Как найти график четной функции - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Загрузить PDF

Функции бывают четными, нечетными или общего вида (то есть ни четными, ни нечетными). Вид функции зависит от наличия или отсутствия симметрии. Лучший способ определить вид функции – это выполнить ряд алгебраических вычислений. Но вид функции можно выяснить и по ее графику. Если научиться определять вид функций, можно предугадывать поведение определенных сочетаний функций.

1

Запомните, что такое противоположные значения переменных. В алгебре противоположное значение переменной записывается со знаком «-» (минус). Причем это верно при любом обозначении независимой переменной (буквой или любой другой буквой). Если в исходной функции перед переменной уже стоит отрицательный знак, то ее противоположным значением будет положительная переменная. Ниже приведены примеры некоторых переменных и их противоположных значений:^[1]
2

Замените независимую переменную на ее противоположное значение. То есть поменяйте знак независимой переменной на противоположный. Например:^[2]
3

Упростите новую функцию. На этом этапе вместо независимой переменной не нужно подставлять определенные числовые значения. Необходимо просто упростить новую функцию f(-x), чтобы сравнить ее с исходной функцией f(x). Вспомните основное правило возведения в степень: при возведении отрицательной переменной в четную степень получится положительная переменная, а при возведении отрицательной переменной в нечетную степень получится отрицательная переменная.^[3]
4
Сравните две функции. Сравните упрощенную новую функцию f(-x) с исходной функцией f(x). Запишите соответствующие члены обеих функций друг под другом и сравните их знаки.^[4]
- Если знаки соответствующих членов обеих функций совпадают, то есть f(x) = f(-x), исходная функция четная. Пример:
- Если знаки соответствующих членов обеих функций противоположны друг другу, то есть f(x) = -f(-x), исходная функция четная. Пример:
- Если новая функция не соответствует ни одному из приведенных примеров, то она является функцией общего вида (то есть ни четной, ни нечетной). Например:
Реклама

1

Постройте график функции. Для этого воспользуйтесь миллиметровкой или графическим калькулятором. Выберите несколько любых числовых значений независимой переменной и подставьте их в функцию, чтобы вычислить значения зависимой переменной . Найденные координаты точек нанесите на координатную плоскость, а затем соедините эти точки, чтобы построить график функции.^[5]
2
Проверьте, симметричен ли график функции относительно оси Y. Под симметрией подразумевается зеркальное отображение графика относительно оси ординат. Если часть графика справа от оси Y (положительные значения независимой переменной) совпадает с частью графика слева от оси Y (отрицательные значения независимой переменной), график симметричен относительно оси Y. Если функция симметрична относительно оси ординат, такая функция четная.^[6]
- Проверить симметричность графика можно по отдельным точкам. Если значение , которое соответствует значению , совпадает со значением , которое соответствует значению , функция является четной. В нашем примере с функцией $f(x)=2x^{2}+1$ мы получили следующие координаты точек:
  - (1,3) и (-1,3)
  - (2,9) и (-2,9)
- Обратите внимание, что при x=1 и x=-1 зависимая переменная у=3, а при x=2 и x=-2 зависимая переменная у=9. Таким образом, функция четная. На самом деле, чтобы точно выяснить вид функции, нужно рассмотреть более двух точек, но описанный способ является хорошим приближением.
3
4
Проверьте, имеет ли график функции какую-нибудь симметрию. Последний вид функции – это функция, график которой не имеет симметрии, то есть зеркальное отображение отсутствует как относительно оси ординат, так и относительно начала координат. Например, дана функция $f(x)=x^{2}+2x+1$ .^[8]
- В функцию подставьте несколько положительных и соответствующих отрицательных значений :
  - $f(1)=1^{2}+2(1)+1=1+2+1=4$ . Получили точку с координатами (1,4).
  - $f(-1)=(-1)^{2}+2(-1)+(-1)=1-2-1=-2$ . Получили точку с координатами (-1,-2).
  - $f(2)=2^{2}+2(2)+2=4+4+2=10$ . Получили точку с координатами (2,10).
  - $f(-2)=(-2)^{2}+2(-2)+(-2)=4-4-2=-2$ . Получили точку с координатами (2,-2).
- Согласно полученным результатам, симметрии нет. Значения для противоположных значений не совпадают и не являются противоположными. Таким образом, функция является ни четной, ни нечетной.
- Обратите внимание, что функцию $f(x)=x^{2}+2x+1$ можно записать так: $f(x)=(x+1)^{2}$ . Будучи записанной в такой форме, функция кажется четной, потому что присутствует четный показатель степени. Но этот пример доказывает, что вид функции нельзя быстро определить, если независимая переменная заключена в скобки. В этом случае нужно раскрыть скобки и проанализировать полученные показатели степени.
Реклама

