При рассмотрении основных составляющих измерения углов, следует изучить исходные геометрические сведения:
- Угол.
- Развернутый угол, неразвернутый угол.
- Градус, секунда и минута.
- Градусная мера.
- Острый, прямой или тупой.
Геометрическая фигура, которая представляет собой точку — называется вершиной. А исходящие из этой вершины два луча, являются ее сторонами.
Измерение углов производится с помощью градусной меры угла. Углы измеряются таким же способом, как и отрезки, при помощи специальных единиц измерения – градусов.
Определение
Градус — геометрическая единица измерения, представляющая собой угол, который сравнивается с другими углами.
Равенство градуса таково: [frac{1}{180}] от развернутого угла. Исходя из этого, можно понять, что развернутый угол равен 180 градусам, а неразвернутый угол любой меньше 180 градусов.
Чему равна градусная мера угла
Определение
Градусная мера угла – это положительное число, которое показывает сколько раз градус и его части укладываются в данном углу.
А для их измерения используется инструмент – транспортир.
Транспортир используется следующим образом:
- Совместить вершину угла с центром транспортира, при этом одна сторона угла должна пройти по линейке.
- Штрих на шкале транспортира, через который пройдет 2-я сторона, покажет его градусную меру.
Как найти градусную меру угла
На рисунке угол АОВ = 135 градусов. Угол АОС = 90 градусов, угол ВОС = 45 градусов. Градусная мера углов равна сумме углов, на которые он разбит лучом, который проходит между его сторонами.
Отсюда следует, что величина угла AOB на рисунке 1 равна сумме величин углов AOC и [B O C: angle A O B=angle A O C+angle B O C].
Какие бывают названия углов можно понять, разобравшись со следующими обозначениями.
- Минута – 1/60 часть градуса. Обозначается знаком ‘
- Секунда – 1/60 часть минуты. Обозначают знаком»
Например: угол в 65 градусов, 35 минут,18 секунд записывается так: 75°45’28». Если градусная мера у нескольких углов одинаковая, эти углы считаются равными. Сравнить их можно по размерам – больше или меньше. Развернутый и неразвернутый углы.
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Градусная мера вписанного угла
Градусная мера вписанного угла равняется половине градусной меры дуги, опирающуюся на нее, и половине градусной меры угла, находящегося по центру, которая опирается на эту же дугу.
Вписанный угол равняется половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
АВ-хорда
ВС-хорда
В-точка окружности.
Углы также различаются несколькими типами:
- Прямыми
- Острыми
- Тупыми
Равность прямого угла составляет — 90 градусов. Острый равен цифре меньше 90 градусов. А тупой же – больше 90 и меньше 180 градусов. В чем же заключается важность умения измерения углов и градусной меры в жизни? Оно пригодится в исследованиях, таких как: астрономия. Например, чтобы вычислить положение различных тел в космосе. Чтобы попрактиковаться, необходимо прочертить несколько неразвернутых углов, отличающихся друг от друга. Также важно потренироваться чертить развернутые. А еще, можно при помощи транспортира поупражняться, задавая случайные цифры, в правильности воспроизведения углов.
Существует еще такое понятие, как, биссектриса.
Определение
Биссектриса— луч, который исходит из вершины этого угла и делит его пополам.
Пример 1. Задача с биссектрисой и развернутым углом.
Рис.3 Лучи DЕ и DF – это биссектрисы, которые соответствуют углам ADB и BDC.
Теперь нужно найти угол ADC, при этом угол EDF = 75°
Ответ. Угол EDF имеет по половинке от углов ADB и BDC, это значит, что EDF – это половина самого угла ADC. Теперь получили вычисление угол ADC = 75 умножить на 2 = 150°.
Ответ: 150°
Пример 2. Задача с биссектрисой и прямым углом.
Рисунок 4. По рисунку 4 видно, что угол АВС прямой, а углы ABE EBD DBC равны. Нужно найти угол, который образовали биссектрисы — ABE и DBC.
Решение будет таким: угол АВС прямой, и исходя из этого, можно понять что он равен 90°. Угол ЕВD=90/3=30°. Согласно правилу, углы ABE EBD DBC равны и поэтому каждый из них будет = 30°. Далее видно, что биссектриса любого из трех углов делит любой из этих углов на 2 угла, которые будут равны 15°. Обе половины углов ABE и DBC относятся к углу, который необходимо найти, то можно смело утверждать, что угол, который мы вычисляем, равен 30+15+15=60°.
Решение: 60°
Градусная мера углов треугольника
У любой геометрической фигуры, кроме округлой, имеются углы. При рассмотрении углов треугольника можно увидеть следующее: Сумма углов треугольника всегда равняется 180°. Если рассматривать прямоугольный треугольник, то можно увидеть, что один из углов равен 90°. А сумма двух других углов тоже равняется 90°.
