План урока:
Центральный угол и градусная мера дуги
Вписанный угол
Углы между хордами и секущими
Теорема о произведении отрезков хорд
Задачи на квадратной решетке
Центральный угол и градусная мера дуги
Любые две точки на окружности разбивают ее на две дуги. Чтобы отличать эти дуги, на каждой из них ставят точку, которую и указывают в обозначении дуги:
Здесь красным цветом показана⋃АСВ, а синим – ⋃ADB. Однако иногда для простоты указывают только концы дуги, то есть используют обозначение ⋃AВ. Это делается тогда, когда ясно, о какой дуге окружности идет речь. Обычно всегда подразумевается та дуга, которая меньше.
Можно заметить, что дуги отличаются по размеру, поэтому возникает потребность их измерения. Для этого используют такое понятие, как градусная мера дуги.
Для ее определения необходимо соединить концы дуги с центром окруж-ти. В результате получаются радиусы, которые пересекаются в центре окружности. Угол между ними именуется центральным углом окруж-ти.
Для каждой дуги можно построить единственный центральный угол, поэтому логично измерять дугу с помощью такого угла. Правда, обратное неверно. На рисунке видно, что центральному углу ∠АОВ соответствует сразу две дуги: ⋃АСВ и ⋃АDB:
Поэтому условно считают, градусная мера той из двух дуг, которая меньше, как раз и равна центральному углу:
Дуги, также как отрезки или углы, можно складывать или вычитать. Например, пусть есть две дуги, ⋃AВ и ⋃ВС, чьи градусные меры составляют 40° и 30°.
Как найти ⋃АС? Ей соответствует центральный угол ∠АОС, который в свою очередь равен сумме ∠АОВ и ∠ВОС:
Диаметр делит окруж-ть на две равные друг другу дуги, которые называются полуокружностями. При этом диаметр окружности можно рассматривать как угол между двумя радиусами, равный 180°. Получается, что градусная мера полуокружности составляет 180°:
Вместе две полуокружности образуют полную окруж-ть. Получается, что градусная мера всей окруж-ти составляет 180° + 180° = 360°.
Этот факт известен и из жизни – когда кто-то делает полный оборот вокруг своей оси, говорят, что он повернулся на 360°. Теперь мы можем вернуться к случаю, когда две точки делят окруж-ть на две неравные друг другу дуги. Градусная мера меньшей из них будет равна величине соответствующего центрального угла (обозначим его как α). В сумме две дуги должны дать 360°. Значит, градусная мера большей дуги будет составлять 360° – α:
Задание. Точки А, В, С и D лежат на одной окруж-ти. Известно, что ⋃АСВ составляет 107°. Какова величина ⋃ADB?
Решение. Вместе дуги ⋃АСВ и ⋃АDВ образуют полную окруж-ть, поэтому их сумма равна 360°. Это позволяет составить уравнение и найти из него ⋃АDB:
Задание. Найдите величину ∠АОС на рисунке, если известны ⋃AВ и ⋃ВС:
Решение. Сначала найдем ⋃АС, учтя, что все три дуги, показанные на рисунке, в сумме составляют 360°:
Для доказательства построим две одинаковые хорды AВ и СD в окруж-ти и соединим их концы с центром:
В результате получились ∆АОВ и ∆ОСD. У них равны все три стороны, значит, сами эти треугольники равны. Тогда
∠COD = ∠AOB
Но эти углы – центральные для дуг ⋃AВ и ⋃CD. Получается, что у этих дуг одинаковы их градусные меры, поэтому они также равны, ч. т. д.
Примечание. Всякая хорда окружности разбивает ее на две дуги – большую и меньшую. В данном правиле говорится именно равенстве меньших дуг.
Задание. На окруж-ти отмечены точки А, В и С так, что хорды AВ, ВС и АС равны. Найдите угол между радиусами окружности АО и ВО.
Решение.
Дуги ⋃AВ, ⋃ВС и ⋃АС стянуты равными хордами AВ, ВС и АС. Значит, они одинаковы. Но в сумме эти три дуги образуют окруж-ть величиной в 360°. Значит, каждая из этих дуг втрое меньше:
⋃AВ = ⋃BC = ⋃AC = 360°:3 = 120°
∠АОВ – центральный для ⋃AВ, значит, он равен ее градусной мере, то есть он составляет 120°.
Ответ: 120°.
Вписанный угол
В окруж-ти можно построить ещё один угол, который именуют вписанным углом. Его отличие от центрального заключается в том, что его вершина лежит на окруж-ти, а не в ее центре. Сторонами же вписанного угла являются хорды окруж-ти.
Здесь дуга ⋃ВС находится внутри угла, а ее концы лежат на его сторонах. В таких случаях говорят, что ∠ВАС опирается на дугу ВС. Оказывается, что между величиной вписанного угла и дугой, на которую он опирается, есть взаимосвязь.
Обозначим вписанный угол ∠СAВ буквой α. Так как радиусы АО и ОС одинаковы, то ∆АОС – равнобедренный, и тогда углы при его основании будут одинаковы:
∠OCA = ∠OAC = α
∠СОВ – внешний для ∆АОС. Напомним, что такой угол равен сумме тех 2 углов треуг-ка, которые с ним не смежны. В частности, в данном случае можно записать
∠СОВ = ∠OCA = ∠OAC = α + α = 2α
Но этот же угол – центральный, и его величина равна ⋃ВС:
⋃BC = 2α
Получается, что дуга вдвое больше вписанного угла.