Советы

Если показатель степени независимой переменной четный, то функция четная; если же показатель степени нечетный, функция нечетная.

Предупреждение

Данную статью можно применить только к функциям с двумя переменными, значения которых можно нанести на плоскость координат.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 179 621 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Чётные и нечётные функции

11 декабря 2021

Сегодня мы разберём:

Определение чётных и нечётных функций
Как проверить, является функция чётной или нечётной
Как выглядят графики чётных и нечётных функций
Дополнение. Задачи с параметром

1. Определение

Определение 1. Функция $fleft( x right)$, определённая на множестве $M$, называется чётной, если:

$M$ — симметричное относительно нуля множество.

$fleft( -x right)=fleft( x right)$.

Определение 2. Функция $fleft( x right)$, определённая на множестве $M$, называется нечётной, если:

$M$ — симметричное относительно нуля множество.

$fleft( -x right)=-fleft( x right)$.

Определение 3. Во всех остальные случаях, когда функция $fleft( x right)$ не является ни чётной,
ни нечётной, её называют функцией общего вида.

Примеры чётных функций:

Квадратичная: $fleft( x right)={{x}^{2}}$; любая степенная функция с чётным показателем: ${{x}^{4}}$, ${{x}^{8}},$ да хоть ${{x}^{128}}$.
Модуль: $fleft( x right)=left| x right|$. С модулем будет отдельный разговор — он обращает любую функцию в чётную.

Примеры нечётных функций:

Любая степенная функция с нечётным показателем: $fleft( x right)={{x}^{3}}$, ${{x}^{5}}$, ${{x}^{2n+1}}$.
Корень третьей степени: $fleft( x right)=sqrt[3]{x}$.
Обратная пропорциональность: $fleft( x right)={1}/{x};$.

2. Исследование функции на чётность

Чтобы узнать, является функция чётной или нечётной (или вообще общего вида), нужны две проверки:

Область определения. Если она не симметрична относительно нуля, то функция общего вида. Если симметрична — переходим ко второй проверке.
Зная $fleft( x right)$, считаем $fleft( -x right)$ и $-fleft( x right)$. Если $fleft( -x right)=-fleft( x right)$, то функция нечётная. А если $fleft( -x right)=fleft( x right)$, то функция чётная.

Главное, чтобы функция была задана формулой, а не таблицей, графиком или ещё как. Тогда исследование на чётность занимает несколько секунд. Мы сейчас убедимся в этом, но сначала важное замечание.

Что значит «симметричное относительно нуля множество»? Это значит, что если $xin M$, то и $-xin M$. Малейшее нарушение этого правила — хотя бы в одной точке — и множество уже не симметрично.

Примеры симметричных множеств:

[begin{align} & left( -infty ;+infty right) \ & left( -5;0 right)bigcup left( 0;5 right) \ & left[ -sqrt{2}-1;sqrt{2}+1 right] \ end{align}]

Примеры несимметричных множеств:

[begin{align} & left( -infty ;9 right)bigcup left( 9;+infty right) \ & left[ -3;3 right) \ & left[ 0;+infty right) \ end{align}]

Первые два множества несимметричны всего в одной точке (кстати, какой?). Но этого достаточно, чтобы прекратить исследование и отнести функцию к общему виду.

Разберём несколько примеров. Для начала — стандартный:

Исследуйте на чётность / нечётность функцию

[fleft( x right)={{x}^{3}}-4x]

Эта функция определена для всех действительных чисел: $xin mathbb{R}$. Это симметричное относительно нуля множество. Пока всё хорошо.

