Как найти график функции гиперболы

В данной публикации мы рассмотрим, что такое гипербола, приведем формулу, с помощью которой задается ее функция, а также на практических примерах разберем алгоритм построения данного вида графика.

Определение и функция гиперболы

Гипербола – это график функции обратной пропорциональности, которая в общем виде задается следующей формулой:

Здесь:

• x – независимая переменная;
• k ≠ 0;
• при k > 0 гипербола расположена в I и III четвертях координатной плоскости;
• при k < 0 график находится во II и IV четвертях.

На рисунке ниже изображен пример гиперболы.

• Линии графика (зеленым цветом) называются его ветвями.
• Оси абсцисс и ординат (Ox и Oy) являются асимптотами гиперболы, т.е. ветви бесконечно к ним приближаются, но никогда их не коснутся и не пересекут.
• Ось симметрии (синим цветом) – это прямая:
  • y = x (при k > 0)
  • y = -x (при k < 0)

Смещение асимптот

Допустим у нас есть функция, заданная формулой:

В этом случае:

• x = a – это вертикальная асимптота графика (при a ≠ 0) вместо оси Oy;
• y = b – горизонтальная асимптота (при b ≠ 0) вместо оси Ox.

Канонический вид уравнения гиперболы (координатные оси совпадают с осями графика):

Алгоритм построения гиперболы

Пример 1

Дана функция y = ⁴/_x. Построим ее график.

Решение

Так как k > 0, следовательно, гипербола будет находиться в I и III координатных четвертях.

Чтобы построить график, сначала нужно составить таблицу соответствия значений x и y. То есть мы берем конкретное значение x, подставляем его в формулу функции и получаем y.

Теперь отмечаем найденные точки на координатной плоскости и соединяем их плавной линией, которая будет стремиться к осям координат. В итоге получится ветвь гиперболы, расположенная в первой четверти.

Чтобы построить ветвь в третьей четверти, вместо x в формулу подставляем -x. Так мы вычислим значения y.

Соединив полученные точки получаем следующий результат. На этом построение гиперболы завершено.

Пример 2

Рассмотренный выше пример был одним из самых простых (без смещения асимптот). Давайте усложним задачу и построим гиперболу, заданную функцией ниже:

Решение

Так как k < 0, график будет располагаться во второй и четвертой четвертях.

Теперь определяемся с асимптотами, в нашем случае это x = 3 и y = 4 (см. информацию выше про их смещение).

Составим таблицу соответствия значений x и y.

Остается только нанести рассчитанные точки на координатную плоскость и соединить их плавными линиями.

Свойства гиперболы

1) Область определения и область значений

По аналитическому заданию функции видно, что х ≠-a, поскольку знаменатель дроби не может ровняться нулю. Таким образом получим:

D(f)=(-∞;-а) U (-a;+∞)

Область значений

Е(f)=(-∞;+∞)

2) Нули функции

Если b=0, то график функции не пересекает ось ОХ;

Если b≠0, то гипербола имеет одну точку пересечения с ОХ:*

x=-(k+ab)/b

3) Промежутки знакопостоянства

Рассмотрим только 2 простых случая, остальные случаи вы можете рассмотреть аналитически самостоятельно по алгоритму из раздела Свойства функций -> Знакопостоянство

Случай 1: a=0, b=0, k>0

f(x)>0, при x ∈ (0; +∞)

f(x)<0, при x ∈ (-∞;0)

Случай 1: a=0, b=0, k<0

f(x)<0, при x ∈ (0; +∞)

f(x)>0, при x ∈ (-∞;0)

4) Промежутки монотонности

Аналогично с промежутками знакопостоянства рассмотрим только 2 случая

Случай 1: a=0, b=0, k>0

Функция убывает при

x ∈ (-∞;0) U (0; +∞)

Функция возрастает при

x ∈ (-∞;0) U (0; +∞)

5) Четность и нечетность

Функция является нечетной при a=0, b=0, то есть если имеет вид y=k/x

Обратная пропорциональность — коротко о главном

Определение:

Функция, описывающая обратную пропорциональность, – это функция вида ( displaystyle y=frac{k}{x-a}+b ), где ( kne 0), ( xne 0) и ( xne а)

По-другому эту функцию называют обратной зависимостью.