Далее рассмотрим случай, когда диаметр, проведенный из вершины вписанного угла, делит его на две части:
В этом случае вписанный угол ∠СAВ можно представить как сумму углов ∠САD (обозначен как α)и ∠ВАD (обозначен как β). Мы уже доказали, что дуги, на которые опираются эти углы, вдвое больше самих углов:
Осталось рассмотреть третий случай, при котором обе стороны вписанного угла ∠ВАС лежат по одну сторону от диаметра:
Если здесь обозначить ∠САD как α, а ∠ВАD как β, то интересующий нас ∠СAВ можно представить как их разность:
Итак, во всех трех возможных случаях вписанный угол оказывается вдвое меньше дуги, на которую он опирается.
Задание. Найдите ∠ВАС на рисунке:
Задание. Найдите вписанный ∠AВС, сели прилегающие к нему дуги ⋃AВ и ⋃ВС равны 100° и 128°.
Решение. В сумме дуги ⋃АС, ⋃ВС и ⋃AВ образуют окруж-ть, поэтому их сумма составляет 360°. Тогда можно найти ⋃АС:
Задание. Найдите дугу ⋃SM на рисунке:
Решение. Сначала найдем дугу ⋃MN, она вдвое больше соответствующего ей вписанного угла:
⋃NM = 2*∠NSM = 2*35° = 70°
Заметим, что ⋃SN– это полуокружность, то есть она составляет 180°. При этом ⋃SM и ⋃MN вместе как раз образуют эту полуокружность, то есть их сумма также составляет 180°. Значит, ⋃МS можно найти, вычтя из полуокружности ⋃MN:
⋃MS = ⋃SN – ⋃MN = 180° – 70° = 110°
Ответ: 110°.
Заметим, что для одной дуги можно построить несколько вписанных углов. Каждый из них будет равен половине дуги, то есть все эти углы окажутся одинаковыми.
Задание. Найдите ∠АСD на рисунке:
Решение. Так как ∠ACD и ∠ABD опираются на одну дугу ⋃AD, то они должны быть одинаковыми:
∠ACD = ∠ABD = 63°
Ответ: 63°.
Задание. Докажите, что две дуги, находящиеся между двумя параллельными секущими окруж-ти, равны друг другу.
Решение.
Нам надо доказать, что ⋃AВ и ⋃CD равны, если АС||BD. Проведем секущую ВС:
∠СВD и ∠АСВ равны, ведь они накрест лежащие. Получается, что ⋃AВ и ⋃CD являются основаниями равных вписанных углов. Отсюда вытекает, что эти дуги должны быть равными.
Напомним, что диаметр разбивает окруж-ть на две дуги по 180°. Отсюда можно сделать вывод – любой угол, опирающийся на полуокружность, должен составлять 180°:2 = 90°:
Задание. Диаметр окруж-ти AВ равен 17. Хорда ВС имеет длину 8. Какова длина хорды АС?
Решение.
Так как ∠АСВ опирается на диаметр AВ, то он прямой. Значит, и ∆АСВ – прямоугольный, причем диаметр AВ в нем – гипотенуза. Неизвестный катет можно найти по теореме Пифагора:
Задание. Окруж-ть разбита на две дуги, ⋃AВС и ⋃СDA. Известно, что ∠AВС = 72°. Найдите ∠ADC.
Решение.
Зная ∠AВС, мы легко найдем дугу ⋃ADC, она вдвое больше опирающегося на нее вписанного угла:
Углы между хордами и секущими
До этого мы рассматривали простые углы в окруж-ти, вершины которых лежали либо на самой окруж-ти, либо в ее центре. Однако иногда хорды и секущие пересекаются в другой точке, либо внутри, либо вне окруж-ти. Рассмотрим подобные задачи.
Более прост случай, когда необходимо найти угол между двумя пересекающимися хордами. Пусть хорды при пересечении образовали дуги ⋃AВ и ⋃СD величиной α и β. Каков угол между ними?
Проведем ещё одну хорду АD. В результате получим вписанные ∠САD и ∠ADB, которые будут равны половинам от соответствующих дуг, то есть α/2 и β/2. Интересующий нас ∠СPD оказывается внешним для ∆APD, и потому равен сумме двух углов в ∆APD (тех, которые с ним не смежны), то есть он составляет величину α/2 + β/2:
Величину α/2 + β/2 можно записать и иначе, вынеся множитель 1/2 за скобки:
α/2 + β/2 = (α + β)/2
Эту величину можно назвать полусуммой дуг, на которые опирается интересующий нас угол.
Задание. Найдите ∠МКВ на рисунке:
Решение. Интересующий нас угол опирается на хорды величиной 38° и 42°. Значит, он равен половине от их суммы:
∠MKB = (42° + 38°)/2 = 80°/2 = 40°
Ответ: 40°.
В более сложном случае необходимо найти угол между секущими, которые пересекаются вне окруж-ти. При этом известны дуги, образованные этими секущими:
Снова проведем хорду АD, чтобы у нас получились два вписанных угла, ∠ADB и ∠СAD, которые соответственно будут иметь величину β/2 и α/2:
Теперь уже ∠САD оказывается внешним для ∆ADK, а потому он является суммой двух других углов:
В итоге получили, что угол между секущими составляет половину от разности дуг, которые они отсекают от окруж-ти.
Задание. Найдите на рисунке величину∠К, если ⋃AВ и ⋃СD соответственно равны 42° и 130°:
Решение. В этой задаче просто используем доказанную теорему об углах между секущими. Искомый угол составляет половину от разности дуг, заключенных между секущими:
∠K = (130° – 42°):2 = 88°/2 = 44°
Ответ: 44°.