Считаем $fleft( -x right)$ и $-fleft( x right)$:

[begin{align} fleft( -x right) & ={{left( -x right)}^{3}}-4cdot left( -x right)= \ & =-{{x}^{3}}+4x; \ -fleft( x right) & =-left( {{x}^{3}}-4x right)= \ & =-{{x}^{3}}+4x end{align}]

Получили, что $fleft( -x right)=-fleft( x right)$. Значит, функция нечётная.

А вот более хитрый случай:

Исследуйте на чётность / нечётность функцию

[fleft( x right)=frac{x}{4-x}]

Область определения. Перед нами рациональная дробь. Её знаменатель должен быть отличен от нуля:

[begin{align} 4-x & ne 0 \ x & ne 4 \ end{align}]

Следовательно, область определения

[M=left( -infty ;4 right)bigcup left( 4;+infty right)]

Это множество несимметрично, поскольку $x=-4$ принадлежит этому множеству, а $x=4$ не принадлежит. Всё: функция $fleft( x right)$ — общего вида.

Дальше попробуйте сами:

Исследуйте на чётность / нечётность функцию

[begin{align} fleft( x right) & =frac{x-3}{x-3} \ gleft( x right) & =frac{3}{2+left| x right|} \ kleft( x right) & ={{left( 5-x right)}^{3}}-{{left( 5+x right)}^{3}} \ end{align}]

Ответ: $fleft( x right)$ — общего вида; $gleft( x right)$ — чётная; $kleft( x right)$ — нечётная.

Умение быстро определять чётность — чрезвычайно полезный навык. Особенно когда вы начнёте решать задачи с параметрами и всевозможные варианты ДВИ.

3. График чётной и нечётной функции

Всего два факта, которые нужно знать:

Теорема 1. График чётной функции $y=fleft( x right)$ симметричен относительно оси $OY$.

Теорема 2. График нечётной функции $y=fleft( x right)$ симметричен относительно начала координат.

Чтобы построить график чётной функции, достаточно построить его правую часть (для $xge 0$), а затем симметрично отразить относительно оси $OY$.

С нечётной функцией, на первый взгляд, всё то же самое. Сначала вновь строим правую часть графика (для $xge 0$), а затем отражаем её относительно начала координат. Однако практика показывает, что центральная симметрия даётся начинающим ученикам чуть сложнее, чем осевая.

Ниже приведены графики нескольких чётных функций. Попробуйте построить их самостоятельно.

Постройте график функции

[y=3left| x right|-2]

Функция чётная. Пусть $xge 0$. Тогда функция примет вид

[y=3x-2]

Это линейная функция. Её график — прямая. С учётом отражения относительно оси $OY$ получим:

Постройте график функции

[y={{x}^{2}}-2left| x right|-1]

Функция чётная. При $xge 0$ видим привычную квадратичную функцию

[y={{x}^{2}}-2x-1]

Её график — парабола с вершиной ${{x}_{0}}={-b}/{2a};={2}/{2};=1$. После отражения получим

Постройте график функции

[y=frac{2left| x right|+6}{left| x right|+1}]

Функция чётная. При $xge 0$ получим привычную рациональную дробь. Выделим целую часть:

[y=frac{4}{x+1}+2]

Это обычная гипербола, сдвинутая на 1 влево и на 2 вверх. Итого получим:

Обратите внимание на последний график. При всяком сдвиге и симметрии желательно показывать не только новое положение самого графика, но и положение всех ориентиров: вспомогательная система координат, вертикальные и горизонтальные асимптоты (особенно актуально для гипербол) и т.д.

Зачем всё это нужно? Исследование функции на чётность и нечётность незаменимо для решения сложных уравнений и задач с параметром:

Графический метод решения задач с параметром;
Метод мажорант;
Вместе с периодичностью используется в тригонометрии.

4. Дополнение. Задачи с параметром

Чётность функций редко встречается сама по себе. Прежде всего это инструмент для решения сложных задач.

Известно, что $fleft( x right)={{x}^{8}}+a{{x}^{4}}+1$ и $fleft( 2 right)=353$. Найдите $fleft( -2 right)$ и значение параметра $a$.

Решение. Очевидно, что функция $fleft( x right)$ чётная:

[begin{align} fleft( -x right) & ={{left( -x right)}^{8}}+a{{left( -x right)}^{4}}+1= \ & ={{x}^{8}}+a{{x}^{4}}+1=fleft( x right) end{align}]

Следовательно можем найти $fleft( -2 right)$:

[fleft( -2 right)=fleft( 2 right)=353]

Кроме того, подставим $x=2$ и $fleft( 2 right)=353$ в формулу, задающую функцию:

[begin{align} 353 & ={{2}^{8}}+acdot {{2}^{4}}+1 \ 16a& =96 \ a& =6 end{align}]

Задача решена. Ответы:

[begin{align} fleft( -2 right) & =353; \ a & =6. end{align}]

И ещё одна задача. Попробуйте решить её самостоятельно:

Известно, что $fleft( x right)=frac{6075}{{{x}^{5}}+k{{x}^{3}}}$ и $fleft( 3 right)=15$. Найдите $fleft( -3 right)$ и значение параметра $k$.

Решение. Функция чётная при любом $kin mathbb{R}$ (докажите это!), поэтому

[fleft( -3 right)=-fleft( 3 right)=-15]

Поскольку $fleft( 3 right)=15$, имеем:

[begin{align} fleft( 3 right) & =frac{6075}{{{3}^{5}}+kcdot {{3}^{3}}}=frac{15}{1} \ & … \ k& =6 end{align}]

Ответ: $fleft( -3 right)=-15$; $k=6$.

А чтобы действительно разобраться с чётностью, обязательно изучите ещё две темы:

Сдвиги графиков вдоль осей;
Графики функций с модулем.

После этого половина задач с параметром перестанет казаться вам сложными.:)

Смотрите также:

Задача B15 — исследование функции с помощью производной
Тест к уроку «Что такое числовая дробь» (средний)
Следствия из теоремы Виета
C2: расстояние между двумя прямыми
Процент: налоги и зарплата. Считаем с помощью коэффициентов

Источник

Понятие четной и нечетной функции

Содержание:

Понятие четности и нечетности функции
- Четная функция
- Нечетная функция
Произведение четной и нечетной функции
Исследование функций в примерах

Понятие четности и нечетности функции

Главное условие при исследовании функции на четность/нечетность — это симметричность области определения относительно 0. Если она не симметрична, то функция не является ни четной, ни нечетной, и дальнейшее исследование производить не нужно. Например, (D(y)in(-infty;+infty)) симметрична относительно 0, а (D(y):xin(-5;9)) — нет.

Четная функция

Функцию (f(x)) называют четной, если для любого значения х из области определения функции (f(x)) соблюдается равенство (f(-x)=f(x).)

Четная функция

Источник: myshared.ru

Свойство:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

График четной функции симметричен относительно оси Ох.

Доказательство:

Возьмем произвольную точку (M(x,;f(x))) из области определения (f(x)), тогда точка (M_1(-x,;f(x))) так же будет принадлежать графику, что следует из определения. Значит график данной функции будет симметричен относительно оси ординат.

Нечетная функция

Функцию (f(x)) называют нечетной, если для любого значения х из области определения функции (f(x)) соблюдается равенство (f(-x)=-f(x).)

Нечетная функция

Источник: myshared.ru

Свойство:

График нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки (0;0)).

Доказательство:

Возьмем произвольную точку (M(x,;f(x))) из области определения (f(x)), тогда точка (M_1(-x,;-f(x))) также будет принадлежать графику, что следует из определения. Значит график данной функции будет симметричен относительно начала координат.

Произведение четной и нечетной функции

Теорема

Произведение четной и нечетной функций есть нечетная функция.

Доказательство:

Пусть (f(x)) — четная функция, а (g(x)) — нечетная. Тогда (f(x)=f(-x), а g(-x)=-g(x).)

