Как найти градиент прямой

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).

Зафиксируем
значение
,
получим уравнениепервой степени с двумя переменными,
которое геометрически задает прямую.
В каждой точке данной прямой функция
принимает одно и то же значениеи являетсялинией
уровня.
Придавая
различные значения, например,,
… , получим множество линий уровня,
которые образуютсовокупность
параллельных
прямых.

Для линейной
функции
градиент
– это вектор
,
координаты которого равны частным
производным функциипои по(значениям коэффициентов при переменных
в целевой функции). Данный вектор
перпендикулярен каждой прямой (линии
уровня)и показывает направление возрастания
целевой функции.

Пример 4.
Построить линии уровня и градиент
функции
.

Линии уровня
при
,,– это прямые,,,параллельные
друг другу.

Градиент
– это вектор
,
перпендикулярный каждой линии уровня.

2.4. Графическое нахождение наибольшего и наименьшего значений линейной функции в области

Геометрическая
постановка задачи.
Найти в
области решений системы линейных
неравенств точку, через которую проходит
линия уровня, соответствующая наибольшему
(наименьшему) значению линейной функции
с двумя переменными.

Последовательность
действий:

1. Построить
   область допустимых решений системы
   линейных неравенств
   Если область непустая, то можно говорить
   о целесообразности нахождения в ней
   наибольшего и наименьшего значений
   функции.

В

A

1. Построить градиент
   и одну из линий уровня
   
   функции
   .

2. Параллельным
   перемещением прямой
   в направлении векторагеометрически найти две точки:

• точку А «входа»
  в область. Эта точка определяет точку
  наименьшего значения функции
  ;

• точку В «выхода»
  из области. Эта точка определяет точку
  наибольшего значения функции
  .

4. Найти координаты
точки А, решая систему уравнений прямых,
пересекающихся в точке А. Вычислить
наименьшее значение функции
.
Аналогично – для точки В и наибольшего
значения функции.

Пример 5.
Найти наибольшее и наименьшее значения
функции

в области решений
системы линейных неравенств

Решение

1.
Построим область решений системы
линейных неравенств.

у

1

О 2 x

Прямая (),
точки для построенияи.
Так какверно, то полуплоскость обращена в
сторону точки.

Прямую ()строим по точками;
неравенствоверное, полуплоскость направлена к
началу координат.

Прямая ()построена по точками;
полуплоскость обращена в сторону.

Неравенства
ипоказывают, что искомая область
(пересечение всех полуплоскостей)
находится в первой координатной четверти.

2. Построим
градиент функции
.
Это вектор с координатамис началом в точке.
Перпендикулярно градиенту построимодну из линий
уровня.

3. Параллельным
движением линии уровня в направлении
градиента
найдем точку
«входа» линии уровня в область
– это точка О(0,0). Вычислим значение
функции в
этой точке:
.

4. Продолжая движение
линии уровня в направлении градиента
,
найдемточку
«выхода» линии уровня из области
– это точка А. Для определения ее
координат решим систему уравнений
прямых
и:Решение системы уравненийи.
Вычислимзначение
функции в точке
:.

Ответ:
,.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Приветствую всех. Сегодня на занятии хотелось бы затронуть немало важную тему, связанную одновременно с дифференциальным исчислением и векторной алгеброй. Мы постараемся как можно меньше углубляться в теоретические тезисы и побольше сделаем упор на решение практических задач. Незамедлительно начнём.

Определение слова “градиент” в математике нужно усвоить.

Градиент – это вектор показывающий направление наибольшего возрастания функции. Модуль вектора градиента показывает скорость изменения функции.

Запишем формулу для нахождения вектора градиента:

При нашем раскладе можно с теорией закончить, этого будет достаточно.

Разберём простенький примерчик для начала.

Никто ведь не забыл как брать частные производные? Если подзабыли, ссылочка (на статью) будет в конце урока.

Было слишком уж просто для нас, возьмём что-нибудь посложнее.

Такого плана примеры уже устно не решишь, хотя… Нет, всё же возможно.

Не будем перенапрягаться сильно, рассмотрим последний пример и пойдём отдыхать.

Берёмся за дело.

Не отчаиваемся что уже конец практики, у вас всегда есть возможность найти похожие задачки в интернете или взять в библиотеке задачник по высшей математике. Практикуйтесь, практикуйтесь, и ещё раз практикуйтесь. Спасибо за внимание.

Другие темы:

Градиент функции

Как найти?

Постановка задачи

Найти градиент функции $ f(x,y,z) $ в точке $ M(x_0,y_0,z_0) $

План решения

Градиент функции $ f(x,y,z) $ – это вектор, каждая координата которого является частной производной первого порядка этой функции:

$$ grad f = frac{partial f}{partial x} overline {i} + frac{partial f}{partial y} overline{j} + frac{partial f}{partial z} overline {k} $$

1. Берём частные производные первого порядка от функции $ f(x,y,z) $:
   $$ frac{partial f}{partial x}, frac{partial f}{partial y}, frac{partial f}{partial z} $$
2. Вычисляем полученные производные в точке $ M(x_0,y_0,z_0) $:
   $$ frac{partial f}{partial x} bigg |_{M(x_0,y_0,z_0)}, frac{partial f}{partial y} bigg |_{M(x_0,y_0,z_0)}, frac{partial f}{partial z} bigg |_{M(x_0,y_0,z_0)} $$
3. Подставляем, полученные данные в формулу градиента функции:
   $$ grad f bigg |_M = frac{partial f}{partial x} bigg |_M overline{i} + frac{partial f}{partial y} bigg |_M overline{j} + frac{partial f}{partial z} bigg |_M overline{k} $$

Примеры решений

Пусть F(x,y,z)F(x,y,z) – функция трех переменных, (x,y,z)(x,y,z) – декартовы координаты.

Градиентом функции F(x,y,z)F(x,y,z) называется векторное поле

∇F(x,y,z)=∂F∂xi+∂F∂yj+∂F∂zk,
nabla F(x,y,z)=frac{partial F}{partial x}mathbf{i}+frac{partial F}{partial y}mathbf{j}+frac{partial F}{partial z}mathbf{k},

где ∂F∂xfrac{partial F}{partial x}, ∂F∂yfrac{partial F}{partial y} и ∂F∂zfrac{partial F}{partial z} – частные производные функции F(x,y,z)F(x,y,z), а imathbf{i}, jmathbf{j} и kmathbf{k} – базис декартовой системы координат (x,y,z)(x,y,z).

Иногда градиент обозначается так: grad⁡F(x,y,z)operatorname{grad} F(x,y,z).

Градиент функции в данной точке показывает направление наибольшего роста функции.

Пример 1

Найти градиент функции F(x,y,z)=ln⁡(x2+y2+z2)F(x,y,z)=ln(x^2+y^2+z^2) в точке M(1,2,3)M(1,2,3).

Вычислим частные производные:
∂F∂x=∂∂xln⁡(x2+y2+z2)=2xx2+y2+z2,
frac{partial F}{partial x}=frac{partial }{partial x}ln(x^2+y^2+z^2)=frac{2x}{x^2+y^2+z^2},

∂F∂y=∂∂yln⁡(x2+y2+z2)=2yx2+y2+z2,
frac{partial F}{partial y}=frac{partial }{partial y}ln(x^2+y^2+z^2)=frac{2y}{x^2+y^2+z^2},

∂F∂z=∂∂zln⁡(x2+y2+z2)=2zx2+y2+z2.
frac{partial F}{partial z}=frac{partial }{partial z}ln(x^2+y^2+z^2)=frac{2z}{x^2+y^2+z^2}.

Градиент в точке M(1,2,3)M(1,2,3) (подставляем в формулы для частных производных значения x=1x=1, y=2y=2, z=3z=3):

∇F(M)=17  i+27  j+37  k=17  OM→.
nabla F(M)=frac{1}{7},,mathbf{i}+frac{2}{7},,mathbf{j}+frac{3}{7},,mathbf{k}=frac{1}{7},,overrightarrow{OM}.

Производная по направлению

Пусть FF – функция на плоскости или в пространстве.

Производной функции FF по направлению вектора amathbf{a} в точке MM называется число

∂F∂a(M)=1∥a∥ddεF(M+εa)∣ε=0,
frac{partial F}{partialmathbf{a}}(M)=frac{1}{|mathbf{a}|}left.frac{d}{dvarepsilon}Fleft(M+varepsilon mathbf{a}right)right|_{varepsilon=0},

если производная в правой части существует.

