Как найти график зависимости пути от времени

Если траектория движения точки известна, то зависимость пути

, пройденного точкой, от истекшего промежутка времени

 дает полное описание этого движения. Мы видели, что для равномерного движения такую зависимость можно дать в виде формулы (9.2). Связь между

 и

 для отдельных моментов времени можно задавать также в виде таблицы, содержащей соответственные значения промежутка времени и пройденного пути. Пусть нам дано, что скорость некоторого равномерного движения равна 2 м/с. Формула (9.2) имеет в этом случае вид

. Составим таблицу пути и времени такого движения:

t, с	1	2	3	4	5	6	…
s, м	2	4	6	8	10	12	…

Зависимость одной величины от другой часто бывает удобно изображать не формулами или таблицами, а графиками, которые более наглядно показывают картину изменения переменных величин и могут облегчать расчеты. Построим график зависимости пройденного пути от времени для рассматриваемого движения. Для этого возьмем две взаимно перпендикулярные прямые — оси координат; одну из них (ось абсцисс) назовем осью времени, а другую (ось ординат) — осью пути. Выберем масштабы для изображения промежутков времени и пути и примем точку пересечения осей за начальный момент и за начальную точку на траектории. Нанесем на осях значения времени и пройденного пути для рассматриваемого движения (рис. 18). Для «привязки» значений пройденного пути к моментам времени проведем из соответственных точек на осях (например, точек 3 с и 6 м) перпендикуляры к осям. Точка пересечения перпендикуляров соответствует одновременно обеим величинам: пути

 и моменту

, — этим способом и достигается «привязка». Такое же построение можно выполнить и для любых других моментов времени и соответственных путей, получая для каждой такой пары значений время — путь одну точку на графике. На рис. 18 выполнено такое построение, заменяющее обе строки таблицы одним рядом точек. Если бы такое построение было выполнено для всех моментов времени, то вместо отдельных точек получилась бы сплошная линия (также показанная на рисунке). Эта линия и называется графиком зависимости пути от времени или, короче, графиком пути.

Рис. 18. График пути равномерного движения со скоростью 2 м/с

Рис. 19. К упражнению 12.1

В нашем случае график пути оказался прямой линией. Можно показать, что график пути равномерного движения всегда есть прямая линия; и обратно: если график зависимости пути от времени есть прямая линия, то движение равномерно.

Повторяя построение для другой скорости движения, найдем, что точки графика для большей скорости лежат выше, чем соответственные точки графика для меньшей скорости (рис. 20). Таким образом, чем больше скорость равномерного движения, тем круче прямолинейный график пути, т. е. тем больший угол он составляет с осью времени.

Рис. 20. Графики пути равномерных движений со скоростями 2 и 3 м/с

Рис. 21. График того же движения, что на рис. 18, вычерченный в другом масштабе

Наклон графика зависит, конечно, не только от числового значения скорости, но и от выбора масштабов времени и длины. Например, график, изображенный на рис. 21, дает зависимость пути от времени для того же движения, что и график рис. 18, хотя и имеет другой наклон. Отсюда ясно, что сравнивать движения по наклону графиков можно только в том случае, если они вычерчены в одном и том же масштабе.

С помощью графиков пути можно легко решать разные задачи о движении. Для примера на рис. 18 штриховыми линиями показаны построения, необходимые для того, чтобы решить следующие задачи для данного движения: а) найти путь, пройденный за время 3,5 с; б) найти время, за которое пройден путь 9 м. На рисунке графическим путем (штриховые линии) найдены ответы: а) 7 м; б) 4,5 с.

На графиках, описывающих равномерное прямолинейное движение, можно откладывать по оси ординат вместо пути

 координату

 движущейся точки. Такое описание открывает большие возможности. В частности, оно позволяет различать направление движения по отношению к оси

. Кроме того, приняв начало отсчета времени за нуль, можно показать движение точки в более ранние моменты времени, которые следует считать отрицательными.

Рис. 22. Графики движений с одной и той же скоростью, но при различных начальных положениях движущейся точки

Рис. 23. Графики нескольких движений с отрицательными скоростями

Например, на рис. 22 прямая I есть график движения, происходящего с положительной скоростью 4 м/с (т. е. в направлении оси

), причем в начальный момент движущаяся точка находилась в точке с координатой

 м. Для сравнения на том же рисунке дан график движения, которое происходит с той же скоростью, но при котором в начальный момент движущаяся точка находится в точке с координатой

 (прямая II). Прямая. III соответствует случаю, когда в момент

 движущаяся точка находилась в точке с координатой

 м. Наконец, прямая IV описывает движение в случае, когда движущаяся точка имела координату

 в момент

 с.

