Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно по теме “Графики функций”.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Декартова система координат
Система координат – это две взаимно перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в точке, которая является началом отсчета для каждой из них.
Координатные оси – прямые, образующие систему координат.
Ось абсцисс (ось x ) – горизонтальная ось.
Ось ординат (ось y ) – вертикальная ось.
Функция
Функция – это отображение элементов множества X на множество Y. При этом каждому элементу x множества X соответствует одно единственное значение y множества Y.
Прямая
Линейная функция – функция вида y = a x + b где a и b – любые числа.
Графиком линейной функции является прямая линия.
Рассмотрим, как будет выглядеть график в зависимости от коэффициентов a и b :
Если a > 0 , прямая будет проходить через I и III координатные четверти.
b – точка пересечения прямой с осью y .
Если a < 0 , прямая будет проходить через II и IV координатные четверти.
b – точка пересечения прямой с осью y .
Если a = 0 , функция принимает вид y = b .
Отдельно выделим график уравнения x = a .
Важно: это уравнение не является функцией так как нарушается определение функции (функция ставит в соответствие каждому элементу x множества X одно единственно значение y множества Y). Данное уравнение ставит в соответствие одному элементу x бесконечное множества элементов y. Тем не менее, график данного уравнения построить можно. Просто не будем называть его гордым словом «Функция».
Парабола
Графиком функции y = a x 2 + b x + c является парабола.
Для того, чтобы однозначно определить, как располагается график параболы на плоскости, нужно знать, на что влияют коэффициенты a , b , c :
- Коэффициент a указывает на то, куда направлены ветки параболы.
- Если a > 0 , ветки параболы направлены вверх.
- Если a < 0 , ветки параболы направлены вниз.
- Коэффициент c указывает, в какой точке парабола пересекает ось y.
- Коэффициент b помогает найти x в – координату вершины параболы.
x в = − b 2 a
- Дискриминант позволяет определить, сколько точек пересечения у параболы с осью .
- Если D > 0 – две точки пересечения.
- Если D = 0 – одна точка пересечения.
- Если D < 0 – нет точек пересечения.
Гипербола
Графиком функции y = k x является гипербола.
Характерная особенность гиперболы в том, что у неё есть асимптоты.
Асимптоты гиперболы – прямые, к которым она стремится, уходя в бесконечность.
Ось x – горизонтальная асимптота гиперболы
Ось y – вертикальная асимптота гиперболы.
На графике асимптоты отмечены зелёной пунктирной линией.
Если коэффициент k > 0 , то ветви гиперолы проходят через I и III четверти.
Если k < 0, ветви гиперболы проходят через II и IV четверти.
Чем меньше абсолютная величина коэффиента k (коэффициент k без учета знака), тем ближе ветви гиперболы к осям x и y .
Квадратный корень
Функция y = x имеет следующий график:
Возрастающие/убывающие функции
Функция y = f ( x ) возрастает на интервале, если большему значению аргумента (большему значению x ) соответствует большее значение функции (большее значение y ) .
То есть чем больше (правее) икс, тем больше (выше) игрек. График поднимается вверх (смотрим слева направо)
Примеры возрастающих функций:
Функция y = f ( x ) убывает на интервале, если большему значению аргумента (большему значению x ) соответствует меньшее значение функции (большее значение y ) .
То есть чем больше (правее) икс, тем меньше (ниже) игрек. График опускается вниз (смотрим слева направо).
Примеры убывающих функций:
Для того, чтобы найти наибольшее значение функции, находим самую высокую точку на графике и смотрим, какая у нее координата по оси ординат (по оси y ) . Это значение и будет являться наибольшим значением функции.
Для того, чтобы найти наименьшее значение функции, находим самую нижнюю точку на графике и смотрим, какая у нее координата по оси ординат (по оси y ) . Это значение и будет являться наименьшим значением функции.
Задание №11 из ОГЭ 2020. Типовые задачи и принцип их решения.
Скачать домашнее задание к уроку 5.
Для многих учащихся, тема “Графики” и все что с ними связано, очень сложна и почти все как один говорит, что не понимает их. А на самом деле, все легко. Достаточно уметь выполнять простые арифметические действия. Если сравнивать задания из второй части ОГЭ по математике, то решить текстовую задачу, чаще бывает сложнее, чем построить график и ответить на вопрос. Сложность заключается в том, что задача требует размышления, правильного прочтения текста, и составление математической модели. При выполнения заданий на построение графиков, нужно всего лишь следовать алгоритму построения. Что можно описать конкретными шагами, то всегда легко.