Теорема о произведении отрезков хорд
Можно заметить, что при пересечении двух хорд образуется пара подобных треугольников. Пусть хорды ADи ВС пересекаются в точке K. Добавим хорды AВ и СD и получим ∆AВК и ∆КСD:
На дугу ⋃BD опираются вписанные углы∠А и ∠С, значит, они одинаковы. Также на одну дугу АС опираются ∠D и∠В, поэтому и они одинаково. Равенство двух углов уже означает, что треугольники подобны по первому признаку подобия (дополнительно можно заметить, что ∠АКВ и ∠СКD равны как вертикальные углы).
Из подобия ∆AВК и ∆СКD вытекает пропорция между их сторонами:
Перемножив члены пропорции крест накрест, получим соотношение:
AK*KD = CK*BK
В результате нам удалось доказать следующее утверждение:
Задание. Хорды AВ и CD пересекаются в точке М. Известны, что АМ = 9, МВ = 3, МС = 2. Какова длина отрезка МD?
Решение.
Хорда AВ разбивается на отрезки АМ и МВ, а хорда CD – на отрезки СМ и МD. Произведения этих отрезков одинаковы:
AM*MB = CM*MD
Подставим в это равенство известные величины
Рассмотрим ещё одну геометрическую конструкцию. Пусть из некоторой точки А к окруж-ти проведена как касательная к окружности АК, так и секущая, пересекающая окруж-ть в точках В и С:
Какие здесь есть взаимосвязи между углами и длинами отрезков? Для начала проведем хорды ВК и СК, а также радиусы ОК и ОВ. Обозначим буквой α угол ∠ВСК. Он вписанный, поэтому дуга, на которую он опирается (это ⋃ВК), вдвое больше и равна 2α. Тогда и центральный угол ∠ВОК также составляет 2α:
Теперь исследуем ∆ВОК. Он равнобедренный (ВО и ОК – одинаковые радиусы), поэтому углы при его основании совпадают:
Итак, углы при основании ∆ОВК, в частности ∠ОКВ, равны 90° – α. Заметим, что ∠ОКА – прямой, так как образован радиусом ОК и касательной АК, при этом он состоит из двух углов, ∠АКВ и ∠ВКО. Это позволяет найти ∠АКВ:
В результате мы получили важный промежуточный результат – угол между касательной и хордой, проведенной из точки касания, вдвое меньше образующейся при этом дуги.
Вернемся к картинке с секущей. Изначально как α мы обозначили ∠ВСК, но в результате получили, что и ∠АКВ = α.
Рассмотрим ∆AВК и ∆САК. У них есть общий∠А, а также одинаковые ∠AКВ и ∠ВСК, которые отмечены буквой α. Значит, ∆AВК и ∆САК подобны, поэтому мы имеем право записать пропорцию между его сторонами:
Здесь отрезок АС можно назвать секущей, а AВ – ее внешней частью. Тогда выведенное отношение можно сформулировать так:
Решение. Сначала находим длину всей секущей, пользуясь доказанной теоремой:
Решение. Проведем из точки А ещё и касательную АК к окруж-ти:
Величину квадрата касательной АК можно найти, используя секущую АС. Сначала вычислим длину АС:
Ответ: 3,8.
Задачи на квадратной решетке
Рассмотрим несколько несложных задач, часто встречающихся на экзаменах.
Задание. Найдите ∠AВС на рисунке:
Решение. Здесь следует заметить, что расстояние между А и С составляет 8 клеток, при этом в окруж-ть как раз можно вписать квадрат со стороной 8.
Такой квадрат разобьет окруж-ть на 4 дуги, причем так как эти дуги опираются на хорды одинаковой длины, то они и сами равны. Вся окруж-ть составляет 360°, значит, каждая из этих дуг составляет 360°:4 = 90°. ∠AВС – вписанный, то есть он составляет половину дуги, на которую он опирается, а это⋃АС, равная 90°. Тогда
∠ABC = 90°:2 = 45°
Ответ: 45°.
Задание. Найдите ∠AВС, используя рисунок:
Решение. Используя рассуждения из предыдущей задачи, легко определить, что∠А составляет 45°.При этом ∆AВС – равнобедренный, и ВС – его основание. Это следует хотя бы из того факта, что высота АН делит сторону ВН пополам.
Углы∠В и ∠С одинаковы, так как лежат при основании равнобедренного треуг-ка. Найдем их, используя тот факт, что все 3 угла в ∆AВС составляют в сумме 180°:
Задание. Вычислите ∠AВС:
Решение. Снова в окруж-ть можно вписать квадрат со стороной 8 клеток. Из этого следует что ⋃АВС составляет 90° (показана фиолетовым цветом):
Но ∠АВС опирается на синюю дугу. Так как вместе фиолетовая и синяя дуга составляют окружность, равную 360°, то синяя дуга должна быть равна 360° – 90° = 270°. ∠АВС как вписанный будет вдвое меньше, то есть он равен 270°:2 = 135°.
Ответ: 135°.
Задание. Чему равен ∠AВС на рисунке?
Решение.
Если вписать в окруж-ть квадрат то он разобьет окруж-ти на дуги по 90°. В свою очередь точка А является серединой такой дуги, то есть она разбивает ее на две дуги по 45°.
∠AВС как вписанный будет вдвое меньше, то есть он равен 22,5°.
Геометрия. Урок 5. Окружность
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
- Определение окружности
- Отрезки в окружности
Определение окружности
Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.