Поэтому, если известно сколько градусов составляет один из острых углов треугольника, второй угол можно найти по формуле:
[angle a=90^{circ}-angle beta]
У прямоугольного треугольника один из углов прямой, соответственно, два других – острые.
Разъяснение острого угла таково: острым углом называется угол, значение которого составляет менее 90 градусов.
Исходя из вышесказанного, можно отметить, что прямоугольный треугольник — это геометрическая фигура, которая образовалась из трех отрезков. Эти отрезки соединяются между собой тремя точками. Углы у нее все внутренние, а один из них — прямой и равняется 90°. Пример — рисунок 5.
Как определить градусную меру угла
Содержание:
-
Градусная мера угла — формулировка
- Что отражает величина
- Обозначение
- Мера прямого угла
- Мера развернутого угла
- Мера тупого угла
- Мера острого угла
-
Как найти градусную меру
- Описание
-
Свойства углов
- Мера больше нуля
- Мера соответствует сумме градусных мер углов, разбиваемых лучом
- Отложение угла от луча
- Примеры нахождения меры угла
Градусная мера угла — формулировка
Градусная мера, в первую очередь, делает возможным измерение углов в геометрии.
Это число – показатель того, сколько градусов, минут и секунд содержится в данном угле.
Примечание
Оно всегда больше нуля.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Что отражает величина
Количество градусов, минут и секунд, которые находятся между сторонами угла.
Обозначение
С помощью символов градусов ((º)), минут ((′)) и секунд ((″)).
В одном градусе содержится шестьдесят минут, в одной минуте — шестьдесят секунд.
Пример
(125º) (22′) (15″) (сто двадцать пять градусов, двадцать две минуты, пятнадцать секунд).
Примечание
Если настолько точно, как показано выше определить меру невозможно, пользуются дробной мерой градуса. Например, (123,5º).
Пример
Обозначение на чертеже:
Мера прямого угла
Прямой всегда равен (90º). В него входит (5400′) или (324000″). Является половиной развернутого.
Мера развернутого угла
Развернутый всегда равен (180º). Представляет собой прямую.
Мера тупого угла
Тупой всегда больше (90º), но меньше (180º).
Мера острого угла
Острый всегда меньше (90º).
Примечание
Выглядит как нечто с острым концом, способным «уколоть».
Как найти градусную меру
С помощью специального измерительного инструмента – транспортира. Он может быть сделан из разного материала (пластик, дерево, тонкий металл) и выглядеть по-разному.
Разница только во внешнем виде. Устроены инструменты одинаково. Состоят из:
- основания (часто со шкалой-линейкой),
- дуги (полукруга) с двумя шкалами с градусной сеткой.
Примечание
Круглый транспортир имеет отличие в строении сетки: на нем указан полный круг в (360°).
Описание
Как производить измерения:
- найти в середине транспортира специальную метку (это может быть отверстиештрихточка и т.п.), она проходит через «0º» на сетке дуги;
- приложить инструмент этой отметкой к вершине угла, т.е. совместить «0º» с точкой вершины;
- повернуть так, чтобы основание инструмента совпадало с одной из сторон угла;
- следить, чтобы при повороте транспортира отметка «0º» не сходила с вершины;
- проводим мысленно дугу справа налево (снизу, от основания, вверх по дуге) до второй стороны угла;
- вторая сторона угла покажет на отметку с цифрой на шкале инструмента;
- это и будет градусная мера данного угла.
Примечание
Если после того, как вы приложили центральную метку транспортира к вершине угла, одна из его сторон прошла через отметку «0º» на внешней шкале полукруга, то дальше измерение проводите только по внешней шкале. Если же сторона прошла через внутренний «0º», то пользуйтесь внутренней шкалой, на внешнюю уже смотреть не нужно.
Чтобы не сделать ошибку при измерении, воспользуйтесь образцом: https://yadi.sk/i/LVbtcivDBPzimw
Свойства углов
Градусная мера меньшего всегда меньше.
Если углы равны, то их градусные меры тоже равны (и наоборот: равные меры говорят о равенстве углов).
Ниже представлены основные свойства.
Мера больше нуля
Градусная мера любого угла всегда больше (0º).
Мера соответствует сумме градусных мер углов, разбиваемых лучом
Если угол разделен лучом на несколько углов, то его градусная мера будет равна сумме всех этих углов.
Отложение угла от луча
От любого луча можно построить только один угол с градусной мерой меньше (180º).
Примеры нахождения меры угла
Задача №1
Луч ОС лежит внутри (∠АОВ). При этом (∠АОС = 36º), а (∠ВОС = 18º). Чему равен (∠АОВ)?