Мы видим, что наклоны всех четырех графиков одинаковы: наклон зависит только от скорости движущейся точки, а не от ее начального положения. При изменении начального положения весь график просто переносится параллельно самому себе вдоль оси

 вверх или вниз на соответственное расстояние.

Графики движений, происходящих с отрицательными скоростями (т. е. в направлении, противоположном направлению оси

), показаны на рис. 23. Они представляют собой прямые, наклоненные вниз. Для таких движений координата

 точки с течением времени уменьшается.

12.3.
График пути для точки, движущейся со скоростью

, отсекает на оси ординат отрезок

. Как зависит от времени расстояние

 от начальной точки? Напишите формулу этой зависимости.

12.4.
Точка, движущаяся со скоростью

, в момент

 находится на расстоянии

 от начальной. Как зависит от времени расстояние

?

12.5.
Точка, двигаясь равномерно вдоль оси

, имела координаты

м и

м в моменты времени

с и

с соответственно. Найдите графически, в какой момент точка проходила через начало координат и какова была координата

 в начальный момент. Найдите проекцию скорости на ось

.

12.6.
Найдите при помощи графика пути, когда и на каком расстоянии от точки А автомашину, вышедшую из точки А, догонит вторая автомашина, вышедшая из той же точки через 20 мин после первой, если первая машина движется со скоростью 40 км/ч, а вторая — со скоростью 60 км/ч.

12.7.
Найдите при помощи графика пути, где и когда встретятся автомашины, вышедшие одновременно навстречу друг другу со скоростями 40 и 60 км/ч из пунктов А и В, лежащих на расстоянии 100 км друг от друга.

Графики пути можно строить и для случаев, в которых тело движется равномерно в течение определенного промежутка времени, затем движется равномерно, но с другой скоростью в течение другого промежутка времени, затем снова меняет скорость и т. д. Например, на рис. 26 показан график движения, в котором тело двигалось в течение первого часа со скоростью 20 км/ч, в течение второго часа — со скоростью 40 км/ч и в течение третьего часа — со скоростью 15 км/ч.

12.8.
Постройте график пути для движения, в котором за последовательные часовые промежутки тело имело скорости 10, -5, 0, 2, -7 км/ч. Чему равно суммарное перемещение тела?

Содержание:

Равномерное движение:

В репортажах с автомобильных гонок, сообщениях о погоде можно, например, услышать: «Скорость движения автомобиля-победителя перед финишем достигла 250 километров в час»; «Скорость ветра достигала 25 метров в секунду» и т. п. Что это значит? Как сравнить эти скорости?

Слово «скорость» вы знаете давно. Поэтому, когда слышите, что скорость движения автомобиля составляет 20 метров в секунду, то понимаете: автомобиль, двигаясь с такой скоростью, каждую секунду проходит расстояние 20 м.

Подумайте, какое расстояние проедет этот автомобиль за 10 секунд; за полсекунды; за 0,1 секунды. Скорее всего, большинство из вас ответили так: за 10 с автомобиль проедет 200 м, за полсекунды — 10 м, за 0,1 с — 2 м. И эти ответы правильны, если считать, что за любые (малые или большие) равные интервалы времени автомобиль проезжает одинаковый путь. То есть если автомобиль движется равномерно.

Равномерное движение — это механическое движение, при котором тело за любые равные интервалы времени проходит одинаковый путь. Обратите внимание на слова «любые равные интервалы времени». Иногда, рассматривая даже неравномерное движение тела, можно выделить такие равные интервалы времени, за которые тело проходит одинаковые расстояния. Например, каждые 30 с пловец проплывает дорожку в бассейне (25 м), но нельзя утверждать, что он движется равномерно, ведь при развороте он замедляет движение.

Равномерное прямолинейное движение

Если автомобиль равномерно движется по прямолинейному участку дороги, то за равные интервалы времени он совершает одинаковые перемещения (рис. 8.1), то есть проходит одинаковый путь и не изменяет направления своего движения. Такое движение называют равномерным прямолинейным.

Равномерное прямолинейное движение — это механическое движение, при котором за любые равные интервалы времени тело совершает одинаковые перемещения. Равномерное прямолинейное движение — простейший вид движения, который в жизни встречается редко. Примерами такого движения могут быть движение автомобиля на прямолинейном участке дороги (без разгона и торможения), падение металлического шарика в растительном масле, полет парашютиста через некоторое время после раскрытия парашюта.

Определение скорости равномерного движения

Полагаем, вам несложно определить скорость равномерного движения, например, пешехода, который прошел 30 м за 20 с. Из курса математики вы хорошо знаете, что для этого нужно путь, который прошел пешеход (l = 30м), разделить на время его движения (t = 20c).