Эта точка называется центром окружности .
Отрезки в окружности
Радиус окружности R – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.
Хорда a – отрезок, соединяющий две точки на окружности.
Диаметр d – хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности ( d = 2 R ).
O A – радиус, D E – хорда, B C – диаметр.
Теорема 1:
Радиус, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и дугу, которую она стягивает.
Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.
Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности.
Теорема 2:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны ( A C = B C ).
Теорема 3:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.
Дуга в окружности
Часть окружности, заключенная между двумя точками, называется дугой окружности .
Например, хорда A B стягивает две дуги: ∪ A M B и ∪ A L B .
Теорема 4:
Равные хорды стягивают равные дуги.
Если A B = C D , то ∪ A B = ∪ C D
Углы в окружности
В окружности существует два типа углов: центральные и вписанные.
Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.
∠ A O B – центральный.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается . ∪ A B = ∠ A O B = α
Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается.
Градусная мара всей окружности равна 360 ° .
Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.
∠ A C B – вписанный.
Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается . ∠ A C B = ∪ A B 2 = α 2 ∪ A B = 2 ⋅ ∠ A C B = α
Теорема 5:
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны .
∠ M A N = ∠ M B N = ∠ M C N = ∪ M N 2 = α 2
Теорема 6:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр), равен 90 ° .
∠ M A N = ∠ M B N = ∪ M N 2 = 180 ° 2 = 90 °
Длина окружности, длина дуги
Мы узнали, как измеряется градусная мера дуги окружности (она равна градусной мере центрального угла, который на нее опирается) и всей окружности целиком (градусная мера окружности равна 360 ° ). Теперь поговорим о том, что же такое длина дуги в окружности. Длина дуги – это значение, которое мы бы получили, если бы мерили дугу швейным сантиметром. Рассмотрим две окружности с разными радиусами, в каждой из которых построен центральный угол равный α .
Градусная мера дуги ∪ A B равна градусной мере дуги ∪ C D и равна α .
Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси.
Длина окружности находится по формуле:
Длина дуги окружности , на которую опирается центральный угол α равна:
l α = π R 180 ∘ ⋅ α
Площадь круга и его частей
Теперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента.
Круг – часть пространства, которая находится внутри окружности.
Иными словами, окружность – это граница, а круг – это то, что внутри.
Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.
Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка.
Площадь круга находится по формуле: S = π R 2
Сектор – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.
Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер.
Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α находится по формуле: S α = π R 2 360 ° ⋅ α
Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу.
Примеры сегмента в реальной жизни: мармелад “лимонная долька”, лук для стрельбы.
Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой.
S = π R 2 360 ° ⋅ α − 1 2 R 2 sin α
Теорема синусов
Если вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов:
a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит. Из этих данных можно найти радиус описанной окружности.
Примеры решений заданий из ОГЭ
Модуль геометрия: задания, связанные с окружностями.
Геометрия. 8 класс
Рассмотрим окружность с центром в точке O. Отметим на окружности две точки A и В.
Они разделяют окружность на две дуги. Для того, чтобы различать эти дуги, на каждой из них отмечают промежуточную точку и обозначают дуги тремя буквами.
Например, дуга AСВ и дуга ADB.
∪ ACB и ∪ ADB
Когда понятно, о какой дуге идет речь, то её обозначают двумя буквами.
Например, дуга АС.
∪ АС
Если отрезок, соединяющий концы дуги, является диаметром окружности, то дуга называется полуокружностью.
Любой диаметр делит окружность на две полуокружности.
Рассмотрим угол, вершина которого находится в центре окружности.
Дадим определение: Угол с вершиной в центре окружности называется её центральным углом.
Центральному углу NОM соответствуют две дуги с концами N и M.
Центральный угол может быть развернутым и неразвернутым. Если центральный угол развернутый, то ему соответствуют две полуокружности.
∠NOM – центральный угол
Если центральный угол неразвернутый, то дуга, расположенная внутри этого угла меньше полуокружности. На рисунке эта дуга выделена цветом.
Про другую дугу, соответствующую центральному углу говорят, что она больше полуокружности. На рисунке это дуга NKM.
Дугу окружности можно измерять в градусах.
Если дуга MN окружности с центром в точке O равна полуокружности или меньше полуокружности, то её градусная мера считается равной градусной мере центрального угла NOM.
∪ NKM = 180° ∪ NM = ∠NOM ∪ NKM = 360° – ∠NOM
Если дуга MN больше полуокружности, то ее градусная мера считается равной разности 360° и градусной меры ∠NOM.
Таким образом, градусная мера дуги равна градусной мере соответствующего центрального угла или угла, дополняющего центральный угол до 360°.
Геометрия, 7-9: учеб. для общеобразоват. учреждений/ [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. – М.: Просвещение, 2017.
Длина дуги окружности – формула, обозначение, примеры расчета
Необходимость расчётов
Геометрическими формулами, связанными с подсчетом площади сектора, объема сегмента и периметра полукруга, следует виртуозно владеть людям, связавшим свою жизнь со строительством или благоустройством территорий. Чтобы обновить после зимы элементы архитектуры городского парка и закрасить дефекты абстрактных скульптур, не нужно вспоминать сложные уравнения, достаточно применить знание геометрических формул.
