Как найти градусную меру дуги закругления

Геометрия. Урок 5. Окружность

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

• Определение окружности

• Отрезки в окружности

Определение окружности

Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.

Эта точка называется центром окружности .

Отрезки в окружности

Радиус окружности R – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.

Хорда a – отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Диаметр d – хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности ( d = 2 R ).

O A – радиус, D E – хорда, B C – диаметр.

Теорема 1:
Радиус, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и дугу, которую она стягивает.

Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности.

Теорема 2:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны ( A C = B C ).

Теорема 3:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

Дуга в окружности

Часть окружности, заключенная между двумя точками, называется дугой окружности .

Например, хорда A B стягивает две дуги: ∪ A M B и ∪ A L B .

Теорема 4:
Равные хорды стягивают равные дуги.

Если A B = C D , то ∪ A B = ∪ C D

Углы в окружности

В окружности существует два типа углов: центральные и вписанные.

Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.

∠ A O B – центральный.

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается . ∪ A B = ∠ A O B = α

Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается.

Градусная мара всей окружности равна 360 ° .

Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

∠ A C B – вписанный.

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается . ∠ A C B = ∪ A B 2 = α 2 ∪ A B = 2 ⋅ ∠ A C B = α

Теорема 5:
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны .

∠ M A N = ∠ M B N = ∠ M C N = ∪ M N 2 = α 2

Теорема 6:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр), равен 90 ° .

∠ M A N = ∠ M B N = ∪ M N 2 = 180 ° 2 = 90 °

Длина окружности, длина дуги

Мы узнали, как измеряется градусная мера дуги окружности (она равна градусной мере центрального угла, который на нее опирается) и всей окружности целиком (градусная мера окружности равна 360 ° ). Теперь поговорим о том, что же такое длина дуги в окружности. Длина дуги – это значение, которое мы бы получили, если бы мерили дугу швейным сантиметром. Рассмотрим две окружности с разными радиусами, в каждой из которых построен центральный угол равный α .

Градусная мера дуги ∪ A B равна градусной мере дуги ∪ C D и равна α .

Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси.

Длина окружности находится по формуле:

Длина дуги окружности , на которую опирается центральный угол α равна:

l α = π R 180 ∘ ⋅ α

Площадь круга и его частей

Теперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента.

Круг – часть пространства, которая находится внутри окружности.

Иными словами, окружность – это граница, а круг – это то, что внутри.

Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.

Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка.

Площадь круга находится по формуле: S = π R 2

Сектор – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер.

Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α находится по формуле: S α = π R 2 360 ° ⋅ α

Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу.

Примеры сегмента в реальной жизни: мармелад “лимонная долька”, лук для стрельбы.

Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой.

S = π R 2 360 ° ⋅ α − 1 2 R 2 sin α

Теорема синусов

Если вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов:

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит. Из этих данных можно найти радиус описанной окружности.

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с окружностями.

Геометрия

Именная карта банка для детей
с крутым дизайном, +200 бонусов

Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы

План урока:

Центральный угол и градусная мера дуги

Любые две точки на окружности разбивают ее на две дуги. Чтобы отличать эти дуги, на каждой из них ставят точку, которую и указывают в обозначении дуги:

Здесь красным цветом показана⋃АСВ, а синим – ⋃ADB. Однако иногда для простоты указывают только концы дуги, то есть используют обозначение ⋃AВ. Это делается тогда, когда ясно, о какой дуге окружности идет речь. Обычно всегда подразумевается та дуга, которая меньше.

Можно заметить, что дуги отличаются по размеру, поэтому возникает потребность их измерения. Для этого используют такое понятие, как градусная мера дуги.

Для ее определения необходимо соединить концы дуги с центром окруж-ти. В результате получаются радиусы, которые пересекаются в центре окружности. Угол между ними именуется центральным углом окруж-ти.

Для каждой дуги можно построить единственный центральный угол, поэтому логично измерять дугу с помощью такого угла. Правда, обратное неверно. На рисунке видно, что центральному углу ∠АОВ соответствует сразу две дуги: ⋃АСВ и ⋃АDB:

Поэтому условно считают, градусная мера той из двух дуг, которая меньше, как раз и равна центральному углу:

Дуги, также как отрезки или углы, можно складывать или вычитать. Например, пусть есть две дуги, ⋃AВ и ⋃ВС, чьи градусные меры составляют 40° и 30°.

Как найти ⋃АС? Ей соответствует центральный угол ∠АОС, который в свою очередь равен сумме ∠АОВ и ∠ВОС:

Диаметр делит окруж-ть на две равные друг другу дуги, которые называются полуокружностями. При этом диаметр окружности можно рассматривать как угол между двумя радиусами, равный 180°. Получается, что градусная мера полуокружности составляет 180°:

Вместе две полуокружности образуют полную окруж-ть. Получается, что градусная мера всей окруж-ти составляет 180° + 180° = 360°.

Этот факт известен и из жизни – когда кто-то делает полный оборот вокруг своей оси, говорят, что он повернулся на 360°. Теперь мы можем вернуться к случаю, когда две точки делят окруж-ть на две неравные друг другу дуги. Градусная мера меньшей из них будет равна величине соответствующего центрального угла (обозначим его как α). В сумме две дуги должны дать 360°. Значит, градусная мера большей дуги будет составлять 360° – α:

Задание. Точки А, В, С и D лежат на одной окруж-ти. Известно, что ⋃АСВ составляет 107°. Какова величина ⋃ADB?