Скорость равномерного движения (v) — это физическая величина, равная отношению пути l, пройденного телом, к интервалу времени t, в течение которого этот путь был пройден:

Обратите внимание! В ходе равномерного прямолинейного движения модуль перемещения равен пути ( s= )l, поэтому значение скорости движения можно определить по любой из формул: В Международной системе единиц путь измеряют в метрах, время — в секундах, поэтому единица скорости движения в СИ — метр в секунду: равен скорости такого равномерного движения, при котором тело за 1 с проходит путь 1 м. Прибором для прямого измерения скорости движения служит спидометр.

Скорость движения

Скорость движения — векторная величина: она имеет не только значение, но и направление. На рисунках направление скорости движения тела показывают стрелкой (см. рис. 8.1, 8.2).

Если тело движется равномерно прямолинейно, то значение и направление скорости движения остаются неизменными (см. рис. 8.1). Если тело движется равномерно по криволинейной траектории, значение скорости движения остается неизменным, а направление все время изменяется (рис. 8.2). Направление и значение скорости движения зависят от того, относительно какого тела рассматривают движение. Представьте, что вы стоите в вагоне поезда, движущегося на восток (рис. 8.3). Поезд проезжает мимо станции со скоростью . В это время другой пассажир идет по вагону со скоростью , двигаясь в направлении, противоположном движению поезда. Как вы считаете, одинаковой ли будет скорость движения пассажира для вас и для людей, стоящих на перроне? Конечно, нет! Для вас пассажир движется на запад со скоростью а для людей на перроне он вместе с поездом движется на восток со скоростью

Значение скорости движения может быть выражено не только в метрах в секунду, но и в других единицах. Например, автомобиль движется со скоростью 36 километров в час , ракета мчится со скоростью 8 километров в секунду , улитка ползет со скоростью 18 сантиметров в минуту Для решения задач нужно научиться представлять скорость движения, данную в одних единицах, в других единицах. Например, скорость движения автомобиля — 36 км/ч. Чтобы представить эту скорость в метрах в секунду, вспомним, что 1 ч = 3600 с, а 1 км = 1000 м. Тогда: Попробуйте представить в метрах в секунду скорости движения ракеты и улитки (приведены выше). Сложнее переводить в другие единицы скорость движения, данную в метрах в секунду, но последовательность действий остается той же. Например, скорость движения самолета — 250 м/с. Представим ее в километрах в час, вспомнив, что 1 м = 0,001 км;

Чтобы скорость движения, представленную в метрах в секунду, выразить в километрах в час (и наоборот), можно воспользоваться схемой, приведенной на рис. 8.4.

Определяем путь и время движения тела

Из курса математики вы знаете: если известны скорость и время движения тела, то можно найти путь, который прошло тело. Для этого нужно скорость движения умножить на время: где l — путь; v — скорость движения; t — время движения с данной скоростью. Если известны путь и скорость движения тела, можно найти время движения тела. Для этого необходимо путь разделить на скорость движения: Иногда для определения пути, скорости или времени движения тела удобно пользоваться «волшебным треугольником» (рис. 8.5).

Итоги:

Равномерное движение — это механическое движение, при котором за любые равные интервалы времени тело проходит одинаковый путь. Равномерное прямолинейное движение — это механическое движение, при котором за любые равные интервалы времени тело совершает одинаковые перемещения. Скорость равномерного движения — это физическая величина, равная отношению пути, который прошло тело, к интервалу времени, в течение которого этот путь был пройден: Единица скорости движения в СИ — метр в секунду (м/с). Спидометр — прибор для прямого измерения скорости движения тела. Кроме значения скорость движения имеет направление. Направление и значение скорости движения тела зависят от выбора системы отсчета.

Может, вы будете удивлены, но в повседневной жизни вы уже встречались с физическими задачами и даже решали их. Приведем несколько примеров физических задач, прокомментируем основные этапы их решения, и в дальнейшем вы будете подходить к решению таких задач как настоящие физики.

Пример №1

Предположим, что до начала уроков остается 15 минут, а вы знаете, что расстояние от вашего дома до школы равно 1800 м. Придете ли вы вовремя, если будете идти со скоростью

С какой наименьшей скоростью вы должны идти, чтобы не опоздать? Анализ физической проблемы. В задаче нужно найти: 1) время движения до школы с указанной скоростью ; 2) наименьшую скорость с которой следует идти, чтобы затратить на путь не более 15 мин Движение будем считать равномерным. Скорость движения дана в , а путь — в единицах СИ. Представим время и значение скорости движения в единицах СИ: Закончив анализ, запишем краткое условие задачи.

Дано:

, , .

Найти:

,.