(f(x)cdot g(x)=(fcdot g)(x))

((fcdot g)(-x)=f(-x)cdot g(-x)=f(x)cdot(-g(x))=-f(x)cdot g(x)=-(fcdot g)(x))

Значит, ((fcdot g)(-x)=-(fcdot g)(x)), т.е. функция нечетная.

Теорема доказана.

Исследование функций в примерах

Задача №1

Доказать, что функция (y=x^2) четная.

1. Найдем область определения: (D(y):xin(-infty;+infty)) — симметрична относительно 0.

2. (f(x)=x^2)

(f(-x)=x^2)

(f(x)=f(-x)), значит функция четная.

Задача №2

Исследовать на четность и нечетность функцию (f(x)=8x^3-7x.)

1. Найдем область определения: (D(f):xin(-infty;+infty)) — симметрична относительно 0.

2. (f(x)=8x^3-7x)

(f(-x)=-8x^3+7x)

(f(x)neq f(-x)), значит функция не является четной.

(-f(x)=-8x^3+7x)

(-f(x)=f(-x)), значит функция нечетна.

Задача №3

Исследовать на четность и нечетность функции (f_1(x)=frac{x^2}{x-1}) и (f_2(x)=frac4{x^2-1})

Рассмотрим первую функцию:

1. Найдем область определения: x — любое число, кроме 1. Она не симметрична относительно 0, значит( f_1(x)) относится к функциям общего вида, то есть не является ни четной ни нечетной.

Рассмотрим вторую функцию:

1. Найдем область определения: х — любое число кроме -1 и 1. Она симметрична относительно 0.

2. (f_1(x)=frac4{x^2-1})

(f_1(-x)=frac4{x^2-1})

(f_1(x)=f_1(-x)), значит функция четная.

Насколько полезной была для вас статья?

У этой статьи пока нет оценок.

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»

Текст с ошибкой:

Расскажите, что не так

Поиск по содержимому

Источник

Четные и нечетные функции

Функция y=f(x) называется четной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого x из ее области определения выполняется равенство

График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Например, — четные функции.

Функция y=f(x) называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого x из ее области определения выполняется равенство

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Например, $y = x^3, y = sin x, y = tg x, y=frac{1}{x}$ — нечетные функции.

Функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными, называются функциями общего вида.

Если вы учитесь в матклассе или на первом курсе вуза — вам могут встретиться вот такие задания:

1. Проверьте, является ли функция $f(x)=frac{x}{3}-frac{3}{x}$ четной (нечетной).

Область определения функции f(x):

xne 0.

Проверим, является ли f(x) чётной или нечётной. Если функция четна. Если функция нечетна.

$f(-x)=-frac{x}{3}+frac{3}{x}=-(frac{x}{3}-frac{3}{x})=-f(x)$ — значит, функция $f(x)=frac{x}{3}-frac{3}{x}$ нечётная, её график симметричен относительно нуля.

2. Проверьте, является ли функция четной (нечетной).

Область определения: все действительные числа.

f(x) — чётная, как сумма двух чётных функций.

$f(-x)={(-x)}^2+cos(-x)=x^2+cosx=f(x).$

Её график симметричен относительно оси y.

3. Проверьте, является ли функция $f(x)=frac{sqrt{1-x^2}}{left|xright|}$ четной (нечетной).

Область определения функции симметрична относительно нуля.

$f(-x)=frac{sqrt{1-{(-x)}^2}}{left|-xright|}=frac{sqrt{1-x^2}}{left|xright|};$

f(x) — чётная, её график симметричен относительно оси y.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Четные и нечетные функции» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Нечётными и чётными называются функции, обладающие симметрией относительно изменения знака аргумента. Это понятие важно во многих областях математического анализа, таких как теория степенных рядов и рядов Фурье. Название связано со свойствами степенных функций: функция $f(x)=x^{n}$ чётна, когда чётно, и нечётна, когда нечётно.

— пример нечётной функции

— пример чётной функции

нечётная

ни чётная, ни нечётная

Нечётная функция — функция, меняющая значение на противоположное при изменении знака независимой переменной (график её симметричен относительно центра координат).
Чётная функция — функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимой переменной (график её симметричен относительно оси ординат).
Ни чётная, ни нечётная функция (или функция общего вида). В эту категорию относят функции, не попадающие в предыдущие 2 категории.