Решение. Вместе дуги ⋃АСВ и ⋃АDВ образуют полную окруж-ть, поэтому их сумма равна 360°. Это позволяет составить уравнение и найти из него ⋃АDB:

Задание. Найдите величину ∠АОС на рисунке, если известны ⋃AВ и ⋃ВС:

Решение. Сначала найдем ⋃АС, учтя, что все три дуги, показанные на рисунке, в сумме составляют 360°:

Для доказательства построим две одинаковые хорды AВ и СD в окруж-ти и соединим их концы с центром:

В результате получились ∆АОВ и ∆ОСD. У них равны все три стороны, значит, сами эти треугольники равны. Тогда

∠COD = ∠AOB

Но эти углы – центральные для дуг ⋃AВ и ⋃CD. Получается, что у этих дуг одинаковы их градусные меры, поэтому они также равны, ч. т. д.

Примечание. Всякая хорда окружности разбивает ее на две дуги – большую и меньшую. В данном правиле говорится именно равенстве меньших дуг.

Задание. На окруж-ти отмечены точки А, В и С так, что хорды AВ, ВС и АС равны. Найдите угол между радиусами окружности АО и ВО.

Дуги ⋃AВ, ⋃ВС и ⋃АС стянуты равными хордами AВ, ВС и АС. Значит, они одинаковы. Но в сумме эти три дуги образуют окруж-ть величиной в 360°. Значит, каждая из этих дуг втрое меньше:

⋃AВ = ⋃BC = ⋃AC = 360°:3 = 120°

∠АОВ – центральный для ⋃AВ, значит, он равен ее градусной мере, то есть он составляет 120°.

Вписанный угол

В окруж-ти можно построить ещё один угол, который именуют вписанным углом. Его отличие от центрального заключается в том, что его вершина лежит на окруж-ти, а не в ее центре. Сторонами же вписанного угла являются хорды окруж-ти.

Здесь дуга ⋃ВС находится внутри угла, а ее концы лежат на его сторонах. В таких случаях говорят, что ∠ВАС опирается на дугу ВС. Оказывается, что между величиной вписанного угла и дугой, на которую он опирается, есть взаимосвязь.

Обозначим вписанный угол ∠СAВ буквой α. Так как радиусы АО и ОС одинаковы, то ∆АОС – равнобедренный, и тогда углы при его основании будут одинаковы:

∠СОВ – внешний для ∆АОС. Напомним, что такой угол равен сумме тех 2 углов треуг-ка, которые с ним не смежны. В частности, в данном случае можно записать

∠СОВ = ∠OCA = ∠OAC = α + α = 2α

Но этот же угол – центральный, и его величина равна ⋃ВС:

Получается, что дуга вдвое больше вписанного угла.

Далее рассмотрим случай, когда диаметр, проведенный из вершины вписанного угла, делит его на две части:

В этом случае вписанный угол ∠СAВ можно представить как сумму углов ∠САD (обозначен как α)и ∠ВАD (обозначен как β). Мы уже доказали, что дуги, на которые опираются эти углы, вдвое больше самих углов:

Осталось рассмотреть третий случай, при котором обе стороны вписанного угла ∠ВАС лежат по одну сторону от диаметра:

Если здесь обозначить ∠САD как α, а ∠ВАD как β, то интересующий нас ∠СAВ можно представить как их разность:

Итак, во всех трех возможных случаях вписанный угол оказывается вдвое меньше дуги, на которую он опирается.

Задание. Найдите ∠ВАС на рисунке:

Задание. Найдите вписанный ∠AВС, сели прилегающие к нему дуги ⋃AВ и ⋃ВС равны 100° и 128°.

Решение. В сумме дуги ⋃АС, ⋃ВС и ⋃AВ образуют окруж-ть, поэтому их сумма составляет 360°. Тогда можно найти ⋃АС:

Задание. Найдите дугу ⋃SM на рисунке:

Решение. Сначала найдем дугу ⋃MN, она вдвое больше соответствующего ей вписанного угла:

⋃NM = 2*∠NSM = 2*35° = 70°

Заметим, что ⋃SN– это полуокружность, то есть она составляет 180°. При этом ⋃SM и ⋃MN вместе как раз образуют эту полуокружность, то есть их сумма также составляет 180°. Значит, ⋃МS можно найти, вычтя из полуокружности ⋃MN:

⋃MS = ⋃SN – ⋃MN = 180° – 70° = 110°

Заметим, что для одной дуги можно построить несколько вписанных углов. Каждый из них будет равен половине дуги, то есть все эти углы окажутся одинаковыми.

Задание. Найдите ∠АСD на рисунке:

Решение. Так как ∠ACD и ∠ABD опираются на одну дугу ⋃AD, то они должны быть одинаковыми:

∠ACD = ∠ABD = 63°

Задание. Докажите, что две дуги, находящиеся между двумя параллельными секущими окруж-ти, равны друг другу.

Нам надо доказать, что ⋃AВ и ⋃CD равны, если АС||BD. Проведем секущую ВС:

∠СВD и ∠АСВ равны, ведь они накрест лежащие. Получается, что ⋃AВ и ⋃CD являются основаниями равных вписанных углов. Отсюда вытекает, что эти дуги должны быть равными.