Область определения и область значений функции:

( Dleft( y right)=left( -infty ;0 right)cup left( 0;+infty right)) или, что то же самое, ( Dleft( y right)=mathbb{R}backslash left{ 0 right})

( Eleft( y right)=left( -infty ;0 right)cup left( 0;+infty right)) или ( Eleft( y right)=mathbb{R}backslash left{ 0 right}).

График обратной пропорциональности (зависимости) – гипербола.

Коэффициент ( displaystyle k)

( displaystyle k) – отвечает за «пологость» и направление графика. Чем больше этот коэффициент, тем дальше от начала координат располагается гипербола, и, следовательно, она менее круто «поворачивает» (см. рисунок).

Знак коэффициента ( displaystyle k) влияет на то, в каких четвертях расположен график:

если ( displaystyle k>0), то ветви гиперболы расположены в ( displaystyle I) и ( displaystyle III) четвертях;

если ( displaystyle k<0), то во ( displaystyle II) и ( displaystyle IV).

Коэффициент ( displaystyle a)

Если внимательно посмотреть на знаменатель, видим, что ( displaystyle a) – это такое число, которому не может равняться ( displaystyle x).

То есть ( x=a) – это вертикальная асимптота, то есть вертикаль, к которой стремится график функции

Коэффициент ( b) 

Число ( b) отвечает за смещение графика функции вверх на величину ( b), если ( b>0), и смещение вниз, если ( b<0).

Следовательно, ( y=b) – это горизонтальная асимптота.

Алгоритм построения графика функции ( displaystyle y=frac{k}{x-a}+b)

1. Определяем коэффициенты ( displaystyle k), ( displaystyle a) и ( displaystyle b).
2. Строим график функции ( displaystyle y=frac{k}{x}) (сначала по 3-4 точкам правую ветвь, потом симметрично рисуем левую ветвь).
3. График должен быть сдвинут вправо на ( displaystyle a). Но проще двигать не график, а оси, так что ось ( displaystyle Oy) сдвигаем влево на ( displaystyle a).
4. График должен быть сдвинут вверх на ( displaystyle b). Но проще двигать не график, а оси, так что ось ( displaystyle Ox) сдвигаем вниз на ( displaystyle b).
5. Старые оси (прямые, которые служили нам осями в пункте 2) оставляем в виде пунктирных линий. Это теперь просто вертикальная и горизонтальная асимптоты.

Что такое функция

Ты помнишь, что функция – это определенного рода зависимость?

Если ты еще не читал тему «Функции», настоятельно рекомендую бросить все и прочитать, ведь нельзя изучать какую-либо конкретную функцию, не понимая, что это такое – функция.

Также очень полезно перед началом этой темы освоить две более простые функции: линейную и квадратичную.

Там ты закрепишь понятие функции и научишься работать с коэффициентами и графиками.

Ну и на всякий случай немного повторим…

Функция – это правило, по которому каждому элементу одного множества (аргументу) ставится в соответствие некоторый (единственный!) элемент другого множества (множества значений функции).

То есть, если у тебя есть функция ( y=fleft( x right)), это значит что каждому допустимому значению переменной ( x) (которую называют «аргументом») соответствует одно значение переменной ( y) (называемой «функцией»).

Что значит «допустимому значению»?

Если не можешь ответить на этот вопрос, еще раз вернись к теме «Функции»!

Все дело в понятии «область определения»: для некоторых функций не все аргументы можно подставить в зависимость. Например, для функции ( y=sqrt{x}) отрицательные значения аргумента ( x) – недопустимы.