К примеру, для правильного нахождения веса декоративного камня, предназначенного для окантовки части клумбы, нужно уметь быстро посчитать размер полуокружности на поверхности ландшафта. Затем необходимо определиться с ценой и принять решение, какой камень можно покупать с учетом сметы. Аналогичная задача возникает при строительстве альпийской горки. Тяжесть камня обеспечит круговую укладку, это свойство позволит высадить декоративные растения в запланированных местах сечения, придав конструкции форму трапеции.
Что представляет собой часть клумбы? Это сектор геометрической фигуры. Внешняя его часть — окантовка клумбы — чаще всего представляет собой дугу окружности. Существует две методики вычисления этой величины:
- градусная (с привязкой к центральному углу);
- по формуле Гюйгенса (с использованием хорды).
Определение методики расчета в полевых условиях зависит от наличия инструментов и особенностей рельефа местности. Но сначала немного теории. Дугой называют часть окружности, расположенную между двумя произвольными точками, находящимися на ней.
Для удобства рассмотрим пример с двумя точками A и B, расположенными на окружности на небольшом расстоянии друг от друга. Они делят её на 2 части — большую и меньшую. Каждая из них называется дугой окружности.
Градусная мера
Длина дуги между точками окружности является функцией центрального угла, образованного радиусами круга (см. рисунок) в прямо пропорциональной зависимости. На этом основана градусная мера.
За 1° дуги принимают часть окружности.
Поскольку L равна , то развернутому углу 180° будет соответствовать длина дуги .
Если значение угла равно 1°, формула выглядит так: .
Следовательно, формула длины дуги окружности с центральным углом n° будет выражаться следующим образом: .
Определим значение l для угла 120° с радиусом, равным 5 мм: l=3,14*30*5/180=2,62 мм.
Применение хорды и высоты
Существует методика расчета длины дуги по хорде и высоте перпендикуляра. Она получила название формулы Гюйгенса. Хорда представляет собой часть прямой, расположенной внутри окружности. Проходящая через центр хорда называется диаметром.
Формулу Гюйгенса применяют, если центральный угол меньше 60 градусов. Для проведения вычислений необходимо сначала соединить точки окружности прямой линией. Это будет хорда. Далее нужно провести перпендикуляр из ее середины, а из точки соприкосновения перпендикуляра с дугой начертить две прямые линии к концам хорды.
Получился равнобедренный треугольник, стороны которого обозначим l , а саму хорду назовем L . Для углов более 60 градусов формулу Гюйгенса не стоит использовать, поскольку при расчетах может возникнуть ошибка. Чем больше угол, тем значительней будет погрешность.
Замерив хорды L и l, можно получить значение дуги, обозначенной на рисунке синим цветом. Если L равна 30 мм, а l — 20 мм, то Р=2*20+3,33=43,33 мм.
Теперь, когда существует понимание методики расчета, можно воспользоваться онлайн-калькулятором. Этот инструмент хорош для проверки полученного экспериментальным путем результата, особенно при обработке большого количества данных, когда необходимо быстро получить ответ.
Онлайн-калькулятор позволяет сохранять полученные значения в буферной памяти компьютера. Оформить данные в виде произвольной таблицы или графика в системе координат не составит труда. Длина дуги окружности по онлайн-калькулятору считается с использованием любой из двух формул: либо по градусной мере, либо по хорде и высоте. Образно говоря, эти формулы являются синонимами, они взаимозаменяемы.
Практика с задачами
Нужно сказать несколько слов об изучении геометрии в средних классах общеобразовательной школы. Существует категория учащихся, для которых формулы сложны для восприятия. Таким ученикам требуется наглядный материал.
На уроке геометрии при изучении материала по вычислениям параметров окружности можно провести практическое занятие. Для этого следует предварительно подготовиться: сделать небольшой чертеж-проекцию гимнастического кольца. Цель занятия — научиться использовать формулы в процессе работы. Ход урока:
- Попросить дежурного ученика принести из спортивного зала гимнастическое кольцо (хула-хуп) небольшого диаметра.
- Отметить фломастером или цветным мелком 3 точки на наружной стороне кольца. После этого оно окажется поделенным на несколько секторов.
- Сделать проекцию кольца на школьной доске с нанесенными точками. На чертеже обозначить центр круга, провести диаметр. Затем нужно соединить отмеченные на окружности точки радиусами с центром круга и хордами между собой.
- Провести все замеры. Получить значения всех параметров и записать на доске. Её предварительно разделить на две части: в центре, доступном для обзора, будут значения центральных углов АОВ и ВОС, диаметр, длина прямых линий АВ, ВС и АС.
- Ответы (искомые значения) записать в правой части доски и прикрыть шторкой до момента окончания практического занятия.
Далее следует разделить класс на 4 небольших группы. Каждой из них нужно дать задание по проведению вычислений с использованием изученных формул.
- группа №1 вычисляет длину дуги между точками А и В, используя градусную меру центрального угла АОВ;
- вторая группа получает аналогичное задание для отрезка между точками В и С;
- третья группа вычисляет искомый параметр между точками А и С, используя длину хорды АС и вспомогательных линий АВ и ВС;
- группа №4 работает с точками А и С, применяя значения угла АОС.
На выполнение задания отводится 12 минут. После истечения времени от каждой из четырех групп выходит ученик, поясняет формулу и записывает на доске полученный результат. Эти ответы сравниваются с уже готовыми замерами, записанными ранее на правой стороне доски.
Следующие 7 минут урока отводятся на обсуждение полученного результата и анализа возникновения погрешности.
Усложнение формулы
Группе продвинутых учеников предлагается задание «Как изменить градусную формулу?». Можно ли найти значение радиуса, используя другие геометрические выражения, например, представить его как половину диаметра круга? В этом случае формулы будет выглядеть следующим образом: r=1/2d, тогда l= πd/360*n.