Напомним, что диаметр разбивает окруж-ть на две дуги по 180°. Отсюда можно сделать вывод – любой угол, опирающийся на полуокружность, должен составлять 180°:2 = 90°:

Задание. Диаметр окруж-ти AВ равен 17. Хорда ВС имеет длину 8. Какова длина хорды АС?

Так как ∠АСВ опирается на диаметр AВ, то он прямой. Значит, и ∆АСВ – прямоугольный, причем диаметр AВ в нем – гипотенуза. Неизвестный катет можно найти по теореме Пифагора:

Задание. Окруж-ть разбита на две дуги, ⋃AВС и ⋃СDA. Известно, что ∠AВС = 72°. Найдите ∠ADC.

Зная ∠AВС, мы легко найдем дугу ⋃ADC, она вдвое больше опирающегося на нее вписанного угла:

Углы между хордами и секущими

До этого мы рассматривали простые углы в окруж-ти, вершины которых лежали либо на самой окруж-ти, либо в ее центре. Однако иногда хорды и секущие пересекаются в другой точке, либо внутри, либо вне окруж-ти. Рассмотрим подобные задачи.

Более прост случай, когда необходимо найти угол между двумя пересекающимися хордами. Пусть хорды при пересечении образовали дуги ⋃AВ и ⋃СD величиной α и β. Каков угол между ними?

Проведем ещё одну хорду АD. В результате получим вписанные ∠САD и ∠ADB, которые будут равны половинам от соответствующих дуг, то есть α/2 и β/2. Интересующий нас ∠СPD оказывается внешним для ∆APD, и потому равен сумме двух углов в ∆APD (тех, которые с ним не смежны), то есть он составляет величину α/2 + β/2:

Величину α/2 + β/2 можно записать и иначе, вынеся множитель 1/2 за скобки:

Эту величину можно назвать полусуммой дуг, на которые опирается интересующий нас угол.

Задание. Найдите ∠МКВ на рисунке:

Решение. Интересующий нас угол опирается на хорды величиной 38° и 42°. Значит, он равен половине от их суммы:

∠MKB = (42° + 38°)/2 = 80°/2 = 40°

В более сложном случае необходимо найти угол между секущими, которые пересекаются вне окруж-ти. При этом известны дуги, образованные этими секущими:

Снова проведем хорду АD, чтобы у нас получились два вписанных угла, ∠ADB и ∠СAD, которые соответственно будут иметь величину β/2 и α/2:

Теперь уже ∠САD оказывается внешним для ∆ADK, а потому он является суммой двух других углов:

В итоге получили, что угол между секущими составляет половину от разности дуг, которые они отсекают от окруж-ти.

Задание. Найдите на рисунке величину∠К, если ⋃AВ и ⋃СD соответственно равны 42° и 130°:

Решение. В этой задаче просто используем доказанную теорему об углах между секущими. Искомый угол составляет половину от разности дуг, заключенных между секущими:

∠K = (130° – 42°):2 = 88°/2 = 44°

Теорема о произведении отрезков хорд

Можно заметить, что при пересечении двух хорд образуется пара подобных треугольников. Пусть хорды ADи ВС пересекаются в точке K. Добавим хорды AВ и СD и получим ∆AВК и ∆КСD:

На дугу ⋃BD опираются вписанные углы∠А и ∠С, значит, они одинаковы. Также на одну дугу АС опираются ∠D и∠В, поэтому и они одинаково. Равенство двух углов уже означает, что треугольники подобны по первому признаку подобия (дополнительно можно заметить, что ∠АКВ и ∠СКD равны как вертикальные углы).

Из подобия ∆AВК и ∆СКD вытекает пропорция между их сторонами:

Перемножив члены пропорции крест накрест, получим соотношение:

В результате нам удалось доказать следующее утверждение:

Задание. Хорды AВ и CD пересекаются в точке М. Известны, что АМ = 9, МВ = 3, МС = 2. Какова длина отрезка МD?

Хорда AВ разбивается на отрезки АМ и МВ, а хорда CD – на отрезки СМ и МD. Произведения этих отрезков одинаковы:

Подставим в это равенство известные величины

Рассмотрим ещё одну геометрическую конструкцию. Пусть из некоторой точки А к окруж-ти проведена как касательная к окружности АК, так и секущая, пересекающая окруж-ть в точках В и С:

Какие здесь есть взаимосвязи между углами и длинами отрезков? Для начала проведем хорды ВК и СК, а также радиусы ОК и ОВ. Обозначим буквой α угол ∠ВСК. Он вписанный, поэтому дуга, на которую он опирается (это ⋃ВК), вдвое больше и равна 2α. Тогда и центральный угол ∠ВОК также составляет 2α:

Теперь исследуем ∆ВОК. Он равнобедренный (ВО и ОК – одинаковые радиусы), поэтому углы при его основании совпадают:

Итак, углы при основании ∆ОВК, в частности ∠ОКВ, равны 90° – α. Заметим, что ∠ОКА – прямой, так как образован радиусом ОК и касательной АК, при этом он состоит из двух углов, ∠АКВ и ∠ВКО. Это позволяет найти ∠АКВ:

В результате мы получили важный промежуточный результат – угол между касательной и хордой, проведенной из точки касания, вдвое меньше образующейся при этом дуги.

Вернемся к картинке с секущей. Изначально как α мы обозначили ∠ВСК, но в результате получили, что и ∠АКВ = α.