Решение:

Движение равномерное, поэтому воспользуемся формулой для расчета скорости равномерного движения:

Найдем выражения для расчета искомых величин

Проверим единицы искомых величин:

Найдем числовые значения искомых величин:

Обратите внимание! Для получения ответа в выражение для искомой величины можно сразу подставлять и числовые значения, и единицы известных величин. В этом случае запись будет такой:

Анализ результатов. Поскольку то, двигаясь со скоростью вы не успеете к началу уроков. Чтобы не опоздать, нужно двигаться со скоростью, значение которой больше Именно такое значение получено в ходе решения. Следовательно, полученные значения искомых величин вполне правдоподобны.

Ответ:

Пример №2

По озеру навстречу друг другу равномерно прямолинейно движутся два катера. На начало наблюдения расстояние между катерами составляло 1500 м. Скорость движения первого катера равна , второго — . Через какое время катера встретятся? Какое расстояние пройдет до встречи первый катер? Анализ физической проблемы. Катера движутся навстречу друг другу. Это значит, что они приближаются друг к другу со скоростью с этой же скоростью проходят расстояние l =1500 м. Задачу будем решать в единицах СИ.

Дано:

,,.

Найти:

,.

Решение:

По определению скорости движения:

Так как

Зная время t и скорость движения , определим путь , который пройдет первый катер до встречи:

Проверим единицы искомых величин:

Определим числовые значения искомых величин:

Анализ результатов. Так как первый катер движется медленнее второго, то до момента встречи он пройдет меньший путь. Такой результат и получен: соответственно Поэтому результаты вполне реальны.

Ответ:

Графики равномерного движения

Велосипедист едет по трассе (рис. 10.1). Скорость движения, которую показывает спидометр велосипеда в любой момент времени, равна 5 м/с. Как описать движение велосипедиста и вообще любого тела с помощью графиков? Вспомним, ведь графики движения тел вы изучали в курсе математики 6 класса.

• Заказать решение задач по физике

График зависимости пути от времени для равномерного движения тела

Построим график зависимости пути, который проезжает велосипедист (см. рис. 10.1), от времени наблюдения — график пути. Для построения графика выполним следующие действия.

1. Заполним таблицу соответствующих значений времени t движения спортсмена и пути l, который он преодолевает за это время. Понятно, что в момент начала наблюдения t(=0 )путь равен нулю l(=0 . )За время t=2 c велосипедист преодолеет расстояние 10 м:

Рассуждая аналогично, получим:

2. Проведем две взаимно перпендикулярных оси. На горизонтальной оси — оси абсцисс — отложим время движения велосипедиста в секундах (t, с) так, что одной клетке будет соответствовать интервал времени 2 с. На вертикальной оси — оси ординат — отложим путь в метрах (l, м) так, что одной клетке будет соответствовать путь, равный 10 м (рис. 10.2, а).

3. Построим точки с координатами: (0; 0), (2; 10), (4; 20), (6; 30), (8; 40), (10; 50). Абсциссы данных точек соответствуют времени движения спортсмена, ординаты соответствуют пути, который он проехал за это время (рис. 10.2, б).

4. Соединим построенные точки линией (рис. 10.2, в). Полученный отрезок прямой — график пути велосипедиста.

Обратите внимание! Велосипедист движется равномерно, поэтому путь, который он проезжает, можно определить по формуле , в любой момент времени ; поэтому можно записать: , где время t дано в секундах. Равенство — уравнение зависимости пути, который проезжает велосипедист, от времени наблюдения.

При равномерном движении график пути — это всегда отрезок прямой, наклоненной под определенным углом к оси времени. Поэтому для построения графика пути достаточно определить путь l для двух значений времени t и через полученные две точки провести отрезок прямой. Например, чтобы построить график пути велосипедиста, можно взять время начала наблюдения t(=0 )и время окончания наблюдения ( t = 10 с) (рис. 10.3).

Что можно узнать по графику пути

График пути дает много полезной информации.

По графику пути можно:

1. выяснить характер движения тела;
2. определить путь, который проходит тело за определенный интервал времени;
3. определить скорость движения тела;
4. сравнить скорости движения тел: чем больше скорость движения тела, тем больше угол между графиком пути и осью времени (рис. 10.4).

Рассмотрим пример:

Пример №3

По графику пути, представленному на рис. 10.5, узнайте: 1) как двигалось тело; 2)какой путь прошло тело за первый час; за следующие два часа; 3) какой была скорость движения тела на каждом участке.