Если использовать формулу вычисления площади круга и выразить радиус через неё, тогда можно получить s=πr 2 .
Обозначаться радиус будет интересно — в виде производной квадратного корня. Вывести формулу нетрудно, это станет прекрасной ментальной гимнастикой для учащихся.
Базовая цель уроков математики — развитие аналитического мышления учащихся достигается в процессе обсуждения и сравнения различных методик расчета. В качестве дополнительного задания можно предложить ученикам посчитать значение кривой линии наружного края школьной клумбы. Затем следует попросить обосновать свои расчеты.
Использование наглядности поможет учащимся подружиться с формулами, увидеть роль геометрии в повседневной практической жизни и облегчить усвоение конкретного материала.
[spoiler title=”источники:”]
http://resh.edu.ru/subject/lesson/2027/main/
http://nauka.club/matematika/geometriya/dlina-dugi-okruzhnosti.html
[/spoiler]
Как определяется градусная мера дуги
Каждый угол имеет свою градусную величину. Это известно школьникам еще с младших классов. Но вскоре в учебной программе появляется понятие градусной меры дуги, и новые задачи требуют умение правильно ее вычислять.
Инструкция
Дуга – это часть окружности, заключенная между двумя точками, лежащими на этой окружности. Любую дугу можно выразить через числовые значения. Ее главной характеристикой наравне с длинной является значение градусной меры.
Градусная мера дуги окружности, как и угла, измеряется в самих градусах, коих 360, или в минутах, которые в свою очередь делятся на 60 секунд. На письме дуга обозначается значком, который напоминает нижнюю часть окружности и буквами: двумя заглавными (АВ) или одной строчной (a).
Но при выделении на окружности одной дуги непроизвольно образуется другая. Поэтому для того чтобы однозначно понимать, о какой дуге идет речь, отметьте на выбранной дуге еще одну точку, например, С. Тогда обозначение приобретет вид АВС.
Отрезок, который образуется двумя точками, ограничивающими дугу, является хордой.
Градусную меру дуги можно найти через значение вписанного угла, который, имея точку вершины на самой окружности, опирается на данную дугу. Такой угол называется в математике вписанным, и его градусная мера равна половине дуги, на которую он опирается.
Также в окружности существует центральный угол. Он также упирается на искомую дугу, а его вершина находится уже не на окружности, а в центре. И его числовое значение равно уже не половине градусной меры дуги, а ее целому значению.
Поняв, как вычисляется дуга через опирающийся на нее угол, можно применить этот закон в обратном направлении и вывести правило, что вписанный угол, который опирается на диаметр, является прямым. Так как диаметр делит окружность на две равные части, значит, любая из дуг имеет значение в 180 градусов. Следовательно, вписанный угол равен 90 градусов.
Также, исходя из способа поиска градусного значения дуги, справедливо правило, что углы, опирающиеся на одну дугу, имеют равное значение.
Значение градусной меры дуги часто применяется для вычисления длины окружности или самой дуги. Для этого используйте формулу L= π*R*α/180.
Ключевые слова: угол, окружность, хорда, дуга, центральный угол, вписанный угол, касательная, секущая, теорема о секущих, теорема о касательной и секущей, градусная мера дуги, угол опирается на хорду, угол опирается на дугу, дуга стягивает хорду, угол между хордой и касательной, внутренный угол окружности, внешний угол окружности.
Центральные и вписанные углы в окружности
Центральный угол в окружности – угол с вершиной в ее центре и сторонами-радиусами.
Дуга окружности , соответствующей центральному углу – часть окружности внутри плоского угла.
Градусная мера дуги окружности – градусная мера соответствующего центрального угла.
Вписанный угол – вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность (хорды).
- Вписанный угол опирается на хорду , которая соединяет точки пересечения сторон угла и окружности.
- Вписанный угол опирается на дугу, заключенную между его сторонами.
- Обозначение: $AB^o$ – градусная мера дуги $AB$ , равна центральному углу $AOB$.
_____________________________________________________________________________________
Теорема Вписанный угол равен половине центрального угла, что опирается на ту же дугу.
Теорема$angle BAC=frac{angle BOC}{2}=frac{BC^o}{2}$ $angle BAD=frac{angle BOD}{2}=frac{BD^o}{2}$ $angle DAC=frac{angle DOC}{2}=frac{DC^o}{2}$
_____________________________________________________________________________________
Случай 1: Точка $O$ принадлежит лучу $AC$.
- Пусть $angle A = alpha$ , тогда и $angle B = alpha$ , ведь $bigtriangleup AOB$ – равнобедренный, его стороны $OB=OA$ как радиусы.
- $angle BOC$ является внешним для треугольника , а значит равен сумме двух других углов: $alpha+alpha=2alpha$
- угловое измерение дуги $BC$ есть $2alpha$ $Rightarrow$ вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
Случай 2: Точка $O$ лежит внутри вписанного угла $angle BAC$ .
- Проведем диаметр $AD$, обозначим $angle BAD = alpha$ и тогда дуга $BD$ равна $2alpha$ (см. случай 1).
- Обозначим $angle BAD$ за $beta$ , тогда дуга $DC$ равна $2beta$ ( так же из-за случая 1)
- $Rightarrow$ вся дуга $BC = 2alpha + 2beta = 2left(alpha+betaright)$. Но $angle BAC$ , в свою очередь, равен $alpha + beta$
- $Rightarrow$ вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
Случай 3: Точка $O$ находится вне вписанного угла .