Рассмотрим ∆AВК и ∆САК. У них есть общий∠А, а также одинаковые ∠AКВ и ∠ВСК, которые отмечены буквой α. Значит, ∆AВК и ∆САК подобны, поэтому мы имеем право записать пропорцию между его сторонами:

Здесь отрезок АС можно назвать секущей, а AВ – ее внешней частью. Тогда выведенное отношение можно сформулировать так:

Решение. Сначала находим длину всей секущей, пользуясь доказанной теоремой:

Решение. Проведем из точки А ещё и касательную АК к окруж-ти:

Величину квадрата касательной АК можно найти, используя секущую АС. Сначала вычислим длину АС:

Задачи на квадратной решетке

Рассмотрим несколько несложных задач, часто встречающихся на экзаменах.

Задание. Найдите ∠AВС на рисунке:

Решение. Здесь следует заметить, что расстояние между А и С составляет 8 клеток, при этом в окруж-ть как раз можно вписать квадрат со стороной 8.

Такой квадрат разобьет окруж-ть на 4 дуги, причем так как эти дуги опираются на хорды одинаковой длины, то они и сами равны. Вся окруж-ть составляет 360°, значит, каждая из этих дуг составляет 360°:4 = 90°. ∠AВС – вписанный, то есть он составляет половину дуги, на которую он опирается, а это⋃АС, равная 90°. Тогда

Задание. Найдите ∠AВС, используя рисунок:

Решение. Используя рассуждения из предыдущей задачи, легко определить, что∠А составляет 45°.При этом ∆AВС – равнобедренный, и ВС – его основание. Это следует хотя бы из того факта, что высота АН делит сторону ВН пополам.

Углы∠В и ∠С одинаковы, так как лежат при основании равнобедренного треуг-ка. Найдем их, используя тот факт, что все 3 угла в ∆AВС составляют в сумме 180°:

Задание. Вычислите ∠AВС:

Решение. Снова в окруж-ть можно вписать квадрат со стороной 8 клеток. Из этого следует что ⋃АВС составляет 90° (показана фиолетовым цветом):

Но ∠АВС опирается на синюю дугу. Так как вместе фиолетовая и синяя дуга составляют окружность, равную 360°, то синяя дуга должна быть равна 360° – 90° = 270°. ∠АВС как вписанный будет вдвое меньше, то есть он равен 270°:2 = 135°.

Задание. Чему равен ∠AВС на рисунке?

Если вписать в окруж-ть квадрат то он разобьет окруж-ти на дуги по 90°. В свою очередь точка А является серединой такой дуги, то есть она разбивает ее на две дуги по 45°.

∠AВС как вписанный будет вдвое меньше, то есть он равен 22,5°.

Длина дуги окружности – формула, обозначение, примеры расчета

Необходимость расчётов

Геометрическими формулами, связанными с подсчетом площади сектора, объема сегмента и периметра полукруга, следует виртуозно владеть людям, связавшим свою жизнь со строительством или благоустройством территорий. Чтобы обновить после зимы элементы архитектуры городского парка и закрасить дефекты абстрактных скульптур, не нужно вспоминать сложные уравнения, достаточно применить знание геометрических формул.

К примеру, для правильного нахождения веса декоративного камня, предназначенного для окантовки части клумбы, нужно уметь быстро посчитать размер полуокружности на поверхности ландшафта. Затем необходимо определиться с ценой и принять решение, какой камень можно покупать с учетом сметы. Аналогичная задача возникает при строительстве альпийской горки. Тяжесть камня обеспечит круговую укладку, это свойство позволит высадить декоративные растения в запланированных местах сечения, придав конструкции форму трапеции.

Что представляет собой часть клумбы? Это сектор геометрической фигуры. Внешняя его часть — окантовка клумбы — чаще всего представляет собой дугу окружности. Существует две методики вычисления этой величины:

• градусная (с привязкой к центральному углу);
• по формуле Гюйгенса (с использованием хорды).

Определение методики расчета в полевых условиях зависит от наличия инструментов и особенностей рельефа местности. Но сначала немного теории. Дугой называют часть окружности, расположенную между двумя произвольными точками, находящимися на ней.

Для удобства рассмотрим пример с двумя точками A и B, расположенными на окружности на небольшом расстоянии друг от друга. Они делят её на 2 части — большую и меньшую. Каждая из них называется дугой окружности.

Градусная мера

Длина дуги между точками окружности является функцией центрального угла, образованного радиусами круга (см. рисунок) в прямо пропорциональной зависимости. На этом основана градусная мера.

За 1° дуги принимают часть окружности.

Поскольку L равна , то развернутому углу 180° будет соответствовать длина дуги .

Если значение угла равно 1°, формула выглядит так: .

Следовательно, формула длины дуги окружности с центральным углом n° будет выражаться следующим образом: .

Определим значение l для угла 120° с радиусом, равным 5 мм: l=3,14*30*5/180=2,62 мм.

Применение хорды и высоты

Существует методика расчета длины дуги по хорде и высоте перпендикуляра. Она получила название формулы Гюйгенса. Хорда представляет собой часть прямой, расположенной внутри окружности. Проходящая через центр хорда называется диаметром.

Формулу Гюйгенса применяют, если центральный угол меньше 60 градусов. Для проведения вычислений необходимо сначала соединить точки окружности прямой линией. Это будет хорда. Далее нужно провести перпендикуляр из ее середины, а из точки соприкосновения перпендикуляра с дугой начертить две прямые линии к концам хорды.