Решение:

По графику видим, что весь путь состоит из трех участков, на каждом из которых тело двигалось равномерно (график пути тела — отрезки прямых). Участок I. По графику видим, что путь, пройденный телом за первый час, равен 20 км, поэтому скорость движения тела составляла: Участок ІI. За следующие два часа тело прошло путь . Соответственно скорость движения тела была равна:

Участок ІІI. Последний час путь не изменялся, значит, тело остановилось: Анализ результатов. По графику видим, что участок I графика образует с осью времени больший угол, чем участок IІ. Поэтому участок І соответствует большей скорости движения тела.

Строим график скорости равномерного движения тела

Вернемся к велосипедисту, движущемуся равномерно со скоростью v = 5 м/с (см. рис. 10.1). Построим график зависимости скорости его движения от времени наблюдения — график скорости движения. Для построения графика выполним следующие действия.

1. Заполним таблицу соответствующих моментов времени t движения велосипедиста и скорости движения v, которую он имел в эти моменты времени:

Велосипедист двигался равномерно, поэтому скорость его движения оставалась неизменной в течение всего времени наблюдения.

2. Проведем две взаимно перпендикулярных оси. На оси абсцисс отложим время движения велосипедиста в секундах (t, с), на оси ординат — скорость движения в метрах в секунду (рис. 10.6).

3. Построим точки с координатами (0; 5), (2; 5), (4; 5), (6; 5), (8; 5), (10; 5). Абсциссы указанных точек соответствуют времени движения спортсмена, ординаты — скорости его движения.

4. Соединим точки линией. Полученный отрезок прямой — график скорости движения велосипедиста. При равномерном движении график скорости движения тела — отрезок прямой, параллельной оси времени.

Что можно узнать по графику скорости движения тела

Рассмотрим график скорости движения некоторого тела (рис. 10.7, а) и узнаем о движении данного тела как можно больше.

1. В течение интервалов времени от 0 до 5 с и от 5 до 15 с тело двигалось равномерно, поскольку соответствующие участки графика скорости его движения — отрезки прямых, параллельных оси времени.

2. Скорость движения тела в течение последних 10 с наблюдения больше, чем в течение первых 5 с, поскольку второй участок графика расположен дальше от оси времени, чем первый участок (рис. 10.7, б).

В данном случае: — на интервале времени от 0 до 5 с; — на интервале времени от 5 до 15 с. 3. Можно определить путь l, который прошло тело (вспомните: ). Так, за интервал времени от 5 до 15 с тело прошло путь 90 м: Этот путь численно равен площади заштрихованного прямоугольника (рис. 10.7, в): Обратите внимание! Для любого движения числовое значение пути, который прошло тело, равно числовому значению площади фигуры под графиком скорости движения этого тела.

Итоги:

При равномерном движении тела график пути — это всегда отрезок прямой, наклоненной под определенным углом к оси времени, а график скорости движения — это отрезок прямой, параллельной оси времени.

По графику пути можно:

1. узнать, как двигалось тело;
2. вычислить путь, который прошло тело за определенный интервал времени;
3. вычислить и сравнить скорости движения тел: чем больше скорость движения тела, тем больше угол между графиком пути и осью времени.

По графику скорости движения можно:

1. узнать, как двигалось тело;
2. вычислить путь, который прошло тело за определенный интервал времени;
3. вычислить и сравнить скорости движения тел: чем больше скорость движения тела, тем дальше от оси времени расположен график скорости его движения.

1. Нахождение пути по графику зависимости скорости от времени

Покажем, как можно найти пройденный телом путь с помощью графика зависимости скорости от времени.

Начнем с самого простого случая – равномерного движения. На рисунке 6.1 изображен график зависимости v(t) – скорости от времени. Он представляет собой отрезок прямой, параллельной осн времени, так как при равномерном движении скорость постоянна.

Фигура, заключенная под этим графиком, – прямоугольник (он закрашен на рисунке). Его площадь численно равна произведению скорости v на время движения t. С другой стороны, произведение vt равно пути l, пройденному телом. Итак, при равномерном движении

путь численно равен площади фигуры, заключенной под графиком зависимости скорости от времени.

Покажем теперь, что этим замечательным свойством обладает и неравномерное движение.

Пусть, например, график зависимости скорости от времени имеет вид кривой, изображенной на рисунке 6.2.

Разобьем мысленно все время движения на столь малые промежутки, чтобы в течение каждого из них движение тела можно было считать практически равномерным (это разбиение показано штриховыми линиями на рисунке 6.2).

Тогда путь, пройденный за каждый такой промежуток, численно равен площади фигуры под соответствующим ком графика. Поэтому и весь путь равен площади фигур заключенной под всем графиком. (Использованный нами прием лежит в основе интегрального исчисления, основы которого вы будете изучать в курсе «Начала математического анализа».)