Решение
- Луч делит исходный угол на два.
- Значит, чтобы найти (∠АОВ), нужно сложить меры углов, полученных при проведении луча.
- (36º+18º=54º.)
Задача №2
Луч (ОК) делит (∠АОВ) на два угла. Один из них больше другого в два раза и равен (60º). Чему равен (∠АОВ)?
Здесь, как и в задаче выше, решение будет простое. Специальная формула не требуется.
Решение:
- (∠AOK = 60º,)
- Известно также, что второй — вдвое меньше него, значит, (∠KOB = 60º:2 = 30º,)
- Мы знаем что (∠АОВ = ∠АОК+∠КОВ,)
- Нам остается только выполнить сложение:( 60º+30°= 90º). Это и есть величина (∠AOB.)
- Главная
- Справочники
- Справочник по геометрии 7-9 класс
- Начальные геометрические сведения
- Градусная мера угла
Нам известно, что при измерении отрезков, мы сравниваем измеряемый отрезок с отрезком, который принят за единицу измерения. Аналогично происходит измерение углов: чтобы измерить угол его сравнивают с углом, который принят за единицу измерения – с градусом.
Градус – это угол, который равен 
части развернутого угла,обозначается знаком 
часть градуса называется минутой, обозначается знаком 
часть минуты называется секундой, обозначается знаком 
Пример: 
(двадцать градусов пятнадцать минут сорок семь секунд)
Градусная мера угла – это положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном угле.
Пример:
Градусная мера угла ABC равна 
. Говорят: “Угол ABC равен 120 градусам”. Пишут: 
.
Транспортир – это измерительный инструмент, который используется для измерения и построения углов. Состоит из линейки (прямолинейной шкалы) и полукруга (угломерной шкалы: внутренней и внешней), который разделен на градусы от 0 до 
.
Для того чтобы измерить угол, необходимо совместить вершину угла с центром транспортира, при этом одна из сторон угла должна пройти через нулевое деление шкалы, тогда вторая сторона угла укажет градусную меру угла.
Пример: Измерим угол ABC, для этого совместим точку B с центром транспортира, и расположим транспортир так, чтобы сторона BC прошла через нулевое деление шкалы (обратите внимание отсчёт угла ведётся по той шкале, через нулевое деление которой пройдет одна из сторон угла: в нашем случае по внутренней шкале).
Вторая сторона при этом, как мы видим, проходит через деление шкалы 120, значит: .
Свойства:
Основные типы углов:
- Острый угол – угол, градусная мера которого меньше 90°.
- Прямой угол – угол, градусная мера которого равна 90°.
- Тупой угол – угол, градусная мера которого больше 90°, но меньше 180°.
- Развернутый угол – угол, градусная мера которого равна 180°.
Советуем посмотреть:
Точки, прямые, отрезки
Провешивание прямой на местности
Луч
Угол
Равенство геометрических фигур
Сравнение отрезков
Сравнение углов
Длина отрезка
Единицы измерения длины, расстояний
Измерение углов на местности
Смежные углы
Вертикальные углы
Перпендикулярные прямые
Построение прямых углов на местности
Начальные геометрические сведения
Правило встречается в следующих упражнениях:
7 класс
Задание 51,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 80,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 102,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 104,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 145,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 315,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 2,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 465,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 14,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 1166,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Математика
5 класс
Урок № 27
Углы. Измерение углов
Перечень рассматриваемых вопросов:
– понятие «угол», «величина угла»;
– виды углов;
– построение углов;
– измерение величины угла.
Тезаурус
Угол – геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки, которая называется вершиной угла.
Градус – единица измерения углов, составляющая часть развёрнутого угла.
Градусная мера угла – число, которое показывает, сколько единиц измерения (градусов) содержится между сторонами этого угла.
Обязательная литература
Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.
Дополнительная литература
1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 класс. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О.Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 классы. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
«Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Всё вокруг – геометрия», – сказал в своё время французский архитектор Ле Корбюзье, и трудно с ним не согласиться. Геометрические фигуры постоянно встречаются в творениях природы и человека.
Сегодня мы рассмотрим ещё одну геометрическую фигуру – угол, разберём его виды и опишем процесс построения и измерения углов.
Для начала определим, что называют углом.
Углом называют геометрическую фигуру, образованную двумя лучами, выходящими из одной точки.
Построим угол. Для этого отметим на плоскости точку О и проведём два луча – ОК и ОМ. Получим геометрическую фигуру, образованную точкой О и двумя лучами, исходящими из этой точки. Такую геометрическую фигуру и называют углом.