Получился равнобедренный треугольник, стороны которого обозначим l , а саму хорду назовем L . Для углов более 60 градусов формулу Гюйгенса не стоит использовать, поскольку при расчетах может возникнуть ошибка. Чем больше угол, тем значительней будет погрешность.

Замерив хорды L и l, можно получить значение дуги, обозначенной на рисунке синим цветом. Если L равна 30 мм, а l — 20 мм, то Р=2*20+3,33=43,33 мм.

Теперь, когда существует понимание методики расчета, можно воспользоваться онлайн-калькулятором. Этот инструмент хорош для проверки полученного экспериментальным путем результата, особенно при обработке большого количества данных, когда необходимо быстро получить ответ.

Онлайн-калькулятор позволяет сохранять полученные значения в буферной памяти компьютера. Оформить данные в виде произвольной таблицы или графика в системе координат не составит труда. Длина дуги окружности по онлайн-калькулятору считается с использованием любой из двух формул: либо по градусной мере, либо по хорде и высоте. Образно говоря, эти формулы являются синонимами, они взаимозаменяемы.

Практика с задачами

Нужно сказать несколько слов об изучении геометрии в средних классах общеобразовательной школы. Существует категория учащихся, для которых формулы сложны для восприятия. Таким ученикам требуется наглядный материал.

На уроке геометрии при изучении материала по вычислениям параметров окружности можно провести практическое занятие. Для этого следует предварительно подготовиться: сделать небольшой чертеж-проекцию гимнастического кольца. Цель занятия — научиться использовать формулы в процессе работы. Ход урока:

1. Попросить дежурного ученика принести из спортивного зала гимнастическое кольцо (хула-хуп) небольшого диаметра.
2. Отметить фломастером или цветным мелком 3 точки на наружной стороне кольца. После этого оно окажется поделенным на несколько секторов.
3. Сделать проекцию кольца на школьной доске с нанесенными точками. На чертеже обозначить центр круга, провести диаметр. Затем нужно соединить отмеченные на окружности точки радиусами с центром круга и хордами между собой.
4. Провести все замеры. Получить значения всех параметров и записать на доске. Её предварительно разделить на две части: в центре, доступном для обзора, будут значения центральных углов АОВ и ВОС, диаметр, длина прямых линий АВ, ВС и АС.
5. Ответы (искомые значения) записать в правой части доски и прикрыть шторкой до момента окончания практического занятия.

Далее следует разделить класс на 4 небольших группы. Каждой из них нужно дать задание по проведению вычислений с использованием изученных формул.

• группа №1 вычисляет длину дуги между точками А и В, используя градусную меру центрального угла АОВ;
• вторая группа получает аналогичное задание для отрезка между точками В и С;
• третья группа вычисляет искомый параметр между точками А и С, используя длину хорды АС и вспомогательных линий АВ и ВС;
• группа №4 работает с точками А и С, применяя значения угла АОС.

На выполнение задания отводится 12 минут. После истечения времени от каждой из четырех групп выходит ученик, поясняет формулу и записывает на доске полученный результат. Эти ответы сравниваются с уже готовыми замерами, записанными ранее на правой стороне доски.

Следующие 7 минут урока отводятся на обсуждение полученного результата и анализа возникновения погрешности.

Усложнение формулы

Группе продвинутых учеников предлагается задание «Как изменить градусную формулу?». Можно ли найти значение радиуса, используя другие геометрические выражения, например, представить его как половину диаметра круга? В этом случае формулы будет выглядеть следующим образом: r=1/2d, тогда l= πd/360*n.

Если использовать формулу вычисления площади круга и выразить радиус через неё, тогда можно получить s=πr 2 .

Обозначаться радиус будет интересно — в виде производной квадратного корня. Вывести формулу нетрудно, это станет прекрасной ментальной гимнастикой для учащихся.

Базовая цель уроков математики — развитие аналитического мышления учащихся достигается в процессе обсуждения и сравнения различных методик расчета. В качестве дополнительного задания можно предложить ученикам посчитать значение кривой линии наружного края школьной клумбы. Затем следует попросить обосновать свои расчеты.

Использование наглядности поможет учащимся подружиться с формулами, увидеть роль геометрии в повседневной практической жизни и облегчить усвоение конкретного материала.

[spoiler title=”источники:”]

http://100urokov.ru/predmety/urok-10-ugly-v-okruzhnosti

http://nauka.club/matematika/geometriya/dlina-dugi-okruzhnosti.html

[/spoiler]

Вопрос от пользователя

Радиус закругления пути железнодорожного полотна равен 5 км, а длина дуги закругления — 400 м. Какова градусная мера дуги закругления?

Ответ от эксперта

решение задания по геометрии
 

План урока:

Длина окружности и число пи

Длина дуги

Площадь круга

Площадь сектора

Площадь кольца и других сложных фигур

Длина окружности и число пи

Окружность представляет собой линию, а значит, у нее есть длина. Действительно, представим себе нить, опоясывающую какой-нибудь круглый предмет. Если эту нить разрезать, то ее можно будет развернуть на плоскости в отрезок. Её длина и будет длиной окружности.

Однако определить точно эту длину довольно сложно, так как окружность является «кривой» линией, а до этого в курсе геометрии мы рассматривали только длины отрезков. Для приближенной оценки длины окружности можно использовать правильные многоугольники.

Возьмем произвольную окружность и впишем в нее правильный n-угольник, и одновременно ещё один n-угольник опишем около окружности. Можно считать, что периметры этих n-угольника приближенно равны длине окружности, причем периметр вписанного многоугольника – это приближение с округлением в меньшую сторону (оценка снизу), а периметр описанного многоугольника – это уже оценка сверху.