2. Путь и перемещение при прямолинейном равноускоренном движении

Применим теперь описанный выше способ нахождения пути к прямолинейному равноускоренному движению.

Начальная скорость тела равна нулю

Направим ось x в сторону ускорения тела. Тогда a_x = a, v_x = v. Следовательно,

v = at.     (1)

На рисунке 6.3 изображен график зависимости v(t).

? 1. Используя рисунок 6.3, докажите, что при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости путь l выражается через модуль ускорения a и время движения t формулой

l = at²/2.     (2)

Главный вывод:

при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости пройденный телом путь пропорционален квадрату времени движения.

Этим равноускоренное движение существенно отличается от равномерного.

На рисунке 6.4 приведены графики зависимости пути от времени для двух тел, одно из которых движется равномерно, а другое – равноускоренно без начальной скорости.

? 2. Рассмотрите рисунок 6.4 и ответьте на вопросы.
а) Каким цветом изображен график для тела, движущегося равноускоренно?
б) Чему равно ускорение этого тела?
в) Чему равны скорости тел в тот момент, когда они прошли одинаковый путь?
г) В какой момент времени скорости тел равны?

? 3. Тронувшись с места, автомобиль за первые 4 с проехал расстояние 20 м. Движение автомобиля считайте прямолинейным равноускоренным. Не вычисляя ускорения автомобиля, определите, какое расстояние проедет автомобиль:
а) за 8 с? б) за 16 с? в) за 2 с?

Найдем теперь зависимость проекции перемещения s_x от времени. В данном случае проекция ускорения на ось x положительна, поэтому s_x = l, a_x = a. Таким образом, из формулы (2) следует:

s_x = a_xt²/2.     (3)

Формулы (2) и (3) очень похожи, что приводит порой к ошибкам при решении простых задач. Дело в том, что значение проекции перемещения может быть отрицательным. Так будет, если ось x направлена противоположно перемещению: тогда s_x < 0. А путь отрицательным быть не может!

? 4. На рисунке 6.5 изображены графики зависимости от времени пути и проекции перемещения для некоторого тела. Какой цвет у графика проекции перемещения?

Начальная скорость тела не равна нулю

Напомним, что в таком случае зависимость проекции скорости от времени выражается формулой

v_x = v_0x + a_xt,     (4)

где v_0x – проекция начальной скорости на ось x.

Мы рассмотрим далее случай, когда v_0x > 0, a_x > 0. В этом случае снова можно воспользоваться тем, что путь численно равен площади фигуры под графиком зависимости скорости от времени. (Другие комбинации знаков проекции начальной скорости и ускорения рассмотрите самостоятельно: в результате получится та же общая формула (5).

На рисунке 6.6 изображен график зависимости v_x(t) при v_0x > 0, a_x > 0.

? 5. Используя рисунок 6.6, докажите, что при прямолинейном равноускоренном движении с начальной скоростью проекция перемещения

s_x = v_0x + a_xt²/2.     (5)

Эта формула позволяет найти зависимость координаты x тела от времени. Напомним (см. формулу (6), § 2), что координата x тела связана с проекцией его перемещения s_x соотношением

s_x = x – x₀,

где x₀ — начальная координата тела. Следовательно,

x = x₀ + s_x,     (6)

Из формул (5), (6) получаем:

x = x₀ + v_0xt + a_xt²/2.     (7)

6. Зависимость координаты от времени для некоторого тела, движущегося вдоль оси x, выражается в единицах СИ формулой x = 6 – 5t + t².
а) Чему равна начальная координата тела?
б) Чему равна проекция начальной скорости на ось x?
в) Чему равна проекция ускорения на ось x?
г) Начертите график зависимости координаты x от времени.
д) Начертите график зависимости проекции скорости от времени.
е) В какой момент скорость тела равна нулю?
ж) Вернется ли тело в начальную точку? Если да, то в какой момент (моменты) времени?
з) Пройдет ли тело через начало координат? Если да, то в какой момент (моменты) времени?
и) Начертите график зависимости проекции перемещения от времени.
к) Начертите график зависимости пути от времени.

3. Соотношение между путем и скоростью

При решении задач часто используют соотношения между путем, ускорением и скоростью (начальной v₀, конечной v или ими обеими). Выведем эти соотношения. Начнем с движения без начальной скорости. Из формулы (1) получаем для времени движения:

t = v/a.      (8)

Подставим это выражение в формулу (2) для пути:

l = at²/2 = a/2(v/a)² = v²/2a.     (9)

Главный вывод:

при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости пройденный телом путь пропорционален квадрату конечной скорости.