- Проведем диаметр $AD$, обозначим угол $angle BAD$ через $alpha$ , тогда дуга $BD$ равна $2alpha$ (из-за случай 1).
- $angle CAD$ обозначим через $beta$ , тогда дуга $DC = 2beta$ (из-за случай 1).
- Дуга $BC$ является разностью большой дуги $BD$ и дуги $DC$ : $BC=BD-DC=2alpha-2beta=2left(alpha-betaright)$
- $Rightarrow$ Вписанный угол $angle BAD = alpha – beta$. … вписанный угол равен половине дуги опирания.
Следствия теоремы о вписанном угле:
- Все вписанные углы, стороны которых проходят через $A$ и $B$, вершины лежат по одну сторону от прямой $AB$ , равны.
- Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны меж собой.
- Вписанные углы, опирающиеся на диаметр, равны 90° , являются прямыми углами….центральный угол 180° .
Задача 1: Точки $A$, $B$, $C$ находятся на окружности и делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как 1 : 3 : 5. Найдите больший угол треугольника $ABC$ в градусах.
- Решение: Пусть меньшая дуга окружности равна $x$ , тогда $x + 3x + 5x = 360^o$ , $9x = 360^o$ , $x = 40^o$
- Больший угол $bigtriangleup ABC$ опирается на большую дугу и равен $5cdot40^o$ , для окружности он является вписанным
- и значит равен половине этой дуги $frac{200}{2}$. Ответ: $100^o$
Задача 2: В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $25^o$ . Найти угол между радиусом описанной окружности и противоположной стороной $AC$.
- Решение: Обозначим $angle ABC$ за $x$ . Он вписанный и опирается на дугу $AC$ , на которую так же опирается центральный угол $AOC$.
- Вписанный угол в два раза меньше центрального $Rightarrow$ $angle AOC = 2x$.
- $bigtriangleup AOC$ – равнобедренный, т.к. две его стороны являются радиусами ,
- значит углы при основании – хорде $AC$ равны и $OAC=OCA=frac{180-2x}{2}=90-x=90-25=65$ .
- Кстати, угол $HOC=ABC=x$. Ответ: $65^o$
Задача 3: Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O$ , образовали меж собой угол $COD$ равный $58^o$. Найти $angle ACB$.
- Решение: Углы $BOA$ и $COD$ равны как вертикальные , поэтому $angle BOA = 58^o$ .
- Искомый угол $ACB$ – вписанный и он опирается на ту же дугу , что и центральный угол $BOA$ .
- По теореме о вписанных и центральных углах $ACB=frac{1}{2}BOA=frac{1}{2}cdot58=29$ Ответ: $angle ACB = 29^o$
Задача 4: Найдите $angle DEF$, если градусные меры дуг $DE$ и $EF$ равны $161^o$ и $53^o$ соответственно.
- Решение: $angle DEF$ — вписанный, его градусная мера равна половине дуги, на которую он опирается.
- Дуга $FD = 360° – (161° + 53°) = 146°$ $Rightarrow$ $angle$ $DEF=frac{1}{2}146=73$ Ответ: $73^o$
Задача 5: Найдите градусную меру $angle ACB$ , если известно, что $BC$ является диаметром окружности, а градусная мера центрального $angle AOC$ равна $96^o$.
- Решение: $angle ACB$ — вписанный, опирается на дугу $AB$ и равен её половине. Найдем дугу $AB$.
- $BC$ — диаметр окружности, дуга $CAB$ равна $180^o$. $angle AOC$ – центральный угол. По условию $angle AOC = 96^o$ .
- $Rightarrow$ дуга $AC = 96^o$ , а дуга $AB = 180^o – 96^o = 84^o$ , тогда $angle$ $ACB=frac{1}{2}84=42$. Ответ: $angle ACB = 42^o$
Задача 6: Сторона $AC$ треугольника $ABC$ содержит центр описанной около него окружности. Найдите $angle C$, если $angle A = 69^o$.
- Решение: Важное свойство: вписанный $angle В$ , опирающийся на диаметр $AC$ , равен $90^o$ .
- Любой диаметр – развернутый центральный угол – опирается на дугу $180^o$ $Rightarrow$ $bigtriangleup ABC$ — прямоугольный.
- По свойству прямоугольного треугольника сумма острых углов равна $90^o$ $Rightarrow$ $angle C=90^o-angle A=90^o – 69^o=21^o$ .
- Ответ: $angle C = 21^o$
Задача 7: $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O$. $angle ACB$ равен $57^o$. Найдите $angle AOD$ .
- Решение: $angle ACB$ является вписанным углом , значит равен половине дуги, на которую опирается …
- градусная мера дуги $AB= 2B = 2cdot57^o=114^o$ . $O$ — центр окружности лежит на $BD$ , значит $BAD = 180^o$,
- тогда дуга $AD = 180^o – 114^o= 66^o$. $angle AOD$ — центральный и опирается на дугу $AD$ ,
- значит их градусные меры совпадают. $Rightarrow$ Ответ: $angle AOD = 66^o$
Задача 8: В окружности с центром в точке $O$ проведены диаметры $AD$ и $BC$ , угол $OCD$ равен $41^o$. Найдите величину $angle OAB$ .
- Решение: $angle OCD$ и $angle OAB$ — вписанные и опираются на одну и ту же дугу $DB$ , тогда …
- … по свойству вписанных углов они равны. Таким образом, $angle OAB$ то же равен $41^o$. Ответ: $angle OAB = 41^o$
Задача 9: Диаметр $AB$, угол $CDA$ равен 38°. Найдите величину угла $CAB$.