Обычно длину окружности обозначают буквой С. Обозначим периметры вписанного и описанного многоугольника как Р_в и Р_о. Тогда можно записать двойное неравенство:

Далее будем увеличивать число n. При этом n-угольник будет всё плотнее «прилегать» к окружности, и тем самым его периметр будет являться все более точным приближением длины окружности.

Напомним две формулы, которые мы вывели, изучая правильные многоугольники:

Здесь а_n – это сторона n-угольника, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности. Из второй формулы можно выразить R и подставить это выражение в первую формулу:

Здесь R радиус окружности, а_в и а_о – стороны вписанного и описанного многоугольника соответственно. Умножим эти равенства на n, чтобы в левой части получился периметр многоугольников:

Это неравенство позволяет для любой окружности оценить отношение длины ее окружности к ее диаметру (2R – это как раз диаметр окружности).

Можно доказать, что при увеличении n величина

при росте n, наоборот, убывает, но также стремится к пределу. Более того, оказывается, что эти пределы у обоих выражений одинаковы, то есть являются одним и тем же числом. Это значит, что и само отношение длины окружности к диаметру является этим же числом, которое традиционно обозначается буквой π. Записать этот факт можно так:

Ещё раз обратите внимание, что число π (читается как «число пи») не зависит от диаметра окружности или расположения ее центра, это некоторое постоянное число. Обычно его определяют так:

Чем большее n мы сюда подставим, тем более точную оценку числа π мы получим. Ещё Архимед использовал в этом неравенстве n = 96 (это значение было удобно взять, так как соответствующие значения синуса и тангенса угла 180°/96 уже умели вычислять в Древней Греции). Если мы воспользуемся калькулятором, то при n = 96 получим:

Вы можете и сами найти более точную оценку числа пи, используя неравенство (1) и калькулятор, умеющий высчитывать синусы и тангенсы. Попробуйте, например, подставить в него n = 1 000 000.

Используя метод многоугольников, Людольфу ван Цейлену в 1596 г. удалось вычислить 20 верных десятичных знаков числа пи после запятой:

Дальнейший прогресс в этой области был связан уже с использованием более сложных методов, основанных на бесконечных рядах чисел. Также в XVIII в. было доказано, что число π – иррациональное, то есть оно является бесконечной непериодической десятичной дробью. На сегодня даже на обычном персональном компьютере можно вычислить триллионы цифр после запятой в числе π. В большинстве школьных задач число π принимается равным 3,14. Однако если в задаче не просят округлить ответ, то вместо числа π вообще не надо ничего подставлять.

Из определения числа π вытекает формула для вычисления длины окружности c радиусом R или диаметром D:

Задание. Найдите длину окружности, если ее радиус составляет 5 см.

Решение. Просто подставляем в формулу число 5:

Обратите внимание, что вместо числа π НЕ надо подставлять его приближенное значение, так как в условии не говорится, что ответ надо округлять. Только та запись, в которой число π оставлено как есть, является точным, а не приближенным ответом.

Ответ: 10π см.

Задание. Диаметр окружности составляет 40 см. Вычислите приближенно ее длину, принимая число π примерно равным 3,14.

Решение. Так как ответ надо будет округлить, то вместо числа π подставим значение 3,14:

Ответ: 125,6 см.

Задание. Длина окружности составляет 100 см. Вычислите приближенно её радиус.

Решение. Из формулы для длины окружности легко получить формулу и для вычисления радиуса:

Ответ: 15,9 см.

Задание. Вычислите радиус Земли, если известно, что длина экватора составляет 40 000 км.

Решение. Задача аналогична предыдущей, только вместо длины окружности надо подставить 40 000 км:

Ответ: ≈ 6369 км.

Задание. Автомобиль проехал 1978 метров, при этом одно из его колес совершило 1000 оборотов. Вычислите приближенно диаметр этого колеса.

Решение. В таких задачах неявно предполагается, что колесо плавно катится по дороге, а не скользит по нему. Можно посчитать, какое передвижение соответствует 1 обороту колеса:

1978 м : 1000 обор. = 1,978 м/об

Это величина как раз является длиной окружности колеса. Тогда легко найти и диаметр:

Ответ: 63 см.

Длина дуги

Иногда требуется вычислить не длину всей окружности, а только лишь длину ее части, то есть дуги.

Напомним, что дуги имеют такую характеристику, как градусную меру, которая равна величине центрального угла, на который дуга опирается. Оказывается, что длина дуги окружности и ее градусная мера связаны. Для начала попытаемся найти длину дуги величиной в 1°. Напомним, что вся окружность составляет 360°. Значит, ее можно разбить на 360 маленьких дуг по 1°. Так как все эти дуги одинаковы, то длина каждой из них будет в 360 раз меньше длины все окружности:

Теперь предположим, что нам надо найти длину дуги с градусной мерой α, причем α – это целое число. Тогда мы можем разбить эту дугу на α маленьких дуг по 1°, и ее длина будет равна сумме их длин:

Задание. На окружности с радиусом 6 см отмечена дуга величиной в 30°. Найдите ее длину.

Решение. Просто подставляем в формулу числа:

Ответ: π см.

Задание. На железнодорожном пути есть закругленный участок радиусом 5 км, а его длина составляет 400 м. Какова градусная мера этого закругления? Дайте приближенный ответ без использования числа π.