? 7. Тронувшись с места, автомобиль набрал скорость 10 м/с на пути 40 м. Движение автомобиля считайте прямолинейным равноускоренным. Не вычисляя ускорения автомобиля, определите, какой путь от начала движения проехал автомобиль, когда его скорость была равна: а) 20 м/с? б) 40 м/с? в) 5 м/с?

Соотношение (9) можно получить также, вспомнив, что путь численно равен площади фигуры, заключенной под графиком зависимости скорости от времени (рис. 6.7).

Это соображение поможет вам легко справиться со следующим заданием.

? 8. Используя рисунок 6.8, докажите, что при торможении с постоянным ускорением тело проходит до полной остановки путь l_т = v₀²/2a, где v₀ – начальная скорость тела, a – модуль ускорения.

В случае торможения транспортного средства (автомобиль, поезд) путь, пройденный до полной остановки, называют тормозным путём. Обратите внимание: тормозной путь при начальной скорости v₀ и путь, пройденный при разгоне с места до скорости v₀ с тем же по модулю ускорением a, одинаковы.

? 9. При экстренном торможении на сухом асфальте ускорение автомобиля равно по модулю 5 м/с². Чему равен тормозной путь автомобиля при начальной скорости: а) 60 км/ч (максимальная разрешенная скорость в городе); б) 120 км/ч? Найдите тормозной путь при указанных скоростях во время гололеда, когда модуль ускорения равен 2 м/с². Сравните найденные вами значения тормозного пути с длиной классной комнаты.

? 10. Используя рисунок 6.9 и формулу, выражающую площадь трапеции через ее высоту и полусумму оснований, докажите, что при прямолинейном равноускоренном движении:
а) l = (v² – v₀²)/2a, если скорость тела увеличивается;
б) l = (v₀² – v²)/2a, если скорость тела уменьшается.

? 11. Докажите, что проекции перемещения, начальной и конечной скорости, а также ускорения связаны соотношением

s_x = (v_x² – v_0x²)/2ax     (10)

? 12. Автомобиль на пути 200 м разогнался от скорости 10 м/с до 30 м/с.
а) С каким ускорением двигался автомобиль?
б) За какое время автомобиль проехал указанный путь?
в) Чему равна средняя скорость автомобиля?

Лютый опыт

Дополнительные вопросы и задания

13. От движущегося поезда отцепляют последний вагон, после чего поезд движется равномерно, а вагон – с постоянным ускорением до полной остановки.
а) Изобразите на одном чертеже графики зависимости скорости от времени для поезда и вагона.
б) Во сколько раз путь, пройденный вагоном до остановки, меньше пути, пройденного поездом за то же время?

14. Отойдя от станции, электричка какое-то время ехала равноускоренно, затем в течение 1 мин – равномерно со скоростью 60 км/ч, после чего снова равноускоренно до остановки на следующей станции. Модули ускорений при разгоне и торможении были различны. Расстояние между станциями электричка прошла за 2 мин.
а) Начертите схематически график зависимости проекции скорости электрички от времени.
б) Используя этот график, найдите расстояние между станциями.
в) Какое расстояние проехала бы электричка, если бы на первом участке пути она разгонялась, а на втором – тормозила? Какова была бы при этом ее максимальная скорость?

15. Тело движется равноускоренно вдоль оси x. В начальный момент оно находилось в начале координат, а проекция его скорости была равна 8 м/с. Через 2 с координата тела стала равной 12 м.
а) Чему равна проекция ускорения тела?
б) Постройте график зависимости v_x(t).
в) Напишите формулу, выражающую в единицах СИ зависимость x(t).
г) Будет ли скорость тела равна нулю? Если да, то в какой момент времени?
д) Побывает ли тело второй раз в точке с координатой 12 м? Если да, то в какой момент времени?
е) Вернется ли тело в начальную точку? Если да, то в какой момент времени, и чему будет равен пройденный при этом путь?

16. После толчка шарик вкатывается вверх по наклонной плоскости, после чего возвращается в начальную точку. На расстоянии b от начальной точки шарик побывал дважды через промежутки времени t₁ и t₂ после толчка. Вверх и вниз вдоль наклонной плоскости шарик двигался с одинаковым по модулю ускорением.
а) Направьте ось x вверх вдоль наклонной плоскости, выберите начало координат в точке начального положения шарика и напишите формулу, выражающую зависимость x(t), в которую входят модуль начальной скорости шарика v0 и модуль ускорения шарика a.
б) Используя эту формулу и тот факт, что на расстоянии b от начальной точки шарик побывал в моменты времени t₁ и t₂ составьте систему двух уравнений с двумя неизвестными v₀ и a.
в) Решив эту систему уравнений, выразите v₀ и a через b, t₁ и t₂.
г) Выразите весь пройденный шариком путь l через b, t₁ и t₂.
д) Найдите числовые значения v₀, a и l при b = 30 см, t₁ = 1с, t₂ = 2 с.
е) Постройте графики зависимости v_x(t), s_x(t), l(t).
ж) С помощью графика зависимости sx(t) определите момент, когда модуль перемещения шарика был максимальным.