Функция, описывающая обратную зависимость

Это функция вида ( displaystyle y=frac{k}{x}), где ( kne 0).

По-другому ее называют обратной пропорциональностью: увеличение аргумента вызывает пропорциональное уменьшение функции.

Давай определим область определения. Чему может быть равен ( x)? Или, по-другому, чему он не может быть равен?

Единственное число, на которое нельзя делить – это ( 0), поэтому ( xne 0):

• Знак «( mathbb{R})» обозначает множество действительных чисел, то есть всех возможных чисел.
• Знаком «( backslash )» обозначается исключение чего-нибудь из этого множества (аналог знака «минус»).
• Число ( 0) в фигурных скобках означает просто число ( 0).

Получается, что из всех возможных чисел мы исключаем ( 0)).

Множество значений функции, оказывается, точно такое же: ведь если ( kne 0), то на что бы мы его не делили, ( 0) не получится:

( Eleft( y right)=left( -infty ;0 right)cup left( 0;+infty right)) или ( Eleft( y right)=mathbb{R}backslash left{ 0 right}).

Также возможны некоторые вариации формулы ( y=frac{k}{x}). Например, ( y=frac{k}{x+a}) – это тоже функция, описывающая обратную зависимость.

Определи самостоятельно область определения и область значений этой функции. Должно получиться:

• ( Dleft( y right)=left( -infty ;-a right)cup left( -a;+infty right))
• ( Eleft( y right)=left( -infty ;0 right)cup left( 0;+infty right)).

Давай посмотрим на такую функцию: ( displaystyle y=frac{x-5}{{{x}^{2}}-25}). 

Является ли она обратной зависимостью?

На первый взгляд сложно сказать: ведь при увеличении ( x) увеличивается и знаменатель дроби, и числитель, так что непонятно, будет ли функция уменьшаться, и если да, то будет ли она уменьшаться пропорционально?

Чтобы понять это, нам необходимо преобразовать выражение таким образом, чтобы в числителе не было переменной:

( displaystyle y=frac{x-5}{{{x}^{2}}-25}=frac{x-5}{left( x-5 right)left( x+5 right)}=frac{1}{x+5},text{ }xne 5).

Действительно, мы получили обратную зависимость, но с оговоркой: ( xne 5).

Почему так? А потому, что выражение ( left( x-5 right)) было в исходном выражении в знаменателе, поэтому если мы возьмём значение ( x=5) и подставим его в исходную функцию (а ведь именно её нам нужно исследовать), то что мы получим?

Ноль, делённый на ноль. Но ведь на ноль нельзя делить ничего, даже другой ноль. Поэтому ( x) никак не может быть равен ( 5).

Но почему тогда мы также не пишем ( xne -5)? Оно ведь тоже в знаменателе!

А всё потому, что оно как было в знаменателе, так там и осталось, следовательно мы и так видим, что такое значение икса невозможно.

А поэтому — зачем лишний раз писать? Да-да, математики — народ ленивый, без надобности напрягаться не станут:)

Решения

Пример 1

( displaystyle y=1-frac{3}{x+2})

Пример 2

Здесь нужно вспомнить, как квадратный трехчлен раскладывается на множители (это подробно описано в теме «Разложение на множители»).

Напомню, что для этого надо найти корни соответствующего квадратного уравнения: ( displaystyle {{x}^{2}}+4{x}-5=0).

Я найду их устно с помощью теоремы Виета: ( displaystyle {{x}_{1}}=-5), ( displaystyle {{x}_{2}}=1). Как это делается? Ты можешь научиться этому, прочитав тему «Квадратные уравнения».

Итак, получаем: ( displaystyle {{x}^{2}}+4{x}-5=left( x+5 right)left( x-1 right)), следовательно:

( displaystyle y=frac{x+5}{left( x+5 right)left( x-1 right)}=frac{1}{x-1},text{ }xne -5)

Пример 3

Ты уже попробовал решить сам? В чем загвоздка?