Решение. Выведем из формулы выражение для угла α:

Ответ: 4,6°.

Задание. Длина дуги окружности равна 20 см, ей соответствует центральный угол в 60°. Каков радиус окружности? Ответ не округляйте.

Решение. Теперь из формулы выражаем радиус окружности:

Ответ: 60/π см.

Задание. Точки А и В разбивают окружность на две дуги. Длина меньшей дуги равна 63, а опирается она на центральный угол в 28°. Какова длина большей дуги?

Решение. Сначала найдем радиус окружности:

Вся окружность составляет 360°. Если градусная мера меньшей дуги – это 28°, то у большей дуги градусная мера (обозначим ее как β) определяется так:

Ответ: 747 см.

Задание. Какой должна быть градусная мера дуги, чтобы ее длина в точности совпадала с длиной радиуса?

Решение. Запишем формулу:

Ответ: ≈ 57,32°.

Площадь круга

Напомним, что кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью. Для нахождения площади круга можно использовать все тот же метод многоугольников, который мы применили для нахождения длины окружности и вычисления числа π.

Возьмем окружность и впишем в нее n-угольник. В свою очередь в него впишем окружность.

Выпишем изученные нами ранее две формулы:

Здесь r и R – радиусы вписанной и описанной окружности соответственно, Р – периметр многоугольника, S_мног. – площадь многоугольника. С ростом n периметр многоугольника приближается к длине описанной окружности, что можно записать в таком виде

Одновременно с этим и площадь многоугольника приближается к площади круга (имеется ввиду больший, то есть описанный круг), что позволяет вычислить ее:

Задание. Определите площадь круга, ограниченного окружностью 10 см.

Решение. В этой задаче надо просто подставить числа в формулу:

Ответ: 100π см².

Задание. Площадь круглого бассейна составляет 10 м². Каков его радиус? При расчете примите число π равным 3,14.

Решение. Здесь надо из формулы площади получить выражение для вычисления радиуса:

Ответ: ≈ 1,8 м.

Задание. Во сколько раз увеличится площадь круга, если его радиус увеличится в 2 раза?

Решение. Пусть радиус исходного круга – это R. Тогда его площадь рассчитывается так:

Ответ: в 4 раза.

Примечание. В общем случае увеличение радиуса круга в k раз приводит к увеличению его площади в k² раз.

Задание. Ваня и Петя решили купить пиццу. Сначала Ваня заметил пиццу диаметром 30 см, цена которой – 300 рублей. Но тут же Петя обнаружил на витрине такую же пиццу диаметром 40 см, которая стоила уже 450 рублей, и предложил ее купить. Ваня сказал, что этот невыгодная покупка, ведь радиус у второй пиццы больше только на треть, а цена больше уже наполовину. Прав ли Ваня?

Решение. Масса пиццы пропорциональна их площади. У второй пиццы радиус больше в 4/3 раза (так как 40/30 = 4/3), значит, площадь у нее больше в

Получается, что вторая пицца больше в 1,78 раза, а цена у нее выше только в 1,5 раза. То есть выгодней купить именно вторую, то есть большую пиццу.

Ответ: Ваня не прав, лучше купить пиццу диаметром 40 см.

Примечание. В этой задаче можно было посчитать площадь каждой пиццы, а потом поделить их стоимость на площадь и получить цену 1 см² пиццы в каждом варианте. Ответ бы при этом не изменился.

Задание. Завод изготавливает круглые столы радиусом 1,5 метра. Их поверхность надо покрывать лаком, причем на каждый 1 м² поверхности необходимо тратить 20 г лака. Лак закупается раз в месяц, и в течение ближайшего месяца завод должен изготовить 5000 столов. Сколько лака должен закупить завод на ближайший месяц?

Решение. Считаем площадь поверхности каждого стола:

Ответ: 706,5 кг.

Площадь сектора

Напомним, что сектором называется часть круга, образованная двумя его радиусами. Если же в круге проведена хорда, то она отсекает от него сегмент:

Проведем из центра окружности 360 радиусов, причем угол между соседними радиусами будет ровно 1°. В результате мы разобьем окружность на 360 одинаковых секторов, площадь каждого такого сектора будет в 360 раз меньше площади круга:

Теперь рассмотрим сектор, который образован дугой величиной в α градусов. Если α – целое число, то такой сектор можно составить из α секторов, каждый из которых составляет по 1°. Тогда площадь сектора круга будет определяться формулой:

Задание. Круговой сектор опирается на дугу в 45°, а его радиус составляет 40. Определите площадь этого сектора.

Решение. Используем выведенную формулу:

Ответ: 12,5π.

Задание. Площадь сектора равна 200 см². Он опирается на дугу в 30°. Каков радиус кругового сектора? При решении примите π равным 3,14.

Решение. Из формулы площади сектора выразим радиус окружности:

Ответ: ≈ 27,6 см.

Задание. На сторонах произвольного прямоугольника построены полукруги:

Докажите, что площадь полукруга, опирающегося на полуокружность, равна сумме площадей полукругов, опирающихся на катеты.

Решение. Полукруг представляет собой сектор с центральным углом α = 180°, поэтому его площадь может быть рассчитана так:

Заметим, что эти стороны являются диаметрами полукругов. Обозначим как D₁ диаметр полукруга, опирающегося на гипотенузу, а два других диаметра как D₂ и D₃. Тогда можно выполнить преобразования:

Именно это равенство нам и требовалось доказать.

