,z_0)} $$ - Подставляем, полученные данные в формулу градиента функции:
$$ grad f bigg |_M = frac{partial f}{partial x} bigg |_M overline{i} + frac{partial f}{partial y} bigg |_M overline{j} + frac{partial f}{partial z} bigg |_M overline{k} $$
Примеры решений
| Пример 1 |
| Найти градиент функции $ u = x + ln (z^2+y^2) $ в точке $ M(2,1,1) $ |
| Решение |
|
Находим частные производные первого порядка функции трёх переменных: Вычисляем значение производных в точке $ M(2,1,1) $: $$ frac{partial f}{partial x} bigg |_{M(2,1,1)} = 1 $$ $$ frac{partial f}{partial y} bigg |_{M(2,1,1)} = frac{2 cdot 1}{1^2+1^2} = frac{2}{2}=1 $$ $$ frac{partial f}{partial z} bigg |_{M(2,1,1)} = frac{2cdot 1}{1^2 + 1^2} = frac{2}{2}=1 $$ Подставляем в формулу градиента функции полученные данные: $$ grad f = 1 cdot overline{i} + 1 cdot overline{j} + 1 cdot overline{k} = overline{i}+overline{j}+overline{k} $$ Запишем ответ в координатной форме: $$ grad f = overline{i}+overline{j}+overline{k} = (1,1,1) $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ grad f = (1,1,1) $$ |
| Пример 2 |
| Найти градиент функции $ u = sin(x+2y)+2sqrt{xyz} $ в точке $ M bigg (frac{pi}{2},frac{3pi}{2},3 bigg ) $ |
| Решение |
|
Находим частные производные: $$ frac{partial f}{partial x} = cos(x+2y) + frac{yz}{sqrt{xyz}} $$ $$ frac{partial f}{partial y} = 2cos(x+2y) + frac{xz}{sqrt{xyz}} $$ $$ frac{partial f}{partial z} = frac{xy}{sqrt{xyz}} $$ Вычисляем значения производных в точке $ M bigg (frac{pi}{2},frac{3pi}{2},3 bigg ) $: $$ frac{partial f}{partial x} bigg |_{M(frac{pi}{2},frac{3pi}{2},3)} = cos(frac{pi}{2}+3pi)+ frac{frac{9pi}{2}}{sqrt{frac{9pi^2}{4}}} = cos frac{7pi}{2} + sqrt{9} = 3 $$ $$ frac{partial f}{partial y} bigg |_{M(frac{pi}{2},frac{3pi}{2},3)} = 2 cos(frac{pi}{2}+3pi) + frac{frac{3pi}{2}}{sqrt{frac{9pi^2}{4}}} = 2 cos frac{7pi}{2} + 1 = 2 cdot 0 + 1 = 1 $$ $$ frac{partial f}{partial y} bigg |_{M(frac{pi}{2},frac{3pi}{2},3)} = frac{frac{3pi^2}{4}}{sqrt{frac{9pi^2}{4}}} = sqrt{frac{pi^2}{4}} = frac{pi}{2} $$ Подставляем вычисленные недостающие данные в формулу и получаем: $$ grad f = 3 cdot overline{i}+ 1 cdot overline{j} + frac{pi}{2} cdot overline{k} = 3overline{i}+overline{j}+frac{pi}{2} overline{k} $$ Записываем ответ в координатной форме: $$ grad f = (3,1,frac{pi}{2}) $$ |
| Ответ |
| $$ grad f = (3,1,frac{pi}{2}) $$ |
Приветствую всех. Сегодня на занятии хотелось бы затронуть немало важную тему, связанную одновременно с дифференциальным исчислением и векторной алгеброй. Мы постараемся как можно меньше углубляться в теоретические тезисы и побольше сделаем упор на решение практических задач. Незамедлительно начнём.
Определение слова “градиент” в математике нужно усвоить.
Градиент – это вектор показывающий направление наибольшего возрастания функции. Модуль вектора градиента показывает скорость изменения функции.
Запишем формулу для нахождения вектора градиента:
При нашем раскладе можно с теорией закончить, этого будет достаточно.
Разберём простенький примерчик для начала.
Никто ведь не забыл как брать частные производные? Если подзабыли, ссылочка (на статью) будет в конце урока.