I. Механика

Тестирование онлайн

Механическое движение представляют графическим способом. Зависимость физических величин выражают при помощи функций. Обозначают

Графики равномерного движения

Зависимость ускорения от времени. Так как при равномерном движении ускорение равно нулю, то зависимость a(t) – прямая линия, которая лежит на оси времени.

Зависимость скорости от времени. Скорость со временем не изменяется, график v(t) – прямая линия, параллельная оси времени.

Правило определения пути по графику v(t): Численное значение перемещения (пути) – это площадь прямоугольника под графиком скорости.

Зависимость пути от времени. График s(t) – наклонная линия.

Правило определения скорости по графику s(t): Тангенс угла наклона графика к оси времени равен скорости движения.

Графики равноускоренного движения

Зависимость ускорения от времени. Ускорение со временем не изменяется, имеет постоянное значение, график a(t) – прямая линия, параллельная оси времени.

Зависимость скорости от времени. При равномерном движении путь изменяется, согласно линейной зависимости . В координатах . Графиком является наклонная линия.

Правило определения пути по графику v(t): Путь тела – это площадь треугольника (или трапеции) под графиком скорости.

Правило определения ускорения по графику v(t): Ускорение тела – это тангенс угла наклона графика к оси времени. Если тело замедляет движение, ускорение отрицательное, угол графика тупой, поэтому находим тангенс смежного угла.

Зависимость пути от времени. При равноускоренном движении путь изменяется, согласно квадратной зависимости . В координатах зависимость имеет вид . Графиком является ветка параболы.

График движения при . График движения при

График движения при . График движения при

Сравнительная таблица графиков

Не разобрался в теме? Освой физику с репетитором

Во многих случаях движение тел удобно описывать с помощью графиков. Такой способ описания движения достаточно нагляден. В курсе математики уже изучались графики некоторых функций. Проанализируем графики движения и скорости: l = f (t) и v = f (t). Вспомним, как на уроках математики графически выражали зависимость одной величины от изменения другой. Для расчета пройденного с постоянной скоростью пути мы используем формулу l = vt. На уроках математики мы использовали уравнения y = kx.

Физика	Математика
l = vt	y = kx
l — функция	y — функция
t — аргумент	x — аргумент
v — постоянная	k — постоянная

График движения дает такое же полное описание движения, как и формула l = vt.

Например, пусть нам известен график равномерного движения тела.

С помощью этого графика мы можем получить определенные сведения о движении тела. За 1 час тело проехало 20 км, затем 2 часа тело стояло, а потом за 4 часа тело проехало еще 20 км. При этом по графику мы можем определить и скорость движения:

v1=20 км/час, v2=0, v3= 5 км/час.

Рассмотрим теперь, чем отличаются графики зависимости пути от времени для тел, движущихся с различной скоростью.

Стоит обратить внимание учащихся на такой очень важный факт: чем больше скорость тела, тем больше угол между графиком зависимости пути от времени и осью времени. 2. Графики зависимости скорости от времени Наряду с графиками движения часто пользуются графиками скорости. Для построения графика скорости применяют прямоугольную систему координат, по горизонтальной оси которой откладывают в определенном масштабе времени, а по вертикальной — модуль скорости.

С этого графика можно определить, что скорость первого тела 25 м/с, а второго — 10 м/с.

Проверьте себя

1. Какой вид имеет график зависимости пути от времени при прямолинейном равномерном движении?

2. Чем отличаются графики зависимости пути от времени для двух тел, движущихся с различной скоростью?

Повышай свои знания с «Репетиторами Украины»

Выбери преподавателя для подготовки к экзаменам и контрольным работам

3. Как по графику пути для двух тел сравнить скорости их движения?

4. Как по графику скорости определить пройденный телом путь?

Закрепление изученного материала

Из поселка выехал велосипедист со скоростью 20 км / ч, а через 4 часа после него — автомобиль со скоростью 60 км / ч. Через сколько часов после своего выезда автомобиль догонит велосипедиста? Решите задачу графически.

Решение. Графики пересекаются при t = 6 ч, считая с момента выезда велосипедиста, то есть через 2 часа после выезда автомобиля.

2. По графику определите скорость движения каждого тела. Какой путь прошли оба тела с 3 с? Постройте графики пути.

3. На рисунке приведены графики зависимости пути от времени для двух автомобилей. Скорость которого из автомобилей больше? Почему вы так считаете?