Разберем построение следующего графика функции и определим шаги для выполнения таких заданий.
Напишем алгоритм построения:
1) Находим ОДЗ функции, т.е. находим такие значения, при которых знаменатель дроби может превратится в ноль.
Как видим, функция не может принимать значения при х=0, х=2/9 и х=-2/9.
2) Упрощаем дробное выражение:
В итоге мы получаем простую функцию, которая называется – обратная пропорциональная зависимость (гипербола).
3) Применяем свойство модуля.
Когда мы выполнили раскрытие модуля, содержащего в функции, и нашли координаты точек для построения графика, можем уже построить график на координатной плоскости.
4) Строим график функции
Если на графике не будут указаны выколотые точки (черные пустые точки на графике), то график будет считаться не верным
5) Отвечаем на вопрос задания, находим параметр по графику. В данном задании нужно было ответить на следующий вопрос:
Поскольку график функции y=kx, это график прямой пропорциональности, то он проходит через координату (0;0). Что бы прямая y=kx не имела с нашим графиком общих точек, то она должна проходить через выколотые точки, как это показано на рисунке красными линиями
Осталось найти значения параметра K. Для этого, в прямую y=kx подставим координаты выколотых точек (2/9; -9/2) и (-2/9; -9/2).
В ответе получаем три значения параметра К. Третье значение К=0 соответствует прямой которая совпадает с осью Ох.
Итак, в алгоритме у нас получилось 5 шагов:
1) Находим ОДЗ функции.
2) Упрощаем дробное выражение функции
3)Раскрываем модуль по его свойству и находи точки для построения графика.
4) Строим график по точкам, которые нашли в пункте 3.
5) Находим параметр.
Так же разбор этого задания, вы можете посмотреть ниже:
Спасибо, что прочитали. Вы меня очень поддержите, если поставите лайк и подпишитесь на мой блог.
Download Article
Download Article
A graph of a function is a visual representation of a function’s behavior on an x-y plane. Graphs help us understand different aspects of the function, which would be difficult to understand by just looking at the function itself. You can graph thousands of equations, and there are different formulas for each one. That said, there are always ways to graph a function if you forget the exact steps for the specific type of function.
-
1
-
2
Use the constant to mark your y-intercept. The y-intercept is where the function crosses the y-axis on your graph. In other words, it is the point where
. So, to find it, you simply set x to zero, leaving the constant in the equation alone. For the earlier example, , your y-intercept is 5, or the point (0,5). On your graph, mark this spot with a dot.[2]
Advertisement
-
3
Find the slope of your line with the number right before the variable. In your example,
, the slope is “2.” That is because 2 is right before the variable in the equation, the “x.” Slope is how steep a line is, or how high the line goes before going to the right or left. Bigger slopes mean steeper lines.
-
4
Break the slope into a fraction. Slope is about steepness, and steepness is simply the difference between movement up and down and movement left and right. Slope is a fraction of rise over run. How much does the line “rise” (go up) before it “runs” (goes to the side)? For the example, the slope of “2” could be read as
.[3]
- If the slope is negative, that means the line goes down as you move to the right.
-
5
Starting at your y-intercept, follow your “rise” and “run” to graph more points. Once you know your slope, use it to plot out your linear function. Start at your y-intercept, here (0,5), and then move up 2, over 1. Mark this point (1,7) as well. Find 1-2 more points to create an outline of your line.[4]
-
6
Use a ruler to connect your dots and graph your linear function. To prevent mistakes or rough graphs, find and connect at least three separate points, though two will do in a pinch. This is the graph of your linear equation![5]
Advertisement
-
1
Determine the function. Get the function of the form like f(x), where y would represent the range, x would represent the domain, and f would represent the function. As an example, we’ll use y = x+2, where f(x) = x+2.[6]
-
2
Draw two lines in a + shape on a piece of paper. The horizontal line is your x axis. The vertical line is your y axis.