Теперь рассмотрим более сложную задачу, в которой необходимо определить площадь сегмента.

Задание. В окружности радиусом 20 проведена хорда длиной 12. Она разбивает окружность на два круговых сегмента. Найдите площадь каждого из них. При расчете примите π ≈3,14.

Чтобы найти площадь меньшего сегмента, можно вычесть из площади кругового сектора площадь треугольника АВО. Для нахождения обоих площадей в любом случае надо сначала определить величину угла ∠АОВ. Это можно сделать, применив теорему косинусов:

Далее надо рассчитать площадь ∆АВС. Это можно сделать с помощью разных формул, мы используем формулу с синусом угла. Для этого предварительно вычислим синус ∠АОВ, применив основное тригонометрическое тождество:

Осталось вычесть из площади сектора площадь ∆АВС, чтобы найти площадь кругового сегмента S₁:

Примечание. В подобных задачах ответы и промежуточные ответы могут немного отличаться в зависимости от того, с какой точностью берется число π, вычисляется ∠АОВ и его синус, и как именно округляются промежуточные результаты и т. п. Более точные расчеты показывают, что в описанной задаче величины S₁ и S₂ примерно равны:

Площадь кольца и других сложных фигур

Если какая-либо фигура образована с помощью нескольких окружностей, то найти ее площадь можно, представив ее в виде суммы площадей нескольких более простых фигур. В качестве простейшего примера можно привести кольцо. По сути оно представляет собой круг, в котором есть круговое отверстие:

Если обозначить наружный радиус кольца буквой R, а радиус отверстия буквой r, то площадь кольца можно найти, вычтя из площади большего круга площадь отверстия:

Задание. Внешний радиус кольца составляет 20 см, а радиус отверстия в нем равен 15 см. Определите площадь кольца.

Решение. Подставляем числа в формулу:

Ответ: 175π.

Задание. Есть диск радиусом 1 метр. Необходимо вырезать в нем отверстие так, чтобы масса диска уменьшилась в два раза. Какой радиус должен быть у отверстия?

Решение. Можно считать, что масса диска пропорциональна его площади, поэтому нам надо, чтобы площадь диска уменьшилась вдвое. Начальная площадь диска определяется так:

Площадь кольца должна быть вдвое меньше, то есть она будет составлять π/2. Если радиус отверстия мы обозначим как r, то можно составить уравнение:

Ответ: ≈ 70,7 см.

В прямоугольной плите с габаритами 180 и 60 см сделано 27 отверстий диаметром 10 см. Вычислите площадь этой плиты. Считайте, что π ≈ 3,1416, и округлите ответ до целых.

Решение. Надо найти площадь плиты без учета отверстий, а потом вычесть из нее площадь всех отверстий. Площадь плиты равна произведению ее сторон

Ответ: ≈ 8679 см².

Задание. Из вершин квадрата со стороной а проведены дуги радиусом а/2. В результате получили следующую фигуру:

Найдите заштрихованную площадь.

Решение. Площадь заштрихованной области может быть получена, если из площади квадрата мы вычтем площади 4 секторов. Площадь квадрата рассчитывается так:

Задание. В квадрате, сторона которого обозначается буквой а, из вершин провели дуги, чей радиус совпадает со стороной квадрата. В результате в центре квадрата получили следующую фигуру:

Определите, какую долю квадрата занимает эта центральная фигура. Ответ дайте в процентах и округлите его до десятых.

Решение. Задача решается в несколько действий, причем нам потребуется составить формулы для вычисления площадей вспомогательных фигур. Сначала найдем площадь маленького треугольника с «кривыми» сторонами, для чего используем такое построение:

Площадь, которую мы пытаемся найти, обозначена здесь как S₁. Ее можно получить, просто вычтя из площади квадрата (она составляет а²) площади двух секторов и площадь треугольника. Треугольник на рисунке – равносторонний, ведь и сторона квадрата, и радиусы окружностей равны величине а. Тогда каждый его угол составляет 60°, и его площадь можно найти так:

Также мы можем найти центральные углы обоих секторов. Так как углы в квадраты составляют 90°, а в равностороннем треугольнике 60°, то эти углы окажутся равными 90° – 60° = 30°. Тогда площадь сектора вычисляется по формуле:

На следующем шаге вычислим площадь другой фигуры:

Попытаемся выразить величину S₂. Для этого из площади квадрата надо вычесть площадь сектора, у которого центральный угол составляет 90°. Найдем площадь этого сектора:

Здесь мы ищем площадь S₃. Обратите внимание, что ее можно выразить через уже найденные нами величины S₁ и S₂:

Мы составили выражения для всех необходимых нам вспомогательных фигур. Теперь вернемся к исходному рисунке и отметим на нем эти вспомогательные фигуры:

Итак, мы составили выражение для вычисления площади центральной фигуры. По условию надо указать, сколько процентов она составляет от площади всего квадрата. Для ответа на этот вопрос поделим площадь фигуры на площадь квадрата и умножив это отношение на 100%:

Ответ: 31,5%.

В рамках этого урока мы узнали, как вычислять длину окружности и дуги, площади круга, сектора, сегмента, кольца и других фигур, одна или несколько сторон которых представляют собой дуги окружности. Эти навыки могут пригодиться и в реальной жизни, так как именно от площади многих предметов часто зависит потребность в краске, лаке, клее и т. п.