Пример 2

Найдем производную функции F(x,y,z)=x2y−y2z+z2xF(x,y,z)=x^2y-y^2z+z^2x по направлению вектора a=i−2j+2kmathbf{a}=mathbf{i}-2mathbf{j}+2mathbf{k} в точке M(−1,0,1)M(-1,0,1).

Вычисляем значение функции в точке M+εaM+varepsilon mathbf{a} с координатами (−1+ε,−2ε,1+2ε)(-1+varepsilon,-2varepsilon,1+2varepsilon):

F(M+εa)=(−1+ε)2(−2ε)−(−2ε)2(1+2ε)+(1+2ε)2(−1+ε)=−6ε3−5ε−1.
Fleft(M+varepsilon mathbf{a}right)=(-1+varepsilon)^2(-2varepsilon)-(-2varepsilon)^2(1+2varepsilon)+(1+2varepsilon)^2(-1+varepsilon)=-6{varepsilon^{3}}-5varepsilon-1.

Длина вектора amathbf{a}:

∥a∥=a12+a22+a32=12+(−2)2+22=9=3.
|mathbf{a}|=sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}=sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}=sqrt{9}=3.

Производная по направлению:
∂F∂a(M)=1∥a∥ddεF(M+εa)∣ε=0=13ddε(−6ε3−5ε−1)∣ε=0=−53
frac{partial F}{partialmathbf{a}}(M)=frac{1}{|mathbf{a}|}left.frac{d}{dvarepsilon}Fleft(M+varepsilon mathbf{a}right)right|_{varepsilon=0}=frac{1}{3}left.frac{d}{dvarepsilon}left(-6{varepsilon^{3}}-5varepsilon-1right)right|_{varepsilon=0}=-frac{5}{3}

Выражение производной по направлению через градиент

Используя формулу Тейлора для функций нескольких переменных, легко получить выражение производной по направлению через градиент. Действительно, из равенства

F(M+εa)=F(M)+ε(∇F(M),a)+o(ε2)Fleft(M+varepsilon mathbf{a}right)=F(M)+varepsilonleft(nabla F(M),mathbf{a}right)+oleft(varepsilon^2right)

следует, что

ddεF(M+εa)∣ε=0=(∇F(M),a).
left.frac{d}{dvarepsilon}Fleft(M+varepsilon mathbf{a}right)right|_{varepsilon=0}=left(nabla F(M),mathbf{a}right).

Таким образом,

∂F∂a(M)=(∇F(M),a)∥a∥.
frac{partial F}{partialmathbf{a}}(M)=frac{left(nabla F(M),mathbf{a}right)}{|mathbf{a}|}.

Пример 2′2′

Найдем производную функции F(x,y,z)=x2y−y2z+z2xF(x,y,z)=x^2y-y^2z+z^2x по направлению вектора a=i−2j+2kmathbf{a}=mathbf{i}-2mathbf{j}+2mathbf{k} в точке M(−1,0,1)M(-1,0,1) используя градиент.

Частные производные:

∂F∂x(M)=2xy+z2∣(x,y,z)=(−1,0,1)=1,
frac{partial F}{partial x}(M)=left.2xy+z^2right|_{(x,y,z)=(-1,0,1)}=1,

∂F∂y(M)=x2−2yz∣(x,y,z)=(−1,0,1)=1,
frac{partial F}{partial y}(M)=left.x^2-2yzright|_{(x,y,z)=(-1,0,1)}=1,

∂F∂z(M)=−y2+2zx∣(x,y,z)=(−1,0,1)=−2.
frac{partial F}{partial z}(M)=left.-y^2+2zxright|_{(x,y,z)=(-1,0,1)}=-2.

Градиент:

∇F(M)=i+j−2k.
nabla F(M)=mathbf{i}+mathbf{j}-2mathbf{k}.

Скалярное произведение:

(∇F(M),a)=(i+j−2k,i−2j+2k)=1−2−4=−5.
left(nabla F(M),mathbf{a}right)=left(mathbf{i}+mathbf{j}-2mathbf{k},mathbf{i}-2mathbf{j}+2mathbf{k}right)=1-2-4=-5.

Производная по направлению:

∂F∂a(M)=(∇F(M),a)∥a∥=−53.
frac{partial F}{partialmathbf{a}}(M)=frac{left(nabla F(M),mathbf{a}right)}{|mathbf{a}|}=-frac{5}{3}.

Тест по теме “Градиент функции. Производная по направлению”