Строгое определение[править | править код]

Определения вводятся для любой симметричной относительно нуля области определения , например, отрезка или интервала.

Функция называется чётной, если справедливо равенство

Функция называется нечётной, если справедливо равенство

Функции, не принадлежащие ни одной из категорий выше, называются ни чётными, ни нечётными (или функциями общего вида).

Функции, принимающие нулевое значение на всей своей области определения, причём эта область определения симметрична относительно нуля, являются одновременно чётными и нечётными; например, функции f(x) = 0 и f(x) = 0/х. Любая функция, являющаяся одновременно чётной и нечётной, тождественно равна нулю на всей своей области определения.

Свойства[править | править код]

где

$g(x) = frac{f(x) - f(-x)}{2},; h(x) = frac{f(x)+f(-x)}{2}.$

Функции g(x) и h(x) называются соответственно нечётной частью и чётной частью функции f(x).

Сумма, разность и вообще любая линейная комбинация чётных функций чётна, а нечётных — нечётна. Поэтому чётные функции образуют линейное векторное пространство над полем действительных чисел, это же справедливо и для нечётных функций.
Произведение двух функций одной чётности чётно.
Произведение двух функций разной чётности нечётно.
Композиция двух нечётных функций нечётна.
Композиция чётной функции с нечётной чётна.
Композиция любой функции с чётной чётна (но не наоборот).
Производная чётной функции нечётна, а нечётной — чётна.
Для определённых интегралов от чётных функций выполняется равенство

${displaystyle int limits _{-A}^{A}f(x);dx=2int limits _{0}^{A}f(x);dx=2int limits _{-A}^{0}f(x);dx.}$

Соответственно, для определённых интегралов от нечётных функций выполняется равенство

${displaystyle int limits _{-A}^{A}f(x);dx=0.}$

Отсюда вытекают соотношения для несобственных интегралов от чётных функций:

${displaystyle int limits _{-infty }^{infty }f(x);dx=2int limits _{0}^{infty }f(x);dx=2int limits _{-infty }^{0}f(x);dx}$

и от нечётных функций:

${displaystyle mathrm {v.p.} int limits _{-infty }^{infty }f(x);dx=0}$

(v. p. обозначает главное значение несобственного интеграла по Коши).

Разложение в ряд Маклорена чётной функции содержит только члены с чётными степенями, а нечётной — только с нечётными.
Разложение в ряд Фурье периодической чётной функции содержит только члены с косинусами, а периодической нечётной — только с синусами.
Чётные функции образуют коммутативную алгебру над полем действительных чисел. Однако это неверно для нечётных функций, поскольку их множество незамкнуто относительно умножения (произведение двух нечётных функций является чётной функцией).

Примеры[править | править код]

Ниже везде

Нечётные функции[править | править код]

Чётные функции[править | править код]

Литература[править | править код]

И. М. Гельфанд, Е. Г. Глаголева, Э. Э. Шноль. Функции и графики. Основные приемы. — М.: Наука, 1968. — (Библиотечка физико-математической школы, выпуск 2). (Перевод на англ.: Functions and Graphs. The MIT Press, 1969, Birkhäuser: Boston, 1990 и 1998)

Источник

Советы

Предупреждение

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Чётные и нечётные функции

1. Определение

2. Исследование функции на чётность

3. График чётной и нечётной функции

4. Дополнение. Задачи с параметром

Понятие четной и нечетной функции

Понятие четности и нечетности функции

Четная функция

Нечетная функция

Произведение четной и нечетной функции

Исследование функций в примерах

Текст с ошибкой:

Поиск по содержимому

Четные и нечетные функции

Строгое определение[править | править код]

Свойства[править | править код]

Примеры[править | править код]

Нечётные функции[править | править код]

Чётные функции[править | править код]

Литература[править | править код]

Вам также может понравиться

Как найти адвоката по медицине

Как найти зарубежные телеграмм каналы

Как найти степень двузначных чисел

Добавить комментарий Отменить ответ