Лучи ОК и ОМ называют сторонами угла, точку О – общее начало этих лучей – называют вершиной угла.
Обозначается угол чаще всего тремя буквами. Например, ∠КОМ или ∠МОК. В середине пишется буква, которой обозначена вершина угла. Также угол можно обозначать и одной буквой, поставленной у вершины угла. Например, ∠О.
Начертим два луча, исходящих из точки О и принадлежащих одной прямой.
Лучи ОС и OК вместе с точкой О дополняют друг друга до прямой – это дополнительные лучи. Угол называют развёрнутым, если его стороны являются дополнительными лучами.
Угол СОК – развёрнутый.
Построим развёрнутый угол АОВ и полуокружность с центром в точке О. Полуокружность разделим на 180 равных частей. Если построим углы с вершиной в точке О, стороны которых проходят через точки деления полуокружности, то таких углов будет 180. Один такой угол будет составлять часть развёрнутого угла.
рисунок
Меру угла, составляющего часть развёрнутого угла, принимают за единицу измерения углов и называют градусом. Обозначают: 1º.
Градусной мерой угла называют число, которое показывает, сколько единиц измерения (градусов) содержится между сторонами этого угла.
Например, градусная мера угла КOВ равна 25 градусам, так как в нём единица измерения градус содержится двадцать пять раз. Записывают: ∠КОВ = 25º.
рисунок
Стоит отметить, что для более точного измерения угла используют доли градуса:
– минуты, которые обозначают одной чёрточкой сверху над цифрой справа,
– секунды, которые обозначаются двумя чёрточками над цифрой справа.
В одном градусе содержится 60 минут, а в одной минуте – 60 секунд.
Например, если угол А равен 10 градусам 5 минутам, записывают: ∠А = 10º5′.
Градусная мера развёрнутого угла равна 180º.
Для измерения углов в градусах пользуются прибором, который называется транспортиром. На транспортире имеется шкала – полуокружность, разделённая на 180 равных частей. На линейке транспортира чёрточкой отмечен центр полуокружности транспортира.
Чтобы найти градусную меру угла, например, угла АВС, нужно совместить центр транспортира с вершиной угла, в данном случае точкой В; расположить линейку транспортира так, чтобы одна из сторон угла прошла через начало отсчёта шкалы транспортира – ноль градусов (в данном случае сторона АВ), и найти на шкале транспортира деление, через которое проходит другая сторона угла – в данном случае сторона ВС.
Это деление шкалы покажет градусную меру угла. В нашем случае – это 120º.
Транспортир применяется также для построения угла, мера которого известна. Построим, например, угол KNM, равный 60º. Для этого:
– проведём луч NM;
– совместим центр транспортира с точкой N;
– расположим линейку транспортира так, чтобы луч NM прошёл через начало отсчёта шкалы транспортира;
– найдём на шкале транспортира деление, соответствующее шестидесяти градусам, и отметим напротив него точку К;
– проведём луч NK. Мы построили угол KNM, равный 60º.
Ответить на вопрос, равны ли углы, и, если не равны, то какой из них больше или меньше, можно, сравнивая их градусные меры. Углы с равными градусными мерами равны. Из двух углов больше тот, который имеет большую градусную меру; а меньше тот, который имеет меньшую градусную меру.
Углы можно сравнить также наложением. Если при этом они совпадают, то равны.
Помимо развёрнутого, углы можно разделить на следующие виды: прямой, острый и тупой.
Угол называют прямым, если его градусная мера равна 90º.
Острым – если его градусная мера меньше 90º.
Тупым – если его градусная мера больше 90º и меньше 180º.
Рассмотрим ещё два вида углов, которые встречаются в геометрических задачах: это вертикальные углы, то есть пара углов с общей вершиной, которые образованы при пересечении двух прямых так, что стороны одного угла являются продолжением сторон другого. Например, угол один и два.
И смежные углы – это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными полупрямыми.
Например, угол САВ и угол САD.
Вместе смежные углы составляют развёрнутый угол. Следовательно, сумма величин смежных углов составляет 180º.
Итак, сегодня мы познакомились с разными видами углов и научились строить их с помощью транспортира.
Для определения величины углов используется прибор, который называют транспортир. Но существуют и более высокоточные приборы.
Так, гониометр использовался для определения положения судна в море или океане.
Теодолит – прибор для измерения горизонтальных и вертикальных углов при геодезических работах, в строительстве и т. п.
Секстант применялся для измерения высоты Солнца над горизонтом с целью определения географических координат той местности, в которой производится измерение, и на судах.
Посох Якова, служащий для измерения углов, – один из первых инструментов для астрономических наблюдений.
Курс тригонометрии. Как найти радианную и градусную меру угла