- Решение: угол $CDA$ – вписанный, значит его дуга $AC^o=2cdot38^o=76^o$. Тогда дуга $BCD$ равна $180 – 76 = 104^o$ ,
- но на нее опирается вписанный угол $CAB$ $Rightarrow$ $CAB=frac{1}{2}104^o$ Ответ: $CAB = 52^o$
О главном по теме: Центральные и вписанные углы в окружности. 1. Центральный угол в окружности – угол с вершиной в ее центре и сторонами-радиусами. 2. Дуга окружности , соответствующей центральному углу – часть окружности внутри плоского угла. 3. Градусная мера дуги окружности – градусная мера соответствующего центрального угла. 4. Вписанный угол – вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность (хорды). …. Вписанный угол опирается на хорду , которая соединяет точки пересечения сторон угла и окружности. …. Вписанный угол опирается на дугу, заключенную между его сторонами. Теорема Вписанный угол равен половине того центрального угла, которая опирается на ту же дугу.
Интерактивные Упражнения:
Задача 21: Угол АВС равен 66. Найти все что можно. (Т)
Задачи из сайта https://resh.edu.ru :
Задача 22: Градусные меры дуг окружности относятся как 3 : 2 : 2 : 5. Найдите градусную меру большей из этих дуг.
Задача 23: Точки А, В, С, D отметили на окружности в порядке следования их в латинском алфавите. При этом оказалось, что дуга ВСD в 3 раза больше дуги BАD. Найдите градусную меру дуги BCD.
Задача 24: В окружности с центром О проведены две равные хорды MK и PN. Найдите градусную меру большей из дуг с концами M и K, если угол PON равен 110°
Задача 25: Вписанный угол CBA равен 80°, где AB – диаметр. Найдите угол CAB.
Задача 26: На окружности с центром в точке O взяли последовательно точки A, B, C так, что ∠AOC = 150°. Найдите градусную меру угла ABC.
Задача 27: Точки А, В и С лежат на окружности с центром О, ∠ВАС – вписанный угол. Про градусные меры дуг известно, что ∪AB : ∪BC : ∪AC = 3 : 1 : 2. Найдите АВС.
Задача 28: В окружности проведен диаметр AB и равные хорды AC и AD так, что ∠DAB = 40°. Найдите градусную меру угла CBD.
Задача 29: Три точки A,B,C делят окружность на части так, что ∪AB : ∪BC : ∪AC = 3 : 4 : 5. Найдите градусные меры из этих дуг.
Задача 30: Дана окружность с центром в точке О. На окружности взяты точки N, P, Q так, что угол РОQ в 2 раза меньше угла PON и в 3 раза меньше угла QON. Найдите градусную меру дуги PQ, которая не содержит точку N.
Задача 31: Вписанный угол ВСD равен 25°, дуга ВС имеет градусную меру 80°. Найдите градусную меру дуги CD.
Задача 32: На окружности взяли последовательно точки A, B, C, D так, что ∠ABC = 120°. Найдите градусную меру угла ADC.
Задача 33: На окружности с центром в точке О взяты точки K, М, N так, что MK – диаметр, а угол КОN равен 80°. Найдите угол КМN.
- Главная
- Справочники
- Справочник по геометрии 7-9 класс
- Окружность
- Градусная мера дуги окружности
На рисунке 1 две точки А и В разделяют окружность на две дуги. На каждой дуге отмечают промежуточную точку, например L и М, для того, чтобы различать эти дуги. Обозначают дуги так: 
АLB и АМВ. Если в задаче ясно, о какой из двух дуг идет речь, то используют обозначение без промежуточной точки: АВ.
Если отрезок, соединяющий концы дуги является диаметром то, такая дуга называется полуокружностью. На рисунке 2 изображена окружность с центром О, концы диаметра АВ разделяют данную окружность на две полуокружности: АКB и АСВ.
Центральный угол – угол с вершиной в центре окружности. Пусть стороны центрального угла окружности с центром О пересекают ее в точках А и В. Центральному углу АОВ соответствуют две дуги с концами А и В.
Измерение дуги окружности
Дугу окружности можно измерять в градусах.
- Если дуга АВ окружности с центром О меньше полуокружности (Рис. 3, а) или является полуокружностью (Рис. 2), то ее градусная мера считается равной градусной мере центрального угла АОВ.
- Если дуга АВ окружности с центром О больше полуокружности (Рис. 3, б), то ее градусная мера считается равной 3600 –
АОВ.
АОВ.Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 3600.
Градусная мера дуги АВ (дуги АLВ), как и сама дуга, обозначается символом АВ ( АLВ). На рисунке 4 градусная мера дуги САВ равна 1450. Обычно говорят кратко: “Дуга САВ равна 1450” и пишут: САВ = 1450. Также на рисунке 4 АDВ = 3600 – 1150 = 2450, СDВ = 3600 – 1450 = 2150, DВ = 1800.
Советуем посмотреть:
Взаимное расположение прямой и окружности
Касательная к окружности
Теорема о вписанном угле
Свойство биссектрисы угла
Свойства серединного перпендикуляра к отрезку
Теорема о пересечении высот треугольника
Вписанная окружность
Описанная окружность
Окружность
Правило встречается в следующих упражнениях:
7 класс
Задание 649,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 26,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 716,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 1084,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 1099,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 1180,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 21,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 22,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 1286,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 1289,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