-
3
Number your graph. Mark both the x axis and the y axis with equally-spaced numbers. For the x axis, the numbers are positive on the right side and negative on the left side. For the y axis, the numbers are positive on the upper side and negative on the lower side.[7]
-
4
Calculate a y value for 2-3 x values. Take your function f(x) = x+2. Calculate a few values for y by putting the corresponding values for x visible on the axis into the function. For more complicated equations, you may want to simplify the function by getting one variable isolated first.[8]
- -1: -1 + 2 = 1
- 0: 0 +2 = 2
- 1: 1 + 2 = 3
-
5
Draw the graph point for each pair. Simply sketch imaginary lines vertically for each x axis value and horizontally for each y axis value. The point where these lines intersect is a graph point.[9]
-
6
Remove the imaginary lines. Once you have drawn all the graph points, you can erase the imaginary lines. Note: the graph of f(x) = x would be a line parallel to this one passing through the origin (0,0), but f(x) = x+2 is shifted two units up (along the y-axis) on the grid because of the +2 in the equation.[10]
Advertisement
-
1
-
2
Find any zeros first. Zeros, also called x-intercepts, are the points where the graph crosses the horizontal line on the graph. While not all graphs even have zeros, most do, and it is the first step you should take to get everything on track. To find zeros, simply the entire function to zero and solve. For example:
-
3
Find and mark any horizontal asymptotes, or places where it is impossible for the function to go, with a dotted line. This is usually points where the graph does not exist, like where you are dividing by zero. If your equation has a variable in a fraction, like
, start by setting the bottom of the fraction to zero. Any places where it equals zero can be dotted off (in this example, a dotted line at x=2 and x=-2), since you cannot ever divided by zero. Fractions, however, are not the only places you can find asymptotes. Usually, all you need is some common sense:
-
4
Plug in and graph several points. Simply pick a few values for x and solve the function. Then graph the points on your graph. The more complicated the graph, the more points you’ll need. In general, -1, 0, and 1 are the easiest points to get, though you’ll want 2-3 more on either side of zero to get a good graph.[13]
- For the equation , you might plug in -1,0,1, -2, 2, -10, and 10. This gives you a nice range of numbers to compare.
- Be smart selecting numbers. In the example, you’ll quickly realize that having a negative sign doesn’t matter — you can stop testing -10, for example, because it will be the same as 10.
- For the equation
-
5
Map the end behavior of the function to see what happens when it is really huge. This gives you an idea of the general direction of a function, usually as a vertical asymptote. For example — you know that eventually,
gets really, really big. Just one additional “x” (one million vs. one million and one) makes y much bigger. There are a few ways to test end behavior, including:
-
6
Connect the dots, avoiding asymptotic and following the end behavior to graph an estimate of the function. Once you have 5-6 points, asymptotes, and a general idea of end behavior, plug it all in to get an estimated version of the graph.[15]
-
7
Get perfect graphs using a graphing calculator. Graphing calculators are powerful pocket computers that can give exact graphs for any equation. They allow you to search exact points, find slope lines, and visualize difficult equations with ease. Simply input the exact equation into the graphing section (usually a button labeled “F(x) = “) and hit graph to see your function at work.
Advertisement
Add New Question
-
Question
How do I sketch a graph of a square root function?
The process is the same as shown in the article above except, of course, it involves calculating (or estimating) the square roots of certain values.
-
Question
How do I graph function y = -2 sin(2/3x)?
Choose a value for x. Find 2/3 of that value. Then use a trigonometry table to find the sine of that last value. Then multiply the sine by -2. That gives you the value of y that corresponds to the chosen value of x. Do this again for other x values, and you will then have several x-y pairs to form the graph of the function.
Ask a Question
200 characters left
Include your email address to get a message when this question is answered.
Submit
Advertisement
Video
-
If you are ever completely lost with what to do, start plugging in points. You could technically graph the entire function like this if you tried infinite combinations of numbers.
-
Graphing calculators are a great way to practice. Try to graph by hand, then use the calculator to get a perfect image of the graph and see how you did.
Advertisement
References
About This Article
Article SummaryX
To graph a function, start by plugging in 0 for x and then solving the equation to find y. Then, mark that spot on the y-axis with a dot. Next, find the slope of the line, which is the number that’s right before the variable. Once you know your slope, write it as a fraction over 1 and then use the rise over run to plot the rest of the points from the spot you marked on the y-axis. Finally, use a ruler to draw a line connecting all of the points on your graph. To learn how to graph complicated functions by hand, scroll down!
Did this summary help you?
Thanks to all authors for creating a page that has been read 138,295 times.
Did this article help you?
Прежде чем перейти к изучению функции «y = kx»
внимательно изучите урок
«Что такое функция в математике»
и
«Как решать задачи на функцию».
Функция «y = kx» — это первый тип функции, который изучается в математике.
Важно!
Буквенный множитель «k» в функции «y = kx» называют
числовым коэффициентом.
На месте «k» может стоять любое число (положительное, отрицательное или дробь).
Другими словами, можно сказать, что «y = kx» — это семейство всевозможных функций, где вместо
«k» стоит число.
Примеры функций вида «y = kx».
- y = 4x
- y = −1,5x
- y = x
Давайте определим для каждой из функций выше, чему в них равен числовый коэффициент
«k».
| Функция | Коэффициент «k» | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| y = 4x | k = 4 | ||||
| y = −1,5x | k = −1,5 | ||||
y =
x |
k =
|
Как построить график функции «y = kx»
Запомните!
Графиком функции «y = kx» является прямая.
Из геометрии вспомним аксиому (утверждение, которое не требует доказательства),
что через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.
Исходя из этой аксиомы, что
чтобы построить график функции вида «у = kx» нам будет достаточно найти всего
две точки.
Для примера построим график функции «y = −4x».
Найдем значение функции «y» для двух произвольных значений «x».
Подставим, например, вместо «x» числа «0» и «1».
Важно!
Выбирая произвольные числовые значения вместо «x», лучше брать числа
«0» и «1».
С этими числами легко выполнять расчеты.
| x | Расчет «y» |
|---|---|
| 0 | y(0) = −4 · 0 = 0 |
| 1 | y(1) = −4 · 1 = −4 |
Полученные значения «x» и «y» — это координаты точек графика
функции «y = −4x».
Запишем полученные координаты точек «y = −4x» в таблицу.
| Точка |
Координата по оси «Оx» (абсцисса) |
Координата по оси «Оy» (ордината) |
|---|---|---|
| (·)A | 0 | 0 |
| (·)B | 1 | −4 |
Отметим полученные точки на системе координат.
Теперь проведем прямую через отмеченные точки. Эта прямая и будет
являться графиком функции «y = −4x».
После построения не забудьте подписать график функции.
Как решать задачи на функцию «y = kx»
Рассмотрим задачу.
Построить график функции «y = −1,5x». Найти по графику:
- значение «y» соответствующее значению «x» равному 1; 0; 2; 3;
- значение «x», если значение «y» равно
−3; 4,5; 6; - несколько целых значений «x», при которых значения
«y» положительны (отрицательны).
Вначале построим график функции «y = −1,5x».
Используем правила, по которым мы строили график функции выше.
Для построения графика функции «y = −1,5x» достаточно найти всего две точки.
Выберем два произвольных числовых значения для «x». Для удобства расчетов выберем числа
«0» и «1».
Выполним расчеты и запишем их результаты в таблицу.
| Точка | Координата по оси «Оx» | Координата по оси «Оy» |
|---|---|---|
| (·)A | 0 | y(0) = −1,5 · 0 = 0 |
| (·)B | 1 | y(1) = −1,5 · 1 = −1,5 |
Отметим полученные точки на прямоугольной системе координат.
Соединим полученные точки прямой. Проведенная прямая будет являться графиком функции
«y = −1,5x».
Теперь работаем с построенным графиком функции «y = −1,5x».
Требуется найти значение «y»,
соответствующее значению «x» равному 1; 0; 2; 3.
Тему
«Как получить координаты точки функции» с графика функции
мы уже подробно рассматривали в уроке
«Как решать задачи на функцию».
В этому уроке для решения задачи выше вспомним только основные моменты.
Запомните!
Чтобы найти значение «y» по известному значению «x» на графике
функции необходимо:
- провести перпендикуляр от оси «Ox»
(ось абсцисс)
из заданного числового значения «x»
до пересечения
с графиком функции; - из полученной точки пересечения перпендикуляра и графика функции провести еще один перпендикуляр к оси
«Oy»
(ось ординат); - полученное числовое значение на оси «Oy» и будет искомым значением.