Наверняка в том, что в числителе у нас ( displaystyle 2x), а в знаменателе – просто ( displaystyle x).

Это не беда. Нам нужно будет сократить на ( displaystyle left( x+2 right)), поэтому в числителе следует вынести ( displaystyle 2) за скобки (чтобы в скобках ( displaystyle x) получился уже без коэффициента):

( displaystyle y=frac{2{x}-3}{x+1}=frac{2left( x-frac{3}{2} right)}{x+1}=2cdot frac{x-1,5}{x+1}=2cdot frac{x+1-1-1,5}{x+1}=…) дальше сам.

Ответ: ( displaystyle y=2-frac{5}{x+1}).

График обратной пропорциональности

Как всегда, начнем с самого простого случая: ( displaystyle y=frac{1}{x}).

Составим таблицу.

Таблица обратной пропорциональности (зависимости)

Нарисуем точки на координатной плоскости:

Теперь их надо плавно соединить, но как?

Видно, что точки в правой и левой частях образуют будто бы несвязанные друг с другом кривые линии. Так оно и есть.

Это график гиперболы и выглядит он так:

Этот график называется «гипербола» (есть что-то похожее на «параболу» в этом названии, правда?). Как и у параболы, у гиперболы две ветки, только они не связаны друг с другом.

Каждая из них стремится своими концами приблизиться к осям ( displaystyle Ox) и ( displaystyle Oy), но никогда их не достигает. Если посмотреть на эту же гиперболу издалека, получится такая картина:

Оно и понятно: так как ( displaystyle xne 0), график не может пересекать ось ( displaystyle Oy). Но и ( displaystyle yne 0), так что график никогда не коснется и оси ( displaystyle Ox).

Ну что же, теперь посмотрим на что влияют коэффициенты.

На что влияют коэффициенты

Рассмотрим такие функции:

( displaystyle y=frac{1}{x};text{ }y=frac{2}{x};text{ }y=frac{4}{x};text{ }y=-frac{1}{x};text{ }y=-frac{3}{x}):

Ух ты, какая красота!

Все графики построены разными цветами, чтобы легче было их друг от друга отличать.

Итак, на что обратим внимание в первую очередь?

Например, на то, что если у функции перед дробью стоит минус, то график переворачивается, то есть симметрично отображается относительно оси ( displaystyle Ox).

Второе: чем больше число в знаменателе, тем дальше график «убегает» от начала координат.

А что, если функция выглядит сложнее, например, ( displaystyle y=frac{1}{x-1}+2)?

В этом случае гипербола будет точно такой же, как обычная ( displaystyle y=frac{1}{x}), только она немного сместится. Давай думать, куда?

Чему теперь не может быть равен ( x)? Правильно, ( xne 1). Значит, график никогда не достигнет прямой ( x=1).

А чему не может быть равен ( y)? Теперь ( yne 2). Значит, теперь график будет стремиться к прямой ( y=2), но никогда ее не пересечет.

Итак, теперь прямые ( x=1) и ( y=2) выполняют ту же роль, которую выполняют координатные оси для функции ( displaystyle y=frac{1}{x}).

Такие прямые называются асимптотами (линии, к которым график стремится, но не достигает их):

Более подробно о том, как строятся такие графики, мы выучим чуть позже.

А теперь попробуй решить несколько примеров для закрепления.

Обратная пропорциональность в жизни

Где же нам встречается такая функция на практике? Примеров множество. Самый распространенный – это движение: чем больше скорость, с которой мы движемся, тем меньшее время нам потребуется, чтобы преодолеть одно и то же расстояние.

И правда, вспомним формулу скорости: ( displaystyle v=frac{S}{t}), где ( v) – скорость, ( t) – время в пути, ( S) – расстояние (путь).