Было слишком уж просто для нас, возьмём что-нибудь посложнее.
Такого плана примеры уже устно не решишь, хотя… Нет, всё же возможно.
Не будем перенапрягаться сильно, рассмотрим последний пример и пойдём отдыхать.
Берёмся за дело.
Не отчаиваемся что уже конец практики, у вас всегда есть возможность найти похожие задачки в интернете или взять в библиотеке задачник по высшей математике. Практикуйтесь, практикуйтесь, и ещё раз практикуйтесь. Спасибо за внимание.
Другие темы:
Пусть F(x,y,z)F(x,y,z) – функция трех переменных, (x,y,z)(x,y,z) – декартовы координаты.
Градиентом функции F(x,y,z)F(x,y,z) называется векторное поле
∇F(x,y,z)=∂F∂xi+∂F∂yj+∂F∂zk,
nabla F(x,y,z)=frac{partial F}{partial x}mathbf{i}+frac{partial F}{partial y}mathbf{j}+frac{partial F}{partial z}mathbf{k},
где ∂F∂xfrac{partial F}{partial x}, ∂F∂yfrac{partial F}{partial y} и ∂F∂zfrac{partial F}{partial z} – частные производные функции F(x,y,z)F(x,y,z), а imathbf{i}, jmathbf{j} и kmathbf{k} – базис декартовой системы координат (x,y,z)(x,y,z).
Иногда градиент обозначается так: gradF(x,y,z)operatorname{grad} F(x,y,z).
Градиент функции в данной точке показывает направление наибольшего роста функции.
Пример 1
Найти градиент функции F(x,y,z)=ln(x2+y2+z2)F(x,y,z)=ln(x^2+y^2+z^2) в точке M(1,2,3)M(1,2,3).
Вычислим частные производные:
∂F∂x=∂∂xln(x2+y2+z2)=2xx2+y2+z2,
frac{partial F}{partial x}=frac{partial }{partial x}ln(x^2+y^2+z^2)=frac{2x}{x^2+y^2+z^2},
∂F∂y=∂∂yln(x2+y2+z2)=2yx2+y2+z2,
frac{partial F}{partial y}=frac{partial }{partial y}ln(x^2+y^2+z^2)=frac{2y}{x^2+y^2+z^2},
∂F∂z=∂∂zln(x2+y2+z2)=2zx2+y2+z2.
frac{partial F}{partial z}=frac{partial }{partial z}ln(x^2+y^2+z^2)=frac{2z}{x^2+y^2+z^2}.
Градиент в точке M(1,2,3)M(1,2,3) (подставляем в формулы для частных производных значения x=1x=1, y=2y=2, z=3z=3):
∇F(M)=17 i+27 j+37 k=17 OM→.
nabla F(M)=frac{1}{7},,mathbf{i}+frac{2}{7},,mathbf{j}+frac{3}{7},,mathbf{k}=frac{1}{7},,overrightarrow{OM}.
Производная по направлению
Пусть FF – функция на плоскости или в пространстве.
Производной функции FF по направлению вектора amathbf{a} в точке MM называется число
∂F∂a(M)=1∥a∥ddεF(M+εa)∣ε=0,
frac{partial F}{partialmathbf{a}}(M)=frac{1}{|mathbf{a}|}left.frac{d}{dvarepsilon}Fleft(M+varepsilon mathbf{a}right)right|_{varepsilon=0},
если производная в правой части существует.
Пример 2
Найдем производную функции F(x,y,z)=x2y−y2z+z2xF(x,y,z)=x^2y-y^2z+z^2x по направлению вектора a=i−2j+2kmathbf{a}=mathbf{i}-2mathbf{j}+2mathbf{k} в точке M(−1,0,1)M(-1,0,1).
Вычисляем значение функции в точке M+εaM+varepsilon mathbf{a} с координатами (−1+ε,−2ε,1+2ε)(-1+varepsilon,-2varepsilon,1+2varepsilon):
F(M+εa)=(−1+ε)2(−2ε)−(−2ε)2(1+2ε)+(1+2ε)2(−1+ε)=−6ε3−5ε−1.
Fleft(M+varepsilon mathbf{a}right)=(-1+varepsilon)^2(-2varepsilon)-(-2varepsilon)^2(1+2varepsilon)+(1+2varepsilon)^2(-1+varepsilon)=-6{varepsilon^{3}}-5varepsilon-1.
Длина вектора amathbf{a}:
∥a∥=a12+a22+a32=12+(−2)2+22=9=3.
|mathbf{a}|=sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}=sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}=sqrt{9}=3.
Производная по направлению:
∂F∂a(M)=1∥a∥ddεF(M+εa)∣ε=0=13ddε(−6ε3−5ε−1)∣ε=0=−53
frac{partial F}{partialmathbf{a}}(M)=frac{1}{|mathbf{a}|}left.frac{d}{dvarepsilon}Fleft(M+varepsilon mathbf{a}right)right|_{varepsilon=0}=frac{1}{3}left.frac{d}{dvarepsilon}left(-6{varepsilon^{3}}-5varepsilon-1right)right|_{varepsilon=0}=-frac{5}{3}
Выражение производной по направлению через градиент
Используя формулу Тейлора для функций нескольких переменных, легко получить выражение производной по направлению через градиент. Действительно, из равенства
F(M+εa)=F(M)+ε(∇F(M),a)+o(ε2)Fleft(M+varepsilon mathbf{a}right)=F(M)+varepsilonleft(nabla F(M),mathbf{a}right)+oleft(varepsilon^2right)
следует, что
ddεF(M+εa)∣ε=0=(∇F(M),a).
left.frac{d}{dvarepsilon}Fleft(M+varepsilon mathbf{a}right)right|_{varepsilon=0}=left(nabla F(M),mathbf{a}right).
Таким образом,
∂F∂a(M)=(∇F(M),a)∥a∥.
frac{partial F}{partialmathbf{a}}(M)=frac{left(nabla F(M),mathbf{a}right)}{|mathbf{a}|}.
Пример 2′2′
Найдем производную функции F(x,y,z)=x2y−y2z+z2xF(x,y,z)=x^2y-y^2z+z^2x по направлению вектора a=i−2j+2kmathbf{a}=mathbf{i}-2mathbf{j}+2mathbf{k} в точке M(−1,0,1)M(-1,0,1) используя градиент.
Частные производные:
∂F∂x(M)=2xy+z2∣(x,y,z)=(−1,0,1)=1,
frac{partial F}{partial x}(M)=left.2xy+z^2right|_{(x,y,z)=(-1,0,1)}=1,
∂F∂y(M)=x2−2yz∣(x,y,z)=(−1,0,1)=1,
frac{partial F}{partial y}(M)=left.x^2-2yzright|_{(x,y,z)=(-1,0,1)}=1,
∂F∂z(M)=−y2+2zx∣(x,y,z)=(−1,0,1)=−2.
frac{partial F}{partial z}(M)=left.-y^2+2zxright|_{(x,y,z)=(-1,0,1)}=-2.
Градиент:
∇F(M)=i+j−2k.
nabla F(M)=mathbf{i}+mathbf{j}-2mathbf{k}.
Скалярное произведение:
(∇F(M),a)=(i+j−2k,i−2j+2k)=1−2−4=−5.
left(nabla F(M),mathbf{a}right)=left(mathbf{i}+mathbf{j}-2mathbf{k},mathbf{i}-2mathbf{j}+2mathbf{k}right)=1-2-4=-5.
Производная по направлению:
∂F∂a(M)=(∇F(M),a)∥a∥=−53.
frac{partial F}{partialmathbf{a}}(M)=frac{left(nabla F(M),mathbf{a}right)}{|mathbf{a}|}=-frac{5}{3}.
Тест по теме “Градиент функции. Производная по направлению”
Градиент функции
Градиент — вектор, своим направлением указывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины u. Другими словами, направление градиента есть направление наибыстрейшего возрастания функции.
Назначение сервиса. Онлайн калькулятор используется для нахождения градиента функции нескольких переменных. (см. пример) При этом решаются следующие задачи:
- нахождение частных производных функции, запись формулы градиента, вычисление наибольшой скорости возрастания функции в указанной точке;
- вычисление градиента в точке A, нахождение производной в точке A по направлению вектора a;
- нахождение полного дифференциала функции.
- Шаг №1
- Шаг №2
- Видеоинструкция
- Оформление Word
Решение со всеми исходными формулами сохраняется в формате Word.
Полный дифференциал для функции двух переменных: 
Полный дифференциал для функции трех переменных равен сумме частных дифференциалов: d f(x,y,z)=dxf(x,y,z)dx+dyf(x,y,z)dy+dzf(x,y,z)dz
Алгоритм нахождения градиента
- Вычисление частных производных по формуле:
- Вычисление частных производных в точке A.
- Нахождение направляющих углов вектора a.
- Вычисление производной в точке A по направлению вектора a по формуле;
- Наибольшая скорость возрастания функции в указанной точке равна модулю градиента функции в этой точке.
Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).
Щебетун Виктор
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
Определение 1
Если для каждой пары $(x,y)$ значений двух независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $z$, то говорят, что $z$ является функцией двух переменных $(x,y)$. Обозначение: $z=f(x,y)$.
Рассмотрим функцию $z=f(x,y)$, которая определена в некоторой области в пространстве $Oxy$.
Для заданной функции определим вектор, для которого проекциями на оси координат являются значения частных производных заданной функции в некоторой точке $frac{partial z}{partial x} ;frac{partial z}{partial y} $.
Определение 2
Градиентом заданной функции $z=f(x,y)$ называется вектор $overrightarrow{gradz} $ следующего вида:
[overrightarrow{gradz} =frac{partial z}{partial x} cdot overrightarrow{i} +frac{partial z}{partial y} cdot overrightarrow{j} .]
Сдай на права пока
учишься в ВУЗе
Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!
Получить скидку 3 000 ₽
Пусть в некотором скалярном поле $z=z(x,y)$ определено поле градиентов
[overrightarrow{gradz} =frac{partial z}{partial x} cdot overrightarrow{i} +frac{partial z}{partial y} cdot overrightarrow{j} .]
Производная $frac{partial z}{partial s} $ по направлению заданного вектора $overrightarrow{s} $ равна проекции вектора градиента $overrightarrow{gradz} $ на заданный вектор $overrightarrow{s} $.
Теорема 2
Для функции двух переменных вектор $overrightarrow{gradz} $ направлен перпендикулярно к линии уровня $z(x,y)=c$, которая лежит в плоскости $Oxy$ и проходит через соответствующую точку.
Пример 1
Определить градиент заданной функции
[z=x^{2} +2y^{2} .]
Решение:
Выражение для градиента находим по формуле
[overrightarrow{gradz} =frac{partial z}{partial x} cdot overrightarrow{i} +frac{partial z}{partial y} cdot overrightarrow{j} .]
Частные производные имеют вид:
[frac{partial z}{partial x} =2x;frac{partial z}{partial y} =4y.]
Следовательно,
[overrightarrow{gradz} =2xcdot overrightarrow{i} +4ycdot overrightarrow{j} .]
«Градиент заданной функции» 👇
Пример 2
Определить градиент заданной функции
[z=x+y^{2} ]
в точке $M(1;2)$. Вычислить $left(|overrightarrow{gradz} |right)_{M} $.
Решение:
Выражение для градиента в заданной точке находим по формуле
[left(overrightarrow{gradz} right)_{M} =left(frac{partial z}{partial x} right)_{M} cdot overrightarrow{i} +left(frac{partial z}{partial y} right)_{M} cdot overrightarrow{j} .]
Частные производные имеют вид:
[frac{partial z}{partial x} =1;frac{partial z}{partial y} =2y.]
Производные в точке $M(1;2)$:
[frac{partial z}{partial x} =1;frac{partial z}{partial y} =2cdot 2=4.]
Следовательно,
[left(overrightarrow{gradz} right)_{M} =overrightarrow{i} +4cdot overrightarrow{j} ]
и
[left(|overrightarrow{gradz} |right)_{M} =sqrt{1^{2} +4^{2} } =sqrt{1+16} =sqrt{17} .]
Пример 3
Записать уравнение линии уровня в условиях примера 2.
Решение:
Выражение для линии уровня имеет вид:
[z(x,y)=c.]
В условиях примера 2 получаем:
[x+y^{2} =c.]
Подставив координаты точки, вычислим значение константы:
[1+2^{2} =1+4=5.]
Следовательно,
[x+y^{2} =5.]
Определение 3
Если для каждой тройки $(x,y,z)$ значений трех независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $w$, то говорят, что $w$ является функцией трех переменных $(x,y,z)$ в данной области.
Обозначение: $w=f(x,y,z)$.
Рассмотрим функцию $w=f(x,y,z)$, которая определена в некоторой области в пространстве $Oxyz$.
Для заданной функции определим вектор, для которого проекциями на оси координат являются значения частных производных заданной функции в некоторой точке $frac{partial z}{partial x} ;frac{partial z}{partial y} $.
Определение 4
Градиентом заданной функции $w=f(x,y,z)$ называется вектор $overrightarrow{gradw} $ следующего вида:
[overrightarrow{gradw} =frac{partial w}{partial x} cdot overrightarrow{i} +frac{partial w}{partial y} cdot overrightarrow{j} +frac{partial w}{partial z} cdot overrightarrow{k} .]
Теорема 3
Пусть в некотором скалярном поле $w=f(x,y,z)$ определено поле градиентов
[overrightarrow{gradw} =frac{partial w}{partial x} cdot overrightarrow{i} +frac{partial w}{partial y} cdot overrightarrow{j} +frac{partial w}{partial z} cdot overrightarrow{k} .]
Производная $frac{partial w}{partial s} $ по направлению заданного вектора $overrightarrow{s} $ равна проекции вектора градиента $overrightarrow{gradw} $ на заданный вектор $overrightarrow{s} $.
Пример 4
Определить градиент заданной функции
[w=x^{2} +2y^{2} +2z.]
Решение:
Выражение для градиента находим по формуле
[overrightarrow{gradw} =frac{partial w}{partial x} cdot overrightarrow{i} +frac{partial w}{partial y} cdot overrightarrow{j} +frac{partial w}{partial z} cdot overrightarrow{k} .]
Частные производные имеют вид:
[frac{partial w}{partial x} =2x;frac{partial w}{partial y} =4y;frac{partial w}{partial z} =2.]
Следовательно,
[overrightarrow{gradw} =2xcdot overrightarrow{i} +4ycdot overrightarrow{j} +2cdot overrightarrow{k} .]
Пример 5
Определить градиент заданной функции
[w=x^{2} +2y^{2} +2z^{3} ]
в точке $M(1;2;1)$. Вычислить $left(|overrightarrow{gradz} |right)_{M} $.
Решение:
Выражение для градиента в заданной точке находим по формуле
[left(overrightarrow{gradw} right)_{M} =left(frac{partial w}{partial x} right)_{M} cdot overrightarrow{i} +left(frac{partial w}{partial y} right)_{M} cdot overrightarrow{j} +left(frac{partial w}{partial z} right)_{M} cdot overrightarrow{k} .]
Частные производные имеют вид:
[frac{partial w}{partial x} =2x;frac{partial w}{partial y} =4y;frac{partial w}{partial z} =6z^{2} .]
Производные в точке $M(1;2)$:
[frac{partial w}{partial x} =2cdot 1=2;frac{partial w}{partial y} =4cdot 2=8;frac{partial w}{partial z} =6cdot 1^{2} =6.]
Следовательно,
[left(overrightarrow{gradw} right)_{M} =2cdot overrightarrow{i} +8cdot overrightarrow{j} +6cdot overrightarrow{k} ]
и
[left(|overrightarrow{gradw} |right)_{M} =sqrt{2^{2} +8^{2} +6^{2} } =sqrt{4+64+36} =sqrt{104} .]
Перечислим некоторые свойства градиента:
-
Производная заданной функции в заданной точке по направлению некоторого вектора $overrightarrow{s} $ имеет наибольшее значение, если направление данного вектора $overrightarrow{s} $ совпадает с направлением градиента. При этом данное наибольшее значение производной совпадает с длиной вектора градиента, т.е. $|overrightarrow{gradw} |$.
-
Производная заданной функции по направлению вектора, который перпендикулярен к вектору градиента, т.е. $overrightarrow{gradw} $, равна 0. Так как $varphi =frac{pi }{2} $, то $cos varphi =0$; следовательно, $frac{partial w}{partial s} =|overrightarrow{gradw} |cdot cos varphi =0$.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