По правилам выше найдем на построенном ранее графике функции «y = −1,5x»
необходимые значения функции «y» для
«x» равным 1; 0; 2; 3.
Запишем полученные результаты в таблицу.
| Заданное значение «x» | Полученное с графика значение «y» |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | −1,5 |
| 2 | −3 |
| 3 | −4,5 |
Переходим ко второму заданию задачи. Требуется найти значение «x»,
если значение «y» равно −3; 4,5; 6.
Выполним те же действия, что и при решении предыдущего задания.
Разница будет лишь в том, что изначально мы будем проводить перпендикуляры
от оси «Oy».
Запишем полученные результаты в таблицу.
| Заданное значение «y» | Полученное с графика значение «x» |
|---|---|
| −3 | 2 |
| 4,5 | −3 |
| 6 | −4 |
Перейдем к последнему заданию. Нас просят найти несколько целых значений «x»,
при которых значения «y» положительны (отрицательны).
Для решения этой задачи необходимо внимательно изучить
график функции
«y = −1,5x».
Отметим область на оси
«Oy», где значения «y» для графика функции «y = −1,5x»
положительны.
Из этой области проведем от графика функции несколько перпендикуляров
к оси «Ox».
Помните, что по заданию, нас просят найти несколько «целых» значений «x».
Поэтому перпендикуляры мы будем проводить к оси «Ox» в целые числовые значения.
Запишем ответ. При x = −2; x = −1 значения
y > 0.
Теперь найдем при каких «x», значения
«y» отрицательны.
Отметим область на оси «Oy», где значения
«y» на графике функции отрицательны.
Проведем перпендикуляры из отмеченной области к оси «Ox» в
целые числовые значения «x».
Запишем ответ. При x = 1; x = 2 значения
y < 0.
Рассмотрим другую задачу.
Какие из точек A(5; −3), D(2; 1)
принадлежат графику функции, заданной
формулой
«y = x»?
Подробный разбор задачи «Как проверить, что точка принадлежит графику функции» мы приводили в уроке
«Как решать задачи на функцию».
В этом уроке мы вспомним только основные моменты решения подобных задач.
Запомните!
Чтобы проверить принадлежность точки графику функции нет необходимости строить график функции.
Достаточно подставить координаты точки в формулу функции (координату по оси
«Ox» вместо
«x», а координату по оси
«Oy» вместо «y») и выполнить арифметические расчеты.
- Если получится верное равенство, значит точка принадлежит графику функции.
- Если получится не верное равенство, значит точка
не принадлежит графику функции.
Подставим в функцию
«y = x»
координаты точки (·)A(5; −3).
−3 = · 5
−3 = (неверно)
Это означает, что точка (·)А(5; −3)
не принадлежит графику функции «y = x»
Проверим точку (·)D(2; 1).
Также подставим её координаты в функцию «y = x».
1 = ·2
1 =
1 = 1(верно)
Это означает, что точка (·)D(2; 1)
принадлежит графику функции «y = x».
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
21 мая 2020 в 17:01
Айдос Мурзагалиев
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Айдос Мурзагалиев
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Как называется точка x0, если существует такая окрестность точки x0, что для всех x, не равных x0, из этой окрестности выполняется неравенство f(x)<f(x0)?
0
Спасибо
Ответить
18 августа 2020 в 1:11
Ответ для Айдос Мурзагалиев
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 60
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 60
xо − точка максимума.
0
Спасибо
Ответить
6 октября 2016 в 19:18
Алёна Липская
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Алёна Липская
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Постройте графики функции y=6 и y=-1
0
Спасибо
Ответить
7 октября 2016 в 8:58
Ответ для Алёна Липская
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Графиком функции является прямая линия параллельная оси X, проходящие через точки (0;6) и (0;-1) соотвественно.
0
Спасибо
Ответить
5 июня 2015 в 14:28
Диана Кривунец
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Диана Кривунец
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
построить график функции y=x^2-2x-3
по графику найти значение y, если x=-1,5
найти значение x, если y=5
найти нули функции
0
Спасибо
Ответить
30 мая 2016 в 12:04
Ответ для Диана Кривунец
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
На сайте нет возможности построить график, но это будет параболла с центром в точке (0; -3). При значении x=-1,5 y=2,5. При значении y=5, x= -2. Нули функции 3 и -1.
0
Спасибо
Ответить