Отсюда можно выразить время: ( displaystyle t=frac{S}{v})

Пример:

Человек едет на работу со средней скоростью ( 40) км/ч, и доезжает за ( 1) час. Сколько минут он потратит на эту же дорогу, если будет ехать со скоростью ( 60) км/ч?

Решение:

Вообще, такие задачи ты уже решал в 5 и 6 классе. Ты составлял пропорцию:

Далее ты определял, что это обратная пропорциональность, так как чем больше скорость, тем меньше время. Значит, чтобы решить эту пропорцию, нужно поделить числа «крест-накрест»:

( displaystyle frac{40}{x}=frac{60}{60}text{ }Rightarrow text{ }x=40)(мин).

То есть понятие обратной пропорциональности тебе уже точно знакомо. Вот и вспомнили. А теперь то же самое, только по-взрослому: через функцию.

Функция (то есть зависимость) времени в минутах от скорости:

( displaystyle tleft( v right)=frac{S}{v}).

Известно, что ( tleft( 40 right)=60), тогда:

( frac{S}{40}=60text{ }Rightarrow text{ }S=40cdot 60=2400).

Нужно найти ( tleft( 60 right)):

( displaystyle tleft( 60 right)=frac{2400}{60}=40) (мин).

Теперь придумай сам несколько примеров из жизни, в которых присутствует обратная пропорциональность.

Придумал? Молодец, если да. Удачи!

Принципы построения графика обратной пропорциональности (гиперболы)

Теперь давай научимся строить простейшую гиперболу – ( displaystyle y=frac{k}{x}).

Достаточно помнить, как она выглядит, и тогда нам хватит всего трех-четырех точек.

Например, построим гиперболу ( displaystyle y=frac{3}{x}).

Составим таблицу из ( 4) точек, которые принадлежат одной ветке (например, правой):

Отмечаем точки на рисунке:

Проводим через них плавную линию, которая краями приближается к осям:

Это одна ветвь гиперболы

Проверить правильность построения этой кривой можно так: она должна быть симметрична относительно биссектрисы угла между осями координат:

Отлично, осталось вспомнить, что собой представляет вторая ветвь?

Это точно такая же кривая, расположенная симметрично относительно начала координат. То есть как будто оси теперь направлены не снизу вверх и слева направо, а наоборот: сверху вниз и справа налево, и мы рисуем ту же самую ветвь гиперболы.

Вот:

Еще один полезный факт.

Посмотри на красные точки на графике. Видно, что их абсцисса совпадает с ординатой. Так вот, эти абсцисса с ординатой равны ( sqrt{k}) для правой ветви гиперболы, и ( -sqrt{k}) для левой.

Для функций, у которых ( k) – точный квадрат (например, ( 1), ( 4) или ( displaystyle frac{1}{4})), эту точку, относительно которой ветвь гиперболы симметрична, будет очень легко поставить.

В этом случае достаточно даже трех точек, чтобы построить график.

Например, построим график функции ( displaystyle y=frac{4}{x})

Как и в прошлый раз, начнем с правой ветви.

Точка симметрии: ( displaystyle x=y=2). Выберем еще одну точку, например, ( displaystyle x=1), ( displaystyle y=4). У третьей точки координаты будут наоборот: ( displaystyle x=4), ( displaystyle y=1).

Рисуем:

И теперь симметрично отображаем эту ветвь в третью координатную четверть:

Теперь выясним, что будет, если ( displaystyle k<0)?

Очень просто: если есть график функции с таким же по величине, но положительным ( displaystyle k), то нужно просто отразить его относительно оси ( displaystyle Ox)

То есть правая ветвь теперь будет ниже оси ( displaystyle Ox) (в ( displaystyle IV) четверти), а левая – выше (в ( displaystyle III) четверти).

Принцип построения же останется прежним:

Ну что же, осталось объединить все то, что мы уже выяснили в один алгоритм: